1. Методы вычисления определителей n – го порядка.
Основываясь на понятиях определителей второго и третьего порядков, можно аналогично ввести понятие определителя порядка n. Определители порядка выше третьего вычисляются, как правило, с использованием свойств определителей, сформулированных в п. 1.3., которые справедливы для определителей любого порядка.
Используя свойство определителей номер 90 введем определение определителя 4-го порядка:
.
Пример 2. Вычислить, используя подходящее разложение.
.
Аналогично вводится понятие определителя 5-го, 6-го и т.д. порядка. Значит определитель порядка n :
.
Все свойства определителей 2-го и 3-го порядков, рассмотренные раннее, справедливы и для определителей n-го порядка.
Рассмотрим
основные методы вычисления определителей n-го
порядка.
Замечание: прежде чем применять этот метод, полезно, используя основные свойства определителей, обратить в нуль все, кроме одного, элементы его некоторой строки или столбца. (Метод эффективного понижения порядка)
Метод приведения к треугольному виду заключается в таком преобразовании определителя, когда все его элементы, лежащие по одну сторону от главной диагонали, становятся равными нулю. В этом случае определитель равен произведению элементов его главной диагонали.
Пример 3. Вычислить, приведением к треугольному виду.
Пример 4. Вычислить, используя метод эффективного понижения порядка
.
Решение: по свойству 40 определителей из первой строки вынесем множитель 10, а затем будем последовательно умножать вторую строку на 2, на 2, на 1 и складывать соответственно с первой, с третьей и четвертой строками (свойство 80).
.
Полученный определитель можно разложить по элементам первого столбца. Он будет сведен к определителю третьего порядка, который вычисляется по правилу Саррюса (треугольника).
Пример 5. Вычислить определитель, приведением к треугольному виду.
.
Пример 3. Вычислить, используя рекуррентные соотношения.
.
.
Лекция 4. Обратная матрица. Ранг матрицы.
1. Понятие обратной матрицы
Только для квадратных невырожденных матриц А вводится понятие обратной матрицы А-1.
Определение 2. Матрица А-1 называется обратной для квадратной невырожденной матрицы А, если А-1А = АА-1 = Е, где Е – единичная матрица порядка n.
Определение 3. Матрица называетсяприсоединенной, ее элементами являются алгебраические дополнения транспонированной матрицы.
Алгоритм вычисления обратной матрицы методом присоединенной матрицы.
Находим определитель исходной матрицы. Если определитель равен нулю, то обратной матрицы не существует. Если определитель отличен от нуля, то матрица А невырожденная и обратная матрица существует.
Находим присоединенную матрицу А*, элементы которой являются алгебраическими дополнениями элементов транспонированной матрицы А.
Вычислим обратную матрицу по формуле
,
где
.
Проверяем правильность вычисления А-1А = АА-1 = Е. (Е – единичная матрица)
Матрицы А и А-1взаимообратные. Если |A| = 0, то обратная матрица не существует.
Пример 1. Дана матрица А. Убедиться, что она невырожденная, и найти обратную матрицу .
Решение: . Следовательно матрица невырожденная.
Найдем обратную матрицу. Составим алгебраические дополнения элементов матрицы А.
Получаем .
Определитель n-го порядка. Свойства определителей. Миноры и алгебраические дополнения. Теорема Лапласа и ее следствие Определитель n-го порядка
Рассмотрим квадратную таблицу А.
А=
Определение. Определителем n-го порядка называется число, полученное из элементов данной таблицы по следующему правилу:
1.
Определитель
n-го
порядка равен алгебраической сумме n!
членов.
Каждый член представляет собой произведение n-элементов взятых по одному из каждой строки и каждого столбца таблицы.
2.Член берется со знаком плюс, если перестановки образованные первыми и вторыми индексами элементов , входящие в произведения одинаковой четности (либо обе четные, либо нечетные) и со знаком минус в противоположном случае.
Определитель обозначается символом:
или краткоdet A=.(детерминант А)
Согласно определению =-.
Правило вычисления определителя 3ого порядка:
=
.
Миноры и алгебраические дополнения
Пусть дан определитель n-го порядка (n>1)
Определение 1. Минором элементаопределителяn-го порядка называется определитель (n-1)-ого порядка полученный из А вычеркиванием i-й строки и j-го столбца, на пересечении которых стоит данный элемент .
Например:
=
Определение 2. Алгебраическим дополнением элемента называется число
=
.
Основные свойства определителей n-го порядка
1.О равносильности строк и столбцов.
Величина определителя n-го порядка не меняется, если у него заменить строки соответствующими столбцами.
2.Если у определителей поменять местами две строки (столбца), то определитель изменит знак на противоположный.
3.
= k
Если все элементы какой-либо строки (или столбца) определителя имеют общий множитель, то этот общий множитель можно вынести за знак определителя.
4.Величина определителя равна нулю, если все элементы какой-либо его строки нули (или столбца).
5.Определитель с двумя пропорциональными строками равен 0.
Например:
6.Величина определителя не изменится, если к его элементам какой-либо строки прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число.
7.Если
элементы какой-либо строки i
определителя представлены в виде суммы
двух слагаемых, то определитель равен
сумме двух определителей, в которых
все строки кроме i-й
такие же, как в заданном определителе,
а i-я
строка одного определителя состоит из
первых слагаемых, а второго из вторых.
8.Определитель равен сумме произведений всех элементов какой-либо его строки на их алгебраические дополнения.
i=1,2,…,n.
=
9.Сумма произведений всех элементов какой-либо строки определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки равна нулю.
Например:
=
Теорема Лапласа
Теорема. Пусть в определителе d порядка n произвольно выбраны k строк (или k столбцов), 1.Тогда сумма произведений всех миноровk-го порядка, содержащихся в выбранных строках, на их алгебраические дополнения равна определителю d.
Следствие. Частный случай теоремы Лапласа — разложение определителя по строке или столбцу. Он позволяет представить определитель квадратной матрицы в виде суммы произведений элементов любой её строки или столбца на их алгебраические дополнения.
Пусть — квадратная матрица размера . Пусть также задан некоторый номер строки i либо номер столбца j матрицы A. Тогда определитель A может быть вычислен по следующим формулам:
Разложение по i-й строке:
Разложение по j-й строке:
где
—
алгебраическое дополнение к минору,
расположенному в строке с номером i и
столбце с номером j.
Утверждение является частным случаем теоремы Лапласа. Достаточно в ней положить k равным 1 и выбрать -ую строку, тогда минорами, расположенными в этой строке будут сами элементы.
Примеры для самостоятельного решения.
1.Найти х из уравнений и проверить подстановкой корень в определитель.
а); б)
9
линейная алгебра — В чем моя ошибка в этом определителе порядка $n$?
Задай вопрос
спросил
Изменено 1 год, 11 месяцев назад
Просмотрено 135 раз
$\begingroup$
Рассмотрим вещественные числа $a_i,b_i\in\mathbb{R}$ и следующий определитель
$$ \alpha_n= \begin{vmatrix} a_1 + b_1 & b_1 & b_1 & b_1&\cdots & b_1 \\
b_2 & a_2 + b_2 & b_2 & b_2 & \cdots & b_2 \\
b_3 & b_3 & a_3 + b_3 & b_3 & \cdots & b_3 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
b_n & b_n & b_n & b_n & \cdots & a_n + b_n\end{vmatrix} $$
Моя попытка состояла в том, чтобы заменить столбец 1 столбцом 1 — столбцом 2 $(C_1 \to C_1 — C_2)$.
Затем проделайте то же самое с остальными столбцами: $C_2\to C_2 — C_3$,…, $C_n\to C_n — C_1$. После всех этих преобразований возникает этот определитель
$$ \alpha_n =\begin{vmatrix}
a_1 &0& 0 &0&\cdots & -a_1 \\
-a_2 &a_2 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & -a_3 & a_3 & 0 & \cdots &0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & a_n \end{vmatrix} $$
Так что кажется, что $\alpha_n$ зависит только от $a_i$. Однако вычисление случая $n=2$ дает
$$ \alpha_2 = \begin{vmatrix}
a_1 +b_1 &b_1 \\ b_2 & a_2 + b_2 \end{vmatrix} = a_1a_2 + a_1b_2 + a_2b_1. $$
- линейная алгебра
- алгебра-предварительное исчисление
- определитель
$\endgroup$
2
$\begingroup$
Поскольку ваша ошибка уже была выяснена в других ответах, здесь будет дан только намек на решение.
T)\det (A)=\left(1+\sum_i\frac {b_i }{a_i}\right)\prod_i a_i.
$$
$\endgroup$
1
$\begingroup$
Обратите внимание, что при выполнении операций со строками или столбцами над определителями необходимо сохранить хотя бы один столбец/строку, мы не можем изменить их все сразу.
В вашем случае нельзя делать $C_n \to C_n-C_1$.
$\endgroup$
1
Страница не найдена | CUHK Математика
- Главная
- Страница не найдена
×
Сообщение об ошибке
Запрашиваемая вами страница не существует. Для вашего удобства был выполнен поиск по запросу курс ИЛИ конструктор ИЛИ 2021 ИЛИ math2030f ИЛИ math2030ch9 ИЛИ pdf .Проф. Джун ЗУ
https://www.
math.cuhk.edu.hk/people/academic-staff/zou
… SIAM J. Нумер. Анальный. 60 (2022), 751-780. ( PDF файл) (с Ят Тин Чоу и Фукун Хан) Метод прямой выборки… преобразования Радона. SIAM J. Imaging Sci. 14 ( 2021 ), 1004-1038. (файл PDF ) (с Ят Тин Чоу и Фукун Хан) А …MATh3070A — Алгебраические структуры — 2016/17
https://www.math.cuhk.edu.hk/course/1617/math3070a
Курс Название: Алгебраические структуры Преподаватель: д-р Пинг Шун ЧАН Курс Год: 2016/17 Срок: 2 Объявление … Слайды презентации Неделя 1 [ pdf ] Неделя 2 [ pdf ] Неделя 3 [ pdf ] …MATh2030F — Линейная алгебра I — 2017/18
https://www.math.cuhk.edu.hk/course/1718/math2030f
Курс Название: Линейная алгебра I Преподаватель: Проф. Мартин Ман Чун LI Курс Год: 2017/18 Срок: 2 . ..SAYT1114 — Теория чисел и криптография — 2016/17
https://www.math.cuhk.edu.hk/course/1617/sayt1114
Курс Имя: Теория чисел и криптография Преподаватель: Доктор Пинг Шун ЧАН Курс Год: 2016/17 Срок: S Объявление … Слайды презентации Лекция 1 [ пдф ] Лекция 2 [ pdf ] (ОБНОВЛЕНО, пт, 4 августа, 17:41) …MATh2030F — Линейная алгебра I — 2019/20
https://www.math.cuhk.edu.hk/course/1920/math2030f
Курс Название: Линейная алгебра I Преподаватель: Проф. Вай Чи ШИУ Курс Год: 2019/20 Срок: 2 …MATh2030F — Линейная алгебра I — 2022/23
https://www.math.cuhk.edu.hk/course/2223/math2030f
Курс Название: Линейная алгебра I Преподаватель: Проф. Вай Чи ШИУ Курс Год: 2022/23 Срок: 2 …MATh2030F — Линейная алгебра I — 2015/16
https://www.
math.cuhk.edu.hk/people/academic-staff/zou 
..