Числовые последовательности и их свойства. Предел числовой последовательности 10 класс онлайн-подготовка на Ростелеком
Определение функции f(n)
Пусть – числовое множество.
Числовая функция – закон, который каждому элементу из сопоставляет единственное число.
Множество называется областью определения функции .
Числовая последовательность – это числовая функция, у которой область определения есть множество всех натуральных чисел.
Числовая последовательность может быть задана разными способами:
- Аналитический
- Словесный
- Рекуррентный
Аналитический способ задания числовой последовательности
Необходимо указать формулу, по которой можно вычислить любой член последовательности.
Имеем формулу , где
Пример:
График последовательности – это множество всех пар , где пробегает все натуральные значения.
Нарисуем график функции (рисунок 1).
Эта ветвь – гипербола, и на этой ветви лежат все точки графика нашей последовательности, если , то и .
Первая точка вторая точка и т. д.
Рис. 1. График функции
Функция , следовательно, .
Роль нуля в заданной числовой последовательности
Рассмотрим множество значений данной последовательности:
Нарисуем ось , отметим 1 и 0 на оси , а также значения данной последовательности (рис. 2).
Рис. 2.Ось У, на которой нанесены точки числовой последовательности
Множество значений расположено на интервале от 0 (не включая) до 1 (включая). Данная последовательность меняется в этих пределах.
.
Последовательность ограничена сверху: .
Последовательность ограничена снизу: .
Верхняя граница – число 1 достижимо: .
Нижняя граница – число 0 не достижимо, но число 0 играет важную роль для данной последовательности, пока что мы видим, что члены последовательности «сгущаются».
Пример числовой последовательности
Нарисуем ось (рис. 3):
– получили окрестность точки 0 (рис. 3). В любой окрестности точки 0 содержится хотя бы 1 член данной последовательности. Начиная с этого члена, все остальные члены последовательности содержатся в –окрестности.
Рис. 3.Ось у. –окрестность точки 0
Пример:
;
Предел числовой последовательности
Какие точки последовательности находятся в –окрестности?
Это ; , замечаем, что все члены последовательности после 101 находятся в –окрестности точки 0, т. е. они как бы «сгущаются» в точке 0 (рис. 4).
Рис. 4. Ось У, на которой нанесены точки числовой последовательности
Любой, даже один, член попадает в – окрестность точки 0, а за ним весь остальной хвост последовательности попадает в эту окрестность.
Вот это число 0 называют пределом данной последовательности при . Запись такова: .
Можно взять любой , получается очень малая окрестность точки 0, но, начиная с некоторого номера, все члены последовательности находятся в этой –окрестности точки 0, т. е. мы знаем, что все члены последовательности, начиная с некоторого номера, приблизительно равны своему пределу, т. е. равны 0.
Как найти, с какого номера все члены последовательности помещаются в заданнойокрестности?
Допустим, задали маленькое число :
Тогда решим неравенство ; .
Пример:
Пусть , тогда
Все члены, начиная с этого номера, умещаются в данной окрестности точки 0.
Как бы близко мы ни встали около точки 0 вверх, всегда найдется член, который находится еще ближе, и все остальные члены будут ближе к точке 0 (рис. 5).
Рис. 5.Ось У, на которой нанесены точки числовой последовательности
Определение предела последовательности y
n
Число называют пределом последовательности , если в любой заранее выбранной окрестности точки содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого номера (рис.
6).
Рис. 6. Предел последовательности
, члены последовательности (выделены красным), в окрестность попадают все члены последовательности, начиная с некоторого номера , такой номер обязательно существует. При заданном весь хвост находится в окрестности точки и это для любого, сколь угодно малого .
Мы выяснили, что все члены последовательности, начиная с некоторого номера, примерно равны своему пределу.
Свойства предела
Существует ли предел у всякой последовательности?
Последовательность .
Если последовательность имеет предел, она сходится, все члены сходятся к этому пределу.
Если последовательность не имеет предела, то ее называют расходящейся.
Теорема Вейерштрасса, примеры применения теоремы
Теорема: если последовательность монотонна и ограничена, то она сходится.
Пример 1 применения теоремы Вейерштрасса (рис. 7).
Функция монотонна (она убывает), эта функция ограниченна (она расположена на интервале 0 не включая, 1 включая).
Значит, по теореме Вейерштрасса она сходится.
– сходится, т. е. имеет предел
Рис. 7. Первый пример применения теоремы Вейерштрасса
Второй пример применения теоремы Вейерштрасса (рис. 8).
;
Все точки лежат на гиперболе , эти точки неограниченно приближаются к прямой .
Рис. 8. Второй пример применения теоремы Вейерштрасса
Предел данной последовательности равен 1, это означает, что при больших значениях все члены последовательности, начиная с некоторого номера, примерно равны 1 или находятся в любой окрестности в точке 1.
Вывод
Мы познакомились с важным понятием числовой последовательности, изучили аналитический способ задания числовой последовательности, рассмотрели теорему Вейерштрасса, привели примеры.
Список литературы
- Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред.
А.Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2009. - Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А.Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2007.
- Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики). – М.: Просвещение, 1996.
- Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа. – М.: Просвещение, 1997.
- Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И. Сканави). – М.: Высшая школа, 1992.
- Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер. – К.: А.С.К., 1997.
- Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10–11 классов общеобразов. учреждений). – М.: Просвещение, 2003.
- Карп А. П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10–11 кл. с углубл. изуч. математики. – М.: Просвещение, 2006.
А.Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2009.
П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10–11 кл. с углубл. изуч. математики. – М.: Просвещение, 2006.
Домашнее задание
- Укажите номер члена последовательности , равного .
- Вычислите три последующих члена последовательности, если и.
- Задана последовательность. Ограничена ли она? .
- Начиная с какого номера все члены последовательности будут не меньше заданного числа : , ?
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
- Интернет-портал 5klass.net (Источник).
- Интернет-портал Mathematics-tests.com (Источник).
- Интернет-портал Myshared.ru (Источник).
- Интернет-портал Resolventa.ru (Источник).
Практическое занятие №3 предел функции
Цель: решения задач по нахождению пределов функции с неопределенностью вида: и.
Контрольные вопросы
1.
Сформулируйте
понятие числовой последовательности.
2. Какая числовая последовательность
называется ограниченной? 3. Какая точка
называется предельной для данной
числовой последовательности. 4.
Сформулируйте теорему Больцано-Вейерштрассе.
5. Сформулируйте понятие предела числовой
последовательности. 6. В чем заключается
геометрический смысл предела числовой
последовательности? 7. Сформулируйте
понятие функции. Способы задания функции.
8. Сформулируйте понятие предела функции.
9. Запишите основные свойства пределов.
10. Запишите первый и второй замечательные
пределы.
Примеры решения типовых задач
Пример 3.1.
Решение:
.
Пример 3.2. Вычислить предел: .
Решение:
Если вместо подставить 2, то получится неопределенность вида. Чтобы избавится от нее, преобразуем числитель и знаменатель.
Числитель:
Знаменатель:
,
Таким образом:
.
Пример 3.3. Вычислить предел: .
Решение:
Если вместо подставить, то получится неопределенность вида. Чтобы избавится от нее разделим числитель и знаменатель на:
Пример 3.4. Вычислить предел: .
Решение:
Если вместо подставить 0, то получится неопределенность вида.
Преобразуем данный предел:
.
Здесь использовали замену и первый замечательный предел.
Пример 3.5. Вычислить предел: .
Решение:
.
Здесь выполнили замену и второй замечательный предел.
Задачи для самостоятельного решения
3.1. .3.2. .3.3. .3.4. .3.5. .3.6. .
Цель:
решение задач по нахождению производной
от функции, а также исследовании функции
на точки максимумов и минимумов, интервалы
возрастания и убывания.
Контрольные вопросы
1. Сформулируйте понятие непрерывной функции в данной точке. 2. Сформулируйте понятие точки разрыва функции. 3. В чем принципиальное различие между точками разрыва первого и второго рода? 4. Сформулируйте понятие производной функции одной переменной. 5. Какая функция называется дифференцируемой в данной точке? 6. В чем состоит геометрический смысл производной? 7. Запишите правило дифференцирования суммы функций. 8. Запишите правило дифференцирования частного функций. 9. Запишите правило нахождения производной от произведения функций. 10. Сформулируйте правило дифференцирования сложных функций. 11. Сформулируйте понятие дифференциала функции одной переменной. 12. Сформулируйте понятие точек максимумов и минимумов функции. 13. Запишите необходимый и достаточный признаки существования точек экстремумов функции.
Примеры решения типовых задач
Пример 4.1. Найти производную функции:
Решение:
.
Пример 4.2. Найти производную функции: .
Решение:
Воспользуемся правилом дифференцирования произведения функций:
Пример 4.3. Найти производную функции: .
Решение:
Воспользуемся правилом дифференцирования частного .
.
Пример 4.4. Найти производную сложной функции: .
Решение:
Пример 4.5. Исследовать на максимум и минимум функцию: .
Решение:
Находим критические точки. Продифференцируем данную функцию:
.
Находим действительные корни производной:
; .
Производная всюду
непрерывна, значит, других критических
точек нет.
Исследуем первую критическую точку . Так как, то:
При имеем;
При имеем.
Значит, при переходе (слева направо) через значение производная меняет знак с плюса на минус. Следовательно, прифункция имеет максимум.
Исследуем вторую критическую точку :
При имеем;
При имеем.
Значит, при переходе (слева направо) через значение производная меняет знак с минуса на плюс. Следовательно, прифункция имеет минимум.
.
Пример 4.6. Найти прямоугольный треугольник наибольшей площади, имеющий гипотенузу, равную 10 см.
Решение:
Площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле:
, где идлины катетов. Согласно теореме Пифагора:
,
где
– длина гипотенузы.
Таким образом, подставив данное выражение в формулу для нахождения площади, получим функцию одной переменной:
.
Нам необходимо найти прямоугольный треугольник наибольшей площади, т.е. по сути, нам необходимо исследовать на экстремумы функцию и найти при каком значенииона максимальна.
Находим производную от функции :
Находим критические точки: ,, Используя достаточный признак существования экстремума функции, можно определить, что точкой максимума будет. Тогда длина второго катета будет равна:. Таким образом, максимальная площадь будет равна:
см2.
Задачи для самостоятельного решения
4.1. Найти производные функций:
а) ; б) ;
в) ;г) .
4.
2. Найти производную сложной функции:
а) ; б) ;
в) ;г) .
4.3. Найти экстремумы функции:
а) ;б) .
4.4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
4.5. В тюрьме города Ленинск собрались строить железную камеру для содержания особо опасных преступников. Какое наименьшее количество железа нужно для этой цели, если по санитарным нормам высота камеры должна быть не менее 2,5 м, а ее площадь – не менее 6 м2?
Нахождение предела сходящейся последовательности — Криста Кинг Математика
Что такое сходящаяся последовательность?
Помните, что последовательность сходится, если ее предел существует как ???n\to\infty???.
Таким образом, если мы знаем, что последовательность сходится, то имеет смысл вычислить предел как ???n\to\infty??? и получить реальный ответ.
Привет! Я Криста.
Я создаю онлайн-курсы, чтобы помочь вам в учебе по математике. Читать далее.
То, как мы упрощаем и вычисляем предел, будет зависеть от того, какие функции есть в нашей последовательности (тригонометрические, экспоненциальные и т. д.), но мы знаем, что предел как ???n\to\infty??? существуют.
Как найти предел сходящейся последовательности
93-5\справа)}??? равно ???\ln{\frac43}???.
Получить доступ к полному курсу Calculus 2
Начать
Изучение математикиКриста Кинг математика, изучение онлайн, онлайн-курс, онлайн-математика, исчисление II, исчисление 2, исчисление II, вычисление 2, последовательности и ряды, ряды, последовательности, бесконечные ряды, сходящаяся последовательность, предел сходящаяся последовательность, предел последовательности
0 лайков 9Функция ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ 0000 — служба поддержки Майкрософт Excel для Microsoft 365 Excel для Microsoft 365 для Mac Excel для Интернета Excel 2021 Excel 2021 для Mac Excel для iPad Excel для iPhone Excel для планшетов с Android Excel для телефонов с Android Дополнительно.
..Меньше
Функция ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ позволяет создать список последовательных чисел в массиве, например 1, 2, 3, 4.
В следующем примере мы создали массив из 4 строк в высоту и 5 столбцов в ширину с =ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ(4,5) .
=ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ(строки,[столбцы],[начало],[шаг])
Аргумент | Описание |
|---|---|
строк Обязательно | Количество возвращаемых строк |
[столбцов] Дополнительно | Количество возвращаемых столбцов |
[начало] Дополнительно | Первое число в последовательности |
[шаг] Дополнительно | Сумма для увеличения каждого последующего значения в массиве |
Примечания:
Массив можно рассматривать как строку значений, столбец значений или комбинацию строк и столбцов значений. В приведенном выше примере массив для нашей формулы ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ — это диапазон C1:G4.
Функция ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ вернет массив, который будет разлит, если это окончательный результат формулы. Это означает, что Excel будет динамически создавать диапазон массивов соответствующего размера, когда вы нажимаете 9.0085 ВВЕДИТЕ . Если ваши вспомогательные данные находятся в таблице Excel, размер массива будет автоматически изменяться при добавлении или удалении данных из диапазона массива, если вы используете структурированные ссылки.
Дополнительные сведения см. в этой статье о поведении перенесенного массива.Excel имеет ограниченную поддержку динамических массивов между книгами, и этот сценарий поддерживается, только если открыты обе книги . Если вы закроете исходную книгу, все связанные формулы динамического массива вернут ошибку #ССЫЛКА! ошибка при обновлении.
org/ListItem»>Любые отсутствующие необязательные аргументы по умолчанию будут равны 1. Если вы опустите аргумент строк, вы должны указать хотя бы один другой аргумент.
Дополнительные сведения см. в этой статье о поведении перенесенного массива.Пример
Если вам нужно создать быстрый образец набора данных, вот пример использования ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ с ТЕКСТ, ДАТА, ГОД и СЕГОДНЯ для создания динамического списка месяцев для строки заголовка, где базовой датой всегда будет текущий год. Наша формула: =ТЕКСТ(ДАТА(ГОД(СЕГОДНЯ()),ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ(1,6),1),»ммм») .
Вот пример вложения SEQUENCE с INT и RAND для создания массива из 5 строк на 6 столбцов со случайным набором возрастающих целых чисел.