Значений sin таблица: Таблица синусов, таблица значений синусов, в помощь студентам таблица синусов.

Содержание

Таблица синусов, таблица значений синусов, в помощь студентам таблица синусов.

Содержание:

Таблица синусов - это посчитанные значения синусов от 0° до 360°. Когда нет рядом калькулятора таблица синусов просто незаменима. Для того, чтобы узнать чему равен синус от нужного Вам угла достаточно найти его в таблице и все. Таблица синусов - это основно материал тригонометрии, который необходимо знать или, как минимум, понимать. Пользуйтесь на здоровье таблицей значений синусов. Если Вы изучаете тригонометрические функции Вам может понадобиться перечень тригонометрических формулы.


Таблица синусов 0° - 180°


Sin(1°) 0.0175
Sin(2°) 0.0349
Sin(3°) 0.0523
Sin(4°) 0.0698
Sin(5°) 0.0872
Sin(6°) 0.1045
Sin(7°) 0.1219
Sin(8°) 0. 1392
Sin(9°) 0.1564
Sin(10°) 0.1736
Sin(11°) 0.1908
Sin(12°) 0.2079
Sin(13°) 0.225
Sin(14°) 0.2419
Sin(15°) 0.2588
Sin(16°) 0.2756
Sin(17°) 0.2924
Sin(18°) 0.309
Sin(19°) 0.3256
Sin(20°) 0.342
Sin(21°) 0.3584
Sin(22°) 0.3746
Sin(23°) 0.3907
Sin(24°) 0.4067
Sin(25°) 0.4226
Sin(26°) 0.4384
Sin(27°) 0.454
Sin(28°) 0.4695
Sin(29°) 0.4848
Sin(30°) 0.5
Sin(31°) 0.515
Sin(32°) 0. 5299
Sin(33°) 0.5446
Sin(34°) 0.5592
Sin(35°) 0.5736
Sin(36°) 0.5878
Sin(37°) 0.6018
Sin(38°) 0.6157
Sin(39°) 0.6293
Sin(40°) 0.6428
Sin(41°) 0.6561
Sin(42°) 0.6691
Sin(43°) 0.682
Sin(44°) 0.6947
Sin(45°) 0.7071
Sin(46°) 0.7193
Sin(47°) 0.7314
Sin(48°) 0.7431
Sin(49°) 0.7547
Sin(50°) 0.766
Sin(51°) 0.7771
Sin(52°) 0.788
Sin(53°) 0.7986
Sin(54°) 0.809
Sin(55°) 0. 8192
Sin(56°) 0.829
Sin(57°) 0.8387
Sin(58°) 0.848
Sin(59°) 0.8572
Sin(60°) 0.866
Sin(61°) 0.8746
Sin(62°) 0.8829
Sin(63°) 0.891
Sin(64°) 0.8988
Sin(65°) 0.9063
Sin(66°) 0.9135
Sin(67°) 0.9205
Sin(68°) 0.9272
Sin(69°) 0.9336
Sin(70°) 0.9397
Sin(71°) 0.9455
Sin(72°) 0.9511
Sin(73°) 0.9563
Sin(74°) 0.9613
Sin(75°) 0.9659
Sin(76°) 0.9703
Sin(77°) 0.9744
Sin(78°) 0.9781
Sin(79°) 0. 9816
Sin(80°) 0.9848
Sin(81°) 0.9877
Sin(82°) 0.9903
Sin(83°) 0.9925
Sin(84°) 0.9945
Sin(85°) 0.9962
Sin(86°) 0.9976
Sin(87°) 0.9986
Sin(88°) 0.9994
Sin(89°) 0.9998
Sin(90°) 1
Sin(91°) 0.9998
Sin(92°) 0.9994
Sin(93°) 0.9986
Sin(94°) 0.9976
Sin(95°) 0.9962
Sin(96°) 0.9945
Sin(97°) 0.9925
Sin(98°) 0.9903
Sin(99°) 0.9877
Sin(100°) 0.9848
Sin(101°) 0.9816
Sin(102°) 0. 9781
Sin(103°) 0.9744
Sin(104°) 0.9703
Sin(105°) 0.9659
Sin(106°) 0.9613
Sin(107°) 0.9563
Sin(108°) 0.9511
Sin(109°) 0.9455
Sin(110°) 0.9397
Sin(111°) 0.9336
Sin(112°) 0.9272
Sin(113°) 0.9205
Sin(114°) 0.9135
Sin(115°) 0.9063
Sin(116°) 0.8988
Sin(117°) 0.891
Sin(118°) 0.8829
Sin(119°) 0.8746
Sin(120°) 0.866
Sin(121°) 0.8572
Sin(122°) 0.848
Sin(123°) 0.8387
Sin(124°) 0.829
Sin(125°) 0. 8192
Sin(126°) 0.809
Sin(127°) 0.7986
Sin(128°) 0.788
Sin(129°) 0.7771
Sin(130°) 0.766
Sin(131°) 0.7547
Sin(132°) 0.7431
Sin(133°) 0.7314
Sin(134°) 0.7193
Sin(135°) 0.7071
Sin(136°) 0.6947
Sin(137°) 0.682
Sin(138°) 0.6691
Sin(139°) 0.6561
Sin(140°) 0.6428
Sin(141°) 0.6293
Sin(142°) 0.6157
Sin(143°) 0.6018
Sin(144°) 0.5878
Sin(145°) 0.5736
Sin(146°) 0.5592
Sin(147°) 0.5446
Sin(148°) 0. 5299
Sin(149°) 0.515
Sin(150°) 0.5
Sin(151°) 0.4848
Sin(152°) 0.4695
Sin(153°) 0.454
Sin(154°) 0.4384
Sin(155°) 0.4226
Sin(156°) 0.4067
Sin(157°) 0.3907
Sin(158°) 0.3746
Sin(159°) 0.3584
Sin(160°) 0.342
Sin(161°) 0.3256
Sin(162°) 0.309
Sin(163°) 0.2924
Sin(164°) 0.2756
Sin(165°) 0.2588
Sin(166°) 0.2419
Sin(167°) 0.225
Sin(168°) 0.2079
Sin(169°) 0.1908
Sin(170°) 0.1736
Sin(171°) 0. 1564
Sin(172°) 0.1392
Sin(173°) 0.1219
Sin(174°) 0.1045
Sin(175°) 0.0872
Sin(176°) 0.0698
Sin(177°) 0.0523
Sin(178°) 0.0349
Sin(179°) 0.0175
Sin(180°) 0

Таблица синусов 180° - 360°


Sin(181°) -0.0175
Sin(182°) -0.0349
Sin(183°) -0.0523
Sin(184°) -0.0698
Sin(185°) -0.0872
Sin(186°) -0.1045
Sin(187°) -0.1219
Sin(188°) -0.1392
Sin(189°) -0.1564
Sin(190°) -0.1736
Sin(191°) -0.1908
Sin(192°) -0. 2079
Sin(193°) -0.225
Sin(194°) -0.2419
Sin(195°) -0.2588
Sin(196°) -0.2756
Sin(197°) -0.2924
Sin(198°) -0.309
Sin(199°) -0.3256
Sin(200°) -0.342
Sin(201°) -0.3584
Sin(202°) -0.3746
Sin(203°) -0.3907
Sin(204°) -0.4067
Sin(205°) -0.4226
Sin(206°) -0.4384
Sin(207°) -0.454
Sin(208°) -0.4695
Sin(209°) -0.4848
Sin(210°) -0.5
Sin(211°) -0.515
Sin(212°) -0.5299
Sin(213°) -0.5446
Sin(214°) -0.5592
Sin(215°) -0. 5736
Sin(216°) -0.5878
Sin(217°) -0.6018
Sin(218°) -0.6157
Sin(219°) -0.6293
Sin(220°) -0.6428
Sin(221°) -0.6561
Sin(222°) -0.6691
Sin(223°) -0.682
Sin(224°) -0.6947
Sin(225°) -0.7071
Sin(226°) -0.7193
Sin(227°) -0.7314
Sin(228°) -0.7431
Sin(229°) -0.7547
Sin(230°) -0.766
Sin(231°) -0.7771
Sin(232°)
-0.788
Sin(233°) -0.7986
Sin(234°) -0.809
Sin(235°) -0.8192
Sin(236°) -0.829
Sin(237°) -0. 8387
Sin(238°) -0.848
Sin(239°) -0.8572
Sin(240°) -0.866
Sin(241°) -0.8746
Sin(242°) -0.8829
Sin(243°) -0.891
Sin(244°) -0.8988
Sin(245°) -0.9063
Sin(246°) -0.9135
Sin(247°) -0.9205
Sin(248°) -0.9272
Sin(249°) -0.9336
Sin(250°) -0.9397
Sin(251°) -0.9455
Sin(252°) -0.9511
Sin(253°) -0.9563
Sin(254°) -0.9613
Sin(255°) -0.9659
Sin(256°) -0.9703
Sin(257°) -0.9744
Sin(258°) -0.9781
Sin(259°) -0.9816
Sin(260°) -0. 9848
Sin(261°) -0.9877
Sin(262°) -0.9903
Sin(263°) -0.9925
Sin(264°) -0.9945
Sin(265°) -0.9962
Sin(266°) -0.9976
Sin(267°) -0.9986
Sin(268°) -0.9994
Sin(269°) -0.9998
Sin(270°) -1
Sin(271°) -0.9998
Sin(272°) -0.9994
Sin(273°) -0.9986
Sin(274°) -0.9976
Sin(275°) -0.9962
Sin(276°) -0.9945
Sin(277°) -0.9925
Sin(278°) -0.9903
Sin(279°) -0.9877
Sin(280°) -0.9848
Sin(281°) -0.9816
Sin(282°) -0. 9781
Sin(283°) -0.9744
Sin(284°) -0.9703
Sin(285°) -0.9659
Sin(286°) -0.9613
Sin(287°) -0.9563
Sin(288°) -0.9511
Sin(289°) -0.9455
Sin(290°) -0.9397
Sin(291°) -0.9336
Sin(292°) -0.9272
Sin(293°) -0.9205
Sin(294°) -0.9135
Sin(295°) -0.9063
Sin(296°) -0.8988
Sin(297°) -0.891
Sin(298°) -0.8829
Sin(299°) -0.8746
Sin(300°) -0.866
Sin(301°) -0.8572
Sin(302°) -0.848
Sin(303°) -0.8387
Sin(304°) -0.829
Sin(305°) -0. 8192
Sin(306°) -0.809
Sin(307°) -0.7986
Sin(308°) -0.788
Sin(309°) -0.7771
Sin(310°) -0.766
Sin(311°) -0.7547
Sin(312°) -0.7431
Sin(313°) -0.7314
Sin(314°) -0.7193
Sin(315°) -0.7071
Sin(316°) -0.6947
Sin(317°) -0.682
Sin(318°) -0.6691
Sin(319°) -0.6561
Sin(320°) -0.6428
Sin(321°) -0.6293
Sin(322°) -0.6157
Sin(323°) -0.6018
Sin(324°) -0.5878
Sin(325°) -0.5736
Sin(326°) -0.5592
Sin(327°) -0. 5446
Sin(328°) -0.5299
Sin(329°) -0.515
Sin(330°) -0.5
Sin(331°) -0.4848
Sin(332°) -0.4695
Sin(333°) -0.454
Sin(334°) -0.4384
Sin(335°) -0.4226
Sin(336°) -0.4067
Sin(337°) -0.3907
Sin(338°) -0.3746
Sin(339°) -0.3584
Sin(340°) -0.342
Sin(341°) -0.3256
Sin(342°) -0.309
Sin(343°) -0.2924
Sin(344°) -0.2756
Sin(345°) -0.2588
Sin(346°) -0.2419
Sin(347°) -0.225
Sin(348°) -0.2079
Sin(349°) -0.1908
Sin(350°) -0. 1736
Sin(351°) -0.1564
Sin(352°) -0.1392
Sin(353°) -0.1219
Sin(354°) -0.1045
Sin(355°) -0.0872
Sin(356°) -0.0698
Sin(357°) -0.0523
Sin(358°) -0.0349
Sin(359°) -0.0175
Sin(360°) -0

На нашем сайте представлено много теоретического материала по тригонометрии. Здесь Вы можете найти таблицы тригонометрических функций: таблицу синусов, таблицу косинусов, таблицу тангенсов и таблицу котангенсов. Также специально для улучшения понимания материала по тригонометрии мы добавили тригонометрические формулы, чтобы решение тригонометрических задач по математике вызывало меньше затруднений. Пользуйтесь нашим сайтом и таблицей синусов на здоровье.

Слишком сложно?

Таблица синусов, таблица значений синусов не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Тригонометрическая таблица

В статье, мы полностью разберемся, как выглядит таблица тригонометрических значений, синуса, косинуса, тангенса и котангенса . Рассмотрим основное значение тригонометрических функций, от угла в 0,30,45,60,90,...,360 градусов. И посмотрим как пользоваться данными таблицами в вычислении значения тригонометрических функций.
Первой рассмотрим таблицу косинуса, синуса, тангенса и котангенса от угла в 0, 30, 45, 60, 90,.. градусов. Определение данных величин дают определить значение функций углов в 0 и 90 градусов:

sin 00=0, cos 00 = 1. tg 00 = 0, котангенс от 00 будет неопределенным
sin 900 = 1, cos 900 =0, ctg900 = 0,тангенс от 900 будет неопределенным

Если взять прямоугольные треугольники углы которых от 30 до 90 градусов. Получим:

sin 300 = 1/2, cos 300 = √3/2, tg 300 = √3/3, ctg 300 = √3
sin 450 = √2/2, cos 450 = √2/2, tg 450= 1, ctg 450 = 1
sin 600 = √3/2, cos 600 = 1/2, tg 600 =√3 , ctg 600 = √3/3

Изобразим все полученные значения в виде тригонометрической таблицы:


Таблица синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов!

Если использовать формулу приведения, наша таблица увеличится, добавятся значения для углов до 360 градусов. Выглядеть она будет как:

Так же исходя из свойств периодичности таблицу можно увеличить, если заменим углы на 00+3600*z .... 3300+3600*z, в котором z является целым числом. В данной таблице возможно вычислить значение всех углов, соответствующими точками в единой окружности.

Разберем наглядно как использовать таблицу в решении.
Все очень прост. Так как нужное нам значение лежит в точке пересечения нужных нам ячеек. К примеру возьмем cos угла 60 градусов, в таблице это будет выглядеть как:

В итоговой таблице основных значений тригонометрических функций, действуем так же. Но в данной таблице возможно узнать сколько составит тангенс от угла в 1020 градусов, он = -√3 Проверим 10200 = 3000+3600*2. Найдем по таблице.

Для более поиска тригонометрических значений углов с точностью до минут используются таблицы Брадиса. Подробная инструкция как ими пользоваться на странице по ссылке.

Таблица Брадиса. Для синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Таблицы Брадиса поделены на несколько частей, состоят из таблиц косинуса и синуса, тангенса и котангенса - которая поделена на две части (tg угла до 90 градусов и ctg малых углов).

Синус и косинус

tg угла начиная с 00 заканчивая 760, ctg угла начиная с 140 заканчивая 900.

tg до 900 и ctg малых углов.

Разберемся как пользоваться таблицами Брадиса в решении задач.

Найдем обозначение sin (обозначение в столбце с левого края) 42 минут (обозначение находится на верхней строчке). Путем пересечения ищем обозначение, оно = 0,3040.


Величины минут указаны с промежутком в шесть минут, как быть если нужное нам значение попадет именно в этот промежуток. Возьмем 44 минуты, а в таблице есть только 42. Берем за основу 42 и воспользуемся добавочными столбцами в правой стороне, берем 2 поправку и добавляем к 0,3040 + 0,0006 получаем 0,3046.

При sin 47 мин, берем за основу 48 мин и отнимаем от нее 1 поправку, т.е 0,3057 - 0,0003 = 0,3054

При вычислении cos работаем аналогично sin только за основу берем нижнюю строку таблицы. К примеру cos 200 = 0.9397

Значения tg угла до 900 и cot малого угла, верны и поправок в них нет. К примеру, найти tg 780 37мин = 4,967

а ctg 200 13мин = 25,83

Ну вот мы и рассмотрели основные тригонометрические таблицы. Надеемся это информация была для вас крайне полезной. Свои вопросы по таблицам, если они появились, обязательно пишите в комментариях!

Заметка: Стеновые отбойники - отбойная доска для защиты стен (http://www.spi-polymer.ru/otboyniki/)


Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:

Таблица значений синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов

В этих таблицах приведены значения синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов, которые наиболее часто употребляются в математических задачах из программы средней школы (для углов 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°). Для вычисления значений тригонометрических функций других углов можно воспользоваться онлайн-калькуляторами синусов и косинусов и тангенсов и котангенсов. В этих калькуляторах можно указывать для расчета, в том числе, отрицательные углы (

Таблица углов от 0 до 179 градусов

Угол Sin Cos Tg Ctg
0 0 1 0
30 1/2 √3/2 1/√3 √3
45 1/√2 1/√2 1 1
60 √3/2 1/2 √3 1/√3
90 1 0 0
120 √3/2 -1/2 -√3 -1/√3
135 1/√2 -1/√2 -1 -1
150 1/2 -√3/2 -1/√3 -√3

Таблица углов от 180 до 359 градусов

Угол Sin Cos Tg Ctg
180 0 -1 0
210 -1/2 -√3/2 1/√3 √3
225 -1/√2 -1/√2 1 1
240 -√3/2 -1/2 √3 1/√3
270 -1 0 0
300 -√3/2 1/2 -√3 -1/√3
315 -1/√2 1/√2 -1 -1
330 -1/2 √3/2 -1/√3 -√3

Поделитесь информацией с друзьями

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике - Тригонометрия

Таблица значений тригонометрических функций


часто используемых углов
I   четверть
α (рад):   0,   – 2π
α (град): 0°,   – 360°
sin α0
cos α1
tg α0
ctg αне существует
α (рад):   ,   
α (град): 30°,   – 330°
sin α
cos α
tg α
ctg α
α (рад):   ,   
α (град): 45°,   – 315°
sin α
cos α
tg α1
ctg α1
α (рад):   ,   
α (град): 60°,   – 300°
sin α
cos α
tg α
ctg α
α (рад):   ,   
α (град): 90°,   – 270°
sin α1
cos α0
tg αне существует
ctg α0
II  четверть
α (рад):   ,   
α (град): 120°,   – 240°
sin α
cos α
tg α
ctg α
α (рад):   ,   
α (град): 135°,   – 225°
sin α
cos α
tg α– 1
ctg α– 1
α (рад):   ,   
α (град): 150°,   – 210°
sin α
cos α
tg α
ctg α
α (рад):   π,   – π
α (град): 180°,   – 180°
sin α 0
cos α– 1
tg α0
ctg αне существует
III  четверть
α (рад):   ,   
α (град): 210°,   – 150°
sin α
cos α
tg α
ctg α
α (рад):   ,   
α (град): 225°,   – 135°
sin α
cos α
tg α1
ctg α1
α (рад):   ,   
α (град): 240°,   –120°
sin α
cos α
tg α
ctg α
α (рад):   ,  
α (град): 270°,   – 90°
sin α– 1
cos α0
tg αне существует
ctg α0
IV  четверть
α (рад):   ,   
α (град): 300°,   – 60°
sin α
cos α
tg α
ctg α
α (рад):   ,   
α (град): 315°,   – 45°
sin α
cos α
tg α– 1
ctg α– 1
α (рад):   ,   
α (град): 330°,   –30°
sin α
cos α
tg α
ctg α
α (рад):   2π,  0
α (град): 360°,   0°
sin α0
cos α1
tg α0
ctg αне существует

Примеры вычисления значений тригонометрических функций

      Пример 1. Найти    sin 15°.

      Решение. Воспользовавшись формулой «Синус разности», получаем:

      Пример 2. Найти    cos 22,5°.

      Решение. Воспользовавшись формулой «Косинус двойного угла», получаем:

      Пример 3. Найти    sin 18°.

      Решение. Поскольку

то, с помощью формул «Синус тройного угла» и «Косинус двойного угла», отсюда получаем:

      Теперь, если ввести обозначение

sin 18° = t ,

то возникает кубическое уравнение

4t3 – 2t2 – 3t + 1 = 0 .

      Решим это уравнение, раскладывая его левую часть на множители:

      Поскольку

0 < sin 18° < 1 ,

то первый и второй корни должны быть отброшены. Следовательно,

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

Таблица значений син кос

В этой статье собраны таблицы синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов. Сначала мы приведем таблицу основных значений тригонометрических функций, то есть, таблицу синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов углов 0, 30, 45, 60, 90, …, 360 градусов ( 0, π/6, π/4, π/3, π/2, …, 2π радиан). После этого мы дадим таблицу синусов и косинусов, а также таблицу тангенсов и котангенсов В. М. Брадиса, и покажем, как использовать эти таблицы при нахождении значений тригонометрических функций.

Навигация по странице.

Таблица синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов для углов 0, 30, 45, 60, 90, … градусов

Тригонометрические определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса позволяют указать значения тригонометрических функций для углов 0 и 90 градусов:
, а котангенс нуля градусов не определен, и
, а тангенс 90 градусов не определен.

В курсе геометрии из прямоугольных треугольников с углами 30 , 60 и 90 градусов, а также 45 , 45 и 90 градусов находятся значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов 30, 45 и 60 градусов:
,
и
.

Занесем указанные значения тригонометрических функций для углов 0 , 30 , 45 , 60 и 90 градусов ( 0 , π/6 , π/4 , π/3 , π/2 радиан) в таблицу, назовем ее таблицей основных значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Используя формулы приведения, только что составленную таблицу синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов можно расширить, дополнив значениями тригонометрических функций для углов 120 , 135 , 150 , 180 , 210 , 225 , 240 , 270 , 300 , 315 , 330 и 360 градусов ( 0, π/6, π/4, π/3, π/2, …, 2π радиан). При этом она принимает следующий вид.

Опираясь на свойство периодичности синуса, косинуса, тангенса и котангенса, таблицу основных значений тригонометрических функций можно расширить еще, заменив углы 0, 30, 45, 60, 90, …, 360 градусов соответственно на , где z – любое целое число. Из такой таблицы можно найти значения для всех углов, которым соответствуют точки единичной окружности, указанные на чертеже ниже.

Основные значения тригонометрических функций, собранные в заполненной выше таблице, желательно знать наизусть, так как они очень часто используются при решении задач.

Как пользоваться таблицей синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов?

Использовать таблицу синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов основных углов 0, 30, 45, 60, 90, …, 360 градусов очень просто – она дает непосредственные значения тригонометрических функций, находящиеся на пересечении соответствующей строки, указывающей название тригонометрической функции, и столбца, указывающего данное значение угла.

Например, значение косинуса угла 60 градусов находится на пересечении строки, в крайней левой ячейке которой находится запись cos , и столбца, в верхней ячейке которого записан угол 60 градусов. Так из таблицы находим, что значение косинуса 60 градусов равно одной второй. Для разъяснения приведем графическую иллюстрацию.

Расширенная таблица основных значений тригонометрических функций используется аналогично. С помощью расширенной таблицы основных значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса можно сразу указать, например, чему равен тангенс угла 1 020 градусов. Он равен минус корню из трех, так как . Проиллюстрируем это.

Таблицы синусов и косинусов, тангенсов и котангенсов Брадиса

Таблицы синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов Брадиса разделены на таблицу синусов и косинусов, а также на таблицу тангенсов и котангенсов. Причем таблица тангенсов и котангенсов состоит из двух частей — тангенсы углов, близких к 90 градусов, и котангенсы малых углов вынесены в отдельную таблицу.

В таблицах Брадиса с точностью до четырех знаков после десятичной запятой приведены приближенные значения синусов и косинусов, а также четыре цифры приближенных значений тангенсов и котангенсов острых углов, содержащих целое число градусов и целое число минут.

Сначала дадим таблицу Брадиса, имеющую название таблица Брадиса: синусы и косинусы.

Теперь приведем таблицу тангенсов углов от 0 до 76 градусов и котангенсов углов от 14 до 90 градусов.

Наконец, осталось заполнить таблицу Брадиса тангенсов углов, близких к 90 градусам, и котангенсов малых углов. Она содержит непосредственные приближенные значения тангенсов углов от 76 до 90 градусов и котангенсов углов от 0 до 14 градусов.

Как пользоваться таблицами синусов и косинусов, тангенсов и котангенсов Брадиса?

Осталось разобраться, как пользоваться таблицей синусов и косинусов, а также таблицами тангенсов и котангенсов Брадиса.

Значение синуса угла находится в таблице синусов на пересечении строки, содержащей в крайней левой ячейке нужное число градусов, и столбца, содержащего в верхней ячейке нужное число минут. Например, из таблицы синусов Брадиса можно определить, что синус 17 градусов 42 минут приближенно равен 0,3040 , вот иллюстрация тому, как это значение было найдено.

Несложно заметить, что в верхней строке минуты идут по порядку через шесть. А как определять значения, если количество минут имеет промежуточное значение, например 44 ? Для этого нужно внести соответствующую поправку, которую дают три крайних правых столбца таблицы. Например, синус 17 градусов 44 минут равен 0,3046 , так как синус 17 градусов 42 минут равен 0,3040 , и требуется еще поправка на 2 минуты в плюс, равна 0,0006 . Поправки содержатся в трех крайних правых столбцах таблицы синусов и косинусов Брадиса.

Если бы нам нужно было найти синус 17 градусов 47 минут, то от значения синуса 17 градусов 48 минут 0,3057 мы бы отняли поправку на 1 минуту, равную 0,0003 . В итоге мы получим искомое значение, равное 0,3054 .

Для нахождения значений косинусов используется та же таблица синусов и косинусов Брадиса. Однако следует ориентироваться на нижнюю строку при выборе соответствующего значения градуса и на четвертую справа строку при выборе нужного числа минут.

Например, косинус 20 градусов равен 0,9397 .

Другой пример: значение косинуса 20 градусов 2 минут равно 0,9397−0,0002=0,9395 , а значение косинуса 20 градусов 5 минут равно 0,9391+0,0001=0,9392 (обратите внимание: что нужно быть внимательным со знаками поправок, нужно помнить, что при возрастании острого угла его косинус убывает).

Таблица тангенсов и котангенсов Брадиса углов от 0 до 76 градусов и котангенсов углов от 14 до 90 градусов используется абсолютно аналогично таблице синусов и косинусов.

К примеру, тангенс 75 градусов 44 минут равен 3,923+0,010=3,933 , а котангенс 32 градусов 50 минут равен 1,5517−0,0020=1,5497 . Вот тому графические иллюстрации.

Таблица тангенсов углов, близких к 90 градусов, и котангенсов малых углов содержит значения тангенсов и котангенсов, не нуждающиеся в поправках. Для примера найдем значение тангенса угла 78 градусов 37 минут, оно равно 4,967 .

А котангенс угла 2 градуса 13 минут равен 25,83 .

Если угол выходит за пределы от 0 до 90 градусов, то сначала следует использовать формулы приведения и перейти к вычислению значения тригонометрической функции, аргумент которой заключен между 0 и 90 градусами. А если угол выражен в радианах, то прежде чем использовать таблицы Брадиса для нахождения синуса, косинуса, тангенса или котангенса данного угла, его нужно перевести в градусы (этому вопросу посвящен материал статьи перевод градусов в радианы и обратно).

В статье, мы полностью разберемся, как выглядит таблица тригонометрических значений, синуса, косинуса, тангенса и котангенса . Рассмотрим основное значение тригонометрических функций, от угла в 0,30,45,60,90. 360 градусов. И посмотрим как пользоваться данными таблицами в вычислении значения тригонометрических функций.
Первой рассмотрим таблицу косинуса, синуса, тангенса и котангенса от угла в 0, 30, 45, 60, 90. градусов. Определение данных величин дают определить значение функций углов в 0 и 90 градусов:

sin 0 0 =0, cos 0 0 = 1. tg 0 0 = 0, котангенс от 0 0 будет неопределенным
sin 90 0 = 1, cos 90 0 =0, ctg90 0 = 0,тангенс от 90 0 будет неопределенным

Если взять прямоугольные треугольники углы которых от 30 до 90 градусов. Получим:

sin 30 0 = 1/2, cos 30 0 = √3/2, tg 30 0 = √3/3, ctg 30 0 = √3
sin 45 0 = √2/2, cos 45 0 = √2/2, tg 45 0 = 1, ctg 45 0 = 1
sin 60 0 = √3/2, cos 60 0 = 1/2, tg 60 0 =√3 , ctg 60 0 = √3/3

Изобразим все полученные значения в виде тригонометрической таблицы:

Таблица синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов!

Если использовать формулу приведения, наша таблица увеличится, добавятся значения для углов до 360 градусов. Выглядеть она будет как:

Так же исходя из свойств периодичности таблицу можно увеличить, если заменим углы на 0 0 +360 0 *z . 330 0 +360 0 *z, в котором z является целым числом. В данной таблице возможно вычислить значение всех углов, соответствующими точками в единой окружности.

Разберем наглядно как использовать таблицу в решении.
Все очень прост. Так как нужное нам значение лежит в точке пересечения нужных нам ячеек. К примеру возьмем cos угла 60 градусов, в таблице это будет выглядеть как:

В итоговой таблице основных значений тригонометрических функций, действуем так же. Но в данной таблице возможно узнать сколько составит тангенс от угла в 1020 градусов, он = -√3 Проверим 1020 0 = 300 0 +360 0 *2. Найдем по таблице.

Для более поиска тригонометрических значений углов с точностью до минут используются таблицы Брадиса. Подробная инструкция как ими пользоваться на странице по ссылке.

Таблица Брадиса. Для синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Таблицы Брадиса поделены на несколько частей, состоят из таблиц косинуса и синуса, тангенса и котангенса — которая поделена на две части (tg угла до 90 градусов и ctg малых углов).

Синус и косинус

tg угла начиная с 0 0 заканчивая 76 0 , ctg угла начиная с 14 0 заканчивая 90 0 .

tg до 90 0 и ctg малых углов.

Разберемся как пользоваться таблицами Брадиса в решении задач.

Найдем обозначение sin (обозначение в столбце с левого края) 42 минут (обозначение находится на верхней строчке). Путем пересечения ищем обозначение, оно = 0,3040.

Величины минут указаны с промежутком в шесть минут, как быть если нужное нам значение попадет именно в этот промежуток. Возьмем 44 минуты, а в таблице есть только 42. Берем за основу 42 и воспользуемся добавочными столбцами в правой стороне, берем 2 поправку и добавляем к 0,3040 + 0,0006 получаем 0,3046.

При sin 47 мин, берем за основу 48 мин и отнимаем от нее 1 поправку, т.е 0,3057 — 0,0003 = 0,3054

При вычислении cos работаем аналогично sin только за основу берем нижнюю строку таблицы. К примеру cos 20 0 = 0.9397

Значения tg угла до 90 0 и cot малого угла, верны и поправок в них нет. К примеру, найти tg 78 0 37мин = 4,967

а ctg 20 0 13мин = 25,83

Ну вот мы и рассмотрели основные тригонометрические таблицы. Надеемся это информация была для вас крайне полезной. Свои вопросы по таблицам, если они появились, обязательно пишите в комментариях!

Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:

Калькулятор поможет рассчитать точные значения тригонометрических функций sin, cos, tg и ctg для различных значений углов в градусах или радианах.

На данной странице таблица Брадиса, которая дает значение sin, cos, tg, ctg любого острого угла, содержащего целое число градусов и десятых долей градуса. Для нахождения значения угла берется число на пересечении строки, которое соответствует числу градусов и столбца, которое соответствует числу минут. Например, sin 70°30′ = 0.9426.

Таблица значений тригонометрических функций углов. Тригонометрические функции числового и углового аргументов. Где применяется тригонометрия

В статье, мы полностью разберемся, как выглядит таблица тригонометрических значений, синуса, косинуса, тангенса и котангенса . Рассмотрим основное значение тригонометрических функций, от угла в 0,30,45,60,90,...,360 градусов. И посмотрим как пользоваться данными таблицами в вычислении значения тригонометрических функций.
Первой рассмотрим таблицу косинуса, синуса, тангенса и котангенса от угла в 0, 30, 45, 60, 90,.. градусов. Определение данных величин дают определить значение функций углов в 0 и 90 градусов:

sin 0 0 =0, cos 0 0 = 1. tg 00 = 0, котангенс от 00 будет неопределенным
sin 90 0 = 1, cos 90 0 =0, ctg90 0 = 0,тангенс от 90 0 будет неопределенным

Если взять прямоугольные треугольники углы которых от 30 до 90 градусов. Получим:

sin 30 0 = 1/2, cos 30 0 = √3/2, tg 30 0 = √3/3, ctg 30 0 = √3
sin 45 0 = √2/2, cos 45 0 = √2/2, tg 45 0 = 1, ctg 45 0 = 1
sin 60 0 = √3/2, cos 60 0 = 1/2, tg 60 0 =√3 , ctg 60 0 = √3/3

Изобразим все полученные значения в виде тригонометрической таблицы :

Таблица синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов!

Если использовать формулу приведения, наша таблица увеличится, добавятся значения для углов до 360 градусов. Выглядеть она будет как:

Так же исходя из свойств периодичности таблицу можно увеличить, если заменим углы на 0 0 +360 0 *z .... 330 0 +360 0 *z, в котором z является целым числом. В данной таблице возможно вычислить значение всех углов, соответствующими точками в единой окружности.

Разберем наглядно как использовать таблицу в решении.
Все очень прост. Так как нужное нам значение лежит в точке пересечения нужных нам ячеек. К примеру возьмем cos угла 60 градусов, в таблице это будет выглядеть как:

В итоговой таблице основных значений тригонометрических функций, действуем так же. Но в данной таблице возможно узнать сколько составит тангенс от угла в 1020 градусов, он = -√3 Проверим 1020 0 = 300 0 +360 0 *2. Найдем по таблице.

Таблица Брадиса. Для синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Таблицы Брадиса поделены на несколько частей, состоят из таблиц косинуса и синуса, тангенса и котангенса - которая поделена на две части (tg угла до 90 градусов и ctg малых углов).

Синус и косинус

tg угла начиная с 00 заканчивая 760, ctg угла начиная с 140 заканчивая 900.

tg до 900 и ctg малых углов.


Разберемся как пользоваться таблицами Брадиса в решении задач.

Найдем обозначение sin (обозначение в столбце с левого края) 42 минут (обозначение находится на верхней строчке). Путем пересечения ищем обозначение, оно = 0,3040.

Величины минут указаны с промежутком в шесть минут, как быть если нужное нам значение попадет именно в этот промежуток. Возьмем 44 минуты, а в таблице есть только 42. Берем за основу 42 и воспользуемся добавочными столбцами в правой стороне, берем 2 поправку и добавляем к 0,3040 + 0,0006 получаем 0,3046.

При sin 47 мин, берем за основу 48 мин и отнимаем от нее 1 поправку, т.е 0,3057 - 0,0003 = 0,3054

При вычислении cos работаем аналогично sin только за основу берем нижнюю строку таблицы. К примеру cos 20 0 = 0.9397

Значения tg угла до 90 0 и cot малого угла, верны и поправок в них нет. К примеру, найти tg 78 0 37мин = 4,967


а ctg 20 0 13мин = 25,83

Ну вот мы и рассмотрели основные тригонометрические таблицы. Надеемся это информация была для вас крайне полезной. Свои вопросы по таблицам, если они появились, обязательно пишите в комментариях!

Заметка: Стеновые отбойники - отбойная доска для защиты стен. Перейдите по ссылке настенные отбойники бескаркасные (http://www.spi-polymer.ru/otboyniki/) и узнайте подробнее.

В этой статье собраны таблицы синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов . Сначала мы приведем таблицу основных значений тригонометрических функций, то есть, таблицу синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов углов 0, 30, 45, 60, 90, …, 360 градусов (0, π/6, π/4, π/3, π/2, …, 2π радиан). После этого мы дадим таблицу синусов и косинусов, а также таблицу тангенсов и котангенсов В. М. Брадиса, и покажем, как использовать эти таблицы при нахождении значений тригонометрических функций.

Навигация по странице.

Таблица синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов для углов 0, 30, 45, 60, 90, … градусов

Список литературы.

  • Алгебра: Учеб. для 9 кл. сред. шк./Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Под ред. С. А. Теляковского.- М.: Просвещение, 1990.- 272 с.: ил.- ISBN 5-09-002727-7
  • Башмаков М. И. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк. - 3-е изд. - М.: Просвещение, 1993. - 351 с.: ил. - ISBN 5-09-004617-4.
  • Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.; Под ред. А. Н. Колмогорова.- 14-е изд.- М.: Просвещение, 2004.- 384 с.: ил.- ISBN 5-09-013651-3.
  • Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.
  • Брадис В. М. Четырехзначные математические таблицы: Для общеобразоват. учеб. заведений. - 2-е изд. - М.: Дрофа, 1999.- 96 с.: ил. ISBN 5-7107-2667-2

ТАБЛИЦА ЗНАЧЕНИЙ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Таблица значений тригонометрических функций составлена для углов в 0, 30, 45, 60, 90, 180, 270 и 360 градусов и соответствующих им значений углов врадианах. Из тригонометрических функций в таблице приведены синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс и косеканс. Для удобства решения школьных примеров значения тригонометрических функций в таблице записаны в виде дроби с сохранением знаков извлечения корня квадратного из чисел, что очень часто помогает сокращать сложные математические выражения. Для тангенса и котангенса значения некоторых углов не могут быть определены. Для значений тангенса и котангенса таких углов в таблице значений тригонометрических функций стоит прочерк. Принято считать, что тангенс и котангенс таких углов равняется бесконечности. На отдельной странице находятся формулы приведения тригонометрических функций.

В таблице значений для тригонометрической функции синус приведены значения для следующих углов: sin 0, sin 30, sin 45, sin 60, sin 90, sin 180, sin 270, sin 360 в градусной мере, что соответствует sin 0 пи, sin пи/6, sin пи/4, sin пи/3, sin пи/2, sin пи, sin 3 пи/2, sin 2 пи в радианной мере углов. Школьная таблица синусов.

Для тригонометрической функции косинус в таблице приведены значения для следующих углов: cos 0, cos 30, cos 45, cos 60, cos 90, cos 180, cos 270, cos 360 в градусной мере, что соответствует cos 0 пи, cos пи на 6, cos пи на 4, cos пи на 3, cos пи на 2, cos пи, cos 3 пи на 2, cos 2 пи в радианной мере углов. Школьная таблица косинусов.

Тригонометрическая таблица для тригонометрической функции тангенс приводит значения для следующих углов: tg 0, tg 30, tg 45, tg 60, tg 180, tg 360 в градусной мере, что соответствует tg 0 пи, tg пи/6, tg пи/4, tg пи/3, tg пи, tg 2 пи в радианной мере углов. Следующие значения тригонометрических функций тангенса не определены tg 90, tg 270, tg пи/2, tg 3 пи/2 и считаются равными бесконечности.

Для тригонометрической функции котангенс в тригонометрической таблице даны значения следующих углов: ctg 30, ctg 45, ctg 60, ctg 90, ctg 270 в градусной мере, что соответствует ctg пи/6, ctg пи/4, ctg пи/3, tg пи/2, tg 3 пи/2 в радианной мере углов. Следующие значения тригонометрических функций котангенса не определены ctg 0, ctg 180, ctg 360, ctg 0 пи, ctg пи, ctg 2 пи и считаются равными бесконечности.

Значения тригонометрических функций секанс и косеканс приведены для таких же углов в градусах и радианах, что и синус, косинус, тангенс, котангенс.

В таблице значений тригонометрических функций нестандартных углов приводятся значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса для углов в градусах 15, 18, 22,5, 36, 54, 67,5 72 градусов и в радианах пи/12, пи/10, пи/8, пи/5, 3пи/8, 2пи/5 радиан. Значения тригонометрических функций выражены через дроби и корни квадратные для упрощения сокращения дробей в школьных примерах.

Еще три монстра тригонометрии. Первый - это тангенс 1,5 полутора градусов или пи деленное на 120. Второй - косинус пи деленное на 240, пи/240. Самый длинный - косинус пи деленное на 17, пи/17.

Тригонометрический круг значений функций синус и косинус наглядно представляет знаки синуса и косинуса в зависимости от величины угла. Специально для блондинок значения косинуса подчеркнуты зелененькой черточкой,чтоб меньше путаться. Так же очень наглядно представлен перевод градусов в радианы, когда радианы выражены через пи.

Эта тригонометрическая таблица представляет значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса для углов от 0 нуля до 90 девяносто градусов с интервалом через один градус. Для первых сорока пяти градусов названия тригонометрических функций необходимо смотреть в верхней части таблицы. В первом столбце указаны градусы, значения синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов записаны в следующих четырех столбцах.

Для углов от сорока пяти градусов до девяноста градусов названия тригонометрических функций записаны в нижней части таблицы. В последнем столбце указаны градусы, значения косинусов, синусов, котангенсов и тангенсов записаны в предыдущих четырех столбцах. Следует быть внимательными, поскольку в нижней части тригонометрической таблицы названия тригонометрических функций отличаются от названий в верхней части таблицы. Синусы и косинусы меняются местами, точно так же, как тангенс и котангенс. Это связано с симметричностью значений тригонометрических функций.

Знаки тригонометрических функций представлены на рисунке выше. Синус имеет положительные значения от 0 до 180 градусов или от 0 до пи. Отрицательные значения синус имеет от 180 до 360 градусов или от пи до 2 пи. Значения косинуса положительны от 0 до 90 и от 270 до 360 градусов или от 0 до 1/2 пи и от 3/2 до 2 пи. Тангенс и котангенс имеют положительные значения от 0 до 90 градусов и от 180 до 270 градусов, что соответствует значениям от 0 до 1/2 пи и от пи до 3/2 пи. Отрицательные значения тангенс и котангенс имеют от 90 до 180 градусов и от 270 до 360 градусов или от 1/2 пи до пи и от 3/2 пи до 2 пи. При определении знаков тригонометрических функций для углов больше 360 градусов или 2 пи следует использовать свойства периодичности этих функций.

Тригонометрические функции синус, тангенс и котангенс являются нечетными функциями. Значения этих функций для отрицательных углов будут отрицательными. Косинус является четной тригонометрической функцией - значение косинуса для отрицательного угла будет положительным. При умножении и делении тригонометрических функций необходимо соблюдать правила знаков.

  1. В таблице значений для тригонометрической функции синус приведены значения для следующих углов

    Документ

    Отдельной странице находятся формулы приведения тригонометрических функций . В таблице значений для тригонометрической функции синус приведены значения для следующих углов : sin 0, sin 30, sin 45 . ..

  2. Предлагаемый математический аппарат является полным аналогом комплексного исчисления для n-мерных гиперкомплексных чисел с любым числом степеней свободы n и предназначен для математического моделирования нелинейных

    Документ

    ... функции равно функции изображения. Из этой теоремы сле­дует , что для нахождения координат U, V достаточно вычислить функцию ... геометрии; полинарные функции (многомерные аналоги двухмерных тригонометрических функций ), их свойства, таблицы и применение; ...

  3. В пятом веке до нашей эры древнегреческий философ Зенон Элейский сформулировал свои знаменитые апории, самой известной из которых является апория "Ахиллес и черепаха". Вот как она звучит:

    Допустим, Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится позади неё на расстоянии в тысячу шагов. За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. Когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха проползёт ещё десять шагов, и так далее. Процесс будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху.

    Это рассуждение стало логическим шоком для всех последующих поколений. Аристотель, Диоген, Кант, Гегель, Гильберт... Все они так или иначе рассматривали апории Зенона. Шок оказался настолько сильным, что "... дискуссии продолжаются и в настоящее время, прийти к общему мнению о сущности парадоксов научному сообществу пока не удалось... к исследованию вопроса привлекались математический анализ, теория множеств, новые физические и философские подходы; ни один из них не стал общепризнанным решением вопроса... " [Википедия, " Апории Зенона "]. Все понимают, что их дурят, но никто не понимает, в чем заключается обман.

    С точки зрения математики, Зенон в своей апории наглядно продемонстрировал переход от величины к . Этот переход подразумевает применение вместо постоянных. Насколько я понимаю, математический аппарат применения переменных единиц измерения либо ещё не разработан, либо его не применяли к апории Зенона. Применение же нашей обычной логики приводит нас в ловушку. Мы, по инерции мышления, применяем постоянные единицы измерения времени к обратной величине. С физической точки зрения это выглядит, как замедление времени до его полной остановки в момент, когда Ахиллес поравняется с черепахой. Если время останавливается, Ахиллес уже не может перегнать черепаху.

    Если перевернуть привычную нам логику, всё становится на свои места. Ахиллес бежит с постоянной скоростью. Каждый последующий отрезок его пути в десять раз короче предыдущего. Соответственно, и время, затрачиваемое на его преодоление, в десять раз меньше предыдущего. Если применять понятие "бесконечность" в этой ситуации, то правильно будет говорить "Ахиллес бесконечно быстро догонит черепаху".

    Как избежать этой логической ловушки? Оставаться в постоянных единицах измерения времени и не переходить к обратным величинам. На языке Зенона это выглядит так:

    За то время, за которое Ахиллес пробежит тысячу шагов, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. За следующий интервал времени, равный первому, Ахиллес пробежит ещё тысячу шагов, а черепаха проползет сто шагов. Теперь Ахиллес на восемьсот шагов опережает черепаху.

    Этот подход адекватно описывает реальность без всяких логических парадоксов. Но это не полное решение проблемы. На Зеноновскую апорию "Ахиллес и черепаха" очень похоже утверждение Эйнштейна о непреодолимости скорости света. Эту проблему нам ещё предстоит изучить, переосмыслить и решить. И решение нужно искать не в бесконечно больших числах, а в единицах измерения.

    Другая интересная апория Зенона повествует о летящей стреле:

    Летящая стрела неподвижна, так как в каждый момент времени она покоится, а поскольку она покоится в каждый момент времени, то она покоится всегда.

    В этой апории логический парадокс преодолевается очень просто - достаточно уточнить, что в каждый момент времени летящая стрела покоится в разных точках пространства, что, собственно, и является движением. Здесь нужно отметить другой момент. По одной фотографии автомобиля на дороге невозможно определить ни факт его движения, ни расстояние до него. Для определения факта движения автомобиля нужны две фотографии, сделанные из одной точки в разные моменты времени, но по ним нельзя определить расстояние. Для определения расстояния до автомобиля нужны две фотографии, сделанные из разных точек пространства в один момент времени, но по ним нельзя определить факт движения (естественно, ещё нужны дополнительные данные для расчетов, тригонометрия вам в помощь). На что я хочу обратить особое внимание, так это на то, что две точки во времени и две точки в пространстве - это разные вещи, которые не стоит путать, ведь они предоставляют разные возможности для исследования.

    среда, 4 июля 2018 г.

    Очень хорошо различия между множеством и мультимножеством описаны в Википедии . Смотрим.

    Как видите, "во множестве не может быть двух идентичных элементов", но если идентичные элементы во множестве есть, такое множество называется "мультимножество". Подобную логику абсурда разумным существам не понять никогда. Это уровень говорящих попугаев и дрессированных обезьян, у которых разум отсутствует от слова "совсем". Математики выступают в роли обычных дрессировщиков, проповедуя нам свои абсурдные идеи.

    Когда-то инженеры, построившие мост, во время испытаний моста находились в лодке под мостом. Если мост обрушивался, бездарный инженер погибал под обломками своего творения. Если мост выдерживал нагрузку, талантливый инженер строил другие мосты.

    Как бы математики не прятались за фразой "чур, я в домике", точнее "математика изучает абстрактные понятия", есть одна пуповина, которая неразрывно связывает их с реальностью. Этой пуповиной являются деньги. Применим математическую теорию множеств к самим математикам.

    Мы очень хорошо учили математику и сейчас сидим в кассе, выдаем зарплату. Вот приходит к нам математик за своими деньгами. Отсчитываем ему всю сумму и раскладываем у себя на столе на разные стопки, в которые складываем купюры одного достоинства. Затем берем с каждой стопки по одной купюре и вручаем математику его "математическое множество зарплаты". Поясняем математику, что остальные купюры он получит только тогда, когда докажет, что множество без одинаковых элементов не равно множеству с одинаковыми элементами. Вот здесь начнется самое интересное.

    В первую очередь, сработает логика депутатов: "к другим это применять можно, ко мне - низьзя!". Дальше начнутся уверения нас в том, что на купюрах одинакового достоинства имеются разные номера купюр, а значит их нельзя считать одинаковыми элементами. Хорошо, отсчитываем зарплату монетами - на монетах нет номеров. Здесь математик начнет судорожно вспоминать физику: на разных монетах имеется разное количество грязи, кристаллическая структура и расположение атомов у каждой монеты уникально...

    А теперь у меня самый интересный вопрос: где проходит та грань, за которой элементы мультимножества превращаются в элементы множества и наоборот? Такой грани не существует - всё решают шаманы, наука здесь и близко не валялась.

    Вот смотрите. Мы отбираем футбольные стадионы с одинаковой площадью поля. Площадь полей одинакова - значит у нас получилось мультимножество. Но если рассматривать названия этих же стадионов - у нас получается множество, ведь названия разные. Как видите, один и тот же набор элементов одновременно является и множеством, и мультимножеством. Как правильно? А вот здесь математик-шаман-шуллер достает из рукава козырный туз и начинает нам рассказывать либо о множестве, либо о мультимножестве. В любом случае он убедит нас в своей правоте.

    Чтобы понять, как современные шаманы оперируют теорией множеств, привязывая её к реальности, достаточно ответить на один вопрос: чем элементы одного множества отличаются от элементов другого множества? Я вам покажу, без всяких "мыслимое как не единое целое" или "не мыслимое как единое целое".

    воскресенье, 18 марта 2018 г.

    Сумма цифр числа - это пляска шаманов с бубном, которая к математике никакого отношения не имеет. Да, на уроках математики нас учат находить сумму цифр числа и пользоваться нею, но на то они и шаманы, чтобы обучать потомков своим навыкам и премудростям, иначе шаманы просто вымрут.

    Вам нужны доказательства? Откройте Википедию и попробуйте найти страницу "Сумма цифр числа". Её не существует. Нет в математике формулы, по которой можно найти сумму цифр любого числа. Ведь цифры - это графические символы, при помощи которых мы записываем числа и на языке математики задача звучит так: "Найти сумму графических символов, изображающих любое число". Математики эту задачу решить не могут, а вот шаманы - элементарно.

    Давайте разберемся, что и как мы делаем для того, чтобы найти сумму цифр заданного числа. И так, пусть у нас есть число 12345. Что нужно сделать для того, чтобы найти сумму цифр этого числа? Рассмотрим все шаги по порядку.

    1. Записываем число на бумажке. Что же мы сделали? Мы преобразовали число в графический символ числа. Это не математическое действие.

    2. Разрезаем одну полученную картинку на несколько картинок, содержащих отдельные цифры. Разрезание картинки - это не математическое действие.

    3. Преобразовываем отдельные графические символы в числа. Это не математическое действие.

    4. Складываем полученные числа. Вот это уже математика.

    Сумма цифр числа 12345 равна 15. Вот такие вот "курсы кройки и шитья" от шаманов применяют математики. Но это ещё не всё.

    С точки зрения математики не имеет значения, в какой системе счисления мы записываем число. Так вот, в разных системах счисления сумма цифр одного и того же числа будет разной. В математике система счисления указывается в виде нижнего индекса справа от числа. С большим числом 12345 я не хочу голову морочить, рассмотрим число 26 из статьи про . Запишем это число в двоичной, восьмеричной, десятичной и шестнадцатеричной системах счисления. Мы не будем рассматривать каждый шаг под микроскопом, это мы уже сделали. Посмотрим на результат.

    Как видите, в разных системах счисления сумма цифр одного и того же числа получается разной. Подобный результат к математике никакого отношения не имеет. Это всё равно, что при определении площади прямоугольника в метрах и сантиметрах вы получали бы совершенно разные результаты.

    Ноль во всех системах счисления выглядит одинаково и суммы цифр не имеет. Это ещё один аргумент в пользу того, что . Вопрос к математикам: как в математике обозначается то, что не является числом? Что, для математиков ничего, кроме чисел, не существует? Для шаманов я могу такое допустить, но для ученых - нет. Реальность состоит не только из чисел.

    Полученный результат следует рассматривать как доказательство того, что системы счисления являются единицами измерения чисел. Ведь мы не можем сравнивать числа с разными единицами измерения. Если одни и те же действия с разными единицами измерения одной и той же величины приводят к разным результатам после их сравнения, значит это не имеет ничего общего с математикой.

    Что же такое настоящая математика? Это когда результат математического действия не зависит от величины числа, применяемой единицы измерения и от того, кто это действие выполняет.

Открывает дверь и говорит:

Ой! А это разве не женский туалет?
- Девушка! Это лаборатория по изучению индефильной святости душ при вознесении на небеса! Нимб сверху и стрелочка вверх. Какой еще туалет?

Женский... Нимб сверху и стрелочка вниз - это мужской.

Если у вас перед глазами несколько раз в день мелькает вот такое вот произведение дизайнерского искусства,

Тогда не удивительно, что в своем автомобиле вы вдруг обнаруживаете странный значок:

Лично я делаю над собой усилие, чтобы в какающем человеке (одна картинка), увидеть минус четыре градуса (композиция из нескольких картинок: знак минус, цифра четыре, обозначение градусов). И я не считаю эту девушку дурой, не знающей физику. Просто у неё дугой стереотип восприятия графических образов. И математики нас этому постоянно учат. Вот пример.

1А - это не "минус четыре градуса" или "один а". Это "какающий человек" или число "двадцать шесть" в шестнадцатеричной системе счисления. Те люди, которые постоянно работают в этой системе счисления, автоматически воспринимают цифру и букву как один графический символ.

Табличка на двери

Построение графиков функций по заданным параметрам"

Цели урока:

  • научить строить графики элементарных математических функций с помощью табличного процессора Excel;
  • показать возможности использования программы Excel для решения задач по математике;
  • закрепить навыки работы с Мастером диаграмм.

Задачи урока:

  • образовательная – знакомство учащихся с основными приемами построения графиков функций в программе Excel;
  • развивающие – формирование у учащихся логического и алгоритмического мышления; развитие познавательного интереса к предмету; развитие умения оперировать ранее полученными знаниями; развитие умения планировать свою деятельность;
  • воспитательные – воспитание умения самостоятельно мыслить, ответственности за выполняемую работу, аккуратности при выполнении работы.

Тип урока:

  • комбинированный

Учебники:

Информатика. Базовый курс 2-е издание/Под ред. С.В. Симоновича. - СПб.: Питер, 2004.-640с.:ил.

Технические и программные средства:

  • Персональные компьютеры;
  • Приложение Windows – электронные таблицы Excel.
  • Проектор

Раздаточный материал:

  • Карточки с индивидуальными заданиями на построение графиков функций.

План урока.

  1. Организационный момент – 3 мин.
  2. Проверка домашнего задания –10 мин.
  3. Объяснение нового материала –20 мин.
  4. Применение полученных знаний –20 мин.
  5. Самостоятельная работа. – 20 мин
  6. Подведение итогов урока. Домашнее задание – 7 мин.

Ход урока

Организационный момент

Проверка готовности учащихся к уроку, отметка отсутствующих, объявление темы и цели урока

Проверка домашнего задания. (фронтальный опрос)

Вопросы для проверки

  1. Что представляет собой рабочая область программы Excel?
  2. Как определяется адрес ячейки?
  3. Как изменить ширину столбца, высоту строки?
  4. Как ввести формулу в Excel?
  5. Что такое маркер заполнения и для чего он нужен?
  6. Что такое относительная адресация ячеек?
  7. Что такое абсолютная адресация ячеек? Как она задается?
  8. Что такое колонтитулы? Как они задаются?
  9. Как задать поля печатного документа? Как изменить ориентацию бумаги?
  10. Что такое функциональная зависимость у = f(х)? Какая переменная является зависимой, а какая независимой?
  11. Как ввести функцию в Excel?
  12. Что такое график функции у = f(х)?
  13. Как построить диаграмму в Excel?

Объяснение нового материала.

При объяснении нового материала может быть использован файл Excel с шаблонами задач (Приложение 1), который выводится на экран с помощью проектора

Сегодня мы рассмотрим применение табличного процессора Excel для графиков функций. На предыдущих практических вы уже строили диаграммы к различным задачам, используя Мастер диаграмм. Графики функций, так же как и диаграммы строятся с помощью Мастера диаграмм программы Excel.

Рассмотрим построение графиков функций на примере функции у = sin x.

Вид данного графика хорошо известен вам по урокам математики, попробуем построить его средствами Excel.

Программа будет строить график по точкам: точки с известными значениями будут плавно соединяться линией. Эти точки нужно указать программе, поэтому, сначала создается таблица значений функции у = f(х).

Чтобы создать таблицу, нужно определить

  • отрезок оси ОХ, на котором будет строиться график.
  • шаг переменной х, т.е. через какой промежуток будут вычисляться значения функции.

Задача 1.Построить график функции у = sin x на отрезке [– 2; 2] с шагом h = 0,5.

1. Заполним таблицу значений функции. В ячейку С4 введем первое значение отрезка: – 2
2. В ячейку D4 введем формулу, которая будет добавлять к лево-стоящей ячейки шаг: = В4 + $A$4
3. Маркером заполнения ячейки D4 заполним влево ячейки строки 4, до тех пор, пока получим значение другого конца отрезка: 2.
4. Выделим ячейку С5, вызовем Мастер функций, в категории математические выберем функцию SIN, в качестве аргумента функции выберем ячейку С4.
5. Маркером заполнения распространим эту формулу в ячейках строки 5 до конца таблицы.

Таким образом, мы получили таблицу аргументов (х) и значений (у) функции у = sin x на отрезке [-2;2] с шагом h = 0,5 :

x -2 -1,75 -1,5 -1,25 -1 -0,75 -0,5 -0,25 0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 1,75 2
y -0,9092 -0,9839 -0,9974 -0,9489 -0,8414 -0,6816 -0,4794 -0,2474 0 0,2474 0,4794 0,6816 0,8414 0,9489 0,9974 0,9839 0,9092

6. Следующий шаг. Выделим таблицу и вызовем Мастер диаграмм. На первом шаге выберем во вкладке Нестандартные Гладкие графики.
7. На втором шаге во вкладке Ряд выполним:

В поле Ряд необходимо выделить ряд х и нажать на кнопку “Удалить” (график изменений х нам не нужен. График функции – это график изменения значений у)

В поле Подписи оси Х нажать на кнопку. Выделить в таблице ячейки со значениями х и нажмите на кнопку . Подписи по горизонтальной оси станут такими, как у нас в таблице.

8. На третьем шаге заполним вкладку Заголовки.

9. Пример полученного графика.

На самом деле пока это мало похоже на график функции в нашем привычном понимании.

Для форматирования графика:

  • Вызовем контекстное меню оси ОУ. Затем, выберем пункт Формат оси…. Во вкладке Шкала установим: цена основного деления: 1. Во вкладке Шрифт установим размер шрифта 8пт.
  • Вызовем контекстное меню оси ОХ. Выберем пункт Формат оси….

Во вкладке Шкала установим: пересечение с осью ОУ установите номер категории 5 (чтобы ось ОУ пересекала ось ОХ в категории с подписью 0, а это пятая по счету категория).

Во вкладке шрифт установите размер шрифта 8пт. Нажмите на кнопку ОК.

Остальные изменения выполняются аналогично.

Для закрепления рассмотрим еще одну задачу на построение графика функций. Эту задачу попробуйте решить самостоятельно, сверяясь с экраном проектора.

Применение полученных знаний.

Пригласить к проектору студента и сформулировать следующую задачу.

Задача 2. Построить график функции у = х3 на отрезке [– 3; 3] с шагом h = 0,5.

1. Создать следующую таблицу: Создать таблица значений функции у = f(х). 3
6. Маркером заполнения скопировать формулу в ячейки строки 5 до конца таблицы.

Таким образом, должна получиться таблица аргументов (х) и значений (у) функции у = х3 на отрезке [–3;3] с шагом h = 0,5:

х -3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
y -27 -15,625 -8 -3,375 -1 -0,125 0 0,125 1 3,375 8 15,625 27

7. Выделить таблицу и вызвать мастер диаграмм. На первом шаге выбрать во второй вкладке Гладкие графики.
8. На втором шаге во вкладке Ряд выполнить:

  • В поле Ряд выделить ряд х и нажать на кнопку “Удалить” (график изменений х нам не нужен. График функции – это график изменения значений у)
  • В поле Подписи оси Х нажать на кнопку . Выделить в таблице ячейки со значениями х и нажать на кнопку . Подписи по горизонтальной оси станут такими, как у нас в таблице.

9. На третьем шаге заполнить вкладку Заголовки.

10. Пример полученного графика:
11. Оформить график.
12. Установить параметры страницы и размеры диаграмм таким образом, что бы все поместилось на одном листе альбомной ориентации.
13. Создать колонтитулы для данного листа (Вид Колонтитулы…):
14. Верхний колонтитул слева: график функции у = x3

Сохранить документ своей папке под именем График.

Самостоятельная работа.

Работа по карточкам с индивидуальными заданиями. (Приложение 2)

Пример карточки, с задачей в общем виде, выводится на экран с помощью проектора.

1. Построить график функции y=f(x) на отрезке [a;b] с шагом h=c
2. Установить параметры страницы и размеры графика таким образом, что бы все поместилось на одном листе альбомной ориентации.
3. Создать колонтитулы для данного листа (Вид Колонтитулы…):

  • Верхний колонтитул слева: график функции y=f(x)
  • Нижний колонтитул в центре: ваши Ф.И.О. и дата

4. Сохранить в своей папке под именем “Зачетный график”
5. Вывести документ на печать.

После выполнения задания правильность каждого варианта проверяется с помощью проектора.

Подведение итогов.

Домашнее задание.

Оценки за урок.

2 = 1 $.

В) Тогда для конкретных углов есть значения. Это в основном геометрия, и есть три случая:

1) $ \ theta $ ~ $ 0 $ или 90 $. Это $ \ theta = 0, \ pi / 2, \ pi, 3 \ pi / 4 $ (или $ - \ pi / 4 $).

Это точки $ (x, y) = (\ cos \ theta, \ sin \ theta) $ = $ (0, \ pm 1) $ и $ \ tan \ theta = (0, \ pm 1) $ и $ x / y $ = $ 0 $, $ \ pm 1/0 $ (не определено).

Это то, что визуально видно при представлении круга.

2) $ \ theta $ ~ 45. Это $ \ theta = \ text {odd} * \ pi / 4 $ (или другой способ просмотра $ \ {0, \ pi, \ pm \ pi / 2 \ } \ pm \ pi / 4 $; или просто $ \ pi / 4, 3 \ pi / 4, 5 \ pi / 4 = -3 \ pi / 4, 7 \ pi / 4 = - \ pi / 4 $).2 = 1 $, значит, $ | x | = | y | = \ sqrt {2} / 2 $. И $ | x | / | y | = 1 $.

Итак, $ \ sin \ theta = \ pm \ cos \ theta = \ pm \ sqrt {2} / 2 $. и $ \ tan \ theta = \ pm 1 $.

Какая положительная / отрицательная полярность зависит от того, в каком квадранте $ (x, y) = (\ cos \ theta, \ sin \ theta) $ находится.

3) $ \ theta $ ~ 30, 60 $. Это $ \ {0, \ pi, \ pm \ pi / 2 \} \ pm \ pi / 6 $. Или $ 0, \ pi / 6, \ pi / 3, 2 \ pi / 3, 5 \ pi / 6, 7 \ pi / 6, 4 \ pi / 3, 5 \ pi / 3, 11 \ pi / 6 $.

Это для треугольников 30-60-90 градусов, которые представляют собой равносторонние треугольники, разрезанные пополам.2 $ и поскольку $ c = 1 $, то $ a = 1/2 $ и $ b = \ sqrt {3} 2 $.

Итак, это $ (x, y) = (\ cos \ theta, \ sin \ theta) = (\ {\ pm 1/2: \ pm \ sqrt {3} / 2 \}, \ {\ pm \ sqrt {3} / 2: \ pm 1/2) $ и $ \ tan \ theta = \ {\ pm 1 / \ sqrt 3: \ pm \ sqrt 3 \} $

Какие значения зависят от того, соответствует ли $ | x | > | y | $ или $ | y | > | x | $ и в каком квадранте $ (x, y) лежит.

======

И да, эта круглая картинка помогает. Поскольку круговая картинка идеально симметрична, ее легко запомнить, хотя технически она имеет 48 значений. Поскольку он симметричен, на самом деле он сводится только к трем вышеупомянутым случаям.

sin cos tan таблица


Таблицы Брадиса sin, cos, tg, ctg.

Таблица

sin cos tan (тригонометрические значения) содержит рассчитанные значения тригонометрических функций для определенного угла от 0 до 360 градусов в виде простой таблицы и в виде таблицы Брадиса. Также приведены значения тригонометрических функций в радианах для наиболее распространенных углов, используемых в расчетах.

Таблицы с расчетными значениями sin, cos, tg, ctg используются для упрощения и ускорения математических вычислений, когда нет возможности использовать калькулятор или компьютер.



  • грех
  • cos
  • тг
  • кт
  • триг. значения
  • Брэдис грех и соз
  • Bradys tg и ctg

грех 0 ° = грех 360 ° = 0

α ° sin α α ° sin α α ° sin α α ° sin α
α ° sin α α ° sin α α ° sin α α ° sin α

cos 0 ° = cos 360 ° = 1

α ° cos α α ° cos α α ° cos α α ° cos α
α ° cos α α ° cos α α ° cos α α ° cos α

tg 0 ° = tg 360 ° = 0

α ° тг α α ° тг α α ° тг α α ° тг α
α ° тг α α ° тг α α ° тг α α ° тг α

ctg 0 ° = ctg 360 ° = ∞

α ° CTG α α ° CTG α α ° CTG α α ° CTG α
α ° CTG α α ° CTG α α ° CTG α α ° CTG α

Значения тригонометрических функций в радианах для наиболее распространенных углов.



Таблица Брэдиса для синусов и косинусов

грех 0 ' 6 ' 12 ' 18 ' 24 ' 30 ' 36 ' 42 ' 48 ' 54 ' 60 ' cos 1 ' 2 ' 3 '
0.0000 90 °
0 ° 0,0000 0017 0035 0052 0070 0087 0105 0122 0140 0157 0175 89 ° 3 6 9
1 ° 0175 0192 0209 0227 0244 0262 0279 0297 0314 0332 0349 88 ° 3 6 9
2 ° 0349 0366 0384 0401 0419 0436 0454 0471 0488 0506 0523 87 ° 3 6 9
3 ° 0523 0541 0558 0576 0593 0610 0628 0645 0663 0680 0698 86 ° 3 6 9
4 ° 0698 0715 0732 0750 0767 0785 0802 0819 0837 0854 0. 0872 85 ° 3 6 9
5 ° 0,0872 0889 0906 0924 0941 0958 0976 0993 1011 1028 1045 84 ° 3 6 9
6 ° 1045 1063 1080 1097 1115 1132 1149 1167 1184 1201 1219 83 ° 3 6 9
7 ° 1219 1236 1253 1271 1288 1305 1323 1340 1357 1374 1392 82 ° 3 6 9
8 ° 1392 1409 1426 1444 1461 1478 1495 1513 1530 1547 1564 81 ° 3 6 9
9 ° 1564 1582 1599 1616 1633 1650 1668 1685 1702 1719 0. 1736 80 ° 3 6 9
10 ° 0,1736 1754 1771 1788 1805 1822 1840 1857 1874 1891 1908 79 ° 3 6 9
11 ° 1908 1925 1942 1959 1977 1994 2011 2028 2045 2062 2079 78 ° 3 6 9
12 ° 2079 2096 2113 2130 2147 2164 2181 2198 2215 2233 2250 77 ° 3 6 9
13 ° 2250 2267 2284 2300 2317 2334 2351 2368 2385 2402 2419 76 ° 3 6 8
14 ° 2419 2436 2453 2470 2487 2504 2521 2538 2554 2571 0. 2588 75 ° 3 6 8
15 ° 0,2588 2605 2622 2639 2656 2672 2689 2706 2723 2740 2756 74 ° 3 6 8
16 ° 2756 2773 2790 2807 2823 2840 2857 2874 2890 2907 2924 73 ° 3 6 8
17 ° 2924 2940 2957 2974 2990 3007 3024 3040 3057 3074 3090 72 ° 3 6 8
18 ° 3090 3107 3123 3140 3156 3173 3190 3206 3223 3239 3256 71 ° 3 6 8
19 ° 3256 3272 3289 3305 3322 3338 3355 3371 3387 3404 0. 3420 70 ° 3 5 8
20 ° 0,3420 3437 3453 3469 3486 3502 3518 3535 3551 3567 3584 69 ° 3 5 8
21 ° 3584 3600 3616 3633 3649 3665 3681 3697 3714 3730 3746 68 ° 3 5 8
22 ° 3746 3762 3778 3795 3811 3827 3843 3859 3875 3891 3907 67 ° 3 5 8
23 ° 3907 3923 3939 3955 3971 3987 4003 4019 4035 4051 4067 66 ° 3 5 8
24 ° 4067 4083 4099 4115 4131 4147 4163 4179 4195 4210 0. 4226 65 ° 3 5 8
25 ° 0,4226 4242 4258 4274 4289 4305 4321 4337 4352 4368 4384 64 ° 3 5 8
26 ° 4384 4399 4415 4431 4446 4462 4478 4493 4509 4524 4540 63 ° 3 5 8
27 ° 4540 4555 4571 4586 4602 4617 4633 4648 4664 4679 4695 62 ° 3 5 8
28 ° 4695 4710 4726 4741 4756 4772 4787 4802 4818 4833 4848 61 ° 3 5 8
29 ° 4848 4863 4879 4894 4909 4924 4939 4955 4970 4985 0. 5000 60 ° 3 5 8
30 ° 0,5000 5015 5030 5045 5060 5075 5090 5105 5120 5135 5150 59 ° 3 5 8
31 ° 5150 5165 5180 5195 5210 5225 5240 5255 5270 5284 5299 58 ° 2 5 7
32 ° 5299 5314 5329 5344 5358 5373 5388 5402 5417 5432 5446 57 ° 2 5 7
33 ° 5446 5461 5476 5490 5505 5519 5534 5548 5563 5577 5592 56 ° 2 5 7
34 ° 5592 5606 5621 5635 5650 5664 5678 5693 5707 5721 0. 5736 55 ° 2 5 7
35 ° 0,5736 5750 5764 5779 5793 5807 5821 5835 5850 5864 0,5878 54 ° 2 5 7
36 ° 5878 5892 5906 5920 5934 5948 5962 5976 5990 6004 6018 53 ° 2 5 7
37 ° 6018 6032 6046 6060 6074 6088 6101 6115 6129 6143 6157 52 ° 2 5 7
38 ° 6157 6170 6184 6198 6211 6225 6239 6252 6266 6280 6293 51 ° 2 5 7
39 ° 6293 6307 6320 6334 6347 6361 6374 6388 6401 6414 0. 6428 50 ° 2 4 7
40 ° 0,6428 6441 6455 6468 6481 6494 6508 6521 6534 6547 6561 49 ° 2 4 7
41 ° 6561 6574 6587 6600 6613 6626 6639 6652 6665 6678 6691 48 ° 2 4 7
42 ° 6691 6704 6717 6730 6743 6756 6769 6782 6794 6807 6820 47 ° 2 4 6
43 ° 6820 6833 6845 6858 6871 6884 6896 8909 6921 6934 6947 46 ° 2 4 6
44 ° 6947 6959 6972 6984 6997 7009 7022 7034 7046 7059 0. 7071 45 ° 2 4 6
45 ° 0,7071 7083 7096 7108 7120 7133 7145 7157 7169 7181 7193 44 ° 2 4 6
46 ° 7193 7206 7218 7230 7242 7254 7266 7278 7290 7302 7314 43 ° 2 4 6
47 ° 7314 7325 7337 7349 7361 7373 7385 7396 7408 7420 7431 42 ° 2 4 6
48 ° 7431 7443 7455 7466 7478 7490 7501 7513 7524 7536 7547 41 ° 2 4 6
49 ° 7547 7559 7570 7581 7593 7604 7615 7627 7638 7649 0. 7660 40 ° 2 4 6
50 ° 0,7660 7672 7683 7694 7705 7716 7727 7738 7749 7760 7771 39 ° 2 4 6
51 ° 7771 7782 7793 7804 7815 7826 7837 7848 7859 7869 7880 38 ° 2 4 5
52 ° 7880 7891 7902 7912 7923 7934 7944 7955 7965 7976 7986 37 ° 2 4 5
53 ° 7986 7997 8007 8018 8028 8039 8049 8059 8070 8080 8090 36 ° 2 3 5
54 ° 8090 8100 8111 8121 8131 8141 8151 8161 8171 8181 0. 8192 35 ° 2 3 5
55 ° 0,8192 8202 8211 8221 8231 8241 8251 8261 8271 8281 8290 34 ° 2 3 5
56 ° 8290 8300 8310 8320 8329 8339 8348 8358 8368 8377 8387 33 ° 2 3 5
57 ° 8387 8396 8406 8415 8425 8434 8443 8453 8462 8471 8480 32 ° 2 3 5
58 ° 8480 8490 8499 8508 8517 8526 8536 8545 8554 8563 8572 31 ° 2 3 5
59 ° 8572 8581 8590 8599 8607 8616 8625 8634 8643 8652 0. 8660 30 ° 1 3 4
60 ° 0,8660 8669 8678 8686 8695 8704 8712 8721 8729 8738 8746 29 ° 1 3 4
61 ° 8746 8755 8763 8771 8780 8788 8796 8805 8813 8821 8829 28 ° 1 3 4
62 ° 8829 8838 8846 8854 8862 8870 8878 8886 8894 8902 8910 27 ° 1 3 4
63 ° 8910 8918 8926 8934 8942 8949 8957 8965 8973 8980 8988 26 ° 1 3 4
64 ° 8988 8996 9003 9011 9018 9026 9033 9041 9048 9056 0. 9063 25 ° 1 3 4
65 ° 0,9063 9070 9078 9085 9092 9100 9107 9114 9121 9128 9135 24 ° 1 2 4
66 ° 9135 9143 9150 9157 9164 9171 9178 9184 9191 9198 9205 23 ° 1 2 3
67 ° 9205 9212 9219 9225 9232 9239 9245 9252 9259 9256 9272 22 ° 1 2 3
68 ° 9272 9278 9285 9291 9298 9304 9311 9317 9323 9330 9336 21 ° 1 2 3
69 ° 9336 9342 9348 9354 9361 9367 9373 9379 9383 9391 0. 9397 20 ° 1 2 3
70 ° 9397 9403 9409 9415 9421 9426 9432 9438 9444 9449 0,9455 19 ° 1 2 3
71 ° 9455 9461 9466 9472 9478 9483 9489 9494 9500 9505 9511 18 ° 1 2 3
72 ° 9511 9516 9521 9527 9532 9537 9542 9548 9553 9558 9563 17 ° 1 2 3
73 ° 9563 9568 9573 9578 9583 9588 9593 9598 9603 9608 9613 16 ° 1 2 2
74 ° 9613 9617 9622 9627 9632 9636 9641 9646 9650 9655 0. 9659 15 ° 1 2 2
75 ° 9659 9664 9668 9673 9677 9681 9686 9690 9694 9699 9703 14 ° 1 1 2
76 ° 9703 9707 9711 9715 9720 9724 9728 9732 9736 9740 9744 13 ° 1 1 2
77 ° 9744 9748 9751 9755 9759 9763 9767 9770 9774 9778 9781 12 ° 1 1 2
78 ° 9781 9785 9789 9792 9796 9799 9803 9806 9810 9813 9816 11 ° 1 1 2
79 ° 9816 9820 9823 9826 9829 9833 9836 9839 9842 9845 0. 9848 10 ° 1 1 2
80 ° 0,9848 9851 9854 9857 9860 9863 9866 9869 9871 9874 9877 9 ° 0 1 1
81 ° 9877 9880 9882 9885 9888 9890 9893 9895 9898 9900 9903 8 ° 0 1 1
82 ° 9903 9905 9907 9910 9912 9914 9917 9919 9921 9923 9925 7 ° 0 1 1
83 ° 9925 9928 9930 9932 9934 9936 9938 9940 9942 9943 9945 6 ° 0 1 1
84 ° 9945 9947 9949 9951 9952 9954 9956 9957 9959 9960 9962 5 ° 0 1 1
85 ° 9962 9963 9965 9966 9968 9969 9971 9972 9973 9974 9976 4 ° 0 0 1
86 ° 9976 9977 9978 9979 9980 9981 9982 9983 9984 9985 9986 3 ° 0 0 0
87 ° 9986 9987 9988 9989 9990 9990 9991 9992 9993 9993 9994 2 ° 0 0 0
88 ° 9994 9995 9995 9996 9996 9997 9997 9997 9998 9998 0. 9998 1 ° 0 0 0
89 ° 9998 9999 9999 9999 9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0 ° 0 0 0
90 ° 1.0000
грех 60 ' 54 ' 48 ' 42 ' 36 ' 30 ' 24 ' 18 ' 12 ' 6 ' 0 ' cos 1 ' 2 ' 3 '

Таблица Брэдиса для касательных и котангенсов

тг 0 ' 6 ' 12 ' 18 ' 24 ' 30 ' 36 ' 42 ' 48 ' 54 ' 60 ' CTG 1 ' 2 ' 3 '
0 90 °
0 ° 0,000 0017 0035 0052 0070 0087 0105 0122 0140 0157 0175 89 ° 3 6 9
1 ° 0175 0192 0209 0227 0244 0262 0279 0297 0314 0332 0349 88 ° 3 6 9
2 ° 0349 0367 0384 0402 0419 0437 0454 0472 0489 0507 0524 87 ° 3 6 9
3 ° 0524 0542 0559 0577 0594 0612 0629 0647 0664 0682 0699 86 ° 3 6 9
4 ° 0699 0717 0734 0752 0769 0787 0805 0822 0840 0857 0,0875 85 ° 3 6 9
5 ° 0,0875 0892 0910 0928 0945 0963 0981 0998 1016 1033 1051 84 ° 3 6 9
6 ° 1051 1069 1086 1104 1122 1139 1157 1175 1192 1210 1228 83 ° 3 6 9
7 ° 1228 1246 1263 1281 1299 1317 1334 1352 1370 1388 1405 82 ° 3 6 9
8 ° 1405 1423 1441 1459 1477 1495 1512 1530 1548 1566 1584 81 ° 3 6 9
9 ° 1584 1602 1620 1638 1655 1673 1691 1709 1727 1745 0,1763 80 ° 3 6 9
10 ° 0,1763 1781 1799 1817 1835 1853 1871 1890 1908 1926 1944 79 ° 3 6 9
11 ° 1944 1962 1980 1998 2016 2035 2053 2071 2089 2107 2126 78 ° 3 6 9
12 ° 2126 2144 2162 2180 2199 2217 2235 2254 2272 2290 2309 77 ° 3 6 9
13 ° 2309 2327 2345 2364 2382 2401 2419 2438 2456 2475 2493 76 ° 3 6 9
14 ° 2493 2512 2530 2549 2568 2586 2605 2623 2642 2661 0,2679 75 ° 3 6 9
15 ° 0,2679 2698 2717 2736 2754 2773 2792 2811 2830 2849 2867 74 ° 3 6 9
16 ° 2867 2886 2905 2924 2943 2962 2981 3000 3019 3038 3057 73 ° 3 6 9
17 ° 3057 3076 3096 3115 3134 3153 3172 3191 3211 3230 3249 72 ° 3 6 10
18 ° 3249 3269 3288 3307 3327 3346 3365 3385 3404 3424 3443 71 ° 3 6 10
19 ° 3443 3463 3482 3502 3522 3541 3561 3581 3600 3620 0,3640 70 ° 3 7 10
20 ° 0,3640 3659 3679 3699 3719 3739 3759 3779 3799 3819 3839 69 ° 3 7 10
21 ° 3839 3859 3879 3899 3919 3939 3959 3979 4000 4020 4040 68 ° 3 7 10
22 ° 4040 4061 4081 4101 4122 4142 4163 4183 4204 4224 4245 67 ° 3 7 10
23 ° 4245 4265 4286 4307 4327 4348 4369 4390 4411 4431 4452 66 ° 3 7 10
24 ° 4452 4473 4494 4515 4536 4557 4578 4599 4621 4642 0,4663 65 ° 4 7 11
25 ° 0,4663 4684 4706 4727 4748 4770 4791 4813 4834 4856 4877 64 ° 4 7 11
26 ° 4877 4899 4921 4942 4964 4986 5008 5029 5051 5073 5095 63 ° 4 7 11
27 ° 5095 5117 5139 5161 5184 5206 5228 5250 5272 5295 5317 62 ° 4 7 11
28 ° 5317 5340 5362 5384 5407 5430 5452 5475 5498 5520 5543 61 ° 4 8 11
29 ° 5543 5566 5589 5612 5635 5658 5681 5704 5727 5750 0,5774 60 ° 4 8 12
30 ° 0,5774 5797 5820 5844 5867 5890 5914 5938 5961 5985 6009 59 ° 4 8 12
31 ° 6009 6032 6056 6080 6104 6128 6152 6176 6200 6224 6249 58 ° 4 8 12
32 ° 6249 6273 6297 6322 6346 6371 6395 6420 6445 6469 6494 57 ° 4 8 12
33 ° 6494 6519 6544 6569 6594 6619 6644 6669 6694 6720 6745 56 ° 4 8 13
34 ° 6745 6771 6796 6822 6847 6873 6899 6924 6950 6976 0,7002 55 ° 4 9 13
35 ° 0,7002 7028 7054 7080 7107 7133 7159 7186 7212 7239 7265 54 ° 4 8 13
36 ° 7265 7292 7319 7346 7373 7400 7427 7454 7481 7508 7536 53 ° 5 9 14 °
37 ° 7536 7563 7590 7618 7646 7673 7701 7729 7757 7785 7813 52 ° 5 9 14
38 ° 7813 7841 7869 7898 7926 7954 7983 8012 8040 8069 8098 51 ° 5 9 14
39 ° 8098 8127 8156 8185 8214 8243 8273 8302 8332 8361 0,8391 50 ° 5 10 15
40 ° 0,8391 8421 8451 8481 8511 8541 8571 8601 8632 8662 0,8693 49 ° 5 10 15
41 ° 8693 8724 8754 8785 8816 8847 8878 8910 8941 8972 9004 48 ° 5 10 16
42 ° 9004 9036 9067 9099 9131 9163 9195 9228 9260 9293 9325 47 ° 6 11 16
43 ° 9325 9358 9391 9424 9457 9490 9523 9556 9590 9623 0,9657 46 ° 6 11 17
44 ° 9657 9691 9725 9759 9793 9827 9861 9896 9930 9965 1,0000 45 ° 6 11 17
45 ° 1,0000 0035 0070 0105 0141 0176 0212 0247 0283 0319 0355 44 ° 6 12 18
46 ° 0355 0392 0428 0464 0501 0538 0575 0612 0649 0686 0724 43 ° 6 12 18
47 ° 0724 0761 0799 0837 0875 0913 0951 0990 1028 1067 1106 42 ° 6 13 19
48 ° 1106 1145 1184 1224 1263 1303 1343 1383 1423 1463 1504 41 ° 7 13 20
49 ° 1504 1544 1585 1626 1667 1708 1750 1792 1833 1875 1,1918 40 ° 7 14 21
50 ° 1,1918 1960 2002 2045 2088 2131 2174 2218 2261 2305 2349 39 ° 7 14 22
51 ° 2349 2393 2437 2482 2527 2572 2617 2662 2708 2753 2799 38 ° 8 15 23
52 ° 2799 2846 2892 2938 2985 3032 3079 3127 3175 3222 3270 37 ° 8 16 24
53 ° 3270 3319 3367 3416 3465 3514 3564 3613 3663 3713 3764 36 ° 8 16 25
54 ° 3764 3814 3865 3916 3968 4019 4071 4124 4176 4229 1,4281 35 ° 9 17 26
55 ° 1,4281 4335 4388 4442 4496 4550 4605 4659 4715 4770 4826 34 ° 9 18 27
56 ° 4826 4882 4938 4994 5051 5108 5166 5224 5282 5340 5399 33 ° 10 19 29
57 ° 5399 5458 5517 5577 5637 5697 5757 5818 5880 5941 6003 32 ° 10 20 30
58 ° 6003 6066 6128 6191 6255 6319 6383 6447 6512 6577 6643 31 ° 11 21 32
59 ° 6643 6709 6775 6842 6909 6977 7045 7113 7182 7251 1,7321 30 ° 11 23 34
60 ° 1,732 1,739 1,746 1,753 1,760 1,767 1,775 1,782 1,789 1,797 1 804 29 ° 1 2 4
61 ° 1 804 1811 1819 1827 1834 1842 1849 1857 1865 1873 1881 28 ° 1 3 4
62 ° 1881 1889 1897 1 905 1 913 1 921 1 929 1 937 1 946 1 954 1 963 27 ° 1 3 4
63 ° 1 963 1 971 1,980 1 988 1,997 2 006 2,014 2,023 2,032 2,041 2,05 26 ° 1 3 4
64 ° 2,050 2,059 2,069 2,078 2,087 2,097 2,106 2,116 2,125 2,135 2,145 25 ° 2 3 5
65 ° 2,145 2 154 2 164 2 174 2 184 2 194 2 204 2,215 2,225 2,236 2,246 24 ° 2 3 5
66 ° 2,246 2,257 2,267 2,278 2,289 2,3 2,311 2,322 2,333 2,344 2,356 23 ° 2 4 5
67 ° 2,356 2,367 2,379 2,391 2,402 2,414 2,426 2,438 2,450 2,463 2,475 22 ° 2 4 6
68 ° 2,475 2,488 2,5 2,513 2,526 2,539 2,552 2,565 2,578 2,592 2 605 21 ° 2 4 6
69 ° 2 605 2,619 2,633 2 646 2,66 2,675 2,689 2 703 2,718 2,733 2 747 20 ° 2 5 7
70 ° 2 747 2,762 2,778 2 793 2 808 2 824 2 840 2,856 2 872 2 888 2 904 19 ° 3 5 8
71 ° 2 904 2 921 2 937 2,954 2,971 2,989 3 006 3 024 3 042 3,06 3 078 18 ° 3 6 9
72 ° 3 078 3 096 3,115 3,133 3,152 3 172 3,191 3 211 3,230 3 251 3 271 17 ° 3 6 10
73 ° 3 271 3 291 3,312 3 333 3 354 3 376 3 7 10
3 398 3,42 3 442 3,465 3 487 16 ° 4 7 11
74 ° 3 487 3,511 3,534 3,558 3,582 3 606 4 8 12
3,630 3 655 3 681 3,706 3,732 15 ° 4 8 13
75 ° 3,732 3,758 3,785 3 812 3 839 3 867 4 9 13
3 895 3 923 3 952 3,981 4 011 14 ° 5 10 14
тг 60 ' 54 ' 48 ' 42 ' 36 ' 30 ' 24 ' 18 ' 12 ' 6 ' 0 ' CTG 1 ' 2 ' 3 '

PinkMonkey.

com-Trigonometry Study Guide - 2.4 Таблицы тригонометрической функции

2.4 Таблицы тригонометрической функции

При решении задач с использованием тригонометрических функций, либо задан угол, и необходимо найти значение t-функции, либо дано значение t-функции и должен быть найден угол.

Эти два процесса противоположны друг другу. Таким образом, обратные обозначения используются для выражения ангела через значения t-функций.Для мгновенного cos a = 0,5 можно представить в виде a = cos -1 (-0,5) или a = Arc cos (- 0,5). Два выражения читаются как Альфа, равная 'Обратный cos (-0,5), или Альфа, равная в Arc cos (- 0,5).

Обе эти операции можно выполнить либо с помощью калькулятор или с помощью тригонометрической таблицы. Это явно должно быть отметил, что и калькулятор, и таблица дают только приблизительные ответы.Даже в этом случае мы используем знак равенства (=), но правильнее использовать приближение знак (») приветствуется. Приблизительный значения функций острых углов приведены в Таблицах Натуральный тригонометрический функций . Мы будем использовать тригонометрический таблица, дающая значения до четырех знаков после запятой. Как ясно, что Таблицы не могут перечислить все углы. Следовательно, приближение должно быть используется для поиска значений между приведенными в таблице.Этот способ называется Линейная интерполяция .

Предположение : Различия в функциональных значениях прямо пропорциональны Различия в измерениях угла на очень небольшом интервале.

Осторожно: Это не настоящий правда ! Тем не менее, это дает лучший ответ, чем просто поиск ближайшего значение в таблице.

Рисунок 1

Использование линейной интерполяции Найдите sin (24 0 43 '), учитывая, что sin (24 0 40') = 0,4173 и sin (24 0 50 ') = 0,4200

Решение

У нас грех (24 0 50 ') = 0,4200
и sin (24 0 40 ') = 0,4173
Разница для 10 '= 0.0027

Из-за сделанного предположения, если x - разность для требуемых 3 'имеем соотношение

\ х = 0,3 (0,0027) = 0,00081 »0,0008 (округлено до 4 знаков после запятой)
Таким образом, грех (24 0 40 ') = грех (24 0 40') + грех (0,3 ') угол увеличивается с увеличением его синуса угла и наоборот.
Таким образом, sin (24 0 43 ') = 0.4173 + 0,0008 = 0. 4181


Иллюстрация 2

Найдите cos (64 0 26 '), учитывая, что cos (64 0 20 ') = 0,4331 и cos (64 0 30') = 0,4305

Решение

У нас есть cos (64 0 30 ') = 0.4331
cos (64 0 20 ') = 0,4305

\ Табличная разница для 10 '= 0,0026

\ Требуемая разница для 6 '= (Если х)

\ х = 0,6 (0,0026) = 0,00156 или 0,0016 (104 десятичных знака)

По мере увеличения угла косинус угла уменьшается. Таким образом, cos (64 0 26 ') = 0.4331 - 0,0016

= 0,4315.

Рисунок 3

Найдите tan (28,43) 0 , учитывая, что tan (28,40) 0 = 0,5407 и загар (28,50) 0 = 0,5430

Решение

=

При увеличении угла тангенс угла также увеличивается.
Таким образом, tan (28.43) 0 = 0,5407 + 0,0007 = 0,5414

Рисунок 4
Решите прямоугольный треугольник, в котором a = 24,36 Ð A = 58 0 53 '.

Решение


В прямоугольном треугольнике ABC
A + B + C = 180 0
\ 58 0 53 '+ B + C = 180 0 , учитывая, что C = 90 0
\ B = 90 0 -58 0 53 ' = 31 0 7 '
Используя формулы для t-соотношений,
b / a = детская кроватка A, b = детская кроватка A = 24. 36 (0,6036) = 14,70 (\ детская кроватка A = 0.6036)
c / a = csc A, c = a csc A = 24,36 (1,1681) = 28,45
a / c = sin A, c = a / sin A = 24,36 / 0,8562 = 28,45
b / c = cos A, b = c cos A = 28,45 (0,5168) = 14,70

Примечание: Чтобы сэкономить время, подумайте Иллюстрация 1
Шаг (1) sin (24 0 41 ') = 0,4173, берем всего 4173
(2) Найдите мысленно табличную разницу 27 между 4200 (для греха 24 0 40 ') и 4173 (для sin 24 0 40')
(3) Разница для 3 '= 0.3 (27) = 8,1 (округлено).
(4) Добавьте (с синуса) к 4178, чтобы получить 4181, затем sin 24 0 31 '= 0,4181.

Рисунок 5
Найдите угол A, учитывая, что sin A = 0,4234

Решение
Мы не найдем эту запись в таблице.
Однако 0,4226 = грех 25 0 0 '
0.4253 = грех 25 0 10 '
Табличная разница = 0,0027
Теперь 0,4226 = грех 25,0 '
0,4234 = грех A
0,0008 = частичная разница
исправление = (ближайшая минута)
Сложив (начиная с синуса) поправка будет A = 25 0 0 '+ 3' = 25 0 3 '

Рисунок 6
Найдите A, учитывая, что детская кроватка A = 0.6345

Решение
Имеем 0,6330 = кроватка 57 0 40 '(из таблицы)
0,6371 = детская кроватка 57 0 30 '
Табличный diff. = 0,0041
Теперь 0,6330 = детская кроватка 57 0 40 '
0,6345 = детская кроватка A
Частичная разница. = 0,0015
Исправление = (ближайшая минута)
вычитая (с кроватки), поправка равна A = 57 0 40 ' - 4 '= 57 0 36'.

Примечание: Сохранение времени как - (См. Иллюстрацию 5)
Шаг (1) Найдите следующую меньшую запись, 0,4226 = sin 25 0 0 '. Используйте только 4226.
(2) Найдите табличную разницу. (мысленно), 27.
(3) Найдите частичную разницу. (мысленно), 8 между 4226 и 4234.
(4) Найти (10 ') = 3' и прибавляем (начиная с синуса), чтобы получить A = 25 0 3 '
Зафиксировать в памяти значения t-функций измерения углов 0 0 , 30 0 , 45 0 , 60 0 и 90 0 как следующим образом:

(1) Запишите угол (q) в указанном порядке в 1-м столбце и t-отношения, sin q, cos q, tan q, csc q, sec q, кроватку q в 1-м ряду.
(2) Поместите 0, 1, 2, 3, 4 в столбец sin q. (см. таблицу), затем подставьте 4, 3, 2, 1, 0 в cos q столбец (см. таблицу).
(3) Разделите каждую запись на 4, затем найдите квадратный корень из каждой записи. Это значения соотношений синусов и косинусов углов 0 0 , 30 0 , 45 0 , 60 0 и 90 0
(4) Используйте tan q = q и обратные соотношения для csc q, sec q и детская кроватка q.

Таким образом, мы имеем


Щелкните здесь, чтобы увеличить


Обратите внимание, что
  1. По мере увеличения меры угла значения синусоидальных соотношений увеличивается до 90 0 (п / 2 рад), а затем убывает.
  2. По мере увеличения меры угла значения косинусных отношений уменьшается до 90 0 (п / 2 рад), а затем увеличивается.
  3. По мере увеличения меры угла значения тангенциального отношения неограниченно увеличивается до 90 0 (p / 2 рад), затем бесконечно убывает.

Также обратите внимание, что

  1. Так как sin 2 q + cos2q = 1 имеем | грех д | £ 1 то есть - 1 £ sin q £ 1 и | cos q | 1 фунт стерлингов i.е. - 1 фунт стерлингов cos q £ 1 для всех q. Они называются границами соотношений синусов и косинусов.
  2. Поскольку csc q = у нас,
    csc q ³ 1 или csc q £ 1 и сек q ³ 1 или сек q £ 1 (численно) для допустимых значений q .
  3. tan q и кроватка q может принимать все действительные значения q.

Синус

Синус, записываемый как sin⁡ (θ), является одной из шести основных тригонометрических функций.

Определения синусов

Существует два основных способа обсуждения тригонометрических функций: в терминах прямоугольных треугольников и в терминах единичной окружности. Чаще всего вводят определение тригонометрических функций в виде прямоугольного треугольника, за которым следуют их определения в терминах единичной окружности.

Определение прямоугольного треугольника

Для прямоугольного треугольника с острым углом θ значение синуса этого угла определяется как отношение длины противоположной стороны к длине гипотенузы.

Стороны прямоугольного треугольника обозначаются следующим образом:

  • Соседний: сторона рядом с θ, которая не является гипотенузой
  • Справа: сторона, противоположная θ.
  • Гипотенуза: самая длинная сторона треугольника напротив прямого угла.

Пример:

Найдите sin⁡ (θ) для прямоугольного треугольника ниже.

Мы также можем использовать синусоидальную функцию при решении реальных задач, связанных с прямоугольными треугольниками.

Пример:

Пандус для инвалидного кресла должен иметь угол 10 ° и высоту 3 фута. Какова длина пандуса?

Определение единичной окружности

Тригонометрические функции также могут быть определены как значения координат на единичной окружности.Единичный круг - это круг радиуса 1 с центром в начале координат. Определение тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике допускает углы от 0 ° до 90 ° (0 и в радианах). Определение единичного круга позволяет нам расширить область определения тригонометрических функций на все действительные числа. См. Рисунок ниже.

Учитывая точку (x, y) на окружности единичной окружности, мы можем сформировать прямоугольный треугольник, как показано на рисунке. В таком треугольнике гипотенуза - это радиус единичной окружности, или 1.θ - это угол, образованный между начальной стороной угла вдоль оси x и конечной стороной угла, образованного вращением луча по часовой стрелке или против часовой стрелки. Конечная сторона угла - это гипотенуза прямоугольного треугольника и радиус единичной окружности. Следовательно, он всегда имеет длину 1. Таким образом, мы можем использовать определение синуса в прямоугольном треугольнике, чтобы определить, что

означает, что значение y любой точки на окружности единичной окружности равно sin⁡ (θ).

В отличие от определений тригонометрических функций, основанных на прямоугольных треугольниках, это определение работает для любого угла, а не только для острых углов прямоугольных треугольников, если он находится в пределах области sin⁡ (θ). Область определения синус-функции - (-∞, ∞), а ее диапазон - [-1,1].

Значения синусоидальной функции

Существует множество методов, которые можно использовать для определения значения синуса, например, обращение к таблице косинусов, использование калькулятора и аппроксимация с использованием ряда Тейлора для синуса.В большинстве практических случаев нет необходимости вычислять значение синуса вручную, и вам будет предоставлена ​​таблица, калькулятор или другие справочные материалы.

Калькулятор синуса

Ниже приведен калькулятор, позволяющий определить значение синуса угла или угол по значению синуса.

Часто используемые уголки

Хотя мы можем найти значение синуса для любого угла, есть некоторые углы, которые чаще используются в тригонометрии. Ниже приведены 16 часто используемых углов в радианах и градусах, а также координаты их соответствующих точек на единичной окружности.

Приведенный выше рисунок служит справочным материалом для быстрого определения синусов (значение y) и косинусов (значение x) углов, которые обычно используются в тригонометрии. Как видно из рисунка, синус имеет значение 0 при 0 ° и значение 1 при 90 °. Косинус следует противоположному шаблону; это потому, что синус и косинус являются совместными функциями (описанными позже). Другие часто используемые углы - 30 ° (), 45 ° (), 60 ° () и их соответствующие кратные. Значения косинуса и синуса этих углов стоит запомнить в контексте тригонометрии, поскольку они очень часто используются.

Один из способов, который может помочь запомнить эти значения, - это выразить все значения sin (θ) в виде дробей, содержащих квадратный корень. Начиная с 0 ° и до 90 °, sin (0 °) = 0 =. Последующие значения sin (30 °), sin (45 °), sin (60 °) и sin (90 °) следуют шаблону, так что, используя значение sin (0 °) в качестве ссылки, найти значения синуса для последующих углов, мы просто увеличиваем число под знаком корня в числителе на 1, как показано ниже.

Значения синуса от 0 ° до -90 ° следуют той же схеме, за исключением того, что значения являются отрицательными, а не положительными, поскольку синус отрицателен в квадранте IV.Этот шаблон периодически повторяется для соответствующих угловых измерений, и мы можем определить значения sin (θ) на основе положения θ в единичном круге, принимая во внимание знак синуса: синус положительный в квадрантах I и II и отрицательный. в квадрантах III и IV. Аналогичный метод запоминания можно использовать для косинуса. При необходимости обратитесь к странице косинусов.

Знание значений косинуса и синуса для углов в первом квадранте позволяет нам определить их значения для соответствующих углов в остальных квадрантах в координатной плоскости с помощью опорных углов.

Опорные уголки

Базовый угол - это острый угол (<90 °), который можно использовать для обозначения угла любой меры. Любой угол в координатной плоскости имеет опорный угол от 0 ° до 90 °. Это всегда наименьший угол (относительно оси x), который может быть получен с конечной стороны угла. На рисунке ниже показан угол θ и его опорный угол θ '.

Поскольку θ 'является опорным углом θ, sin both (θ) и sin⁡ (θ') имеют одинаковое значение.Например, 30 ° - это опорный угол 210 °, и если мы обратимся к единичному кругу, мы увидим, что значения синуса обоих имеют величину 1/2, хотя и имеют разные знаки. Поскольку все углы имеют опорный угол, нам действительно нужно знать только значения sin⁡ (θ) (а также значения других тригонометрических функций) в квадранте I. Все другие соответствующие углы будут иметь значения той же величины, и мы просто нужно обращать внимание на их знаки исходя из квадранта, в котором лежит конечная сторона угла.Ниже приведена таблица, в которой показаны знаки косинуса, синуса и тангенса в каждом квадранте.

Синус Косинус Касательная
Квадрант I + + +
Квадрант II + III - - +
Квадрант IV - + -

После определения опорного угла мы можем определить значение тригонометрических функций в любом из других квадрантов, применив соответствующий знак их значения для опорного угла.Следующие шаги можно использовать, чтобы найти опорный угол заданного угла, θ:

  1. Вычтите 360 ° или 2π из угла столько раз, сколько необходимо (угол должен быть от 0 ° до 360 ° или от 0 до 2π). Если полученный угол составляет от 0 ° до 90 °, это опорный угол.
  2. Определите, в каком квадранте лежит конечная сторона угла (начальная сторона угла расположена вдоль положительной оси x).
  3. В зависимости от того, в каком квадранте находится крайняя сторона угла, используйте уравнения в таблице ниже, чтобы найти опорный угол.В квадранте I θ '= θ.
Квадрант II Квадрант III Квадрант IV
θ '= 180 ° - θ θ '= θ - 180 ° θ '= 360 ° - θ

Пример:

Найдите sin⁡ (120 °).

  1. θ уже находится между 0 ° и 360 °
  2. 120 ° лежит во втором квадранте
  3. 180 ° - 120 ° = 60 °, поэтому опорный угол составляет 60 °

sin⁡ (60 °) =.120 ° находится в квадранте II, а синус положительный во втором квадранте, поэтому:

Пример:

Найдите sin⁡ (690 °).

  1. 690 ° - 360 ° = 330 °
  2. 330 ° лежит в квадранте IV
  3. 360 ° - 330 ° = 30 °, поэтому исходный угол равен 30 °

sin⁡ (30 °) =. 330 ° находится в квадранте IV, где синус отрицательный, поэтому:

Свойства синусоидальной функции

Ниже приводится ряд свойств синусоидальной функции, которые может быть полезно знать при работе с тригонометрическими функциями.

Синус является совместной функцией косинуса

Кофункция - это функция, в которой f (A) = g (B) при условии, что A и B являются дополнительными углами. В контексте косинуса и синуса

sin⁡ (θ) = cos⁡ (90 ° - θ)

cos⁡ (θ) = sin⁡ (90 ° - θ)

Пример:

sin⁡ (60 °) = cos⁡ (90 ° - 60 °) = cos⁡ (30 °)

Ссылаясь на единичный круг, показанный выше, мы можем подставить значения для cos⁡ (30 °) и sin⁡ (60 °) и увидеть, что:

Синус - нечетная функция

Нечетная функция - это функция, в которой -f (x) = f (-x).Он симметричен относительно начала координат. Таким образом,

-грех (θ) = sin⁡ (-θ)

Пример:

-sin⁡ (60 °) = sin⁡ (-60 °)
-sin⁡ (60 °) = sin⁡ (300 °)

Обращаясь к единичной окружности, мы можно увидеть, что sin⁡ (60 °) =, поэтому -sin⁡ (60 °) = и sin⁡ (-60 °) эквивалентно sin⁡ (-60 ° + 360 °) = sin⁡ (300 °), что равно. Это только один пример, но это свойство верно для всех углов.

Синус - периодическая функция

Периодическая функция - это функция f, в которой существует некоторое положительное значение p, такое что

е (х + р) = е (х)

для всех x в области f, p - наименьшее положительное число, для которого f является периодическим, и называется периодом f.

Тригонометрические функции обычно используются для моделирования периодических явлений из-за их периодичности; независимо от того, с какой точки мы начинаем на единичной окружности, если мы пройдем расстояние 2π (360 °) по единичной окружности от этой точки, мы вернемся к нашей начальной точке. Если мы посмотрим на синусоидальную функцию, мы обнаружим, что она повторяется каждые 2π, поэтому 2π - это период синусоидальной функции. Мы можем записать это как:

sin⁡ (θ + 2π) = sin⁡ (θ)

Для учета нескольких полных оборотов это также можно записать как

sin⁡ (θ + 2πn) = sin⁡ (θ)

, где n - целое число.

На рисунке ниже показан пример этой периодичности.

Мы видим это синим цветом. . Если мы прибавим 2π к, мы получим угол, показанный красным,. Как видно на рисунке, несмотря на то, что оба угла имеют разную степень вращения, их конечные стороны абсолютно одинаковы, что означает, что. Мы могли бы добавить еще 2π, и все равно оно будет иметь такое же значение синуса, как. Такова природа периодических функций. называются концевыми углами; это углы с одинаковой начальной и конечной сторонами, но с разными поворотами.

Примеры:

1.

2.

График синусоиды

График синуса является периодическим, что означает, что он повторяется бесконечно и имеет область значений -∞

Если бесконечно повторять эту часть y = sin inde (x) слева и справа, то получится полный график синуса.Ниже приведен график, показывающий четыре периода синусоидальной функции в интервале [-4π, 4π].

На этом графике мы видим, что y = sin⁡ (x) демонстрирует симметрию относительно начала координат; если график отражается относительно начала координат, он создает зеркальное отображение. Это подтверждает, что синус - нечетная функция, поскольку -sin⁡ (x) = sin⁡ (-x).

Общее синусоидальное уравнение

Общий вид синусоидальной функции

y = A · sin (B (x - C)) + D

где A, B, C и D - константы.Чтобы иметь возможность изобразить синусоидальное уравнение в общем виде, нам нужно сначала понять, как каждая из констант влияет на исходный график y = sin⁡ (x), как показано выше. Чтобы применить все, что написано ниже, уравнение должно иметь форму, указанную выше; будьте осторожны со знаками.

A - амплитуда функции; высота от центра графика до максимума или минимума. В y = sin⁡ (x) центром является ось x, а амплитуда равна 1, или A = 1, поэтому самая высокая и самая низкая точки, которых достигает график, равны 1 и -1, диапазон sin⁡ (x ).

По сравнению с y = sin⁡ (x), показанным ниже фиолетовым цветом, функция y = 2 sin⁡ (x) (красный) имеет амплитуду, в два раза превышающую амплитуду исходного синусоидального графика.

B - используется для определения периода функции; период функции - это расстояние от пика до пика (или любой точки на графике до следующей совпадающей точки) и может быть найден как. В y = sin⁡ (x) период равен 2π. Мы можем подтвердить это, посмотрев на синусоидальный график. Ссылаясь на рисунок выше, мы видим, что форма синусоидального графика между [-2π, 0] эквивалентна форме из [0, 2π], что означает, что он повторяется в интервале 2π; т.е. имеет период 2π.

По сравнению с y = sin⁡ (x), показанным ниже фиолетовым цветом, который имеет период 2π, y = sin⁡ (2x) (красный) имеет период . Это означает, что граф повторяется через каждые π, а не через каждые 2π.

C - фазовый сдвиг функции; фазовый сдвиг определяет, как функция сдвигается по горизонтали. Если C отрицательно, функция сдвигается влево. Если C положительно, функция сдвигается вправо. Остерегайтесь знака; если у нас есть уравнение, то C нет, потому что это уравнение в стандартной форме.Таким образом, мы бы сместили единицы графика влево.

На рисунке ниже показаны y = sin⁡ (x) (фиолетовый) и (красный). Используя один из пиков синусоидального графика в качестве эталона, мы можем увидеть, что пик в точке был смещен влево от своего исходного положения и теперь находится в точке (0,1).

D - вертикальный сдвиг функции; если D положительно, график сдвигается вверх на D единиц, а если он отрицателен, график сдвигается вниз.

По сравнению с y = sin⁡ (x), показанным ниже фиолетовым цветом, с центром на оси x (y = 0), y = sin (x) +5 (красный) с центром на линии y = 5 ( синий).

Объединив все приведенные выше примеры, на рисунке ниже показан график (красный) по сравнению с графиком y = sin⁡ (x) (фиолетовый).

См. Также косинус, тангенс, единичную окружность, тригонометрические функции, тригонометрию.


Значение sin, cos, tan, cot при 0, 30, 45, 60, 90

Последнее обновление: 27 февраля 2019 г., автор: Teachoo

В чем ценность греха 30?

А как насчет cos 0?

а грех 0?

Как мы их запоминаем?

Давайте узнаем, как это сделать.Обсудим, в чем заключаются разные значения sin, cos, tan, cosec, sec, кроватка в 0, 30, 45, 60 и 90 градусов и как их запомнить.

Итак, мы должны заполнить эту таблицу


Как найти значения?

Чтобы изучить таблицу, мы должны сначала узнать, как грех, потому что загар относятся к

Мы знаем это

  • тангенс θ = sin θ / cosθ
  • сек θ = 1 / cos θ
  • cosec θ = 1 / sin θ
  • детская кроватка θ = 1 / детская кроватка θ

Теперь давайте обсудим разные ценности

За грех

Для запоминания sin 0 °, sin 30 °, sin 45 °, sin 60 ° и sin 90 °

Мы должны научиться этому как

  1. грех 0 ° = 0
  2. грех 30 ° = 1/2
  3. грех 45 ° = 1 / √2
  4. грех 60 ° = √3 / 2
  5. грех 90 ° = 1

Итак, наш узор будет похож на

0, 1/2, 1 / √2, √3 / 2, 1


Для cos

Для запоминания cos 0 °, cos 30 °, cos 45 °, cos 60 ° и cos 90 °

Cos - это противоположность греху.

Мы должны научиться этому как

  1. cos 0 ° = sin 90 ° = 1
  2. cos 30 ° = sin 60 ° = √3 / 2
  3. cos 45 ° = sin 45 ° = 1 / √2
  4. cos 60 ° = sin 30 ° = 1/2
  5. cos 90 ° = sin 0 ° = 0

Итак, для cos это будет похоже на

1, √3 / 2, 1 / √2, 1/2, 0

-объявление-


Для загара

Мы знаем, что tan θ = sin θ / cos θ

Итак, это будет

  • tan 0 ° = sin 0 ° / cos 0 ° = 0/1 = 0
  • tan 30 ° = sin 30 ° / cos 30 ° = (1/2) / (√3 / 2) = 1 / √3
  • tan 45 ° = sin 45 ° / cos 45 ° = (1 / √2) / (1 / √2) = 1
  • tan 60 ° = sin 60 ° / cos 60 ° = (√3 / 2) / (1/2) = √3
  • tan 90 ° = sin 90 ° / cos 90 ° = 1/0 = не определено =

Итак, для загара это

0, 1 / √3, 1, √3, ∞

-объявление-


Для cosec

Мы знаем это

cosec θ = 1 / sin θ

За грех мы знаем

0, 1/2, 1 / √2, √3 / 2, 1

Итак, для cosec это будет

  • cosec 0 ° = 1 / sin 0 ° = 1/0 = Не определено =
  • cosec 30 ° = 1 / sin 40 ° = 1 / (1/2) = 2
  • cosec 45 ° = 1 / sin 45 ° = 1 / (1 / √2) = √2
  • cosec 60 ° = 1 / sin 60 ° = 1 / (√3 / 2) = 2 / √3
  • cosec 90 ° = 1 / sin 90 ° = 1/1 = 1

Итак, для cosec это

∞, 2, √2, 2 / √3, 1

-объявление-


На сек

Мы знаем это

сек θ = 1 / cos θ

Потому что мы знаем

1, √3 / 2, 1 / √2, 1/2, 0

Итак, на секунду это будет

  • сек 0 ° = 1 / cos 0 ° = 1/1 = 1
  • сек 30 ° = 1 / cos 40 ° = 1 / (√3 / 2) = 2 / √3
  • сек 45 ° = 1 / cos 45 ° = 1 / (1 / √2) = √2
  • сек 60 ° = 1 / cos 60 ° = 1 / (1/2) = 2
  • сек 90 ° = 1 / cos 90 ° = 1/0 = Не определено =

Итак, на секунду это

1, 2 / √3, √2, 2,

-объявление-


Для детской кроватки

Мы знаем это

кроватка θ = 1 / tan θ

Что касается загара, мы знаем, что

0, 1 / √3, 1, √3, ∞

Итак, для детской это будет

  • детская кроватка 0 ° = 1 / загар 0 ° = 1/0 = Не определено =
  • детская кроватка 30 ° = 1 / загар 30 ° = 1 / (1 / √3) = √3
  • детская кроватка 45 ° = 1 / тангаж 45 ° = 1/1 = 1
  • детская кроватка 60 ° = 1 / тангенс 60 ° = 1 / √3
  • детская кроватка 90 ° = 1 / загар 90 ° = 1 / ∞ = 0

Итак, для детской кроватки это

∞, √3, 1, 1 / √3, 0

-объявление-

Итак, наша полная таблица выглядит так

Вы также можете попрактиковаться в вопросах, нажав Следующий.


Таблица тригонометрии

Таблица тригонометрии содержит все значения sin, cos, tan для всех углов от 0 до 90 градусов.

Вы также можете скачать его ниже

Радиан Степень Синус Косинус Касательная Радиан Степень Синус Косинус Касательная
0.000 0 0,000 1.000 0,000 0,803 46 0,719 0,695 1.036
0,017 1 0,017 1.000 0,017 0,820 47 0.731 0,682 1.072
0,035 2 0,035 0,999 0,035 0,838 48 0,743 0,669 1.111
0,052 3 0,052 0.999 0,052 0,855 49 0,755 0,656 1.150
0,070 4 0,070 0,998 0,070 0,873 50 0,766 0,643 1.192
0,087 5 0,087 0,996 0,087 0,890 51 0,777 0,629 1,235
0,105 6 0,105 0,995 0,105 0.908 52 0,788 0,616 1,280
0,122 7 0,122 0,993 0,123 0,925 53 0,799 0,602 1,327
0,140 8 0.139 0,990 0,141 0,942 54 0,809 0,588 1,376
0,157 9 0,156 0,988 0,158 0,960 55 0,819 0.574 1,428
0,175 10 0,174 0,985 0,176 0,977 56 0,829 0,559 1,483
0,192 11 0,191 0,982 0.194 0,995 57 0,839 0,545 1,540
0,209 12 0,208 0,978 0,213 1.012 58 0,848 0,530 1.600
0.227 13 0,225 0,974 0,231 1.030 59 0,857 0,515 1,664
0,244 14 0,242 0,970 0,249 1.047 60 0.866 0,500 1,732
0,262 15 0,259 0,966 0,268 1.065 61 год 0,875 0,485 1,804
0,279 16 0,276 0.961 0,287 1.082 62 0,883 0,469 1,881
0,297 17 0,292 0,956 0,306 1.100 63 0,891 0,454 1.963
0,314 18 0,309 0,951 0,325 1.117 64 0,899 0,438 2,050
0,332 19 0,326 0,946 0,344 1.134 65 0,906 0,423 2,145
0,349 20 0,342 0,940 0,364 1.152 66 0,914 0,407 2,246
0,367 21 год 0.358 0,934 0,384 1,169 67 0,921 0,391 2,356
0,384 22 0,375 0,927 0,404 1,187 68 0,927 0.375 2,475
0,401 23 0,391 0,921 0,424 1,204 69 0,934 0,358 2,605
0,419 24 0,407 0,914 0.445 1,222 70 0,940 0,342 2,747
0,436 25 0,423 0,906 0,466 1,239 71 0,946 0,326 2,904
0.454 26 0,438 0,899 0,488 1,257 72 0,951 0,309 3,078
0,471 27 0,454 0,891 0,510 1,274 73 0.956 0,292 3,271
0,489 28 год 0,469 0,883 0,532 1,292 74 0,961 0,276 3,487
0,506 29 0,485 0.875 0,554 1,309 75 0,966 0,259 3,732
0,524 30 0,500 0,866 0,577 1,326 76 0,970 0,242 4.011
0,541 31 год 0,515 0,857 0,601 1,344 77 0,974 0,225 4,331
0,559 32 0,530 0,848 0,625 1.361 78 0,978 0,208 4,705
0,576 33 0,545 0,839 0,649 1,379 79 0,982 0,191 5,145
0,593 34 0.559 0,829 0,675 1,396 80 0,985 0,174 5,671
0,611 35 год 0,574 0,819 0,700 1,414 81 год 0,988 0.156 6,314
0,628 36 0,588 0,809 0,727 1,431 82 0,990 0,139 7,115
0,646 37 0,602 0,799 0.754 1,449 83 0,993 0,122 8,144
0,663 38 0,616 0,788 0,781 1,466 84 0,995 0,105 9,514
0.681 39 0,629 0,777 0,810 1,484 85 0,996 0,087 11,430
0,698 40 0,643 0,766 0,839 1,501 86 0.998 0,070 14.301
0,716 41 год 0,656 0,755 0,869 1,518 87 0,999 0,052 19,081
0,733 42 0,669 0.743 0,900 1,536 88 0,999 0,035 28,636
0,750 43 год 0,682 0,731 0,933 1,553 89 1.000 0,017 57.290
0,768 44 год 0,695 0,719 0,966 1,571 90 1.000 0,000
0,785 45 0,707 0,707 1.000

Скачать в PDF

Что такое единичный круг | StudyPug

Что такое Unit Circle?

В мире исчисления, предварительного исчисления и тригонометрии вы часто встретите ссылки и проблемы, связанные с «единичной окружностью»."Но, как ни странно, нас редко когда учат, что это такое!

Проще говоря, единичная окружность - это математический инструмент, упрощающий использование углов и тригонометрических функций. Понимая и запоминая «единичный круг», мы можем легко справляться с трудностями, которые в противном случае требовали бы вычислений, и значительно облегчили нашу жизнь.

Единичный круг, в его простейшей форме, на самом деле именно то, что он звучит: круг на декартовой плоскости с радиусом ровно 1unit1 unit1unit.Как этот пустой кружок ниже:

Пустая единичная окружность с радиусом 1

Затем, заполнив этот единичный круг обычно используемыми углами и оценив эти углы с помощью синуса и косинуса, мы получим нечто немного более сложное:

Синус и косинус вычисленные углы единичной окружности

Боишься? Не надо. Этот образ может показаться устрашающим, но когда мы разбиваем его на более последовательные части, начинают появляться закономерности.

Единичный круг со всеми 6 функциями триггера Таблица:

Вместо того, чтобы ссылаться на это устрашающее изображение выше, давайте упростим единичный круг с помощью sin⁡cos⁡tan⁡sec⁡csc⁡ \ sin \ cos \ tan \ sec \ cscsincostanseccsc и cot⁡ \ cotcot на красивой маленькой диаграмме:

Схема упрощенной единичной окружности с sin cos tan sec csc и cot

В приведенной выше таблице единичного круга приведены все значения единичного круга для всех 4 квадрантов единичного круга.Как видите, здесь указаны градусы единичной окружности и радианы единичной окружности. Вы должны знать и то, и другое, но, скорее всего, вы будете решать проблемы в радианах. Теперь возникает следующий естественный вопрос: как я могу запомнить единичный круг?

Как запомнить единичный круг:

Запоминание единичной окружности на самом деле намного проще, чем вы думаете, благодаря нескольким маленьким приемам:

Уловка 1:

Из-за следующих 4 уравнений нам нужно запомнить только значения единичной окружности для синуса и косинуса.

tan⁡θ = sin⁡θcos⁡θ, cot⁡θ = cos⁡θsin⁡θ, sec⁡θ = 1cos⁡θ, csc⁡θ = 1sin⁡θ \ tan \ theta = \ frac {\ sin \ theta} {\ cos \ theta}, \ cot \ theta = \ frac {\ cos \ theta} {\ sin \ theta}, \ sec \ theta = \ frac {1} {\ cos \ theta}, \ csc \ theta = \ frac { 1} {\ sin \ theta} tanθ = cosθsinθ, cotθ = sinθcosθ, secθ = cosθ1, cscθ = sinθ1

С этими 4 уравнениями нам даже не нужно запоминать единичную окружность с касательной!

Уловка 2:

Зная, в каких квадрантах x и y положительны, нам нужно только запомнить значения единичного круга для синуса и косинуса в первом квадранте, поскольку значения меняются только по знаку.Чтобы использовать этот трюк, нам нужно сначала понять несколько вещей:

i) Первое, что нужно отметить, это то, какие значения синуса и косинуса дают нам на единичной окружности. Благодаря SOHCAHTOA мы знаем это:

sin⁡θ \ sin \ thetasinθ дает нам координату Y, а cos⁡θ \ cos \ thetacosθ дает нам координату X

ii) Теперь посмотрим на каждый квадрант:

Квадрант 1 : X положительный, Y положительный

Квадрант 2 : X отрицательный, Y положительный

Квадрант 3 : X отрицательный, Y отрицательный

Квадрант 4 : X положительный, Y отрицательный

iii) Далее, посмотрим, где находится каждый квадрант:

Квадрант 1 : 0 - π2 \ frac {\ pi} {2} 2π

Квадрант 2 : π2 − π \ frac {\ pi} {2} - \ pi2π −π

Квадрант 3 : π \ piπ - 3π2 \ frac {3 \ pi} {2} 23π

Квадрант 4 : 3π2−2π \ frac {3 \ pi} {2} - 2 \ pi23π −2π

iv) Значение синуса и косинуса всегда будет «одинаковым» для одного и того же знаменателя:

sin⁡π3 = 32andsin⁡4π3 = −32 \ sin \ frac {\ pi} {3} = \ frac {\ sqrt {3}} {2} и \ sin \ frac {4 \ pi} {3} = - \ frac {\ sqrt {3}} {2} sin3π = 23 и sin34π = −23

С учетом этих приемов процесс запоминания единичного круга становится намного проще!

Как использовать единичный круг:

Лучший способ освоить единичный круг - это попрактиковаться в единичном круге.

Пример 1:

Найдите sin⁡4π3 \ sin \ frac {4 \ pi} {3} sin34π

Шаг 1. Определите квадрант

Поскольку мы имеем дело с синусом, который мы со временем запомним, все, что нам нужно сделать, это выяснить, в каком квадранте мы находимся, чтобы знать, будет ли наш ответ положительным или отрицательным.

Поскольку:

3π2> 4π3> π \ frac {3 \ pi} {2}> \ frac {4 \ pi} {3}> \ pi23π> 34π> π

Таким образом, мы находимся в третьем квадранте.Таким образом, поскольку синус дает нам координату y, и мы находимся в третьем квадранте, наш ответ будет отрицательным!

Шаг 2: Решить

Следующий шаг прост - используя то, что мы запомнили, мы можем легко решить эту задачу.

sin⁡4π3 \ sin \ frac {4 \ pi} {3} sin34π = -32 \ frac {\ sqrt {3}} {2} 23

Пример 2:

Найдите tan⁡π \ tan \ pitanπ

Шаг 1. Определите квадрант

Поскольку мы имеем дело с единичным кругом с загаром, нам нужно будет использовать значения, которые мы запомнили из синуса и косинуса, а затем решить.Однако сначала нам нужно выяснить, в каком квадранте мы находимся, чтобы знать, будут ли наши ответы для синуса и косинуса положительными или отрицательными.

Поскольку:

3π2> π> π2 \ frac {3 \ pi} {2}> \ pi> \ frac {\ pi} {2} 23π> π> 2π

Таким образом, мы находимся между вторым и третьим квадрантами по оси абсцисс. Поскольку синус дает нам координату y, а мы находимся на оси x, наш ответ фактически будет равен нулю! Кроме того, поскольку косинус дает нам координату x, и мы находимся между вторым и третьим квадрантами (где косинус для обоих отрицательный), наш ответ будет отрицательным!

Шаг 2: Решить

Следующий шаг прост - используя то, что мы запомнили, мы можем легко решить эту задачу.Но в этом случае нам понадобится один дополнительный шаг. Мы должны использовать уравнение для касательной, обсуждавшееся ранее в трюке 1 , предполагая, что мы не запомнили значения касательной на единичной окружности.

tan⁡θ = sin⁡θcos⁡θ = 0-1 = 0 \ tan \ theta = \ frac {\ sin \ theta} {\ cos \ theta} = \ frac {0} {- 1} = 0tanθ = cosθsinθ = −10 = 0

Пример 3:

Найдите csc⁡π6 \ csc \ frac {\ pi} {6} csc6π

Шаг 1. Определите квадрант

Поскольку мы имеем дело с косекансом, важно понимать, что нам нужно будет использовать значения синуса для решения с использованием уравнения для косеканса, описанного ранее в уловке 1 .Однако сначала нам нужно выяснить, в каком квадранте мы находимся, чтобы знать, будет ли наш ответ для синуса положительным или отрицательным.

Поскольку:

π2> π6> 0 \ frac {\ pi} {2}> \ frac {\ pi} {6}> 02π> 6π> 0

Таким образом, мы находимся в первом квадранте. Таким образом, поскольку синус дает нам координату y, и мы находимся в первом квадранте, наш ответ будет положительным!

Шаг 2: Решить

Следующий шаг прост - используя то, что мы запомнили, мы можем легко решить эту задачу.Но и в этом случае нам снова нужен один дополнительный шаг. Мы должны использовать уравнение для косеканса, обсуждавшееся ранее в трюке 1 , предполагая, что мы не запомнили значения косеканса на единичной окружности.

csc⁡π6 = 1sin⁡π6 = 10,5 = 2 \ csc \ frac {\ pi} {6} = \ frac {1} {\ sin \ frac {\ pi} {6}} = \ frac {1} {0,5} = 2csc6π = sin6π 1 = 0,51 = 2

Теперь, когда мы немного попрактиковались, займитесь еще немного самостоятельно! В кратчайшие сроки вы будете готовы к любой предстоящей викторине с единичным кругом.

Графики: синус и косинус

Чтобы увидеть, как изображены функции синуса и косинуса, воспользуйтесь калькулятором, компьютером или набором тригонометрических таблиц, чтобы определить значения функций синуса и косинуса для ряда различных степеней ( или радиан) меры (см. таблицу 1).

Затем постройте эти значения и получите основные графики функции синуса и косинуса (рисунок 1).

Рисунок 1
Один период а) синусоидальной функции и б) косинусной функции.

Синус-функция и косинус-функция имеют периоды 2π; поэтому образцы, показанные на рисунке, непрерывно повторяются слева и справа (рисунок 2).

Несколько периодов а) синусоидальной функции и б) косинусной функции.

К функциям синуса и косинуса можно добавить несколько дополнительных членов и множителей, которые изменяют их форму.

Дополнительный член A в функции y = A + sin x допускает вертикальный сдвиг в графике синусоидальных функций. Это также верно для функции косинуса (рисунок 3).

Рисунок 3
Примеры нескольких вертикальных сдвигов синусоидальной функции.

Дополнительный множитель B в функции y = B sin x учитывает амплитуду вариации синусоидальной функции. Амплитуда, | B | - максимальное отклонение от оси x , то есть половина разницы между максимальным и минимальным значениями графика. Это также верно для функции косинуса (рисунок 4).

Рисунок 4
Примеры нескольких амплитуд синусоидальной функции.

Объединение этих цифр дает функции y = A + B sin x , а также y = A + B cos x . Эти две функции имеют минимальных и максимальных значений, как определено следующими формулами. Максимальное значение функции M = A + | B |. Это максимальное значение возникает всякий раз, когда sin x = 1 или cos x = 1. Минимальное значение функции составляет m = A - | B |.Этот минимум возникает всякий раз, когда sin x = -1 или cos x = -1.

Пример 1: Постройте график функции y = 1 + 2 sin x . Какие максимальные и минимальные значения функции?

Максимальное значение - 1 + 2 = 3. Минимальное значение - 1 −2 = -1 (Рисунок 5).


Рисунок 5
Чертеж для примера 1.

Пример 2: Постройте график функции y = 4 + 3 sin x . Какие максимальные и минимальные значения функции?

Максимальное значение 4 + 3 = 7. Минимальное значение 4 - 3 = 1 (Рисунок 6).

Рисунок 6
Чертеж для примера 2.

Дополнительный множитель C в функции y = sin Cx учитывает период изменения (длины цикла) синусоидальной функции.(Это также верно для функции косинуса.) Период функции y = sin Cx равен 2π / | C |. Таким образом, функция y = sin 5 x имеет период 2π / 5. На рисунке 7 показаны дополнительные примеры.

Рисунок 7
Примеры нескольких частот а) синусоидальной функции и б) косинусной функции.

Дополнительный член D в функции y = sin ( x + D ) допускает сдвиг фазы (перемещение графика влево или вправо) на графике синусоидальных функций.(Это также верно для функции косинуса.) Сдвиг фазы равен | D |. Это положительное число. Не имеет значения, будет ли сдвиг влево (если D положительный) или вправо (если D отрицательный). Функция синуса нечетная, а функция косинуса четная. Функция косинуса выглядит точно так же, как функция синуса, за исключением того, что она сдвинута на π / 2 единицы влево (рисунок 8). Другими словами,

Рисунок 8
Примеры нескольких фазовых сдвигов синусоидальной функции.

Пример 3: Каковы амплитуда, период, фазовый сдвиг, максимальное и минимальное значения

y = 3 + 2 sin (3 x -2)

y = 4 cos2π x


Пример 4: Нарисуйте график y = cosπ x .

Поскольку cos x имеет период 2π, cos π x имеет период 2 (рисунок 9).

Рисунок 9
Рисунок для примера 4.

Пример 5: Нарисуйте график y = 3 cos (2x + π / 2).

Поскольку cos x имеет период 2π, cos 2x имеет период π (рисунок 10).

Рисунок 10
Рисунок для примера 5.

График функции y = - f ( x ) находится путем отражения графика функции y = f ( x ) относительно оси x . Таким образом, рисунок может также представлять график y = −3 sin 2 x .

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *