Задачи на дифференцирование: Задачи на нахождение производных, алгебра, 10 класс

7$.

9. -1,5.

10. 236.

11. $x∈(-\sqrt{6}; \sqrt{6})$.

12. $x=\frac{\pi}{24}; \frac{11\pi}{24}; \frac{13\pi}{24}; \frac{23\pi}{24}; \frac{25\pi}{24}; \frac{35\pi}{24}; \frac{37\pi}{24}; \frac{47\pi}{24}; \frac{49\pi}{24}; \frac{59\pi}{24}; \frac{61\pi}{24}; \frac{71\pi}{24}; \frac{73\pi}{24}; \frac{83\pi}{24}; \frac{85\pi}{24}; \frac{95\pi}{24}; \frac{97\pi}{24}$.

Задачи для самостоятельного решения

1. Используя определения, найдите производные и дифференциалы следующих функций:

Ответы:

4)

2. Определите значение производной  , если касательная, проведенная к графику функции   в точке  , пересекает координатные оси в точках   и   :

1) , ; 2) ; 3) , ; 4) ,

Ответы: 1) 2) ; 3) 4)

3. К графику функции   в точке   проведена касательная, проходящая через точки Определите значение производной 

Ответ: 0,2.

4. К графику функции   в точке   проведена касательная, которая образует с положительным направлением оси абсцисс угол: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . Определите значение производной 

Ответы: 1) 2) 3) ; 4) .

3.2. Основные приемы дифференцирования

3.2.1. Табличное дифференцирование

Всякая элементарная функция в каждой точке области определения имеет производную, которая также является элементарной функцией. Выражения для производных основных элементарных функций приведены в табл. 3.1.

Таблица 3.1

3.2.2. Общие правила дифференцирования

Теорема 3.4 (о дифференцировании суммы, разности, произведения и частного функций). Пусть функции определены в некоторой окрестности точки Если эти функции дифференцируемы в точке то их сумма, разность, произведение и частное также дифференцируемы в точке при этом в точке имеют место соотношения, приведенные в табл.

3.2.

Таблица 3.2

Производные	Дифференциалы

Эти формулы называют общими правилами дифференцирования.

Если точка не указана, то функцию дифференцируют при произвольном значении , принадлежащем области определения функции. Если точка указана, то сначала функцию дифференцируют при произвольном значении , принадлежащем области определения функции, а затем вычисляют значение производной или дифференциала в точке

.

Пример 3.7. Найти производную функции

□ Применим правило 3 дифференцирования произведения функций: . Затем по правилу 2 из табл. 3.2 находим производную разности двух функций: Производные взяты из табл. 3.1 (см. формулы 2, 1 и 3 соответственно): Подставим эти производные и получим: ■

Пример 3.8. Найти производную и дифференциал функции в точке

□ Преобразуем логарифмическую функцию, произведя переход к основанию, равному числу , по формуле:

Найдем производную и дифференциал в произвольной точке Для этого воспользуемся правилом 5 дифференцирования частного и формулами 1 и 4 из табл. 3.1 для производных функций соответственно:

. Дифференциал выразим по формуле (3.5):

.

Теперь в найденные выражения подставим и получим: ■

3.2.3.Дифференцирование сложной и неявной функции. Инвариантное свойство дифференциала

Теорема 3.5 (о производной сложной функции). Если функция дифференцируема в точке , функция дифференцируема в точке то сложная функция дифференцируема в точке и ее производная в этой точке вычисляется по формуле:

, или кратко (3. 7)

В точке верна и такая запись: . Переменные называют зависимой и независимой переменной дифференцирования соответственно.

Правило дифференцирования сложной функции приводит к важному свойству, называемому инвариантным свойством первого дифференциала.

Дифференциал функции записывается в одной и той же форме

, (3.8)

как в случае независимой, так и в случае зависимой переменной .

Из этого свойства следует, что формула для вычисления дифференциала единая, не зависящая от вида переменной Различие состоит лишь в способе вычисления дифференциала

1) для независимой переменной дифференциал

2) для зависимой переменной дифференциал вычисляется по формуле

Пример 3. 9. Найти производную и дифференциал сложной функции

□ По формуле (3.7) имеем:

Далее пользуемся формулой (3.5):

Заметим, этот результат можно было получить другим способом − методом исключения зависимой переменной : , и последующим дифференцированием полученного произведения: ■

Пример 3.10. Найти производную и дифференциал функции

□ Запишем эту сложную функцию в виде композиции двух функций: Применим формулу (3.7) и получим:

Подставим производную в формулу (3.5) и найдем дифференциал:

При значение производной равно Выражение для дифференциала имеет вид и является линейной функцией дифференциала ■

Дифференцирование неявной функции с помощью правила дифференцирования сложной функции

Правило дифференцирования сложной функции можно применять при нахождении производных и дифференциалов неявных фунций.

Рассмотрим уравнение Это соотношение называют неявным уравнением, связывающим неявную функцию и независимую переменную (см. раздел 1.3.2).

Например, уравнения и определяют одну и ту же функцию, но отличаются друг от друга формой представления. В первом случае квадратичная функция

задана явно, а во втором − неявно.

Будем полагать, что на множестве D существует дифференцируемая функция , обращающая уравнение в тождество . Дифференцируя обе его части как сложную функцию по переменной , получим линейное уравнение относительно производной . Решив его, найдем производную в виде функции переменных Тогда по формуле (3.5) дифференциал

Покажем, что выражения для производной функции, заданной соотношениями и , совпадают. В первом случае (явное задание функции): Во втором (неявное задание функции):

. Как видим, результат не зависит от способа его получения.

Если в качестве независимой переменной выбрана переменная , то уравнение можно рассматривать как соотношение, определяющее

неявную функцию Поиск производной ( ) и дифференциала выполняют способом, аналогичным выше описанному.

Пример 3.11. Найти производную и дифференциал функции, заданной неявно уравнением

□ Полагаем, что существует функция независимой переменной , удовлетворяющая заданному уравнению. Дифференцируем данное соотношение по

Уединим производную и получим: .

По формуле (3.5) . ■

Другой способ отыскания производной неявной функции с формулировкой условий ее существования рассмотрен в разделе 5.2.9.

Решение проблем дифференциации/интеграции: Руководство

Прежде чем мы начнем, мы должны определить и определить некоторые ключевые слова.

Frac: расшифровывается как дробное исчисление и представляет собой раздел математического анализа, изучающий несколько различных возможностей определения степеней действительных чисел.

Производные: производная функции f — это выражение, которое говорит вам, каков наклон f в любой точке области значений f . Производная от f сама является функцией.

Первообразная: используется для выражения обратной производной, примитивной функции, примитивного интеграла или неопределенного интеграла функции.

Уравнения — это утверждение, утверждающее равенство двух выражений, соединенных знаком равенства «=».

Лучшие репетиторы по математике

Поехали

Что такое дифференциация?

Согласно khana.org Дифференциация — это процесс нахождения производной или скорости изменения функции. Цель состоит в том, чтобы найти скорость изменения скорости относительно времени (т. е. ускорение) или, другими словами, скорость изменения «х» относительно «у» на графике (т. е. градиент кривой).

Дифференциация, как одна из ключевых ветвей исчисления, является частью учебной программы AP по математике, а это означает, что ваш учитель будет диктовать несколько уроков о ее основных правилах, таких как дифференцирование x в степени чего-либо, наряду с изучением обозначений. . Знайте, что вы можете использовать все эти знания, чтобы дифференцировать уравнение кривой или найти формулу для ее градиента.

Если вы чувствуете, что математика — это предмет, который вас немного пугает, поверьте, что ваш учитель сможет объяснить процесс так, чтобы вам было легко понять. Но если вы хотите пройти лишнюю милю, решением может быть проверка нашего руководства ниже. Мы покажем вам некоторые из основных правил дифференциации и некоторые сложные, если вам нравится задача.

Когда и где мне может понадобиться использовать дифференциацию?

Это правда, что дифференциация начала работать, чтобы помочь морякам понять, как планеты и звезды в нашей Солнечной системе движутся относительно друг друга, но с технологическим прогрессом и навигационными системами дифференциация больше не используется в море. Так как же он используется в современном обществе?

Дифференциация и интеграция используются как инструменты, которые помогают нам решать проблемы, существующие в реальном мире. Вы никогда не найдете проблему, требующую найти что-то несуществующее или ложное. Например, деривативы используются в разных отраслях для нахождения минимальной и максимальной стоимости вещей. Это могут быть такие вещи, как прибыль, убытки, стоимость, прочность и количество материалов (например, для зданий).

Оптимизация — это слово, используемое для этого в мире промышленности.

Тема также довольно часто возникает у тех, кто работает в области науки и техники, особенно при рассмотрении поведения и тенденций движущихся объектов.

Тем не менее, даже если вы не работаете в области физики, математики, информатики или естественных наук, все равно есть вероятность, что вы используете инструменты дифференциации, даже не подозревая об этом.

Например, каждый раз, когда кто-то в бизнесе работает над тем, насколько быстро его прибыль может умножаться за определенный период времени, или использует тенденцию, чтобы предвидеть что-то в будущем, он применяет методы оптимизации, которые, как мы теперь знаем, форма применения дифференциации и интеграции.

Вы можете найти Superprof онлайн-репетитора по математике.

Это правда, что даже если его используют многие, это не значит, что все применяют его правильно. Вот почему AP Math является важной частью вашего образования. Если вы изучаете и изучаете математику на продвинутом уровне, таком как учебная программа AP Math, вы сможете правильно использовать вышеуказанные методы и использовать их в своих интересах в будущем.

Введение в базовую технику дифференцирования

Методы явного дифференцирования — это термин, который математики используют для обозначения уравнения в исчислении для y записывается в виде x . Это означает, что можно легко использовать основные методы дифференцирования для нахождения производной и решения задач.

Тем не менее, некоторые проблемы представляют собой другую форму или тип уравнения, которые сложно переставить, например, когда за y следует знак = . В этих случаях нужен другой подход.

Неявный метод дифференцирования удобен, когда нужно решить уравнение с несколькими переменными. Но не волнуйтесь, как только вы научитесь использовать явную дифференциацию, этот метод будет легко освоить! 93] Этот простой процесс нужно повторить, поэтому, как только вы его поймете, это все, что вам нужно сделать, чтобы продолжить, проблема решена! Это правило, как и предыдущее, постоянное и работает для любой степени, будь она положительной, отрицательной или дробной.

Примечание: [х в степени нуля = 1]

Правило постоянного множителя

Даже если функция, которую вы собираетесь дифференцировать, начинается с коэффициента, это не повлияет на принятый вами процесс. Продолжайте и продифференцируйте функцию, используя соответствующее правило, с коэффициентом, остающимся на месте до последнего шага, когда вы упростите ответ, умножив его на представленный коэффициент. Итак: 92 + 12x + 5]

Вы чувствуете себя потерянным? Почему бы не найти репетитора по математике, который поможет вам индивидуально?

Введение в методы интеграции

Термин «интеграция» относится к различным подтемам и, следовательно, к большему количеству методов. Другими словами, в математике интеграл присваивает числа функциям таким образом, что они могут описывать перемещение, площадь, объем и другие понятия. Вот основные темы, которые вы, вероятно, встретите в этой главе: Интегрирование по частям, Интегралы с триггерными функциями, Интегралы с квадратичными числами, Триггерные подстановки, Частичные дроби, Интегралы с корнями, Стратегия интегрирования, Аппроксимация определенных интегралов, Несобственные интегралы и, наконец, Сравнительные тесты для несобственных интегралов.

Первое знакомство с интеграцией

Мы сосредоточимся на интегрировании по частям, учитывая, что мы не можем объяснить их все и что это тип проблемы, с которой, скорее всего, многие учащиеся столкнутся когда-нибудь на уроках математики. исследования.

Интегрирование по частям

Интегрирование по частям или частичное интегрирование — это процесс нахождения интеграла произведения двух функций объем и другие понятия.

Иногда функции появляются как продукт другой функции и нуждаются в интеграции. Существует правило, которое помогает в этом процессе. Если его понять, его можно применять для получения важных задач интегрирования по частям.

Этот метод позволит вам использовать формулу интегрирования по частям и, следовательно, интегрировать произведения заданных функций. Все еще немного непонятно? Проверьте эти примеры.

Самое важное, что нужно помнить, сталкиваясь с проблемой интеграции по частям, — это изменить формулу. 9{} v frac{text{d}u}{text{d}x}dx`]

Зачем мне изучать методы интеграции?

В настоящее время у нас есть программное обеспечение и компьютеры, которые могут решать эти типы задач и использовать методы интеграции для упрощения и решения формул, так почему же мы должны изучать эти методы, будучи студентами?

Учитывая, что мы не знаем, что произойдет в будущем, следовательно, мы не знаем, будут ли использоваться эти инструменты, это кажется ненужным. Но разве вы не чувствуете себя способным учиться и, в конечном счете, узнавать, как работают компьютеры, которые вы используете, и знать, что вы могли бы делать то же самое, если технология-однодневка перестанет существовать?

Хорошо, заявление о том, что технологии перестанут существовать, может быть ложным утверждением, но мы не можем предсказать будущее.

Многие люди утверждают, что изучение этих техник и методов может быть пустой тратой времени, поскольку технологии делают это за нас. Вы должны помнить, что люди, которые разрабатывают учебный план, делают это таким образом, чтобы помочь вам развить свой мозг и повысить свой интеллект. Если нет практического применения этих методов, успокойтесь, зная, что, по крайней мере, вы развиваете способность понимать сложные математические процессы, развивая логическую интуицию.

Независимо от того, будете ли вы изучать математику на степень бакалавра или магистра, нет сомнений, что все, чему вы научились в AP Math, окажется для вас очень полезным.

Дополнительные уроки по математике см. ниже:

• Решение экспонент и логарифмов: руководство
• Решение механических сил: руководство

исчисление — примеры интересных и креативных задач на дифференцирование (с одной переменной)

спросил 5 лет, 9 месяцев назад

Изменено 4 года, 9 месяцев назад

Просмотрено 2к раз

$\begingroup$

Задачи на дифференцирование функций одной переменной, встречающиеся в большинстве учебников, обычно скучны, т. е. представляют собой лишь простое применение очень известных правил. Итак, что я хочу в этом посте, так это примеры производных (функций одной переменной), которые интересно брать. Хотелось бы, чтобы задачи были оригинальными, а если нет, то не стесняйтесь делиться так же.

• исчисление
• производные
• примеры-контрпримеры
• большой список

$\endgroup$

2

$\begingroup$

Вот два примера конических сечений.

1. Предположим, что $a > 0$, и рассмотрим прямую $L$, касающуюся $y = \frac{1}{x}$ в точке $x = a$. Найдите площадь треугольной области между $L$, осью $x$ и осью $y$. 92 + k$, где $a > 0$, рассмотрим его касательную в точке $x = x_0$. Покажите, что эта касательная пересекает ось симметрии параболы $f(x_0) на k$ единиц ниже вершины.

Я затрудняюсь сформулировать это.

No related posts.