Y log 2 по основанию x: построить схематически грфик функции 1)y=log x по основанию 2 и 2)y=log x по основанию 0,2

Презентация на тему: «Y=log 2x-1 (x 2

1 y=log 2x-1 (x 2 — 2x-7) L o g l o g 2 2 x x x = c o s 3 0 x Логарифмические уравнения и неравенства. Методы решения

2 Exit Логарифмы в истории Логарифмы в истории Логарифмы в истории Логарифмы в истории Логарифм Логарифм Логарифм Логарифмическая функция f(x)=log a x Логарифмическая функция f(x)=log a x Логарифмическая функция f(x)=log a x Логарифмическая функция f(x)=log a x Логарифмические уравнения Логарифмические уравнения Логарифмические уравнения Логарифмические уравнения Логарифмические неравенства Логарифмические неравенства Логарифмические неравенства Логарифмические неравенства

3 Открытие логарифмов — еще одна историческая цепочка знаний, которая связана не только с математикой, но и, казалось бы, совсем не имеющей к ней отношение музыкой.

Обращаемся к школе Пифагора (VI-IV вв. до н.э.), открытию в области числовых отношений, связанных с музыкальными звуками. Вся пифагорейская теория музыки основывалась на законах «Пифагора-Архита». 1. Высота тона (частота колебаний f) звучащей струны обратно пропорциональна ее длине l / f = a / l (а — коэффициент пропорциональности, характеризующий физические свойства струны). 2. Две звучащие струны дают консонанс (приятное созвучие), если их длины относятся, как 1:2, 2:3, 3:4. Пифагорова гамма была несовершенной, так как не позволяла транспонировать (переводить из тональности в тональность) мелодию. И лишь только в 1700 году немецкий органист А.Веркмайстер осуществил смелое и гениальное решение, разделив октаву (геометрически) на двенадцать равных частей. Какую же роль сыграли здесь логарифмы? Дело в том, что в основе музыкальной гаммы лежит геометрическая прогрессия со знаменателем, которая является иррациональным числом, при нахождении приближенного значения которого используются логарифмы.

4 Идея логарифма возникла также в Древней Греции. Так, в сочинении «Псамлигт» Архимеда ( гг. до н.э.) мы читаем: «Если будет дан ряд чисел в непрерывной пропорции начиная от 1 и если два его члена перемножить, то произведение будет членом того же ряда, настолько удаленным от большего множителя, насколько меньший удален от единицы, и одним членом меньше против того, насколько удалены оба множителя вместе». Здесь под «непрерывной пропорцией» Архимед разумеет геометрическую прогрессию, которую мы записали бы так: 1, а, а 2.

.. В этих обозначениях правило, сформулированное Архимедом, будет выражено формулой: a m *a n = a m+n. Историческое развитие понятия логарифма завершилось в XVII веке. В 1614-м в Англии были опубликованы математические таблицы для выполнения приближенных вычислений, в которых использовались логарифмы. Их автором был шотландец Дж.Непер ( гг.). В предисловии к своему сочинению Дж.Непер писал: «Я всегда старался, насколько позволяли мои силы и способности, отделаться от трудности и скуки вычислений, докучность которых обыкновенно отпугивает многих от изучения математики». Так вслед за изобретением логарифмов и развитием алгебры иррациональных чисел в музыку вошла равномерная темперация (новый двенадцатизвуковой строй).

5 Что такое логарифм? log a b=c log a b=c a c =b Основное логарифмическое тождество

6 Основные свойства логарифмов 1) Логарифм произведения положительных сомножителей равен сумме логарифмов этих сомножителей: log a N 1 ·N 2 = log a N 1 + log a N 2 (a > 0, a 1, N1 > 0, N2 > 0).

Замечание. Если N1·N2 > 0, тогда свойство примет вид log a N 1 ·N 2 = log a |N 1 | + log a |N 2 | (a > 0, a 1, N1·N2 > 0). 2) Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя (a > 0, a 1, N1 > 0, N2 > 0). Замечание. Если, (что равносильно N1N2 > 0) тогда свойство примет вид (a > 0, a 1, N1N2 > 0).

7 3) Логарифм степени положительного числа равен произведению показателя степени на логарифм этого числа: log a N k = k log a N (a > 0, a 1, N > 0). Замечание. Если k — четное число (k = 2s), то log a N 2s = 2s log a |N| (a > 0, a 1, N 0). 4) Формула перехода к другому основанию: (a > 0, a 1, c > 0, c 1, b > 0), в частности, если b = c, получим (a > 0, a 1, b > 0, b 1).

8 5) Из вышеуказанных свойств вытекают следующие формулы:

9 x y a y=log a x y=a x y=x

10 1. Область определения логарифмической функции есть множество положительных чисел. 2.Область значений логарифмической функции — множество действительных чисел. 3.При a > 1 логарифмическая функция строго возрастает (0 log a x 1 log a x 1 >log a x 2 ). 4.log a 1 = 0 и log a a = 1 (a > 0, a 1). 5.Если a > 1, то логарифмическая функция отрицательна при x Î (0;1) и положительна при x Î (1;+ ), а если 0 1, то логарифмическая функция выпукла вверх, а если a Î (0;1) — выпукла вниз.

11 x y y=log a x 1 1 a y x 1 a a>1 0

12 2) log a f(x) = log a g(x) Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма или (и) в его основании, называется логарифмическим уравнением.

Логарифмические уравнения log a x = b. 1) Простейшее логарифмическое уравнение Решением является x=a b f(x)= g(x), g(x)>0, f(x)>0. f(x)= g(x), g(x)>0, f(x)= g(x), f(x)>0.

13 4) log h(x) f(x) = log h(x) g(x) f(x) > 0, h(x) 1, h(x) > 0, f(x) = g(x), g(x) > 0. h(x) 1, h(x) > 0, f(x) = g(x), Потеря решений при неравносильных переходах log a f(x) = log a g(x) f(x) = g(x)

14 Методы решения логарифмических уравнений Использование определения логарифма Использование определения логарифма log a b = c b = a c Пример log 2 (5 + 3log 2 (x — 3)) = 3 log 2 (5 + 3log 2 (x — 3)) = 3 Решение Решение 5+3log 2 (x-3)=2 3 log 2 (x — 3) = 1 x=5

15 Методы решения логарифмических уравнений Использование свойств логарифма Использование свойств логарифма log a b = c b = a c Пример log 3 x + log 3 (x + 3) = log 3 (x + 24), log 3 x + log 3 (x + 3) = log 3 (x + 24), Решение Решение О. Д.З.: x>0, x(x+3)=x+24 x 2 + 2x — 24 = 0 x={-6;4} x(x+3)=x+24 x 2 + 2x — 24 = 0 x={-6;4} x>0 x>0 x=4 x=4

16 Методы решения логарифмических уравнений Метод подстановки Метод подстановки f(log a x)=0 t=log a x f(t)=0 f(t)=0Пример lg 2 x — 3lgx + 2 = 0 lg 2 x — 3lgx + 2 = 0Решение lg x = t lgx=1 t 2 -3t+2=0 lgx=2 x={10;100}

17 Пример 5 lg x = 25 5 lgx = 50 — x lg5 5 lgx = lgx 5 lg x = 25 x=100 x=100

18 Методы решения логарифмических уравнений Уравнения, содержащие выражения вида Уравнения, содержащие выражения видаПример Решение Решение log 2 (x+2)=t, t 2 -t-2=0.

19 Методы решения логарифмических уравнений Метод оценки левой и правой частей Метод оценки левой и правой частейПример log 2 (2x – x ) = x 2 – 2x + 5. log 2 (2x – x ) = x 2 – 2x + 5. Решение Решение 1) 2x – x = – (x 2 – 2x – 15) = –((x 2 – 2x + 1) –1 –15)= = (16 – (x – 1) 2 ) 16 log 2 (2x – x ) 4. 2) x 2 – 2x + 5 = (x 2 – 2x + 1) – = (x – 1) ; log 2 (2x – x )=4, x 2 – 2x + 5 =4. x=1

20 Методы решения логарифмических уравнений Использование монотонности функций. Подбор корней. Использование монотонности функций. Подбор корней.Пример log 2 (2x – x ) = x 2 – 2x + 5. log 2 (2x – x ) = x 2 – 2x + 5. Решение2x–x 2 +15=t, t>0 Решение2x–x 2 +15=t, t>0 x 2 –2x+5=20–t log 2 t=20-t y=log 2 t – возрастающая, y=20–t – убывающая. Геометрическая интерпретация дает понять, что исходное уравнение имеет единственный корень, который нетрудно найти подбором, t=16. Решив уравнение 2x–x 2 +15=16, находим, что x=1

21 1) log a f(x) > log a g(x) Неравенство, содержащее неизвестное под знаком логарифма или (и) в его основании, называется логарифмическим уравнением. Логарифмические неравенства f(x)>g(x)>0, a>

22 3) log h(x) f(x)>log h(x) g(x) (h(x)-1)(f(x)-g(x))>0, h(x)>0, f(x)>0, g(x)>0. 4) f(log a x)>0 t=log a x, f(t)>0.

23 Методы решения логарифмических неравенств с переменным основанием Быстрое избавление от логарифмов Пример log 2x (x 2 -5x+6)0.

24 Правило знаков Очевидно, что lg x, как и log a x по любому основанию a > 1, имеет тот же знак, что и число x – 1. В более общем случае от логарифма по произвольному основанию a можно перейти к основанию 10: Таким образом, знак величины log a x совпадает со знаком числа (x – 1)/(a – 1) или (x – 1)(a – 1). 1

25 Пример log 2x (x-4) log x-1 (6-x)0, x>0, x1/2, x>1,x-11. x (4;5) (5;6)

26

Тесты Логарифмические уравнения 11 класс с ответами

Тесты по алгебре 11 класс. Тема: «Логарифмические уравнения»

Правильный вариант ответа отмечен знаком +

1. Как выглядит простейшее логарифмическое уравнение?

a. log_ax = b +

b. log_aa = 1 —

c. 3log = b —

d. log_bx = a —

2. log₃1/9 = …

a. 27 —

b. 2 —

c. 12 —

d. -2 +

3. Чему равен x в уравнении log₄x = 3?

a. 12 —

b. 64 +

c. 7 —

d. 81 —

4. Что такое логарифмическое уравнение?

a. это уравнение, в котором неизвестные переменные находятся вне логарифмов —

b. это уравнение, в котором отсутствуют неизвестные переменные —

c. это уравнение, в котором неизвестные переменные находятся внутри логарифмов +

d. это уравнение, в котором неизвестные переменные представлены в виде логарифмов —

5. Из-за какого значения уравнение 1 + 2x = log₂(3x + 1) нельзя назвать логарифмическим?

a. 1 —

b. 2x +

c. 3x + 1 —

d. log₂ —

6. log₃x = … при x = ⅓

a. -1 +

b. 3 —

c. 1 —

d. 1/9 —

7. Действие, которое является обратным логарифмированию по некоторому основанию, — это …

a. аддитивность —

b. потенцирование +

c. инвариант —

d. тривиальность —

8. Чему равна область определения функции y=log_ax при a > 0, a≠1?

a. x > 0 +

b. x < 0 —

c. x = 0 —

d. x ⩽ 0 —

9. Какой математик является одним из изобретателей логарифмов?

a. Исаак Ньютон —

b. Джон Непер +

c. Андрей Колмогоров —

d. Леонтий Магницкий —

тест 10. График какого логарифма изображен на картинке?

a. натурального —

b. десятичного +

c. двоичного —

d. логарифма числа b по основанию a —

11. Между какими числами установлено равенство в уравнении log_ab=c?

a. a и b —

b. a и c —

c. a, b и c +

d. b и c —

12. Чему равен x в уравнении log₂x = 3?

a. 9 —

b. 6 —

c. 5 —

d. 8 +

13. Как расшифровывается Одз логарифма?

a. область допустимых значений логарифма +

b. общее действительное значение логарифма —

c. однозначность логарифма —

d. одинарное значение логарифма —

14. log2 x₂ + х = log₂(х + 9) при x = …

a. 6 —

b. 3 +

c. 10 —

d. 4 —

15. Логарифмическое неравенство – это неравенство вида log_ab(x) > log_ac(x),где а … 0, a ≠ 1

a. < —

b. = —

c. ≫ —

d. > +

16. Область значений логарифмической функции y = log_ax равна …

a. (-1; +♾) —

b. (-♾; +♾) +

c. (-♾; 1) —

d. -1; 0) —

17. Чему равен логарифм произведения положительных сомножителей?

a. сумме логарифмов этих сомножителей +

b. разности логарифмов этих сомножителей —

c. частному логарифмов этих сомножителей —

d. произведению логарифмов этих сомножителей —

18. Как будет выглядеть уравнение log₃(2х-5) = log3х после применения потенцирования?

a. log_{2x — 1} = 2 —

b. log₃(2х-1) = 2 +

c. log₂(2х-1) = 2 —

d. log3(2х-1) = 2 —

19. Какого метода решения логарифмических уравнений не бывает?

a. применения основного логарифмического тождества —

b. метода введения новой переменной —

c. метода логарифмирования —

d. метода превращения логарифмов в десятичные дроби +

тест-20. В каких случаях можно убрать логарифмы из уравнения?

a. если в левой и правой частях уравнения одинаковые основания +

b. если в левой и правой частях уравнения разные степени —

c. если в левой и правой частях уравнения имеются одинаковые степени —

d. если в левой и правой частях уравнения разные основания —

21. Чему равен x в уравнении ?

a. 4 —

b. 3 +

c. 2 —

d. 7 —

22. Кем была изобретена логарифмическая линейка?

a. Эдмундом Гантером +

b. Вильгельмом Лейбницем —

c. Бернардом Риманом —

d. Пифагором —

23. log₅(x — 4) = 2 при x = …

a. 29 +

b. 16 —

c. 11 —

d. 7 —

24. Какое общее основание имеет уравнение log₈16 + log₈4 = 2?

a. 8 —

b. log₄ —

c. log —

d. log₈ +

25. log…125 = 3

a. 5 +

b. 8 —

c. 2 —

d. 9 —

26. Как будет выглядеть уравнение log²₄x — 2log₄x — 3 = 0 после введения новой переменной m?

a. m⁴ — 5 = 0 —

b. 2m + 3 = 0 —

c. m² — 2m — 3 = 0 +

d. 4m² — 2m = 3 —

27. Какой метод решения применим к уравнению log₃x = 2?

a. метод по определению логарифма +

b. метод подстановки —

c. метод потенцирования —

d. метод логарифмирования —

28. Из какой страны математик Джон Непер, автор работы «Описание удивительной таблицы логарифмов»?

a. Бельгия —

b. Шотландия +

c. Япония —

d. Англия —

29. Чему равен x в уравнении log₅x = 0?

a. 1 +

b. 0 —

c. 2 —

d. -1 —

тест_30. Какое из уравнений не решается методом логарифмирования?

a. 2x^{log2 x} = 32 —

b. log₂((2 + log₃(3 + x)) = 0 +

c.log^{log2 x} = 32 —

d. x^{lg x}= 10 —

3-8 9 Оценить квадратный корень из 12 10 Оценить квадратный корень из 20 11 Оценить квадратный корень из 50 94 18 Оценить квадратный корень из 45 19 Оценить квадратный корень из 32 20 Оценить квадратный корень из 18 92

Выполнение логарифмических вычислений в программировании на R — функции log(), log10(), log1p() и log2()

Улучшить статью

Сохранить статью

• Последнее обновление: 05 июня 2020 г.

функция log() на языке R возвращает натуральный логарифм (логарифм по основанию e) аргумента, переданного в параметре.

Синтаксис: log(x)

Параметр:
x: Заданное значение.

Возвраты: Возвращает натуральный логарифм указанного значения, бесконечность для 0 и NaN для отрицательного значения.

Example 1:

916))

print (log( 1 ))  print (log( 30 ))  print (лог( 0 )) Печать (log ( - 44 ))

)

)

)

903)

9099)

6)) [1] 0 [1] 3. 401197 [1] -Инф [1] NaN Предупреждение: В журнале (-44): произведено NaN

log(x, base = y)

log(x, base=y) — это встроенная функция в R, которая используется для вычисления логарифма указанного значения по основанию y, бесконечности для 0 и NaN для отрицательного значения.

Синтаксис: log(x, основание = y)

Параметры:
x и основание y.

Возвраты: Возвращает логарифм указанного значения по основанию y, бесконечность для 0 и NaN для отрицательного значения.

Example 2:

print (log( 10 ,base = 10 ))  print (log( 16 ,base = 2 ))  print (log( 0 ,base = 10 ))  print (log( - 44 ,base = 4 ))

Output:

[1] 1
[1] 4
[1] -Инф
[1] NaN
Предупреждение:
В печати (журнал (-44, база = 4)) : произведено NaN
 

Функция log10()

log10() — это встроенная функция в R, которая используется для вычисления логарифма указанного значения по основанию 10, бесконечности для 0 и NaN для отрицательного значения.

Синтаксис: log10(x)

Параметры:
x: Заданные значения.

Возвраты: Возвращает логарифм указанного значения по основанию 10, бесконечность для 0 и NaN для отрицательного значения.

Example 2:

print (log10( 1 ))  print (log10( 10 ))  print (log10( 0 ))  print (log10( - 44 ))

Output:

[1] 0
[1] 1
[1] -Инф
[1] NaN
Предупреждение:
В печати (log10 (-44)) : произведено NaN
 

log1p()

log1p() — это встроенная функция в R, которая используется для вычисления точного натурального логарифма 1+x, где x — указанное значение, и возвращает бесконечность для 0 и NaN для отрицательного значения. .

Синтаксис: log1p(x)

Параметры:
x: Заданные значения.

Возвраты: Возвращает точный натуральный логарифм 1+x, где x — заданное значение, и возвращает бесконечность для 0 и NaN для отрицательного значения.

Example:

9999916))

9916))

99999916))

99999916))

99999916))

999999916)))))) [1] 0,6931472 [1] 2.

print (log1p( 1 )) print (log1p( 10 )) печать (log1p( 0 )) Печать (log1p ( - 44 )