Функции и Графики — сайт по математике и не только!!! СТЕПЕННЫЕ ФУНКЦИИ Всё о Математических функциях и их графиках…
Функции и Графики — сайт по математике и не только!!! СТЕПЕННЫЕ ФУНКЦИИ Всё о Математических функциях и их графиках…
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИИ
СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ
ЛИНЕЙНАЯ
КВАДРАТИЧНАЯ
СТЕПЕННЫЕ ФУНКЦИИ
ФУНКЦИИ y =
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ
ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ
ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ
ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ
ГРАФИКИ
ТЕСТЫ
КОНТАКТЫ
КАРТА САЙТА
НА ГЛАВНУЮ
ПРОГРАММИРОВАНИЕ
TURBO PASCAL
C++
С НАТУРАЛЬНЫМИ ПОКАЗАТЕЛЯМИ СТЕПЕНИ
С ЦЕЛЫМИ ОТРИЦАТЕЛЬНЫМИ ПОКАЗАТЕЛЯМИ СТЕПЕНИ
С ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫМИ ПОКАЗАТЕЛЯМИ СТЕПЕНИ
СТЕПЕННЫЕ ФУНКЦИИ с натуральными показателями степени y = xn, где n N
n четное
n нечетное
Свойства функций
ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ: R
ОБЛАСТЬ ЗНАЧЕНИЙ:
при n нечетном R
при n четном [0;8]
ЧЕТНОСТЬ, НЕЧЕТНОСТЬ:
при n нечетном функция нечетная
при n четном функция четная
НУЛИ:y = 0 при x = 0
ПРОМЕЖУТКИ ЗНАКОПОСТОЯНСТВА:
если n нечетное, то функция возрастает при х R
ПРОМЕЖУТКИ МОНОТОННОСТИ:
если k = 0, b > 0, то функция возрастает при x R
если k = 0, b x R
если k = 0, b = 0, то функция постоянна при x R
ЭКСТРЕМУМЫ
если n нечетное, экстремумов нет
если n четное, ymin = 0 при xmin = 0
ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ ПРОХОДЯТ ЧЕРЕЗ ТОЧКИ:
При n нечетном: (-1;-1),(0,0),(1,1)
При n четном: (-1;1),(0,0),(1,1)
При n = 0 функция y=xn определяется так: x0 = 1 при x 0; при x = 0 функция не определена. n»
Определение:
Функцию,
заданную формулой ,
называют степенной функцией с натуральным показателем, где x—
независимая переменная, а n
-
натуральное число.
Например:
Существуют
два случая степенной функции: с чётным показателем и с нечётным показателем.
Рассмотрим
пример: найти на рисунке степенные функции с чётным показателем и с нечётным
показателем.
С
чётным показателем:
С
нечётным показателем:
Определение:
Областью
определения любой степенной функции с натуральным
показателем является множество всех действительных чисел.
Рассмотрим
случай, когда n
-
чётное число. График выглядит так:
Опишем
свойства этой функции:
1. Если
x=0,
то y=0.
2.
Если
x≠0,
то y>0,
т. к. чётная степень как положительного, так и
отрицательного числа положительна.
3.
Противоположным
значениям аргумента соответствуют равные значения функции.
4.
Функция
возрастает и убывает на промежутке:
5.
При
любых значения аргумента функция принимает неотрицательные значения. Областью значений
является:
Рассмотрим
случай, когда n
-
нечётное число (n>1).
График
выглядит так:
Опишем
свойства этой функции:
1.
Если
x=0,
то y=0.
Ноль в любой степени равен нулю.
Если x>0,
то y>0.
Если x<0,
то y<0.
2.
Нечётная
степень отрицательного числа отрицательна.
3.
Противоположным
значениям аргумента соответствуют противоположные значения функции.
4.
Функция
возрастает на всей области определения, принимая любые значения.
5.
Областью
значений является:
Рассмотрим
пример: сравнить значения выражений:
Показатель
степени у обоих выражений одинаковые. Рассмотрим график степенной функции с
нечётным показателем:
На
рисунке изображен график степенной функции с нечётным показателем, функция
возрастает на всей области определения. В данном случае при любых значениях
аргумента из множества всех действительных чисел, т.е. большему значению
аргумента соответствует большее значение функции.
Рассмотрим
пример: сравнить значения выражений:
Показатель
степени у обоих выражений нечётный, т.е
большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
Рассмотрим
пример: сравнить значения выражений:
Рассмотрим
график:
Показатель
степени у обоих выражений чётный, т.е. большему значению аргумента
соответствует меньшее значение функции.
Пример.
Сравнить
значения выражений:
Данные
значения принадлежат промежутку возрастания, то есть большему значению
аргумента соответствует большее значение функции.
Пример.
Определить,
принадлежат ли графику функции точки А(2,16), В(3,9), С(-1,1).
Точка
А.
Значит,
точка А принадлежит графику функции.
Точка
Б.
Значит,
точка Б не принадлежит графику функции.
Точка
С.
Значит,
точка С принадлежит графику функции.
Предыдущий урок 8
Построение графика квадратичной функции
Следующий урок 10
Корень n-й степени
Получите полный комплект видеоуроков, тестов и презентаций
Алгебра 9 класс ФГОС
Чтобы добавить комментарий зарегистрируйтесь или войдите на сайт
Мэтуэй | Популярные задачи
1
Найти производную — d/dx
бревно натуральное х
2
Оценить интеграл
интеграл натурального логарифма x относительно x
3
Найти производную — d/dx
92)
21
Оценить интеграл
интеграл от 0 до 1 кубического корня из 1+7x относительно x
22
Найти производную — d/dx
грех(2x)
23
Найти производную — d/dx
9(3x) по отношению к x
41
Оценить интеграл
интеграл от cos(2x) относительно x
42
Найти производную — d/dx
1/(корень квадратный из х)
43
Оценка интеграла 9бесконечность
45
Найти производную — d/dx
х/2
46
Найти производную — d/dx
-cos(x)
47
Найти производную — d/dx
грех(3x)
92+1
68
Оценить интеграл
интеграл от sin(x) по x
69
Найти производную — d/dx
угловой синус(х)
70
Оценить предел
ограничение, когда x приближается к 0 из (sin(x))/x 92 по отношению к х
85
Найти производную — d/dx
лог х
86
Найти производную — d/dx
арктан(х)
87
Найти производную — d/dx
бревно натуральное 5х92
Степени, экспоненты и логарифмы
Степени, экспоненты и логарифмы
Степенные, экспоненциальные и логарифмические функции
Основная силовая функция
у = х n
где n — целое положительное число.
Вы знаете, как это можно расширить с помощью алгебры, чтобы определить
у = х б
когда b представляет собой дробь или отрицательное целое число.
Откройте окно Maple и начертите функции
y = x 4 , y = x 1/4 = корень четвертой степени из x, y = x -4 .
Держите Maple открытым и используйте его, пока вы работаете с остальной частью этого руководства.
документ. (Но не забывайте часто убивать свои старые сюжетные окна
если вы используете версию 3.)
Можно (пока опустим логические подробности) «заполнить
в» определение, чтобы иметь смысл x b для любого действительного числа b
(по крайней мере, если x положителен).
Участок
y = x 3,9 , y = x ,24 , y = x -4,1 ,
каждая на тех же осях, что и соответствующая функция выше.
Поэкспериментируйте с другими значениями показателя степени.
Уравнение
а б = в
определяет несколько функций, в зависимости от того, какая из 3-х величин
является зависимой переменной, которая независимая переменная, и
что просто константа.
( Примечание: Чтобы избежать осложнений, мы предполагаем, что для остальных
это обсуждение, что a> 0 и a 1.)
Мы уже говорили о случаях y = x b ( степенных функций ) и
у б = х =>
y = x 1/b = b корень x
( корневые функции , которые являются просто дополнительными мощными функциями). Сегодня нас в первую очередь интересуют более экзотические случаи:
Экспоненциальные функции: y = a x
График
y = 3 x , y = (0,5) x , y = 1 x .
Поэкспериментируйте с другими значениями основания (а).
Логарифмические функции:
а у = х =>
y = log a (x)
Участок
у = логарифм 3 (x), y = log (0,5) (x).
(Не путайте журнал 3 (x) с
журнал (3x). Синтаксис Maple: log[3](x) .) Поэкспериментируйте с другими значениями базы. (Почему случай a = 1 патологический?)
Самый важный факт, который нужно запомнить об экспоненциальном и
логарифмических функций состоит в том, что большинство этих функций
ненужно запоминать!
Теорема: Существует число e 2,718 такое
что
a x = e x ln(a) и log a (x) =
пер(х) пер(а)
,
где ln определяется
ln(x) = логарифм e (x).
Следовательно, экспоненциальные и логарифмические функции относительно
произвольное основание a может быть исключено в пользу тех,
в отношении специальной базы, т. е.
9х .)
Обозначения: e x также пишется как exp x.
Тогда exp и ln рассматриваются как новые трансцендентные
такие функции, как sin и cos.
Как и в случае с триггерными функциями, скобки часто опускаются.
аргументы этих функций при отсутствии неоднозначности:
exp x , log 10 3, ln x 2 .
(Наконец, чистые математики пишут ln x как log x,
но инженерам и ученым это не нравится.)
Свойства графиков
Функция e x увеличивается быстрее на бесконечности, чем любая степень
функция.
График y = e x и y = x 3 на тех же осях.
Затем постройте y = e x и y = x 8 на тех же осях.
Вы все еще верите этому утверждению?
Сделайте масштаб x большим, а масштаб y огромным!
Функция e -x убывает на бесконечности быстрее, чем
любую отрицательную силу.
График y = e -x и y = x -2 на одних и тех же осях.
Затем постройте y = e -x и y = x -20 на тех же осях;
поэкспериментируйте с весами, чтобы найти точку пересечения.
Функция ln x растет медленнее на бесконечности
чем любая положительная (дробная) степень.
Постройте y = ln x и y = x 1/5 на тех же осях.
Увеличивайте масштаб x, пока не найдете точку пересечения.
Когда x приближается к 0, функция — ln x увеличивается
медленнее, чем любая отрицательная сила.
Постройте y = — ln x и y = x -1/5 на тех же осях.
Вы верите заявлению?
Алгебраические свойства экспонент («законы
степени»)
е х+у = е х е у
(e x ) y = e xy
е -х =
1 е x
(ab) x = a x b x
е x >=
0
е 0 = 1
е 1 = е ; 1 =
За исключением того, что указано в последней строке, эти законы также выполняются
для х .
//
n»
к. чётная степень как положительного, так и
Областью
значений является:
Сегодня нас в первую очередь интересуют более экзотические случаи:
Синтаксис Maple: log[3](x) .) Поэкспериментируйте с другими значениями базы. (Почему случай a = 1 патологический?)
е.
9х .)
