Параллелограмм. Признаки параллелограмма 8 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей
Тема 1: Четырехугольники
- Видео
- Тренажер
- Теория
Заметили ошибку?
Параллелограмм. Признаки параллелограмма.
Параллелограмм – четырехугольник, у которого каждые две противоположные стороны параллельны.
Основные свойства параллелограмма:
-
∠ВАD = ∠BCD, ∠ABC = ∠CDA (противоположные углы равны).
-
AB = DC, BC = AD (противоположные стороны равны).
Первые два свойства следуют из равенства треугольников ABC и ACD, а также треугольников ABD и BCD.
-
AO = OC, BO = OD (диагонали точкой пересечения делятся пополам).
Третье свойство следует из равенства треугольников BOC и AOD.
-
∠BAD + ∠ABC = 180° (сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°).
Четвертое свойство следует из параллельности прямых BC и AD, а также AB и CD.
Первый признак параллелограмма. Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник – параллелограмм.
Дано: АВ||CD, AB = CD.
Доказать: ABCD – параллелограмм.
Доказательство: проведем в четырехугольнике диагональ, она разобьет его на два треугольника. Запишем, что мы знаем об этих треугольниках:
AB = CD по условию.
BD – диагональ параллелограмма, является общей стороной для треугольников АВD и BCD.
∠АВD = ∠ВDС как накрест лежащие.
Значит, треугольник АВD равен треугольнику BCD по первому признаку равенства треугольников.
Из равенства указанных треугольников следует, что ∠СВD = ∠АDB, а значит, АD||BC по признаку параллельности прямых при пересечении их секущей. Имеем, что AB||CD и AD||BC, значит АВСD – параллелограмм по определению.
Второй признак параллелограмма. Если в четырехугольнике каждые две противоположные стороны равны, то этот четырехугольник – параллелограмм.
Дано: АВ = СD, AD = BC.
Доказать: ABCD – параллелограмм.
Доказательство: проведем в четырехугольнике диагональ BD, она разобьет его на два треугольника. Запишем, что мы знаем об этих треугольниках:
АВ = СD по условию.
AD = BC по условию.
BD – общая сторона.
Значит, треугольник АВD равен треугольнику CBD по третьему признаку равенства треугольников.
Из равенства треугольников следует, что ∠СВD = ∠АDB, ∠АВD = ∠ВDС, а значит, АD||BC и AB||DC по признаку параллельности прямых при пересечении их секущей. Получаем AD||BC и AB||DC, значит АВСD – параллелограмм по определению.
Заметили ошибку?
Расскажите нам об ошибке, и мы ее исправим.Признаки параллелограмма. Формулировка и доказательства
Признаки параллелограмма.
а) Если в выпуклом четырёхугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то такой четырёхугольник — параллелограмм. б) Если в выпуклом четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то такой четырёхугольник — параллелограмм. в) Если диагонали выпуклого четырёхугольника, пересекаясь, делятся пополам, то такой четырёхугольник — параллелограмм.
Доказательство первого признака параллелограмма. Если в выпуклом четырёхугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то такой четырёхугольник — параллелограмм. Доказательство. Вот наш четырёхугольник, и известно, что стороны AB и CD равны и параллельны. И надо доказать, что ABCD — параллелограмм. Рассмотрим треугольники ABC и ADC. В них AC — общая сторона, стороны AB и CD равны, и углы BAC и DCA равны как накрест лежащие при ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ и СЕКУЩЕЙ. Значит, треугольники равны по первому признаку. Значит, их соответственные углы BCA и DAC равны, а эти углы накрест лежащие при параллельных боковых сторонах и секущей диагонали.
То есть боковые стороны тоже параллельны, то есть четырёхугольник — параллелограмм. ЧТД.
Доказательство второго признака параллелограмма. Если в выпуклом четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то такой четырёхугольник — параллелограмм. Доказательство. Вот наш четырёхугольник ABCD. И про него известно, что AB=CD и BC=AD. И надо доказать, что этот четырёхугольник ABCD — параллелограмм.Рассмотрим треугольники ABC и ADC. У них AC — общая сторона, AB=CD и BC=AD значит, треугольники равны по третьему признаку, а значит углы DCA и BAC равны, а они накрест лежащие при верхней и нижней сторонах и секущей диагонали, а значит верхняя и нижняя стороны параллельны. Также углы DAC и BCA равны, а они накрест лежащие при боковых сторонах и секущей диагонали. Значит, и боковые стороны четырёхугольника тоже параллельны, значит четырёхугольник ABCD — параллелограмм, ЧТД.
Доказательство третьего признака параллелограмма. Если диагонали выпуклого четырёхугольника точкой своего пересечения делятся пополам, то такой четырёхугольник — параллелограмм.
Доказательство. Вот наш четырёхугольник ABCD и про него известно, что его диагонали BD и AC точкой своего пересечения E делятся на равные половинки, то есть AE=CE и BE=DE. И надо доказать, что этот четырёхугольник ABCD — параллелограмм. Чтобы доказать, мы рассмотрим треугольники ADE и CBE. В этих треугольниках углы BEC и DEA равны как вертикальные. Стороны BE и DE равны по условию, и стороны AE и CE — тоже равны по условию. Значит, треугольники равны по 1-му признаку. Это значит, что их соответственные углы BCE и DAE равны, а эти углы являются накрест лежащими при двух боковых сторонах и секущей AC, следовательно, боковые стороны четырёхугольника — AD и BC — параллельны. Теперь рассмотрим треугольники EAB и ECD. В этих треугольниках углы BEA и DEC равны, как вертикальные. Стороны BE и DE равны по условию и стороны AE и CE — равны по условию. Следовательно и эти треугольники тоже равны по первому признаку. Это значит, что их соответственные углы BAE и DCE равны, а эти углы являются накрест лежащими при верхней и нижней сторонах AB и CD и секущей диагонали AC.
Значит, стороны AB и CD тоже параллельны, то есть четырёхугольник ABCD — параллелограмм, ЧТД.
← Предыдущий урок
Оглавление
Следующий урок →
Когда четырехугольник является параллелограммом?
Я думаю о четырехугольнике, у которого одна пара противоположных сторон параллельна и конгруэнтна. Назовите этот четырехугольник.
Я думаю о четырехугольнике, у которого две пары противоположных сторон равны. Назовите этот четырехугольник.
Я думаю о четырехугольнике, у которого обе пары противоположных углов равны. Назовите этот четырехугольник.
Я думаю о четырехугольнике, диагонали которого пересекаются пополам. Назовите этот четырехугольник.
Если вы ответили «параллелограмм» на все вышеперечисленное, вы правы! Конечно, вы уже знаете, что недостаточно заявить, что я думаю о параллелограмме. В машине есть сомневающиеся, так что придется доказывать.
Противоположные стороны конгруэнтны и параллельны
Ваша первая подсказка «Назови этот четырехугольник» заключалась в том, что одна пара противоположных сторон параллельна и конгруэнтна.
Рисунок 16.1 Четырехугольник ABCD с ¯BC и ¯BC ~= ¯AD.
- Теорема 16.1 : Если одна пара противоположных сторон четырехугольника параллельна и конгруэнтна, то четырехугольник является параллелограммом.
Вот план игры. Предположим, что ¯BC ¯AD и ¯BC ~= ¯AD. По определению, параллелограмм — это четырехугольник, у которого две пары противоположных сторон параллельны. Вы уже знаете, что одна пара противоположных сторон параллельна. Вам нужно показать, что другая пара противоположных сторон параллельна. Другими словами, нужно показать, что ¯AB ¯CD.
Вы можете посмотреть на этот четырехугольник двумя способами. Первый способ — сосредоточиться на отрезках ¯BC и ¯AD, пересекаемых секущей ¯AC. Тогда BCA и DAC являются альтернативными внутренними углами и равны, так как ¯BC ¯AD. Второй способ — перевернуть его на бок.
| Заявления | Причины | ||
|---|---|---|---|
| 1. | Четырехугольник ABCD с ¯BC ¯AD и ¯BC ~= ¯AD. | Дано | |
| 2. | ¯BC ¯AD пересечение секущей ¯AC | Определение секущей | |
| 4 s ACD 90 и внутренние углы BAC 0040 Определение альтернативных внутренних углов | |||
| 4. | БКА ~= ЦАП | Теорема 10.2 | |
| 5. | ¯AC ~= ¯AC | Рефлексивное свойство ~= | |
| 6. | DAC0 Постулат | ||
7. | БАК ~= ACD | CPOCTAC | |
| 8. | ¯AB и ¯CD — два отрезка, пересекаемые секущей ¯AC | . чередующиеся внутренние углы | Определение параллельных внутренних углов |
| 10. | ¯AB ¯CD | Теорема 10.8 | |
| 11. |
Теперь, когда вы правильно назвали этот четырехугольник, вы можете перейти к следующему четырехугольнику.
Две пары конгруэнтных сторон
Во второй игре «Назови этот четырехугольник» у четырехугольника было две пары конгруэнтных сторон. Давайте запишем это как теорему и отложим ее.
- Теорема 16.2 : Если обе пары противоположных сторон четырехугольника конгруэнтны, то этот четырехугольник является параллелограммом.
У нас есть визуал на рис. 16.2. У нас есть параллелограмм ABCD с ¯AB ~= ¯CD и ¯BC ~= ¯AD. План игры состоит в том, чтобы разделить четырехугольник на два треугольника с помощью диагонали ¯AC.
Используйте постулат SSS, чтобы показать, что два треугольника конгруэнтны, и используйте CPOCTAC, чтобы сделать вывод, что альтернативные внутренние углы конгруэнтны, а противоположные стороны должны быть параллельны. Если мы покажем это для обеих пар противоположных сторон, то получим параллелограмм по определению. Пришло время написать подробности.
Рисунок 16.2 Четырехугольник ABCD с ¯AB ~= ¯CD и ¯BC ~= ¯AD
| Утверждения | Причины | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| 1. | Четырехугольник ABCD с ¯AB ~= ¯CD и ¯BC ~= ¯AD | Дано 31 | 2. | ¯AC ~= ¯AC | Рефлексивное свойство ~= |
| 3. | ABC ~= CDA | SSS Постулат | |||
| 4. | BAC ~= DAC | CPOCTAC | |||
| 5. | ¯BC и ¯AD два отрезка, разделенные секущей ¯AC | Определение поперечной | |||
| 6. | Определение альтернативного внутренние углы | ||||
7. | ¯BC ¯AD | Теорема 10.8 поперечный | |||
| 9. | BAC и ACD — альтернативные внутренние углы. | ||||
| 11. | Четырехугольник ABCD параллелограмм | Определение параллелограмма |
И снова сладкий вкус победы! Вы правильно назвали этот четырехугольник. Следующий!
Две пары равных углов
Третье описание четырехугольника включало конгруэнтность обеих пар противоположных углов. Я сформулирую теорему и воспользуюсь рис. 16.3, чтобы провести вас через доказательство.
Рисунок 16.3 Четырехугольник ABCD, где A ~= C и B ~= D.
- Теорема 16.3 : Если обе пары противоположных углов четырехугольника равны, то четырехугольник является параллелограммом.
Начать нужно с углов. Поскольку суммы внутренних углов четырехугольника в сумме составляют 360º, можно показать, что mA + mB = 180º, или что A и B являются дополнительными углами.
| Утверждения | Причины | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| 1. | Четырехугольник ABCD с A ~= C и B ~= D | Дано | 290333мА + мБ + мКл + мД = 360º | Внутренние углы четырехугольника в сумме дают 360º | |
| 3. | мА + мБ + мА + мБ = 360º | Замена (шаги 1 и 2) | |||
| 4. | мА + мБ = 180º | Алгебра | |||
| 5. | A и B являются дополнительными углами | ||||
6. | ¯BC и ¯AD два отрезка, разделенные секущей ¯AB | Определение секущей | |||
| 7. | ¯ до н.э. ¯ | н.э.Теорема 10.10 | |||
| 8. | ¯AB и ¯CD — два отрезка, пересекаемые секущей ¯AD | Определение поперечного сечения | |||
| 9. | мА + мД = 180º | Замена (шаги 1 и 4) | |||
| 10. | A и D являются дополнительными углами | Определение дополнительных углов | |||
| 11. | ¯AB ¯CD | Теорема 10.10 | |||
| 12. | Четырехугольник ABCD является параллелограммом | Определение параллелограмма |
Диагонали, делящиеся пополам
Ах, последняя игра этой серии! Если у вас есть четырехугольник, диагонали которого делят друг друга пополам, то ваш четырехугольник является параллелограммом. На рис.
16.4 показан параллелограмм ABCD с диагоналями ¯AC и ¯BD, пересекающимися в точке M и делящими друг друга пополам.
Рисунок 16.4 Четырехугольник ABCD с диагоналями ¯AC и ¯BD, пересекающимися в точке M и делящими друг друга пополам.
- Теорема 16.4 : Если диагонали четырехугольника делят друг друга пополам, то четырехугольник является параллелограммом.
Если вы посмотрите на рис. 16.4, план игры для доказательства этой теоремы должен прозвучать громко и ясно. Вы воспользуетесь теоремой 16.2: пары противоположных сторон параллелограмма равны. Две диагонали делят параллелограмм на четыре треугольника. Поскольку диагонали делят друг друга пополам, ¯AM ~= ¯MC и ¯BM ~= ¯MD. Поскольку вертикальные углы конгруэнтны, вы можете использовать постулат SAS, чтобы показать, что AMB ~= BMC и AMB ~= DMC. Отсюда нужно применить CPOCTAC, чтобы показать, что обе пары противоположных сторон конгруэнтны.
| Заявления | Причины | |
|---|---|---|
1. | Четырехугольник ABCD с диагоналями ¯AC и ¯BD, которые пересекаются в точке M и делят друг друга пополам | Дано |
| 2. | ¯AM ~= ¯MC и ¯BM ~= ¯MD | Определение деления пополам |
| 3. | AMB ~= CMD и AMD ~= BMC | Теорема 8.1 |
| 4. | драм ~= BMC и AMB ~= DMC | Постулат САС |
| 5. | ¯BC ~= ¯AD и ¯AB ~= ¯CD | КПОКТАК |
| 6. | Четырехугольник ABCD является параллелограммом | .Теорема 16.2 |
Выдержки из Полное руководство идиота по геометрии © 2004 Дениз Сечеи, доктор философии. Все права защищены, включая право на полное или частичное воспроизведение в любой форме. Используется по договоренности с Alpha Books , член Penguin Group (USA) Inc.
Чтобы заказать эту книгу непосредственно у издателя, посетите веб-сайт Penguin USA или позвоните по телефону 1-800-253-6476.
Вы также можете приобрести эту книгу на Amazon.com и в Barnes & Noble.
Определение, типы, свойства, формы, примеры
Параллелограмм — это особый тип четырехугольника, у которого обе пары противоположных сторон параллельны и равны.
На данном рисунке изображен параллелограмм ABCD, у которого AB II CD и AD II BC. Кроме того, AD = BC и AB = CD.
Когда мы оглядываемся вокруг, мы можем видеть множество параллелограммных форм и объектов в виде зданий, плиток или бумаги.
Здания : Многие здания построены в форме параллелограмма. Знаменитой реальной иллюстрацией является офисное здание Dockland в Гамбурге, Германия.
Плитка : Плитка бывает разных форм и размеров. Одной из наиболее часто встречающихся форм плитки является параллелограмм.
Ластик : Всем знаком классический ластик. Ластики тоже бывают разных форм и размеров, один из них имеет форму параллелограмма. Грани этого ластика имеют форму параллелограмма.
Площадь параллелограмма определяется по формуле A = bh , где b — длина основания, а «h» — высота.
Периметр параллелограмма равен сумме длин четырех сторон. Поскольку противоположные стороны параллелограмма равны, его периметр также может быть выражен как удвоенная сумма смежных сторон, т. е. 2 (AB + BC)
SplashLearn преобразует образование для детей начальной школы от детского сада до 5 класса. SplashLearn мотивирует детей изучать математику с помощью увлекательных и персонализированных программ. Доступный на всех цифровых платформах, он был использован более чем 40 миллионами детей по всему миру. Чтобы узнать больше о параллелограммах, нажмите здесь.
На рисунке ниже ABCD представляет собой параллелограмм, где ∠DAB = 75° и ∠CBD = 60°. Вычислите ∠BDC.
Как известно, противоположные углы параллелограмма равны. Следовательно, ∠DCB = ∠DAB = 75°.
Найдите площадь этого параллелограмма с основанием 15 см и высотой 6 см.
1 Каков периметр параллелограмма ABCD, две смежные стороны которого равны 12 м и 8 м соответственно?40 м 20 м 4 м 30 м Правильный ответ: 40 м 2 Какой из следующих параллелограммов не является параллелограммом?Прямоугольник Ромб Квадрат Трапеция Правильный ответ: Трапеция 3 В параллелограмме ABCD, если ∠A = 60°, то ∠D равно140° 130° 120° 2 Ответ: 110° Противоположные углы параллелограмма равны. Итак, ∠A = ∠C = 60°, а также ∠B = ∠D Кроме того, ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360° 60° + ∠B + 60° + ∠D = 360° 120 ° + ∠B + ∠D = 360° ∠B + ∠D = 240° и ∠B = ∠D Следовательно, ∠D = 120° |
Является ли трапеция параллелограммом?
Нет, трапеция не является параллелограммом, потому что у параллелограмма две пары параллельных сторон, а у трапеции только одна пара параллельных сторон.
Все ли прямоугольники параллелограммы?
Да, все прямоугольники являются параллелограммами, потому что прямоугольник имеет два набора параллельных сторон и две пары противоположных сторон, которые равны. Следовательно, он соблюдает все свойства параллелограмма.
Все ли параллелограммы прямоугольники?
Нет, параллелограмм не всегда является прямоугольником.