Гипербола. Обратная пропорциональность 8 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей
114. Функция у = k/x и ее график
Обратная пропорциональность – это функциональная зависимость, при которой уменьшение либо увеличение в несколько раз независимой величины (аргумента) вызывает пропорциональное увеличение, либо уменьшение зависимой величины (функции).
Обратной пропорциональностью называется функция, которую можно задать формулой вида y=kx, где х – независимая переменная, а k – любое число, k≠0.
Допустим, мы пришли в магазин за тетрадями. Тетради на прилавке и деньги в кошельке находятся в обратной пропорциональности. Т.е. чем больше мы купим тетрадей, тем меньше денег у нас останется.
Графиком функции является гипербола.
График функции при k>0:
Гипербола состоит из 2 частей: одна находится в I четверти, где значения X и Y положительные, а вторая часть – в III четверти, где значения X и Y отрицательные.
y(x)>0 при x∈(0;+∞)
y(x)<0 при x∈(-∞;0)
Если двигаться по одной ветви гиперболы от -∞ к 0, то мы замечаем, что функция убывает, если двигаться по другой ветви гиперболы от 0 до +∞, то мы снова видим, что функция убывает. Следовательно, функция y=kx, где k>0, убывает.
График функции при k<0:
Гипербола состоит из 2 частей: одна находится во 2 четверти, где значения X отрицательные, а значения Y положительные, а вторая часть – в 4 четверти, где значения X положительные, а значения Y отрицательные.
y(x)<0 при x∈(0;+∞)
y(x)>0 при x∈(-∞;0)
Если двигаться по одной ветви гиперболы от -∞ к 0, то мы замечаем, что функция возрастает, если двигаться по другой ветви гиперболы от 0 до +∞, то мы снова видим, что функция возрастает. Следовательно, функция y=kx, где k<0, возрастает.
Свойства функции:
-
Область определения функции:
D(f) = (-∞;0)∪(0;+∞).
-
Область значения функции:
E(f) = (-∞;0)∪(0;+∞).
-
Наибольшего и наименьшего значения функция y=kx не имеет.
-
y=kx нечетная функция, то есть график симметричен относительно начала координат (0;0).
-
Функция не ограничена.
-
Функция не пересекает координатные оси (OX и OY).
Если добавить константу а (где a любое число) в знаменатель в качестве слагаемого к X, то произойдет перемещение гиперболы по оси OX (вместе с вертикальной асимптотой).
В таком случае уравнением функции станет y=kx+a.
Если перед а стоит знак «+» (y=kx+a), a>0, то график функции передвигается по оси OX влево.
Для примера возьмем уравнение y=1x+2:
Гипербола смещена на 2 влево.
Если перед а стоит знак «–» (y=kx-a), a>0, то график функции передвигается по оси OX вправо.
Для примера возьмем уравнение y=1x-2:
Гипербола смещена на 2 вправо.
Если добавить константу b (где b любое число) к дроби в качестве слагаемого, то произойдет перемещение гиперболы по оси OY (вместе с горизонтальной асимптотой). В таком случае уравнением функции станет y=kx+b.
Если перед b стоит знак «+» (y=kx+b), b>0, то график функции передвигается по оси OY вверх.
Для примера возьмем уравнение y=1x+2:
Гипербола смещена на 2 вверх.
Если перед b стоит знак «-» (y=kx-b), b>0, то график функции передвигается по оси OY вниз.
Для примера возьмем уравнение y=1x-2
Гипербола смещена на 2 единицы вниз.
От коэффициента k зависит, как будут вести себя ветви гиперболы относительно начала координат.
Например, сравним y=10x и y=1x:
Мы видим, что график функции y=1x значительно уже графика функции y=10x.
Чем больше коэффициент k, тем больше расстояние между ветвями гиперболы.
3-8БиоМатематика: Функции
Вы, наверное, знаете, что действие, обратное сложению, — это вычитание, а действие, обратное умножению, — деление.
Обратные есть не только у математических операций, но и у некоторых функций. Понимание обратных функций поможет вам решить некоторые уравнения, с которыми вы столкнетесь в науках о жизни. Например, у многих есть функция, которая сообщает вам частоту аллеля в популяции в данный момент времени. Но предположим, что вы хотите узнать время, соответствующее определенной частоте. Решение этой задачи включает поиск обратной исходной функции.
Определение и примеры
Рассмотрим функцию f ( x ). Мы можем думать о f как об операции над переменной x (где x — действительное число). Другими словами, у нас есть некоторая переменная x , которую мы вводим в f , а f выводит новую переменную y . Например,
ф ( х ) = 2 х
работает путем умножения ввода x на два. Выход этой функции: y = 2 x .
Является ли эта операция обратимой? В нашем примере ответ однозначно положительный. Если мы умножаем какое-то число на 2, мы всегда можем разделить полученное число на два, чтобы восстановить исходное число. Следовательно, функция
Определение Две функции f ( x ) и g ( x ) являются обратными функциями, если выполняются оба следующих утверждения, (1) г ( f ( x )) = x для всех x в домене f , (2) f ( г ( x )) = x для всех x в области г .
|
Обратное к f обозначим через f -1 .
Внимание: В целом, f -1 ( x ) ≠ 1/ f ( x ). |
Графически f ( x ) и f -1 ( x ) связаны в том смысле, что график f -1 ( x ) является отражением f ( x ) через линию y = x . Напомним, что линия y = x — это линия под углом 45°, проходящая через квадранты I и III. Кроме того, если f и f -1 являются обратными функциями, областью определения f является диапазон f -1 и наоборот. Если точка ( a , b ) лежит на графике f , то точка ( b , a ) лежит на графике f -1 .
Как определить, есть ли у функции обратная функция.
Чтобы функция имела обратную, разные входы должны соответствовать разным выходам. Такие функции называются
Определение Функция является взаимно однозначной, если для всех a ≠ b в области f , f ( a ) ≠ f ( b ). |
Рассмотрим функцию
ф ( х ) = х 2 .
Если мы введем x = 4, то
е (4) = (4) 2 = 16.
Аналогично, если мы введем х = -4, тогда
f (-4) = (-4) 2 = 16.
Как видите, два разных входа, 4 и -4, дают один и тот же выход, 16. Это показывает, что функция f ( x ) = x 2 НЕ является однозначной. один, и, следовательно, не может иметь обратного.
Еще один способ доказать себе, что f ( x ) = x 2 не имеет обратного, состоит в том, чтобы задать вопрос: «Можем ли мы восстановить -4 из 16?» Один из способов восстановить -4 из 16 — взять -√16. Теперь предположим, что мы вводим x = 4 в ту же функцию.
f (4) также равно 16. Мы можем восстановить 4, извлекая квадратный корень из 16. Это создает проблему; чтобы восстановить два допустимых входных значения из функции f ( x ) = x 2 , были использованы две разные операции. В этом случае обратная операция неоднозначна, это может быть либо √, либо -√, что показывает, что операция возведения числа в квадрат необратима. Следовательно, функция
Существует также простой графический способ проверить, является ли функция взаимно однозначной и, следовательно, обратимой, тест горизонтальной линии . Если горизонтальная линия пересекает график f более чем в одном месте, то f не является взаимно однозначным и не проходит тест горизонтальной линии. На рисунке ниже видно, что горизонтальная линия пересекает график f 909.14 ( x ) = x 2 более чем в одном месте, и, таким образом, функция не проходит тест горизонтальной линии.
Поиск символического представления для f —1 ( x ).
Для некоторых функций мы можем написать символическое представление обратной функции. Предположим, у нас есть функция y = f ( x ), которую мы знаем как обратимую. Чтобы попытаться найти формулу для
f —1 ( x ), нужно поменять местами переменные x и y и найти y . Например, рассмотрим функцию
х = 3 х -7.
Если вы начертите эту функцию, вы увидите, что это линия, которая проходит тест горизонтальной линии и, следовательно, является обратимой. Чтобы найти символическое представление f —1 ( x ), мы меняем местами переменные x и y следующим образом,
х = 3 у — 7.
Чтобы найти обратное уравнение, мы должны теперь решить приведенное выше уравнение для y as,
y = ( х + 7)/3.
Следовательно, мы можем записать f —1 ( x ) = ( x + 7)/3 как символическое представление обратного числа f .
Теперь рассмотрим функцию
ф ( х ) = х 2 ,
Переключая переменные x и y мы сталкиваемся со следующей проблемой,
х = у 2 ,
y = ±√ x .
В этом случае мы поменяли местами переменные, нашли y и обнаружили неоднозначность. В нашей попытке символически представить f -1 привело к уравнению y = ±√ x, , которое НЕ является функцией, поскольку один вход соответствует двум выходам.
Этот пример также иллюстрирует, почему функция должна быть взаимно однозначной, чтобы быть обратимой. Кроме того, поскольку область и диапазон обратных функций меняются местами, тот факт, что разные входные данные дают одинаковые выходные данные для f , приводит к тому, что один входной сигнал дает разные выходные данные для f —1 , как показано на рисунке ниже.
К сожалению, мы не всегда можем найти символическое представление для обратимой функции. Рассмотрим следующую функцию,
f ( x ) = y = x 3 + 2 x 2 + 3 x + 1 Эта функция проходит тест горизонтальной линии и поэтому является обратимой. Чтобы найти символьное представление для f -1 , меняем местами переменные x и y , х = у 3 + 2 у 2 + 3 у + 1, и найти и . Нахождение инверсии путем ограничения домена Хотя мы не можем найти обратную функцию, которая не является взаимно однозначной, часто мы можем найти обратную функцию таких функций, ограничив область определения. Возвращаясь к нашему примеру, функция ф ( х ) = х 2 , не является взаимно однозначной, но становится взаимно однозначной функцией, если мы ограничиваем домен неотрицательными действительными числами { х | х ≥ 0}. При ограничении домена этим набором f -1 ( x ) = √ x .
В этом сложном случае мы не можем записать y = f -1 как явную функцию от x . Хотя f -1 ( x ) существует, мы не можем записать символическое выражение в терминах переменной x для его представления.