Логика предикатов примеры решения задач: Задачи и упражнения

5. Предикаты

В исчислении высказываний нет предметных переменных, то есть переменных, которые могут принимать нелогические значения, например, числовые. Для того чтобы в логические исчисления могли быть включены нелогические константы и переменные, вводится понятие предиката.

Определение. N-местным предикатом на множестве называется -местная функция из множества во множество .

Примеры. 1. Предикат на множестве – одноместный.

2. Предикат на множестве – двуместный.

Если , то -местный предикат представляет собой -местную булеву функцию.

Нульместный предикат представляет собой высказывание.

Для каждого предиката областью истинности называется множество , на котором предикат принимает значение 1.

Примеры. 1. Для предиката на множестве область истинности .

2. Для предиката на множестве область истинности .

Поскольку множество значений любого предиката лежит во множестве , то с предикатами можно производить все операции алгебры логики, и все известные свойства логических операций обобщаются для предикатов.

Рассмотрим эти свойства (для удобства в свойствах записываются одноместные предикаты):

3. Коммутативность:

, .

2. Ассоциативность:

,

.

3. Дистрибутивность:

,

.

4. Идемпотентность: , .

5. Закон двойного отрицания: .

6. Закон исключения третьего: .

7. Закон противоречия: .

8. Законы де Моргана:

,

.

9. Свойства операций с логическими константами:

, , , .

Здесь , и – любые предикаты.

В то же время, для предикатов определены операции специального вида, которые называются Кванторами.

Пусть дан -местный предикат на множестве , означающий, что для набора выполнено свойство , и пусть – одна из переменных. Тогда запись означает, что для всех значений переменной свойство выполнено. Символ называется Квантором

Всеобщности (Общности). Предикат является ()-местным. Он зависит от переменных . Если дан одноместный предикат , то утверждение представляет собой нульместный предикат, то есть истинное или ложное высказывание.

Пример. На множестве дан предикат . Высказывание ложно.

Пусть дан -местный предикат на множестве , означающий, что для набора Выполнено свойство , и пусть – одна из переменных. Тогда запись означает, что существует значение переменной , такое, что выполняется свойство . Символ называется Квантором существования. Предикат является ()-местным. Если дан одноместный предикат , то утверждение представляет собой нульместный предикат, то есть истинное или ложное высказывание.

Пример. На множестве дан предикат . Высказывание истинно.

Отметим, что запись () не подразумевает, что в формуле есть переменная .

Пусть дана запись (или ). Переменная называется Переменной в кванторе, а – Областью действия квантора.

Имеют место эквивалентности:

.	.
.	.

Отметим, что список переменных в предикате мы будем указывать не всегда.

Предикат называется Тождественно истинным (Тождественно ложным), если при всех возможных значениях переменных он принимает значение 1(0).

Теорема. Пусть – -местный предикат, – переменная в предикате. Тогда предикат является тождественно истинным.

Доказательство. Возьмем произвольный набор значений переменных . Подставим этот набор в предикат . Получим высказывание:

.

Покажем, что это высказывание истинно. Возможны два случая.

1. , следовательно .

2. .

Соотношение выполнено при любых значениях , следовательно, и при значении . При подстановке этого значения получаем:

.

Следовательно, по свойству импликации получаем, что , что и требовалось доказать.

Теорема. Пусть – -местный предикат, – переменная в предикате. Тогда предикат является тождественно истинным.

Доказательство аналогично доказательству предыдущей теоремы.

Предикат называется Выполнимым, если при некоторых значениях переменных он принимает значение 1.

Пример. Найти значение высказывания . Предикат определен на множестве .

Решение. Пусть . Эквивалентность имеет место тогда и только тогда, когда для некоторого . Это означает, что для некоторого предикат является тождественно истинным относительно , то есть для некоторого и для произвольного . Последнее равносильно тому, что предикат выполним. Предикат действительно является выполнимым, поскольку он определен на множестве натуральных чисел. Таким образом, поскольку все переходы были равносильными, исходное высказывание истинно.

Предикаты могут быть выражены с помощью так называемых предикатных формул. Строгое определение формулы исчисления предикатов будет дано в следующей главе. Пока нужно учитывать, что формула становится предикатом, когда все переменные определены на некотором множестве, и определены все предикаты, входящие в формулу.

Справедливы эквивалентности:

, .

Разноименные кванторы можно переставлять только следующим образом:

, .

Обратные формулы неверны.

Пример. Очевидно, что высказывание () истинно. Поменяем кванторы местами. Получим высказывание , которое является ложным.

Выражения с кванторами можно преобразовывать следующим образом:

, .

Докажем первую эквивалентность. Пусть предикаты и одновременно тождественно истинны. Тогда тождественно истинным будет и предикат , следовательно, истинными будут высказывания , , , а также .

Пусть теперь хотя бы один из предикатов (например, ) не является тождественно истинным. Тогда (по свойствам конъюнкции) тождественно истинным не будет и предикат , следовательно, ложным будет высказывание . Высказывания и также будут ложными.

Таким образом, обе части эквивалентности одновременно истинны или ложны, и эквивалентность доказана.

Замечание. Формула не эквивалентна формуле .

Доказательство. Рассмотрим обе формулы на множестве . Пусть предикат , а предикат . Оба предиката не являются тождественно истинными.

Предикат – тождественно истинный, и высказывание истинно. Высказывания и ложны, следовательно, ложно и высказывание . Таким образом, построен пример, когда формулы и принимают различные значения.

Тем не менее, справедливы эквивалентности:

.

Аналогично, формулы и не эквивалентны. Но справедливы эквивалентности:

.

Имеют место формулы:

, ,

, .

Здесь не содержит переменной .

Определение. Предикатная формула находится в Приведенной форме, если в ней использованы только кванторные операции, а также операции инверсии, конъюнкции, дизъюнкции, причем инверсия относится только к предикатным буквам.

Определение. Предикатная формула находится в Предваренной форме (Предваренной нормальной форме), если она имеет вид , где — кванторы всеобщности или существования, а формула находится в приведенной форме и не содержит кванторов.

Пример. Записать формулу

В предваренной нормальной форме.

Решение.

Полученная формула записана в приведенной форме. Для того чтобы квантор всеобщности можно было вынести за скобки, переобозначим переменные и выполним преобразования:

.

Рассмотрим предикат , определенный на конечном множестве . Если предикат является тождественно истинным, то истинными будут высказывания , , …, . При этом истинными будут высказывания и конъюнкция … .

Если же хотя бы для одного элемента будет ложно, то ложными будут высказывания и … .

Таким образом, имеет место эквивалентность … .

Справедлива и аналогичная эквивалентность

… .

Пример. Найти предикат, логически эквивалентный предикату , но не содержащий кванторов. Предикаты и определены на множестве .

Решение.

С помощью предикатов можно записывать различные математические утверждения.

Пример. Покажем, как можно записать утверждение: “числовая последовательность имеет пределом число ()”.

Решение. Запишем данное утверждение с помощью кванторов и обозначим его :

.

Запишем инверсию данного высказывания:

.

По известным формулам, инверсия импликации преобразуется следующим образом:

.

Отсюда получаем:

.

Утверждение означает, что , то есть число не является пределом числовой последовательности .

< Предыдущая		Следующая >

Задачи по математической логике (+примеры решения и комментарии)

Контрольная работа

• формат rtf
• размер 5.68 МБ
• добавлен 27 апреля 2011 г.

Задачи по математической логике (+примеры решения и комментарии).
Содержание:
Элементы алгебры высказываний.
Логические операции над высказываниями.
Равносильные формулы алгебры высказываний.
Нормальные формы.
Логические следствия.
Решение задач с помощью алгебры высказываний.
Исследование рассуждений.
Получение логических следствий из данных формул и посылок для данных логических следствий.
Необходимые и достаточные условия.
Анализ и синтез релейно-контактных схем.

Похожие разделы

1. Абитуриентам и школьникам
2. Логика

1. Академическая и специальная литература
2. Информатика и вычислительная техника
3. Теория алгоритмов

1. Академическая и специальная литература
2. Математика
3. Дискретная математика

1. Академическая и специальная литература
2. Педагогика
3. Дошкольное образование
4. Развитие математических представлений
5. Развитие логики

1. Академическая и специальная литература
2. Педагогика
3. Методики преподавания
4. Методика преподавания в начальной школе
5. Логика

1. Академическая и специальная литература
2. Философские дисциплины
3. Логика

Смотрите также

• формат djvu
• размер 445. 67 КБ
• добавлен 16 марта 2009 г.

М. : ИЛ, 1963. -55 с. Брошюра представляет собой развернутое изложение обзорного доклада, прочитанного первым из авторов — крупным специалистом по математической логике. В исключительно сжатой, но доступной и четкой форме авторам удалось изложить важнейшие современные аксиоматические обоснования теории абстрактных множеств. Эта отрасль весьма слабо представлена в советской математической литературе, а между тем современное бурное развитие исслед…

Контрольная работа

• формат rtf
• размер 3.34 МБ
• добавлен 27 апреля 2011 г.

Задачи по математической логике. Решебник содержит подробное решение задач по основным темам математической логики в т. ч. способы решения логических задач типа «Кто есть кто? » методами графов, табличным способом, сопоставлением трех множеств; тактических, истинностных задач, на нахождение пересечения множеств или их объединения. Буквенные ребусы и примеры со звездочками.rn

• формат djvu
• размер 4.29 МБ
• добавлен 28 декабря 2008 г.

Сборник содержит задачи и упражнения по всем традиционным разделам курса математической логики и теории алгоритмов. В каждом параграфе подробно рассмотрены разнообразные типовые примеры и приведены многочисленные задачи разного уровня сложности для самостоятельного решения. Сборник состоит из четырнадцати параграфов в 5 главах: I. Алгебра высказываний; II. Булевы функции; III. Формализованное исчисление высказываний; IV. Логика предикатов; V. Эл…

• формат pdf
• размер 10.14 МБ
• добавлен 23 февраля 2011 г.

М.: Издательство иностранной литературы, 1957. — 526 с. Книга является самой обширной из имевшихся на момент её выхода в свет монографий по математической логике и теории рекурсивных функций. Она не предполагает со стороны читателя никаких специальных познаний и поэтому может считаться общедоступной. Книга предназначена для глубокого изучения предмета и рассчитана как на специалистов по математической логике и теории рекурсивных функций, так и н…

• формат djvu
• размер 9.32 МБ
• добавлен 22 апреля 2010 г.

М.: Издательство иностранной литературы, 1957. — 526 с. Книга является самой обширной из имевшихся на момент её выхода в свет монографий по математической логике и теории рекурсивных функций. Она не предполагает со стороны читателя никаких специальных познаний и поэтому может считаться общедоступной. Книга предназначена для глубокого изучения предмета и рассчитана как на специалистов по математической логике и теории рекурсивных функций, так и н…

Статья

• формат doc
• размер 168.15 КБ
• добавлен 05 сентября 2008 г.

Лекции по математической логике. Основные понятия с примерами. Теория алгоритмов, Булевы функции, Логические Исчисления, Предикаты и кванторы.rn

Статья

• формат doc
• размер 386.76 КБ
• добавлен 14 февраля 2007 г.

Операции логики Буля. Формы представления булевых операций. Методы доказательства в логике Буля. Задания на практическую работу по логике высказываний. Введение в логику высказываний. Построение доказательств в логике высказываний. Аксиоматический метод. Таблицы истинности. Метод Вонга. Метод натурального исчисления. Задания на практическую работу по логике высказываний. Примеры решения задач. Доказать методом натурального исчисления истинность с…

• формат doc
• размер 335 КБ
• добавлен 09 января 2011 г.

Содержание. Введение. Исчисление высказываний. Высказывания. Формулы. Выполнимые и общезначимые формулы. Алгебраический подход. Дизъюнкты и нормальные формы. Логический вывод. Прямой вывод. Доказательство «от противного». Метод резолюций. Фразы Хорна. Примеры использования метода резолюций в логике высказываний. Непротиворечивость аксиом. Аксиоматизация логики высказываний. Исчисление предикатов. Предикаты. Применение логических связок. Кванторы….

pottee

• формат doc
• размер 1.02 МБ
• добавлен 07 января 2010 г.

Ответы по темам за 1 семестр математической логики. Ответы на экзаменационные билеты по математической логике всего 24 вопроса. Вопросы по темам от: 1) Двузначная логика, булевы функции, до 24) Множества и операции над ними.

• формат pdf
• размер 502.72 КБ
• добавлен 22 октября 2009 г.

Метод. пособие по логике. Ростов-на-Дону. 2007г. – 42 с. Примеры решения задач по матем. логике. Темы пособия: 1. Алгебра высказываний. 2. Исчисление высказываний ИС генценовского типа. 3. Исчисление высказываний ИВ гильбертовского типа. 4. Общезначимость формул. 5. Логические программы.

советов по решению логических задач

советов по решению логических задач

Советы по решению логических задач

Эти рекомендации помогут в переводе «задачи истории» в исчисление предикатов и решение проблем по разрешению. Соблюдение этих правил поможет избежать распространенных ошибок.

1. Термины (константы, переменные и функции) всегда объекты в предметной области, о которых написаны формулы. Предикаты являются истинными/ложными свойствами или отношениями этих объектов.
2. Неплохо было бы записывать сбоку текстовые описания предикаты, например,
            DRIVES(x,y) , где x — человек, а y — автомобиль.
   Использование предиката, связанного с объектами неправильных типов, недопустимо. скорее всего либо ошибочно, либо не является частью решения.
3. Утверждение «для всех» или «каждый» в английском языке обычно переводится как квантификатор ∀ и использует связку → . «Существует» или «некоторые» обычно переводится как 9.0008 ∃ и использует связку ∧ .
4. Используйте свои знания реального значения утверждения, чтобы направлять перевод в исчисление предикатов. Может быть несколько правильных способов перевода утверждения, но все они приводят к одному и тому же предложению форма. Например, утверждение «Ни одна кошка не любит собак» может быть написано:
   1. ∀ х (КАТ(х) → ∀ y (СОБАКА (y) → ¬ НРАВИТСЯ (x, y)))
   2. ∀ х (КАТ(х) → ¬ ∃ y (СОБАКА(y) ∧ НРАВИТСЯ(x,y)))
   3. ¬ ∃ x (КОТ(x) ∧ ∃ y (СОБАКА(y) ∧ НРАВИТСЯ(x,y)))
   4. ¬ ∃ x ∃ y (КОТ (x) ∧ СОБАКА (y) ∧ НРАВИТСЯ (x, y))
   Все они производят форму предложения: ¬ КОШКА (x) ∨ ¬ СОБАКА (y) ∨ ¬ НРАВИТСЯ (x, y)
5. После перевода предложения в форму предложения прочитайте его обратно на английский язык. и посмотрите, имеет ли это тот же смысл: «Либо x не кошка, либо y не собака или x не любит y . »
6. Любая форма P(x) или ¬ P(x) , которая сама по себе появляется как пункт неверно, появляется ли оно как предложение, полученное в результате перевода заявление на английском языке или в результате шага разрешения. (Обратите внимание, что x — универсальная количественная переменная; P(a) , где a константа, это нормально.) Смысл этого правила в том, что если P(x) верно, то P верно для все и поэтому не может быть полезен для рассуждений.
7. В более общем случае литералы предложения должны быть связаны содержащиеся в них переменные. Представьте, что между вхождениями проведены линии каждой переменной, т. е. все вхождения x связаны и т. д. Предложение должно быть полностью связано; если какой-либо литерал отключен из остальной части предложения это, вероятно, указывает на ошибку. Более того, каждая переменная должна появиться как минимум дважды.
8. Константы, отличные от констант Скулема, обычно являются числами или вещами. которые будут записаны как собственные имена на английском языке: 3 Джон Остин . Имя нарицательное, записанное как константа, вероятно, неверно. Например, «Каждый мальчик любит какую-нибудь собаку» можно написать так: ∀ x (МАЛЬЧИК(x) → ∃ y (СОБАКА(y) ∧ ЛЮБИТ(x,y)))
   но не: ∀ x (МАЛЬЧИК(x) → ЛЮБИТ(x,собака)) . Обратите внимание, что в последнем форме нет ничего, чтобы сказать, что константа собака является собакой.
9. Каждый раз, когда создается константа Сколема или функция Скулема, она должна быть новенький. По соглашению константы Скулема обозначаются буквами a b c и функции Сколема по f() g() h() .
10. Различные константы и функции Скулема не могут быть унифицированы. Если вы обнаружите, что хотите объединить два разных Skolems, не делайте этого! Вместо этого используйте эту информацию, чтобы найти свою ошибку: один из Skolems должна быть универсальной количественной переменной.
11. Некоторые общие формы могут быть переведены в форму пункта путем проверки. «Каждое P есть Q» будет переведено как: ¬ P(x) ∨ Q(x) .
    В более общем смысле «Каждое P, являющееся R, S и … равно Q» будет переводиться как:
    ¬ P(x) ∨ ¬ R(x) ∨ ¬ S(x) ∨ … ∨ Q(x) .
    
12. Утверждения с «и» в заключении приведут к нескольким предложениям. Например, фраза «Каждая кошка мягкая и пушистая» приводит к предложениям:
    1. ¬ КАТ(х) ∨ МЯГКИЙ(х)
    2. ¬ КОШКА(x) ∨ ПУШИСТЫЙ(x)
13. Свободно используйте скобки, чтобы не делать ошибок в алгебраических выражениях. манипуляции. Например, записывая отрицательный вывод,
    1. Заключение написать в положительной форме.
    2. Обведите его большими скобками.
    3. Перед скобкой поставить знак отрицания.
14. «Если […], то […]» следует переводить как: [ […] → […] ] . Используйте скобки, чтобы убедиться, что ваш манипуляции правильные.
15. Если вывод имеет форму «Если условие , то результат » вы часто можете упростить алгебру:
    1. Запись условия в виде дополнительных положительных аксиом.
    2. Отрицание результата .
    Обоснование: «Если C, то R» записывается как [ C → R] , т.е. инвертировано:
             ¬ [ C → R] = ¬ [ ¬ C ∨ R ] знак равно [ C ∧ ¬ R ] .
    C и R не должны иметь общих переменных, чтобы их можно было разделить в таким образом.
16. Используйте свои знания о реальной ситуации, чтобы найти решение шаги, которые вы делаете, так что результирующий поиск будет коротким. Использовать стратегии набор опор (используйте инвертированный вывод, который часто включают константы) и единиц предпочтения (разрешить с более коротким оговорки).

---

Гордон С. Новак мл.

Решение задачи на логику высказываний

Содержание

• Что не так с этим доказательством?
• Доказательство по диаграмме Венна
• Доказательство по аналогии
• Смотрите также

В этом разделе мы будем использовать знакомые обозначения, используемые в логике высказываний. Возможно, вы захотите сначала ознакомиться с логикой высказываний.

Как и при решении любых других вопросов, мы всегда должны спрашивать себя, что мы можем и чего не можем делать, записывая наши рассуждения. Первый шаг к тому, чтобы научиться решать задачи на логику высказываний, — составить список того, что нельзя сделать или что невозможно, чтобы мы могли сузить круг возможных сценариев. Помните, что очень легко сделать ошибочный вывод, основанный на ошибочных рассуждениях. Возьмем приведенные ниже утверждения в качестве примера: если первое утверждение верно, верно ли и второе утверждение?

«Если идет дождь, то я не могу играть в футбол». «Если я не могу играть в футбол, значит идет дождь.»\begin{array}{c}&\text{«Если идет дождь, то я могу ‘не играй в футбол».} &\text{«Если я не могу играть в футбол, значит, идет дождь.»} \end{array}​»Если идет дождь, то я не могу играть в футбол».​»Если я не могу играть в футбол, значит идет дождь.»​

Совершенно очевидно, что проблема здесь в том, что могут быть и другие причины, по которым я не могу играть в футбол, которые не обязательно зависят от погоды. Если мы делаем такие простые ошибки в рассуждениях, когда контекст очень ясен, просто представьте, что произойдет, когда вы будете менее уверены в более расплывчатых утверждениях. В следующем параграфе мы познакомимся с этими ошибками.

Обратные и обратные ошибки

Как новичок, наиболее распространенная ошибка, которую вы можете сделать, это предположить, что обратное и/или обратное исходному утверждению также верно. Взгляните на два раздела ниже:

Введение в Converse Error с ошибочными рассуждениями:

Помещение : Если идет дождь, то я не могу играть в футбол.

Заключение : Если я не могу играть в футбол, значит, идет дождь.

Объяснение : Из первого утверждения нам дано условие и результат: «дождь» как условие и «я не могу играть в футбол» как результат. Вся посылка сформулирована таким образом, что если условие выполнено, то и результат будет иметь место. Однако вывод показывает, что если результат выполняется, то условие выполняется. Это не имеет смысла, потому что нет необходимости, чтобы условие имело место, если результат возникает первым. Это известно как обратная ошибка.

В общем виде аргумент для ошибки преобразования выглядит следующим образом:

• Если происходит P, то происходит Q.
• Происходит Q.
• Следовательно, P также встречается.

Введение в обратную ошибку с ошибочными рассуждениями:

Помещение : Если идет дождь, то я не могу играть в футбол.

Заключение : Если не будет дождя, то я могу поиграть в футбол.

Объяснение : Из первого утверждения нам дано условие и результат: «дождь» как условие и «я не могу играть в футбол» как результат. Вся посылка сформулирована таким образом, что если условие выполнено, то и результат будет иметь место. Однако вывод показывает, что если условие не выполняется, то не возникает и результат. Это не имеет смысла, потому что могут быть другие причины/факторы, приводящие к такому результату. Это известно как обратная ошибка.

В общем виде аргумент для обратной ошибки выглядит следующим образом:

• Если происходит P, то происходит Q.
• P не возникает.
• Следовательно, Q также не возникает.

Теперь может быть совершенно ясно, что легко определить, что мы сделали ошибочное рассуждение. Однако что, если приведенные утверждения кажутся более расплывчатыми? По этой причине мы вводим две приведенные выше ошибки (обратная ошибка и обратная ошибка), чтобы показать, что не все неправильные утверждения легко идентифицировать. Проще говоря, отношения между двумя событиями не обязательно подразумевают, что одно вызывает другое. Короче говоря, мы указываем на общеизвестный факт, что «корреляция не предполагает причинно-следственной связи».

Теперь, когда мы увидели эти ошибки своими глазами, давайте сделаем еще один пример, чтобы напомнить себе, что это ошибки, и мы надеемся избежать их в будущем. Имейте в виду, что некоторые обратные/обратные утверждения могут показаться смешными, а некоторые нет.

Нам дано следующее утверждение: Если сегодня воскресенье, то погода солнечная.

 (i)\qquad \text{ (i)} (i) Напишите обратное и обратное этому утверждению.
(ii)\qquad \text{(ii)}(ii) Определите, какое из этих утверждений вы сделали нелогичным, и объясните, почему.

---

(i)\text{(i)}(i) Обратное и обратное

• Обратное: Если сегодня не воскресенье, то погода не солнечная.
• Обратное: Если погода солнечная, то сегодня воскресенье.

(ii)\text{(ii)}(ii) Логично или нелогично

Хотя они являются обратными и обратными исходному утверждению, мы должны помнить, что они не обязательно могут быть ошибкой. Однако нет ничего плохого в том, чтобы проверить, правильны они или нет.

• Обратное утверждение подразумевает, что день имеет прямое отношение к тому, солнечная погода или нет, что смехотворно , потому что могут быть и несолнечные дни, которые не выпадают на воскресенье.

• Обратное утверждение подразумевает, что только если погода солнечная, то день будет воскресенье, что также смехотворно , потому что солнечная погода может быть и в дни, не выпадающие на воскресенье. □_\квадрат□​

Определите точную ошибку

Теперь, когда мы можем определить, как возникают ошибки, давайте сделаем еще один шаг и применим эти методы, чтобы точно определить, где возникает ошибка. Обратите внимание, что самый простой способ определить, где возникла ошибка, — преобразовать логические операторы в символические формы (например, P подразумевает Q). Давайте попробуем следующий пример.

Взглянув на свое образование в долгосрочной перспективе, вы идете в корпорацию «Престиж» и спрашиваете, что вы должны делать в колледже, чтобы вас взяли на работу после окончания учебы. \text{+}B+ в среднем или выше и сдаете бухгалтерский учет. На самом деле вы становитесь специалистом по математике, получаете средний балл B\text{B}B и изучаете бухгалтерский учет. Вы возвращаетесь в Prestige Corporation, подаете официальное заявление, и вам отказывают. Персонал вам врал? 9\text{+}В среднем B+, критерии (ii)\text{(ii)}(ii) не выполнены.
Поскольку вы взяли учет, критерии (iii)\text{(iii)}(iii) удовлетворены.

Поскольку вы не подошли по всем критериям и получили отказ, персонал вам не врал. □_\квадрат□​

Теперь, когда вы знакомы с написанием этих операторов и определением возможных ошибок, давайте попробуем другой пример, использующий такое свойство!

Недостаточно информации Шарки сатвик Кришна

На магазин напали мародеры, которые уехали на машине. Трое известных преступников Сатвик, Кришна и Шарки доставлены в полицейский участок для допроса. Инспектор полиции Адитья извлекает следующие факты:

(1)(1)(1) Никто, кроме Сатвик, Кришны и Шарки, не участвовал в ограблении.
(2)(2)(2) Шарки никогда не выполняет работу без использования Сатвик (и, возможно, других) в качестве сообщников.
(3)(3)(3) Кришна не умеет водить.

Найти человека, который в любом случае виновен.

Эта задача является частью моего набора «Это то, что вы называете логикой?»

Формальные термины

В предыдущих разделах мы узнали о двух наиболее распространенных ошибках, которые допускают учащиеся при решении логических задач. Однако мы формально не касались терминологии этих терминов: обратная ошибка и обратная ошибка. Давайте начнем!

Противоположный : Утверждение логически эквивалентно своему противоположному. Контрапозитив отрицает оба термина в импликации и меняет их местами. Например, противопоставление «P подразумевает Q» является отрицанием Q, подразумевает отрицание P.

• Обратное : Обратное меняет положения терминов. Обратное «P подразумевает Q» — это «Q подразумевает P».

• «Если и только если», иногда пишется как , если и только если и известная как эквивалентность, является импликацией, которая работает в обоих направлениях. «P тогда и только тогда, когда Q» означает, что и «P подразумевает Q», и «Q подразумевает P».

Давайте попробуем несколько примеров, которые охватывают эту область!

 (i)\text{ (i)} (i) Запишите противоположное утверждение для

«Если ты человек, то у тебя есть ДНК.»\text{«Если ты человек, то у тебя есть ДНК.»}»Если ты человек, то у тебя есть ДНК.»

(ii)\text{(ii)}(ii) Запишите два оператора if-then для

«Многоугольник является четырехугольником тогда и только тогда, когда многоугольник имеет 4 стороны. «\text{«Многоугольник является четырехугольником тогда и только тогда, когда многоугольник имеет 4 стороны.»}»Многоугольник является четырехугольником тогда и только тогда, когда многоугольник имеет 4 стороны».

---

 (i)\text{ (i)} (i) противоположное
\qquad Если у вас нет ДНК, то вы не человек.

(ii)\text{(ii)}(ii) операторы if-then
\qquad Если многоугольник является четырехугольником, то он имеет 4 стороны.
\qquad Если у многоугольника 4 стороны, то это четырехугольник. □_\квадрат□​

Просто, не правда ли? Давайте попробуем решить некоторые задачи, применяя методы, которые мы изучили выше.

Если Джефф хорошо сдаст следующий тест по математике, значит, он выполнил домашнее задание по математике. Если Джефф потратит 5 часов на видеоигры, то следующий тест по математике он провалит. Если Джефф не провалит очередной тест по математике, значит, он не провел 5 часов за видеоиграми. Если Джефф не сделает домашнее задание по математике, значит, он провел 5 часов за видеоиграми. Если Джефф не играет в видеоигры, то следующий тест по математике он сдаст хорошо. Если Джефф не сделает домашнюю работу по математике, значит, он плохо сдаст следующий тест по математике. Если Джефф потратит 2 часа на видеоигры, то он сможет закончить домашнюю работу по математике. Если Джефф закончит домашнее задание по математике, значит, он не провел 5 часов за видеоиграми.

Если Джефф потратит 5 часов на видеоигры, то он не сможет закончить домашнюю работу по математике.

Если Джефф закончит домашнюю работу по математике, то он хорошо справится со следующим тестом по математике.

Основываясь на этой информации, что из следующего является логически правильным?

Синий Не могу сказать Зеленый Желтый

Селена, Дженнифер и Майли носят синее платье, желтое платье и зеленое платье в неизвестном порядке. Известно, что:

1) Если Селена носит синее, то Дженнифер носит зеленое.
2) Если Селена носит желтое, то Майли носит зеленое.
3) Если Дженнифер не носит желтое, то Майли носит синее.

Какого цвета платье на Селене?

Теперь, когда мы освоили эти приемы, давайте перейдем к следующему разделу, чтобы узнать о других крутых приемах доказательства!

В этом разделе мы будем применять некоторые основные правила обозначения множеств. Возможно, вы захотите сначала ознакомиться с множествами и диаграммой Венна.

В предыдущем разделе мы узнали о наиболее распространенных способах выявления и точного определения ошибок. В этом разделе мы применим использование диаграммы Венна в качестве альтернативного доказательства при решении логических задач. Но какая от этого польза? Ну, это просто: нам не нужно озвучивать эти утверждения, и мы можем использовать наглядные пособия, чтобы помочь нам решить эти проблемы.

Резюме установленных обозначений и диаграммы Венна

Давайте сделаем краткий обзор применения диаграмм Венна, взяв в качестве явного примера следующее:

Рассматривайте W,X,Y,ZW,X,Y,ZW,X,Y,Z как множества, каждое из которых содержит свои элементы. Затем, интерпретируя диаграмму Венна, мы можем получить такую ​​информацию, как:

• Все элементы в наборе WWW находятся в наборе YYY.
• Все элементы набора XXX входят в набор ZZZ.
• Не все элементы набора YYY находятся в наборе WWW.
• и т. д.

Как использовать диаграммы Венна для решения логической задачи со словами

Давайте рассмотрим следующие утверждения и сделаем вывод, является ли вывод истинным или ложным с помощью диаграммы Венна:

Правда или ложь?

Дано, что у всех птиц есть крылья.
Все куры — птицы.
Следовательно, у всех кур есть крылья.

---

Объяснение : Согласно диаграмме Венна утверждение «Курица — это птица». подразумевает, что множество «все цыплята» является подмножеством «всех птиц». Таким образом, можно сказать, что все куры имеют те же характеристики, что и птицы. Поскольку дано, что у всех птиц есть крылья (признак), у всех кур тоже есть крылья. Таким образом, вывод правильный.

Примечание : Мы должны помнить, что это работает, только если предпосылка верна. Например, если мы заменим слово «крылья» на «предплечья» в первом утверждении, то получится вывод «У всех кур есть предплечья». неизбежно будет истинным, несмотря на его смехотворное утверждение.

Пища для размышлений : Если у всех телефонов есть батареи, а у меня есть телефон, значит ли это, что в моем телефоне есть батарея?

Осторожно! Есть и другие способы рисования диаграмм Венна!

Хотя настройка диаграммы Венна может показаться очень простой, установка может не обязательно быть уникальной. Давайте рассмотрим пересмотренную версию приведенных выше утверждений и сделаем вывод, является ли вывод истинным или ложным, по диаграмме Венна.

Правда или ложь?

Известно, что у всех птиц есть крылья.
Все куры — птицы.
Следовательно, все птицы — куры.

---

Объяснение : Согласно диаграмме Венна, утверждение «Курица — это птица» подразумевает, что множество «все цыплята» является подмножеством «всех птиц». Таким образом, можно сказать, что все куры имеют те же характеристики, что и птицы. Однако не обязательно верно, что все птицы имеют одинаковые характеристики курицы. (Звучит знакомо? Это обратная ошибка.) Значит, утверждение «Все птицы — цыплята» должно быть ложным.

Примечание : Чтобы исправить вывод, вы должны сказать « Некоторые птиц — куры» вместо « Все птиц — куры».

Теперь, когда мы знаем основы применения доказательства с помощью диаграммы Венна, давайте применим эти знания, которые мы узнали, на следующих примерах:

Неверно. Ложь, все угрызения совести Ложь, ни одна из мук не может быть пингом Правда, некоторые угрызения совести

Верно или неверно?

\quad Все пинги являются пингами.
\quad
\quad Следовательно, некоторые угрызения совести — это угрызения совести.

Нет, во всех случаях Нужно больше информации Да, во всех случаях

У Йоханнеса есть несколько письменных публикаций на книжной полке. Альберт замечает, что все комиксы — это книги в мягкой обложке, а некоторые книги в мягкой обложке — это манга. Все комиксы манга?

Изображение предоставлено: Wikimedia Johannes Jansson

Разве доказательство с помощью диаграммы Венна не забавно? Вам не нужно использовать настоящие слова, чтобы формализовать эти утверждения. Выглядит очень необычно, правда? Но это работает. Говоря о необычном, можно ли решить эти логические утверждения, если мы придадим пикантности, драматизируя утверждения? Да мы можем! Доказательство по аналогии — еще один метод доказательства для решения логических задач. См. следующий раздел:

Как мы разгадываем тексты, которые кажутся трудными для расшифровки?

Все пинги являются пингами.
Некоторые пинги — это понги.
Следовательно, некоторые угрызения совести — это понги.

Рассмотрим логические утверждения, приведенные выше. Поскольку мы не можем соотнести или определить, что такое панг, пинг или понг, может показаться, что эти термины расплывчаты или слишком похожи. Как мы должны решать подобные проблемы, если мы практически не имеем ни малейшего представления о том, что происходит? Что ж, здесь пригодится доказательство по аналогии: это когда мы драматизируем или карикатуризируем используемые термины.

Например, мы можем называть пангов людьми, пингов — обезьянами, а понгов — гориллами. С помощью этих новых терминов мы можем визуализировать то, что они из себя представляют. Переписав их в исходные 3 утверждения, мы увидим, что

Все люди — обезьяны. Некоторые обезьяны — это гориллы. Поэтому некоторые люди являются гориллами.\text{Все люди — обезьяны. Некоторые обезьяны — гориллы. Следовательно, некоторые люди — гориллы. } Все люди — обезьяны. Некоторые обезьяны — это гориллы. Следовательно, некоторые люди — гориллы.

Таким образом, данный вывод неверен из-за нелепости вывода «Некоторые люди — гориллы».

Однако важно задать вопрос, почему это работает. Это слишком хорошо, чтобы быть правдой, не так ли? Или мы сталкиваемся с каким-то неправильным аргументом? Почему это работает?

Объяснение того, как это работает

Причина, по которой доказательство по аналогии работает, заключается в том, что мы делаем вывод, что если объекты имеют несколько сходных характеристик, и известно, что один из них имеет дополнительную характеристику (назовем это X) , то это неплохой вывод, заключающий, что другой объект имеет ту же самую характеристику X.

Короче говоря, обобщенная/структурированная форма для доказательства по аналогии:

• P и Q имеют схожие свойства x1,x2,x3,…,xnx_1, x_2, x_3, \ldots, x_nx1​,x2​,x3​,…,xn​.
• Мы знаем, что P обладает еще одним свойством yyy.
• Следовательно, Q, вероятно, также имеет свойство yyy.

Теперь давайте попробуем модифицированную версию пинг-понг-вопроса из предыдущего!

Правда или ложь?

\qquad Все ян есть йен и инь.
\qquad Некоторые йены являются йенами.
\qquad Тогда все йены являются янами.

---

Это неверно.

Пусть «ян» будут определены как «домашние животные», «йены» как «тигры», а «инь» как «кошки».

Итак, верно (или, по крайней мере, все еще разумно), что все домашние животные — кошки и тигры, а некоторые тигры — кошки. Но неправда, что все тигры — домашние животные. □_\квадрат□​

Примечание. Причина, по которой доказательство по аналогии работает здесь лучше всего, заключается в том, что мы не смогли обозначить или идентифицировать какие-либо характеристики ян, йен и инь. Поэтому разумный подход — доказывать по аналогии.

Теперь, когда вы готовы решать логические задачи по аналогии, попробуем еще раз решить следующую задачу, но на этот раз по аналогии!

Нет, во всех случаях Нужно больше информации Да, во всех случаях

У Йоханнеса есть несколько письменных публикаций на книжной полке. Альберт замечает, что все комиксы — это книги в мягкой обложке, а некоторые книги в мягкой обложке — это манга. Все комиксы манга?

Изображение предоставлено: Wikimedia Johannes Jansson

Пригодность аналогии

Обратите внимание, что в предыдущем разделе мы упомянули, что «Q, вероятно, также имеет свойство yyy». вместо «Q определенно имеет свойство yyy тоже». Это потому, что аргумент может предоставить то, что кажется правильным доказательством, но вывод не всегда следует. В этом подразделе объясняется, почему это доказательство (аргумент) не всегда работает.

Хотя мы действительно подчеркиваем или усиливаем параллельные характеристики, различия между вещами часто могут подавлять их сходство. Можно заметить, что всегда можно довести аналогию до абсурда. Для иллюстрации возьмем следующий знаменитый «информационный аргумент»:

ДНК — это код.
Код требует интеллекта.
Таким образом, ДНК происходит от разума.

Да, это будет звучать совершенно логично, если применить импликационный подход. То есть, P подразумевает Q, а Q подразумевает R, поэтому P подразумевает R. Однако аргумент здесь недействителен, потому что утверждение «ДНК — это код». является чистой аналогией и, таким образом, это не совсем точное утверждение с самого начала. Таким образом, мы начали с неправильной предпосылки. Таким образом, достоинства аналогии не имеют места. Далее это объясняется в разделе «Анализ аргументов по аналогии».

Мы видим, что доказательство по аналогии очень полезно и может также использоваться для получения неверных выводов. Таким образом, при использовании этого метода нужно быть осторожным в обозначении определенных характеристик. Давайте посмотрим на следующие примеры, чтобы увидеть, как доказательство по аналогии приводит к обратным результатам:

Правда или ложь?

Все квадраты и прямоугольники выпуклы, имеют четыре стороны и образуют прямые углы в своих вершинах.
Все квадраты имеют стороны одинаковой длины.
Следовательно, все прямоугольники имеют стороны одинаковой длины.

---

Очевидно, что это неверно, потому что по определению не все прямоугольники имеют стороны одинаковой длины, а только квадраты имеют стороны одинаковой длины. Мы делаем неверный вывод о том, что прямоугольники также обладают этой характеристикой, потому что ранее было известно, что и те, и другие имеют ряд общих характеристик. □_\квадрат□​

Недостаточно информации Истинный Ложь

Правда или ложь?

Указано, что Эми, Бернадетт и Пенни — хорошие друзья Шелдона и Леонарда.

Лесли — хороший друг Леонарда.

Значит, Лесли тоже друг Шелдона.

Изображение предоставлено Викимедиа ТББТ. Нарушение авторских прав не предполагается.

1. Логика высказываний с использованием алгебры.
2. Пропозициональная логика.
3. Правдолюбцы и лжецы.
4. Логические элементы.

   No related posts.