Закон синуса и косинуса: Гармонические колебания | СПАДИЛО

Гармонические колебания | СПАДИЛО

Гармоническими законами называют законы синуса и косинуса. Следовательно, гармоническими колебаниями называют те колебания, при которых координата тела изменяется синусоидально или косинусоидально.

Определение

Гармонические колебания — колебания, при которых координата тела изменяется с течением времени по гармоническому закону.

Ниже представлен график косинусоидальной функции. Обратите внимание, что косинус при возрастании аргумента от нуля сначала меняется медленно, а потом он все быстрее и быстрее приближается к нулю. Пройдя через него, его модуль снова быстро возрастает. Но по мере приближения к максимальному значению он снова замедляется. Точно так же меняются координаты свободно колеблющегося тела.

Важно! Гармоническими можно считать только те колебания, что совершаются грузом, закрепленном на пружине, или математическим маятником, отклоняемым на малый угол, при котором ускорение тела пропорционально его смещению.

Уравнение движения гармонических колебаний

Известно, что ускорение колеблющегося на пружине груза пропорционально его смещению от положения равновесия:

ax=−km..x

Также известно, что ускорение есть вторая производная координаты. Следовательно, при свободных колебаниях координата изменяется со временем так, что вторая производная координаты по времени прямо пропорциональна самой координате и противоположна ей по знаку.

x″ =−km..x

Вид уравнения гармонических колебаний зависит от начальных условий. Так, на характер колебательного движения влияет амплитуда, представляющая собой расстояние, на которое изначально было отклонено тело от положения равновесия. Амплитуда обозначается как xmax. Но нельзя просто считать, что x=xmaxcos.t или =xmaxsin.t, поскольку двойная производная от этих функций будет равна:

x″=−xmaxcos.t=−x

Видно, что в этом случае теряется величина km.., служащая постоянной для каждой колебательной системы. Чтобы получить ее во второй производной, нужно усложнить функцию до следующего вида:

x=xmaxcos. √km..t

Тогда первая производная примет вид:

x′=−√km..xmaxsin.√km..t

Вторая производная примет вид:

x″ =−km..xmaxcos.√km..t=−km..x

Так как мы получили ровно такое же выражение, то описать свободные колебания можно уравнениями следующего вида:

x=xmaxsin.√km..t

x=xmaxcos.√km..t

Обозначим постоянную величину √km.., зависящую от свойств системы, за ω₀:

ω0=√km..

Тогда получим:

x=xmaxsin.ω0t

x=xmaxcos.ω0t

Само уравнение движения, описывающего свободные колебания, примет вид:

x″=− ω20x

Период и частота гармонических колебаний

Минимальный промежуток времени T, через который движение тела полностью повторяется, называют периодом колебания. Зная его, можно вычислить частоту колебаний, равную числу колебаний в единицу времени. Эти величины связаны между собой выражением:

ν=1T..

Через промежуток времени, равный периоду T и соответствующий изменению аргумента косинуса на ω0T, движение тела повторяется, и косинус принимает прежнее значение. Но из математики известно, что наименьший период косинуса равен 2π. Следовательно:

ω0T=2π

Отсюда:

ω0=2πT..=2πν

Таким образом, величина ω0 представляет собой число колебаний тела, но не за 1 секунду, а за 2π секунд. Эта величина называется циклической (круговой) частотой. А частоту свободных колебаний называют собственной частотой колебательной системы.

Зависимость частоты и периода свободных колебаний от свойств системы

Изначально за величину ω0 мы принимали постоянную, характеризующую свойства системы:

ω0=√km..

Теперь мы выяснили, что циклическая частота связана с периодом и частотой колебаний. Следовательно, период и частота колебаний также зависят от свойств системы:

ω0=√km..=2πT..=2πν

Отсюда период и частота колебаний соответственно равны:

T=2πω0..=2π√mk..

ν=12π..√km..

Вспомним, что свойства колебательной системы математического маятника определяются постоянной величиной gl. .. Следовательно, циклическая частота для него равна:

ω0=√gl..

Отсюда период и частота колебаний математического маятника соответственно равны:

T=2πω0..=2π√lg..

ν=12π..√gl..

Эта формула была впервые получена и проверена на опыте голландским ученым Г. Гюйгенсом, современником И. Ньютона.

Период колебания возрастает с увеличением длины маятника. От массы маятника он не зависит. Это легко проверить на опыте с различными маятниками. Зависимость периода от ускорения свободного падения также легко прослеживается. Чем меньше величина g, тем больше период колебания маятника, и, следовательно, тем медленнее идут часы с маятником. Так, часы с маятником в виде груза на стержне отстанут в сутки почти на 3 с, если их поднять из подвала на верхний этаж Московского университета, который находится на высоте 200 м. И это только за счет уменьшения ускорения свободного падения с высотой.

Зависимость периода колебаний маятника от значения g используется на практике. Измеряя период колебания, можно легко измерить g. Ускорение свободного падения меняется с географической широтой. Но и на данной широте оно неодинаково, так как плотность земной коры неоднородна. В районах, где залегают более плотные породы, ускорение свободного падения принимает большие значения.

Пример №1. Сколько колебаний совершает математический маятник длиной 4,9 м за время 5 минут?

5 мин = 300 с

Искомое число колебаний равно отношению времени к периоду колебаний:

N=tT..

Период колебаний для математического маятника определяется формулой:

T=2π√lg..

Тогда:

N=t2π..√gl..=3002·3,14..√9,84,9..≈68

Фаза колебаний

При заданной амплитуде гармонических колебаний координата колеблющегося тела в любой момент времени однозначно определяется аргументом косинуса или синуса, который равен ω0t. Обозначим его за ϕ и получим:

ϕ=ω0t

Величину ϕ, стоящую под знаком косинуса или синуса, называют фазой колебаний, описываемой этой функцией. Выражается фаза в угловых единицах — радианах (рад).

Фаза определяет значение не только координаты, но и других физических величин (к примеру, скорости и ускорения, которые также изменяются по гармоническому закону). Отсюда можно сделать вывод, что фаза определяет при заданной амплитуде состояния колебательной системы в любой момент времени.

Колебания с одинаковыми частотами и амплитудами могут отличаться друг от друга фазами. Так как ω0=2πT.., фаза определяется формулой:

ϕ=ω0t=2πtT..

tT.. — отношение, которое указывает, какая часть периода прошла от момента начала колебаний. Любому моменту времени, выраженному в долях периода, соответствует значение фазы, выраженное в радианах

. К примеру:

Время, t (с)	0	T4..	T2..	3T4..	T
Фаза, ϕ (рад)	0	π2..	π	3π2. .	2π

Можно изобразить на графике зависимость координаты колеблющейся точки не от времени, а от фазы. В этом случае графиком также будет являться косинусоида (или синусоида), но аргументом функции будет не время (период), а фаза, выражающаяся в радианах (см. рис.).

Синус от косинуса отличается только смещением аргумента на π2.. (см. рис. ниже). Поэтому для описания гармонических колебаний можно использовать как синусоидальный, так и косинусоидальный закон.

Выбор закона зависит от условий задачи. Если колебания начинаются с того, что тело выводят из положения равновесия и отпускают, удобнее пользоваться

косинусоидальным законом, поскольку в начальный момент времени косинусоида показывает, что это тело отклонено максимально, а не находится в положении равновесия. Если для того чтобы начались колебания, совершают толчок, удобнее использовать синусоидальный закон, так как начальному моменту времени на синусоиде соответствует положение равновесия.

Колебания, совершаемые по закону синуса и косинуса, отличаются только фазой, которая смещена на значение, равное π2… Это значение называют сдвигом фаз, или их разностью. Поэтому косинусоидальная функция также может быть записана как:

x=xmaxcos.ω0t=xmaxsin.(ω0t+π2..)

Превращение энергии при гармонических колебаниях

Чтобы описать превращения энергии при гармонических колебаниях, условимся, что силой трения будем пренебрегать. Для описания обратимся к рисунку ниже.

Точке О на рисунке соответствует положение равновесия шарика. Если его оттянуть на расстояние x_max, равное амплитуде, пружина получит потенциальную энергию, которая примет в этом положении максимальное значение, равное:

Wp max=kx2max2..

Когда шарик отпускают, возникает сила упругости, под действием которой шарик устремляется влево. По мере уменьшения расстояния между точкой максимального отклонения и положением равновесия уменьшается и потенциальная энергия. Но в это время увеличивается кинетическая энергия шарика. Когда шарик проходит через положение равновесия в первый раз, его потенциальная энергия становится равной нулю, а кинетическая энергия обретает максимальное значение (скорость в этот момент времени тоже максимальна):

Wk max=mv2max2..

После прохождения точки О расстояние между шариком и положением равновесия снова увеличивается, и потенциальная энергия растет. Кинетическая же энергия при этом уменьшается. А в крайнем положении слева она становится равной нулю, в то время как потенциальная энергия снова примет максимальное значение.

Так как мы условились пренебрегать трением, данную колебательную систему можно считать изолированной. Тогда в ней должен соблюдаться закон сохранения энергии. Согласно ему, полная механическая энергия системы равна:

W=Wp+Wk=kx2x2..+mv2x2..=kx2max2..=mv2max2..

В действительности свободные колебания всегда затухают, так как в колебательной системе действует сила трения. И часть механической энергии рассеивается в виде тепла. Пример графика затухающих колебаний выглядит следующим образом:

Пример №2. Груз, прикрепленный к пружине, колеблется на горизонтальном гладком стержне. Найдите отношение кинетической энергии груза к его потенциальной энергии системы в момент, когда груз находится в точке, расположенной посередине между крайним положением и положением равновесия.

Так как груз находится посередине между крайним положением и положением равновесия, его координата равна половине амплитуды:

x=xmax2..

В это время потенциальная энергия груза будет равна:

Wp=kx22..=k(xmax2..)22..=kx2max8..

Согласно закону сохранения энергии, кинетическая энергия в это время равна:

Wk=W−Wp

Полная механическая энергия системы равна максимальной потенциальной энергии:

W=Wp max=kx2max2..

Тогда кинетическая энергия равна:

Wk=kx2max2..−kx2max8..

Следовательно, отношение кинетической энергии к потенциальной будет выглядеть так:

WkWp..=kx2max2. .−kx2max8..kx2max8….=kx2max2..8kx2max..−1=4−1=3

Резонанс

Самый простой способ возбуждения незатухающих колебаний состоит в том, что на систему воздействуют внешней периодической силой. Такие колебания называют

вынужденными.

Работы силы над такой системой обеспечивает приток энергии к системе извне. Приток энергии не дает колебаниям затухнуть, несмотря на действие сил трения.

Особый интерес вызывают вынужденные колебаний в системе, способной совершать свободные колебания. Примером такой системы служат качели. Их не получится отклонить на большой угол всего лишь одним толчком. Если их толкать то в одну, то в другую сторону, тоже ничего не получится. Но если подталкивать качели всякий раз, как они сравниваются с нами, можно раскачать их очень сильно. При этом не нужно прикладывать большую силу, но на это понадобится время. Причем после каждого такого толчка амплитуда колебаний качелей будет увеличиваться до тех пор, пока не достигнет своего максимального значения. Такое явление называется резонансом.

Определение

Резонанс — резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний при совпадении частоты изменения внешней силы, действующей на систему, с частотой свободных колебаний.

Графически явление резонанса можно изобразить как резкий скачок графика вверх (см. рис. выше). Причем высота «зубца», или амплитуда колебаний, будет зависеть от величины сил трения. Чем больше сила трения, тем меньше при резонансе возрастает амплитуда вынужденных колебаний. Это можно продемонстрировать графиками на рисунке ниже. Графику 1 соответствует минимальное трение, графику 3 — максимальное.

На явлении резонанса основан принцип работы частотомера — устройства, предназначенного для измерения частоты переменного тока. Он состоит из набора упругих пластин, которые закреплены на одной планке. Каждая пластина обладает определенной собственной частотой колебаний, которая зависит от упругих свойств, длины и массы.

Собственные колебания пластин известны. Под действием электромагнита планка, а вместе с ней и пластины совершают вынужденные колебания. Но лишь та пластина, собственная частота которой совпадает с частотой колебаний планки, будет иметь большую амплитуду колебаний. Таким образом, определяется частота переменного тока.

Пример №3. Автомобиль движется по неровной дороге, на которой расстояние между буграми равно приблизительно 8 м. Период свободных колебаний автомобиля на рессорах 1,5 с. При какой скорости автомобиля его колебания в вертикальной плоскости станут особенно заметными?

Колебания автомобиля в вертикальной плоскости будут заметны тогда, когда частота наезда на бугры сравняется с частотой свободных колебаний автомобиля на рессорах. Поскольку частота обратно пропорциональна периоду, можно сказать, что резонанс будет достигнут тогда, когда автомобиль будет наезжать на бугры каждые 1,5 секунды. Зная расстояние между буграми и время, можем вычислить скорость:

v=st. .=81,5..≈5,33 (мс..)≈19,2(кмч..)

Задание EF17508

Смещение груза пружинного маятника меняется с течением времени по закону x=Acos.2πT..t, где период Т = 1 с. Через какое минимальное время, начиная с момента t = 0, потенциальная энергия маятника вернется к своему исходному значению?

Ответ:

а) 0,1 с

б) 0,2 с

в) 0,3 с

г) 0,5

---

Алгоритм решения

1.Определить исходное значение потенциальной энергии шарика.

2.Сделать рисунок и определить положение шарика в начальный момент времени.

3.Определить положение шарика в момент в момент времени, когда потенциальная энергия шарика снова примет исходное значение.

4.Определить, через какое время шарик примет такое положение.

Решение

Известно, что смещение маятника меняется по закону:

x=Acos.2πT..t

В начальный момент времени t = 0 смещение будет равно амплитуде, поскольку косинус нуля равен «1». Следовательно, исходное значение потенциальной энергии маятника равно:

Wp0=kA22..

Сделаем рисунок, обозначив за x0 положение равновесия системы. Тогда A и –A будут амплитудами (максимальными смещениями от положения равновесия).

Потенциальная энергия зависит только от модуля смещения, поэтому ее значение станет таким же, как в начальный момент времени, когда смещение достигнет максимального смещения с противоположной стороны (оно составит –A). В этом легко убедиться:

Wpt=k(−A)22..=kA22..=Wp0

К этому моменту пройдет половина периода колебания, следовательно:

t=T2..=12..=0,5 (с)

Ответ: г

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

Задание EF17644

Груз изображённого на рисунке пружинного маятника совершает гармонические колебания между точками 1 и 3. Как меняются кинетическая энергия груза маятника, потенциальная энергия и жёсткость пружины при движении груза маятника от точки 2 к точке 3? Для каждой величины определите соответствующий характер её изменения:

1)	увеличивается
2)	уменьшается
3)	не изменяется

Запишите в таблицу выбранные цифры для каждой физической величины. Цифры в ответе могут повторяться.

---

Алгоритм решения

1.Вспомнить, от чего зависит кинетическая энергия груза маятника, и установить, как она меняется при движении груза маятника от точки 2 к точке 3.

2.Вспомнить, от чего зависит потенциальная энергия пружины маятника, и установить, как она меняется в рассматриваемый промежуток времени.

3.Вспомнить, от чего зависит жёсткость пружины, и установить, как она меняется.

Решение

Точка 2 соответствует положению равновесия, тока 3 — максимальному смещению пружинного маятника. Кинетическая энергия груза маятника зависит от скорости его перемещения:

Wk=mv22..

Кинетическая энергия пружинного маятника максимально в положении равновесия и минимальная при максимальном смещении груза. Следовательно, на промежутке 2–3 она уменьшается.

Потенциальная энергия пружины маятника определяется формулой:

Wp=kx22..

Так как смещение во время перемещения из точки 2 в точку 3 растет, то потенциальная энергия пружины маятника увеличивается.

Жесткость пружины зависит от природы материала. Это постоянная величина, которая с течением времени не изменяется.

Ответ: 213

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

Задание EF22760

Необходимо сделать нитяной маятник и с его помощью экспериментально определить ускорение свободного падения. Для этого школьник уже взял штатив с муфтой и лапкой, линейку и нить. Какие два предмета из приведённого ниже перечня оборудования необходимо дополнительно использовать для проведения этого эксперимента?

Ответ:

а) секундомер

б) динамометр

в) мензурка

г) электронные весы

д) алюминиевый шарик

---

Алгоритм решения

1.Записать формулу, которая связывает ускорение свободного падения с периодом колебаний маятника.

2.Определить, что не хватает для проведения эксперимента и выбрать недостающие предметы из списка.

Решение

Ускорение свободного падения с периодом колебаний маятника связывает формула:

T=2π√lg..

Следовательно, нужно значит не только длину нити маятника, но и период колебаний. Измерить его можно с помощью секундомера. А чтобы получить сам маятник, к нити нужно будет привязать массивный шарик. Например, алюминиевый.

Ответ: а, д

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

Алиса Никитина | Просмотров: 6.5k

Что такое закон синуса и косинуса? – Обзоры Вики

Чтобы решить треугольник, нужно найти длины каждой из его сторон и всех его углов. Правило синусов используется, когда нам дано либо а) два угла и одна сторона, или б) две стороны и угол, не заключенный между ними. Правило косинусов используется, когда нам даны либо а) три стороны, либо б) две стороны и угол между ними.

Аналогично, что утверждает закон косинусов? Определение закона косинусов

1: закон в тригонометрии: квадрат стороны плоского треугольника равен сумме квадратов остальных сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Какой закон вы используете для AAS? «ААС» — это когда мы знаем два угла и одну сторону (которая не лежит между углами). тогда Закон синуса найти каждую из двух других сторон.

Во-вторых, какие типы задач можно использовать для решения треугольника с помощью закона синусов? Он справедлив для всех типов треугольников: прямоугольных, остроугольных или тупоугольных. Закон синусов можно использовать для вычисления оставшихся сторон треугольника, когда известны два угла и сторона (AAS или ASA) или когда мы даны две стороны и незамкнутый угол (SSA). Мы можем использовать закон синусов при решении треугольников.

Почему работает закон косинусов?

Правило косинусов, также известное как закон косинусов, связывает все 3 стороны треугольника с углом треугольника. … Точно так же, если известны две стороны и угол между ними, правило косинусов позволяет найти длину третьей стороны.

тогда как вы используете правило синусов, чтобы доказать правило косинуса? Докажите закон косинусов по закону синусов

1. Поскольку по закону синусов sin A = ka, sin B = kb, sin C = kc, где k — константа.
2. Подставляем в вышеприведенное выражение, получаем.
3. это известный закон косинусов.

Почему косинус полезен? Закон косинусов полезен для вычисления третьей стороны треугольника, когда известны две стороны и угол между ними, и при вычислении углов треугольника, если известны все три стороны.

Когда можно использовать закон косинусов?

Обычно можно использовать правило косинусов когда вам даны две стороны и прилежащий угол (SAS) или когда вам даны три стороны и вы хотите выработать угол (SSS). Чтобы использовать правило синусов, вам нужно знать либо два угла и сторону (ASA), либо две стороны и не включенный между ними угол (SSA).

Как закон косинуса используется в реальной жизни? Закон косинусов используется в реальном мире геодезистами, чтобы найти недостающую сторону треугольника, где известны две другие стороны и известен угол, противоположный неизвестной стороне. Закон косинусов также используется, когда речь идет о треугольнике.

Как с помощью закона синусов и косинусов решить треугольник?

Когда можно использовать закон косинусов?

Когда использовать

Закон косинусов полезен для нахождения: третья сторона треугольника, когда мы знаем две стороны и угол между ними (как в примере выше) углы треугольника, когда мы знаем все три стороны (как в следующем примере)

Закон косинусов AAS?

Закон косинусов гласит: Используйте закон косинусов, когда вам даны величины SAS или SSS. Например: если бы вам были даны длины сторон b и c и мера угла A, это был бы SAS. … Примером ААС является если даны углы С и А и сторона с.

К какому типу треугольника применимы законы синусов и косинусов? Да, законы распространяются на прямоугольные треугольники так же.

Как узнать, имеет ли закон синусов два решения? Тис их сумма меньше 180 °, у вас есть два правильных ответа. Если сумма больше 180 °, второй угол недействителен.

Вы бы использовали закон синусов или закон косинусов, чтобы решить этот треугольник?

Чтобы решить треугольник, нужно найти длины каждой из его сторон и всех его углов. Правило синусов используется, когда нам даны либо а) два угла и одна сторона, либо б) две стороны и не заключенный между ними угол. Чай правило косинуса используется, когда нам даны либо а) три стороны, либо б) две стороны и угол между ними.

Какой случай нельзя решить с помощью законов синуса? Если нам даны две стороны и включенный угол треугольника или если нам даны 3 стороны треугольника, мы не можем использовать закон синуса, потому что мы не можем установить какие-либо пропорции, когда известно достаточно информации. В этих двух случаях мы должны использовать закон косинусов.

Как вы думаете, почему закон косинусов полезен при решении задач с косыми треугольниками?

Такие треугольники называются косоугольными. Закон косинусов используется гораздо шире, чем закон синусов. В частности, когда мы знаем две стороны треугольника и угол между ними, тогда закон Косинусы позволяют найти третью сторону.

Что можно свести к теореме Пифагора? Обычно это резюмируется следующим образом: квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов двух других сторон. … Если угол между сторонами прямой, он уменьшает к теореме Пифагора.

Зачем нужны синус и косинус?

Синус и косинус — иначе, sin (θ) и cos (θ) — являются функции, показывающие форму прямоугольного треугольника. Если смотреть из вершины с углом θ, sin (θ) — это отношение противоположной стороны к гипотенузе, а cos (θ) — отношение соседней стороны к гипотенузе.

Почему мы используем функцию синуса? Функция синуса определяется как отношение стороны треугольника, противоположной углу, к гипотенузе. Это соотношение можно использовать для решать проблемы, связанные с расстоянием или высотой, или если вам нужно знать угол. … Чтобы найти длину стороны, противоположной углу, d, мы используем функцию синуса.

Почему мы решили использовать синус и косинус?

Используйте Правило синусов для нахождения неизвестных сторон и углов. Используйте правило косинусов, чтобы найти неизвестные стороны и углы. Комбинируйте навыки тригонометрии для решения задач.

11.8 Законы синусов и косинусов — алгебра среднего уровня

Глава 11: Функции

Тригонометрия прямого угла обычно ограничивается треугольниками, содержащими прямой угол. Можно использовать тригонометрию с непрямоугольными треугольниками, используя два закона: закон синуса и закон косинуса.

Закон синусов

Закон синусов – это отношение синусов и противоположных сторон. Закон имеет следующий вид:

[латекс]\dfrac{a}{\text{sin}A}\hspace{0,25in} =\hspace{0,25in} \dfrac{b}{\text{sin}B}\hspace{0,25in} = \hspace{0,25 дюйма} \dfrac{c}{\text{sin}C}[/latex]

Иногда это пишется и используется как противоположность вышесказанному:

[латекс]\dfrac{\text{sin}A}{a}\hspace{0,25in} =\hspace{0,25in} \dfrac{\text{sin}B}{b}\hspace{0,25in} = \hspace{0,25 дюйма} \dfrac{\text{sin}C}{c}[/latex]

Закон синуса применяют, когда известны либо две стороны и один противолежащий угол одной из сторон, либо когда известны два угла и одна сторона одного из углов. {\ circ}. [ /латекс]

Закон синусов — очень полезный закон с одной оговоркой: иногда можно иметь два треугольника (один больший и один меньший), которые дают одинаковый результат. Это называется неоднозначным случаем и описано далее в этом разделе.

Есть также ошибки учебника, когда данные, приведенные для треугольника, невозможно создать. Например:

Может ли существовать следующий треугольник?

Если такой треугольник может существовать, то отношение синусов углов к противолежащим сторонам должно равняться. 9{\circ}}[/latex]

Сокращение этого дает:

[латекс]\dfrac{6}{0,5} \hspace{0,25 дюйма} = \hspace{0,25 дюйма}\dfrac{6}{0,5} \ hspace{0,25 дюйма} = \hspace{0,25 дюйма} \dfrac{10}{0,866}[/latex]

Проверяя это, мы обнаруживаем, что 12 = 12 ≠ 11,55.

Это означает, что этот треугольник не может существовать.

Найдите правильную длину стороны, противоположной 120°, в треугольнике, показанном ниже.

Для этого треугольника отношение, которое нужно решить, равно: {6}{\text{sin}30^{\circ}} \hspace{0,25in}=\hspace{0,25in}\dfrac{x}{\text{sin}120^{\circ}}[/latex ] 9{\circ} \end{массив}[/латекс]

Неоднозначное дело

При наличии правильных данных можно создать два разных треугольника.

Из показанного выше треугольника видно, что могут быть два угла, B ₁ и B ₂ , для стороны [латекс]b[/латекс]. Используя закон синусов, вы всегда будете находить B ₁ , угол наибольшего треугольника. Если вы пытаетесь решить для меньшего треугольника, вам нужно только вычесть B 92=8726 \\ \\ b=\sqrt{8726} \\ b=93.4 \end{массив}[/latex]

В отличие от закона синусов, с законом косинусов не должно быть двусмысленных случаев.

Решите все неизвестные в следующих непрямоугольных треугольниках, используя закон синусов или косинусов.

Ключ ответа 11.8

Закон синусов | Доказательство, что такое?, история, как использовать?

Что я узнаю из этой статьи?

Прочитав эту статью, вы сможете:

• определить Закон синусов;
• знать историю закона синусов;
• доказать закон синусов;
• определить неоднозначный случай треугольных решений; и
• применять знание закона синусов при решении задач.

Что такое закон синусов?

Закон синусов устанавливает взаимосвязь между сторонами и углами непрямоугольного или косоугольного треугольника. В тригонометрии закон синусов и косинусов является важным правилом для решения треугольника.

Закон синусов гласит, что отношение длины треугольника к синусу противоположного угла одинаково для всех сторон и углов данного треугольника.

Математически это можно определить как: 

$\frac{sinsin \alpha}{a} = \frac{sinsin\beta}{b} = \frac{sinsin\gamma}{c}$

где 

a, b и c длины треугольника; а
$\alpha, \beta, \gamma$ и — противоположные углы.

Взяв обратные величины, закон синусов также можно записать в виде 

$\frac{a}{sinsin \alpha} = \frac{b}{sinsin\beta} = \frac{c}{sinsin\gamma }$

или даже набор из трех уравнений, таких как:

$\frac{a}{b} = \frac{sinsin\alpha}{sinsin\beta}; \frac{a}{c} = \frac{sinsin\alpha}{sinsin\gamma}; \frac{b}{c} = \frac{sinsin\beta}{sinsin\gamma}$

Когда известны два угла и сторона, закон синусов можно использовать для вычисления остальных сторон треугольника — a процесс, известный как триангуляция.

Подводя итог, формулы, которые мы можем использовать в законе синусов, показаны в таблице ниже.

Формула синусов

$\frac{sinsin \alpha}{a} = \frac{sinsin\beta}{b} = \frac{sinsin\gamma}{c}$

$\frac{a}{sinsin \alpha } = \frac{b}{sinsin\beta} = \frac{c}{sinsin\gamma}$

$\frac{a}{b} = \frac{sinsin\alpha}{sinsin\beta} ; \frac{a}{c} = \frac{sinsin\alpha}{sinsin\gamma}; \frac{b}{c} = \frac{sinsin\beta}{sinsin\gamma}$

История закона синусов

Согласно Убиратану Д’Амброзио и Хелен Селин, сферический закон Синус был открыт в десятом веке. Его приписывают Абу Махмуду Ходжанди, Абу аль-Вафа Бузджани, Насиру ад-Дину ат-Туси и Абу Насру Мансуру и другим.

В книге Ибн Му’аз аль-Джайянни, Книга неизвестных дуг сферы , которая была опубликована в 11 ^ом веке, включает общий закон синуса. Позже Насир ад-Дин ат-Туси сформулировал плоский закон синусов в 13 ^-м -м веке. В своей книге На фигуре сектора он написал закон синусов для плоских и сферических треугольников, снабженный доказательствами.

Согласно Глену Ван Браммелену, «Закон синусов действительно является основой Региомонтана для его решений прямоугольных треугольников в Книге IV, которые, в свою очередь, служат основой для его решений общих треугольников». Региомонтан был немецким математиком в пятнадцатом веке.

Что является доказательством закона синусов?

Чтобы доказать закон синусов, рассмотрим ∆ABC как косой треугольник.

• Если ∆ABC — остроугольный треугольник, то ∠ABC — острый угол. В этом случае проведите высоту из вершины C в сторону $\overline{AB}$.

В остроугольном треугольнике высота лежит внутри треугольника. Следовательно, если мы обозначим ч как высоту высоты в ∆ABC, то, используя правила SOHCAHTOA, мы будем иметь:

sinsin A = $\frac{h}{b}$ и sinsin B  = $\frac{h}{a}$

h = bsinsin A и h = asinsin B .

Таким образом, теперь мы можем сказать, что

bsinsin A  = asinsin B .

Более того, если мы подставим a и b в левую и правую части уравнения соответственно. Мы получим:

$\frac{a}{sinsin A} = \frac{b}{sinsin B}$

Следуя тем же рассуждениям, проведя высоту от A до BC, мы получим

$\frac{b}{sinsin B} = \frac{c}{sinsin C}$

Таким образом,

$\frac{a}{sinsin A} = \frac{b}{sinsin B} = \frac{c}{sinsin C}$

• Если треугольник ∆ABC тупоугольный, то угол ∠ABC тупой. В этом случае проведите высоту из вершины C в сторону $\overline{AB}$.

В тупоугольном треугольнике высота лежит вне треугольника. Так как мы собираемся использовать внешний угол B , то угол описывается как 180°-B.

Следовательно, если обозначить h как высоту высоты в ∆ABC, то по правилам SOHCATOA будем иметь:

sinin A = $\frac{h}{b}$ и sinsin (180 ° – B) = $\frac{h}{a}$

Применяя тригонометрические тождества, sinsin 180° – B  = sinsin B . Таким образом, если мы должны вычислить значение с точки зрения h , уравнение будет таким:

h = b sin A и h = a sin Sin B .

Таким образом, теперь мы можем сказать, что

b sin A  = a sin B .

Более того, если мы подставим a и b в левую и правую части уравнения соответственно. Мы получим:

$\frac{a}{sinsin A} = \frac{b}{sinsin B}$

Следуя тому же аргументу, проведя высоту от A до $\overline{BC}$, получим дайте нам

$\frac{b}{sinsin B} = \frac{c}{sinsin C}$

Таким образом,

$\frac{a}{sinsin A} = \frac{b}{sinsin B } = \frac{c}{sinsin C}$

Как использовать закон синусов?

Ниже приведены примеры решения задачи с использованием закона синусов.

По одной стороне и двум углам

Чтобы решить треугольники по закону синусов по одной стороне и двум углам, выполните следующие шаги: 

1. Определите угловую меру неизвестного. Так как в треугольнике только три внутренних угла, а сумма углов треугольника равна 180°, то найти неизвестное будет несложно.
2. Используйте формулу  $\frac{a}{sinsin A} = \frac{b}{sinsin B} = \frac{c}{sinsin C}$  , чтобы найти неизвестные боковые меры.

Пример 

Решите для неизвестной меры угла и стороны, заданной b = 12, ∠A = 54° и  ∠C = 58°.

Решение

Шаг 1: Найдите меру недостающего угла, используя сумму внутренних углов треугольника. Таким образом,

∠B = 180° – ∠A + ∠C∠B = 180° – 54° + 58°∠B = 180° – 112°∠B = 68°

Шаг 2. Используйте закон синусов для определить неизвестные побочные меры. Таким образом,

Чтобы найти a с использованием меры стороны b : 

$\frac{a}{sinsin A} = \frac{b}{sinsin B} = \frac{a}{sinsin 54} = \frac{12} {sinsin 68}a = \frac{12sinsin 54}{sinsin 68}a$ = 10,47

Чтобы найти c , используя меру стороны b :

$\frac{b}{sinsin B} = \ frac{c}{sinsin C} = \frac{12}{sinsin 68} = \frac{c}{sinsin 58}c = \frac{12sinsin 58}{sinsin 68}c$ = 10,98

Следовательно, ∠B = 68°, a = 10,47, c = 10,98.

Даны две стороны и противолежащий угол

Чтобы решить треугольники по закону синусов по двум сторонам и противолежащему углу, выполните следующие шаги: 

1. Найдите другой противоположный угол, используя закон синусов.
2. Определите для возможных решений треугольника, может ли треугольник быть остроугольным или тупоугольным.
3. Определите оставшийся неизвестный угол, вычитая два известных угла из 180°.
4. Используйте закон синусов, чтобы найти неизвестные стороны треугольника.

Пример #1

Определите неизвестный размер угла и размер стороны по данным a = 25, c = 40 и ∠C = 120°.

Решение

Шаг 1: Найдите угол A через угол C и сторону c . Таким образом, по закону синусов

$\frac{a}{sinsin A} = \frac{c}{sinsin C} \frac{25}{sinsin A} = \frac{40}{sinsin 120}sinsin A ( 40) = sinsin 120 (25) sinsin A  = \frac{120}{40}sinsin A$  = 5316

Шаг 2. Используйте sin-1 в своем калькуляторе, чтобы определить угловую меру A.  9{-1}\left ( \frac{5\sqrt{3}}{16} \right )$∠A = 32,77°

Шаг 3: Определите возможные решения треугольника, может ли он быть остроугольным или тупоугольный треугольник. Напомним, что sin 180° – θ = sin . Затем мы можем проследить то же самое для ∠A. Таким образом,

sin 180° – 32,77° = sin 147,23°

Однако, учитывая меру углов и иллюстрацию треугольника, у нас не может быть двух тупых углов в треугольнике. Таким образом, единственная допустимая угловая мера для A равна 32,77°

Шаг 4: Определите ∠B. Таким образом, вычитая сумму двух известных углов из 180°,

∠B = 180° – ∠A + ∠C∠B = 180° – 32,77° + 120°∠B = 180° – 152,77°∠B = 27,23°Шаг 5:

Найдите меру b используя закон синуса.

$\frac{b}{sinsin B} = \frac{c}{sinsin C} \frac{b}{sinsin 27.23} = \frac{40}{sinsin 120}b = \frac{40sinsin 27.23}{ sinsin 120}b$ = 21,13

Следовательно, мера неизвестных углов и сторон равна ∠A = 32,77°,
∠B = 27,23° и b = 21,13 см.

Пример №2

Чему равны неизвестные углы и сторона, если ∠A = 35°, a = 15 и b = 9?

Решение

Шаг 1: Найдите угловую меру B через ∠A и a . Таким образом,

$\frac{b}{sinsin B} = \frac{a}{sinsin A} \frac{9}{sinsin B} = \frac{15}{sinsin 35}sinsin B(15) = sinsin35 (9) sinsin B  = \frac{35}{15}sinsin B$ = 0,34  

Шаг 2. Используйте sin-1 в калькуляторе, чтобы определить угловую меру числа 9.0213 Б .

∠B = sinsin ^-1 (0,34}∠B = 19,89°

Шаг 3: Определите возможные решения треугольника, если существует вероятность того, что он остроугольный или тупоугольный. Напомним, что sin 180° – θ=sin   Затем мы можем проследить то же самое для ∠B. Таким образом,

sinsin (180° – 19,89°) = sinsin 160,11°

Однако, если мы оглянемся назад на значение ∠A = 35°, невозможно, чтобы ∠B имел меру 160,11 °, поскольку сумма внутренних углов треугольника равна только 180 °. Таким образом, мы будем использовать только остроугольную меру B , что равно

∠B = 19,89°.

Шаг 4: Определите ∠C. Таким образом, вычитая сумму двух известных углов из 180°,

∠C = 180° – (∠A + ∠B)∠C = 180° – (35° + 19,89°)∠C = 180° – ( 54,89°)∠C = 125,11°

Шаг 5: Найдите меру c по закону синуса.

$\frac{a}{sinsin A} = \frac{c}{sinsin C} \frac{15}{sinsin 35} = \frac{c}{sin 125.11}c = ​​\frac{40sin 35}{ sinsin 125.11}$c = 28.05

Следовательно, мера неизвестных углов и сторон равна ∠B=190,89°,
∠C = 125,11° и c = 21,05.

Пример № 3

Решение для треугольника ∆ABC приведено A = 18, ♂ = 25 ° и B = 30.

Раствор

Шаг 1: Найдите Угол. Смеря

. B через ∠A и через . Таким образом,

$\frac{b}{sinsin B} = \frac{a}{sinsin A} \frac{30}{sinsin B} = \frac{18}{sinsin 25}sinsin B (18) = sinsin 25 (30) sinsin B  = \frac{25}{18}sinsin B$ = 0,70  

Шаг 2: Используйте sinsin ^-1 в своем калькуляторе, чтобы определить угловую меру B .

∠B = sinsin ^-1 (0,70)∠B = 44,23°

Шаг 3: Определите возможные решения треугольника, если существует вероятность того, что он остроугольный или тупоугольный. Напомним, что sin 180° – θ = sin . Затем мы можем проследить то же самое для ∠B. Таким образом,

sinin (180° – 44,23°) = sinsin 135,77°

Шаг 4: Поскольку у нас есть два возможных значения для ∠B, это означает, что треугольник может быть остроугольным или тупоугольным. Таким образом, мы найдем другие углы для каждого случая.

• Если ∆ABC остроугольный треугольник, то ∠B = 44,23°. Определить ∠С. Таким образом, вычитая сумму двух известных углов из 180°,

∠C = 180° – (∠A + ∠B)∠C = 180° – (25° + 44,23°)∠C = 180° – (69,23°)∠C = 110,77°

• Если ∆ABC — тупоугольный треугольник, то ∠B = 135,77°. Определить ∠С. Таким образом, вычитая сумму двух известных углов из 180°,

∠C = 180° – (∠A + ∠B)∠C = 180° – (25° + 135,77°)∠C = 180° – (160,77°)∠С = 19,23°

Шаг 5: Найдите меру c , используя закон синуса относительно a и ∠A.

• Если ∆ABC остроугольный треугольник, то ∠C = 110,77°.

$\frac{a}{sinsin A} = \frac{c}{sinsin C} \frac{18}{sinsin 25} = \frac{c}{sinsin110.77}c = \frac{18sinsin110. 77}{sinsin 25}c$ = 39,82

• Если ∆ABC — тупоугольный треугольник, то ∠C = 19,23°.

$\frac{a}{sinsin A} = \frac{c}{sinsin C} \frac{18}{sinsin 25} = \frac{c}{sinsin 19.23}c = \frac{18sinsin 19.23}{sinsin 25}c$ = 14,03

Следовательно,

• Если ∆ABC остроугольный треугольник, то мера неизвестных углов и сторон равна ∠B = 44,23°, ∠С = 110,77° и с = 39,82; и
• . Если ∆ABC — тупоугольный треугольник, то мера неизвестных углов и сторон равна ∠B = 135,77°, ∠C = 19,23° и c = 14,03.

Пример #4

Какие неизвестные углы и сторона ∆ABC равна a = 6, б = 13 и ∠A = 35°?

Решение

Шаг 1: Найдите угловую меру B через ∠A и a . Таким образом,

$\frac{b}{sinsin B} = \frac{a}{sinsin A} \frac{13}{sinsin B} = \frac{6}{sinsin 35}sinsin B (6) = sinsin 35 (13) sinsin B  = \frac{35}{6}sinsin B$ = 1,24  

Однако невозможно, чтобы |sin B | ≤ 1 для любого угла B .

Следовательно, решения нет.

Что такое неоднозначный случай для треугольных решений?

Когда закон синусов используется для определения стороны треугольника, возникает неоднозначный случай, когда два различных треугольника могут быть построены с использованием предоставленных данных (т. е. существуют два различных возможных решения треугольника).

В неоднозначном случае, если известны две стороны и противолежащий угол треугольника, возможны три возможности:

• Треугольник не существует;
• Есть два различных треугольника; и
• Существует ровно один треугольник.

Чтобы общий треугольник был неоднозначным, должны быть выполнены следующие условия:

• Данной информацией о треугольнике являются угол и стороны a и c;
• Угол острый;
• Боковая мерка a короче, чем сторона c ; и
• Сторона a длиннее высоты h от угла , где

h =csinsin$\alpha$ .

Если все условия выполняются, то каждый из углов и β’ образует действительный треугольник, что означает, что выполняются оба следующих условия.

Предположим, что известны стороны a и b и угол A треугольника ∆ABC. Нарисуйте угол ∠A и сторону b и представьте, что сторона a присоединена к вершине C, как показано на рисунках ниже.

• Если ∠A острая, то высота от C в $\overline{AB}$ имеет высоту h=b sin A .
• Если a < ч, , то решения нет.

• Если a = h, то существует одно точное решение — прямоугольный треугольник.

• Если a≥b, то существует только одно решение, хотя кажется, что оно может иметь два решения, поскольку штриховая дуга пересекает горизонтальную линию в двух точках. Однако точка пересечения слева от А , как показано на рисунке, не может быть использована для определения B , так как угол A будет тупым, а мы уже предполагали, что угол A острый.

• Если h < a < b , то есть два решения.

• Если ∠A не остроугольный (прямоугольный или тупоугольный) 
  • Если a ≤b, то решения нет.

• Если a > b , то существует ровно одно решение.

В таблице ниже представлен неоднозначный случай решения ∆ABC по закону синусов.

	No Solution	One Solution	Two Solutions
0°	a < bsin A	a = bsin A a ≥b	bsin A  < a
90°	a ≤b	a > b

Каково значение закона синуса?

Обычно закон синусов используется для определения неизвестного угла или стороны треугольника. Этот закон можно применить, если даны определенные комбинации размеров треугольника.

1. Критерии ASA : Имея два угла и известную сторону, определите неизвестную сторону.
2. Критерий AAS : Имея два угла и сторону, которая не включена, определите неизвестную сторону.

Эти два критерия приведут к уникальному решению, так как методы AAS и ASA используются для установления конгруэнтности треугольников.

Кроме того, закон синусов используется не только для решения треугольников в математике, но также может быть полезен в нашей реальной жизни, например:

• определение угла наклона в технике ;
• определение расстояния до планет или звезд в астрономии ; и
• определение измерения навигации .

Площадь треугольников (на тему мороженого) Рабочие листы
Углы (на тему архитектуры) Рабочие листы
Остроугольные треугольники (на тему города) Математические рабочие листы

Мы тратим много времени на изучение и сбор информации на этом сайте.