Порядок выполнения сложения и вычитания
4.8
Средняя оценка: 4.8
Всего получено оценок: 126.
4.8
Средняя оценка: 4.8
Всего получено оценок: 126.
Сложение и вычитание – это базовые действия даже не математики, а ее основы: арифметики. Без этих действий не получится правильно понять куда более сложные операции, такие как умножение, деление или возведение в степень. Но в некоторых ситуациях ученики допускают ошибки из-за неправильного порядка действий сложения и вычитания, чтобы не допускать досадных ошибок разберемся подробнее в теме.
Сложение и вычитание
Складывать и вычитать можно любые числа: действительные, целые, натуральные и прочие. Из общего списка выделяются только иррациональные числа.
Иррациональные числа нельзя складывать и вычитать в общем смысле этого слова. Ведь иррациональным числом является любое число со знаком радикала, то есть корня. Для того, чтобы слагать или вычитать корни, под знаком радикала должны находится одинаковые числа.
Сложение
Как представить себе сложение? Проще всего представить каждое число в виде единиц или каких-нибудь вещей. В начальной школе дети складывают фрукты, потому что их проще всего себе представить. В математике средней школы сложение представляют как движение числа по числовой прямой вправо, то есть по направлению движения.
Направлением движения числовой прямой называют направление вдоль прямой, по которому происходит увеличение числа. Например, число 15 дальше числа 3 по направлению движения числовой прямой
При понимании сути операции сложение не вызывает затруднений. Но они возникают при сложении положительного числа с отрицательным, поэтому запишем общий алгоритм для сложения любых чисел, кроме иррациональных.
- Первый шаг это определение категорий чисел. Нужно понять, что за числа перед нами: два отрицательных, или одно отрицательное и одно положительное? Для каждого из случаев есть свой порядок выполнения действий.
- Если перед вами два положительных числа, то нужно просто сложить их без особых действий. Если вы складываете большие числа или не уверены в правильности ответа, то нужно выполнить проверку. Для этого из результата вычитают первое слагаемое. При правильном решении, результат проверки будет равен второму слагаемому. Если перед вами не две положительных числа, то нужно переходить к следующему пункту без выполнения сложения.
- Если складывается положительное и отрицательное число, то сложение нужно заменить разностью. То есть из положительного вычесть число, по модулю равное отрицательному. Будьте внимательны, результатом может быть. Как положительное число, так и ноль или отрицательное число. Если перед нами два отрицательных числа сразу же переходим к следующему пункту без выполнения каких-либо действий.
- Если складываются два отрицательных числа, то числа преобразуются в положительные. После выполняется сложение, а потом числу возвращается знак минус. Для того, чтобы пример был правильным в записи знак минус просто выносят за скобки.
Вот и весь алгоритм.
Вычитание
После того, как ученик разобрался с операцией сложения, вычитание не представит особых проблем. Порядок выполнения действий вычитания и деления чем-то похож. Первым делом нужно сравнить числа между собой.
- Если уменьшаемое меньше вычитаемого, то результатом будет отрицательное число.
- Если уменьшаемое больше вычитаемого, то результат будет положительным.
- Если уменьшаемое равняется вычитаемому, то результатом будет число ноль. При вычитании нуля из числа, получится то же число. А при вычитании из нуля всегда получается число одинаковое по модулю с вычитаемым и противоположное по знаку.
Приведем небольшой пример последнего пункта:
0-15=-15
При этом из отрицательного числа может вычитаться отрицательное, но в этом и любых похожих случаях нужно воспользоваться правилом знаков и преобразовать выражение в привычный вид:
-25-(-16)=-25+16=16-25=-9 – это несложно, нужно только разобраться в процессе
Что мы узнали?
Мы повторили, что такое сложение и вычитание.
Привели алгоритм действий при сложении и обговорили все варианты вычитания. Решили, что в некоторых ситуациях, нужно преобразовывать выражения в привычный вид, а не стараться решить пример в изначальном состоянии.
Тест по теме
Доска почёта
Анастасия Ким
8/10
Ирина Макки
9/10
Нелла Нусратова
7/10
Дария Петроченко
7/10
Оценка статьи
4.8
Средняя оценка: 4.8
Всего получено оценок: 126.
А какая ваша оценка?
Сложение и вычитание натуральных чисел
- Сложение натуральных чисел и его свойства
- Вычитание натуральных чисел и его свойства
- Числовые и буквенные выражения
- Буквенная запись свойств сложения и вычитания
- Уравнения
Все мы умеем считать.
Вы ведь знаете, что при счёте предметов мы используем натуральные числа (1, 2, 3 и так далее)? С этими числами можно совершать множество математических действий, суммировать, вычитать умножать, выбирать большее и т.
д.
Сегодня мы подробно расскажем об операциях сложения и вычитания натуральных чисел и посмотрим, как можно проиллюстрировать эти действия на координатном луче.
Сложение натуральных чисел и его свойства
Для начала предлагаю вспомнить, что такое ряд натуральных чисел.
Натуральный ряд — это неограниченная последовательность натуральных чисел, расположенных в порядке их возрастания. Значит в натуральном ряду каждое последующее число больше предыдущего на единицу.
Как определить неизвестное число из натурального ряда?
Нужно прибавить к предыдущему числу единицу. Какое число следует за тройкой? Прибавляем единицу и получаем 4. То есть в натуральном ряду за тройкой следует четвёрка.
Как использовать это свойство натурального ряда при сложении?
Давайте сложим 2 и 3. Три — это три единицы, значит, к двойке прибавляем по одной по порядку:
2+1=3
3+1=4
4+1=5
В конечном результате действия с числами 2 и 3 появилось число 5.
Вроде бы просто да? Но такой способ сложения лёгкий лишь когда, мы работаем с маленькими числами. С большими числами не по единичке же добавлять? Правильно?
Представим ситуацию, при которой в корзине лежит 20 яблок, добавляем к ним и ещё 15. Как определить, сколько всего яблок оказалось в корзине? Чтобы освободиться от необходимости перебирать объекты по одному, давайте определим операцию сложения.
Определение:
Сложение — это арифметическая операция, после проведения которого наши вещи, подвергаемые счету, соединяются воедино. В данном случае единое целое — это общее количество яблок в корзине. Общее количество в переводе на латиницу – это сумма. Слышали это слово?
Сумма — это результат операции сложения.
Для записи операции сложения используется знак «+». Он располагается между складываемыми числами.
Числа, которые мы складываем, называют слагаемыми. Для отображения результата сложения используют знак «=».
Давайте посчитаем, сколько же яблок оказалось в той самой корзине:
20 (яблок) + 15 (яблок) = 35 (яблок) в корзине
Теперь попробуем представить сложение небольших натуральных чисел на координатном луче.
Мы уже складывали числа 2 и 3. Возьмём теперь числа 2 и 4 и найдём их сумму с помощью координатного луча с началом отсчета в точке 0.
Его единичный отрезок (одно деление) равен единице. Мы помним, что любому числу координатного луча соответствует одна единственная точка. Учитывая это знание, выполним сложение натуральных чисел 2 и 4 на координатном луче.
Отмечаем число 2 там, где два деления, далее прибавляем 4, то есть двигаемся право на 4 единичных отрезка, где мы окажемся в точке, равной 6. Следовательно, суммы чисел 2 и 4 равна 6. Это мы и так уже знали, но теперь увидели это и на координатном луче.
Переходим к следующему разделу и рассмотрим свойства сложения натуральных чисел.
Переместительное свойство
У нас есть корзина, и в ней лежат 8 бананов.
Затем мы кладем туда ещё 5 бананов. Таким образом, в ней оказывается 13 бананов.
А мы выберем немного другой порядок. Представим, что сначала в корзине было 5 бананов, и мы туда положили ещё 8 бананов. В итоге фруктов в корзине будет 13. Почему? Потому что и в первом и во втором случае общее количество фруктов, которые положили в корзину одинаковое. Без разницы, в каком порядке выполнялись эти действия 8 + 5 или 5 + 8. В обоих случаях в сумме получается 13. Переместительное свойство сложения обязательно нужно запомнить.
Определение:
От перестановки слагаемых сумма не меняется.
Сочетательное свойство
Второе сложения натуральных чисел – сочетательное свойство. Мы можем положить в корзину 3 банана и 4 яблока, а потом доложить еще 5 мандаринов. Или наоборот, мы можем положить 4 яблока и 5 мандаринов, а потом доложить еще 3 банана. Порядок добавления фруктов не имеет значения, потому неважно, в каком сочетании суммировались эти числа. В обоих случаях итог был бы одинаковым – 12 фруктов в корзине.
Говоря математически, результат сложения числа 5 с суммой чисел 3 и 4 равен результату сложения числа 3 и суммы чисел 4 и 5.
Определение:
«Чтобы прибавить к числу сумму двух чисел, можно сначала прибавить к нему первое слагаемое, а потом к полученной сумме второе».
Отметим, что последовательность действий при суммировании значение не имеет.
Сложение с числом 0
Еще одно свойство сложения – это свойство сложения 0 с натуральным числом.
При сложении 0 с каким-либо числом всегда получается это самое число. Или наоборот, если к числу прибавлять 0, то есть ничего не прибавлять, то получится исходное число.
Определение:
«Сумма двух слагаемых, если одно из слагаемых равно нулю, будет всегда равна другому слагаемому».
Вычитание натуральных чисел и его свойства
Математический прием, при помощи которого, зная сумму слагаемых и один из этих слагаемых, можно определить неизвестное слагаемое, называется вычитанием.
Ранее мы складывали два числа 2 и 3 и получали 5.
А теперь предположим, что мы не знаем второе число 3, а знаем только результат 5 и начальное число 2.
Давайте произведем математическую операцию вычитания.
5 – 2 = 3
Как видите, результатом вычитания является недостающее слагаемое. Оно называется разность.
В нашем случае число 5 тогда будет называть уменьшаемым, а число 2 будет называть вычитаемым.
Похожим образом, как и со сложением, можно вычитать числа на координатном луче, только двигаться нужно не вправо, а влево на число отрезков, равное вычитаемому.
Теперь рассмотрим свойства вычитания, которые иногда помогают значительно ускорить процесс расчетов.
Разность одинаковых чисел
Если из числа вычесть это же самое число, то в результате получится нуль.
Вычитание нуля из натурального числа
Если из числа вычесть нуль, то число не изменится
Вычитание суммы из натурального числа
Чтобы вычесть сумму из числа, можно от него отнять одно из слагаемых, а затем из результата вычесть второе слагаемое.
Вычитание натурального числа из суммы
Если же мы хотим вычесть число из суммы двух чисел, мы можем сначала вычесть это натуральное число из одного из слагаемых, а потом прибавить к результату второе слагаемое.
Чуть позже мы разберемся, как эти правила записать в более понятном виде. Немного терпения 😉
Числовые и буквенные выражения
Как вы уже, наверное, заметили, математические операции сложения и вычитания мы записывали в какой-то новой для нас форме, со знаками «-«, «+» и «=».
Такой способ записи математической информации на бумаге, в компьютере или где-нибудь еще можно назвать математическим языком.
А определенную последовательность символов этого математического языка, которая несет в себе некий смысл, мы будет называть математическим выражением.
Существуют числовые и буквенные выражения. Ниже приведем пример таких выражений.
Под цифрами 1, 2 и 4 записаны числовые выражения.
Числовые выражения — это математические выражения, состоящие из чисел, знаков арифметических действий и скобок.
Под цифрами 2, 5 и 6 записаны буквенные выражения.
Буквенное выражение составлено также из знаков арифметических действий и скобок. Но в отличие от числовых выражений, здесь есть ещё и буквы. Буквами в буквенных выражениях обозначаются некоторые числа, которые пока нам не известны.
Следует учесть то, что две одинаковые буквы подразумевают под собой одно и то же число.
Если, например, известно какое число скрывается за каждой буквой в буквенном выражении, то такое выражение можно перевести в числовое.
Посмотрите на буквенное выражение:
a + b = 9
Если a = 5, а b = 4, то это буквенное выражение можно представить в виде числового
5 + 4 = 9
Буквенная запись свойств сложения и вычитания
Вспомним свойства сложения и вычитания, которые мы изучили в начале.
Теперь мы можем представить их в виде буквенных выражений.
a + b = b + a
(a + b) + c = a + (b + c)
a + 0 = a
0 + a = a
a — 0 = a
a — (b + c) = (a — b) — c
(a + b) — c = (a — c) + b
Уравнения
Давайте рассмотрим такую задачу.
В корзине лежало несколько ягод. После того, как в неё добавили еще 4, их стало 30. Вопрос, сколько яблок было в корзине?
Обозначим неизвестное число ягод, лежащих корзине, латинской буквой X.
После того, как неё добавили 4 ягоды в ней стало 30.
Мы можем записать равенство в следующем виде:
Х + 4 = 30
Это запись условия задачи называется уравнением.
Теперь наша задача сводится к следующему. Требуется найти, каким числом нужно заменить Х, чтобы значение буквенного выражения стало равно 30.
В таких случаях говорят, что надо решить уравнение.
Внимательно посмотрим на уравнение, которое находится перед нами. Нам неизвестно слагаемое. Воспользуйся правилом нахождения неизвестного слагаемого.
Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое.
Найдём значение X. Оно равно 26.
Давайте проверим. В наше начальное уравнение вместо X подставим число 26 и найдём значение левой части. Действительно, 30 равно 30.
Тогда говорят, что число 26 является корнем уравнения. Корнем уравнения называется число, которое при подстановке вместо буквы, обращать уравнение в верное числовое равенство.
Корень уравнения называют также решением уравнения. А решить уравнение значит найти все его корни или убедиться что их вообще нет (такое тоже может быть).
Например, уравнение X — X = 1 не имеет корней, потому что при любом числовом значении Х данное буквенное выражение не будет обращаться в верное числовое равенство.
В данной задаче мы находили неизвестное слагаемое. Но есть еще два правила, которые тоже обязательно нужно знать: правило нахождения неизвестного уменьшаемого и правило нахождения неизвестного вычитаемого.
Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к вычитаемому прибавить разность.
Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.
В буквенном виде эти правила записываются следующим образом:
X — a = b => X = a + b
a — X = b => X = a — b
Здесь X — это неизвестное число, а a и b некоторые числа.
Вычитание сложением (метод дополнений)
(также называется методом дополнений)
Здесь мы видим, как выполнять вычитание с помощью сложения!
(Я не рекомендую это для обычной работы с вычитанием, но это все еще допустимый и интересный способ вычитания.
И в некоторых случаях он может сэкономить время.)
Шаги
Выполните следующие шаги:
- возьмите « дополнение » числа, которое мы вычитаем из (посмотрим как скоро)
- прибавьте к числу, которое мы вычитаем из
- отбросить лишнюю «1» слева
Дополнение
«Дополнение» — это число , к которому нужно добавить , чтобы получить 10 (или 100, 1000 и т. д., в зависимости от того, сколько у нас цифр) 7=10 (мы добавляем 7 , чтобы получить 10)
Пример: дополнение 85 равно 15 , потому что 85+15=100
Пример: дополнение числа 111 равно 889 , потому что 111+889=1000
Вычисление дополнения
Дополнение легко найти!
Основная идея состоит в том, чтобы найти разность между каждой цифрой и 9 . Это приведет нас к «999…», так что нам нужно только добавить 1, чтобы получить «1000…»
На практике легко следовать этому методу:
- Начните с «единиц» позиция
- Пропустить любые нули
- Тогда:
| Для первой цифры , отличной от нуля: | найти, что делает его 10 | |
| Для все остальные цифры : | найти, что делает его 9 |
Вот два примера:
(Вы можете проверить, работает ли это, добавив число и его дополнение, 9Например, 0102 372+628=1000 )
С небольшим опытом «что прибавляется к 10» или «что прибавляется к 9» становится автоматическим, и получение дополнения становится быстрым и легким.
Вот еще один пример, где мы должны пропустить некоторые нули:
Пример: Каково дополнение 1700 ?
- Пропустить два нуля
- Дополнение «10» к 7 равно 3 ,
- Дополнение «9» к 1 равно 8 ,
Итак, ответ:
8300
(Проверьте: 1700+8300 = 10000
)Теперь добавьте их!
Теперь добавьте два числа (используя сложение столбцов), но не забудьте отбросить лишнюю «1» слева.
Вот 3 шага ( дополнить , добавить , отбросить ):
И мы нашли, что 653 − 372 = 281 (проверьте, если хотите!)
Что, если число, которое мы вычитаем имеет меньше цифр?
Как мы можем, например, сделать 4567 − 56 ?
После взятия дополнения мы просто заполняем все недостающие места девятками.
Пример: 4567 − 56
Что ж, дополнение 56 равно 44 , но нам нужно «дополнить его» до 4 цифр, чтобы получилось 9944. Теперь мы складываем их:
4567
+9944
2
2 14511
Затем отбросьте лишнюю «1» слева, и ответ будет таким:
4511
В этом случае было бы проще использовать быстрое вычитание, но оно показывает, как это « дополнить , добавить , отбросить «метод работает.
Теперь вы можете попрактиковаться с этими таблицами вычитания.
Кто-то сказал мне это пару месяцев назад, и с тех пор я не могу перестать думать об этом.
Это правда. Организации гораздо лучше умеют что-то добавлять, чем убирать. лучше ставить цели и говорить о том, что мы собираемся делать, чем говорить о том, чего мы НЕ собираемся делать. Легче добавить процесс, чем спрашивать, почему мы все еще делаем то, что отлично работало два года назад, но в основном уже не актуально. Мы лучше добавляем встречи, чем удаляем их.
В первые годы существования Facebook Шерил Сандберг всегда заставляла нас ставить «нецели» в дополнение к целям. У компании был список вещей, которые мы не собирались делать в дополнение к вещам, которые мы пытались сделать. Даже если иногда это казалось небрежным, мне нравился этот ритуал. Когда я работаю со стартапами, я подталкиваю этот разговор во время постановки целей: давайте не просто составим список того, что мы собираемся сделать, а давайте также составим список того, что мы явно НЕ собираемся делать в этом квартале/этой половине/ этот год.
Постановка нецелей — это ритуал, помогающий сосредоточиться. Это должно сделать приоритеты более четкими. Это отличный способ решить НЕ начинать.
Но это не вычитание.
Вычитание — это решение перестать что-то делать — убрать что-то.
Вычитание обычно довольно болезненно для организаций. Инерция мощная. Страшно разрушать вещи, которые находятся в движении. Мы боимся обидеть людей. Мы беспокоимся, что процесс, который кажется бесполезным, на самом деле полезен.
Приведу пример, который встречался в моей работе 100 раз.
«У нас эта встреча. В нем 30 человек. Это началось, потому что нам нужно было координировать работу между отделами. А потом мы просто продолжали добавлять людей. И теперь это похоже на странные стендапы 30 человек каждую неделю. Я не уверен, что нам это больше нужно, но я нервничаю, потому что могу сказать — что, если мы перестанем это делать?»
Это всего лишь история одной встречи, но какая-то ее версия сейчас происходит внутри каждой компании.
Мой ответ: уберите собрание на месяц и посмотрите, что сломается. Есть вероятность, что ничего не будет.
Если удаление кажется вам пугающим, отправьте его по электронной почте. Или, по крайней мере, дайте ему четкого владельца, который должен сделать его полезным.
Встречи — это симптом более серьезной проблемы, но время — одна из самых важных вещей, за которой нужно следить как ястреб. Каждый, кто когда-либо работал в крупной компании, подсчитывал «зарплату» для больших совещаний — это одночасовое совещание стоит нам более 100 000 долларов, оно того стоит?
Я активно учу генеральных директоров тому, что то, как они проводят свое время, должно отражать приоритеты и акценты, которые они хотят сделать внутри компании. Лучшие руководители, которых я знаю, религиозны в отношении того, как они проводят свое время. В некотором смысле то же самое должно быть верно для каждого из нас — мы должны ревниво защищать свое время, и если что-то кажется пустой тратой времени, мы должны требовать, чтобы оно было лучше или ушло.
Итак, если вам интересно, что вычесть, начните с календаря. Какие дела занимают больше всего времени в вашей компании? Вот стартовый список:
Обзоры производительности: хорошо, но как сделать их быстрее? Как бы это выглядело, если бы они выполнялись вдвое быстрее?
Постановка цели: те же вопросы, что и выше
Бюджет / процесс подсчета персонала: см. выше
Все руки: для чего они? Выполняют ли они свое предназначение? Как мы можем использовать это время лучше? Должны ли они быть реже?
Бизнес-обзоры: насколько они эффективны и действенны? Там нужные люди?
Это всего лишь несколько примеров, но в любой компании с более чем 100 сотрудниками они, вероятно, верны.
У меня есть пять инструментов и идей о том, как компании могут улучшить свои навыки вычитания:
1) Возьмите за правило в качестве руководства спрашивать: действительно ли нам нужно это делать? Что бы сломалось, если бы мы этого не сделали? Вы можете сделать это с помощью упражнения «начать/остановить/продолжить», но самое главное – выполнять упражнение И выполнять его до конца.
На самом деле выберите 3 вещи, которые кажутся значимыми, чтобы перестать делать. Создайте культуру, которая0248 вознаграждает людей, которые удаляют вещи, или даже просто людей, которые задают вопрос. Всегда должен быть четкий и ясный ответ на вопрос, почему что-то существует и почему мы делаем это так, как делаем. Спросите почему несколько раз, и если/когда вы дойдете до ответа «потому что мы так делаем», тогда вы поймете, что пришло время вычесть.
2) Даже в качестве мыслительного упражнения спросите, как вы можете сделать что-то вдвое быстрее . Я никогда не забуду человека из ИТ-отдела Facebook (когда там было более 10 000 сотрудников), который сказал мне, что они измеряли производительность внутри компании и что она очень четко остановилась во время сезона рецензирования. Я знаю несколько компаний, которые спрашивали, как сделать обзоры производительности менее отстойными, и заканчивали тем, что блокировали весь календарь компании на один день, чтобы написать экспертные обзоры, вместо того, чтобы растянуть их на 2 недели.
У каждого процесса есть свои плюсы и минусы, но даже если вы зададите все вопросы и в конечном итоге перепроектируете одно и то же, вы, по крайней мере, будете полностью уверены в том, почему вы делаете это именно так.
3) Календарь банкротства: в конце года каждый год стирать календари . Это не я придумал, но это отличная практика для того, чтобы заставить людей оценивать каждую встречу и действительно ли она нужна. Да, советникам это больно (извините!), но с вычитанием приходит боль, потому что вы боретесь с инерцией. Легко оставить встречу в календаре, потому что комната забронирована и т.д. и т.п., а убрать ее мучительно, но заставляет задуматься: а нужна ли нам эта встреча? Если да, то кто ДЕЙСТВИТЕЛЬНО должен быть там? Это действительно должно быть 60 минут?
4) Переоценивать и реорганизовывать все основные процессы/совещания каждые 3-6 месяцев. Я понимаю, что это кажется слишком частым, но, учитывая, сколько коллективного времени занимают такие вещи, как бизнес-обзоры, вы должны думать об этих процессах как о повторяющихся, а не фиксированных.
Попробуйте новую повестку дня, сделайте ее короче, сделайте ее асинхронной, удалите ее и посмотрите, что сломается и т. д. Позвольте мне повторить еще раз: ВСЕ основные процессы внутри стартапов должны быть итеративными. Ваш бизнес развивается, ваше понимание развивается, ваши приоритеты меняются… ваши встречи и процессы должны развиваться вместе с этим!
5) Последний вариант выглядит дурацким и имеет смысл только для крупных компаний, но… поручить кому-нибудь вычитание . Команды инженеров часто так делают (см. Инициатива по повышению эффективности), но что, если бы это произошло для всей компании? Кто-то рассказал мне историю о человеке, перед которым стояла задача сократить нагрузку на сотрудников, и в итоге он разработал такие вещи, как автоматическое одобрение заявок на отпуск менее чем за 7 дней. Представляете, сколько есть таких мелочей, которые съедают время и умственную энергию? Представьте, сколько важных вещей остаются нерассмотренными, потому что люди слишком боятся задавать вопросы.