Значений sin таблица: Таблица синусов, таблица значений синусов, в помощь студентам таблица синусов.

Таблица синусов, таблица значений синусов, в помощь студентам таблица синусов.

Содержание:

Таблица синусов — это посчитанные значения синусов от 0° до 360°. Когда нет рядом калькулятора таблица синусов просто незаменима. Для того, чтобы узнать чему равен синус от нужного Вам угла достаточно найти его в таблице и все. Таблица синусов — это основно материал тригонометрии, который необходимо знать или, как минимум, понимать. Пользуйтесь на здоровье таблицей значений синусов. Если Вы изучаете тригонометрические функции Вам может понадобиться перечень тригонометрических формулы.

Таблица синусов 0° — 180°

Sin(1°) 0.0175 Sin(2°) 0.0349 Sin(3°) 0.0523 Sin(4°) 0.0698 Sin(5°) 0.0872 Sin(6°) 0.1045 Sin(7°) 0.1219 Sin(8°) 0. 1392 Sin(9°) 0.1564 Sin(10°) 0.1736 Sin(11°) 0.1908 Sin(12°) 0.2079 Sin(13°) 0.225 Sin(14°) 0.2419 Sin(15°) 0.2588 Sin(16°) 0.2756 Sin(17°) 0.2924 Sin(18°) 0.309 Sin(19°) 0.3256 Sin(20°) 0.342 Sin(21°) 0.3584 Sin(22°) 0.3746 Sin(23°) 0.3907 Sin(24°) 0.4067 Sin(25°) 0.4226 Sin(26°) 0.4384 Sin(27°) 0.454 Sin(28°) 0.4695 Sin(29°) 0.4848 Sin(30°) 0.5 Sin(31°) 0.515 Sin(32°) 0. 5299 Sin(33°) 0.5446 Sin(34°) 0.5592 Sin(35°) 0.5736 Sin(36°) 0.5878 Sin(37°) 0.6018 Sin(38°) 0.6157 Sin(39°) 0.6293 Sin(40°) 0.6428 Sin(41°) 0.6561 Sin(42°) 0.6691 Sin(43°) 0.682 Sin(44°) 0.6947 Sin(45°) 0.7071

Sin(46°) 0.7193 Sin(47°) 0.7314 Sin(48°) 0.7431 Sin(49°) 0.7547 Sin(50°) 0.766 Sin(51°) 0.7771 Sin(52°) 0.788 Sin(53°) 0.7986 Sin(54°) 0.809 Sin(55°) 0. 8192 Sin(56°) 0.829 Sin(57°) 0.8387 Sin(58°) 0.848 Sin(59°) 0.8572 Sin(60°) 0.866 Sin(61°) 0.8746 Sin(62°) 0.8829 Sin(63°) 0.891 Sin(64°) 0.8988 Sin(65°) 0.9063 Sin(66°) 0.9135 Sin(67°) 0.9205 Sin(68°) 0.9272 Sin(69°) 0.9336 Sin(70°) 0.9397 Sin(71°) 0.9455 Sin(72°) 0.9511 Sin(73°) 0.9563 Sin(74°) 0.9613 Sin(75°) 0.9659 Sin(76°) 0.9703 Sin(77°) 0.9744 Sin(78°) 0.9781 Sin(79°) 0. 9816 Sin(80°) 0.9848 Sin(81°) 0.9877 Sin(82°) 0.9903 Sin(83°) 0.9925 Sin(84°) 0.9945 Sin(85°) 0.9962 Sin(86°) 0.9976 Sin(87°) 0.9986 Sin(88°) 0.9994 Sin(89°) 0.9998 Sin(90°) 1

Sin(91°) 0.9998 Sin(92°) 0.9994 Sin(93°) 0.9986 Sin(94°) 0.9976 Sin(95°) 0.9962 Sin(96°) 0.9945 Sin(97°) 0.9925 Sin(98°) 0.9903 Sin(99°) 0.9877 Sin(100°) 0.9848 Sin(101°) 0.9816 Sin(102°) 0. 9781 Sin(103°) 0.9744 Sin(104°) 0.9703 Sin(105°) 0.9659 Sin(106°) 0.9613 Sin(107°) 0.9563 Sin(108°) 0.9511 Sin(109°) 0.9455 Sin(110°) 0.9397 Sin(111°) 0.9336 Sin(112°) 0.9272 Sin(113°) 0.9205 Sin(114°) 0.9135 Sin(115°) 0.9063 Sin(116°) 0.8988 Sin(117°) 0.891 Sin(118°) 0.8829 Sin(119°) 0.8746 Sin(120°) 0.866 Sin(121°) 0.8572 Sin(122°) 0.848 Sin(123°) 0.8387 Sin(124°) 0.829 Sin(125°) 0. 8192 Sin(126°) 0.809 Sin(127°) 0.7986 Sin(128°) 0.788 Sin(129°) 0.7771 Sin(130°) 0.766 Sin(131°) 0.7547 Sin(132°) 0.7431 Sin(133°) 0.7314 Sin(134°) 0.7193 Sin(135°) 0.7071

Sin(136°) 0.6947 Sin(137°) 0.682 Sin(138°) 0.6691 Sin(139°) 0.6561 Sin(140°) 0.6428 Sin(141°) 0.6293 Sin(142°) 0.6157 Sin(143°) 0.6018 Sin(144°) 0.5878 Sin(145°) 0.5736 Sin(146°) 0.5592 Sin(147°) 0.5446 Sin(148°) 0. 5299 Sin(149°) 0.515 Sin(150°) 0.5 Sin(151°) 0.4848 Sin(152°) 0.4695 Sin(153°) 0.454 Sin(154°) 0.4384 Sin(155°) 0.4226 Sin(156°) 0.4067 Sin(157°) 0.3907 Sin(158°) 0.3746 Sin(159°) 0.3584 Sin(160°) 0.342 Sin(161°) 0.3256 Sin(162°) 0.309 Sin(163°) 0.2924 Sin(164°) 0.2756 Sin(165°) 0.2588 Sin(166°) 0.2419 Sin(167°) 0.225 Sin(168°) 0.2079 Sin(169°) 0.1908 Sin(170°) 0.1736 Sin(171°) 0. 1564 Sin(172°) 0.1392 Sin(173°) 0.1219 Sin(174°) 0.1045 Sin(175°) 0.0872 Sin(176°) 0.0698 Sin(177°) 0.0523 Sin(178°) 0.0349 Sin(179°) 0.0175 Sin(180°) 0

Таблица синусов 180° — 360°

Sin(181°) -0.0175 Sin(182°) -0.0349 Sin(183°) -0.0523 Sin(184°) -0.0698 Sin(185°) -0.0872 Sin(186°) -0.1045 Sin(187°) -0.1219 Sin(188°) -0.1392 Sin(189°) -0.1564 Sin(190°) -0.1736 Sin(191°) -0.1908 Sin(192°) -0. 2079 Sin(193°) -0.225 Sin(194°) -0.2419 Sin(195°) -0.2588 Sin(196°) -0.2756 Sin(197°) -0.2924 Sin(198°) -0.309 Sin(199°) -0.3256 Sin(200°) -0.342 Sin(201°) -0.3584 Sin(202°) -0.3746 Sin(203°) -0.3907 Sin(204°) -0.4067 Sin(205°) -0.4226 Sin(206°) -0.4384 Sin(207°) -0.454 Sin(208°) -0.4695 Sin(209°) -0.4848 Sin(210°) -0.5 Sin(211°) -0.515 Sin(212°) -0.5299 Sin(213°) -0.5446 Sin(214°) -0.5592 Sin(215°) -0. 5736 Sin(216°) -0.5878 Sin(217°) -0.6018 Sin(218°) -0.6157 Sin(219°) -0.6293 Sin(220°) -0.6428 Sin(221°) -0.6561 Sin(222°) -0.6691 Sin(223°) -0.682 Sin(224°) -0.6947 Sin(225°) -0.7071

Sin(226°) -0.7193 Sin(227°) -0.7314 Sin(228°) -0.7431 Sin(229°) -0.7547 Sin(230°) -0.766 Sin(231°) -0.7771 Sin(232°) -0.788 Sin(233°) -0.7986 Sin(234°) -0.809 Sin(235°) -0.8192 Sin(236°) -0.829 Sin(237°) -0. 8387 Sin(238°) -0.848 Sin(239°) -0.8572 Sin(240°) -0.866 Sin(241°) -0.8746 Sin(242°) -0.8829 Sin(243°) -0.891 Sin(244°) -0.8988 Sin(245°) -0.9063 Sin(246°) -0.9135 Sin(247°) -0.9205 Sin(248°) -0.9272 Sin(249°) -0.9336 Sin(250°) -0.9397 Sin(251°) -0.9455 Sin(252°) -0.9511 Sin(253°) -0.9563 Sin(254°) -0.9613 Sin(255°) -0.9659 Sin(256°) -0.9703 Sin(257°) -0.9744 Sin(258°) -0.9781 Sin(259°) -0.9816 Sin(260°) -0. 9848 Sin(261°) -0.9877 Sin(262°) -0.9903 Sin(263°) -0.9925 Sin(264°) -0.9945 Sin(265°) -0.9962 Sin(266°) -0.9976 Sin(267°) -0.9986 Sin(268°) -0.9994 Sin(269°) -0.9998 Sin(270°) -1

Sin(271°) -0.9998 Sin(272°) -0.9994 Sin(273°) -0.9986 Sin(274°) -0.9976 Sin(275°) -0.9962 Sin(276°) -0.9945 Sin(277°) -0.9925 Sin(278°) -0.9903 Sin(279°) -0.9877 Sin(280°) -0.9848 Sin(281°) -0.9816 Sin(282°) -0. 9781 Sin(283°) -0.9744 Sin(284°) -0.9703 Sin(285°) -0.9659 Sin(286°) -0.9613 Sin(287°) -0.9563 Sin(288°) -0.9511 Sin(289°) -0.9455 Sin(290°) -0.9397 Sin(291°) -0.9336 Sin(292°) -0.9272 Sin(293°) -0.9205 Sin(294°) -0.9135 Sin(295°) -0.9063 Sin(296°) -0.8988 Sin(297°) -0.891 Sin(298°) -0.8829 Sin(299°) -0.8746 Sin(300°) -0.866 Sin(301°) -0.8572 Sin(302°) -0.848 Sin(303°) -0.8387 Sin(304°) -0.829 Sin(305°) -0. 8192 Sin(306°) -0.809 Sin(307°) -0.7986 Sin(308°) -0.788 Sin(309°) -0.7771 Sin(310°) -0.766 Sin(311°) -0.7547 Sin(312°) -0.7431 Sin(313°) -0.7314 Sin(314°) -0.7193 Sin(315°) -0.7071

Sin(316°) -0.6947 Sin(317°) -0.682 Sin(318°) -0.6691 Sin(319°) -0.6561 Sin(320°) -0.6428 Sin(321°) -0.6293 Sin(322°) -0.6157 Sin(323°) -0.6018 Sin(324°) -0.5878 Sin(325°) -0.5736 Sin(326°) -0.5592 Sin(327°) -0. 5446 Sin(328°) -0.5299 Sin(329°) -0.515 Sin(330°) -0.5 Sin(331°) -0.4848 Sin(332°) -0.4695 Sin(333°) -0.454 Sin(334°) -0.4384 Sin(335°) -0.4226 Sin(336°) -0.4067 Sin(337°) -0.3907 Sin(338°) -0.3746 Sin(339°) -0.3584 Sin(340°) -0.342 Sin(341°) -0.3256 Sin(342°) -0.309 Sin(343°) -0.2924 Sin(344°) -0.2756 Sin(345°) -0.2588 Sin(346°) -0.2419 Sin(347°) -0.225 Sin(348°) -0.2079 Sin(349°) -0.1908 Sin(350°) -0. 1736 Sin(351°) -0.1564 Sin(352°) -0.1392 Sin(353°) -0.1219 Sin(354°) -0.1045 Sin(355°) -0.0872 Sin(356°) -0.0698 Sin(357°) -0.0523 Sin(358°) -0.0349 Sin(359°) -0.0175 Sin(360°) -0

На нашем сайте представлено много теоретического материала по тригонометрии. Здесь Вы можете найти таблицы тригонометрических функций: таблицу синусов, таблицу косинусов, таблицу тангенсов и таблицу котангенсов. Также специально для улучшения понимания материала по тригонометрии мы добавили тригонометрические формулы, чтобы решение тригонометрических задач по математике вызывало меньше затруднений. Пользуйтесь нашим сайтом и таблицей синусов на здоровье.

Слишком сложно?

Таблица синусов, таблица значений синусов не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Тригонометрическая таблица

В статье, мы полностью разберемся, как выглядит таблица тригонометрических значений, синуса, косинуса, тангенса и котангенса . Рассмотрим основное значение тригонометрических функций, от угла в 0,30,45,60,90,…,360 градусов. И посмотрим как пользоваться данными таблицами в вычислении значения тригонометрических функций.
Первой рассмотрим таблицу косинуса, синуса, тангенса и котангенса от угла в 0, 30, 45, 60, 90,.. градусов. Определение данных величин дают определить значение функций углов в 0 и 90 градусов:

sin 0⁰=0, cos 0⁰ = 1. tg 0⁰ = 0, котангенс от 0⁰ будет неопределенным
sin 90⁰ = 1, cos 90⁰ =0, ctg90⁰ = 0,тангенс от 90⁰ будет неопределенным

Если взять прямоугольные треугольники углы которых от 30 до 90 градусов. Получим:

sin 30⁰ = 1/2, cos 30⁰ = √3/2, tg 30⁰ = √3/3, ctg 30⁰ = √3
sin 45⁰ = √2/2, cos 45⁰ = √2/2, tg 45⁰= 1, ctg 45⁰ = 1
sin 60⁰ = √3/2, cos 60⁰ = 1/2, tg 60⁰ =√3 , ctg 60⁰ = √3/3

Изобразим все полученные значения в виде тригонометрической таблицы:

Таблица синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов!

Если использовать формулу приведения, наша таблица увеличится, добавятся значения для углов до 360 градусов. Выглядеть она будет как:

Так же исходя из свойств периодичности таблицу можно увеличить, если заменим углы на 0⁰+360⁰*z …. 330⁰+360⁰*z, в котором z является целым числом. В данной таблице возможно вычислить значение всех углов, соответствующими точками в единой окружности.

Разберем наглядно как использовать таблицу в решении.
Все очень прост. Так как нужное нам значение лежит в точке пересечения нужных нам ячеек. К примеру возьмем cos угла 60 градусов, в таблице это будет выглядеть как:

В итоговой таблице основных значений тригонометрических функций, действуем так же. Но в данной таблице возможно узнать сколько составит тангенс от угла в 1020 градусов, он = -√3 Проверим 1020⁰ = 300⁰+360⁰*2. Найдем по таблице.

Для более поиска тригонометрических значений углов с точностью до минут используются таблицы Брадиса. Подробная инструкция как ими пользоваться на странице по ссылке.

Таблица Брадиса. Для синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Таблицы Брадиса поделены на несколько частей, состоят из таблиц косинуса и синуса, тангенса и котангенса — которая поделена на две части (tg угла до 90 градусов и ctg малых углов).

Синус и косинус

tg угла начиная с 0⁰ заканчивая 76⁰, ctg угла начиная с 14⁰ заканчивая 90⁰.

tg до 90⁰ и ctg малых углов.

Разберемся как пользоваться таблицами Брадиса в решении задач.

Найдем обозначение sin (обозначение в столбце с левого края) 42 минут (обозначение находится на верхней строчке). Путем пересечения ищем обозначение, оно = 0,3040.

Величины минут указаны с промежутком в шесть минут, как быть если нужное нам значение попадет именно в этот промежуток. Возьмем 44 минуты, а в таблице есть только 42. Берем за основу 42 и воспользуемся добавочными столбцами в правой стороне, берем 2 поправку и добавляем к 0,3040 + 0,0006 получаем 0,3046.

При sin 47 мин, берем за основу 48 мин и отнимаем от нее 1 поправку, т.е 0,3057 — 0,0003 = 0,3054

При вычислении cos работаем аналогично sin только за основу берем нижнюю строку таблицы. К примеру cos 20⁰ = 0.9397

Значения tg угла до 90⁰ и cot малого угла, верны и поправок в них нет. К примеру, найти tg 78⁰ 37мин = 4,967

а ctg 20⁰ 13мин = 25,83

Ну вот мы и рассмотрели основные тригонометрические таблицы. Надеемся это информация была для вас крайне полезной. Свои вопросы по таблицам, если они появились, обязательно пишите в комментариях!

Заметка: Стеновые отбойники — отбойная доска для защиты стен (http://www.spi-polymer.ru/otboyniki/)

---

Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:

---

Таблица значений синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов

В этих таблицах приведены значения синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов, которые наиболее часто употребляются в математических задачах из программы средней школы (для углов 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°). Для вычисления значений тригонометрических функций других углов можно воспользоваться онлайн-калькуляторами синусов и косинусов и тангенсов и котангенсов. В этих калькуляторах можно указывать для расчета, в том числе, отрицательные углы (

Таблица углов от 0 до 179 градусов

Угол	Sin	Cos	Tg	Ctg
0	0	1	0	∞
30	1/2	√3/2	1/√3	√3
45	1/√2	1/√2	1	1
60	√3/2	1/2	√3	1/√3
90	1	0	∞	0
120	√3/2	-1/2	-√3	-1/√3
135	1/√2	-1/√2	-1	-1
150	1/2	-√3/2	-1/√3	-√3

Таблица углов от 180 до 359 градусов

Угол	Sin	Cos	Tg	Ctg
180	0	-1	0	∞
210	-1/2	-√3/2	1/√3	√3
225	-1/√2	-1/√2	1	1
240	-√3/2	-1/2	√3	1/√3
270	-1	0	∞	0
300	-√3/2	1/2	-√3	-1/√3
315	-1/√2	1/√2	-1	-1
330	-1/2	√3/2	-1/√3	-√3

Поделитесь информацией с друзьями

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Тригонометрия

Таблица значений тригонометрических функций

часто используемых углов

I   четверть
α (рад):   0,   – 2π α (град): 0°,   – 360°
sin α	0
cos α	1
tg α	0
ctg α	не существует
α (рад):   ,    α (град): 30°,   – 330°
sin α
cos α
tg α
ctg α
α (рад):   ,    α (град): 45°,   – 315°
sin α
cos α
tg α	1
ctg α	1
α (рад):   ,    α (град): 60°,   – 300°
sin α
cos α
tg α
ctg α
α (рад):   ,    α (град): 90°,   – 270°
sin α	1
cos α	0
tg α	не существует
ctg α	0
II  четверть
α (рад):   ,    α (град): 120°,   – 240°
sin α
cos α
tg α
ctg α
α (рад):   ,    α (град): 135°,   – 225°
sin α
cos α
tg α	– 1
ctg α	– 1
α (рад):   ,    α (град): 150°,   – 210°
sin α
cos α
tg α
ctg α
α (рад):   π,   – π α (град): 180°,   – 180°
sin α	0
cos α	– 1
tg α	0
ctg α	не существует
III  четверть
α (рад):   ,    α (град): 210°,   – 150°
sin α
cos α
tg α
ctg α
α (рад):   ,    α (град): 225°,   – 135°
sin α
cos α
tg α	1
ctg α	1
α (рад):   ,    α (град): 240°,   –120°
sin α
cos α
tg α
ctg α
α (рад):   ,   α (град): 270°,   – 90°
sin α	– 1
cos α	0
tg α	не существует
ctg α	0
IV  четверть
α (рад):   ,    α (град): 300°,   – 60°
sin α
cos α
tg α
ctg α
α (рад):   ,    α (град): 315°,   – 45°
sin α
cos α
tg α	– 1
ctg α	– 1
α (рад):   ,    α (град): 330°,   –30°
sin α
cos α
tg α
ctg α
α (рад):   2π,  0 α (град): 360°,   0°
sin α	0
cos α	1
tg α	0
ctg α	не существует

Примеры вычисления значений тригонометрических функций

      Пример 1. Найти    sin 15°.

      Решение. Воспользовавшись формулой «Синус разности», получаем:

      Пример 2. Найти    cos 22,5°.

      Решение. Воспользовавшись формулой «Косинус двойного угла», получаем:

      Пример 3. Найти    sin 18°.

      Решение. Поскольку

то, с помощью формул «Синус тройного угла» и «Косинус двойного угла», отсюда получаем:

      Теперь, если ввести обозначение

sin 18° = t ,

то возникает кубическое уравнение

4t³ – 2t² – 3t + 1 = 0 .

      Решим это уравнение, раскладывая его левую часть на множители:

      Поскольку

0 < sin 18° < 1 ,

то первый и второй корни должны быть отброшены. Следовательно,

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

Таблица значений син кос

В этой статье собраны таблицы синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов. Сначала мы приведем таблицу основных значений тригонометрических функций, то есть, таблицу синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов углов 0, 30, 45, 60, 90, …, 360 градусов ( 0, π/6, π/4, π/3, π/2, …, 2π радиан). После этого мы дадим таблицу синусов и косинусов, а также таблицу тангенсов и котангенсов В. М. Брадиса, и покажем, как использовать эти таблицы при нахождении значений тригонометрических функций.

Навигация по странице.

Таблица синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов для углов 0, 30, 45, 60, 90, … градусов

Тригонометрические определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса позволяют указать значения тригонометрических функций для углов 0 и 90 градусов:
, а котангенс нуля градусов не определен, и
, а тангенс 90 градусов не определен.

В курсе геометрии из прямоугольных треугольников с углами 30 , 60 и 90 градусов, а также 45 , 45 и 90 градусов находятся значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов 30, 45 и 60 градусов:
,
и
.

Занесем указанные значения тригонометрических функций для углов 0 , 30 , 45 , 60 и 90 градусов ( 0 , π/6 , π/4 , π/3 , π/2 радиан) в таблицу, назовем ее таблицей основных значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Используя формулы приведения, только что составленную таблицу синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов можно расширить, дополнив значениями тригонометрических функций для углов 120 , 135 , 150 , 180 , 210 , 225 , 240 , 270 , 300 , 315 , 330 и 360 градусов ( 0, π/6, π/4, π/3, π/2, …, 2π радиан). При этом она принимает следующий вид.

Опираясь на свойство периодичности синуса, косинуса, тангенса и котангенса, таблицу основных значений тригонометрических функций можно расширить еще, заменив углы 0, 30, 45, 60, 90, …, 360 градусов соответственно на , где z – любое целое число. Из такой таблицы можно найти значения для всех углов, которым соответствуют точки единичной окружности, указанные на чертеже ниже.

Основные значения тригонометрических функций, собранные в заполненной выше таблице, желательно знать наизусть, так как они очень часто используются при решении задач.

Как пользоваться таблицей синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов?

Использовать таблицу синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов основных углов 0, 30, 45, 60, 90, …, 360 градусов очень просто – она дает непосредственные значения тригонометрических функций, находящиеся на пересечении соответствующей строки, указывающей название тригонометрической функции, и столбца, указывающего данное значение угла.

Например, значение косинуса угла 60 градусов находится на пересечении строки, в крайней левой ячейке которой находится запись cos , и столбца, в верхней ячейке которого записан угол 60 градусов. Так из таблицы находим, что значение косинуса 60 градусов равно одной второй. Для разъяснения приведем графическую иллюстрацию.

Расширенная таблица основных значений тригонометрических функций используется аналогично. С помощью расширенной таблицы основных значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса можно сразу указать, например, чему равен тангенс угла 1 020 градусов. Он равен минус корню из трех, так как . Проиллюстрируем это.

Таблицы синусов и косинусов, тангенсов и котангенсов Брадиса

Таблицы синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов Брадиса разделены на таблицу синусов и косинусов, а также на таблицу тангенсов и котангенсов. Причем таблица тангенсов и котангенсов состоит из двух частей — тангенсы углов, близких к 90 градусов, и котангенсы малых углов вынесены в отдельную таблицу.

В таблицах Брадиса с точностью до четырех знаков после десятичной запятой приведены приближенные значения синусов и косинусов, а также четыре цифры приближенных значений тангенсов и котангенсов острых углов, содержащих целое число градусов и целое число минут.

Сначала дадим таблицу Брадиса, имеющую название таблица Брадиса: синусы и косинусы.

Теперь приведем таблицу тангенсов углов от 0 до 76 градусов и котангенсов углов от 14 до 90 градусов.

Наконец, осталось заполнить таблицу Брадиса тангенсов углов, близких к 90 градусам, и котангенсов малых углов. Она содержит непосредственные приближенные значения тангенсов углов от 76 до 90 градусов и котангенсов углов от 0 до 14 градусов.

Как пользоваться таблицами синусов и косинусов, тангенсов и котангенсов Брадиса?

Осталось разобраться, как пользоваться таблицей синусов и косинусов, а также таблицами тангенсов и котангенсов Брадиса.

Значение синуса угла находится в таблице синусов на пересечении строки, содержащей в крайней левой ячейке нужное число градусов, и столбца, содержащего в верхней ячейке нужное число минут. Например, из таблицы синусов Брадиса можно определить, что синус 17 градусов 42 минут приближенно равен 0,3040 , вот иллюстрация тому, как это значение было найдено.

Несложно заметить, что в верхней строке минуты идут по порядку через шесть. А как определять значения, если количество минут имеет промежуточное значение, например 44 ? Для этого нужно внести соответствующую поправку, которую дают три крайних правых столбца таблицы. Например, синус 17 градусов 44 минут равен 0,3046 , так как синус 17 градусов 42 минут равен 0,3040 , и требуется еще поправка на 2 минуты в плюс, равна 0,0006 . Поправки содержатся в трех крайних правых столбцах таблицы синусов и косинусов Брадиса.

Если бы нам нужно было найти синус 17 градусов 47 минут, то от значения синуса 17 градусов 48 минут 0,3057 мы бы отняли поправку на 1 минуту, равную 0,0003 . В итоге мы получим искомое значение, равное 0,3054 .

Для нахождения значений косинусов используется та же таблица синусов и косинусов Брадиса. Однако следует ориентироваться на нижнюю строку при выборе соответствующего значения градуса и на четвертую справа строку при выборе нужного числа минут.

Например, косинус 20 градусов равен 0,9397 .

Другой пример: значение косинуса 20 градусов 2 минут равно 0,9397−0,0002=0,9395 , а значение косинуса 20 градусов 5 минут равно 0,9391+0,0001=0,9392 (обратите внимание: что нужно быть внимательным со знаками поправок, нужно помнить, что при возрастании острого угла его косинус убывает).

Таблица тангенсов и котангенсов Брадиса углов от 0 до 76 градусов и котангенсов углов от 14 до 90 градусов используется абсолютно аналогично таблице синусов и косинусов.

К примеру, тангенс 75 градусов 44 минут равен 3,923+0,010=3,933 , а котангенс 32 градусов 50 минут равен 1,5517−0,0020=1,5497 . Вот тому графические иллюстрации.

Таблица тангенсов углов, близких к 90 градусов, и котангенсов малых углов содержит значения тангенсов и котангенсов, не нуждающиеся в поправках. Для примера найдем значение тангенса угла 78 градусов 37 минут, оно равно 4,967 .

А котангенс угла 2 градуса 13 минут равен 25,83 .

Если угол выходит за пределы от 0 до 90 градусов, то сначала следует использовать формулы приведения и перейти к вычислению значения тригонометрической функции, аргумент которой заключен между 0 и 90 градусами. А если угол выражен в радианах, то прежде чем использовать таблицы Брадиса для нахождения синуса, косинуса, тангенса или котангенса данного угла, его нужно перевести в градусы (этому вопросу посвящен материал статьи перевод градусов в радианы и обратно).

В статье, мы полностью разберемся, как выглядит таблица тригонометрических значений, синуса, косинуса, тангенса и котангенса . Рассмотрим основное значение тригонометрических функций, от угла в 0,30,45,60,90. 360 градусов. И посмотрим как пользоваться данными таблицами в вычислении значения тригонометрических функций.
Первой рассмотрим таблицу косинуса, синуса, тангенса и котангенса от угла в 0, 30, 45, 60, 90. градусов. Определение данных величин дают определить значение функций углов в 0 и 90 градусов:

sin 0 0 =0, cos 0 0 = 1. tg 0 0 = 0, котангенс от 0 0 будет неопределенным
sin 90 0 = 1, cos 90 0 =0, ctg90 0 = 0,тангенс от 90 0 будет неопределенным

Если взять прямоугольные треугольники углы которых от 30 до 90 градусов. Получим:

sin 30 0 = 1/2, cos 30 0 = √3/2, tg 30 0 = √3/3, ctg 30 0 = √3
sin 45 0 = √2/2, cos 45 0 = √2/2, tg 45 0 = 1, ctg 45 0 = 1
sin 60 0 = √3/2, cos 60 0 = 1/2, tg 60 0 =√3 , ctg 60 0 = √3/3

Изобразим все полученные значения в виде тригонометрической таблицы:

Таблица синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов!

Если использовать формулу приведения, наша таблица увеличится, добавятся значения для углов до 360 градусов. Выглядеть она будет как:

Так же исходя из свойств периодичности таблицу можно увеличить, если заменим углы на 0 0 +360 0 *z . 330 0 +360 0 *z, в котором z является целым числом. В данной таблице возможно вычислить значение всех углов, соответствующими точками в единой окружности.

Разберем наглядно как использовать таблицу в решении.
Все очень прост. Так как нужное нам значение лежит в точке пересечения нужных нам ячеек. К примеру возьмем cos угла 60 градусов, в таблице это будет выглядеть как:

В итоговой таблице основных значений тригонометрических функций, действуем так же. Но в данной таблице возможно узнать сколько составит тангенс от угла в 1020 градусов, он = -√3 Проверим 1020 0 = 300 0 +360 0 *2. Найдем по таблице.

Для более поиска тригонометрических значений углов с точностью до минут используются таблицы Брадиса. Подробная инструкция как ими пользоваться на странице по ссылке.

Таблица Брадиса. Для синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Таблицы Брадиса поделены на несколько частей, состоят из таблиц косинуса и синуса, тангенса и котангенса — которая поделена на две части (tg угла до 90 градусов и ctg малых углов).

Синус и косинус

tg угла начиная с 0 0 заканчивая 76 0 , ctg угла начиная с 14 0 заканчивая 90 0 .

tg до 90 0 и ctg малых углов.

Разберемся как пользоваться таблицами Брадиса в решении задач.

Найдем обозначение sin (обозначение в столбце с левого края) 42 минут (обозначение находится на верхней строчке). Путем пересечения ищем обозначение, оно = 0,3040.

Величины минут указаны с промежутком в шесть минут, как быть если нужное нам значение попадет именно в этот промежуток. Возьмем 44 минуты, а в таблице есть только 42. Берем за основу 42 и воспользуемся добавочными столбцами в правой стороне, берем 2 поправку и добавляем к 0,3040 + 0,0006 получаем 0,3046.

При sin 47 мин, берем за основу 48 мин и отнимаем от нее 1 поправку, т.е 0,3057 — 0,0003 = 0,3054

При вычислении cos работаем аналогично sin только за основу берем нижнюю строку таблицы. К примеру cos 20 0 = 0.9397

Значения tg угла до 90 0 и cot малого угла, верны и поправок в них нет. К примеру, найти tg 78 0 37мин = 4,967

а ctg 20 0 13мин = 25,83

Ну вот мы и рассмотрели основные тригонометрические таблицы. Надеемся это информация была для вас крайне полезной. Свои вопросы по таблицам, если они появились, обязательно пишите в комментариях!

Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:

Калькулятор поможет рассчитать точные значения тригонометрических функций sin, cos, tg и ctg для различных значений углов в градусах или радианах.

На данной странице таблица Брадиса, которая дает значение sin, cos, tg, ctg любого острого угла, содержащего целое число градусов и десятых долей градуса. Для нахождения значения угла берется число на пересечении строки, которое соответствует числу градусов и столбца, которое соответствует числу минут. Например, sin 70°30′ = 0.9426.

Таблица значений тригонометрических функций углов. Тригонометрические функции числового и углового аргументов. Где применяется тригонометрия

В статье, мы полностью разберемся, как выглядит таблица тригонометрических значений, синуса, косинуса, тангенса и котангенса . Рассмотрим основное значение тригонометрических функций, от угла в 0,30,45,60,90,…,360 градусов. И посмотрим как пользоваться данными таблицами в вычислении значения тригонометрических функций.
Первой рассмотрим таблицу косинуса, синуса, тангенса и котангенса от угла в 0, 30, 45, 60, 90,.. градусов. Определение данных величин дают определить значение функций углов в 0 и 90 градусов:

sin 0 0 =0, cos 0 0 = 1. tg 00 = 0, котангенс от 00 будет неопределенным
sin 90 0 = 1, cos 90 0 =0, ctg90 0 = 0,тангенс от 90 0 будет неопределенным

Если взять прямоугольные треугольники углы которых от 30 до 90 градусов. Получим:

sin 30 0 = 1/2, cos 30 0 = √3/2, tg 30 0 = √3/3, ctg 30 0 = √3
sin 45 0 = √2/2, cos 45 0 = √2/2, tg 45 0 = 1, ctg 45 0 = 1
sin 60 0 = √3/2, cos 60 0 = 1/2, tg 60 0 =√3 , ctg 60 0 = √3/3

Изобразим все полученные значения в виде тригонометрической таблицы :

Таблица синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов!

Если использовать формулу приведения, наша таблица увеличится, добавятся значения для углов до 360 градусов. Выглядеть она будет как:

Так же исходя из свойств периодичности таблицу можно увеличить, если заменим углы на 0 0 +360 0 *z …. 330 0 +360 0 *z, в котором z является целым числом. В данной таблице возможно вычислить значение всех углов, соответствующими точками в единой окружности.

Разберем наглядно как использовать таблицу в решении.
Все очень прост. Так как нужное нам значение лежит в точке пересечения нужных нам ячеек. К примеру возьмем cos угла 60 градусов, в таблице это будет выглядеть как:

В итоговой таблице основных значений тригонометрических функций, действуем так же. Но в данной таблице возможно узнать сколько составит тангенс от угла в 1020 градусов, он = -√3 Проверим 1020 0 = 300 0 +360 0 *2. Найдем по таблице.

Таблица Брадиса. Для синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Таблицы Брадиса поделены на несколько частей, состоят из таблиц косинуса и синуса, тангенса и котангенса — которая поделена на две части (tg угла до 90 градусов и ctg малых углов).

Синус и косинус

tg угла начиная с 00 заканчивая 760, ctg угла начиная с 140 заканчивая 900.

tg до 900 и ctg малых углов.

Разберемся как пользоваться таблицами Брадиса в решении задач.

Найдем обозначение sin (обозначение в столбце с левого края) 42 минут (обозначение находится на верхней строчке). Путем пересечения ищем обозначение, оно = 0,3040.

Величины минут указаны с промежутком в шесть минут, как быть если нужное нам значение попадет именно в этот промежуток. Возьмем 44 минуты, а в таблице есть только 42. Берем за основу 42 и воспользуемся добавочными столбцами в правой стороне, берем 2 поправку и добавляем к 0,3040 + 0,0006 получаем 0,3046.

При sin 47 мин, берем за основу 48 мин и отнимаем от нее 1 поправку, т.е 0,3057 — 0,0003 = 0,3054

При вычислении cos работаем аналогично sin только за основу берем нижнюю строку таблицы. К примеру cos 20 0 = 0.9397

Значения tg угла до 90 0 и cot малого угла, верны и поправок в них нет. К примеру, найти tg 78 0 37мин = 4,967

а ctg 20 0 13мин = 25,83

Ну вот мы и рассмотрели основные тригонометрические таблицы. Надеемся это информация была для вас крайне полезной. Свои вопросы по таблицам, если они появились, обязательно пишите в комментариях!

Заметка: Стеновые отбойники — отбойная доска для защиты стен. Перейдите по ссылке настенные отбойники бескаркасные (http://www.spi-polymer.ru/otboyniki/) и узнайте подробнее.

В этой статье собраны таблицы синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов . Сначала мы приведем таблицу основных значений тригонометрических функций, то есть, таблицу синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов углов 0, 30, 45, 60, 90, …, 360 градусов (0, π/6, π/4, π/3, π/2, …, 2π радиан). После этого мы дадим таблицу синусов и косинусов, а также таблицу тангенсов и котангенсов В. М. Брадиса, и покажем, как использовать эти таблицы при нахождении значений тригонометрических функций.

Навигация по странице.

Таблица синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов для углов 0, 30, 45, 60, 90, … градусов

Список литературы.

• Алгебра: Учеб. для 9 кл. сред. шк./Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Под ред. С. А. Теляковского.- М.: Просвещение, 1990.- 272 с.: ил.- ISBN 5-09-002727-7
• Башмаков М. И. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк. — 3-е изд. — М.: Просвещение, 1993. — 351 с.: ил. — ISBN 5-09-004617-4.
• Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.; Под ред. А. Н. Колмогорова.- 14-е изд.- М.: Просвещение, 2004.- 384 с.: ил.- ISBN 5-09-013651-3.
• Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.
• Брадис В. М. Четырехзначные математические таблицы: Для общеобразоват. учеб. заведений. — 2-е изд. — М.: Дрофа, 1999.- 96 с.: ил. ISBN 5-7107-2667-2

ТАБЛИЦА ЗНАЧЕНИЙ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Таблица значений тригонометрических функций составлена для углов в 0, 30, 45, 60, 90, 180, 270 и 360 градусов и соответствующих им значений углов врадианах. Из тригонометрических функций в таблице приведены синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс и косеканс. Для удобства решения школьных примеров значения тригонометрических функций в таблице записаны в виде дроби с сохранением знаков извлечения корня квадратного из чисел, что очень часто помогает сокращать сложные математические выражения. Для тангенса и котангенса значения некоторых углов не могут быть определены. Для значений тангенса и котангенса таких углов в таблице значений тригонометрических функций стоит прочерк. Принято считать, что тангенс и котангенс таких углов равняется бесконечности. На отдельной странице находятся формулы приведения тригонометрических функций.

В таблице значений для тригонометрической функции синус приведены значения для следующих углов: sin 0, sin 30, sin 45, sin 60, sin 90, sin 180, sin 270, sin 360 в градусной мере, что соответствует sin 0 пи, sin пи/6, sin пи/4, sin пи/3, sin пи/2, sin пи, sin 3 пи/2, sin 2 пи в радианной мере углов. Школьная таблица синусов.

Для тригонометрической функции косинус в таблице приведены значения для следующих углов: cos 0, cos 30, cos 45, cos 60, cos 90, cos 180, cos 270, cos 360 в градусной мере, что соответствует cos 0 пи, cos пи на 6, cos пи на 4, cos пи на 3, cos пи на 2, cos пи, cos 3 пи на 2, cos 2 пи в радианной мере углов. Школьная таблица косинусов.

Тригонометрическая таблица для тригонометрической функции тангенс приводит значения для следующих углов: tg 0, tg 30, tg 45, tg 60, tg 180, tg 360 в градусной мере, что соответствует tg 0 пи, tg пи/6, tg пи/4, tg пи/3, tg пи, tg 2 пи в радианной мере углов. Следующие значения тригонометрических функций тангенса не определены tg 90, tg 270, tg пи/2, tg 3 пи/2 и считаются равными бесконечности.

Для тригонометрической функции котангенс в тригонометрической таблице даны значения следующих углов: ctg 30, ctg 45, ctg 60, ctg 90, ctg 270 в градусной мере, что соответствует ctg пи/6, ctg пи/4, ctg пи/3, tg пи/2, tg 3 пи/2 в радианной мере углов. Следующие значения тригонометрических функций котангенса не определены ctg 0, ctg 180, ctg 360, ctg 0 пи, ctg пи, ctg 2 пи и считаются равными бесконечности.

Значения тригонометрических функций секанс и косеканс приведены для таких же углов в градусах и радианах, что и синус, косинус, тангенс, котангенс.

В таблице значений тригонометрических функций нестандартных углов приводятся значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса для углов в градусах 15, 18, 22,5, 36, 54, 67,5 72 градусов и в радианах пи/12, пи/10, пи/8, пи/5, 3пи/8, 2пи/5 радиан. Значения тригонометрических функций выражены через дроби и корни квадратные для упрощения сокращения дробей в школьных примерах.

Еще три монстра тригонометрии. Первый — это тангенс 1,5 полутора градусов или пи деленное на 120. Второй — косинус пи деленное на 240, пи/240. Самый длинный — косинус пи деленное на 17, пи/17.

Тригонометрический круг значений функций синус и косинус наглядно представляет знаки синуса и косинуса в зависимости от величины угла. Специально для блондинок значения косинуса подчеркнуты зелененькой черточкой,чтоб меньше путаться. Так же очень наглядно представлен перевод градусов в радианы, когда радианы выражены через пи.

Эта тригонометрическая таблица представляет значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса для углов от 0 нуля до 90 девяносто градусов с интервалом через один градус. Для первых сорока пяти градусов названия тригонометрических функций необходимо смотреть в верхней части таблицы. В первом столбце указаны градусы, значения синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов записаны в следующих четырех столбцах.

Для углов от сорока пяти градусов до девяноста градусов названия тригонометрических функций записаны в нижней части таблицы. В последнем столбце указаны градусы, значения косинусов, синусов, котангенсов и тангенсов записаны в предыдущих четырех столбцах. Следует быть внимательными, поскольку в нижней части тригонометрической таблицы названия тригонометрических функций отличаются от названий в верхней части таблицы. Синусы и косинусы меняются местами, точно так же, как тангенс и котангенс. Это связано с симметричностью значений тригонометрических функций.

Знаки тригонометрических функций представлены на рисунке выше. Синус имеет положительные значения от 0 до 180 градусов или от 0 до пи. Отрицательные значения синус имеет от 180 до 360 градусов или от пи до 2 пи. Значения косинуса положительны от 0 до 90 и от 270 до 360 градусов или от 0 до 1/2 пи и от 3/2 до 2 пи. Тангенс и котангенс имеют положительные значения от 0 до 90 градусов и от 180 до 270 градусов, что соответствует значениям от 0 до 1/2 пи и от пи до 3/2 пи. Отрицательные значения тангенс и котангенс имеют от 90 до 180 градусов и от 270 до 360 градусов или от 1/2 пи до пи и от 3/2 пи до 2 пи. При определении знаков тригонометрических функций для углов больше 360 градусов или 2 пи следует использовать свойства периодичности этих функций.

Тригонометрические функции синус, тангенс и котангенс являются нечетными функциями. Значения этих функций для отрицательных углов будут отрицательными. Косинус является четной тригонометрической функцией — значение косинуса для отрицательного угла будет положительным. При умножении и делении тригонометрических функций необходимо соблюдать правила знаков.

1. В таблице значений для тригонометрической функции синус приведены значения для следующих углов

   Документ

   Отдельной странице находятся формулы приведения тригонометрических функций . В таблице значений для тригонометрической функции синус приведены значения для следующих углов : sin 0, sin 30, sin 45 . ..

2. Предлагаемый математический аппарат является полным аналогом комплексного исчисления для n-мерных гиперкомплексных чисел с любым числом степеней свободы n и предназначен для математического моделирования нелинейных

   Документ

   … функции равно функции изображения. Из этой теоремы сле­дует , что для нахождения координат U, V достаточно вычислить функцию … геометрии; полинарные функции (многомерные аналоги двухмерных тригонометрических функций ), их свойства, таблицы и применение; …

3. В пятом веке до нашей эры древнегреческий философ Зенон Элейский сформулировал свои знаменитые апории, самой известной из которых является апория «Ахиллес и черепаха». Вот как она звучит:

   Допустим, Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится позади неё на расстоянии в тысячу шагов. За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. Когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха проползёт ещё десять шагов, и так далее. Процесс будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху.

   Это рассуждение стало логическим шоком для всех последующих поколений. Аристотель, Диоген, Кант, Гегель, Гильберт… Все они так или иначе рассматривали апории Зенона. Шок оказался настолько сильным, что «… дискуссии продолжаются и в настоящее время, прийти к общему мнению о сущности парадоксов научному сообществу пока не удалось… к исследованию вопроса привлекались математический анализ, теория множеств, новые физические и философские подходы; ни один из них не стал общепризнанным решением вопроса… » [Википедия, » Апории Зенона «]. Все понимают, что их дурят, но никто не понимает, в чем заключается обман.

   С точки зрения математики, Зенон в своей апории наглядно продемонстрировал переход от величины к . Этот переход подразумевает применение вместо постоянных. Насколько я понимаю, математический аппарат применения переменных единиц измерения либо ещё не разработан, либо его не применяли к апории Зенона. Применение же нашей обычной логики приводит нас в ловушку. Мы, по инерции мышления, применяем постоянные единицы измерения времени к обратной величине. С физической точки зрения это выглядит, как замедление времени до его полной остановки в момент, когда Ахиллес поравняется с черепахой. Если время останавливается, Ахиллес уже не может перегнать черепаху.

   Если перевернуть привычную нам логику, всё становится на свои места. Ахиллес бежит с постоянной скоростью. Каждый последующий отрезок его пути в десять раз короче предыдущего. Соответственно, и время, затрачиваемое на его преодоление, в десять раз меньше предыдущего. Если применять понятие «бесконечность» в этой ситуации, то правильно будет говорить «Ахиллес бесконечно быстро догонит черепаху».

   Как избежать этой логической ловушки? Оставаться в постоянных единицах измерения времени и не переходить к обратным величинам. На языке Зенона это выглядит так:

   За то время, за которое Ахиллес пробежит тысячу шагов, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. За следующий интервал времени, равный первому, Ахиллес пробежит ещё тысячу шагов, а черепаха проползет сто шагов. Теперь Ахиллес на восемьсот шагов опережает черепаху.

   Этот подход адекватно описывает реальность без всяких логических парадоксов. Но это не полное решение проблемы. На Зеноновскую апорию «Ахиллес и черепаха» очень похоже утверждение Эйнштейна о непреодолимости скорости света. Эту проблему нам ещё предстоит изучить, переосмыслить и решить. И решение нужно искать не в бесконечно больших числах, а в единицах измерения.

   Другая интересная апория Зенона повествует о летящей стреле:

   Летящая стрела неподвижна, так как в каждый момент времени она покоится, а поскольку она покоится в каждый момент времени, то она покоится всегда.

   В этой апории логический парадокс преодолевается очень просто — достаточно уточнить, что в каждый момент времени летящая стрела покоится в разных точках пространства, что, собственно, и является движением. Здесь нужно отметить другой момент. По одной фотографии автомобиля на дороге невозможно определить ни факт его движения, ни расстояние до него. Для определения факта движения автомобиля нужны две фотографии, сделанные из одной точки в разные моменты времени, но по ним нельзя определить расстояние. Для определения расстояния до автомобиля нужны две фотографии, сделанные из разных точек пространства в один момент времени, но по ним нельзя определить факт движения (естественно, ещё нужны дополнительные данные для расчетов, тригонометрия вам в помощь). На что я хочу обратить особое внимание, так это на то, что две точки во времени и две точки в пространстве — это разные вещи, которые не стоит путать, ведь они предоставляют разные возможности для исследования.

   среда, 4 июля 2018 г.

   Очень хорошо различия между множеством и мультимножеством описаны в Википедии . Смотрим.

   Как видите, «во множестве не может быть двух идентичных элементов», но если идентичные элементы во множестве есть, такое множество называется «мультимножество». Подобную логику абсурда разумным существам не понять никогда. Это уровень говорящих попугаев и дрессированных обезьян, у которых разум отсутствует от слова «совсем». Математики выступают в роли обычных дрессировщиков, проповедуя нам свои абсурдные идеи.

   Когда-то инженеры, построившие мост, во время испытаний моста находились в лодке под мостом. Если мост обрушивался, бездарный инженер погибал под обломками своего творения. Если мост выдерживал нагрузку, талантливый инженер строил другие мосты.

   Как бы математики не прятались за фразой «чур, я в домике», точнее «математика изучает абстрактные понятия», есть одна пуповина, которая неразрывно связывает их с реальностью. Этой пуповиной являются деньги. Применим математическую теорию множеств к самим математикам.

   Мы очень хорошо учили математику и сейчас сидим в кассе, выдаем зарплату. Вот приходит к нам математик за своими деньгами. Отсчитываем ему всю сумму и раскладываем у себя на столе на разные стопки, в которые складываем купюры одного достоинства. Затем берем с каждой стопки по одной купюре и вручаем математику его «математическое множество зарплаты». Поясняем математику, что остальные купюры он получит только тогда, когда докажет, что множество без одинаковых элементов не равно множеству с одинаковыми элементами. Вот здесь начнется самое интересное.

   В первую очередь, сработает логика депутатов: «к другим это применять можно, ко мне — низьзя!». Дальше начнутся уверения нас в том, что на купюрах одинакового достоинства имеются разные номера купюр, а значит их нельзя считать одинаковыми элементами. Хорошо, отсчитываем зарплату монетами — на монетах нет номеров. Здесь математик начнет судорожно вспоминать физику: на разных монетах имеется разное количество грязи, кристаллическая структура и расположение атомов у каждой монеты уникально…

   А теперь у меня самый интересный вопрос: где проходит та грань, за которой элементы мультимножества превращаются в элементы множества и наоборот? Такой грани не существует — всё решают шаманы, наука здесь и близко не валялась.

   Вот смотрите. Мы отбираем футбольные стадионы с одинаковой площадью поля. Площадь полей одинакова — значит у нас получилось мультимножество. Но если рассматривать названия этих же стадионов — у нас получается множество, ведь названия разные. Как видите, один и тот же набор элементов одновременно является и множеством, и мультимножеством. Как правильно? А вот здесь математик-шаман-шуллер достает из рукава козырный туз и начинает нам рассказывать либо о множестве, либо о мультимножестве. В любом случае он убедит нас в своей правоте.

   Чтобы понять, как современные шаманы оперируют теорией множеств, привязывая её к реальности, достаточно ответить на один вопрос: чем элементы одного множества отличаются от элементов другого множества? Я вам покажу, без всяких «мыслимое как не единое целое» или «не мыслимое как единое целое».

   воскресенье, 18 марта 2018 г.

   Сумма цифр числа — это пляска шаманов с бубном, которая к математике никакого отношения не имеет. Да, на уроках математики нас учат находить сумму цифр числа и пользоваться нею, но на то они и шаманы, чтобы обучать потомков своим навыкам и премудростям, иначе шаманы просто вымрут.

   Вам нужны доказательства? Откройте Википедию и попробуйте найти страницу «Сумма цифр числа». Её не существует. Нет в математике формулы, по которой можно найти сумму цифр любого числа. Ведь цифры — это графические символы, при помощи которых мы записываем числа и на языке математики задача звучит так: «Найти сумму графических символов, изображающих любое число». Математики эту задачу решить не могут, а вот шаманы — элементарно.

   Давайте разберемся, что и как мы делаем для того, чтобы найти сумму цифр заданного числа. И так, пусть у нас есть число 12345. Что нужно сделать для того, чтобы найти сумму цифр этого числа? Рассмотрим все шаги по порядку.

   1. Записываем число на бумажке. Что же мы сделали? Мы преобразовали число в графический символ числа. Это не математическое действие.

   2. Разрезаем одну полученную картинку на несколько картинок, содержащих отдельные цифры. Разрезание картинки — это не математическое действие.

   3. Преобразовываем отдельные графические символы в числа. Это не математическое действие.

   4. Складываем полученные числа. Вот это уже математика.

   Сумма цифр числа 12345 равна 15. Вот такие вот «курсы кройки и шитья» от шаманов применяют математики. Но это ещё не всё.

   С точки зрения математики не имеет значения, в какой системе счисления мы записываем число. Так вот, в разных системах счисления сумма цифр одного и того же числа будет разной. В математике система счисления указывается в виде нижнего индекса справа от числа. С большим числом 12345 я не хочу голову морочить, рассмотрим число 26 из статьи про . Запишем это число в двоичной, восьмеричной, десятичной и шестнадцатеричной системах счисления. Мы не будем рассматривать каждый шаг под микроскопом, это мы уже сделали. Посмотрим на результат.

   Как видите, в разных системах счисления сумма цифр одного и того же числа получается разной. Подобный результат к математике никакого отношения не имеет. Это всё равно, что при определении площади прямоугольника в метрах и сантиметрах вы получали бы совершенно разные результаты.

   Ноль во всех системах счисления выглядит одинаково и суммы цифр не имеет. Это ещё один аргумент в пользу того, что . Вопрос к математикам: как в математике обозначается то, что не является числом? Что, для математиков ничего, кроме чисел, не существует? Для шаманов я могу такое допустить, но для ученых — нет. Реальность состоит не только из чисел.

   Полученный результат следует рассматривать как доказательство того, что системы счисления являются единицами измерения чисел. Ведь мы не можем сравнивать числа с разными единицами измерения. Если одни и те же действия с разными единицами измерения одной и той же величины приводят к разным результатам после их сравнения, значит это не имеет ничего общего с математикой.

   Что же такое настоящая математика? Это когда результат математического действия не зависит от величины числа, применяемой единицы измерения и от того, кто это действие выполняет.
   

Открывает дверь и говорит:

Ой! А это разве не женский туалет?
— Девушка! Это лаборатория по изучению индефильной святости душ при вознесении на небеса! Нимб сверху и стрелочка вверх. Какой еще туалет?

Женский… Нимб сверху и стрелочка вниз — это мужской.

Если у вас перед глазами несколько раз в день мелькает вот такое вот произведение дизайнерского искусства,

Тогда не удивительно, что в своем автомобиле вы вдруг обнаруживаете странный значок:

Лично я делаю над собой усилие, чтобы в какающем человеке (одна картинка), увидеть минус четыре градуса (композиция из нескольких картинок: знак минус, цифра четыре, обозначение градусов). И я не считаю эту девушку дурой, не знающей физику. Просто у неё дугой стереотип восприятия графических образов. И математики нас этому постоянно учат. Вот пример.

1А — это не «минус четыре градуса» или «один а». Это «какающий человек» или число «двадцать шесть» в шестнадцатеричной системе счисления. Те люди, которые постоянно работают в этой системе счисления, автоматически воспринимают цифру и букву как один графический символ.

Табличка на двери

Построение графиков функций по заданным параметрам»

Цели урока:

• научить строить графики элементарных математических функций с помощью табличного процессора Excel;
• показать возможности использования программы Excel для решения задач по математике;
• закрепить навыки работы с Мастером диаграмм.

Задачи урока:

• образовательная – знакомство учащихся с основными приемами построения графиков функций в программе Excel;
• развивающие – формирование у учащихся логического и алгоритмического мышления; развитие познавательного интереса к предмету; развитие умения оперировать ранее полученными знаниями; развитие умения планировать свою деятельность;
• воспитательные – воспитание умения самостоятельно мыслить, ответственности за выполняемую работу, аккуратности при выполнении работы.

Тип урока:

• комбинированный

Учебники:

Информатика. Базовый курс 2-е издание/Под ред. С.В. Симоновича. — СПб.: Питер, 2004.-640с.:ил.

Технические и программные средства:

• Персональные компьютеры;
• Приложение Windows – электронные таблицы Excel.
• Проектор

Раздаточный материал:

• Карточки с индивидуальными заданиями на построение графиков функций.

План урока.

1. Организационный момент – 3 мин.
2. Проверка домашнего задания –10 мин.
3. Объяснение нового материала –20 мин.
4. Применение полученных знаний –20 мин.
5. Самостоятельная работа. – 20 мин
6. Подведение итогов урока. Домашнее задание – 7 мин.

Ход урока

Организационный момент

Проверка готовности учащихся к уроку, отметка отсутствующих, объявление темы и цели урока

Проверка домашнего задания. (фронтальный опрос)

Вопросы для проверки

1. Что представляет собой рабочая область программы Excel?
2. Как определяется адрес ячейки?
3. Как изменить ширину столбца, высоту строки?
4. Как ввести формулу в Excel?
5. Что такое маркер заполнения и для чего он нужен?
6. Что такое относительная адресация ячеек?
7. Что такое абсолютная адресация ячеек? Как она задается?
8. Что такое колонтитулы? Как они задаются?
9. Как задать поля печатного документа? Как изменить ориентацию бумаги?
10. Что такое функциональная зависимость у = f(х)? Какая переменная является зависимой, а какая независимой?
11. Как ввести функцию в Excel?
12. Что такое график функции у = f(х)?
13. Как построить диаграмму в Excel?

Объяснение нового материала.

При объяснении нового материала может быть использован файл Excel с шаблонами задач (Приложение 1), который выводится на экран с помощью проектора

Сегодня мы рассмотрим применение табличного процессора Excel для графиков функций. На предыдущих практических вы уже строили диаграммы к различным задачам, используя Мастер диаграмм. Графики функций, так же как и диаграммы строятся с помощью Мастера диаграмм программы Excel.

Рассмотрим построение графиков функций на примере функции у = sin x.

Вид данного графика хорошо известен вам по урокам математики, попробуем построить его средствами Excel.

Программа будет строить график по точкам: точки с известными значениями будут плавно соединяться линией. Эти точки нужно указать программе, поэтому, сначала создается таблица значений функции у = f(х).

Чтобы создать таблицу, нужно определить

• отрезок оси ОХ, на котором будет строиться график.
• шаг переменной х, т.е. через какой промежуток будут вычисляться значения функции.

Задача 1.Построить график функции у = sin x на отрезке [– 2; 2] с шагом h = 0,5.

1. Заполним таблицу значений функции. В ячейку С4 введем первое значение отрезка: – 2
2. В ячейку D4 введем формулу, которая будет добавлять к лево-стоящей ячейки шаг: = В4 + $A$4
3. Маркером заполнения ячейки D4 заполним влево ячейки строки 4, до тех пор, пока получим значение другого конца отрезка: 2.
4. Выделим ячейку С5, вызовем Мастер функций, в категории математические выберем функцию SIN, в качестве аргумента функции выберем ячейку С4.
5. Маркером заполнения распространим эту формулу в ячейках строки 5 до конца таблицы.

Таким образом, мы получили таблицу аргументов (х) и значений (у) функции у = sin x на отрезке [-2;2] с шагом h = 0,5 :

x	-2	-1,75	-1,5	-1,25	-1	-0,75	-0,5	-0,25	0	0,25	0,5	0,75	1	1,25	1,5	1,75	2
y	-0,9092	-0,9839	-0,9974	-0,9489	-0,8414	-0,6816	-0,4794	-0,2474	0	0,2474	0,4794	0,6816	0,8414	0,9489	0,9974	0,9839	0,9092

6. Следующий шаг. Выделим таблицу и вызовем Мастер диаграмм. На первом шаге выберем во вкладке Нестандартные Гладкие графики.
7. На втором шаге во вкладке Ряд выполним:

В поле Ряд необходимо выделить ряд х и нажать на кнопку “Удалить” (график изменений х нам не нужен. График функции – это график изменения значений у)

В поле Подписи оси Х нажать на кнопку. Выделить в таблице ячейки со значениями х и нажмите на кнопку . Подписи по горизонтальной оси станут такими, как у нас в таблице.

8. На третьем шаге заполним вкладку Заголовки.

9. Пример полученного графика.

На самом деле пока это мало похоже на график функции в нашем привычном понимании.

Для форматирования графика:

• Вызовем контекстное меню оси ОУ. Затем, выберем пункт Формат оси…. Во вкладке Шкала установим: цена основного деления: 1. Во вкладке Шрифт установим размер шрифта 8пт.
• Вызовем контекстное меню оси ОХ. Выберем пункт Формат оси….

Во вкладке Шкала установим: пересечение с осью ОУ установите номер категории 5 (чтобы ось ОУ пересекала ось ОХ в категории с подписью 0, а это пятая по счету категория).

Во вкладке шрифт установите размер шрифта 8пт. Нажмите на кнопку ОК.

Остальные изменения выполняются аналогично.

Для закрепления рассмотрим еще одну задачу на построение графика функций. Эту задачу попробуйте решить самостоятельно, сверяясь с экраном проектора.

Применение полученных знаний.

Пригласить к проектору студента и сформулировать следующую задачу.

Задача 2. Построить график функции у = х³ на отрезке [– 3; 3] с шагом h = 0,5.

1. Создать следующую таблицу: Создать таблица значений функции у = f(х). 3
6. Маркером заполнения скопировать формулу в ячейки строки 5 до конца таблицы.

Таким образом, должна получиться таблица аргументов (х) и значений (у) функции у = х³ на отрезке [–3;3] с шагом h = 0,5:

х	-3	-2,5	-2	-1,5	-1	-0,5	0	0,5	1	1,5	2	2,5	3
y	-27	-15,625	-8	-3,375	-1	-0,125	0	0,125	1	3,375	8	15,625	27

7. Выделить таблицу и вызвать мастер диаграмм. На первом шаге выбрать во второй вкладке Гладкие графики.
8. На втором шаге во вкладке Ряд выполнить:

• В поле Ряд выделить ряд х и нажать на кнопку “Удалить” (график изменений х нам не нужен. График функции – это график изменения значений у)
• В поле Подписи оси Х нажать на кнопку . Выделить в таблице ячейки со значениями х и нажать на кнопку . Подписи по горизонтальной оси станут такими, как у нас в таблице.

9. На третьем шаге заполнить вкладку Заголовки.

10. Пример полученного графика:
11. Оформить график.
12. Установить параметры страницы и размеры диаграмм таким образом, что бы все поместилось на одном листе альбомной ориентации.
13. Создать колонтитулы для данного листа (Вид Колонтитулы…):
14. Верхний колонтитул слева: график функции у = x³

Сохранить документ своей папке под именем График.

Самостоятельная работа.

Работа по карточкам с индивидуальными заданиями. (Приложение 2)

Пример карточки, с задачей в общем виде, выводится на экран с помощью проектора.

1. Построить график функции y=f(x) на отрезке [a;b] с шагом h=c
2. Установить параметры страницы и размеры графика таким образом, что бы все поместилось на одном листе альбомной ориентации.
3. Создать колонтитулы для данного листа (Вид Колонтитулы…):

• Верхний колонтитул слева: график функции y=f(x)
• Нижний колонтитул в центре: ваши Ф.И.О. и дата

4. Сохранить в своей папке под именем “Зачетный график”
5. Вывести документ на печать.

После выполнения задания правильность каждого варианта проверяется с помощью проектора.

Подведение итогов.

Домашнее задание.

Оценки за урок.

2 = 1 $.

В) Тогда для конкретных углов есть значения. Это в основном геометрия, и есть три случая:

1) $ \ theta $ ~ $ 0 $ или 90 $. Это $ \ theta = 0, \ pi / 2, \ pi, 3 \ pi / 4 $ (или $ — \ pi / 4 $).

Это точки $ (x, y) = (\ cos \ theta, \ sin \ theta) $ = $ (0, \ pm 1) $ и $ \ tan \ theta = (0, \ pm 1) $ и $ x / y $ = $ 0 $, $ \ pm 1/0 $ (не определено).

Это то, что визуально видно при представлении круга.

2) $ \ theta $ ~ 45. Это $ \ theta = \ text {odd} * \ pi / 4 $ (или другой способ просмотра $ \ {0, \ pi, \ pm \ pi / 2 \ } \ pm \ pi / 4 $; или просто $ \ pi / 4, 3 \ pi / 4, 5 \ pi / 4 = -3 \ pi / 4, 7 \ pi / 4 = — \ pi / 4 $).2 = 1 $, значит, $ | x | = | y | = \ sqrt {2} / 2 $. И $ | x | / | y | = 1 $.

Итак, $ \ sin \ theta = \ pm \ cos \ theta = \ pm \ sqrt {2} / 2 $. и $ \ tan \ theta = \ pm 1 $.

Какая положительная / отрицательная полярность зависит от того, в каком квадранте $ (x, y) = (\ cos \ theta, \ sin \ theta) $ находится.

3) $ \ theta $ ~ 30, 60 $. Это $ \ {0, \ pi, \ pm \ pi / 2 \} \ pm \ pi / 6 $. Или $ 0, \ pi / 6, \ pi / 3, 2 \ pi / 3, 5 \ pi / 6, 7 \ pi / 6, 4 \ pi / 3, 5 \ pi / 3, 11 \ pi / 6 $.

Это для треугольников 30-60-90 градусов, которые представляют собой равносторонние треугольники, разрезанные пополам.2 $ и поскольку $ c = 1 $, то $ a = 1/2 $ и $ b = \ sqrt {3} 2 $.

Итак, это $ (x, y) = (\ cos \ theta, \ sin \ theta) = (\ {\ pm 1/2: \ pm \ sqrt {3} / 2 \}, \ {\ pm \ sqrt {3} / 2: \ pm 1/2) $ и $ \ tan \ theta = \ {\ pm 1 / \ sqrt 3: \ pm \ sqrt 3 \} $

Какие значения зависят от того, соответствует ли $ | x | > | y | $ или $ | y | > | x | $ и в каком квадранте $ (x, y) лежит.

======

И да, эта круглая картинка помогает. Поскольку круговая картинка идеально симметрична, ее легко запомнить, хотя технически она имеет 48 значений. Поскольку он симметричен, на самом деле он сводится только к трем вышеупомянутым случаям.

sin cos tan таблица

Таблицы Брадиса sin, cos, tg, ctg.

Таблица

sin cos tan (тригонометрические значения) содержит рассчитанные значения тригонометрических функций для определенного угла от 0 до 360 градусов в виде простой таблицы и в виде таблицы Брадиса. Также приведены значения тригонометрических функций в радианах для наиболее распространенных углов, используемых в расчетах.

Таблицы с расчетными значениями sin, cos, tg, ctg используются для упрощения и ускорения математических вычислений, когда нет возможности использовать калькулятор или компьютер.

• грех
• cos
• тг
• кт
• триг. значения
• Брэдис грех и соз
• Bradys tg и ctg

грех 0 ° = грех 360 ° = 0

α °	sin α	α °	sin α	α °	sin α	α °	sin α

α °	sin α	α °	sin α	α °	sin α	α °	sin α

cos 0 ° = cos 360 ° = 1

α °	cos α	α °	cos α	α °	cos α	α °	cos α

α °	cos α	α °	cos α	α °	cos α	α °	cos α

tg 0 ° = tg 360 ° = 0

α °	тг α	α °	тг α	α °	тг α	α °	тг α

α °	тг α	α °	тг α	α °	тг α	α °	тг α

ctg 0 ° = ctg 360 ° = ∞

α °	CTG α	α °	CTG α	α °	CTG α	α °	CTG α

α °	CTG α	α °	CTG α	α °	CTG α	α °	CTG α

Значения тригонометрических функций в радианах для наиболее распространенных углов.

Таблица Брэдиса для синусов и косинусов

грех	0 ‘	6 ‘	12 ‘	18 ‘	24 ‘	30 ‘	36 ‘	42 ‘	48 ‘	54 ‘	60 ‘	cos	1 ‘	2 ‘	3 ‘
											0.0000	90 °
0 °	0,0000	0017	0035	0052	0070	0087	0105	0122	0140	0157	0175	89 °	3	6	9
1 °	0175	0192	0209	0227	0244	0262	0279	0297	0314	0332	0349	88 °	3	6	9
2 °	0349	0366	0384	0401	0419	0436	0454	0471	0488	0506	0523	87 °	3	6	9
3 °	0523	0541	0558	0576	0593	0610	0628	0645	0663	0680	0698	86 °	3	6	9
4 °	0698	0715	0732	0750	0767	0785	0802	0819	0837	0854	0. 0872	85 °	3	6	9
5 °	0,0872	0889	0906	0924	0941	0958	0976	0993	1011	1028	1045	84 °	3	6	9
6 °	1045	1063	1080	1097	1115	1132	1149	1167	1184	1201	1219	83 °	3	6	9
7 °	1219	1236	1253	1271	1288	1305	1323	1340	1357	1374	1392	82 °	3	6	9
8 °	1392	1409	1426	1444	1461	1478	1495	1513	1530	1547	1564	81 °	3	6	9
9 °	1564	1582	1599	1616	1633	1650	1668	1685	1702	1719	0. 1736	80 °	3	6	9
10 °	0,1736	1754	1771	1788	1805	1822	1840	1857	1874	1891	1908	79 °	3	6	9
11 °	1908	1925	1942	1959	1977	1994	2011	2028	2045	2062	2079	78 °	3	6	9
12 °	2079	2096	2113	2130	2147	2164	2181	2198	2215	2233	2250	77 °	3	6	9
13 °	2250	2267	2284	2300	2317	2334	2351	2368	2385	2402	2419	76 °	3	6	8
14 °	2419	2436	2453	2470	2487	2504	2521	2538	2554	2571	0. 2588	75 °	3	6	8
15 °	0,2588	2605	2622	2639	2656	2672	2689	2706	2723	2740	2756	74 °	3	6	8
16 °	2756	2773	2790	2807	2823	2840	2857	2874	2890	2907	2924	73 °	3	6	8
17 °	2924	2940	2957	2974	2990	3007	3024	3040	3057	3074	3090	72 °	3	6	8
18 °	3090	3107	3123	3140	3156	3173	3190	3206	3223	3239	3256	71 °	3	6	8
19 °	3256	3272	3289	3305	3322	3338	3355	3371	3387	3404	0. 3420	70 °	3	5	8
20 °	0,3420	3437	3453	3469	3486	3502	3518	3535	3551	3567	3584	69 °	3	5	8
21 °	3584	3600	3616	3633	3649	3665	3681	3697	3714	3730	3746	68 °	3	5	8
22 °	3746	3762	3778	3795	3811	3827	3843	3859	3875	3891	3907	67 °	3	5	8
23 °	3907	3923	3939	3955	3971	3987	4003	4019	4035	4051	4067	66 °	3	5	8
24 °	4067	4083	4099	4115	4131	4147	4163	4179	4195	4210	0. 4226	65 °	3	5	8
25 °	0,4226	4242	4258	4274	4289	4305	4321	4337	4352	4368	4384	64 °	3	5	8
26 °	4384	4399	4415	4431	4446	4462	4478	4493	4509	4524	4540	63 °	3	5	8
27 °	4540	4555	4571	4586	4602	4617	4633	4648	4664	4679	4695	62 °	3	5	8
28 °	4695	4710	4726	4741	4756	4772	4787	4802	4818	4833	4848	61 °	3	5	8
29 °	4848	4863	4879	4894	4909	4924	4939	4955	4970	4985	0. 5000	60 °	3	5	8
30 °	0,5000	5015	5030	5045	5060	5075	5090	5105	5120	5135	5150	59 °	3	5	8
31 °	5150	5165	5180	5195	5210	5225	5240	5255	5270	5284	5299	58 °	2	5	7
32 °	5299	5314	5329	5344	5358	5373	5388	5402	5417	5432	5446	57 °	2	5	7
33 °	5446	5461	5476	5490	5505	5519	5534	5548	5563	5577	5592	56 °	2	5	7
34 °	5592	5606	5621	5635	5650	5664	5678	5693	5707	5721	0. 5736	55 °	2	5	7
35 °	0,5736	5750	5764	5779	5793	5807	5821	5835	5850	5864	0,5878	54 °	2	5	7
36 °	5878	5892	5906	5920	5934	5948	5962	5976	5990	6004	6018	53 °	2	5	7
37 °	6018	6032	6046	6060	6074	6088	6101	6115	6129	6143	6157	52 °	2	5	7
38 °	6157	6170	6184	6198	6211	6225	6239	6252	6266	6280	6293	51 °	2	5	7
39 °	6293	6307	6320	6334	6347	6361	6374	6388	6401	6414	0. 6428	50 °	2	4	7
40 °	0,6428	6441	6455	6468	6481	6494	6508	6521	6534	6547	6561	49 °	2	4	7
41 °	6561	6574	6587	6600	6613	6626	6639	6652	6665	6678	6691	48 °	2	4	7
42 °	6691	6704	6717	6730	6743	6756	6769	6782	6794	6807	6820	47 °	2	4	6
43 °	6820	6833	6845	6858	6871	6884	6896	8909	6921	6934	6947	46 °	2	4	6
44 °	6947	6959	6972	6984	6997	7009	7022	7034	7046	7059	0. 7071	45 °	2	4	6
45 °	0,7071	7083	7096	7108	7120	7133	7145	7157	7169	7181	7193	44 °	2	4	6
46 °	7193	7206	7218	7230	7242	7254	7266	7278	7290	7302	7314	43 °	2	4	6
47 °	7314	7325	7337	7349	7361	7373	7385	7396	7408	7420	7431	42 °	2	4	6
48 °	7431	7443	7455	7466	7478	7490	7501	7513	7524	7536	7547	41 °	2	4	6
49 °	7547	7559	7570	7581	7593	7604	7615	7627	7638	7649	0. 7660	40 °	2	4	6
50 °	0,7660	7672	7683	7694	7705	7716	7727	7738	7749	7760	7771	39 °	2	4	6
51 °	7771	7782	7793	7804	7815	7826	7837	7848	7859	7869	7880	38 °	2	4	5
52 °	7880	7891	7902	7912	7923	7934	7944	7955	7965	7976	7986	37 °	2	4	5
53 °	7986	7997	8007	8018	8028	8039	8049	8059	8070	8080	8090	36 °	2	3	5
54 °	8090	8100	8111	8121	8131	8141	8151	8161	8171	8181	0. 8192	35 °	2	3	5
55 °	0,8192	8202	8211	8221	8231	8241	8251	8261	8271	8281	8290	34 °	2	3	5
56 °	8290	8300	8310	8320	8329	8339	8348	8358	8368	8377	8387	33 °	2	3	5
57 °	8387	8396	8406	8415	8425	8434	8443	8453	8462	8471	8480	32 °	2	3	5
58 °	8480	8490	8499	8508	8517	8526	8536	8545	8554	8563	8572	31 °	2	3	5
59 °	8572	8581	8590	8599	8607	8616	8625	8634	8643	8652	0. 8660	30 °	1	3	4
60 °	0,8660	8669	8678	8686	8695	8704	8712	8721	8729	8738	8746	29 °	1	3	4
61 °	8746	8755	8763	8771	8780	8788	8796	8805	8813	8821	8829	28 °	1	3	4
62 °	8829	8838	8846	8854	8862	8870	8878	8886	8894	8902	8910	27 °	1	3	4
63 °	8910	8918	8926	8934	8942	8949	8957	8965	8973	8980	8988	26 °	1	3	4
64 °	8988	8996	9003	9011	9018	9026	9033	9041	9048	9056	0. 9063	25 °	1	3	4
65 °	0,9063	9070	9078	9085	9092	9100	9107	9114	9121	9128	9135	24 °	1	2	4
66 °	9135	9143	9150	9157	9164	9171	9178	9184	9191	9198	9205	23 °	1	2	3
67 °	9205	9212	9219	9225	9232	9239	9245	9252	9259	9256	9272	22 °	1	2	3
68 °	9272	9278	9285	9291	9298	9304	9311	9317	9323	9330	9336	21 °	1	2	3
69 °	9336	9342	9348	9354	9361	9367	9373	9379	9383	9391	0. 9397	20 °	1	2	3
70 °	9397	9403	9409	9415	9421	9426	9432	9438	9444	9449	0,9455	19 °	1	2	3
71 °	9455	9461	9466	9472	9478	9483	9489	9494	9500	9505	9511	18 °	1	2	3
72 °	9511	9516	9521	9527	9532	9537	9542	9548	9553	9558	9563	17 °	1	2	3
73 °	9563	9568	9573	9578	9583	9588	9593	9598	9603	9608	9613	16 °	1	2	2
74 °	9613	9617	9622	9627	9632	9636	9641	9646	9650	9655	0. 9659	15 °	1	2	2
75 °	9659	9664	9668	9673	9677	9681	9686	9690	9694	9699	9703	14 °	1	1	2
76 °	9703	9707	9711	9715	9720	9724	9728	9732	9736	9740	9744	13 °	1	1	2
77 °	9744	9748	9751	9755	9759	9763	9767	9770	9774	9778	9781	12 °	1	1	2
78 °	9781	9785	9789	9792	9796	9799	9803	9806	9810	9813	9816	11 °	1	1	2
79 °	9816	9820	9823	9826	9829	9833	9836	9839	9842	9845	0. 9848	10 °	1	1	2
80 °	0,9848	9851	9854	9857	9860	9863	9866	9869	9871	9874	9877	9 °	0	1	1
81 °	9877	9880	9882	9885	9888	9890	9893	9895	9898	9900	9903	8 °	0	1	1
82 °	9903	9905	9907	9910	9912	9914	9917	9919	9921	9923	9925	7 °	0	1	1
83 °	9925	9928	9930	9932	9934	9936	9938	9940	9942	9943	9945	6 °	0	1	1
84 °	9945	9947	9949	9951	9952	9954	9956	9957	9959	9960	9962	5 °	0	1	1
85 °	9962	9963	9965	9966	9968	9969	9971	9972	9973	9974	9976	4 °	0	0	1
86 °	9976	9977	9978	9979	9980	9981	9982	9983	9984	9985	9986	3 °	0	0	0
87 °	9986	9987	9988	9989	9990	9990	9991	9992	9993	9993	9994	2 °	0	0	0
88 °	9994	9995	9995	9996	9996	9997	9997	9997	9998	9998	0. 9998	1 °	0	0	0
89 °	9998	9999	9999	9999	9999	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	0 °	0	0	0
90 °	1.0000
грех	60 ‘	54 ‘	48 ‘	42 ‘	36 ‘	30 ‘	24 ‘	18 ‘	12 ‘	6 ‘	0 ‘	cos	1 ‘	2 ‘	3 ‘

Таблица Брэдиса для касательных и котангенсов

тг	0 ‘	6 ‘	12 ‘	18 ‘	24 ‘	30 ‘	36 ‘	42 ‘	48 ‘	54 ‘	60 ‘	CTG	1 ‘	2 ‘	3 ‘
											0	90 °
0 °	0,000	0017	0035	0052	0070	0087	0105	0122	0140	0157	0175	89 °	3	6	9
1 °	0175	0192	0209	0227	0244	0262	0279	0297	0314	0332	0349	88 °	3	6	9
2 °	0349	0367	0384	0402	0419	0437	0454	0472	0489	0507	0524	87 °	3	6	9
3 °	0524	0542	0559	0577	0594	0612	0629	0647	0664	0682	0699	86 °	3	6	9
4 °	0699	0717	0734	0752	0769	0787	0805	0822	0840	0857	0,0875	85 °	3	6	9
5 °	0,0875	0892	0910	0928	0945	0963	0981	0998	1016	1033	1051	84 °	3	6	9
6 °	1051	1069	1086	1104	1122	1139	1157	1175	1192	1210	1228	83 °	3	6	9
7 °	1228	1246	1263	1281	1299	1317	1334	1352	1370	1388	1405	82 °	3	6	9
8 °	1405	1423	1441	1459	1477	1495	1512	1530	1548	1566	1584	81 °	3	6	9
9 °	1584	1602	1620	1638	1655	1673	1691	1709	1727	1745	0,1763	80 °	3	6	9
10 °	0,1763	1781	1799	1817	1835	1853	1871	1890	1908	1926	1944	79 °	3	6	9
11 °	1944	1962	1980	1998	2016	2035	2053	2071	2089	2107	2126	78 °	3	6	9
12 °	2126	2144	2162	2180	2199	2217	2235	2254	2272	2290	2309	77 °	3	6	9
13 °	2309	2327	2345	2364	2382	2401	2419	2438	2456	2475	2493	76 °	3	6	9
14 °	2493	2512	2530	2549	2568	2586	2605	2623	2642	2661	0,2679	75 °	3	6	9
15 °	0,2679	2698	2717	2736	2754	2773	2792	2811	2830	2849	2867	74 °	3	6	9
16 °	2867	2886	2905	2924	2943	2962	2981	3000	3019	3038	3057	73 °	3	6	9
17 °	3057	3076	3096	3115	3134	3153	3172	3191	3211	3230	3249	72 °	3	6	10
18 °	3249	3269	3288	3307	3327	3346	3365	3385	3404	3424	3443	71 °	3	6	10
19 °	3443	3463	3482	3502	3522	3541	3561	3581	3600	3620	0,3640	70 °	3	7	10
20 °	0,3640	3659	3679	3699	3719	3739	3759	3779	3799	3819	3839	69 °	3	7	10
21 °	3839	3859	3879	3899	3919	3939	3959	3979	4000	4020	4040	68 °	3	7	10
22 °	4040	4061	4081	4101	4122	4142	4163	4183	4204	4224	4245	67 °	3	7	10
23 °	4245	4265	4286	4307	4327	4348	4369	4390	4411	4431	4452	66 °	3	7	10
24 °	4452	4473	4494	4515	4536	4557	4578	4599	4621	4642	0,4663	65 °	4	7	11
25 °	0,4663	4684	4706	4727	4748	4770	4791	4813	4834	4856	4877	64 °	4	7	11
26 °	4877	4899	4921	4942	4964	4986	5008	5029	5051	5073	5095	63 °	4	7	11
27 °	5095	5117	5139	5161	5184	5206	5228	5250	5272	5295	5317	62 °	4	7	11
28 °	5317	5340	5362	5384	5407	5430	5452	5475	5498	5520	5543	61 °	4	8	11
29 °	5543	5566	5589	5612	5635	5658	5681	5704	5727	5750	0,5774	60 °	4	8	12
30 °	0,5774	5797	5820	5844	5867	5890	5914	5938	5961	5985	6009	59 °	4	8	12
31 °	6009	6032	6056	6080	6104	6128	6152	6176	6200	6224	6249	58 °	4	8	12
32 °	6249	6273	6297	6322	6346	6371	6395	6420	6445	6469	6494	57 °	4	8	12
33 °	6494	6519	6544	6569	6594	6619	6644	6669	6694	6720	6745	56 °	4	8	13
34 °	6745	6771	6796	6822	6847	6873	6899	6924	6950	6976	0,7002	55 °	4	9	13
35 °	0,7002	7028	7054	7080	7107	7133	7159	7186	7212	7239	7265	54 °	4	8	13
36 °	7265	7292	7319	7346	7373	7400	7427	7454	7481	7508	7536	53 °	5	9	14 °
37 °	7536	7563	7590	7618	7646	7673	7701	7729	7757	7785	7813	52 °	5	9	14
38 °	7813	7841	7869	7898	7926	7954	7983	8012	8040	8069	8098	51 °	5	9	14
39 °	8098	8127	8156	8185	8214	8243	8273	8302	8332	8361	0,8391	50 °	5	10	15
40 °	0,8391	8421	8451	8481	8511	8541	8571	8601	8632	8662	0,8693	49 °	5	10	15
41 °	8693	8724	8754	8785	8816	8847	8878	8910	8941	8972	9004	48 °	5	10	16
42 °	9004	9036	9067	9099	9131	9163	9195	9228	9260	9293	9325	47 °	6	11	16
43 °	9325	9358	9391	9424	9457	9490	9523	9556	9590	9623	0,9657	46 °	6	11	17
44 °	9657	9691	9725	9759	9793	9827	9861	9896	9930	9965	1,0000	45 °	6	11	17
45 °	1,0000	0035	0070	0105	0141	0176	0212	0247	0283	0319	0355	44 °	6	12	18
46 °	0355	0392	0428	0464	0501	0538	0575	0612	0649	0686	0724	43 °	6	12	18
47 °	0724	0761	0799	0837	0875	0913	0951	0990	1028	1067	1106	42 °	6	13	19
48 °	1106	1145	1184	1224	1263	1303	1343	1383	1423	1463	1504	41 °	7	13	20
49 °	1504	1544	1585	1626	1667	1708	1750	1792	1833	1875	1,1918	40 °	7	14	21
50 °	1,1918	1960	2002	2045	2088	2131	2174	2218	2261	2305	2349	39 °	7	14	22
51 °	2349	2393	2437	2482	2527	2572	2617	2662	2708	2753	2799	38 °	8	15	23
52 °	2799	2846	2892	2938	2985	3032	3079	3127	3175	3222	3270	37 °	8	16	24
53 °	3270	3319	3367	3416	3465	3514	3564	3613	3663	3713	3764	36 °	8	16	25
54 °	3764	3814	3865	3916	3968	4019	4071	4124	4176	4229	1,4281	35 °	9	17	26
55 °	1,4281	4335	4388	4442	4496	4550	4605	4659	4715	4770	4826	34 °	9	18	27
56 °	4826	4882	4938	4994	5051	5108	5166	5224	5282	5340	5399	33 °	10	19	29
57 °	5399	5458	5517	5577	5637	5697	5757	5818	5880	5941	6003	32 °	10	20	30
58 °	6003	6066	6128	6191	6255	6319	6383	6447	6512	6577	6643	31 °	11	21	32
59 °	6643	6709	6775	6842	6909	6977	7045	7113	7182	7251	1,7321	30 °	11	23	34
60 °	1,732	1,739	1,746	1,753	1,760	1,767	1,775	1,782	1,789	1,797	1 804	29 °	1	2	4
61 °	1 804	1811	1819	1827	1834	1842	1849	1857	1865	1873	1881	28 °	1	3	4
62 °	1881	1889	1897	1 905	1 913	1 921	1 929	1 937	1 946	1 954	1 963	27 °	1	3	4
63 °	1 963	1 971	1,980	1 988	1,997	2 006	2,014	2,023	2,032	2,041	2,05	26 °	1	3	4
64 °	2,050	2,059	2,069	2,078	2,087	2,097	2,106	2,116	2,125	2,135	2,145	25 °	2	3	5
65 °	2,145	2 154	2 164	2 174	2 184	2 194	2 204	2,215	2,225	2,236	2,246	24 °	2	3	5
66 °	2,246	2,257	2,267	2,278	2,289	2,3	2,311	2,322	2,333	2,344	2,356	23 °	2	4	5
67 °	2,356	2,367	2,379	2,391	2,402	2,414	2,426	2,438	2,450	2,463	2,475	22 °	2	4	6
68 °	2,475	2,488	2,5	2,513	2,526	2,539	2,552	2,565	2,578	2,592	2 605	21 °	2	4	6
69 °	2 605	2,619	2,633	2 646	2,66	2,675	2,689	2 703	2,718	2,733	2 747	20 °	2	5	7
70 °	2 747	2,762	2,778	2 793	2 808	2 824	2 840	2,856	2 872	2 888	2 904	19 °	3	5	8
71 °	2 904	2 921	2 937	2,954	2,971	2,989	3 006	3 024	3 042	3,06	3 078	18 °	3	6	9
72 °	3 078	3 096	3,115	3,133	3,152	3 172	3,191	3 211	3,230	3 251	3 271	17 °	3	6	10
73 °	3 271	3 291	3,312	3 333	3 354	3 376							3	7	10
							3 398	3,42	3 442	3,465	3 487	16 °	4	7	11
74 °	3 487	3,511	3,534	3,558	3,582	3 606							4	8	12
							3,630	3 655	3 681	3,706	3,732	15 °	4	8	13
75 °	3,732	3,758	3,785	3 812	3 839	3 867							4	9	13
							3 895	3 923	3 952	3,981	4 011	14 °	5	10	14
тг	60 ‘	54 ‘	48 ‘	42 ‘	36 ‘	30 ‘	24 ‘	18 ‘	12 ‘	6 ‘	0 ‘	CTG	1 ‘	2 ‘	3 ‘

PinkMonkey.

com-Trigonometry Study Guide — 2.4 Таблицы тригонометрической функции

2.4 Таблицы тригонометрической функции

При решении задач с использованием тригонометрических функций, либо задан угол, и необходимо найти значение t-функции, либо дано значение t-функции и должен быть найден угол.

Эти два процесса противоположны друг другу. Таким образом, обратные обозначения используются для выражения ангела через значения t-функций.Для мгновенного cos a = 0,5 можно представить в виде a = cos ^{-1 (-0,5) или a = Arc cos (- 0,5). Два выражения читаются как Альфа, равная ‘Обратный cos (-0,5), или Альфа, равная в Arc cos (- 0,5).}

Обе эти операции можно выполнить либо с помощью калькулятор или с помощью тригонометрической таблицы. Это явно должно быть отметил, что и калькулятор, и таблица дают только приблизительные ответы.Даже в этом случае мы используем знак равенства (=), но правильнее использовать приближение знак (») приветствуется. Приблизительный значения функций острых углов приведены в Таблицах Натуральный тригонометрический функций . Мы будем использовать тригонометрический таблица, дающая значения до четырех знаков после запятой. Как ясно, что Таблицы не могут перечислить все углы. Следовательно, приближение должно быть используется для поиска значений между приведенными в таблице.Этот способ называется Линейная интерполяция .

Предположение : Различия в функциональных значениях прямо пропорциональны Различия в измерениях угла на очень небольшом интервале.

Осторожно: Это не настоящий правда ! Тем не менее, это дает лучший ответ, чем просто поиск ближайшего значение в таблице.

Рисунок 1

Использование линейной интерполяции Найдите sin (24 ⁰ 43 ‘), учитывая, что sin (24 ⁰ 40′) = 0,4173 и sin (24 ⁰ 50 ‘) = 0,4200

Решение

У нас грех (24 ⁰ 50 ‘) = 0,4200
и sin (24 ⁰ 40 ‘) = 0,4173
Разница для 10 ‘= 0.0027

Из-за сделанного предположения, если x — разность для требуемых 3 ‘имеем соотношение

\ х = 0,3 (0,0027) = 0,00081 »0,0008 (округлено до 4 знаков после запятой)
Таким образом, грех (24 ⁰ 40 ‘) = грех (24 ⁰ 40′) + грех (0,3 ‘) угол увеличивается с увеличением его синуса угла и наоборот.
Таким образом, sin (24 ⁰ 43 ‘) = 0.4173 + 0,0008 = 0. 4181

Иллюстрация 2

Найдите cos (64 ⁰ 26 ‘), учитывая, что cos (64 ⁰ 20 ‘) = 0,4331 и cos (64 ⁰ 30′) = 0,4305

Решение

У нас есть cos (64 ⁰ 30 ‘) = 0.4331
cos (64 ⁰ 20 ‘) = 0,4305

\ Табличная разница для 10 ‘= 0,0026

\ Требуемая разница для 6 ‘= (Если х)

\ х = 0,6 (0,0026) = 0,00156 или 0,0016 (104 десятичных знака)

По мере увеличения угла косинус угла уменьшается. Таким образом, cos (64 ⁰ 26 ‘) = 0.4331 — 0,0016

= 0,4315.

Рисунок 3

Найдите tan (28,43) ⁰ , учитывая, что tan (28,40) ⁰ = 0,5407 и загар (28,50) ⁰ = 0,5430

Решение

=

При увеличении угла тангенс угла также увеличивается.
Таким образом, tan (28.43) ⁰ = 0,5407 + 0,0007 = 0,5414

Рисунок 4
Решите прямоугольный треугольник, в котором a = 24,36 Ð A = 58 ⁰ 53 ‘.

Решение

В прямоугольном треугольнике ABC
A + B + C = 180 ⁰
\ 58 ⁰ 53 ‘+ B + C = 180 ⁰ , учитывая, что C = 90 ⁰
\ B = 90 ⁰ -58 ⁰ 53 ‘ = 31 ⁰ 7 ‘
Используя формулы для t-соотношений,
b / a = детская кроватка A, b = детская кроватка A = 24. 36 (0,6036) = 14,70 (\ детская кроватка A = 0.6036)
c / a = csc A, c = a csc A = 24,36 (1,1681) = 28,45
a / c = sin A, c = a / sin A = 24,36 / 0,8562 = 28,45
b / c = cos A, b = c cos A = 28,45 (0,5168) = 14,70

Примечание: Чтобы сэкономить время, подумайте Иллюстрация 1
Шаг (1) sin (24 ⁰ 41 ‘) = 0,4173, берем всего 4173
(2) Найдите мысленно табличную разницу 27 между 4200 (для греха 24 ⁰ 40 ‘) и 4173 (для sin 24 ⁰ 40′)
(3) Разница для 3 ‘= 0.3 (27) = 8,1 (округлено).
(4) Добавьте (с синуса) к 4178, чтобы получить 4181, затем sin 24 ⁰ 31 ‘= 0,4181.

Рисунок 5
Найдите угол A, учитывая, что sin A = 0,4234

Решение
Мы не найдем эту запись в таблице.
Однако 0,4226 = грех 25 ⁰ 0 ‘
0.4253 = грех 25 ⁰ 10 ‘
Табличная разница = 0,0027
Теперь 0,4226 = грех 25,0 ‘
0,4234 = грех A
0,0008 = частичная разница
исправление = (ближайшая минута)
Сложив (начиная с синуса) поправка будет A = 25 ⁰ 0 ‘+ 3’ = 25 ⁰ 3 ‘

Рисунок 6
Найдите A, учитывая, что детская кроватка A = 0.6345

Решение
Имеем 0,6330 = кроватка 57 ⁰ 40 ‘(из таблицы)
0,6371 = детская кроватка 57 ⁰ 30 ‘
Табличный diff. = 0,0041
Теперь 0,6330 = детская кроватка 57 ⁰ 40 ‘
0,6345 = детская кроватка A
Частичная разница. = 0,0015
Исправление = (ближайшая минута)
вычитая (с кроватки), поправка равна A = 57 ⁰ 40 ‘ — 4 ‘= 57 ⁰ 36′.

Примечание: Сохранение времени как — (См. Иллюстрацию 5)
Шаг (1) Найдите следующую меньшую запись, 0,4226 = sin 25 ⁰ 0 ‘. Используйте только 4226.
(2) Найдите табличную разницу. (мысленно), 27.
(3) Найдите частичную разницу. (мысленно), 8 между 4226 и 4234.
(4) Найти (10 ‘) = 3’ и прибавляем (начиная с синуса), чтобы получить A = 25 ⁰ 3 ‘
Зафиксировать в памяти значения t-функций измерения углов 0 ⁰ , 30 ⁰ , 45 ⁰ , 60 ⁰ и 90 ⁰ как следующим образом:

(1) Запишите угол (q) в указанном порядке в 1-м столбце и t-отношения, sin q, cos q, tan q, csc q, sec q, кроватку q в 1-м ряду.
(2) Поместите 0, 1, 2, 3, 4 в столбец sin q. (см. таблицу), затем подставьте 4, 3, 2, 1, 0 в cos q столбец (см. таблицу).
(3) Разделите каждую запись на 4, затем найдите квадратный корень из каждой записи. Это значения соотношений синусов и косинусов углов 0 ⁰ , 30 ⁰ , 45 ⁰ , 60 ⁰ и 90 ⁰
(4) ^{Используйте tan q = q и обратные соотношения для csc q, sec q и детская кроватка q.}

Таким образом, мы имеем

Щелкните здесь, чтобы увеличить

Обратите внимание, что

1. По мере увеличения меры угла значения синусоидальных соотношений увеличивается до 90 ⁰ (п / 2 рад), а затем убывает.
   
2. По мере увеличения меры угла значения косинусных отношений уменьшается до 90 ⁰ (п / 2 рад), а затем увеличивается.
3. По мере увеличения меры угла значения тангенциального отношения неограниченно увеличивается до 90 ⁰ (p / 2 рад), затем бесконечно убывает.
   

Также обратите внимание, что

1. Так как sin ² q + cos2q = 1 имеем | грех д | £ 1 то есть — 1 £ sin q £ 1 и | cos q | 1 фунт стерлингов i.е. — 1 фунт стерлингов cos q £ 1 для всех q. Они называются границами соотношений синусов и косинусов.
   
2. Поскольку csc q = у нас,
   csc q ³ 1 или csc q £ 1 и сек q ³ 1 или сек q £ 1 (численно) для допустимых значений q .
   
3. tan q и кроватка q может принимать все действительные значения q.

Синус

Синус, записываемый как sin⁡ (θ), является одной из шести основных тригонометрических функций.

Определения синусов

Существует два основных способа обсуждения тригонометрических функций: в терминах прямоугольных треугольников и в терминах единичной окружности. Чаще всего вводят определение тригонометрических функций в виде прямоугольного треугольника, за которым следуют их определения в терминах единичной окружности.

Определение прямоугольного треугольника

Для прямоугольного треугольника с острым углом θ значение синуса этого угла определяется как отношение длины противоположной стороны к длине гипотенузы.

Стороны прямоугольного треугольника обозначаются следующим образом:

• Соседний: сторона рядом с θ, которая не является гипотенузой
• Справа: сторона, противоположная θ.
• Гипотенуза: самая длинная сторона треугольника напротив прямого угла.

Пример:

Найдите sin⁡ (θ) для прямоугольного треугольника ниже.

Мы также можем использовать синусоидальную функцию при решении реальных задач, связанных с прямоугольными треугольниками.

Пример:

Пандус для инвалидного кресла должен иметь угол 10 ° и высоту 3 фута. Какова длина пандуса?

Определение единичной окружности

Тригонометрические функции также могут быть определены как значения координат на единичной окружности.Единичный круг — это круг радиуса 1 с центром в начале координат. Определение тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике допускает углы от 0 ° до 90 ° (0 и в радианах). Определение единичного круга позволяет нам расширить область определения тригонометрических функций на все действительные числа. См. Рисунок ниже.

Учитывая точку (x, y) на окружности единичной окружности, мы можем сформировать прямоугольный треугольник, как показано на рисунке. В таком треугольнике гипотенуза — это радиус единичной окружности, или 1.θ — это угол, образованный между начальной стороной угла вдоль оси x и конечной стороной угла, образованного вращением луча по часовой стрелке или против часовой стрелки. Конечная сторона угла — это гипотенуза прямоугольного треугольника и радиус единичной окружности. Следовательно, он всегда имеет длину 1. Таким образом, мы можем использовать определение синуса в прямоугольном треугольнике, чтобы определить, что

означает, что значение y любой точки на окружности единичной окружности равно sin⁡ (θ).

В отличие от определений тригонометрических функций, основанных на прямоугольных треугольниках, это определение работает для любого угла, а не только для острых углов прямоугольных треугольников, если он находится в пределах области sin⁡ (θ). Область определения синус-функции — (-∞, ∞), а ее диапазон — [-1,1].

Значения синусоидальной функции

Существует множество методов, которые можно использовать для определения значения синуса, например, обращение к таблице косинусов, использование калькулятора и аппроксимация с использованием ряда Тейлора для синуса.В большинстве практических случаев нет необходимости вычислять значение синуса вручную, и вам будет предоставлена ​​таблица, калькулятор или другие справочные материалы.

Калькулятор синуса

Ниже приведен калькулятор, позволяющий определить значение синуса угла или угол по значению синуса.

Часто используемые уголки

Хотя мы можем найти значение синуса для любого угла, есть некоторые углы, которые чаще используются в тригонометрии. Ниже приведены 16 часто используемых углов в радианах и градусах, а также координаты их соответствующих точек на единичной окружности.

Приведенный выше рисунок служит справочным материалом для быстрого определения синусов (значение y) и косинусов (значение x) углов, которые обычно используются в тригонометрии. Как видно из рисунка, синус имеет значение 0 при 0 ° и значение 1 при 90 °. Косинус следует противоположному шаблону; это потому, что синус и косинус являются совместными функциями (описанными позже). Другие часто используемые углы — 30 ° (), 45 ° (), 60 ° () и их соответствующие кратные. Значения косинуса и синуса этих углов стоит запомнить в контексте тригонометрии, поскольку они очень часто используются.

Один из способов, который может помочь запомнить эти значения, — это выразить все значения sin (θ) в виде дробей, содержащих квадратный корень. Начиная с 0 ° и до 90 °, sin (0 °) = 0 =. Последующие значения sin (30 °), sin (45 °), sin (60 °) и sin (90 °) следуют шаблону, так что, используя значение sin (0 °) в качестве ссылки, найти значения синуса для последующих углов, мы просто увеличиваем число под знаком корня в числителе на 1, как показано ниже.

Значения синуса от 0 ° до -90 ° следуют той же схеме, за исключением того, что значения являются отрицательными, а не положительными, поскольку синус отрицателен в квадранте IV.Этот шаблон периодически повторяется для соответствующих угловых измерений, и мы можем определить значения sin (θ) на основе положения θ в единичном круге, принимая во внимание знак синуса: синус положительный в квадрантах I и II и отрицательный. в квадрантах III и IV. Аналогичный метод запоминания можно использовать для косинуса. При необходимости обратитесь к странице косинусов.

Знание значений косинуса и синуса для углов в первом квадранте позволяет нам определить их значения для соответствующих углов в остальных квадрантах в координатной плоскости с помощью опорных углов.

Опорные уголки

Базовый угол — это острый угол (<90 °), который можно использовать для обозначения угла любой меры. Любой угол в координатной плоскости имеет опорный угол от 0 ° до 90 °. Это всегда наименьший угол (относительно оси x), который может быть получен с конечной стороны угла. На рисунке ниже показан угол θ и его опорный угол θ '.

Поскольку θ ‘является опорным углом θ, sin both (θ) и sin⁡ (θ’) имеют одинаковое значение.Например, 30 ° — это опорный угол 210 °, и если мы обратимся к единичному кругу, мы увидим, что значения синуса обоих имеют величину 1/2, хотя и имеют разные знаки. Поскольку все углы имеют опорный угол, нам действительно нужно знать только значения sin⁡ (θ) (а также значения других тригонометрических функций) в квадранте I. Все другие соответствующие углы будут иметь значения той же величины, и мы просто нужно обращать внимание на их знаки исходя из квадранта, в котором лежит конечная сторона угла.Ниже приведена таблица, в которой показаны знаки косинуса, синуса и тангенса в каждом квадранте.

	Синус	Косинус	Касательная
Квадрант I	+	+	+
Квадрант II	+						III —	—	+
Квадрант IV	—	+	—

После определения опорного угла мы можем определить значение тригонометрических функций в любом из других квадрантов, применив соответствующий знак их значения для опорного угла.Следующие шаги можно использовать, чтобы найти опорный угол заданного угла, θ:

1. Вычтите 360 ° или 2π из угла столько раз, сколько необходимо (угол должен быть от 0 ° до 360 ° или от 0 до 2π). Если полученный угол составляет от 0 ° до 90 °, это опорный угол.
2. Определите, в каком квадранте лежит конечная сторона угла (начальная сторона угла расположена вдоль положительной оси x).
3. В зависимости от того, в каком квадранте находится крайняя сторона угла, используйте уравнения в таблице ниже, чтобы найти опорный угол.В квадранте I θ ‘= θ.

Квадрант II	Квадрант III	Квадрант IV
θ ‘= 180 ° — θ	θ ‘= θ — 180 °	θ ‘= 360 ° — θ

Пример:

Найдите sin⁡ (120 °).

1. θ уже находится между 0 ° и 360 °
2. 120 ° лежит во втором квадранте
3. 180 ° — 120 ° = 60 °, поэтому опорный угол составляет 60 °

sin⁡ (60 °) =.120 ° находится в квадранте II, а синус положительный во втором квадранте, поэтому:

Пример:

Найдите sin⁡ (690 °).

1. 690 ° — 360 ° = 330 °
2. 330 ° лежит в квадранте IV
3. 360 ° — 330 ° = 30 °, поэтому исходный угол равен 30 °

sin⁡ (30 °) =. 330 ° находится в квадранте IV, где синус отрицательный, поэтому:

Свойства синусоидальной функции

Ниже приводится ряд свойств синусоидальной функции, которые может быть полезно знать при работе с тригонометрическими функциями.

Синус является совместной функцией косинуса

Кофункция — это функция, в которой f (A) = g (B) при условии, что A и B являются дополнительными углами. В контексте косинуса и синуса

sin⁡ (θ) = cos⁡ (90 ° — θ)

cos⁡ (θ) = sin⁡ (90 ° — θ)

Пример:

sin⁡ (60 °) = cos⁡ (90 ° — 60 °) = cos⁡ (30 °)

Ссылаясь на единичный круг, показанный выше, мы можем подставить значения для cos⁡ (30 °) и sin⁡ (60 °) и увидеть, что:

Синус — нечетная функция

Нечетная функция — это функция, в которой -f (x) = f (-x).Он симметричен относительно начала координат. Таким образом,

-грех (θ) = sin⁡ (-θ)

Пример:

-sin⁡ (60 °) = sin⁡ (-60 °)

-sin⁡ (60 °) = sin⁡ (300 °)

Обращаясь к единичной окружности, мы можно увидеть, что sin⁡ (60 °) =, поэтому -sin⁡ (60 °) = и sin⁡ (-60 °) эквивалентно sin⁡ (-60 ° + 360 °) = sin⁡ (300 °), что равно. Это только один пример, но это свойство верно для всех углов.

Синус — периодическая функция

Периодическая функция — это функция f, в которой существует некоторое положительное значение p, такое что

е (х + р) = е (х)

для всех x в области f, p — наименьшее положительное число, для которого f является периодическим, и называется периодом f.

Тригонометрические функции обычно используются для моделирования периодических явлений из-за их периодичности; независимо от того, с какой точки мы начинаем на единичной окружности, если мы пройдем расстояние 2π (360 °) по единичной окружности от этой точки, мы вернемся к нашей начальной точке. Если мы посмотрим на синусоидальную функцию, мы обнаружим, что она повторяется каждые 2π, поэтому 2π — это период синусоидальной функции. Мы можем записать это как:

sin⁡ (θ + 2π) = sin⁡ (θ)

Для учета нескольких полных оборотов это также можно записать как

sin⁡ (θ + 2πn) = sin⁡ (θ)

, где n — целое число.

На рисунке ниже показан пример этой периодичности.

Мы видим это синим цветом. . Если мы прибавим 2π к, мы получим угол, показанный красным,. Как видно на рисунке, несмотря на то, что оба угла имеют разную степень вращения, их конечные стороны абсолютно одинаковы, что означает, что. Мы могли бы добавить еще 2π, и все равно оно будет иметь такое же значение синуса, как. Такова природа периодических функций. называются концевыми углами; это углы с одинаковой начальной и конечной сторонами, но с разными поворотами.

Примеры:

1.

2.

График синусоиды

График синуса является периодическим, что означает, что он повторяется бесконечно и имеет область значений -∞

Если бесконечно повторять эту часть y = sin inde (x) слева и справа, то получится полный график синуса.Ниже приведен график, показывающий четыре периода синусоидальной функции в интервале [-4π, 4π].

На этом графике мы видим, что y = sin⁡ (x) демонстрирует симметрию относительно начала координат; если график отражается относительно начала координат, он создает зеркальное отображение. Это подтверждает, что синус — нечетная функция, поскольку -sin⁡ (x) = sin⁡ (-x).

Общее синусоидальное уравнение

Общий вид синусоидальной функции

y = A · sin (B (x — C)) + D

где A, B, C и D — константы.Чтобы иметь возможность изобразить синусоидальное уравнение в общем виде, нам нужно сначала понять, как каждая из констант влияет на исходный график y = sin⁡ (x), как показано выше. Чтобы применить все, что написано ниже, уравнение должно иметь форму, указанную выше; будьте осторожны со знаками.

A — амплитуда функции; высота от центра графика до максимума или минимума. В y = sin⁡ (x) центром является ось x, а амплитуда равна 1, или A = 1, поэтому самая высокая и самая низкая точки, которых достигает график, равны 1 и -1, диапазон sin⁡ (x ).

По сравнению с y = sin⁡ (x), показанным ниже фиолетовым цветом, функция y = 2 sin⁡ (x) (красный) имеет амплитуду, в два раза превышающую амплитуду исходного синусоидального графика.

B — используется для определения периода функции; период функции — это расстояние от пика до пика (или любой точки на графике до следующей совпадающей точки) и может быть найден как. В y = sin⁡ (x) период равен 2π. Мы можем подтвердить это, посмотрев на синусоидальный график. Ссылаясь на рисунок выше, мы видим, что форма синусоидального графика между [-2π, 0] эквивалентна форме из [0, 2π], что означает, что он повторяется в интервале 2π; т.е. имеет период 2π.

По сравнению с y = sin⁡ (x), показанным ниже фиолетовым цветом, который имеет период 2π, y = sin⁡ (2x) (красный) имеет период . Это означает, что граф повторяется через каждые π, а не через каждые 2π.

C — фазовый сдвиг функции; фазовый сдвиг определяет, как функция сдвигается по горизонтали. Если C отрицательно, функция сдвигается влево. Если C положительно, функция сдвигается вправо. Остерегайтесь знака; если у нас есть уравнение, то C нет, потому что это уравнение в стандартной форме.Таким образом, мы бы сместили единицы графика влево.

На рисунке ниже показаны y = sin⁡ (x) (фиолетовый) и (красный). Используя один из пиков синусоидального графика в качестве эталона, мы можем увидеть, что пик в точке был смещен влево от своего исходного положения и теперь находится в точке (0,1).

D — вертикальный сдвиг функции; если D положительно, график сдвигается вверх на D единиц, а если он отрицателен, график сдвигается вниз.

По сравнению с y = sin⁡ (x), показанным ниже фиолетовым цветом, с центром на оси x (y = 0), y = sin (x) +5 (красный) с центром на линии y = 5 ( синий).

Объединив все приведенные выше примеры, на рисунке ниже показан график (красный) по сравнению с графиком y = sin⁡ (x) (фиолетовый).

См. Также косинус, тангенс, единичную окружность, тригонометрические функции, тригонометрию.

Значение sin, cos, tan, cot при 0, 30, 45, 60, 90

Последнее обновление: 27 февраля 2019 г., автор: Teachoo

В чем ценность греха 30?

А как насчет cos 0?

а грех 0?

Как мы их запоминаем?

Давайте узнаем, как это сделать.Обсудим, в чем заключаются разные значения sin, cos, tan, cosec, sec, кроватка в 0, 30, 45, 60 и 90 градусов и как их запомнить.

Итак, мы должны заполнить эту таблицу

---

Как найти значения?

Чтобы изучить таблицу, мы должны сначала узнать, как грех, потому что загар относятся к

Мы знаем это

• тангенс θ = sin θ / cosθ
• сек θ = 1 / cos θ
• cosec θ = 1 / sin θ
• детская кроватка θ = 1 / детская кроватка θ

Теперь давайте обсудим разные ценности

За грех

Для запоминания sin 0 °, sin 30 °, sin 45 °, sin 60 ° и sin 90 °

Мы должны научиться этому как

1. грех 0 ° = 0
2. грех 30 ° = 1/2
3. грех 45 ° = 1 / √2
4. грех 60 ° = √3 / 2
5. грех 90 ° = 1

Итак, наш узор будет похож на

0, 1/2, 1 / √2, √3 / 2, 1

---

Для cos

Для запоминания cos 0 °, cos 30 °, cos 45 °, cos 60 ° и cos 90 °

Cos — это противоположность греху.

Мы должны научиться этому как

1. cos 0 ° = sin 90 ° = 1
2. cos 30 ° = sin 60 ° = √3 / 2
3. cos 45 ° = sin 45 ° = 1 / √2
4. cos 60 ° = sin 30 ° = 1/2
5. cos 90 ° = sin 0 ° = 0

Итак, для cos это будет похоже на

1, √3 / 2, 1 / √2, 1/2, 0

-объявление-

---

Для загара

Мы знаем, что tan θ = sin θ / cos θ

Итак, это будет

• tan 0 ° = sin 0 ° / cos 0 ° = 0/1 = 0
• tan 30 ° = sin 30 ° / cos 30 ° = (1/2) / (√3 / 2) = 1 / √3
• tan 45 ° = sin 45 ° / cos 45 ° = (1 / √2) / (1 / √2) = 1
• tan 60 ° = sin 60 ° / cos 60 ° = (√3 / 2) / (1/2) = √3
• tan 90 ° = sin 90 ° / cos 90 ° = 1/0 = не определено = ∞

Итак, для загара это

0, 1 / √3, 1, √3, ∞

-объявление-

---

Для cosec

Мы знаем это

cosec θ = 1 / sin θ

За грех мы знаем

0, 1/2, 1 / √2, √3 / 2, 1

Итак, для cosec это будет

• cosec 0 ° = 1 / sin 0 ° = 1/0 = Не определено = ∞
• cosec 30 ° = 1 / sin 40 ° = 1 / (1/2) = 2
• cosec 45 ° = 1 / sin 45 ° = 1 / (1 / √2) = √2
• cosec 60 ° = 1 / sin 60 ° = 1 / (√3 / 2) = 2 / √3
• cosec 90 ° = 1 / sin 90 ° = 1/1 = 1

Итак, для cosec это

∞, 2, √2, 2 / √3, 1

-объявление-

---

На сек

Мы знаем это

сек θ = 1 / cos θ

Потому что мы знаем

1, √3 / 2, 1 / √2, 1/2, 0

Итак, на секунду это будет

• сек 0 ° = 1 / cos 0 ° = 1/1 = 1
• сек 30 ° = 1 / cos 40 ° = 1 / (√3 / 2) = 2 / √3
• сек 45 ° = 1 / cos 45 ° = 1 / (1 / √2) = √2
• сек 60 ° = 1 / cos 60 ° = 1 / (1/2) = 2
• сек 90 ° = 1 / cos 90 ° = 1/0 = Не определено = ∞

Итак, на секунду это

1, 2 / √3, √2, 2, ∞

-объявление-

---

Для детской кроватки

Мы знаем это

кроватка θ = 1 / tan θ

Что касается загара, мы знаем, что

0, 1 / √3, 1, √3, ∞

Итак, для детской это будет

• детская кроватка 0 ° = 1 / загар 0 ° = 1/0 = Не определено = ∞
• детская кроватка 30 ° = 1 / загар 30 ° = 1 / (1 / √3) = √3
• детская кроватка 45 ° = 1 / тангаж 45 ° = 1/1 = 1
• детская кроватка 60 ° = 1 / тангенс 60 ° = 1 / √3
• детская кроватка 90 ° = 1 / загар 90 ° = 1 / ∞ = 0

Итак, для детской кроватки это

∞, √3, 1, 1 / √3, 0

-объявление-

Итак, наша полная таблица выглядит так

Вы также можете попрактиковаться в вопросах, нажав Следующий.

---

Таблица тригонометрии

Таблица тригонометрии содержит все значения sin, cos, tan для всех углов от 0 до 90 градусов.

Вы также можете скачать его ниже

Радиан	Степень	Синус	Косинус	Касательная	Радиан	Степень	Синус	Косинус	Касательная
0.000	0	0,000	1.000	0,000	0,803	46	0,719	0,695	1.036
0,017	1	0,017	1.000	0,017	0,820	47	0.731	0,682	1.072
0,035	2	0,035	0,999	0,035	0,838	48	0,743	0,669	1.111
0,052	3	0,052	0.999	0,052	0,855	49	0,755	0,656	1.150
0,070	4	0,070	0,998	0,070	0,873	50	0,766	0,643	1.192
0,087	5	0,087	0,996	0,087	0,890	51	0,777	0,629	1,235
0,105	6	0,105	0,995	0,105	0.908	52	0,788	0,616	1,280
0,122	7	0,122	0,993	0,123	0,925	53	0,799	0,602	1,327
0,140	8	0.139	0,990	0,141	0,942	54	0,809	0,588	1,376
0,157	9	0,156	0,988	0,158	0,960	55	0,819	0.574	1,428
0,175	10	0,174	0,985	0,176	0,977	56	0,829	0,559	1,483
0,192	11	0,191	0,982	0.194	0,995	57	0,839	0,545	1,540
0,209	12	0,208	0,978	0,213	1.012	58	0,848	0,530	1.600
0.227	13	0,225	0,974	0,231	1.030	59	0,857	0,515	1,664
0,244	14	0,242	0,970	0,249	1.047	60	0.866	0,500	1,732
0,262	15	0,259	0,966	0,268	1.065	61 год	0,875	0,485	1,804
0,279	16	0,276	0.961	0,287	1.082	62	0,883	0,469	1,881
0,297	17	0,292	0,956	0,306	1.100	63	0,891	0,454	1.963
0,314	18	0,309	0,951	0,325	1.117	64	0,899	0,438	2,050
0,332	19	0,326	0,946	0,344	1.134	65	0,906	0,423	2,145
0,349	20	0,342	0,940	0,364	1.152	66	0,914	0,407	2,246
0,367	21 год	0.358	0,934	0,384	1,169	67	0,921	0,391	2,356
0,384	22	0,375	0,927	0,404	1,187	68	0,927	0.375	2,475
0,401	23	0,391	0,921	0,424	1,204	69	0,934	0,358	2,605
0,419	24	0,407	0,914	0.445	1,222	70	0,940	0,342	2,747
0,436	25	0,423	0,906	0,466	1,239	71	0,946	0,326	2,904
0.454	26	0,438	0,899	0,488	1,257	72	0,951	0,309	3,078
0,471	27	0,454	0,891	0,510	1,274	73	0.956	0,292	3,271
0,489	28 год	0,469	0,883	0,532	1,292	74	0,961	0,276	3,487
0,506	29	0,485	0.875	0,554	1,309	75	0,966	0,259	3,732
0,524	30	0,500	0,866	0,577	1,326	76	0,970	0,242	4.011
0,541	31 год	0,515	0,857	0,601	1,344	77	0,974	0,225	4,331
0,559	32	0,530	0,848	0,625	1.361	78	0,978	0,208	4,705
0,576	33	0,545	0,839	0,649	1,379	79	0,982	0,191	5,145
0,593	34	0.559	0,829	0,675	1,396	80	0,985	0,174	5,671
0,611	35 год	0,574	0,819	0,700	1,414	81 год	0,988	0.156	6,314
0,628	36	0,588	0,809	0,727	1,431	82	0,990	0,139	7,115
0,646	37	0,602	0,799	0.754	1,449	83	0,993	0,122	8,144
0,663	38	0,616	0,788	0,781	1,466	84	0,995	0,105	9,514
0.681	39	0,629	0,777	0,810	1,484	85	0,996	0,087	11,430
0,698	40	0,643	0,766	0,839	1,501	86	0.998	0,070	14.301
0,716	41 год	0,656	0,755	0,869	1,518	87	0,999	0,052	19,081
0,733	42	0,669	0.743	0,900	1,536	88	0,999	0,035	28,636
0,750	43 год	0,682	0,731	0,933	1,553	89	1.000	0,017	57.290
0,768	44 год	0,695	0,719	0,966	1,571	90	1.000	0,000	∞
0,785	45	0,707	0,707	1.000

Скачать в PDF

Что такое единичный круг | StudyPug

Что такое Unit Circle?

В мире исчисления, предварительного исчисления и тригонометрии вы часто встретите ссылки и проблемы, связанные с «единичной окружностью».»Но, как ни странно, нас редко когда учат, что это такое!

Проще говоря, единичная окружность — это математический инструмент, упрощающий использование углов и тригонометрических функций. Понимая и запоминая «единичный круг», мы можем легко справляться с трудностями, которые в противном случае требовали бы вычислений, и значительно облегчили нашу жизнь.

Единичный круг, в его простейшей форме, на самом деле именно то, что он звучит: круг на декартовой плоскости с радиусом ровно 1unit1 unit1unit.Как этот пустой кружок ниже:

Пустая единичная окружность с радиусом 1

Затем, заполнив этот единичный круг обычно используемыми углами и оценив эти углы с помощью синуса и косинуса, мы получим нечто немного более сложное:

Синус и косинус вычисленные углы единичной окружности

Боишься? Не надо. Этот образ может показаться устрашающим, но когда мы разбиваем его на более последовательные части, начинают появляться закономерности.

Единичный круг со всеми 6 функциями триггера Таблица:

Вместо того, чтобы ссылаться на это устрашающее изображение выше, давайте упростим единичный круг с помощью sin⁡cos⁡tan⁡sec⁡csc⁡ \ sin \ cos \ tan \ sec \ cscsincostanseccsc и cot⁡ \ cotcot на красивой маленькой диаграмме:

Схема упрощенной единичной окружности с sin cos tan sec csc и cot

В приведенной выше таблице единичного круга приведены все значения единичного круга для всех 4 квадрантов единичного круга.Как видите, здесь указаны градусы единичной окружности и радианы единичной окружности. Вы должны знать и то, и другое, но, скорее всего, вы будете решать проблемы в радианах. Теперь возникает следующий естественный вопрос: как я могу запомнить единичный круг?

Как запомнить единичный круг:

Запоминание единичной окружности на самом деле намного проще, чем вы думаете, благодаря нескольким маленьким приемам:

Уловка 1:

Из-за следующих 4 уравнений нам нужно запомнить только значения единичной окружности для синуса и косинуса.

tan⁡θ = sin⁡θcos⁡θ, cot⁡θ = cos⁡θsin⁡θ, sec⁡θ = 1cos⁡θ, csc⁡θ = 1sin⁡θ \ tan \ theta = \ frac {\ sin \ theta} {\ cos \ theta}, \ cot \ theta = \ frac {\ cos \ theta} {\ sin \ theta}, \ sec \ theta = \ frac {1} {\ cos \ theta}, \ csc \ theta = \ frac { 1} {\ sin \ theta} tanθ = cosθsinθ, cotθ = sinθcosθ, secθ = cosθ1, cscθ = sinθ1

С этими 4 уравнениями нам даже не нужно запоминать единичную окружность с касательной!

Уловка 2:

Зная, в каких квадрантах x и y положительны, нам нужно только запомнить значения единичного круга для синуса и косинуса в первом квадранте, поскольку значения меняются только по знаку.Чтобы использовать этот трюк, нам нужно сначала понять несколько вещей:

i) Первое, что нужно отметить, это то, какие значения синуса и косинуса дают нам на единичной окружности. Благодаря SOHCAHTOA мы знаем это:

sin⁡θ \ sin \ thetasinθ дает нам координату Y, а cos⁡θ \ cos \ thetacosθ дает нам координату X

ii) Теперь посмотрим на каждый квадрант:

Квадрант 1 : X положительный, Y положительный

Квадрант 2 : X отрицательный, Y положительный

Квадрант 3 : X отрицательный, Y отрицательный

Квадрант 4 : X положительный, Y отрицательный

iii) Далее, посмотрим, где находится каждый квадрант:

Квадрант 1 : 0 — π2 \ frac {\ pi} {2} 2π

Квадрант 2 : π2 − π \ frac {\ pi} {2} — \ pi2π −π

Квадрант 3 : π \ piπ — 3π2 \ frac {3 \ pi} {2} 23π

Квадрант 4 : 3π2−2π \ frac {3 \ pi} {2} — 2 \ pi23π −2π

iv) Значение синуса и косинуса всегда будет «одинаковым» для одного и того же знаменателя:

sin⁡π3 = 32andsin⁡4π3 = −32 \ sin \ frac {\ pi} {3} = \ frac {\ sqrt {3}} {2} и \ sin \ frac {4 \ pi} {3} = — \ frac {\ sqrt {3}} {2} sin3π = 23 и sin34π = −23

С учетом этих приемов процесс запоминания единичного круга становится намного проще!

Как использовать единичный круг:

Лучший способ освоить единичный круг — это попрактиковаться в единичном круге.

Пример 1:

Найдите sin⁡4π3 \ sin \ frac {4 \ pi} {3} sin34π

Шаг 1. Определите квадрант

Поскольку мы имеем дело с синусом, который мы со временем запомним, все, что нам нужно сделать, это выяснить, в каком квадранте мы находимся, чтобы знать, будет ли наш ответ положительным или отрицательным.

Поскольку:

3π2> 4π3> π \ frac {3 \ pi} {2}> \ frac {4 \ pi} {3}> \ pi23π> 34π> π

Таким образом, мы находимся в третьем квадранте.Таким образом, поскольку синус дает нам координату y, и мы находимся в третьем квадранте, наш ответ будет отрицательным!

Шаг 2: Решить

Следующий шаг прост — используя то, что мы запомнили, мы можем легко решить эту задачу.

sin⁡4π3 \ sin \ frac {4 \ pi} {3} sin34π = -32 \ frac {\ sqrt {3}} {2} 23

Пример 2:

Найдите tan⁡π \ tan \ pitanπ

Шаг 1. Определите квадрант

Поскольку мы имеем дело с единичным кругом с загаром, нам нужно будет использовать значения, которые мы запомнили из синуса и косинуса, а затем решить.Однако сначала нам нужно выяснить, в каком квадранте мы находимся, чтобы знать, будут ли наши ответы для синуса и косинуса положительными или отрицательными.

Поскольку:

3π2> π> π2 \ frac {3 \ pi} {2}> \ pi> \ frac {\ pi} {2} 23π> π> 2π

Таким образом, мы находимся между вторым и третьим квадрантами по оси абсцисс. Поскольку синус дает нам координату y, а мы находимся на оси x, наш ответ фактически будет равен нулю! Кроме того, поскольку косинус дает нам координату x, и мы находимся между вторым и третьим квадрантами (где косинус для обоих отрицательный), наш ответ будет отрицательным!

Шаг 2: Решить

Следующий шаг прост — используя то, что мы запомнили, мы можем легко решить эту задачу.Но в этом случае нам понадобится один дополнительный шаг. Мы должны использовать уравнение для касательной, обсуждавшееся ранее в трюке 1 , предполагая, что мы не запомнили значения касательной на единичной окружности.

tan⁡θ = sin⁡θcos⁡θ = 0-1 = 0 \ tan \ theta = \ frac {\ sin \ theta} {\ cos \ theta} = \ frac {0} {- 1} = 0tanθ = cosθsinθ = −10 = 0

Пример 3:

Найдите csc⁡π6 \ csc \ frac {\ pi} {6} csc6π

Шаг 1. Определите квадрант

Поскольку мы имеем дело с косекансом, важно понимать, что нам нужно будет использовать значения синуса для решения с использованием уравнения для косеканса, описанного ранее в уловке 1 .Однако сначала нам нужно выяснить, в каком квадранте мы находимся, чтобы знать, будет ли наш ответ для синуса положительным или отрицательным.

Поскольку:

π2> π6> 0 \ frac {\ pi} {2}> \ frac {\ pi} {6}> 02π> 6π> 0

Таким образом, мы находимся в первом квадранте. Таким образом, поскольку синус дает нам координату y, и мы находимся в первом квадранте, наш ответ будет положительным!

Шаг 2: Решить

Следующий шаг прост — используя то, что мы запомнили, мы можем легко решить эту задачу.Но и в этом случае нам снова нужен один дополнительный шаг. Мы должны использовать уравнение для косеканса, обсуждавшееся ранее в трюке 1 , предполагая, что мы не запомнили значения косеканса на единичной окружности.

csc⁡π6 = 1sin⁡π6 = 10,5 = 2 \ csc \ frac {\ pi} {6} = \ frac {1} {\ sin \ frac {\ pi} {6}} = \ frac {1} {0,5} = 2csc6π = sin6π 1 = 0,51 = 2

Теперь, когда мы немного попрактиковались, займитесь еще немного самостоятельно! В кратчайшие сроки вы будете готовы к любой предстоящей викторине с единичным кругом.

Графики: синус и косинус

Чтобы увидеть, как изображены функции синуса и косинуса, воспользуйтесь калькулятором, компьютером или набором тригонометрических таблиц, чтобы определить значения функций синуса и косинуса для ряда различных степеней ( или радиан) меры (см. таблицу 1).

Затем постройте эти значения и получите основные графики функции синуса и косинуса (рисунок 1).

Рисунок 1
Один период а) синусоидальной функции и б) косинусной функции.

Синус-функция и косинус-функция имеют периоды 2π; поэтому образцы, показанные на рисунке, непрерывно повторяются слева и справа (рисунок 2).

Несколько периодов а) синусоидальной функции и б) косинусной функции.

К функциям синуса и косинуса можно добавить несколько дополнительных членов и множителей, которые изменяют их форму.

Дополнительный член A в функции y = A + sin x допускает вертикальный сдвиг в графике синусоидальных функций. Это также верно для функции косинуса (рисунок 3).

Рисунок 3
Примеры нескольких вертикальных сдвигов синусоидальной функции.

Дополнительный множитель B в функции y = B sin x учитывает амплитуду вариации синусоидальной функции. Амплитуда, | B | — максимальное отклонение от оси x , то есть половина разницы между максимальным и минимальным значениями графика. Это также верно для функции косинуса (рисунок 4).

Рисунок 4
Примеры нескольких амплитуд синусоидальной функции.

Объединение этих цифр дает функции y = A + B sin x , а также y = A + B cos x . Эти две функции имеют минимальных и максимальных значений, как определено следующими формулами. Максимальное значение функции M = A + | B |. Это максимальное значение возникает всякий раз, когда sin x = 1 или cos x = 1. Минимальное значение функции составляет m = A — | B |.Этот минимум возникает всякий раз, когда sin x = -1 или cos x = -1.

Пример 1: Постройте график функции y = 1 + 2 sin x . Какие максимальные и минимальные значения функции?

Максимальное значение — 1 + 2 = 3. Минимальное значение — 1 −2 = -1 (Рисунок 5).

Рисунок 5
Чертеж для примера 1.

Пример 2: Постройте график функции y = 4 + 3 sin x . Какие максимальные и минимальные значения функции?

Максимальное значение 4 + 3 = 7. Минимальное значение 4 — 3 = 1 (Рисунок 6).

Рисунок 6
Чертеж для примера 2.

Дополнительный множитель C в функции y = sin Cx учитывает период изменения (длины цикла) синусоидальной функции.(Это также верно для функции косинуса.) Период функции y = sin Cx равен 2π / | C |. Таким образом, функция y = sin 5 x имеет период 2π / 5. На рисунке 7 показаны дополнительные примеры.

Рисунок 7
Примеры нескольких частот а) синусоидальной функции и б) косинусной функции.

Дополнительный член D в функции y = sin ( x + D ) допускает сдвиг фазы (перемещение графика влево или вправо) на графике синусоидальных функций.(Это также верно для функции косинуса.) Сдвиг фазы равен | D |. Это положительное число. Не имеет значения, будет ли сдвиг влево (если D положительный) или вправо (если D отрицательный). Функция синуса нечетная, а функция косинуса четная. Функция косинуса выглядит точно так же, как функция синуса, за исключением того, что она сдвинута на π / 2 единицы влево (рисунок 8). Другими словами,

Рисунок 8
Примеры нескольких фазовых сдвигов синусоидальной функции.

Пример 3: Каковы амплитуда, период, фазовый сдвиг, максимальное и минимальное значения

y = 3 + 2 sin (3 x -2)

y = 4 cos2π x

Пример 4: Нарисуйте график y = cosπ x .

Поскольку cos x имеет период 2π, cos π x имеет период 2 (рисунок 9).

Рисунок 9
Рисунок для примера 4.

Пример 5: Нарисуйте график y = 3 cos (2x + π / 2).

Поскольку cos x имеет период 2π, cos 2x имеет период π (рисунок 10).

Рисунок 10
Рисунок для примера 5.

График функции y = — f ( x ) находится путем отражения графика функции y = f ( x ) относительно оси x . Таким образом, рисунок может также представлять график y = −3 sin 2 x .