Функция y = sin x, свойства и график синуса с примерами
п.1. Развертка ординаты движения точки по числовой окружности в функцию от угла
При движении точки по числовой окружности её ордината является синусом соответствующего угла (см. §2 данного справочника).
Рассмотрим, как изменяется синус, если точка описывает полный круг, и угол x изменяется в пределах: 0≤x≤2π и построим график y=sinx на этом отрезке.
Если мы продолжим движение по окружности для углов x > 2π, кривая продолжится вправо; если будем обходить числовую окружность в отрицательном направлении (по часовой стрелке) для углов x<0, кривая продолжится влево.
В результате получаем график y=sinx для любого \(x\in\mathbb{R}\).
График y=sinx называют синусоидой.
Часть синусоиды для 0≤x≤2π называют волной синусоиды.
Часть синусоиды для 0≤x≤π называют полуволной или аркой синусоиды.
п.2. Свойства функции
y=sinx1. Область определения \(x\in\mathbb{R}\) — множество действительных чисел.
2. Функция ограничена сверху и снизу
$$ -1\leq sinx\leq 1 $$Область значений \(y\in[-1;1]\)
3. Функция нечётная
$$ sin(-x)=-sinx $$4. Функция периодическая с периодом 2π
$$ sin(x+2\pi k)=sinx $$5. Максимальные значения \(y_{max}=1\) достигаются в точках
$$ x=\frac\pi2+2\pi k $$Минимальные значения \(y_{min}=-1\) достигаются в точках
$$ x=-\frac\pi2+2\pi k $$Нули функции \(y_{0}=sinx_0=0\) достигаются в точках \(x_0=\pi k\)
6. Функция возрастает на отрезках
$$ -\frac\pi2+2\pi k\leq x\leq\frac\pi2+2\pi k $$Функция убывает на отрезках
$$ \frac\pi2+2\pi k\leq x\leq\frac{3\pi}{2}+2\pi k $$7. Функция непрерывна.
п.3. Примеры
Пример 1.Найдите наименьшее и наибольшее значение функции y=sinx
на отрезке:a) \(\left[\frac\pi6; \frac{3\pi}{4}\right]\) $$ y_{min}=sin\left(\frac\pi6\right)=\frac12,\ \ y_{max}=sin\left(\frac\pi2\right)=1 $$ б) \(\left[\frac{5\pi}{6}; \frac{5\pi}{3}\right]\) $$ y_{min}=sin\left(\frac{3\pi}{2}\right)=-1,\ \ y_{max}=sin\left(\frac{5\pi}{6}\right)=\frac12 $$
Пример 2.2}{4}\right)\) (см. §29 справочника для 8 класса)
Два корня: \(x_1=0,\ \ x_2=\pi\)
Пример 3. Постройте в одной системе координат графики функций $$ y=sinx,\ \ y=-sinx,\ \ y=2sinx,\ \ y=sinx+2 $$
\(y=-sinx\) – отражение исходной функции \(y=sinx\) относительно оси OX. Область значений \(y\in[-1;1]\).
\(y=2sinx\) – исходная функция растягивается в 2 раза по оси OY. Область значений \(y\in[-2;2]\).
\(y=sinx+2\) — исходная функция поднимается вверх на 2. Область значений \(y\in[1;3]\).
Пример 4. Постройте в одной системе координат графики функций $$ y=sinx,\ \ y=sin2x,\ \ y=sin\frac{x}{2} $$
Амплитуда колебаний у всех трёх функций одинакова, область значений \(y\in[-1;1]\).
\(y=sin2x\) — период уменьшается в 2 раза, полная волна укладывается в отрезок \(0\leq x\leq \pi\).
\(y=sin\frac{x}{2}\) — период увеличивается в 2 раза, полная волна укладывается в отрезок \(0\leq x\leq 4\pi\).
Урок 4. свойства и график функции y=sinx — Алгебра и начала математического анализа — 11 класс
Алгебра и начала математического анализа, 11 класс
Урок №4. Свойства и график функции .
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме
Глоссарий по теме
Синусоидой называется множество точек плоскости, которое в некоторой системе координат является графиком функции , где a≠0.
Число │a│ называется амплитудой.
Основная литература:
Колягин М.В. Ткачева Ю.М., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. М.: Просвещение, 2010.–336 с.
Дополнительная литература:
Шахмейстер, А.Х. Тригонометрия / А.Х. Шахмейстер.— СПб.: Петроглиф, 2014. — 750 с.
Открытые электронные ресурсы:
Открытый банк заданий ЕГЭ ФИПИ [Электронный ресурс].– Режим доступа: http://ege.fipi.ru/
Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://ege.sdamgia.ru/
Теоретический материал для самостоятельного изучения
На прошлом уроке мы говорили о свойствах графика косинуса:
1) область определения функции – множество R всех действительных чисел;
2) Множество значений функции – отрезок [–1;1];
3) Функция косинуса периодическая, ;
4) Функция чётная;
5) Функция принимает:
- значение, равное 0, при ;
- наименьшее значение, равное –1, при
;
- наибольшее значение, равное 1, при ;
6) Функция
- возрастает на отрезке и на отрезках, получаемых сдвигами этого интервала на .
Давайте сравним их со свойствами графика синуса, а для начала определим следующие моменты:
- При движении точки до первой четверти ордината увеличивается;
- При движении точки по второй четверти ордината постепенно уменьшается;
- Функция возрастает на отрезке и убывает на отрезке .
Свойства функции :
1) D(y) =R;
2) E (y) =[–1;1];
3) Период функции равен ;
4) Функция чётная/нечётная;
5) Функция принимает:
6) Функция
- возрастает на отрезке и на отрезках, получаемых сдвигами этого отрезка на ;
- убывает на отрезке и на отрезках, получаемых сдвигами этого отрезка на .
Изменяя амплитуду и значение аргумента функции синуса график ведет себя следующим образом (рис.1)
Рис. 1 – графики синуса
Сдвиг графика влево/вправо вдоль оси абсцисс
Если к аргументу функции добавляется постоянная, то происходит сдвиг (параллельный перенос) графика вдоль оси Ох.
Правило:
1) чтобы построить график функции , нужно сдвинуть график вдоль оси Ох на b единиц влево;
2) чтобы построить график функции , нужно график сдвинуть вдоль оси ОХ на b единиц вправо.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Актуализация знаний
1. На следующие утверждения нужно ответить верно/неверно.
1) Тригонометрическая функция определена на всей числовой прямой.
2) График нечетной функции можно построить с помощью преобразования симметрии относительно оси Оу.
3) График тригонометрической функции можно построить, используя одну главную полуволну.
Ответ: верно, неверно, верно.
2. Вспомним, что мы уже знаем о функции , ответив на вопросы:
1) Какие значения может принимать переменная х. Какова область определения этой функции?
2) В каком промежутке заключены значения выражения . Назови наибольшее и наименьшее значения функции .
3) Функция синуса чётная или нечётная?
Ответ:1) 𝑥∈𝑅; 2) [–1;1]; 𝑦𝑚𝑎𝑥=3, 𝑦𝑚𝑖𝑛=–3; 3) чётная;
Примеры и разборы решения заданий тренировочного модуля:
Пример 1. Найдем все корни уравнения , принадлежащие отрезку .
Построим графики функций и (рис. 6)
Рис. 7 – графики функций и .
Графики пересекаются в четырёх точках, абсциссы которых являются корнями уравнения . На выбранном отрезке от корни уравнения симметричны: и . Из рисунка видно, что симметричность корней объясняется периодичностью функции: аналогично для
Ответ: ; .
Пример 2.Найти все решения неравенства , принадлежащие отрезку .
Из рисунка 7 видно, что график функции лежит выше графика функции на промежутках и и
Ответ: , ,
§ 14. Свойства функций синуса, косинуса, тангенса и котангенса и их графики
14. Свойства функций синуса, косинуса, тангенса
и котангенса и их графики
14.1. СВОЙСТВА ФУНКЦИИ y = sin x И ЕЕ ГРАФИК
Т а б л и ц а 21
|
График функции y = sin x (синусоида) |
|
Свойства функции y = sin x |
Объяснение и обоснование
Описывая свойства функций, мы будем чаще всего выделять такие их характеристики:
1) область определения; 2) область значений; 3) четность или нечетность; 4) периодичность; 5) точки пересечения с осями
координат; 6) промежутки знакопостоянства; 7) промежутки возрастания и убывания * ;8) наибольшее и наименьшее
значения функции.
З а м е ч а н и е. Абсциссы точек пересечения графика функции с осью Ох
(то есть те значения аргумента, при которых функция равна нулю) называют
Напомним, что значение синуса — это ордина-
та соответствующей точки единичной окружности
(рис. 79). Поскольку ординату можно найти для
любой точки единичной окружности (в силу того,
что через любую точку окружности всегда можно
провести единственную прямую, перпендикуляр-
ную оси ординат), то область определения функции
y = sin x — все действительные числа. Это можно за-
писать так: D (sin x) = R.
Для точек единичной окружности ординаты нахо-
дятся в промежутке [–1; 1] и принимают все значения
от –1 до 1, поскольку через любую точку отрезка [–1; 1]
Рис. 79
оси ординат (который является диаметром единичной
окружности) всегда можно провести прямую, перпендикулярную оси орди-
нат, и получить точку окружности, которая имеет рассматриваемую орди-
нату. Таким образом, для функции y = sin x область значений: y ∈ [–1; 1].
Это можно записать так: E (sin x) = [–1; 1].
Как видим, наибольшее значение функции sin x равно единице. Это значение достигается только тогда, когда
соответствующей точкой единичной окружности является точка A, то есть при
Наименьшее значение функции sin x равно минус единице. Это значение
достигается только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка B, то есть
при
Как было показано в § 13, синус —
поэтому ее график симметричен относительно начала координат.
В § 13 было обосновано также, что синус — периодическая функция с наименьшим положительным периодом
T = 2π: sin (x + 2π) = sin x, таким образом, через промежутки длиной 2π вид графика функции sin x повторя-
ется. Поэтому при построении графика этой функции достаточно построить график на любом промежутке длиной 2π, а
потом полученную линию параллельно перенести вправо и влево вдоль оси Ox на расстояние kT = 2πk, где
k — любое натуральное число.
Чтобы найти точки пересечения графика функции с осями координат,
напомним, что на оси Oy значение x = 0. Тогда соответствующее значение
y = sin 0 = 0, то есть график функции y = sin x проходит через начало координат.
На оси Ox значение y = 0. Поэтому необходимо найти такие значения x, при
которых sin x, то есть ордината соответствующей точки единичной окруж
ности, равна нулю. Это будет тогда и только тогда, когда на единичной окруж-
ности будут выбраны точки C или D, то есть при x = πk, k ∈ Z (см. рис. 79).
Промежутки знакопостоянства. Как было обосновано в § 13, значения
функции синус положительны (то есть ордината соответствующей точки
единичной окружности положительна) в I и II четвертях (рис. 80). Таким
образом, sin x > 0 при всех x ∈ (0; π), а также, учитывая период, при всех
x ∈ (2πk; π + 2πk), k ∈ Z.
Значения функции синус отрицательны (то есть ордината соответствую-
щей точки единичной окружности отрицательна) в III и IV четвертях, поэто-
му sin x < 0 при x ∈ (π + 2πk; 2π + 2πk), k ∈ Z.
Промежутки возрастания и убывания
Доказательство теоремы
Учитывая периодичность функции sin x с периодом T = 2π, достаточно
исследовать ее на возрастание и убывание на любом промежутке длиной
2π, например на промежутке
то при увеличении аргумента x (x2> x1) ордината соответствующей точки единичной окружности увеличивается (то есть
sin x 2 > sin x 1 ), следовательно, на этом промежутке функция sin x возрастает. Учитывая периодичность функции sin x,
делаем вывод, что она также возрастает на каждом из промежутков
Если x ∈ (рис. 81, б), то при увеличении аргумента x (x 2 > x 1 ) ордината соответствующей точки единичной
окружности уменьшается (то есть sin x 2 < sin x 1 ), таким образом, на этом промежутке функция sin x убывает. Учитывая
периодичность функции sin x, делаем вывод, что она также убывает на каждом из промежутков
Проведенное исследование позволяет обоснованно построить график функции y = sin x. Учитывая периодичность этой
функции (с периодом 2π), достаточно сначала построить график на любом промежутке длиной 2π, например на
промежутке [–π; π]. Для более точного построения точек графика воспользуемся тем, что значение синуса — это ордината
соответствующей точки единичной окружности. На рисунке 82 показано построение графика функции y = sin x на
промежутке [0; π]. Учитывая нечетность функции sin x (ее график симметричен относительно начала координат), для
построения графика на промежутке [–π; 0] отображаем полученную кривую симметрично относительно начала координат
(рис. 83).
Поскольку мы построили график на
промежутке длиной 2π, то, учитывая
периодичность синуса (с периодом 2π),
повторяем вид графика на каждом про-
межутке длиной 2π (то есть переносим па-
раллельно график вдоль оси Ох на 2πk,
где k — целое число).
Получаем график, который называется
синусоидой (рис. 84).
З а м е ч а н и е. Тригонометрические функции широко применяются в математике, физике и технике. Например,
множество процессов, таких как колебания струны, маятника, напряжения в цепи переменного тока и т. п.,
описываются функцией, которая задается формулой y = A sin (ωх + φ). Такие процессы называют гармоническими
колебаниями. График функции y = A sin (ωx + φ) можно получить из синусоиды y = sin х сжатием или растяжением ее вдоль
координатных осей и параллельным переносом вдоль оси Ох. Чаще всего гармоническое колебание является функцией
времени t. Тогда оно задается формулой y = A sin (ωt + φ), где А — амплитуда колебания, ω — частота, φ — начальная
фаза,
14.2. СВОЙСТВА ФУНКЦИИ y = cos x И ЕЕ ГРАФИК
Объяснение и обоснование
Напомним, что значение косинуса — это абсцис-
са соответствующей точки единичной окружности
(рис. 85). Поскольку абсциссу можно найти для лю-
бой точки единичной окружности (в силу того, что
через любую точку окружности, всегда можно про-
вести единственную прямую, перпендикулярную оси
абсцисс), то область определения функции y = cos x —
все действительные числа. Это можно записать так:
D (cos x) = R.
Для точек единичной окружности абсциссы нахо-
дятся в промежутке [–1; 1] и принимают все значе-
ния от –1 до 1, поскольку через любую точку отрезка [–1; 1] оси абсцисс (который является диаметром единичной
окружности)
всегда можно провести прямую, перпендикулярную оси абсцисс, и получить
точку окружности, которая имеет рассматриваемую абсциссу. Следовательно, область значений функции y = cos x:
y ∈ [–1; 1]. Это можно записать так: E (cos x) = [–1; 1]. Как видим, наибольшее значение функции cos x равно единице. Это
значение достигается только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка A, то есть при
x = 2πk, k ∈ Z. Наименьшее значение функции cos x равно минус единице. Это значение достигается только тогда, когда
соответствующей точкой единичной окружности является точка B, то есть при x = π + 2πk, k ∈ Z.
Как было показано в § 13, косинус — четная функция: cos (–x) = cos x, поэтому ее график симметричен относительно оси
Оу. В § 13 было обосновано также, что косинус — периодическая функция с наименьшим положительным периодом
T = 2π: cos (x + 2π) = cos x. Таким образом, через промежутки длиной 2π вид графика функции cos x повторяется.
Чтобы найти точки пересечения графика функции с осями координат, напомним, что на оси Oy значение x = 0. Тогда
соответствующее значение y = cos 0 = 1. На оси Ox значение y = 0. Поэтому необходимо найти такие значения x, при
которых cos x, то есть абсцисса соответствующей точки единичной окружности будет равна нулю. Это будет тогда и только
тогда, когда на единичной окружности будут выбраны точки C или D, то есть при
Промежутки знакопостоянства. Как было обосновано в § 13, значения
функции косинус положительны (то есть абсцисса соответствующей точки
единичной окружности положительна) в I и IV четвертях (рис. 86). Следова-
тельно, cos x > 0 при x ∈ (-П/2; П/2) а также, учитывая период, при всех
Значения функции косинус отрицательны (то есть абсцисса соответству-
ющей точки единичной окружности отрицательна) во ІІ и ІІІ четвертях,
поэтому cos x < 0 при x ∈
Промежутки возрастания и убывания
Учитывая периодичность функции cos x (T = 2π), достаточно исследовать
ее на возрастание и убывание на любом промежутке длиной 2π, например
на промежутке [0; 2π].
Если x ∈ [0; π] (рис. 87, а), то при увеличении аргумента x (x 2 > x 1 ) абсцисса соответствующей точки единичной
окружности уменьшается (то есть cos x 2<cos x 1 ), следовательно, на этом промежутке функция cos x убывает. Учитывая
периодичность функции cos x, делаем вывод, что она также убывает на каждом из промежутков [2πk; π + 2πk], k ∈ Z.
Если x ∈ [π; 2π] (рис. 87, б), то при увеличении аргумента x (x 2 > x 1 ) аб-
сцисса соответствующей точки единичной окружности увеличивается (то
есть cos x 2 >cos x 1 ), таким образом, на этом промежутке функция cos x
возрастает. Учитывая периодичность функции cos x, делаем вывод, что
она возрастает также на каждом из промежутков [π + 2πk; 2π + 2πk], k ∈ Z.
Проведенное исследование позволяет построить график функции y = cos x
аналогично тому, как был построен график функ-
ции y = sin x. Но график функции у = cos x можно
также получить с помощью геометрических преоб-
разований графика функции у = sin х, используя
формулу
Эту формулу можно обосновать, например, так.
Рассмотрим единичную окружность (рис. 88), отметим на ней точки
«Функция y=sin(x). Определения и свойства»
«Построение графика функции с модулем» — Y = lnx. Закрепили знания на ранее изученных функциях. Построение графиков функций. Вопрос классу. Y = x2 – 2x – 3. Проектная деятельность. Урок обобщения и систематизации знаний. График функции. Актуализация знаний о графиках функций. Обобщение. Попробуйте самостоятельно построить графики. Y = f(x).
««Графики функций» 9 класс» — Цели урока. Большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Нули функции. Определение. Заполните пропуски. Установите соответствие между функцией и вершиной. Тренажер. Выберите уравнение, с помощью которого задана линейная функция. Установите соответствие. Выберите уравнение. Обратная пропорциональность.
«Графики функций с модулями» — Найдём вершину функции. Кубическая функция. Отрицательная сторона. Графики функций. Квадратичная функция. Сложная функция. Функция с модулем. Графики функций надо обязательно уметь строить. Подготовка к ЕГЭ. Графики функций с модулями. Парабола. График функции.
«Уравнение касательной к графику функции» — Производная в точке. Правила дифференцирования. График функции. Алгоритм нахождения уравнения. Ответьте на вопросы. Геометрический смысл производной. Номера из учебника. Уравнение касательной к графику функции. Определение. Касательная к графику функции. Основные формулы дифференцирования. Провести касательную.
«Построение графиков функций» — Построение графика функции y = sinx. Линия тангенсов. Алгебра. Тема: Построение графиков функций. График функции y = sinx. Выполнила: Филиппова Наталья Васильевна учитель математики Белоярская средняя общеобразовательная школа №1. Построить график функции y=sin(x) +cos(x).
«График обратной пропорциональности» — Применение гиперболы. Гипербола. Монотонность функции. Чётность, нечётность. Функция «Обратная пропорциональность». График. Построение графика обратной пропорциональности. Гипербола и космические спутники. Однополостной гиперболоид. Асимптота. Применение гиперболоидов. Определение обратной пропорциональности.
Всего в теме 25 презентаций
Построить функцию
Мы предлагаем вашему вниманию сервис по потроению графиков функций онлайн, все права на который принадлежат компании Desmos . Для ввода функций воспользуйтесь левой колонкой. Вводить можно вручную либо с помощью виртуальной клавиатуры внизу окна. Для увеличения окна с графиком можно скрыть как левую колонку, так и виртуальную клавиатуру.
Преимущества построения графиков онлайн
- Визуальное отображение вводимых функций
- Построение очень сложных графиков
- Построение графиков, заданных неявно (например эллипс x^2/9+y^2/16=1)
- Возможность сохранять графики и получать на них ссылку, которая становится доступной для всех в интернете
- Управление масштабом, цветом линий
- Возможность построения графиков по точкам, использование констант
- Построение одновременно нескольких графиков функций
- Построение графиков в полярной системе координат (используйте r и θ(\theta))
С нами легко в режиме онлайн строить графики различной сложности. Построение производится мгновенно. Сервис востребован для нахождения точек пересечения функций, для изображения графиков для дальнейшего их перемещения в Word документ в качестве иллюстраций при решении задач, для анализа поведенческих особенностей графиков функций. Оптимальным браузером для работы с графиками на данной странице сайта является Google Chrome. При использовании других браузеров корректность работы не гарантируется.
Как построить график функции y=sin x? Для начала рассмотрим график синуса на промежутке .
Единичный отрезок берём длиной 2 клеточки тетради. На оси Oy отмечаем единицу.
Для удобства число π/2 округляем до 1,5 (а не до 1,6, как требуется по правилам округления). В этом случае отрезку длиной π/2 соответствуют 3 клеточки.
На оси Ox отмечаем не единичные отрезки, а отрезки длиной π/2 (через каждые 3 клеточки). Соответственно, отрезку длиной π соответствует 6 клеточек, отрезку длиной π/6 — 1 клеточка.
При таком выборе единичного отрезка график, изображённый на листе тетради в клеточку, максимально соответствует графику функции y=sin x.
Составим таблицу значений синуса на промежутке :
Полученные точки отметим на координатной плоскости:
Так как y=sin x — нечётная функция, график синуса симметричен относительно начала отсчёта — точки O(0;0). С учётом этого факта продолжим построение графика влево, то точки -π:
Функция y=sin x — периодическая с периодом T=2π. Поэтому график функции, взятый на на промежутке [-π;π], повторяется бесконечное число раз вправо и влево.
Урок и презентация на тему: «Функция y=sin(x). Определения и свойства»
Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.
Пособия и тренажеры в интернет-магазине «Интеграл» для 10 класса от 1С
Решаем задачи по геометрии. Интерактивные задания на построение для 7-10 классов
Программная среда «1С: Математический конструктор 6.1»
Что будем изучать:
- Свойства функции Y=sin(X).
- График функции.
- Как строить график и его масштаб.
- Примеры.
Свойства синуса. Y=sin(X)
Ребята, мы уже познакомились с тригонометрическими функциями числового аргумента. Вы помните их?
Давайте познакомимся поближе с функцией Y=sin(X)
Запишем некоторые свойства этой функции:
1) Область определения – множество действительных чисел.
2) Функция нечетная. Давайте вспомним определение нечетной функции. Функция называется нечетной если
выполняется равенство: y(-x)=-y(x). Как мы помним из формул привидения: sin(-x)=-sin(x). Определение выполнилось, значит Y=sin(X) – нечетная функция.
3) Функция Y=sin(X) возрастает на отрезке и убывает на отрезке [π/2; π]. Когда мы движемся по первой четверти (против часовой стрелки), ордината увеличивается, а при движении по второй четверти она уменьшается.
4) Функция Y=sin(X) ограничена снизу и сверху. Данное свойство следует из того, что
-1 ≤ sin(X) ≤ 1
5) Наименьшее значение функции равно -1 (при х = — π/2+ πk). Наибольшее значение функции равно 1 (при х = π/2+ πk).
Давайте, воспользовавшись свойствами 1-5, построим график функции Y=sin(X). Будем строить наш график последовательно, применяя наши свойства. Начнем строить график на отрезке .
Особое внимание стоит обратить на масштаб. На оси ординат удобнее принять единичный отрезок равный 2 клеточкам, а на оси абсцисс — единичный отрезок (две клеточки) принять равным π/3 (смотрите рисунок).
Построение графика функции синус х, y=sin(x)
Посчитаем значения функции на нашем отрезке:
Построим график по нашим точкам, с учетом третьего свойства.
Таблица преобразований для формул привидения
Воспользуемся вторым свойством, которое говорит, что наша функция нечетная, а это значит, что ее можно отразить симметрично относительно начало координат:
Мы знаем, что sin(x+ 2π) = sin(x). Это значит, что на отрезке [- π; π] график выглядит так же, как на отрезке [π; 3π] или или [-3π; — π] и так далее. Нам остается аккуратно перерисовать график на предыдущем рисунке на всю ось абсцисс.
График функции Y=sin(X) называют — синусоидой.
Напишем еще несколько свойств согласно построенному графику:
6) Функция Y=sin(X) возрастает на любом отрезке вида: [- π/2+ 2πk; π/2+ 2πk], k – целое число и убывает на любом отрезке вида: [π/2+ 2πk; 3π/2+ 2πk], k – целое число.
7) Функция Y=sin(X) – непрерывная функция. Посмотрим на график функции и убедимся что у нашей функции нет разрывов, это и означает непрерывность.
8) Область значений: отрезок [- 1; 1]. Это также хорошо видно из графика функции.
9) Функция Y=sin(X) — периодическая функция. Посмотрим опять на график и увидим, что функция принимает одни и те же значения, через некоторые промежутки.
Примеры задач с синусом
1. Решить уравнение sin(x)= x-π
Решение: Построим 2 графика функции: y=sin(x) и y=x-π (см. рисунок).
Наши графики пересекаются в одной точке А(π;0), это и есть ответ: x = π
2. Построить график функции y=sin(π/6+x)-1
Решение: Искомый график получится путем переноса графика функции y=sin(x) на π/6 единиц влево и 1 единицу вниз.
Решение: Построим график функции и рассмотрим наш отрезок [π/2; 5π/4].
На графике функции видно, что наибольшие и наименьшие значения достигаются на концах отрезка, в точках π/2 и 5π/4 соответственно.
Ответ: sin(π/2) = 1 – наибольшее значение, sin(5π/4) = наименьшее значение.
Задачи на синус для самостоятельного решения
- Решите уравнение: sin(x)= x+3π, sin(x)= x-5π
- Построить график функции y=sin(π/3+x)-2
- Построить график функции y=sin(-2π/3+x)+1
- Найти наибольшее и наименьшее значение функции y=sin(x) на отрезке
- Найти наибольшее и наименьшее значение функции y=sin(x) на отрезке [- π/3; 5π/6]
Функция y = sin x, её свойства и график. 10-й класс
Тип урока: урок введения нового знания.
Педагогическая технология: проблемное обучение.
Формируемые результаты:
- Предметные: формировать умение строить график функции у = sin x, читать график и применять свойства при решении задач.
- Личностные: умение применять решение, применять независимость суждений.
- Метапредметные: формировать умение соотносить свои действия с планируемыми результатами.
Планируемые результаты: обучающиеся научатся применять свойства функции у = sin x и читать график.
Основные понятия: синусоида, свойства функции у = sin x.
Оборудование: ПК, проектор, Microsoft PowerPoint, презентация «Функция y = sin x, её свойства и график», таблица «Тригонометр».
Ход урока
1. Организационный момент2. Целеполагание— «Много из математики не остается в памяти, но когда поймешь ее, тогда легко при случае вспомнить забытое.», писал Михаил Васильевич Остроградский (1801-1862, российский математик, механик). Как вы понимаете эти слова? (Слайд 1)
— Перед вами 4 графика. (Слайд 2)
— Как можно одним словом объединить эти графики? (функции)
— Опишите свойства графиков, представленных на слайде?
— Какие из предложенных графиков функций вам известны?
— Сформулируйте тему урока.
Тема урока: «Функция y = sin x, её свойства и график» (Слайд 3)
— Давайте попробуем определить цели нашего сегодняшнего урока, что мы уже знаем, и чему должны или можем научиться? (учитель вместе с обучающимися формирует цели, записывает их на доске).
— Познакомимся с историей возникновения слова синус (Слайд 4)
Синус (история имени)
Синус (sin) — название тригонометрической функции, появившееся благодаря удивительной цепочке искажений во время переводов математических трактатов. Древние индийские математики называли функцию «полу-тетивой», а затем просто «тетивой» — «джива», так как при геометрическом построении изображение напоминало лук. Арабские математики при знакомстве с трудами индийских коллег не стали переводить слово «джива» на арабский, а просто записали его по буквам. В процессе адаптации, устного использования и пр. оно превратилось в арабское выражение «джайб», которое можно перевести как пазуха, складка, карман, впадина. Когда, в свою очередь, арабские математические трактаты попали к европейским математикам, те перевели джайб на латинский, благо под рукой как раз было изящное слово, обозначающее складку или пазуху на римской тоге — слово sinus. Родственную функцию назвали complementi sinus, дополнительный синус. Позже утвердилось современное сокращение: sin и cos.
3. Планирование работы— Составим план работы (перечень свойств, которые будут исследоваться).
Обучающиеся записывают план исследования синуса в тетрадях.
План
- Область определения
- Область значения
- Нули функции
- Промежутки возрастания, убывания функции
- Промежутки знакопостоянства
- Четность функции
- Монотонность функции
- Наименьшее и наибольшее значение функции
— Какую функцию называют периодической?
— Что такое период?
— Какое число является главным периодом функции у = sin x?
4. Восприятие, осмысление, первичное закрепление— Что происходит с ординатой точки при ее движении по первой четверти? (ордината увеличивается). Что происходит с ординатой точки при ее движении по второй четверти? (ордината постепенно уменьшается). Как это связано с монотонностью функции? (функция у = sin t возрастает на отрезке и убывает на отрезке ).
— Запишем функцию у = sin t в привычном для нас виде у = sin x (строить будем в привычной системе координат хОу) и составим таблицу значений этой функции.
Изучение нового материала (презентация, слайды 5-6).
Построение графика функции у = sin x и запись свойств функции в тетради. (Слайды 7–10)
1) D(y) =
2) E (y) =
3) функция ограничена и сверху, и снизу
4) унаиб = 1, унаим = -1
5) непрерывная функция
6) нечетная функция
7) возрастает на ; убывает на
— Стихотворение (отрывок)
5. Применение знаний и способов при решении задачИ линия эта волною качается,
И синусом график ее называется,
И через период она повторяется,
В периоде трижды она обнуляется,
Она полпериода вверх поднимается,
Придет в единицу и вниз опускается,
И так вдоль абсциссы все время болтается.
В системе, которую создал Декарт.
— Постройте график функции (самостоятельно с проверкой, слайды 11-14):
а) у = sin x + 2
б) у = sin x — 1
в) у = sin
г) у = sin
— Решите графически уравнение sin x = (проверка слайд 15).
6. Первичная систематизация знаний и способов деятельности, их перенос и применение в новых ситуациях№ 21.5 (1), 21.9 (1)
7. Рефлексия— Предлагаю оценить факт достижения цели урока: на все ли вопросы найдены ответы?
— Оцените свою работу на уроке. Закончите предложение. (Слайд 17)
Урок –
- заставил задуматься…
- навёл меня на размышления…
- Что нового вы узнали на уроке?
- Что вы считаете нужным запомнить?
- Над чем ещё надо поработать?
- п. 21 (учить свойства функции у = sin x)
- учебник № 21.6 (1)
- Построить график функции у = sin (x — )
— Спасибо за урок
Использованные материалы и ресурсы- Мерзляк А.Г., и др. Алгебра и начала математического анализа (углублённый уровень) 10 кл. – М.: «Вентана-Граф», 2017.
- Мерзляк А.Г., и др. Дидактические материалы к учебнику Алгебра и начала математического анализа (углублённый уровень) – М.: «Вентана-Граф», 2017.
- http://matematikam.ru/calculate-online/grafik.php
Преобразование графика функции y=sin x
Преобразование графика функции y = sin x
0 (положительная) для всех x ∈ (2π·k, π+2π·k), sin x (отрицательная) для всех x ∈ (π+2π·k, 2π+2π·k), Функция возрастает от −1 до 1 на промежутках: [- π /2+2 π k ; π /2+2 π k] Функция убывает от 1 до -1 на промежутках: [ π /2+2 π k ; 3 π /2+2 π k] Наибольшее значение функции sin x = 1 в точках: X= π /2 + 2 π k , Наименьшее значение функции sin x = −1 в точках: X= — π /2 + 2 π k , «- Область определения функции — множество R всех действительных чисел
- Множество значений функции — отрезок [-1; 1],
- синус — функция ограниченная .
- Функция нечетная: sin(−x)=−sin x для всех х ∈ R . График функции симметричен относительно начала координат.
- Функция периодическая с наименьшим положительным периодом 2π:sin(x+2π·k) = sin x, где k ∈ Z для всех х ∈ R .
- sin x = 0 при x = π·k, k ∈ Z .
- sin x 0 (положительная) для всех x ∈ (2π·k, π+2π·k),
- sin x (отрицательная) для всех x ∈ (π+2π·k, 2π+2π·k),
- Функция возрастает от −1 до 1 на промежутках: [- π /2+2 π k ; π /2+2 π k]
- Функция убывает от 1 до -1 на промежутках: [ π /2+2 π k ; 3 π /2+2 π k]
- Наибольшее значение функции sin x = 1 в точках: X= π /2 + 2 π k ,
- Наименьшее значение функции sin x = −1 в точках: X= — π /2 + 2 π k ,
- Область определения функции
- Множество значений функции
- Четность функции
- Ограниченность функции
- Промежутки знакопостоянства
- Монотонность функции
- Наибольшее и наименьшее значения функции
- R
- [-1 ;1 ]
- Нечетная. График симметричен относительно О.
- Ограниченная. Сверху прямой y=1 , снизу прямой y=-1 .
- sin x 0 (положительная) для всех x ∈ (2π·k, π+2π·k), sin x
- Функция возрастает от −1 до 1 на промежутках: [- π /2+2 π k ; π /2+2 π k] , Функция убывает от 1 до -1 на промежутках: [ π /2+2 π k ; 3 π /2+2 π k]
- Наибольшее значение функции sin x = 1 в точках: X= π /2 + 2 π k , Наименьшее значение функции sin x = −1 в точках: X= — π /2 + 2 π k ,
Растяжение от оси X с коэффициентом m : y=m sinx
График функции y=m sinx получается из графика функции
y= sinx умножением ординат соответствующих точек графика функции y= sinx на число m .
Если m1 – растяжение от оси X с коэффициентом m
Если 0сжатие к оси X с коэффициентом 1/ m
Построить график функции
У= 2 sin x
У= 1/2 sin x
1, то сжатие к оси Y с коэффициентом к Если 0 «Сжатие к оси ординат с коэффициентом k : y= sin(kx)
- График функции y= sin(kx) получается из графика функции
y= sinx путем уменьшения в k раз абсцисс соответствующих точек графика функции y= sinx
Если к 1, то сжатие к оси Y с коэффициентом к
Если 0
Сдвиг вдоль оси абсцисс: y= sin(x+ β )
- График функции y= sin(x+ β ) получается из графика функции
y= sin x путем параллельного переноса на β влево (вправо) вдоль оси X .
- Y=sin (x+ π /3)
- Y=sin (x – π /4)
сдвиг вдоль оси Y : Y = sinx + n
- График функции Y = sinx + n получается из графика функции
Y = sinx в результате параллельного переноса вдоль оси Y на n вверх (вниз).
3Как нарисовать y = sin (x / 2)?
Сводка из шести пунктов определяет 6 основных фактов о графике триггерной функции.
# 1. # Амплитуда
Это просто то, насколько высоко пойдет график. Это можно узнать, посмотрев на коэффициент перед триггерной функцией. На графике # y = sin (x / 2) # нет ничего, но это потому, что на самом деле это # 1 #, и математики не выписывают число один в большинстве случаев (если вообще).
Таким образом, этот график будет иметь амплитуду # 1 #, что означает, что его наибольшая высота равна 1, а наименьшая высота — # -1 #.
№ 2.# Период
Родительский синусоидальный график, # y = sin (x) #, имеет период # 2pi #, поскольку для завершения одного цикла графика требуется # 2pi # оборотов.
Чтобы определить новый период, просто разделите # 2pi # на коэффициент, связанный с вашим значением # x #. В этом случае новый период равен # 4pi #, так как коэффициент равен половине.
# 3. # Перевод графика вверх или вниз
Это просто вопрос, будет ли мой график двигаться вверх, вниз или вообще не двигаться.Опять же, у родительской синусоидальной функции # y = sin (x) # нет перевода, но если бы она была # y = sin (x) + 1 #, она была бы перемещена на одну единицу вверх. На этом графике их нет, но это часть процесса
# 4. # Перевод графика влево или вправо
На этом графике их нет, но это также важно отметить. Допустим, наша функция, которую мы должны построить, — это # y = sin (x + pi) #. Весь граф будет сдвинут влево на единицу # пи #. Он смещается вправо, потому что для того, чтобы функция была # 0 #, она должна иметь значение # x # равное # -pi #.
# 5. # Пятизначное лето
Сводка из пяти чисел — это просто # 5 # точек на вашем графике, которые используются для обозначения того, что вы будете рисовать. Я подробно рассказал об этом в следующем абзаце.
Синусоидальная кривая #sin (x) # начинается в начале координат # (0,0) #, имеет максимум # 1 # при # x = pi / 2 #, ноль в # x = pi #, минимум # -1 # при # x = (3pi) / 2 # и ноль в # 2pi #. То, что я только что сделал, — это сводка из пяти цифр, которую я определяю.
# 6. # Учитывать диапазон и домен
Это очень важно для других триггерных функций.В этом случае домен представляет собой все действительные числа и диапазон от # -1 # до # 1 #, записанный математически # [- 1,1] #.
График #sin (x) # выглядит так
график {sinx [-10, 10, -5, 5]}
График #sin (x / 2) # выглядит так
график {sin (x / 2) [-10, 10, -5, 5]}
SineFunction.html
Исследование синусоидальной функции
по
Тоня ДеДжордж
Начнем с основной функции синуса: y = sin x
Если бы мы построили график этой функции, мы бы получили:
Из этого графика мы видим, что график пересекает ось x- в точках 0, 2 и т. Д.Мы также видно, что амплитуда (высота каждой волны) равна единице, а период функция равна 2 ( время, необходимое для того, чтобы волна завершила один цикл). Однако функция может измениться в зависимости от по разным значениям параметров.
Например, мы можем переписать функцию y = sin x как y = a sin ( bx + c ), где a , b и c вещественные числа.В в данном конкретном случае, a и b равны единице, а c равны нулю. В этом исследовании мы увидим, что происходит с функцией синуса, когда мы меняем значения a , b и c .
Что происходит, когда мы меняем значение на ?
Чтобы увидеть разницу, используя график функция калькулятора, мы должны построить функцию y = sin x и y = a sin ( bx + c ) на том же графике, изменяя значения на , в то время как сохраняя b равным единице и c равным 0.
Прежде чем подставлять различные значения и , мы должны сначала рассмотреть все возможные значения и . С вещественное число, существует три возможных диапазона значений: может быть больше нуля ( > 0), равный нулю ( a = 0) или меньше чем ноль ( a <0). Давайте сначала рассмотрим, когда a > 0.
Что произойдет, если a > 0?
Если мы подключим 2 для в уравнение y = a sin ( bx + c ), мы получаем y = 2sin x , как показано ниже:
Из этого графика мы видим, что когда мы меняем значение a на 2, амплитуда функции увеличивается. Но работает ли это при любом положительном значении или ? Если мы выберем другое значение, например a = 10 ( y = 10sin x ), получаем:
Казалось бы, всякий раз, когда мы меняем значение на , амплитуда меняется. Однако если присмотреться к На графике видно, что амплитуда не только увеличивается, но и увеличивается до значения a . Для = 2, амплитуда увеличилась до 2. Для a = 10 амплитуда увеличился до 10. Таким образом, мы можем Предположим, что для любого положительного значения a , амплитуда увеличивается до этого значения.
Что произойдет, если a = 0?
Если мы подключим ноль для a , мы видим, что функция y = a sin ( bx + c ) становится y = 0. Следовательно, функция больше не является синусоидальной функцией, а вместо этого стала линейной.Функция y = 0 имеет нулевой наклон и на графике лежит прямо на оси x- .
Что произойдет, если a <0?
Если мы подключим -2 для в уравнение y = a sin ( bx + c ), мы получаем функцию y = -2sin x :
Отсюда видно, что амплитуда также увеличивается до 2.Аналогично, если мы установим на = -10, мы увидим, что амплитуда увеличивается до 10:
Следовательно, можно сделать вывод, что амплитуда функция увеличивается до | a |.
Но в чем разница между и и — ?
Теперь вам может быть интересно, в чем разница между вставка положительного значения a и отрицательного значения a , когда амплитуда изменяется на | a | в обоих случаях. Что ж, давайте сравним, что происходит с графиком, когда a = 2 и a = -2:
.
Из этого графика мы можем видеть что знак на меняет график. Фиолетовая линия — это график функции y = 2sin x , а зеленая линия — график функция y = -2sin x. Мы видим, что когда , отрицательный, он не только изменяет амплитуду функции, но также отражение функции y = 2 sin x . Мы также можем сравнить это для a = 10 и a = -10:
Отсюда видно, что мы получить такие же результаты. (Фиолетовая линия представляет y = 10sin x , а зеленая линия представляет y = -10sin x ).
Мы можем увидеть те же результаты, посмотрев на следующую анимацию, где a варьируется от -5 до 5:
Выводы о значении a :
* Если a > 0, амплитуда функции изменяется на значение на .
* Если a <0, амплитуда изменяется на значение | a | и является отражением функция y = a sin x .
* Если a = 0, то функция меняется на линейная функция, y = 0.
Что происходит, когда меняем значение на ?
Как и при исследовании a , мы построим график функции y = sin x и y = a sin ( bx + c ) на том же графике, изменив значения b при сохранении a равным единице и c равным 0.
Так как b — настоящий числа, существует три возможных диапазона значений: b может быть больше нуля ( b > 0), равно нулю ( b = 0) или меньше чем ноль ( b <0). Давайте сначала исследуем, когда b > 0.
Что произойдет, если b > 0?
Если мы подключим 2 для b в уравнение y = a sin ( bx + c ), мы получаем y = sin (2 x ), как показано ниже:
Отсюда видно, что график функции выглядит как если бы он был сжат. Так что именно здесь произошло? Что ж, если мы снова взглянем на базовую синусоидальную функцию, мы увидим что период этой функции равен 2.
Однако, если взглянуть на предыдущий график:
Период функции y = sin2 x теперь равен из 2. Другими словами, функция теперь может соответствовать двум волнам за то же время, что и одна волна в основная функция синуса.Является ли это работает, если мы изменим значение b на 3 (для y = sin (3 x ))? Получаем:
Отсюда мы видим, что теперь существует три полных волны в том же интервале, что и одна. Но как это выразить математически? Пока у нас:
b = 1 -> y = sin x -> период: 2
b = 2 -> y = sin (2 x ) -> точка: (или)
b = 3 -> y = sin (3 x ) -> период: (так как три волны находятся в одной период по сравнению с функцией y = sin x )
Следовательно, для всех положительных значений b можно сделать вывод, что период функции y = sin bx будет.
Что произойдет, если b = 0?
Если мы подключим ноль для b , мы видим, что функция y = sin ( bx ) становится y = sin (0) x , которое затем становится y = sin (0). Если мы оценим это, мы увидим, что sin (0) равен 0 и, следовательно, уравнение принимает вид y = 0. Таким образом, когда b = 0, функция становится линейной.
Что произойдет, если b <0?
Давайте начнем с подключения -2 для b ( y = sin (-2 x )) и посмотрим, что мы получим:
Наблюдая за графиком, мы видим, что получаем то же самое результаты: период действия функции меняется.Как и в случае, когда b = 2, мы видим, что период сейчас. Посмотрим что происходит, когда b = -3 ( y = sin (-3 x )):
Опять же, мы видим, что период изменился.
b = 1 -> y = sin x -> период: 2
b = -2 -> y = sin (-2 x ) -> точка: (или)
b = -3 -> y = 3sin (-3 x ) -> период: (так как три волны находятся в одной период по сравнению с функцией y = sin x )
Следовательно, для всех отрицательных значений b можно сделать вывод, что период функции y = sin ( bx ) будет .
Но в чем разница между b и — b ?
Опять же, вам может быть интересно, в чем разница между вставка положительного значения b и отрицательное значение b , когда период в обоих случаях меняется на. Что ж, давайте сравним, что происходит с графиком, когда b = 2 и b = -2:
Фиолетовый цвет представляет функцию y = sin2 x , а зеленый представляет функцию y = sin (-2 x ).Отсюда мы видим, что они являются отражением каждого Другие. Как и в случае со значением a , мы можем видеть, что отрицательное значение b является отражением y = sin ( bx ), когда b положительно.
Аналогичным образом, мы можем увидеть, как b изменяет график, с помощью анимации ниже (где b находится в диапазоне от -5 до 5):
Выводы о значении b :
* Если b > 0, период функции изменения к .
* Если b <0, период функции изменяется на и является отражением функции y = sin ( bx) .
* Если b = 0, то функция меняется на линейная функция, y = sin (0), которая тогда становится y = 0.
Что происходит, когда меняем значение c ?
Опять же, мы построим график функции y = sin x и y = a sin ( bx + c ) на том же графике, изменение значений c в то время как сохраняя a и b равными единице.
Так как c настоящий числа, существует три возможных диапазона значений: c может быть больше нуля ( c > 0), равно нулю ( c = 0) или меньше чем ноль ( c <0). Давайте сначала исследуем, когда c > 0.
Что произойдет, если c > 0?
Если мы подключим 1 для c в уравнение y = a sin ( bx + c ), мы получаем y = sin ( x + 1), как показано ниже:
Отсюда видно, что график, кажется, сместился слева 1 единица, амплитуда и период совпадают.
Что произойдет, если мы изменим значение c на 2 ( y = sin ( x + 2))?
Опять же, мы видим, что график сдвинулся влево, но на этот раз он сдвинул два единиц. Точно так же мы видим, что он сдвигается три единицы, когда c = 3 ( y = sin ( x + 3)):
Следовательно, можно сделать вывод, что функция y = sin ( x + c ) смещается влево на c единиц.
Что произойдет, если c = 0?
Если мы подставим ноль в уравнение y = sin ( x + c ), мы получим y = sin x . Следовательно, когда c = 0, синусоидальная функция не смещается ни в одном направлении.
Что происходит, когда c <0?
Если мы подключим -1 для c в уравнение y = a sin ( bx + c ), мы получаем y = sin ( x — 1), который показан ниже:
Отсюда видно, что график, кажется, сместился вправо 1 единица измерения, с амплитуда и период одинаковые.
Что произойдет, если мы изменим значение c на -2 ( y = sin ( x — 2))?
Или для c = -3 ( y = sin ( x — 3))?
Следовательно, можно сделать вывод, что функция y = sin ( x + c ) переходит в право | c | единицы измерения.
Опять же, мы можем увидеть, что происходит, когда мы изменяем c (от -5 до 5), как функция изменяется в анимации ниже:
Выводы о значении c :
* Если c > 0 функция смещается влево c единицы измерения.
* Если c <0, функция переключается на право | c | единицы измерения.
* Если c = 0, функция не сдвигается в в любом направлении. (Когда c = 0, функция остается как y = sin x )
Окончательное заключение:
Из этого исследования мы увидели синусоидальную функцию изменяются в зависимости от различных значений от до , b, и c .Давай положим все это информация вместе:
Для данной функции: y = a sin ( bx + c ):
При изменении значения на :
o Если a > 0, амплитуда функции изменяется до значения на .
о Если a <0, амплитуда меняется на значение | a | и является отражением функция y = a sin x .
о Если a = 0, функция меняется на линейная функция, y = 0.
При изменении значения b :
о Если b > 0, период функции изменения к .
о Если b <0, период функции изменяется на и является отражением функции y = sin ( bx) .
о Если b = 0, то функция меняется на линейная функция, y = sin (0), которая тогда становится y = 0.
При изменении значения c :
o Если c > 0, функция переключается на осталось c шт.
o Если c <0, функция переключается на право | c | единицы измерения.
o Если c = 0, функция не сдвигается в в любом направлении. (Когда c = 0, функция остается как y = sin x )
BioMath: тригонометрические функции
В этом разделе мы исследуем графики шести тригонометрических функций, начиная с графика функции косинуса.
Графики y = cos x
Чтобы нарисовать график y = cos x , мы можем составить таблицу значений, которые мы можем вычислить ровно:
Мы можем построить эти точки и нарисовать плавную кривую, проходящую через них:
Поскольку область определения функции косинуса — это все действительные числа, мы помещаем стрелки на график, чтобы указать, что график точно повторяется в обоих направлениях.Тот факт, что функция косинуса повторяется, означает, что она периодическая . В в частности, y = cos x периодичен с периодом 2π. Это означает, что если точка ( x , y ) лежит на графике, то точка ( x +2 k π, y ) также будет лежать на графике, где k — любое целое число. Например, ( x + 2π, y ) и ( x — 2π, y ) оба будут лежать на графике.
Графики y = sin x
Чтобы набросать график y = sin x , мы можем составить таблицу значений, которые мы можем вычислить. ровно:
Мы можем построить эти точки и нарисовать плавную кривую, проходящую через них:
Поскольку область определения синусоидальной функции — это действительные числа, мы помещаем стрелки на graph, чтобы указать, что график точно повторяется в обоих направлениях.Нравиться функция косинуса, функция синуса также периодична 2π.
График y = tan x
Чтобы набросать график y = tan x , мы можем составить таблицу значений, которые мы можем вычислить. ровно:
Обратите внимание, что теперь у нас есть несколько неопределенных функциональных значений; графически эти соответствуют вертикальным асимптотам.Мы можем набросать y = tan x следующим образом:
На приведенном выше графике пунктирными линиями обозначены вертикальные асимптоты. Мы размещаем стрелки на графике, указывающие, что функция возрастает до ∞. Например, загар x → ∞ как x → (π / 2) — . (т.е. поскольку x приближается к π / 2 слева) и загар x → −∞ как x → (π / 2) — (т.е. поскольку x приближается к π / 2 справа). В отличие от функций синуса и косинуса, касательная функция π периодична. То есть, если точка ( x , y ) лежит на графике y = tan x , то будет и точка ( x + k π, y ), где k любое целое число.
График y = sec x , y = csc x, и y = детская кроватка x
Напомним, что функции секанса, косеканса и котангенса являются обратными величинами функций косинуса, синуса и тангенса соответственно.Вы с меньшей вероятностью встретите эти графики при изучении наук о жизни. Мы включаем эти графики для полноты картины.
Преобразование y = cos x и y = sin x
Теперь мы рассмотрим графические преобразования y = cos x и y = sin x .Мы можно записать преобразованную функцию косинуса и синуса следующим образом:
y = a cos ( b ( x — d )) + c ,
y = a sin ( b ( x — d )) + c .
Звоним | a | амплитуда функции. Амплитуда — это расстояние от минимальное функциональное значение к максимальному функциональному значению, деленному на 2.В период вышеуказанных функций равен 2π / b (обратите внимание, когда b = 1, период равен 2π). Когда моделирование определенной величины или явления с помощью функции синуса или косинуса, амплитуда и период — две важные характеристики, определяющие поведение. Ты можете обратиться к разделу преобразований, чтобы изучить другие преобразования. ближе.
*****
В следующем разделе мы представим тригонометрические тождества.
Личности
графиков синусоидальной функции | mathtestpreparation.com
графики синусоидальной функции | mathtestpreparation.com вернуться к тригонометрии- График синусоидальной функции y = sin x
- Область y = sin x — это набор всех действительных чисел, а диапазон — это интервал [-1, 1], который имеет период 2pi, то есть sin (x + 2pi n) = sin x для все целое число n.Ключевые пять точек y = sin x: (0, 0), (pi / 2, 1), (pi, 0), (3pi / 2, -1), (2pi, 0). На основе y = sin x является нечетным и периодической функцией, вы можете нарисовать остальную часть кривой.
- График синусоидальной функции y = (3/2) sin x
- Область y = (3/2) sin x — это набор всех действительных чисел, а диапазон — это интервал [-3/2, 3/2], он имеет период 2pi. Ключевые пять точек: (0, 0), (pi / 2, 3/2), (пи, 0), (3pi / 2, — 3/2), (2pi, 0).На основе y = (3/2) sin x является нечетной функцией периода, вы можете нарисовать остальную часть кривой.
- График синусоидальной функции y = (2/3) sin (x + pi / 4)
- График y = (2/3) sin (x + pi / 4) — это график y = (2/3) sin x, перемещающийся влево на pi / 4. Таким образом, нам нужно сначала нарисовать y = (2/3) sin x, а затем переместить его влево на единицу pi / 4.
- График синусоидальной функции y = (2/3) sin (x — pi / 4)
- График y = (2/3) sin (x — pi / 4) — это график y = (2/3) sin x move right pi / 4.Таким образом, нам нужно сначала нарисовать y = (2/3) sin x, а затем переместить его вправо на единицу pi / 4.
- График синусоидальной функции y = sin x, y = sin 2x и y = — sin x / 2
- График y = — sin (x / 2) имеет период 4pi. График y = sin x имеет период 2pi. График y = sin2x имеет период пи.
- Постройте график y = A sin (Bx + C)
- Шагов:
- 1.Начните с рисования графика y = A sin x, его диапазон — [-A, A], период — 2pi.
- Постоянный коэффициент A — это амплитуда синусоидальной функции. Его пять ключевых точек: (0, 0), (pi / 2, A), (pi, 0), (3pi / 2, — A), (2pi, 0). Соединяем эти точки и расширяем его, получаем график y = A sin x.
- 2. (i). Если C> 0, переместите график y = A sin x влево на единицу C.
- (ii). Если C
- 3. (i). Если B> 1, все горизонтальные координаты сжимаются в 1 / B раз.
- (ii). Если B
- Оставить все вертикальные координаты неизменными.
- На этом этапе вы получаете график y = A sin (Bx + C) с периодом 2pi / B.
Построение функции y = f (x) в Python (с Matplotlib)
В нашем предыдущем уроке мы узнали, как построить прямую линию или линейные уравнения типа $ y = mx + c $.
Здесь мы узнаем, как построить определенную функцию $ y = f (x) $ в Python через указанный интервал.2 здесь у = х ** 2 # установка осей в центре fig = plt.figure () ax = fig.add_subplot (1, 1, 1) ax.spines [‘влево’]. {3} $.3 здесь у = х ** 3 # установка осей в центре fig = plt.figure () ax = fig.add_subplot (1, 1, 1) ax.spines [‘влево’]. set_position (‘центр’) ax.spines [‘дно’]. set_position (‘центр’) ax.spines [‘правильно’]. set_color (‘нет’) ax.spines [‘вверху’]. set_color (‘нет’) ax.xaxis.set_ticks_position (‘снизу’) ax.yaxis.set_ticks_position (‘влево’) # построить функцию plt.plot (x, y, ‘g’) # показать сюжет plt.show ()
Тригонометрические функции
Здесь мы строим тригонометрическую функцию $ y = \ text {sin} (x) $ для значений $ x $ между $ — \ pi $ и $ \ pi $.У метода linspace () интервал установлен от $ — \ pi $ до $ \ pi $.
импортировать matplotlib.pyplot как plt
импортировать numpy как np
# 100 чисел с линейным интервалом
x = np.linspace (-np.pi, np.pi, 100)
# функция, которая здесь y = sin (x)
у = np.sin (х)
# установка осей в центре
fig = plt.figure ()
ax = fig.add_subplot (1, 1, 1)
ax.spines ['влево']. set_position ('центр')
ax.spines ['дно']. set_position ('центр')
топор.шипы ['право']. set_color ('нет')
ax.spines ['вверху']. set_color ('нет')
ax.xaxis.set_ticks_position ('снизу')
ax.yaxis.set_ticks_position ('влево')
# построить функцию
plt.plot (x, y, 'b')
# показать сюжет
plt.show ()
Построим его вместе с еще двумя функциями, $ y = 2 \ text {sin} (x) $ и $ y = 3 \ text {sin} (x) $. На этот раз мы помечаем функции.
import matplotlib.pyplot как plt
импортировать numpy как np
# 100 чисел с линейным интервалом
x = np.linspace (-np.pi, np.pi, 100)
# функция, которая здесь y = sin (x)
у = np.sin (х)
# установка осей в центре
fig = plt.figure ()
ax = fig.add_subplot (1, 1, 1)
ax.spines ['влево']. set_position ('центр')
ax.spines ['дно']. set_position ('центр')
ax.spines ['правильно']. set_color ('нет')
ax.spines ['вверху']. set_color ('нет')
ax.xaxis.set_ticks_position ('снизу')
топор.yaxis.set_ticks_position ('влево')
# построить график функций
plt.plot (x, y, 'b', label = 'y = sin (x)')
plt.plot (x, 2 * y, 'c', label = 'y = 2sin (x)')
plt.plot (x, 3 * y, 'r', label = 'y = 3sin (x)')
plt.legend (loc = 'верхний левый')
# показать сюжет
plt.show ()
И здесь мы строим вместе как $ y = \ text {sin} (x) $, так и $ y = \ text {cos} (x) $ на одном интервале от $ — \ pi $ до $ \ pi $.
import matplotlib.pyplot как plt
импортировать numpy как np
# 100 чисел с линейным интервалом
x = np.linspace (-np.pi, np.pi, 100)
# здесь функции y = sin (x) и z = cos (x)
у = np.sin (х)
z = np.cos (х)
# установка осей в центре
fig = plt.figure ()
ax = fig.add_subplot (1, 1, 1)
ax.spines ['влево']. set_position ('центр')
ax.spines ['дно']. set_position ('центр')
ax.spines ['правильно']. set_color ('нет')
ax.spines ['вверху']. set_color ('нет')
ax.xaxis.Икс')
plt.legend (loc = 'верхний левый')
# показать сюжет
plt.show ()
Тригонометрические функции: преобразование.
Тригонометрические функции: преобразование. Цели: исследуем свойства некоторых тригонометрических
функции:
f (x) = a sin b (x — d) + c, f (x) = a cos b (x — d) + c, & f (x) = a tan b (x — d)
+ c.
Мы также уделим особое внимание концепции амплитуды и периода .
- На схеме сбоку показано y = sin (x) и y = cos (x). «Угол» x измеряется в радианах.
- Период — это расстояние по горизонтальной оси (в нашем случае по оси X) между «идентичными» (вернитесь к единичному кругу, чтобы понять значение «одинаковых») мест на графике. Для простоты мы обычно думаем о периоде как расстояние между последовательными пиками или впадинами.Период для y = sin (x) и y = cos (x) равны 2π.
- Амплитуда тригонометрической функции — это расстояние между
главная ось (в нашем случае ось x) и максимум или минимум
точка.
Вопросы- Какова амплитуда y = sin (x)? __________________
- Какова амплитуда y = cos (x)? __________________
- Каковы период и амплитуда y = tan (x)? __________________
- Каков максимум y = sin (x)? __________________
- Каков минимум y = sin (x)? __________________
- Найдите максимум и минимум y = cos (x) ________________
- Найдите максимум и минимум y = tan (x) ________________
Разведка
- Постройте следующие функции с помощью своих калькуляторов:
[Установите для окна значение Xmin = -2π, Xmax = 2π, Xscl = p / 2, Ymin = -3, Ymax = 3 и Yscl = 0.5.]
у1 = грех (х)
у2 = грех (х) + 1,5
у3 = грех (х) — 1,5- Как изменение значения c в f (x) + c влияет на тригонометрическую функция f (x)?
- Влияет ли изменение значения c в f (x) + c на амплитуду а период тригонометрической функции f (x)?
- Сейчас участок
у1 = соз (х),
y2 = cos (x-π / 2), &
у3 = соз (х + π / 3)- Как изменение значения d в f (x — d) влияет на тригонометрическую функция f (x)?
- Влияет ли изменение значения d в f (x — d) на амплитуду а период тригонометрической функции f (x)?
- Сейчас участок
у1 = грех х
у2 = 2sin (х),
y3 = -sin x,
y4 = (1/4) sin (x), &- Какова амплитуда y = 2sin (x)?
- Какова амплитуда y = -sin (x)?
- Какова амплитуда y = (1/4) sin (x)?
- Как изменение значения a в af (x) влияет на тригонометрическую функция f (x)?
- Влияет ли изменение стоимости на период и перевод f (x)?
- Как отрицательное a влияет на тригонометрическую функцию f (x)?
- Сейчас участок
у1 = соз х
y2 = cos (2x), &
y3 = cos (0.5x).- Каков период y = cos (2x)?
- Каков период y = cos (0,5x)?
- Как изменение значения b в f (bx) влияет на тригонометрическую функция f (x)?
- Влияет ли изменение значения b на амплитуду и перенос f (x)?
- Сейчас участок
y1 = cos (x) и
y2 = cos (-x)
Что вы заметили? - Сейчас участок
y1 = cos (-x) и
у2 = -cos (х).
Что вы заметили? - График y1 = tan (x), y2 = tan (-x) и y3 = — tan (x). Что вы заметили?
- Постройте график y1 = sin (x), y2 = sin (-x) и y3 = — sin (x). Что вы заметили?
- Постройте следующие функции с помощью своих калькуляторов:
Итоги:
Изучите функцию y = sin x выше. Ограничимся пока областью 0 o ≤ x ≤ 360 o .Наблюдать что ymax = 1, когда x = 90 o .
| Изучите функцию y = cos x выше. Ограничимся момент в область 0 o ≤ x ≤ 360 o .Наблюдать что
| ||||
Пусть Y1 = a sin (bx) + c. Изучим синусоидальную кривую Y1 и снова ограничим наш домен к ОДНОМУ периоду.
Пусть Y2 = a cos (bx) + c. Изучим косинусоидальную кривую Y2 и снова ограничим наш домен к ОДНОМУ периоду.
|
Примеры
- Найдите амплитуду и период следующих функций:
- y = 2sin (3x-4)
- y = 2-5sin (x)
- y = — (2/3) cos (0.5x) +6
- y = af (bx -d) + c. Вопрос: y = 2sin (3x-4). Таким образом, амплитуда просто a = 2. Период равен 2π / b. Таким образом, период равен 2π / 3 или 120 0 .
Вопрос: y = 2-5sin (x). Это может быть переписывается как y = -5sin (x) +2.Таким образом, амплитуда равна | -5 | = 5. Отрицательный знак перед 5 влияет на отображение функции и не амплитуда. Кроме того, амплитуда — это такое расстояние «-5», как амплитуда не имеет значения. Период равен 2π / b. В этом случае b = 1. Таким образом, период равен 2π или 360 0 .
y = — (2/3) cos (0.5x) +6. Амплитуда 2/3. Период равен 2π / b. В нашем случае b = 0,5. Таким образом, период равен 2π / 0,5 = 4π или 720 0 .
Найдите период и амплитуду y = 2tan [(x / 3) -4].
Решения:
y = af (bx -d) + c. Здесь у нас может возникнуть соблазн сказать, что амплитуда a = 2. Но это НЕ правильно.Постройте эту функцию. В касательной функции мы не говорим об амплитуде, потому что в касательной функции нет ни точки максимума, ни минимума. Однако период все еще составляет π / b . В нашем случае b равно 1/3. Таким образом, период равен π / (1/3) = 3π.- Найдите максимальное и минимальное значения следующих функций:
- у = 3sin (x)
- у = 2sin (x) — (1/2)
- у = 2sin (3x + π)
- y = — (2/3) cos [(3x + π) / 2]
- y = — (2/3) cos [(3x + π) / 2] + 1
Чтобы ответить на вопросы относительно максимума и минимума для функций синуса и косинуса, нам нужно только помнить, что максимум и минимум для sin (x) и cos (x) равны 1 и -1 соответственно.- y = 3sin (x). Функция достигает своего максимума, когда sin (x) находится на максимуме. Итак, максимум y = 3 [максимум sin (x)] = 3 (1). Максимальное значение — 3.
Функция достигает своего минимума, когда sin (x) находится на минимуме. Итак, минимум y = 3 [минимум sin (x)] = 3 (-1). Минимальное значение -3. - y = 2sin (x) — (1/2). Функция имеет максимальное значение, когда sin (x) является максимальным или sin (x) = 1. Максимальное значение y равно 2 (1) — (1/2) = 3/2.
Функция достигает своего минимума, когда sin (x) минимален или sin (x) = — 1. Минимум y равен 2 (-1) — (1/2) = — 5/2. - y = 2sin (3x + π). Обратите внимание, что значения 3 и π не влияют ни на амплитуду, ни на вертикальное перемещение. Таким образом, мы можем рассматривать наш вопрос так же, как и с y = 2sin (x). Таким образом, максимальное значение равно 2, а минимальное значение равно -2, как в примере (i) выше.
- y = — (2/3) cos [(3x + π) / 2]. Те же аргументы, что и в примере (iii) выше.В основном мы работаем с проблемой y = — (2/3) cos (x). Функция достигает своего максимума, когда cos (x) минимален или cos (x) = — 1. Таким образом, максимальное значение — (2/3) (- 1) = 2/3.
Функция достигает своего минимума, когда cos (x) достигает своего максимума или cos (x) = 1. Минимум — (2/3) (1) = -2/3. - y = — (2/3) cos [(3x + π) / 2] + 1. Вот небольшая модификация вопроса (iv) выше. Значение +1 переводит всю функцию на единицу вертикально вверх.Таким образом, максимальное значение составляет 2/3 + 1 = 5/3, а минимальное значение — -2 / 3 + 1 = 1/3.
- Популяцию насекомого в саду можно смоделировать с помощью функции:
P = 500 + 200sin (πT / 6), 0≤ T ≤ 12
где T измеряется в неделях после первоначальной оценки популяции.- Каково исходное население?
- Какая самая большая численность населения?
- Когда будет достигнута наибольшая численность населения?
- Когда население достигнет 600?
- Начальная популяция просто 500, когда t = 0, поэтому sin (0) = 0.
- Наибольшая популяция — это когда sin (x) = 1. Таким образом, наибольшая популяция 500 + 200 (1) = 700.
- sin (x) = 1
грех (πT / 6) = 1
πT / 6 = грех -1 1
πT / 6 = π / 2
Т / 6 = 1/2
Т = 6/2
T = 3. [Третья неделя]
Есть ли другой ответ? Здесь нужно учитывать период.Период этой функции равен 2π / (π / 6) = 12. Таким образом, следующий пик будет на 15, но 15 не является частью нашей области. Так что есть уникальное решение, которое мы тоже можем подтвердить графиком.
200sin (πT / 6) = 600-500
200sin (πT / 6) = 100
грех (πT / 6) = 1/2
(πT / 6) = π / 6
Т = 1
Используйте график, и мы быстро поймем, что есть два ответа.600 — это до пика численности населения 700. От Т = 1 до пикового времени (Т = 3) продолжительность составляет 2 недели. Функция симметрична, поэтому в следующий раз, когда популяция достигнет 600, должно быть T = 3 + 2 или на пятой неделе.
Ответы: первая и пятая неделя. Подтвердите это графиком.
| Итоги: Пусть f (x) — тригонометрическая функция, которая может быть синусом, косинусом или тангенсом. y = a f (bx — d) + c
|