X в квадрате плюс y в квадрате: Решите уравнение x^2+y^2=9 (х в квадрате плюс у в квадрате равно 9)

2

Как найти X и Y в квадрате? – Обзоры Вики

Из этого следует, что такое x2 Plus x2? Ответ: х в квадрате плюс х в квадрате 2x².

Как заполнить квадрат буквой Y?

Что означает х2? x в квадрате — это обозначение, которое используется для представления выражения x×xx×x. 2 ……. (Как?) Следовательно, таким образом мы получаем тождество, т.е. b в квадрате плюс a в квадрате.

Чему равно А плюс В?

Также Что такое квадрат XB в квадрате? Теорема утверждает, что квадрат длины гипотенузы равен длине стороны a в квадрате плюс длина стороны b в квадрате. Написано в виде уравнения, c² = a² + b².

Как завершить формулу квадрата?

Завершение метода квадрата включает в себя следующие шаги:

1. Шаг 1) Разделите все члены на коэффициент .
2. Шаг 2) Найдите.
3. Шаг 3) Найдите.
4. Шаг 4) Добавьте к обеим частям уравнения.
5. Шаг 5) Заполните квадрат в левой части уравнения. …
6. Шаг 7) Возьмите квадратный корень из обеих сторон и найдите переменную.

Похожие сообщения : Когда я должен использовать регрессионный анализ? и Как выполнить регрессионный анализ с помощью Excel

Оценка согласия в регрессионной модели

Остатки — это расстояние между наблюдаемым значением и подобранным значением.

Линейная регрессия определяет уравнение, которое дает наименьшую разницу между всеми наблюдаемыми значениями и их подобранными значениями. Чтобы быть точным, линейная регрессия находит наименьшую сумму квадратов остатков, возможную для набора данных.

Статистики говорят, что регрессионная модель хорошо соответствует данным, если различия между наблюдениями и прогнозируемыми значениями малы и объективны. Беспристрастность в этом контексте означает, что подобранные значения не являются систематически слишком высокими или слишком низкими где-либо в пространстве наблюдения.

Однако перед оценкой числовых показателей согласия, таких как R-квадрат, следует оценить остаточные графики. Графики остатков могут выявить предвзятую модель гораздо эффективнее, чем числовой вывод, поскольку отображают проблемные закономерности в остатках. Если ваша модель предвзята, вы не можете доверять результатам. Если ваши остаточные графики выглядят хорошо, продолжайте и оцените свой R-квадрат и другие статистические данные.

Прочитайте мой пост о проверке остаточных участков.

R-квадрат и критерий согласия

R-квадрат оценивает разброс точек данных вокруг подобранной линии регрессии. Его также называют коэффициентом детерминации или коэффициентом множественной детерминации для множественной регрессии. Для одного и того же набора данных более высокие значения R-квадрата представляют меньшие различия между наблюдаемыми данными и подобранными значениями.

R-квадрат — это процентная доля вариации зависимой переменной, которую объясняет линейная модель.

R-квадрат всегда находится в диапазоне от 0 до 100 %:

• 0 % представляет собой модель, которая не объясняет каких-либо отклонений переменной отклика от ее среднего значения. Среднее значение зависимой переменной предсказывает зависимую переменную, а также модель регрессии.
• 100% представляет собой модель, которая объясняет все колебания переменной отклика вокруг ее среднего значения.

Обычно, чем больше R ² , тем лучше регрессионная модель соответствует вашим наблюдениям. Однако у этого руководства есть важные оговорки, которые я буду обсуждать в этом и следующем постах.

Связанный пост : Что такое независимые и зависимые переменные?

Визуальное представление R-квадрата

Чтобы наглядно продемонстрировать, как значения R-квадрата представляют разброс вокруг линии регрессии, вы можете отобразить подобранные значения по наблюдаемым значениям.

R-квадрат для регрессионной модели слева равен 15%, а для модели справа — 85%. Когда модель регрессии учитывает большую часть дисперсии, точки данных находятся ближе к линии регрессии. На практике вы никогда не увидите регрессионную модель с R 9.0914 2 100%. В этом случае подобранные значения равны значениям данных и, следовательно, все наблюдения попадают точно на линию регрессии.

R-квадрат имеет ограничения

Вы не можете использовать R-квадрат, чтобы определить, являются ли оценки коэффициентов и прогнозы смещенными, поэтому вы должны оценивать остаточные графики.

R-квадрат не показывает, обеспечивает ли регрессионная модель адекватное соответствие вашим данным. Хорошая модель может иметь низкую стоимость R ² . С другой стороны, предвзятая модель может иметь высокий R ² значение!

Всегда ли низкие значения R-квадрата являются проблемой?

Нет! Регрессионные модели с низкими значениями R-квадрата могут быть очень хорошими моделями по нескольким причинам.

Некоторым областям исследования присуще большее количество необъяснимых вариаций. В этих областях ваши значения R ² обязательно будут ниже. Например, исследования, которые пытаются объяснить человеческое поведение, обычно имеют значения R ² менее 50%. Просто людей труднее предсказать, чем такие вещи, как физические процессы.

К счастью, если у вас низкое значение R-квадрата, но независимые переменные статистически значимы, вы все равно можете сделать важные выводы о взаимосвязях между переменными. Статистически значимые коэффициенты продолжают представлять среднее изменение зависимой переменной при сдвиге независимой переменной на одну единицу. Очевидно, что иметь возможность делать такие выводы жизненно важно.

Связанный пост : Как интерпретировать регрессионные модели со значимыми переменными, но с низким R-квадратом

Существует сценарий, при котором малые значения R-квадрата могут вызвать проблемы. Если вам нужно генерировать прогнозы, которые являются относительно точными (узкие интервалы прогнозирования), низкое значение R ² может оказаться решающим фактором.

Насколько высоким должен быть R-квадрат, чтобы модель давала полезные прогнозы? Это зависит от требуемой точности и количества вариаций, присутствующих в ваших данных. Высокое значение R ² необходимо для точных прогнозов, но само по себе этого недостаточно, как мы узнаем в следующем разделе.

Похожие сообщения : Понимание точности в прикладной регрессии, чтобы избежать дорогостоящих ошибок и среднеквадратичной ошибки (MSE)

Всегда ли высокие значения R-квадрата хороши?

Нет! Модель регрессии с высоким значением R-квадрата может иметь множество проблем. Вы, вероятно, ожидаете, что высокое значение R ² указывает на хорошую модель, но взгляните на графики ниже. Подогнанный линейный график моделирует связь между подвижностью электронов и плотностью.

Данные на аппроксимированном линейном графике следуют очень низкому шумовому соотношению, а R-квадрат составляет 98,5%, что кажется фантастическим. Однако линия регрессии постоянно занижает и завышает данные вдоль кривой, что является смещением. График «Остатки против подгонки» подчеркивает эту нежелательную закономерность. Несмещенная модель имеет остатки, которые случайным образом разбросаны вокруг нуля. Неслучайные остаточные паттерны указывают на плохое соответствие, несмотря на высокое значение R ² . Всегда проверяйте остаточные участки!

Этот тип смещения спецификации возникает, когда ваша линейная модель занижена. Другими словами, в нем отсутствуют значимые независимые переменные, полиномиальные члены и условия взаимодействия. Чтобы произвести случайные остатки, попробуйте добавить члены в модель или подобрать нелинейную модель.

Связанный пост : Спецификация модели: Выбор правильной регрессионной модели

Ряд других обстоятельств может искусственно завышать ваш R ² . Эти причины включают переоснащение модели и интеллектуальный анализ данных. Любой из них может создать модель, которая выглядит так, как будто она обеспечивает отличное соответствие данным, но на самом деле результаты могут быть полностью обманчивыми.

Модель переобучения — это модель, в которой модель соответствует случайным особенностям выборки. Интеллектуальный анализ данных может использовать случайные корреляции. В любом случае вы можете получить модель с высоким R ² даже для совершенно случайных данных!

Связанный пост : Пять причин, почему ваш R-квадрат может быть слишком высоким

R-квадрат не всегда прямолинеен

На первый взгляд, R-квадрат кажется простой для понимания статистикой, которая показывает, насколько хорошо регрессионная модель соответствует набору данных. Тем не менее, это не говорит нам всей истории. Для получения полной картины необходимо учитывать R ² значений в сочетании с остаточными графиками, другими статистическими данными и глубоким знанием предметной области.

В следующем посте я продолжу изучение ограничений R ² и рассмотрю два других типа R ² : скорректированный R-квадрат и прогнозируемый R-квадрат. Эти две статистики решают конкретные проблемы с R-квадратом. Они предоставляют дополнительную информацию, с помощью которой вы можете оценить соответствие вашей регрессионной модели.

Вы также можете прочитать о стандартной ошибке регрессии, которая представляет собой другой тип меры согласия.

Обязательно прочтите мой пост, где я отвечаю на вечный вопрос: Какой должна быть величина R-квадрата?

Если вы изучаете регрессию и вам нравится подход, который я использую в своем блоге, ознакомьтесь с моей книгой «Интуитивное руководство по регрессионному анализу»! Вы можете найти его на Amazon и других розничных магазинах.

Примечание. Я написал другую версию этого поста, которая появилась в другом месте. Я полностью переписал и обновил его для своего блога.

Поддерживаемые функции · KaTeX

Это список функций TeX, поддерживаемых KaTeX. Он разбит на логические группы.

Существует аналогичная Таблица поддержки, отсортированная по алфавиту, в которой перечислены как поддерживаемые, так и неподдерживаемые функции.

Акценты

4{9000 y}ay \bar{y} }ac \overrightharpoon{ac} 1

а’а’а’ а'	а~\тильда{а}а~ \тильда{а}	g˚7\mathring{g}​3 mathring{g}
a»a»a» a''	ac~\widetilde{ac}ac \widetilde{ac} 9{\prime}	AB~\utilde{AB}AB​ \utilde{AB}	AB⏡\undergroup{AB}AB​ \undergroup{AB}
aˊ\acute{a }aˊ \acute{a}	F⃗\vec{F}F \vec{F}	AB⇒\Overrightarrow{AB}AB \Overrightarrow{AB}
AB ←\overleftarrow{AB}AB \overleftarrow{AB}	AB→\overrightarrow{AB}AB \overrightarrow{AB}
a˘\breve{a}a˘ \breve{a}	AB ←\underleftarrow{AB}AB​ \underleftarrow{AB}	AB→​rightarrow{AB} \underrightarrow{AB}
aˇ\check{a}aˇ \check{a}	ac↼\overleftharpoon{ac}ac \overleftharpoon{ac} \overacharpoon	5
a˙\dot{a}a˙ \dot{a}	AB↔\overleftrightarrow{AB}AB \overleftrightarrow{AB}	AB⏞\overbrace{AB}AB \overbrace{AB}
a¨\ddot{a}a¨ \ddot{a}a¨ \ddot{a}a¨ a}	AB↔\underleftrightarrow{AB}AB​ \underleftrightarrow{AB}	AB⏟\underbrace{AB}AB​ \underbrace{AB}
aˋaˋve} \grave{a}	AB‾\overline{AB}AB \overline{AB}	ABUndefined\overlinesegment{AB}AB 9\widehat{ac}ac \widehat{ac}	acˇ\widecheck{ac}ac \widecheck{ac}	X‾\underbar{X}X​ \underbar{X}

Акцентные функции внутри \text{…}

aˊ\text{\'{a}}aˊ \'{a}	a˜}\text{\~{a}} a˜ \~{a}	a˙\text{\. {a}}a˙ \.{a}	a˝\text{\H{a}}a˝ \H{ a}
aˋ\text{\`{a}}aˋ 9{a}	a˘\text{\u{a}}a˘ \u{a}	a˚\text{\r{a}}a˚ \r{a}

См. также буквы и юникод.

Delimiters

() (~) () ()

() \ lparen ~ \ rparen () \ lparen ~~~ ~ \ rparen

4 ~~~~ \ rparen

~~~~ \ rparen

~~~~ \ rparen

~~~~ \ ⌈ ⌉ ⌈ ⌉

⌈ ⌉\lceil~\rceil⌈ ⌉ \lceil      ~~~~~      \rceil

↑\uparrow↑ \uparrow

[ ][~][ ] [ ]

[ ]\lbrack~\rbrack[ ] \lbrack     ~~~~     \rbrack

⌊ ⌋⌊~⌋⌊ ⌋ ⌊ ⌋

⌊ ⌋\lfloor~\rfloor⌊ ⌋ \lfloor      ~~~~~      \rfloor

↓\downarrow↓ \downarrow

{}\{ \}{} \{ \}

{}\lbrace \rbrace{} \lbrace     ~~~~     \rbrace

⎰⎱⎰⎱⎰⎱ ⎰⎱

⎰⎱\lmoustache \rmoustache⎰⎱ \lmoustache     ~~~~     \rmoustache

↕\updownarrow↕ \updownarrow

⟨⟩⟨ ~ ⟩⟨⟩ ⟨⟩

⟨⟩ \ Langle ~ \ rangle⟨⟩ \ Langle ~~~~ \ Rangle

⟮ ~

⟮ ⟯\lgroup~\rgroup⟮ ⟯ \lgroup      ~~~~~      \rgroup

⇑\Стрелка вверх⇑ \Стрелка вверх

∣\vert∣ |

∣ \ vert∣ \ vert

┌┐┌ ┐┌┐ ┌ ┐

⌜⌝ \ ulcorner \ urcorner┌┐ \ Ulcorner ~~~ \ Urcorner

~ Стрелка вниз⇓ \Стрелка вниз

∥\Vert∥ \|

∥\Vert∥ \Vert

└┘└ ┘└┘ └ ┘

⌞⌟\llcorner \lrcorner9┘1073 \ llcorner ~~~~ \ lrcorner

⇕ \ updownarrow⇕ \ updownarrow

∣ \ lvert ~ \ rvert∣ ∣ \ lvert ~ ~ ~ ~ ~ \ rvert∣ ∣ \ lgret ~ ~ ~ ~

∥ ∥\lVert~\rVert∥ ∥ \lVert      ~~~~~      \rVert

\лев.

\прав.

\\обратная косая черта\ \обратная косая черта

⟨ ⟩\lang~\rang⟨ ⟩ \lang ~~~~ \ rang

<> \ lt ~ \ gt <> \ lt \ gt

⟦~⟧ [[]] ⟦⟧

⟦\ llbracket ~ \ rrbracket[[ ]] \llbracket     ~~~~     \rrbracket

⦃ ⦄\lBrace~\rBrace{[ ]} \lBrace \rBrace

Delimiter Sizing

(AB )\влево(\БОЛЬШОЙ{AB}\вправо)(AB) \влево(\БОЛЬШОЙ{AB}\вправо)

((((((\big( \Big( \bigg( \Bigg((( ((( ( \big( \Big( \bigg( \Bigg(

\left	\big	\bigl	\bigm	\bigr
\middle	\Big	\Bigl	\Bigm	\Bigr
\right	\bigg	\biggl	\biggm	\biggr
	\Bigg	\Biggl	\Biggm	\Biggr

Environments

& cgin a b{bcdma конец{bmatrix}[ac​bd​]
. {Vmatrix} a & b \\ c & d \end{Vmatrix}​ac​bd​​

abcd\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}ac​bd​	\begin{matrix}     a & b \\ 7 & 91 c 910 \end{matrix}	abcd\begin{array}{cc}a & b\\c & d\end{array}ac​bd​	\begin{array}{cc}     a & b \\     c & d \end{массив}
(abcd)\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}(ac​bd​)	\begin{pmatrix}     a & b \\     c & d \end{pmatrix}	\begin{bmatrix}     a & b \\     c & d \end{bmatrix}
∣abcd∣\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \ end {vmatrix} ac bd	\ begin {vmatrix} A & B \\ C & D \ End {vmatrix}	\begin{Vmatrix}     a & b \\     c & d \end{Vmatrix}
{abcd}\begin{Bmatrix &} a & b \\ c BD}	\ begin {bmatrix} A & B \\ C & D \ END {BMATRIX}	ABCDEFGHI \ DEF \ ARRAYSTRETCH}	ABCDEFGHI \ DEF \ ARRAYSTRETC {c:c:c} a & b & c \\ \hline d & e & f \\ \hdashline g & h & i \end{array}adg​beh​cfi​​	\def\arraystretch{1.5}     \begin{array}{c:c:c}     a & b & c \\ \hline     d & e & f \\     \hdashline     g & h & i \end{array}
x={aif bcif dx = \begin{cases} a &\text{if } b \\ c &\text{ if } d \end{cases}x={ac​if bif d​	x = \begin{cases}     a &\text{if } b \\     c &\text{if } d \end{case}	aif bcif d}⇒…\begin{rcases} a &\text{if } b \\ c &\text{if } d \end{rcases}⇒…ac​if bif d​}⇒…	\begin{rcases}     a &\text{if} b \\     c &\text{if } d \end{rcases}⇒…
abcd\begin{smallmatrix} a & b \\ c & d \end{smallmatrix}ac​bd​	\begin{smallmatrix}     a & b \\     c & d \end{smallmatrix}	∑i∈Λ0	\sum_{ \begin{subarray}{l}     i\in\Lambda\\ 0 \end{subarray}}

Расширение автоматического рендеринга будет отображать следующие среды, даже если они не находятся внутри математических разделителей, таких как $$…$$ . Они только в режиме отображения.

3 \end{10315 split}
\end{equation}

a=b+c=e+f\begin{equation}\begin{split}a &=b+c\\&=e+f\end{split}\end{equation}a​= b+c=e+f​​​	\begin{equation} \begin{split}     a &=b+c\\        &=e+f
a=b+cd+e=f\begin{align} a&=b+c \\ d+e&=f \end{align}ad+e​=b +c=f​​	\begin{align}     a&=b+c \\     d+e&=f \end{align}
a=be=b+c\begin{gather} a= b+c \end{gather}a=be=b+c​​	\begin{gather}     a=b \\     e=b+c \end{gather}	10x+3y=23x+13y=4\begin{alignat}{2}10&x+&3&y=2\\3&x+&13&y=4\end{alignat}103​x+x+​313​y=2y=4​​	\begin{alignat}{2}     10&x+&3&y=2\\     3&x+&13&y=4 \end{alignat}
B→A→aBc↓↓ \\@VbVV @AAcA\\C @= D\end{CD}Ab↓⏐​C​a​​B⏐↑​cD​	\begin{CD}     A @>a>> B \\ @VbVV @AAcA \\     C @= D \end{CD}

Другие среды KaTeX 9 1931 9

03 Environments How they differ from those shown above darray , dcases , drcases … apply displaystyle matrix* , pmatrix* , bmatrix*
Bmatrix* , vmatrix* , Vmatrix* … принять необязательный аргумент для установки выравнивания столбца
, как в \begin{matrix*}[r] уравнение* , собрать*
выровнять* , выровнять* … нет автоматической нумерации. В качестве альтернативы вы можете использовать \nonumber или \notag , чтобы пропустить нумерацию для определенной строки уравнения. собрал , выровнял , выровнял на … не нужно быть в режиме отображения.
… не имеют автоматической нумерации.
… должен быть внутри математических разделителей в
для рендеринга с помощью расширения auto-render
.

Допустимые разделители строк: \\ , \cr , \\[расстояние] и \cr[расстояние] . Расстояние может быть записано любым устройством KaTeX.

Среда {массив} поддерживает | и : вертикальные сепараторы .

Среда {массив} еще не поддерживает \cline или \многостолбцовый .

\тег можно применять к отдельным строкам сред верхнего уровня ( выровнять , выровнять* , выровнять , выровнять* , собрать , собрать* ).

HTML

Следующие функции «необработанного HTML» потенциально опасны для ненадежных входы, поэтому по умолчанию они отключены, и попытка их использования приводит к имена команд в красном (которые вы можете настроить через 9Ошибка 1073Цвет вариант). Чтобы полностью доверять вашему вводу LaTeX, вам нужно передать вариант доверия: true ; вы также можете включить только некоторые из команд или только для некоторых URL-адресов с помощью опции trust .

KaTeX\href{https://katex.org/}{\KaTeX}KATE​X	\href{https://katex.org/}{\KaTeX}
https ://katex.org/\url{https://katex.org/}https://katex.org/	\url{https://katex.org/}
\includegraphics[height=0.8em, totalheight=0.9em, width=0.9em, alt=KA logo]{https://katex.org/img/khan-academy.png}	\includegraphics [height=0.8em, totalheight=0.9em, width=0.9em, alt=KA logo]{https://katex. org/img/khan-academy.png}
x\htmlId{bar}{ x}x ……x……	\htmlId{bar}{x}
x\htmlClass{foo}{x}x ……x ……	\htmlClass{foo}{x}
x\htmlStyle{color: red;}{x}x ……x……	\htmlStyle{ цвет: красный; {x}
x\htmlData{foo=a, bar=b}{x}x ……x ……	\htmlData{foo=a, bar=b}{x}

\includegraphics поддерживает высота , ширина ,073 totalheight и alt в первом аргументе. требуется высота . Команды

HTML extension ( \html -prefixed) являются нестандартными, поэтому необходимо ослабить параметр strict для htmlExtension .

Letters and Unicode

Greek Letters

Direct Input: ABΓΔEZHΘIKΛMNΞOΠPΣTΥΦXΨΩΑ Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι \allowbreak Κ Λ Μ Ν Ξ Ο Π Ρ Σ Τ Υ Φ Χ Ψ ΩABΓΔEZHΘIKΛMNΞOΠPΣTΥΦXΨΩ αβγΔϵζηθικλμνξTYππρστυϕχψωεϑϖϱςφϝ \ Allbreak α β Δ ϵ ζ η θ ι λ λ μ ν ξ Δ π π ρ ρ σ τ β ψ ψ ψ ψ ε σ φ φ ϝ βϵ ϝ β ϝ ϝ ϝ ϝ ϝ ϝ ϝ ϝ β ϝ ϝ ϝ ϝ ϝ φ ϝ ϝ ϝ ϝ φ ϝ ϝ φ ϝ ϝ φ ϝ ϝ φ ϝ ϝ φ ϝ φ ϝ ϝ φ ϝ ϝ ϝ φ ϝ ϝ ϝ ϝ ϝ ϝ ϝ ϝ ϝ ϝ ϝ ϝ ϝ ϝ ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε -0910

9

A\AlphaA \Alpha	B\BetaB \Beta	Γ\GammaΓ \Gamma	Δ\DeltaΔ \Delta
E\EpsilonE \Epsilon	Z \ Zetaz \ Zeta	H \ ETAH \ ETA	θ \ THETAθ \ THETA
I \ IOTAI \ IOTA 9005
I \ IOTAI \ IOTA 9005
ITAI \ IOTA 9005
IOTAI \ IOTA
IOTAI \ IOTA
	IOTAI \ IOTA
. \лямбдаΛ \лямбда	M\MuM \Mu
N\NuN \Nu	Ξ\XiΞ \Xi	O\OmicronO \Omicron	Π\PiΠ \Pi
P\RhoP \Rho	Σ\SigmaΣ \Sigma	T\TauT \Tau	Υ\UpsilonΥ \Upsilon
Φ\PhiΦ \Phi	X \ChiX \Chi	Ψ\PsiΨ \Psi	Ω\OmegaΩ \Omega
Γ\varGammaΓ \varGamma	Δ\varDeltaΔ \varDelta	Θ\varThetaΘ \varTheta	Λ\varLambdaΛ \varLambda
ξ \ varxiξ \ varxi	π \ varpiπ \ varpi	σ \ varsigma \ varsigma	υ \ varupsilonυ \ varsigma	υ \ varupsilonυ \ varsigma	υ \ varsilonυ \ varsigma	υ \ varsilonυ \ varsigma	073 \varPhi	Ψ\varPsiΨ \varPsi	Ω\varOmegaΩ \varOmega
α\alphaα \alpha	β\betaβ \beta	γ\gammaγ \ gamma	δ\deltaδ \delta
ϵ\epsilonϵ \epsilon	ζ\zetaζ \zeta	η\etaη \eta	θ\thetaθ \theta
ι\iotaι \iota	κ\kappaκ \kappa	λ\lambdaλ \lambda	μ\muμ \mu
ν\nuν \nu	ξ \xiξ \xi	ο\omicronο \omicron	π\piπ \pi
ρ\rhoρ \rho	σ\sigmaσ \sigma	τ\tauτ \тау	υ\ипсилонυ \ипсилон
ϕ\phiϕ \phi	χ\chiχ \chi	ψ\psiψ \psi	ω\omegaω \omega
ε\varepsilonε \varepsilon	ϰ\varkappaϰ \varkappa	ϑ\varthetaϑ \vartheta	ϑ\thetasymϑ \thetasym
ϖ\varpiϖ \varpi	ϱ\varrhoϱ \varrho	ς\varsigmaς \varsigma	φ\varphiφ \varphi
ϝ\digammaϝ \digamma

Other Letters

3 \gimel

ı\imath \imath	∇\nabla∇ \nabla	ℑ\Imℑ \Im	R\RealsR \Reals	Œ\text{\OE}Œ \text{\OE}
ȷ\jmath \jmath	∂\partial∂ \partial	ℑ\imageℑ \image	℘\wp℘ \wp	ø\text{\o}ø \text{\o}
ℵ\alephℵ \aleph	⅁\Game⅁ \Game	k\Bbbkk \Bbbk	℘\weierp℘ \weierp	Ø\text{\O}Ø \text {\O}
ℵ\alefℵ \alef	Ⅎ\FinvℲ \Finv	N\NN \N	Z\ZZ \Z	ß\text{\ss}ß \text{\ss}
ℵ\alefsymℵ \alefsym	C \cnumsC \cnums	N\natnumsN \natnums	a˚\text{\aa}a˚ \text{\aa}	ı\text{\i}ı i}
ℶ\bethℶ \beth	C\ComplexC \Complex	R\RR \R	A˚\text{\AA}A˚ \text{\AA}	ȷ\text{\j}ȷ \text{\j}
ℷ\gimelℷ	ℓ \ ellℓ \ ell	ℜ \ reℜ \ re	æ \ text {\ ae} æ \ text {\ ae}
ℸ \ dalethℸ \ dalet \hbarℏ \hbar	ℜ\realℜ \real	Æ\text{\AE}Æ \text{\AE}
ð\ethð \eth	ℏ\hslashℏ \hslash	R\realsR \reals	œ\text{\oe}œ \text{\oe}

Direct Ввод: ∂∇ℑℲℵℶℷℸ⅁ℏð−∗∂ ∇ ℑ Ⅎ ℵ ℶ ℷ ℸ ⅁ ℏ ð − ∗∂∇ℑℲℵℶℷℸ⅁ℏð−∗ ÀÁÂÃÄÅÆÇÈÉÊËÌÍÎÏÐÑÒÓÔÕÖÙÚÛÜÝÞßàáaãäåçèééêëìíîïðñòóôöùúûüýþÿ ₊₋₌₍₎₀₁₂₃₄₅₆₇₈₉ₐₑₕᵢⱼₖₗₘₙₒₚᵣₛₜᵤᵥₓᵦᵧᵨᵩᵪ⁺⁻⁼⁽⁾⁰₊₋₌₍₎₀₁₂₃₄₅₆₇₈₉ₐₑₕᵢⱼₖₗₘₙₒₚᵣₛₜᵤᵥₓᵦᵧᵨᵩᵪ⁺⁻⁼⁽⁾⁰² ним

Математический режим Unicode (Sub | Super) Символы сценариев будут отображаться так, как будто вы написали обычные символы в подписке или SuperScript. Например, 9{2+3} .

Unicode Mathematical Alphanumeric Symbols

Item	Range	Item	Range
Bold	𝐀-𝐙 𝐚-𝐳 𝟎-𝟗\text{𝐀-𝐙 𝐚-𝐳 𝟎-𝟗} A-Z A-Z 0-9	Двойной удар	𝔸-Z 𝕜 \ Text {𝔸-} ℤ \ 𝕜a-Z K
Italic	𝐴-𝑍 𝑎 \ Text {𝐴— 𝑍 𝑎-𝑧}A-Z a-z	Без засечек	𝖠-𝖹 𝖺-𝗓 𝟢-𝟫\text{𝖠-𝖹 𝖺-𝗓 𝟢-𝟫}A-Z a-z 0-9
Bold Italic	𝑨-𝒁 𝒂-𝒛 \ Text {𝑨-𝒁 𝒂-𝒛} A-Z A-Z	SANS SERIF BOLD	𝟬-𝟵} A-Z A-Z 0-9
Сценарий	𝒜-𝒵 \ Text {𝒜-𝒵} A-Z	SANS Serif Italic	𝘈-𝘢-𝘻 \ Text {𝘈-𝘡-𝘻} A-Z A-Z
Fractur	𝔄-Z 𝔞-𝔷 \ Text {𝔄-} ℨ \ Text {𝔞-𝔷} A-Z A-Z	MonOspace	𝙰-𝚉 𝚣 𝟶-Z \ Text {𝙰- 𝚉 𝚊-𝚣 𝟶-𝟿}A-Z a-z 0-9

Юникод

Буквы, перечисленные выше, будут правильно отображаться в любом режиме визуализации KaTeX.

Кроме того, в текстовом режиме всегда принимаются армянские, брахмические, грузинские, китайские, японские и корейские глифы. Однако эти глифы будут отображаться из системных шрифтов (а не из шрифтов, поставляемых KaTeX), поэтому их типографика может конфликтовать. Вы можете указать правила для классов CSS .latin_fallback , .cyrillic_fallback , .brahmic_fallback , .georgian_fallback , .cjk_fallback и .hangul_fallback , чтобы предоставить резервные шрифты для этих языков. Использование этих глифов может вызвать небольшие проблемы с выравниванием по вертикали: в KaTeX есть подробные метрики для перечисленных символов и большинства латинских, греческих и кириллических букв, но другие принятые глифы обрабатываются так, как если бы каждый из них был такой же высоты, как буква M в текущем шрифте KaTeX. .

Если режим рендеринга KaTeX установлен на строгий: false или строгий: "warn" (по умолчанию), то KaTeX будет принимать все буквы Unicode как в текстовом, так и в математическом режиме. Все нераспознанные символы будут обрабатываться так, как если бы они появились в текстовом режиме, и с ними связаны те же проблемы, связанные с использованием системных шрифтов и, возможно, с неправильным выравниванием по вертикали. 9{\text{примечание}} 5\bcancel{5}5​ \bcancel{5} a+b+c⏟note\underbrace{a+b+c} _{\text{ note}}notea+b+c​ \underbrace{a+b+c}_{\text{note}} ABC\xcancel{ABC}ABC \xcancel{ABC} = ̸\not == \not = abc\sout{abc}abc \sout{abc} π=cd\boxed{\pi=\frac c d}π=dc​ \boxed{\pi=\frac c d} ana_{\angl n}an​​ 9{2x}x+y2xhi

Разрывы строк

KaTeX 0.10.0+ будет вставлять автоматические разрывы строк во встроенной математике после отношений или бинарных операторов, таких как «=» или «+». Их можно подавить с помощью \nobreak или поместив математику внутри пары фигурных скобок, как в {F=ma} . \allowbreak разрешает автоматический разрыв строки в местах, отличных от отношений или операторов.

Жесткие разрывы строк: \\ и \newline .

В математическом отображении KaTeX не вставляет автоматические разрывы строк. Он игнорирует отображение математических жестких разрывов строк при рендеринге с параметром 9.о =!\underset{!}{=}!=​ \underset{!}{=} a+(abc)a+\left(\vcenter{\frac{\frac {\frac a b}c}\ right)a+(cba​​) a+\left(\vcenter{\hbox{$\frac{\frac a b}c$}}\right) ∑0 \sum_{\substack{0

\raisebox и \hbox переводят свои аргументы в текстовый режим. Чтобы поднять математику, гнездо 9{\smash{2}}\right)  /=\mathrlap{\,/}{=}/= \mathrlap{\,/}{=} y\sqrt{\smash[ b] {y}}y​ \sqrt{\smash[b]{y}}

∑1≤i≤j≤nxij\displaystyle\sum _{\mathclap{1\le i\le j \le n}} x_{ij}1≤i≤j≤n∑​xij​ \sum_{\mathclap{1\le i\le j\le n}} x_{ij}

KaTeX также поддерживает \llap , \rlap и \clap , но в качестве аргументов они будут принимать только текст, а не математику.

Spacing

. \ hskip {расстояние} пробел ширина контента0005.

Function	Produces	Function	Produces
\,	³∕₁₈ em space	\kern{distance}	space, Ширина = Расстояние
\ Thinspace	³ ∕ ₁₈ EM Space	\ Mkern {расстояние}	Пространство, ширина = Дистанция		.0011
\>	⁴ ∕ ₁₈ EM Space	\ MSKIP {Расстояние}	Пространство, ширина = Дистанция
\:
\:
Пространство, ширина = Расстояние
\ Medspace	⁴ ₁₈ ₁₈ EM Space	\ HSPACE {расстояние}	. 0005
\;	⁵ ∕ ₁₈ EM Space	\ hspace*{расстояние}	Пространство, ширина = Расстояние
\ Толстущее пространство	⁵ ₁₈ ₁₈ ₁₈ ₁₈ em.	9 \ \ ∕ ₁₈ ₁₈ ₁₈ ₁₈ ₁₈ ₁₈ ₁₈ em			9	.	space ширина и высота контента
\enspace	½ em пробел	\hphantom{content}
\ QUAD	1 EM SPACE	\ VPHANTOM {Содержание}	A Strut Высота содержимого
\ QQUAD	2 EM		\ QQUAD	2 EM		\ QQUAD	2 EM			\ QQUAD	2 EM			\ QQUAD	2 EM		-³ ∕ ₁₈ EM Space
~	Неразрешимое пространство	\ Negthinspace	-³ ∕ ₁₈ Space
\ 4107444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444449н0005	\negmedspace	– ⁴∕₁₈ em space
\nobreakspace	non-breaking space	\negthickspace	– ⁵∕₁₈ em space
\space	Space	\ Mathstrut	\ vphantom {(}

Примечания:

Расстоя10

\kern , \mkern , \mskip и \hspace принимают расстояния без фигурных скобок, например: \kern1em .

\mkern и \mskip не будут работать в текстовом режиме и оба выведут консольное предупреждение для любого юнита кроме mu .

Логика и теория множеств

\gdef\VERT{|}

92} \bar{y} + \bar{y} 90

∀\forall∀ \forall	∁\complement∁ \complement0005	∴ \, следовательно, \, следовательно,	∅ \ Emptyset∅ \ Emptyset
∃ \ Exists∃ \ Existis	⊂ \ subslet⊂ \ subset	\ Потому что \	∵ \ Потому что \. Потому что	∅ \ umpt∅ \ empty
∃ \ существует \ Существует	⊃ \ supset⊃ \ supset	↦ \ mapsto↦ \ mapsto		44	↦ \ mapsto↦ \ \варничего
∄\nexists∄ \nexists	∣\mid∣ \mid	→\to→ \to	⟹  \implies⟹ \implies
∈\in∈ \ в	∧ \ Land∧ \ Land	← \ GET ← \ GET	⟸ \ Appiredby⟸ \ Appiredby
∈ \ isIn \ ISIN		\ \ isINень \ ISIN		\ ∈ \ . ∨ \lor	↔\leftrightarrow↔ \leftrightarrow	⟺  \iff⟺ \iff
∉\notin∈/ \notin	∋\ni∋ \ni	∌\notni∋ \notni	¬\neg ¬ \neg или \lnot
	{ x  | x<12 }\Set{ x \VERT x<\frac 1 2 }{x​x<21​} \Set{ x | x<\frac 1 2 }	{ x∣x<5 }\set{x\VERT x<5}{x∣x<5} \set{x|x<5}
	\edef\macroname#1#2…{определение будет расширено}
	\x1073 \x1073\x1073\x1073\x1073\x1073 …{definition to be expanded}
	\let\foo=\bar
	\futurelet\foo\bar x
	\global\def\macroname#1 #2…{определение}
	\newcommand\macroname[numargs]{определение}
	\ renewCommand \ macroname [Numargs] {определение}
	\ ProvideCommand \ MacRoname [Numargs] {определение}
6 0 0 0 0 0 0 0

. sairs. .

Макросы могут принимать до девяти аргументов: #1, #2 и т. д. пусть и \global\futurelet будет сохраняться между математическими выражениями. (Исключение: сохранение макросов может быть отключено. Для этого есть законные причины безопасности.)

В KaTeX нет \par , поэтому по умолчанию все макросы длинные, а \long будут игнорироваться.

Доступные функции:

\char \mathchoice \TextOrMath \@ifstar \@ifnextchar \@firstoftwo 4 \@firstoftwo \@firstoftwo1074 \relax \expandafter \noexpand

@ является допустимым символом для команд, как если бы действовало \makeatletter .

Операторы

Большие операторы

∑ \ sumb \ sum	∏ \ Prod∏ \ Prod	⨂ \ BigTimes⨂ \ BIGOTIMES	⨂ \ BigTimes⨂ \ BIGOTIMES	⨂ \ BigTimes⨂ \ BIGOTIMES	⨂ \ BigTimes⨂ \ BigTimes	⨂ \ BigTimes⨂ \ BigTimes		9000
∫\int∫ \int	∐\coprod∐ \coprod	⨁\bigoplus⨁ \bigoplus	⋀\bigwedge⋀ \bigwedge
∬\iint∬ \iint	∫\intop∫ \intop	⨀\ Figodot⨀ \ figodot	⋂ \ Bigcap⋂ \ Bigcap
∭ \ iiint∭ \ iiint	∫ \ smallint∫ \ smallint	\ biguplus \ smallint	\ biguplus \ Biguplus 94. ⋃\bigcup⋃ \bigcup
∮ \ OINT∮ \ OINT	∯ \ OIINT∬ \ OIINT	∰ \ oiiint∭ \ oiiint	⨆ \ bigsqcup⨆ \ oiiint	⨆ \ bigsqcup⨆ \ oiiint	. Прямой ввод: ∫∬∭∮∏∐∑⋀⋁⋂⋃⨀⨁⨂⨄⨆∫ ∬ ∭ ∏ ∐ ∑ ⋀ ⋁ ⋂ ⋃ ⨁ ⨂ ⨄ ⨆∫∬∭∮∏∐∑⋀⋁⋂⋃⨀⨁⨂⨄ ⨆ ∯ ∰ ∰ двоичные операторы +++ + > \ CDOT⋅ \ CDOT ⋗ \ GTRDOT⋗ \ Gtrdot \ \ gtrdot⋗ \ gtrdot x \ xda (xda) ) x \pmod a −-− - ⋅\cdotp⋅ \cdotp ⊺\intercal⊺ \intercal x(a)x \pod ax(a) x \pod a /// / ⋅\centerdot⋅ \centerdot ∧\land∧ \land ⊳\rhd⊳ \rhd ∗ *∗ * ∘\circ∘ \circ ⋋\leftthreetimes⋋ \ LeftThreeTimes ⋌ \ RightThreeTimes⋌ \ RightThreeTimes ⨿ \ Amalg⨿ \ Amalg ⊛ \ Cirledast⊛ \ Circledast . \ LDOTP ⋊ \ rtimes⋊ \ rtimes & \ и & \ и ⊚ \ LORCRIRC⊚ \ CirledCirc ⊚ \ LOR∨ \ Lor IN \ LORININ \ LORININ \ Lor . ∖ \setminus ∗\ast∗ \ast ⊝\circleddash⊝ \circleddash ⋖\lessdot⋖ \lessdot ∖\smallsetminus∖ \smallsetminus ⊼\barwedge⊼ \ Barwedge ⋓ \ Cup⋓ \ Cup ⊲ \ LHD⊲ \ LHD ⊓ \ SQCAP⊓ \ SQCAP ◯ \ BigCirc ◯ \ ◯ \ BigCirc ◯ 9449 ∪ \чашка ⋉\ltimes⋉ \ltimes ⊔\sqcup⊔ \sqcup  mod \bmodmod \bmod ⋎\curlyvee⋎ \curlyvee xmod  ax \mod axmoda x\mod a × \ Times × \ Times ⊡ \ BoxDot⊡ \ BoxDot ⋏ \ CurlyWedge⋏ \ CurlyWedge ∓ \ MP∓ \ MP \ ullhh \ ullhH \ MP \ MP ⊴ rullhh \ ullhh \ ullhh \ ullhh \ ullhh \ ullhh \ ullhh. ⊟\boxminus⊟ \ Boxminus ÷ \ div ÷ \ div ⊙ \ odot⊙ \ odot ⊵ \ UNRHD⊵ \ UNRHD ⊞ \ Boxplus⊞ \ \ Box \ ⊞ \ \ \ \ \ divideontimes⋇ \divideontimes ⊖\ominus⊖ \ominus ⊎\uplus⊎ \uplus ⊠\boxtimes⊠ \boxtimes ∔\dotplus∔ \dotplus ⊕\oplus⊕ \oplus ∨\vee∨ \vee ∙\bullet∙ \bullet ⩞\doublebarwedge⩞ \doublebarwedge ⊗\otimes⊗ \otimes ⊻\veebar⊻ \ VEEBAR ⋒ \ CAP⋒ \ CAP ⋒ \ DoubleCap⋒ \ DoubleCap ⊘ \ oslash⊘ \ Oslash ∧ \ Wedge∧ \ Wedge ∧ \ Wedge∧ \ Wedge 9 крышка∩ \ крышка ⋓\doublecup⋓ \doublecup ±\pm± \pm or \plusmn ≀\wr≀ \wr Direct Input: +−/∗⋅∘∙± × ÷ ∓∔∧∨∩∪≀⊎⊓⊔⊕⊖⊗⊘⊙⊚⊛⊝ ◯ ∖+ - / * ⋅ ∘ ∙ ± × ÷ ∓ ∔ ​​∨ ∩ ∪ ≀ ⊎ ⊓ ⊔ ⊕ ⊖ ⊘ ⊙ ⊚ ⊛ ⊝ ◯ ∖ {}+−/∗⋅∘∙±×÷∓∔∧∨∩∪≀⊎⊓⊔⊕⊖⊗⊘⊙⊚⊛⊝◯∖ Дроби и двучлены 90ab0 0 9 {b}ba​ \frac{a}{b} ab\tfrac{a}{b}ba​ \tfrac{a}{b} (aa+1]\genfrac ( ] { 2pt{1}а{а+1}(а+1а​] \genfrac ( ] {2pt}{1}a{a+1} ab{a \over b}ba​ {a \over b} ab\dfrac{a}{b} ba​ \dfrac{a}{b} ab+1{a \выше{2pt} b+1}b+1a​ {a \выше{2pt} b+1} a /ba/ba/b a/b a1+1b\cfrac{a}{1 + \cfrac{1}{b}}1+b1​a​ \cfrac{a}{1 + \ cfrac{1}{b}} (nk)\binom{n}{k}(kn​) \binom{n}{k} (nk)\dbinom{n}{k}(kn​) \dbinom{n}{k} {nk}{n\brace k}{kn​} {n\brace k} (nk){n \выберите k}(kn​) {n \выберите k} (nk)\tbinom{n}{k}(kn​) \tbinom{n}{k } [nk]{n\brack k}[kn​] {n\brack k} Math Operators arcsin⁡\arcsinarcsin \arcsin cosec⁡\ косеккосек \косек deg⁡\degdeg \deg sec⁡\secsec \sec arccos⁡\arccosarccos \arccos cosh⁡\coshcosh \cosh dim⁡\dimdim \ DIM SIN⁡ \ SINSIN \ SIN ARCTAN⁡ \ ARCTANARCTAN \ ARCTAN COT⁡ \ COTCOT \ COT expexp \ exple expexp \ exple 4 \ expexp \ exple 40004. arctg⁡\arctgarctg \arctg cotg⁡\cotgcotg \cotg hom⁡\homhom \hom sh⁡\shsh \sh arcctg⁡\arcctgarcctg \arcctg coth⁡\cothcoth \coth ker⁡\kerker \ker tan⁡\tantan \tan arg⁡\argarg \arg csc⁡\ csccsc \csc LG⁡ \ LGLG \ LG TANH⁡ \ TANHTANH \ TANH CH⁡ \ CHCH \ CH CTG⁡ \ CTGCTG \ CTG tg⁡\tgtg \tg cos⁡\coscos \cos cth⁡\cthcth \cth log⁡\loglog \log th⁡\thth \th f⁡\operatorname{f}f \operatorname{f} arg max⁡\argmaxargmax \argmax inj lim⁡\injliminjlim \injlim min⁡\minmin \min lim→⁡\varinjlimlim​ \varinjlim arg min⁡\argminargmin \argmin lim⁡\limlim \lim plim⁡\plimplim \plim lim‾⁡\varliminflim​ \varliminf det ⁡\детдет \det lim inf⁡\liminfliminf \liminf Pr⁡\PrPr \Pr lim‾⁡\varlimsuplim \varlimsup gcd⁡\gcdgcd \gcd lim sup⁡\limsuplimsup \limsup proj lim⁡\projlimprojlim \projlim lim←⁡\varprojlimlim​ \varprojlim inf⁡\infinf \inf max⁡\maxmax \макс. SUP⁡ \ SUPSUP \ SUP F⁡ \ OperatorName*{F} F \ OperatorName*{F} F⁡ \ OperatorNameWithLimits {f} f \ operatorNam Функции в нижних шести строках этой таблицы могут принимать \limits . \sqrt x\sqrt{x}x​ \sqrt{x} x3\sqrt[3]{x}3x​ \sqrt[3]{x} Отношения =!\stackrel{!}{=}=! \stackrel{!}{=} 073 \ vartriangleright .4 ⊢ \ vdashlon4 ⊢ \ vdashlon \ vdashlon. === = ≑\doteqdot≑ \doteqdot ⪅\lessapprox⪅ \lessapprox ⌣\smile⌣ \smile <<< < ≖ \ eqcirc≖ \ eqcirc ⋚ \ messeqgtr⋚ \ lesseqgtr ⊏ \ sqsubset⊏ \ sqgtr ⊏ \ sqsubset⊏ \ sqgtrese. ∹ \ EQCOLON-: \ EQCOLON или \ Minuscolon ⪋ \ Lesseqqgtr⪋ \ MardEQGTR ⊑ \ SQSUBSETEQ⊑ \ SQSUBSUBSETQ⊑ \ SQSUBSETQ⊑ QWSTQ⊑ \ SQSUBSETQ⊑ QWQGTR . −∷\Eqcolon−:: \Eqcolon or \minuscoloncolon ≶\lessgtr≶ \lessgtr ⊐\sqsupset⊐ \sqsupset ≈\approx≈ \approx ≕\eqqcolon=: \eqqcolon or \equalscolon ≲\lesssim≲ \lesssim ⊒\sqsupseteq⊒ \sqsupseteq ≈:\approxcolon≈: \approxcolon =∷\Eqqcolon = :: \ eqqcolon или \ equalscoloncolon ≪ \ ll≪ \ ll ⋐ \ subset⋐ \ subsled ≈∷ rabledccccccccccolon ≈∷ rablenccccccccccccolon ≈∷ rabledccccccolon 41074 11111 . ≂\eqsim≂ \ EQSIM ⋘ \ lll⋘ \ lll ⊂ \ subsem⊂ \ subsems или \ sub ≊ \ axpxeq≊ \ aepplyq ≊ \ a \ aepryq \ \ ⋘ \ llless⋘ \ llless ⊆ \ subteq⊆ \ subteq или \ sube ≍ \ Asymp≍ \ ASYMP ⪕ \ a aSymp≍ \ ASYMP ⪕ \ EQSLANSE \ ASYMP ⪕ \ EQSLANSLANS. <\lt< \lt ⫅\subseteqq⫅ \subseteqq ∍\backepsilon∍ \backepsilon ≡\equiv≡ \equiv ∣\mid∣ \mid ≻\succ≻ \succ ∽\backsim∽ \backsim ≒\fallingdotseq≒ \fallingdotseq ⊨\models⊨ \models ⪸\succapprox⪸ \succapprox ⋍ \backsimeq⋍ \backsimeq ⌢\frown⌢ \frown ⊸\multimap⊸ \multimap ≽\succcurlyeq≽ \succcurlyeq ≬\between≬ \between ≥\ ge≥ \ge ⊶\origof⊶ \origof ⪰\succeq⪰ \succeq ⋈\bowtie⋈ \bowtie ≥\geq≥ \geq ∋\владеет∋ \владеет ≿\succsim≿ \succsim ≏\bumpeq≏ \bumpeq ≧\geqq≧ \geqq ∥\parallel∥ \parallel ⋑\Supset⋑ \Supset ≎ \ bumpeq≎ \ bumpeq ⩾ \ geqslant⩾ \ geqslant ⊥ \ perp⊥ \ perp \ supset⊃ \ suppect \ supset \ supset \ supset \ supset \ supset \ supset \ supset \ supset \ supset \ supset \ supset \ supset \ supset \ supset \ supset \ supset \ supset. ≗ \circeq ≫\gg≫ \ GG ⋔ \ Pitchfork⋔ \ Pitchfork ⊇ \ SUPSETEQ⊇ \ SUPSETEQ или \ SUPE : ≈ \ ColonApprox: ≈ \ ColonPapprox : ≈ \ ColonApprox: ≈ \ Colonpprox : ≈ \ ColonApprox: ≈ \ ColonPapprox : ≈ \ ColonApprox. \ggg ≺\prec≺ \prec ⫆\supseteqq⫆ \supseteqq ∷≈\Colonapprox::≈ \Colonapprox or \coloncolonapprox ⋙\gggtr⋙ \gggtr ⪷\precapprox⪷ \precapprox ≈\thickapprox≈ \thickapprox :−\coloneq:− \coloneq or \colonminus >\gt> \gt ≼ \ preccurlyeq≼ \ preccurlyeq ~ толщина \ толщина ∷ - \ coloneq :: \ coloneq или \ coloncolonminminminmin \ coloneq или \ coloncolonminminminminminmin \ или \ coloncolonminminminminminmin \ или \ coloncolonminminminmin \ gloneq или \ coloncolonminminmin \ или . ⪯ \ preceq⪯ \ preceq ⊴ \ trianglelefteq⊴ \ trianglelefteq ≔ \ coloneqq: = \ coloneqq или \ ≾\precsim≾ \precsim ≜\triangleq≜ \triangleq ∷=\Coloneqq::= \Coloneqq or \coloncolonequals ⪌\gtreqqless⪌ \gtreqqless ∝\propto∝ \propto ⊵\trianglerighteq⊵ \trianglerighteq :∼\colonsim:∼ \colonsim ≷\gtrless≷ \gtrless ≓\risingdotseq ≓ \risingdotseq ∝\varpropto∝ \varpropto ∷∼\Colonsim::∼ \Colonsim or \coloncolonsim ≳\gtrsim≳ \gtrsim ∣\ шортмид∣ \shortmid △\vartriangle△ \vartriangle ≅\cong≅ \cong ⊷\imageof⊷ \imageof ∥\shortparallel∥ \shortparallel ⊲\ vartriangleleft⊲ \ vartriangleleft ⋞ \ curlyeqprec⋞ \ curlyeqprec ∈ \ in \ SIM -карт или \ ISIN ~ SIM -~ или \ ISIN ~ SIM - \ SIM - \ SIM - \ SIM - \ SIM - \ SIM - ⋟ \ curlyeqsucc⋟ \ curlyeqsucc \ join⋈ \ join ~: \ simcolon~: \ simcolon 7 . 9000 4000 40004 . \ vimcolon-: . \ Соотношение ⊣ \ dashv⊣ \ dashv ≤ \ le≤ \ le ~ \ simcoloncolon2 :: \ simcoloncolon ⊢ \ vdash⊢ \ vdashlon ⊢ \ vdashlon \ vdashlon ∷\dblcolon:: \dblcolon or \coloncolon ≤\leq≤ \leq ≃\simeq≃ \simeq ⊨\vDash⊨ \vDash ≐\doteq≐ \ Doteq ≦ \ leqq ≦ \ leqq ⌢ \ smallfrown \ smallfrown ⊩ \ vdash⊩ \ vdash \ dote qu. \ dote qu. \leqslant ⌣\smallsmile⌣ \ Smallsmile ⊪ \ vvdash⊪ \ vvdash Прямой вход: = <>: ∈∋∝∋∝∽≂≃≅ ≧ ≫≬≳≷≺≻≼≽≾≿⊂⊃⊆⊇⊏⊐⊑⊒⊢⊣⊩⊪⊸⋈⋍⋐⋑⋔⋙⋛⋞⋟⌢⌣⩾⪆⪌⪕⪖⪯⪰⪷⪸⫅⫆≲⩽⪅≶ ⋚⪋⊥⊨⊶⊷ = <>: ∈ ∋ ∼ ∼ ≂ ≃ ≃ ≈ ≈ ≊ ≎ ≏ ≐ ≑ ≒ ≓ ≖ ≗ ≡ ≤ ≥ ≦ ≫ ≬ ≳ ≺ ≻ ≼ ≽ ≿ ⊃ ⊆ ⊇ ⊏ ≳ ≺ ≼ ≽ ≿ ⊃ ⊆ ⊏ ⊏ ⊏ ⊏ ⊏ ⊏ ⊃ ⊇ ⊏ ⊏ ⊏ ⊐ ⊑ ⊢ ⊣ ⊩ ⊪ ⊸ ⋈ ⋍ ⋐ ⋑ ⋔ ⋛ ⋞ ⋟ ⌢ ⌣ ⩾ ⪆ ⪌ ⪕ ⪯ ⪰ ⪷ ⪸ ⫆ ≲ ⩽ ⪅ ⋚ ⪋ ⟂ ⊨ ⊷ ⊷ = <>: ∈∋∝ ∋∝ ≃≅лки ⋟⌢⌣⩾⪆⪌⪕⪖⪯⪰⪷⪸⫅⫆≲⩽⪅≶⋚⪋⊥⊨⊶⊷ ≔ ≕ ⩴ отрицательные отношения ♠ \ \ not =  = \ not = . \nleqslant ⪊ \ gnapprox⪊ \ gnapprox ≱ \ ngeqslant \ ngeqslant 4 \ \ ngeqslant \ ngeqslant 4 x \ nseqslant . ⪵ \ PRECNEQQ⪵ \ PRECNEQQ ⪈ \ gneq⪈ \ gneq ≯ \ ngtr≯ \ ngtr ⊈ \ nsubseteqqu \ ngtr . ≩ \ gneqq≩ \ gneqq ≰ \ nleq≰ \ nleq ⊁ \ nsucc⊁ \ nsucc ⊊ \ subsetneq⊊ \ subsetneq \ \ subsetneq⊊ \ subsetneq 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111119 ≰ \ nleqq \ nleqq ⋡ \ nsucceq⋡ \ nsucceq ⫋ \ subsletneq⫋ \ subsetNeqq ≩ \ gvertneqq ≩ \ gvertneqq ≩ \ gvertneqq ≩ \ gvertneqq ⊉\nupseteq⊉ \ nsupseteq ⪺ \ succnapprox⪺ \ succnaprox ⪉ \ lnapprox⪉ \ lnapprox ≮ \ nless≮ \ nless ⊉ \ nless≮ \ nless ⊉ \ nless≮ \ Nles succneqq⪶ \succneqq ⪇\lneq⪇ \lneq ∤\nmid∤ \nmid ⋪\ntriangleleft⋪ \ntriangleleft ⋩\succnsim⋩ \succnsim ≨ \ lneqq≨ \ lneqq ∉ \ notintina/ \ notin \ ntrianglelefteq⋬ \ ntrianglefteq \ supsetneq \ sapeleq \ supsetneq \ sapeleq \ supsetnq \ sapelefteq \ supsetq⊋ \ sapelefteq 9 \ lnsim ∌ \ notni∋ \ notni ⋫ \ ntriangleright \ ntriangleright ⫌ \ supsetneq⫌ \ supsetneqq q qulgnequ \ avertneq⫌ . nпараллельно∦ \nparallel ⋭\ntrianglerighteq⋭ \ntrianglerighteq ⊊\varsubsetneq \varsubsetneq ≆\ncong≆ \ncong ⊀\nprec⊀ \nprec ⊬\ nvdash⊬ \nvdash ⫋\varsubsetneqq \varsubsetneqq ≠\ne= \ne ⋠\npreceq⋠ \npreceq ⊭\nvDash⊭ \nvDash ⊋\varsupsetneq \varsupsetneq ≠\neq= \neq ∤\nshortmid \nshortmid ⊯\nVDash⊯ \nVDash ⫌\varsupsetneqq \ varsupsetneqq ≱ \ ngeq≱ \ ngeq ∦ \ nshortparallel \ nshortparallel ⊮ \ nvdash⊮ \ nvdash \ \ nvdash⊮ \ nsim≁ \nsim ⪹ \ precnapprox⪹ \ precnaprox Прямой ввод: ∉∌∤∦≁≆ ≠ ≨≩≮≯≰≱⊀⊁⊈⊉⊊⊋⊬⊭⊮⊯⋠⋡⋦⋧⋨⋩⋬⋭ ⪇⪈⪉⪊⪵⪶⪹⪺⫋⫌∉ ∌ ∦ ≁ ≠ ≠ ≨ ≩ ≮ ≯ ≰ ≱ ⊁ ⊈ ⊉ ⊊ ⊋ ⊬ ⊭ ⊮ ⊯ ⋡ ⋦ ⋧ ⋩ ⋬ ⪇ ⪈ ⪊ ⪵ ⪶ ⪺ ⫋ ⫋ ⫋ ⫋ ⫋ ⫋ ⫋ ⋭ ⪵ ⪶ ⪹ ⪺ ⪺ ⪺ ⪺ ⪺ ⫌∈/∋∤∦≁≆ = ≨≩≮≯≰≱⊀⊁⊈⊉⊊⊋⊬⊭⊮⊯⋠⋡⋦⋧⋨⋩⋬⋭⪇⪈⪉⪊⪵⪶⪹⪺⫋⫌ Стрелки 9000 9. \ rarr 9.111111111110101011011011011011011011011011011011011011011011011073333333. \ 111111111111110.9107. 599595 ↺ \ CirclearRowleft↺ \ CirclearRowleft ↼ \ leftharpoonup↼ \ leftharpoonup ⇒ \ rarr my \ rarr ↻ \ Circlearrowright↻ \ Circlearrowright ⇇ \ leftleftarrows⇇ \ leftleftarows → \ Rarr → \ Rarr \ rarr → CurvareAreLel↶ ↶ \ CurvareAreLel↶ ↾ \ Retriction↾ \ Retriction ↷ \ curvearrowright↷ \ curvearrowright ⇔ \ leftrightArrow⇔ \ leftrightArrow atrow atrow atrow atrow at atrigh1073 \rightarrow ⇓\Darr⇓ \Darr ⇆\leftrightarrows⇆ \leftrightarrows ⇒\Rightarrow⇒ \Rightarrow ⇓\dArr⇓ \dArr ⇋ \ leftrightharpoons⇋ \ leftrightharpoons ↣ \ rightRrowntail \ RightRowrowtail ↓ \ Darr ↓ \ DARR ↭ \ LeftrightSquiGarr↭ . 0005 ⇁\rightharpoondown⇁ \rightharpoondown ⇠\dashleftarrow⇠ \dashleftarrow ⇚\Lleftarrow⇚ \Lleftarrow ⇀\rightharpoonup⇀ \rightharpoonup ⇢\dashrightarrow⇢ \dashrightarrow ⟵\longleftarrow⟵ \longleftarrow ⇄\rightleftarrows⇄ \rightleftarrows 11074 ⟸\Longleftarrow⟸ \Longleftarrow ⇌\rightleftharpoons⇌ \rightleftharpoons ⇓\Downarrow⇓ \Downarrow ⟷\longleftrightarrow⟷ \longleftrightarrow ⇉\rightrightarrows⇉ \rightrightarrows ⇊\downdownarrows⇊ \downdownarrows ⟺\longleftrightarrow⟺ \longleftrightarrow ⇝\rights 9 quigarrow1073 \rightsquigarrow ⇃\downharpoonleft⇃ \downharpoonleft ⟼\longmapsto⟼ \longmapsto ⇛\Rrightarrow⇛ \Rrightarrow ⇂\downharpoonright⇂ \downharpoonright ⟶\longrightarrow⟶ \longrightarrow ↱\Rsh↱ \Rsh 1074 ↘\searrow↘ \searrow ⇔\Harr⇔ \Harr ↫\looparrowleft↫ \looparrowleft ↙\swarrow↙ \swarrow ⇔\hArr ⇔ \ HARR ↬ \ Looparrowright↬ \ Looparrowright → \ to → \ to ↔ \ Harr↔ \ Harr ⇔ \ LRARR⇔ \ LRAR 9104 40004 40004 40004 40004 40004 40004 40004 40004 \ LRAR \twoheadleftarrow↞ \twoheadleftarrow ↩\hookleftarrow↩ \hookleftarrow ⇔\lrArr⇔ \lrArr ↠\twoheadrightarrow↠ \twoheadrightarrow ↪\hookrightarrow↪ \hookrightarrow ↔\lrarr ↔ \lrarr ⇑\Uarr⇑ \Uarr   ⟺  \iff⟺ \iff ↰\Lsh↰ \Lsh ⇑\uArr⇑ \uArr ⟸ \ umpiedby⟸ \ repiredby ↦ \ mapsto↦ \ mapsto ↑ \ uarr ↑ \ uarr ⟹ \ Impice \ Implys . ↑\uparrow↑ \uparrow ⇐\Larr⇐ \Larr ↚\nleftarrow↚ \nleftarrow ⇑\Uparrow⇑ \Uparrow ⇐\lArr ⇐ \lArr ⇍ \ nleftarrow⇍ \ nleftarrow ↕ \ updownarrow↕ \ updownarrow \ nleftrrow↮ \ Larr ↮ \ nleftrightright↮ . UpdownArrow ⇝ \ Leadsto⇝ \ Leadsto ⇎ \ nleftrightarrow⇎ \ nleftrightArrow \ Upharpoonleft↿ \ UpharpoonLft 9 9 9 9 9959 9. 7000. 7000. 7,000. 7000. 7000. 7000. 7000. 7000. 7000. 7000. 7000. 7000. 7000. 7000.8. 7. 100. \ usharpoonLf1073 \ Leatharrow ↛ \ nrightarrow↛ \ nrightarrow ↾ \ upharpoonright ↾ \ upharpoonright 4 ⇐ \ \ LeftRow⇐ \ Leathrow 4 ⇐ \ \ \ \11073 \ 40004 ⇐ \ \ nefrightrow⇐ \ 40004 40004 ⇐ \ nefhrow⇐ \ 40004 ⇐ \ \ \11073. UpuParrows⇈ \ upuparrows ↢ ​​\ Leathrowtail↢ \ Leatharrowtail ↖ \ nwarrow↖ \ nwarrow ↽ \ Leftharpoondown↽ 33333 4.1074 угросла ↾↾↿⇀⇁⇂⇃⇄⇆⇇⇈⇉⇊⇋⇌⇍⇎⇏⇐⇑ Одну ↢ ↣ ↩ ↪ ↫ ↬ ↭ ↮ ↰ ↷ ↷ ↻ ↼ ↽ ↾ ↾ ↿ ⇀ ⇁ ⇂ ⇄ ⇆ ⇇ ⇈ ⇊ ⇋ ⇌⇍ ⇏ ⇐ ⇓ ⇓ ⇓ ⇕ ⇚ ⇛ ⇠ ⇢ ⟷ ⇓ ⟹ ⟺ ⟼ ← ↑ → ↓ ↔↕↖↗↘↙↚↛↞↠↢↣↦↩↪↫↬↭↮↰↱↶↷↺↻↼↽↾↾↿⇀⇁⇂⇃⇄⇆⇇⇈⇉⇊⇋⇌⇍ ⇎⇏⇐⇑ Одна Расширенные стрелки 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 90009 3. Xtwoheadrightarrow {ABC} ← ABC \ Xleftarrow {ABC} ABC \ XleftArrow {ABC} →underover\xrightarrow[under]{over}overunder​ \xrightarrow[under]{over} ⇐abc\xLeftarrow{abc}abc​ \xLeftarrow{abc} ⇒ight{rightabc\xRarrow ABC} ABC \ xrightarrow {ABC} ↔ABC \ XLEFTRIGHTARROW {ABC} ABC \ XLEFTRIGHTARROW {ABC} ⇔ABC \ xleftrightArrow {ABC} ⇔ABCC \ xleftrightArrow {ABC} ⇔ABCCIT ↩abc\xhookleftarrow{abc}abc​ \xhookleftarrow{abc} ↪abc \ xhookrightarrow {ABC} ABC \ XhookrightArrow {ABC} ↞ABC \ XTWOHEADLEFTARROW {ABC} \ xtwoHeadfArrow {abc} ↼ABC \ XleftharPoonup {ABC} ABC \ xleftharpoonup {ABC} ⇀abc \ xrightharpoonup {abc} abc 333333 \ xrichloonup {abc} abc \ xrightharpoonup {abc} abc \ xrightharpoonUp xleftharpoondown{abc}abc​ \xleftharpoondown{abc} ⇁abc \ xrightharpoondown {ABC} ABC \ xrightharpoondown {ABC} ⇋ABC \ Xleftrightharpoons {ABC} ABC \ xleftrighTharpoons {ABC} abc \ xleftrigharpoons {abc} abc \ xleftrighar \xrightleftharpoons{abc} ⇄abc\xtofrom{abc}abc​ \xtofrom{abc} ↦abc\xmapsto{abc}abc​ \xmapsto{abc} = abc\xlongequal{abc}abc \xlongequal{abc} Все расширяемые стрелки могут принимать необязательный аргумент так же, как \xrightarrow[under]{over} . Специальное обозначение Обозначение скобы ⟩ \ket{\psi} ⟨ϕ∣ψ⟩\braket{\phi\VERT\psi}⟨ϕ∣ψ⟩ \braket{\phi|\psi} ⟨ϕ∣ Бюстгальтер{\phi}⟨ϕ∣ \Бюстгальтер{\phi} 92} | ψ } Style, Color, Size, and Font Class Assignment \mathbin \mathclose \mathinner \mathop \mathopen \mathord \mathpunct \mathrel Color F=ma\color{blue} F=maF=ma \color{blue} F=ma Обратите внимание, что \color действует как переключатель Другие цветовые функции ожидают, что содержимое будет аргументом функции: F=ma\textcolor{синий}{F=ma}F=ma \textcolor{синий}{F=ma} F=ma\textcolor{#228B22}{F=ma}F=ma \ textcolor{#228B22}{F=ma} F=ma\colorbox{aqua}{$F=ma$}F=ma​ \colorbox{aqua}{$F=ma$} F=ma\ fcolorbox{red}{aqua}{$F=ma$}F=ma​ \fcolorbox{red}{aqua}{$F=ma$} Обратите внимание, что, как и в LaTeX, \colorbox и \fcolorbox отображает свой третий аргумент как текст, поэтому вы можете вернуться в математический режим с помощью $ как в примерах выше. Для определения цвета цветовые функции KaTeX будут принимать стандартные предопределенные имена цветов HTML. Они также будут принимать аргумент RGB в шестнадцатеричном стиле CSS. Знак «#» не обязателен перед шестизначной спецификацией. Font \mathit{Ab0} AB0 \ MATHRM {AB0} AB0 \ Mathrm {AB0} AB0 \ MathBF {AB0} AB0 \ MathBF {AB0} 99 999 999 9 ab0 \ mathnormal {ab0} ab0 \ mathnormal {ab0} ab0 \ textbf {ab0} ab0 \ textbf {ab0} ab0 \ textiT {ab0} ab073 3 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ab0 \ Ab0\textrm{Ab0}Ab0 \textrm{Ab0} Ab0\bf Ab0Ab0 \bf Ab0 Ab0\it Ab0Ab0 \it Ab0 Ab0\rm Ab0Ab0 \ rm Ab0 Ab0\bold{Ab0}Ab0 \bold{Ab0} Ab0\textup{Ab0}Ab0 \textup{Ab0} Ab0\textnormal{Ab0}Ab0 \textnormal{Ab0} Ab0\boldsymbol{Ab0}Ab0 \boldsymbol{Bab} 90{0bb} AB0bb} 90 \Bbb{AB} Ab0\text{Ab0}Ab0 \text{Ab0} Ab0\bm{Ab0}Ab0 \bm{Ab0} AB{bb}thAB 90ma045 90ma \mathbb{AB} Ab0\mathsf{Ab0}Ab0 \mathsf{Ab0} Ab0\textmd{Ab0}Ab0 \textmd{Ab0} Ab0\frak{Ab0}Ab0 \frak{Ab0} Ab0\textsf{Ab0}Ab0 \textsf{Ab0} Ab0\mathtt{Ab0}Ab0 \ mathtt {ab0} ab0 \ mathfrak {ab0} ab0 \ mathfrak {ab0} ab0 \ sf ab0ab0 \ sf Ab0 Ab0 \ texttt {ab073 \ sf Ab0 \ texttt {ab073 a ab074 Ab0. } AB0\mathcal{AB0}AB0 \mathcal{AB0} Ab0\tt Ab0Ab0 \ TT AB0 AB0 \ CAL AB0AB0 \ CAL AB0 AB \ MathSCR {AB} AB \ MathSCR {AB} ONE One Cont Font. и форму шрифта, используя \textXX версии функций шрифта. Таким образом, \textsf{\textbf{H}} даст H\textsf{\textbf{H}}H. Другие версии не складываются, например, \mathsf{\mathbf{H}} даст H\mathsf{\mathbf{H}}H. В случаях, когда шрифты KaTeX не имеют жирного глифа, \pmb может имитировать его. Например, \pmb{\mu} отображается как: μ\pmb{\mu}μ Размер AB\Огромный ABAB \Огромный AB 7AB0 1Нормальный размер 90 AB AB \ ОГРОМНЫЙ ABAB \ Огромный AB AB \ Small Abab \ Small AB AB \ Большой Abab \ Большой AB AB \2! \text{…} примет вложенные $…$ фрагмента и отобразит их в математическом режиме. Символы и пунктуация 9000.% 9000 25.% 9, 4 \ 14 \ ,9104,9000.% .% ,9104,9104,9000.% 9000,9104,9104,.% ,9104,.% 9000, 9000.% 9plate. \cdots⋯ \cdots \text 9{\text1{\text004£\text1{\text073} } 11111111111111111111111111111111111111111111111111111131111111111111111111111111111111111111111111111111111111119н Прямой ввод: § ¶ £¥∇∞⋅∠∡∢♠♡♢♣♭♮♯✓…⋮⋯⋱!£ ¥ ∇ ∞ · ∠ ∡ ∢ ♠ ♡ ♢ ♣ ♭ ♮ ♯ ♯ ✓ ∇∞⋅∠∡∢♠♡♢♣♭♮♯✓…⋮⋯⋱! ‼ ⦵ Единицы В KaTeX единицы пропорциональны так же, как и в TeX. Единицы KaTeX отличаются от единиц CSS. % Комментарий … \ Dots… \ DOTS LaTeX\LaTeXLATE​X \LaTeX #\## \# ⋱ \ DDOTS⋱ \ DDOTS TEX \ TEXTE X \ TEX & && \ & … \ LDOTS… \ LDOTS … \ LDOTS… \ LDOTS … \ LDOTS… \ LDOTS … Nabla∇ \ nabla _ \ __ \ _ ⋮ \ VDOTS ⋮ \ VDOTS ∞ \ infty∞ \ Infty \ \ \ infty \ Infty ∞ \ infty \ \text{\textunderscore} ⋯\dotsb⋯ \ dotsb ∞ \ infin∞ \ infin -\ text {-}- \ text {-} … \ Dotsc… \ Dotsc cmark \ amark \checkmark –\text{\textendash}– \text{\textendash}  ⁣⋯\dotsi⋯ \dotsi †\dag† \dag — \text{—}— \text{---} ⋯\dotsm⋯ \dotsm †\dagger† 9 \text{\textasciicircum} …\mathellipsis… \mathellipsis ‡\ddagger‡ \ddagger ‘`’ ` …\text{\textellipsis}… \ text{\textellipsis} ‡\text{\textdaggerdbl}‡ \text{\text{\textdaggerdbl} ‘\text{\textquoteleft}’ text{\textquoteleft} 7 09 \Коробка ‡\Кинжал‡ \Кинжал ‘\ LQ’ \ LQ □ \ Square □ \ Square ♂ \ Anglem \ Angle ‘\ Text {\ Textquoteright} \ Text {\ Text {\ text {\ text {\ text {\ text {\ text {\ text {\ text {\ text {\ text {\ text {\ text {\ text {\ text {\ text} \ text {\ text}}' } ■ \ Blacksquare ■ \ Blacksquare ∡ \ MeasuredAngle∡ \ MeasuredAngle ′ \ RQ ′ \ RQ △ \ Triangle △ \ RQ △ \ Triangle △ \ RQ 44444444444444444444444444444 гг. \сферический угол “\text{\textquotedblleft}“ \text{\textquotedblleft} ▽\triangledown▽ \triangledown ⊤\top⊤ \top «»» " ◃\triangleleft◃ \triangleleft ⊥\bot⊥ \bot ”\text{\textquotedblright}” \text{\textquotedblright} ▹\triangleright▹ \triangleright $\$$ \$  ⁣:\colon: \colon ▽\bigtriangledown▽ \bigtriangledown $\text{\textdollar}$ \text{\textdollar} ‵ \backprime‵ \backprime △\bigtriangleup△ \bigtriangleup £\pounds£ \pounds ′\prime′ \prime ▲\blacktriangle▲ \blacktriangle £\mathsterling£ \mathsterling <\text{\textless}< \text{\textless} ▼\blacktriangledown▼ \blacktriangledown > \ Text {\ Textgreater}> \ Text {\ Textgreater} ◀ \ BlacktrianGleleft ◀ \ BlacktrianGleleft ¥ \ Yen ¥ \ yen ¥ \ yen ¥ \ yen 9000 4000 9 \текстовая панель}| \text{\textbar} ▶\blacktriangleright▶ \blacktriangleright √\surd√ \surd ∥\text{\textbardbl}∥ \text{\textbardbl} ⋄\diamond⋄ \diamond °\градусы \градусы {\text{\textbraceleft}{ \text{\textbraceleft} ◊\Diamond◊ °4 {\text } ° \text{\textстепень} } \ text {\ textbraceright}} \ text {\ textbraceright} ◊ \ lozenge◊ \ lozenge ℧ \ mho℧ \ mho \\ \ '\' \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ' \ text {\ textbackslash} ⧫ \ blacklozenge⧫ \ blacklozenge ╲ \ Diagdown╲ \ Diagdown ¶ \ Text {\ P} ¶ \ Text {\ Pt {\ Pt {\ Pt {\ Pt {\ Pt {\ Pt {\ Pt {\ Pt {\ Pt {\ Pt {\ Pt {\ Pt {\ P} \ {\ P}}} \ Pt {\ P} \ . \P ⋆\звездочка⋆ \звездочка ╱\diagup╱ \ Diagup § \ Text {\ s} § \ Text {\ s} или \ S ★ \ Bigstar ★ \ Bigstar ♭ \ Flat ♭ \ Flat ♭ \ Flat ♭ \ rat ♭ \ flat ♭ \ \ Flat ♭ \ Flat ♭ \ \ ♭ \ \ 9000 § \ text {\ sect} § \ text {\ sect} ♣ \ Clubsuit ♣ \ Clubsuit ♮ \ Natural ♮ \ Natural © ♮ Capyrightc \ Copyrightc \ Copyrightc ◯ Copyrightc ◯ Copyrightc ◯ Copyrightc ◯ Copyrightc ◯ Copyrightc ◯ ◯ ♮ ♮ ♮ ♮ ♮ \ artitude . ♣\трефы♣ \трефы ♯\диез♯ \диез ®\circledR® \circledR ♢\diamondsuit♢ \diamondsuit ♡\heartsuit♡ \heartsuit ®\text{\textregistered}R◯ \text{ \textregistered} ♢\diamonds♢ \diamonds ♡\hearts♡ \hearts Ⓢ\circledSⓈ \circledS ♠\spadesuit♠ \spadesuit ♠\ пики ♠ \ пики a ◯ \ text {\ textcircled a} a ◯ \ text {\ textcircled a} ✠ \ Malteese✠ \ Malteese 777777777777.27 дюйм × F × G777777777777777.27 дюйм × F × G Катекс Блок Value KaTeX Unit Value em CSS em bp 1/72​ inch × F × G ex CSS ex pc 12 Katex Pt MU 1/18 CSS EM DD 1238/1157 Katex PT PT 1/72,27 дюйма × F × G CC CC CC 9000 7777777777777.27 дюйм × F × G 777777777.27 дюйма × G 777777777.27. mm 1 mm × F × G nd 685/642 KaTeX pt cm 1 cm × F × G nc 1370/107​ KaTeX pt in 1 дюйм × F × G sp 1/65536 KaTeX pt где: F = (размер шрифта окружающего HTML-текста по умолчанию)/(10 pt) 10 10 потому что размер шрифта KaTeX обычно составляет 1,21 × размер окружающего шрифта. Это значение может быть переопределено CSS HTML-страницы. Влияние стиля и размера: Блок TextStyle Scriptscript Огромный 0 или EX 0 или EX \ или EX . {1em}{1em} \huge\rule{1em}{1em} mu \rule{18mu}{18mu} \scriptscriptstyle\rule{18mu}{18mu} \huge\ правило{18mu}{18mu} другие \rule{10pt}{10pt} \scriptscriptstyle\rule{10pt}{10pt} \huge\rule{10pt}{10pt} Калькулятор форм вершин кандидат Отзыв Стивена Вудинга Последнее обновление: 06 апреля 2022 г. Содержание: Как найти вершину параболы? Вершинное уравнение Что такое вершинная форма квадратного уравнения? Как преобразовать стандартную форму в вершинную? Преобразователь формы вершины в стандартную форму Как пользоваться калькулятором формы вершины? Это калькулятор форм вершин (также известный как калькулятор вершин или даже калькулятор вершин). Если вы хотите знать , как найти вершину параболы , это правильное место для начала. Кроме того, наш инструмент научит вас , что такое форма вершины , квадратное уравнение , равное , и как получить уравнение формы вершины или само уравнение вершины. И это еще не конец! Этот калькулятор также поможет вам преобразовать стандартную форму параболы в вершинную или даже наоборот в мгновение ока! Как найти вершину параболы? Уравнение вершины Вершина параболы — это точка, представляющая экстремальное значение квадратичной кривой . Квадратичная часть стоит потому, что самая значимая степень нашей переменной ( x ) равна двум. Вершина может быть как минимальной (для параболы, раскрывающейся вверх), так и максимальной (для параболы, раскрывающейся вниз). В качестве альтернативы можно сказать, что вершина является пересечением параболы и ее оси симметрии . Обычно мы обозначаем вершину как точку P(h,k) , где h обозначает координату x , а k обозначает координату y . Хватит с определений. Но как найти вершину квадратичной функции? Это может быть сюрпризом, но для этого нам не нужно вычислять квадратный корень! Всякий раз, когда мы сталкиваемся со стандартной формой параболы y = a*x² + b*x + c , мы можем использовать уравнения координат вершины: h = -b/(2a) , k = c - b²/(4a) . Зная, как найти эти отношения, мы можем сделать еще один шаг и спросить: Какова форма вершины параболы? Что такое вершинная форма квадратного уравнения? Интуитивно, форма вершины параболы та, что включает детали вершины внутри . Мы можем написать уравнение формы вершины как: y = a*(x-h)² + k . Как видите, нам нужно знать три параметра, чтобы написать квадратичную вершинную форму . Один из них a , такой же как и в стандартной форме. Он говорит нам, открывается ли парабола вверх ( a > 0 ) или вниз ( a < 0 ). Параметр a никогда не может быть равен нулю для вершинной формы параболы (или любая другая форма, строго говоря). Остальные параметры h и k являются компонентами вершины. Вот где уравнение формы вершины получило свое название. Дополнительно стоит отметить, что можно построить график квадратичной функции, имея только параметр a и вершину . Как преобразовать стандартную форму в вершинную? Можно попытаться преобразовать квадратное уравнение из стандартной формы в вершинную, используя метод квадратов: Запишите уравнение параболы в стандартной форме: y = a*x² + b*x + c ; Извлеките из из первых двух членов: y = a * (x² + b/a * x) + c ; Дополните квадрат выражений размером x . Недостающая дробь (b/(2a))² . Добавьте и вычтите этот член в уравнении параболы: y = a * [x² + b/a * x + (b/(2a))² - (b/(2a))²] + c ; Мы можем сжать три ведущих члена в сокращенную версию умножения: y = a * [(x + b/(2a))² - (b/(2a))²] + c ; Удалите квадратную скобку, умножив члены на a : y = a*(x + b/(2a))² - b²/(4a) + c ; Сравните результат с вершинной формой квадратного уравнения: y = a*(x-h)² + k ; В результате сравнения мы знаем, как найти вершину параболы: h = -b/(2a) и k = c - b²/(4a) . Это один из способов конвертации в вершинную форму из стандартной. Второй (и более быстрый) способ — использовать наш калькулятор форм вершин — способ, который мы настоятельно рекомендуем! Требуется только ввести параметры a , b и c . Затем результат сразу появляется в нижней части области калькулятора. Преобразователь формы вершины в стандартную форму Наш калькулятор вершин может работать и наоборот на нахождение стандартной формы параболы . Если вы хотите знать, как сделать это вручную, используя уравнение формы вершины, вот рецепт: Запишите уравнение параболы в вершинной форме: y = a*(x-h)² + k ; Раскройте выражение в скобках: y = a*(x² - 2*h*x + h²) + k ; Умножьте числа в скобках на a : y = a*x² - 2*a*h*x + a*h² + k ; Сравните результат со стандартной формой параболы: y = a*x² + b*x + c ; Оценить значения параметров: b = -2*a*h , c = a*h² + k . Как использовать калькулятор форм вершин? Существует два подхода к использованию нашего калькулятора формы вершин: Последний вариант мы уже описали в одном из предыдущих разделов. Посмотрим, что получится у первого: Введите значения параметра a и координаты вершины h и k . Пусть они будут a = 0,25 , h = -17 , k = -54 ; Вот и все! В результате вы можете увидеть график вашей квадратичной функции вместе с точками, обозначающими вершину, y-пересечение и нули . Под таблицей вы найдете подробное описание: И вершина, и стандартная форма параболы: y = 0,25(x + 17)² - 54 и y = 0,25x² + 8,5x + 18,25 соответственно; Вершина: P = (-17, -54) ; Y-пересечение: Y = (0, 18,25) ; Значения нулей: X₁ = (-31,6969, 0) , X₂ = (-2,3031, 0) . Если вам интересно, мы округлим результат до пяти значащих цифр. No related posts. Добавить комментарий Отменить ответ Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены * Комментарий * Имя * Email * Сайт