Кибзун А.И., Горяинова Е.Р., Наумов А.В. Теория вероятностей и математическая статистика. №004.065, стр.049
За истекший период в торговую фирму поступали телевизоры от трех фирм-поставщиков в следующей пропорции: 1:3:6. Каждая фирма дает на свои телевизоры гарантию, идентифицируя их по серийному номеру и дате поставки. Телевизоры первой фирмы-поставщика требуют ремонта в течение гарантийного срока в 15% случаев, второй и третьей — соответственно в 10% и 7% случаев. Проданный телевизор требует гарантийного ремонта, однако потеряны документы, идентифицирующие фирму-поставщика. В какую фирму имеет смысл обратиться в первую очередь?
Скачать решение бесплатно Купить решение
* Оплата через сервис ЮMoney.
Завод изготавливает изделия, каждое из которых с вероятностью p имеет дефект, в цехе изделия осматриваются с равными вероятностями одним из двух контролеров. Первый обнаруживает имеющиеся дефекты с вероятностью p1, а второй — с вероятностью p2.
На предприятии работают 10 рабочих шестого разряда, 15 рабочих пятого разряда и 5 рабочих четвертого разряда. Вероятность того, что изделие, изготовленное рабочим соответствующего разряда, будет одобрено ОТК, равна соответственно 0,95, 0,9 и 0,8. Найти вероятность того, что изделие, проверенное ОТК, будет одобрено, при условии, что производительность всех рабочих одинакова.
На склад поступила однотипная продукция с трех фабрик. Объемы поставок относятся соответственно как 1:2:7. Известно, что нестандартных изделий среди продукции первой фабрики — 3%, второй — 2%, третьей — 1%. Найти вероятности следующих событий: а) взятое наугад со склада изделие окажется нестандартным; б) взятое наугад со склада изделие произведено первой фабрикой, если известно, что оно оказалось нестандартным.
Имеется ящик, в котором лежат 20 коробок по 10 карандашей. При вскрытии ящика 4 коробки уронили, и грифели карандашей в них сломались. Однако все 20 коробок были сданы на склад, откуда затем взяли 2 коробки и раздали карандаши ученикам. Найти вероятность того, что доставшийся ученику карандаш имеет сломанный грифель.
Две машинистки печатали рукопись, посменно заменяя друг друга. Первая в конечном итоге напечатала 1/3 всей рукописи, а вторая — остальное. Первая машинистка делает ошибки с вероятностью 0,15, а вторая — с вероятностью 0,1. При проверке на 13-й странице обнаружена ошибка. Найти вероятность того, что ошиблась первая машинистка.
Пассажир может обратиться за получением билета в одну из трех касс. Вероятности обращения в каждую кассу зависят от их местоположения и равны соответственно 
Пассажир направился в одну из касс и приобрел билет. Найти вероятность того, что это была первая касса.
На экзамен пришли 10 студентов. Трое из них подготовлены отлично, четверо — хорошо, двое — удовлетворительно, один — плохо. В экзаменационных билетах имеется 20 вопросов. Отлично подготовленный студент может ответить на все 20 вопросов, хорошо подготовленный — на 16, удовлетворительно — на 10, плохо — на 5. Студент, сдавший экзамен, ответил на все три заданных вопроса. Найти вероятность того, что этот студент подготовлен: а) отлично; б) плохо.
Статистика Вероятность брака компьютеров, произведенных на заводе
Задавать вопрос
спросил
Изменено 5 лет назад
Просмотрено 5к раз
$\begingroup$
Фабрики $A$ и $B$ производят компьютеры.
Фабрика $A$ производит в 4$ раза больше компьютеров, чем фабрика $B$. Вероятность того, что изделие, произведенное фабрикой $A$, будет бракованным, составляет 0,014$, а вероятность того, что изделие, произведенное фабрикой $B$, будет бракованным, равно 0,048$.
Произвольно выбран компьютер, который оказался неисправным. Какова вероятность того, что он поступил с завода $A$?
Фабрика $A$ производит в 4$ раза больше компьютеров, чем фабрика $B$. Вероятность того, что изделие, произведенное фабрикой $A$, будет бракованным, составляет 0,014$, а вероятность того, что изделие, произведенное фабрикой $B$, будет бракованным, равно 0,048$.Я подсчитал, что тот факт, что фабрика $A$ произвела в 4$ раза больше компьютеров, не имеет значения.
Пусть $P(A) = 0,014$ Пусть $P(B) = 0,048$
$P(A) = P(A ∩ B) + P(A ∩ Bc)$
Я переставил уравнение, чтобы найти вероятность комплементарности A и B, чтобы найти ответ .
$$P(A ∩ Bc) = P(A) — P(A ∩ B) = 0,014 — (0,014 \cdot 0,048) = 0,013328$$
Какой правильный ответ и решение?
- вероятность
- статистика
$\endgroup$
1
$\begingroup$
Я подсчитал, что тот факт, что фабрика $A$ произвела в 4$ раза больше компьютеров, не имеет значения.
Нет, это говорит об априорной вероятности того, что компьютер изготовлен на заводе $A$. То есть $P(A)=4 P(B)$
То, что вам сказали иначе, — это количество дефектов условное в источнике.
То есть $~P(D\mid A) = 0,014~$, а также $~P(D\mid B) = 0,048$
Какой правильный ответ и решение?
Это вопросы по правилу Байеса (и закону полной вероятности).
Вы ищете $P(A\mid D)$ апостериорную вероятность того, что компьютер произведен с фабрики #A, если известно, что он неисправен.
$$\begin{align}P(A\mid D) ~&=~\dfrac{P(A)P(D\mid A)}{P(A)P(D\mid A)+P( B)P(D\mid B)} \\[1ex] &=~ \dfrac{4\times 0,014}{4\times 0,014~+~0,048} \\[1ex] &=~ \frac 7{13} \\[2ex] &\приблизительно~0,538\end{выравнивание}$$
$\endgroup$
1
Если вы выберете любой (возможно, сломанный) компьютер, вероятность того, что он исходит от A, равна 0,8 или $\frac{4}{5}$, наоборот, 0,2 или $\frac{1}{5}$ для B.
2.$
Приложение
Отвечая на вопрос комментария Джеймса Андерсона,
сразу после моего ответа:
Хороший вопрос.
На самом деле, несмотря на тот факт, что первый телефон неисправен и что второй телефон неисправен — это , а не независимых событий, вы можете все еще умножают такие вероятности.
Сначала я объясню, почему события не являются независимыми. Тогда я объясню почему вы все еще можете умножать вероятности вот так.
Нормальная вероятность того, что телефон неисправен, равна
$\displaystyle (0,6 х 0,1) + (0,4 х 0,2) = (0,14). быть неполноценным, т. вероятности того, что телефон выйдет с Фабрики I, Фабрики II изменится с $(0,6), (0,4)$ соответственно до $(3/7), (4/7)$ соответственно.
Это означает, что как только первый телефон окажется неисправным, вероятность того, что второй телефон тоже бракованный
$\displaystyle [(3/7) \times 0.
1] + [(4/7) \times 0.2] = (11/70).$
Следовательно, поскольку $\displaystyle (11/70)\neq (0.14),$ два события не независимый.
Обратите внимание, что эти события , а не независимы, несмотря на предположение, что оба телефона произведены на одном заводе.
Вернитесь к исходной задаче:
Пусть $A$ представляет событие использования Factory II.
Пусть $B$ представляет событие обнаружения двух неисправных телефонов.
Пусть $C$ представляет собой событие использования Factory I. 92].$
При вычислении используется идентичный анализ
$\displaystyle p(CB) = [(0,6) \times (0,1)^2].
$ 92] = 0,022.\tag1$$
Теперь у вас любопытная ситуация. Если вы знаете , что оба телефона были произведены на заводе I, то события , когда 1-й и 2-й телефоны неисправны, являются независимыми событиями.
Если вы знаете, что оба телефона были произведены на Заводе II, то события о неисправности 1-го и 2-го телефона также являются независимыми событиями .
Однако, основываясь на анализе, проведенном в начале этого Дополнения, если вы знаете, что оба телефона были произведены на одном и том же заводе, но не знаете, какой именно завод, тогда события 1-го и 2-го телефона неисправны не являются независимыми событиями . Интуитивно это связано с тем, что если первый телефон окажется неисправным, относительная вероятность того, что Фабрика I по сравнению с Фабрикой II изменится с
на$\displaystyle (0,6) ~\text{vs}~ (0,4) ~~~~~\text{to}~~~~~ (3/7) ~\text{vs}~ (4/7).$
На самом деле, основываясь на первой части этого Дополнения, вы можете альтернативно рассчитайте
$p(B) = (0,14) \times \frac{11}{70} = 0,022$.