Значения синусов и косинусов на окружности: Тригонометрические функции на единичной окружности. Синус и косинус — урок. Алгебра, 10 класс.

Содержание

10 класс. Алгебра. Тригонометрические функции. Тригонометрические функции числового аргумента. — Тангенс и котангенс.

Комментарии преподавателя

Тан­генс и ко­тан­генс

На преды­ду­щем уроке мы вспом­ни­ли опре­де­ле­ние си­ну­са и ко­си­ну­са. Дадим опре­де­ле­ние тан­ген­са и ко­тан­ген­са.

Рас­смот­рим чис­ло­вую окруж­ность в ко­ор­ди­нат­ной плос­ко­сти. Дано про­из­воль­ное число  Ему со­от­вет­ству­ет един­ствен­ная точка на окруж­но­сти. У точки есть две ко­ор­ди­на­ты (рис. 1).

 

Ко­ор­ди­на­ту  на­зва­ли ко­си­ну­сом числа  ко­ор­ди­на­ту  си­ну­сом числа 

Тан­ген­сом числа  на­зы­ва­ет­ся от­но­ше­ние си­ну­са  к ко­си­ну­су Ко­тан­ген­сом  на­зы­ва­ет­ся от­но­ше­ние ко­си­ну­са к си­ну­су .

Опре­де­лим связь между тан­ген­сом и ко­тан­ген­сом.

 

Линии си­ну­сов и ко­си­ну­сов – это ко­ор­ди­нат­ные оси. Ли­ни­ей тан­ген­сов яв­ля­ет­ся ка­са­тель­ная к окруж­но­сти в точке A, па­рал­лель­ная оси y, ли­ни­ей ко­тан­ген­сов – ка­са­тель­ная в точке B, па­рал­лель­ная оси 

x (рис. 2). 

Вы­чис­лим тан­ген­сы и ко­тан­ген­сы ос­нов­ных углов. 

 

1

1

0

 

Зна­че­ния тан­ген­са и ко­тан­ген­са угла  най­дем из пря­мо­уголь­но­го рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка (рис. 3):

  

Изоб­ра­зим по­лу­чен­ные зна­че­ния тан­ген­сов на чис­ло­вой окруж­но­сти (рис. 4).

При­мер 1.  Найти 

Ре­ше­ние (рис. 5).

При­мер 2. Ре­шить урав­не­ние 

Ре­ше­ние:

Най­дем на линии тан­ген­сов точку  про­ве­дём пря­мую через эту точку и на­ча­ло ко­ор­ди­нат и по­лу­чим две точки пе­ре­се­че­ния с окруж­но­стью –  (рис. 6).

Ответ:  

При­мер 3. Ре­шить урав­не­ние 

Ре­ше­ние (рис. 7).

 

Ответ: 

Мы рас­смот­ре­ли функ­ции тан­ген­са и ко­тан­ген­са, стан­дарт­ные за­да­чи, со­ста­ви­ли таб­ли­цу зна­че­ний тан­ген­са и ко­тан­ген­са, ре­ши­ли про­стей­шие три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния. 

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/10-klass/trigonometricheskie-funkcii/tangens-i-kotangens-2

http://www. uchportal.ru/load/0-0-0-30453-20

http://uslide.ru/images/22/28466/960/img5.jpg

http://cs403029.vk.me/v403029067/698e/VNFMdw7VrfI.jpg

 

Тригонометрия. Единичная окружность

Разделы: Математика, Конкурс «Презентация к уроку»


Презентация к уроку

Загрузить презентацию (323 кБ)


Цель: научить использовать единичную окружность при решении различных тригонометрических заданий.

В школьном курсе математики возможны различные варианты введения тригонометрических функций. Наиболее удобной и часто используемой является «числовая единичная окружность». Её применение в теме «Тригонометрия» весьма обширно.

Единичная окружность используется для:

– определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла;
– нахождения значений тригонометрических функций для некоторых значений числового и углового аргумента;
– выведение основных формул тригонометрии;
– выведения формул приведения;
– нахождения области определения и области значений тригонометрических функций;
– определения периодичности тригонометрических функций;

– определения четности и нечетности тригонометрических функций;
– определения промежутков возрастания и убывания тригонометрических функций;
– определения промежутков знакопостоянства тригонометрических функций;
– радианного измерения углов;
– нахождения значений обратных тригонометрических функций;
– решение простейших тригонометрических уравнений;
– решение простейших неравенств и др.

Таким образом, активное осознанное владение учащимися данным видом наглядности дает неоспоримые преимущества для овладения разделом математики «Тригонометрия».  

Использование ИКТ на уроках преподавания математики позволяет облегчить овладение числовой единичной окружностью. Конечно, интерактивная доска имеет широчайший диапазон применения, однако не во всех  классах она есть. Если же говорить о применении  презентаций, то на просторах Интернета и их выбор велик, и каждый педагог может найти наиболее  приемлемый вариант для своих уроков.

В чем особенность представляемой мною презентации?

Данная презентация предполагает различные варианты использования и не является наглядностью к конкретному уроку в теме «Тригонометрия». Каждый слайд данной презентации  можно использовать обособлено, как на этапе объяснения материала, формирования навыков, так и для рефлексии. При создании данной презентации особое внимание уделялось «читаемости» её с дальнего расстояния, поскольку количество учеников со сниженным зрением постоянно растет. Продумано цветовое решение, логически связанные объекты объединены единым цветом. Презентация анимирована таким образом, чтобы учитель имел возможность комментировать фрагмент слайда, а ученик задать вопрос. Таким образом, данная презентация – это своего рода «подвижные» таблицы. Последние слайды не анимированы и используются для проверки усвоения материала, в ходе решения тригонометрических  заданий. Окружность на слайдах максимально упрощена внешне и максимально приближена к изображаемой на тетрадном листе учениками. Это условие я считаю принципиальным. У учащихся важно сформировать мнение о единичной окружности, как о доступном и мобильном (хотя и не единственном) виде наглядности при решении тригонометрических заданий.

Данная презентация поможет педагогам познакомить учеников с единичной окружностью в 9 классе на уроках геометрии при изучении темы «Соотношения между сторонами и углами треугольника».  И, конечно, она поможет расширить и углубить навык работы с единичной окружностью при решении тригонометрических заданий у учащихся старшего звена обучения на уроках алгебры.

Слайды 3, 4 поясняют построение единичной окружности;  принцип определения местоположения точки на единичной окружности  в I и II координатных четвертях; переход от геометрических определений функций синус и косинус (в прямоугольном треугольнике)  к алгебраическим на единичной окружности.

Слайды 5-8  поясняют, как найти значения тригонометрических функций для основных углов I координатной четверти.

Слайды 9-11 поясняет знаки функций в координатных четвертях; определение промежутков знакопостоянства тригонометрических функций.

Слайд 12 используется для формирования  представлений о положительных и отрицательных значениях углов; знакомством с понятием периодичности тригонометрических функций.

Слайды 13, 14   используются при переходе на радианную меру угла.

Слайды 15-18  не анимированы и используются   при решении различных тригонометрических заданий, закрепления и проверки результатов усвоения материала.

Содержание:

  1. Титульный лист.
  2. Целеполагание.
  3. Построение единичной окружности. Основные значения углов в градусной мере.
  4. Определение синуса и косинуса угла на единичной окружности.
  5. Табличные значения для синуса  в порядке возрастания.
  6. Табличные значения для косинуса  в порядке возрастания.
  7. Табличные значения для тангенса  в порядке возрастания.
  8. Табличные значения для котангенса  в порядке возрастания.
  9. Знаки функции sin α.
  10. Знаки функции cos α.
  11. Знаки функций tg α и ctg α.
  12. Положительные и отрицательные значения углов на единичной окружности.
  13. Радианная мера угла.
  14. Положительные и отрицательные значения углов в радианах на единичной окружности.
  15. Различные варианты единичной окружности для закрепления и проверки результатов усвоения материала.

7.4 – Тригонометрические функции на единичной окружности – Алгебра и тригонометрия

Цели обучения

В этом разделе вы:

7. 4.1 – Находить значения функции для синуса и косинуса с помощью единичной окружности.

7.4.2 – Найти опорные углы.

7.4.3 – Использование эталонных углов для оценки тригонометрических функций.

Рисунок 1. Singapore Flyer — самое высокое колесо обозрения в мире. (кредит: ʺVibin JKʺ/Flickr)

Хотите острых ощущений? Тогда подумайте о поездке на Singapore Flyer, самом высоком в мире колесе обозрения. Расположенное в Сингапуре колесо обозрения поднимается на высоту 541 фут — чуть больше десятой мили! Описанное как колесо обозрения, всадники наслаждаются захватывающими видами, путешествуя от земли к вершине и снова вниз по повторяющейся схеме. В этом разделе мы рассмотрим этот тип вращательного движения по окружности. Для этого нам нужно сначала определить тип круга, а затем поместить этот круг в систему координат. Тогда мы можем обсудить круговое движение в терминах пар координат.

7.4.1 – Нахождение тригонометрических функций с помощью единичной окружности

Мы уже определили тригонометрические функции в терминах прямоугольных треугольников. В этом разделе мы переопределим их в терминах единичного круга. Напомним, что единичный круг — это круг с центром в начале координат и радиусом 1, как показано на (рис.). Угол (в радианах), который пересекает [латекс]\,t\,[/латекс], образует дугу длины [латекс]\,s.\,[/латекс]. Используя формулу [латекс]\,s=rt, [/latex] и зная, что [latex]\,r=1,[/latex] мы видим, что для единичного круга [latex]\,s=t.[/latex]

Оси x- и y- делят координатную плоскость на четыре четверти, называемые квадрантами. Мы помечаем эти квадранты, чтобы имитировать направление положительного угла. Четыре квадранта обозначены I, II, III и IV.

Для любого угла [латекс]\,t,[/латекс] мы можем пометить пересечение конечной стороны и единичной окружности его координатами [латекс]\,\влево(х,у\вправо).\ ,[/latex] Координаты [latex]\,x\,[/latex] и [latex]\,y\,[/latex] будут выходами тригонометрических функций [latex]\,f\left(t \right)=\mathrm{cos}\,t\,[/latex] и [latex]\,f\left(t\right)=\mathrm{sin}\,t,[/latex] соответственно. Это означает [латекс]\фантом{\правило{0.3em}{0ex}}x=\text{cos}t\phantom{\rule{0.3em}{0ex}}[/латекс] и [латекс]\фантом{ \rule{0.3em}{0ex}}y=\text{sin}t.[/latex]

. /латекс] В единичном круге длина дуги, на которую опирается точка, равна радиану центрального угла [латекс]\,t.[/латекс]

Пусть [латекс]\,\left(x,y\ right)\,[/latex] — конечная точка единичной окружности дуги длины дуги [latex]\,s.\,[/latex] [latex]\,\left(x,y\right)\ ,[/latex] координаты этой точки можно описать как функции угла.

Определение функций синуса и косинуса по единичной окружности

Синусоидальная функция связывает вещественное число [латекс]\,t\,[/латекс] с y -координатой точки, в которой соответствующий угол пересекает единичную окружность . Точнее, синус угла [латекс]\,t\,[/латекс] равен y -значению конечной точки на единичной окружности дуги длины [латекс]\,t.\,[/ латекс] В (Рисунок) синус равен [латекс]\,у.\,[/латекс] Как и все функции, синус имеет вход и выход. {2}.\,[/latex] Имейте в виду, что многие калькуляторы и компьютеры не распознают сокращенную запись. Если вы сомневаетесь, используйте дополнительные скобки при вводе вычислений в калькулятор или компьютер.

Функции синуса и косинуса

Если [латекс]\,t\,[/латекс] является действительным числом и точкой [латекс]\,\влево(х,у\вправо)\,[/латекс] на единичный круг соответствует центральному углу [латекс]\,t,[/латекс], тогда

[латекс]\mathrm{cos}\,t=x[/латекс]

[латекс]\mathrm{sin}\, t=y[/latex]

How To

Дана точка P [latex]\,\left(x,y\right)\,[/latex] на единичной окружности, соответствующая углу [ латекс]\,t,[/латекс] найти синус и косинус.

  1. Синус [латекс]\,t\,[/латекс] равен y -координате точки [латекс]\,P:\text{sin }t\text{ = }y. [/латекс]
  2. Косинус [латекс]\,t\,[/латекс] равен x -координате точки [латекс]\,P:\text{cos} t=x.[/латекс]

Пример 1.

Нахождение значений функций для синуса и косинуса как показано на (рисунок). Найдите [латекс]\,\mathrm{cos}\left(t\right)\,[/latex] и [латекс]\,\text{sin}\left(t\right).[/latex]

Рисунок 4.

Мы знаем, что [латекс]\,\mathrm{cos}\,t\,[/латекс] является x -координатой соответствующей точки на единичной окружности и [латекс]\, \mathrm{sin}\,t\,[/latex] — это y -координата соответствующей точки на единичной окружности. Итак:

[латекс]$$\begin{array}{ccc}\hfill x& =\mathrm{cos}\,t\hfill & =\frac{1}{2}\hfill \\ y& =\mathrm{ sin}\,t\hfill & =\frac{\sqrt{3}}{2}\hfill \end{array}$$[/latex]

Попробуйте

Некоторый угол [латекс]\,t\,[/латекс] соответствует точке на единичной окружности в точке [латекс]\,\left(-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{ \sqrt{2}}{2}\right)\,[/latex], как показано на (рис.). Найдите [латекс]\,\mathrm{cos}\,t\,[/латекс] и [латекс]\,\mathrm{sin}\,t.[/латекс]

Рисунок 5. Показать ответ

[латекс ] \ mathrm {cos} \ left (t \ right) = — \ frac {\ sqrt {2}} {2}, \ mathrm {sin} \ left (t \ right) = \ frac {\ sqrt {2}} {2}[/латекс]

 

Нахождение синусов и косинусов углов на оси

Для четырехугольных углов соответствующая точка на единичной окружности попадает на x- или y -ось. В этом случае мы можем легко вычислить косинус и синус по значениям [латекс]\,х\,[/латекс] и [латекс]\,у.[/латекс]

Пример 2. Вычисление синусов и косинусов вдоль Ось

Найти [латекс]\,\text{cos}\left(90°\right)\,[/latex] и [латекс]\,\text{sin}\left(90°\right).[/ латекс]

Перемещение [латекс]\,90°\,[/латекс] против часовой стрелки по единичному кругу от положительной оси x приводит нас к вершине круга, где [латекс]\,\левый( координаты x,y\right)\,[/latex] равны [latex]\,\left(0,1\right),[/latex], как показано на (рис.).

Рисунок 6.

Затем мы можем использовать наши определения косинуса и синуса.

[латекс]$$\begin{array}{cccc}\hfill x& =\text{cos} t\hfill & =\mathrm{cos}\left(90°\right)\hfill & =0\hfill \ \ \hfill y& =\text{sin }t\hfill & =\mathrm{sin}\left(90°\right)\hfill & =1\hfill \end{array}$$[/latex]

Косинус of [латекс]\,90°\,[/латекс] равно 0; синус [латекс]\,90°\,[/латекс] равен 1.

Попробуйте

Найдите косинус и синус угла [латекс]\,\пи . [/латекс]

Показать ответ

[латекс]\mathrm{cos}\left(\pi \right)=-1,\mathrm{sin}\left(\pi \right)=0[/latex]

 

7.4.2 – Нахождение опорных углов

Мы обсудили нахождение синуса и косинуса для углов в первом квадранте, но что, если наш угол находится в другом квадранте? Для любого заданного угла в первом квадранте существует угол во втором квадранте с таким же значением синуса. Поскольку значением синуса является координата y на единичной окружности, другой угол с таким же синусом будет иметь те же y -значение, но имеют противоположное x -значение. Следовательно, его значение косинуса будет противоположно значению косинуса первого угла.

Аналогично, в четвертом квадранте будет угол с тем же косинусом, что и исходный угол. Угол с тем же косинусом будет иметь то же значение x , но будет иметь противоположное значение y . Следовательно, его значение синуса будет противоположно значению синуса исходного угла.

Как показано на (Рисунок), угол [латекс]\,\альфа \,[/латекс] имеет то же значение синуса, что и угол [латекс]\,t;[/латекс], значения косинуса противоположны. Угол [латекс]\,\бета \,[/латекс] имеет то же значение косинуса, что и угол [латекс]\,t;[/латекс], значения синуса противоположны.

[латекс]$$\begin{array}{ccc}\mathrm{sin}\left(t\right)=\mathrm{sin}\left(\alpha\right)\hfill & \phantom{\rule{ 1em}{0ex}}\text{and}\phantom{\rule{1em}{0ex}}& \mathrm{cos}\left(t\right)=-\mathrm{cos}\left(\alpha\right )\hfill \\ \mathrm{sin}\left(t\right)=-\mathrm{sin}\left(\beta\right)\hfill & \phantom{\rule{1em}{0ex}}\text{ и}\phantom{\rule{1em}{0ex}}& \mathrm{cos}\left(t\right)=\mathrm{cos}\left(\beta\right)\hfill \end{array}$$ [/латекс]

Рисунок 16.

Напомним, что опорный угол угла — это острый угол, [латекс]\,t,[/латекс], образованный конечной стороной угла [латекс]\,t\,[/латекс] и горизонтальной осью. Базовый угол всегда представляет собой угол между [латексом]\,0\,[/латексом] и [латексом]\,90°,[/латексом] или [латексом]\,0\,[/латексом] и [латексом]. \,\frac{\pi }{2}\,[/latex] радианы. Как видно из (рис.), для любого угла в квадрантах II, III или IV существует опорный угол в квадрантах I.

Рисунок 17.

Как сделать0012 Учитывая угол между [латекс]\,0\,[/латекс] и [латекс]\,2\pi ,[/латекс] найти его исходный угол.

  1. Угол в первом квадранте является собственным опорным углом.
  2. Для угла во втором или третьем квадранте опорным углом является [латекс]\,|\pi -t|\,[/латекс] или [латекс]\,|180°-t|.[/латекс]
  3. Для угла в четвертом квадранте опорный угол равен [латекс]\,2\pi -t\,[/латекс] или [латекс]\,360°-t[/латекс]
  4. Если угол меньше [латекс]\,0\,[/латекс] или больше [латекс]\,2\пи ,[/латекс] добавить или вычесть [латекс]\,2\пи \,[/ латекс] столько раз, сколько необходимо, чтобы найти эквивалентный угол между [латекс]\,0\,[/латекс] и [латекс]\,2\пи .[/латекс]

Пример 3. Нахождение опорного угла

Найдите опорный угол [латекс]\,225°\,[/латекс], как показано на (рис. ).

Рисунок 17.

Поскольку [латекс]\,225°\,[/латекс] находится в третьем квадранте, опорный угол равен

[латекс]|\left(180°-225°\right)|= |-45°|=45°[/latex]

Попробуйте

Найдите исходный угол [латекс]\,\frac{5\pi }{3}.[/latex]

Показать ответ

[латекс] \ гидроразрыва {\ пи {3} [/латекс]

 

7.4.3 – Использование опорных углов

Теперь давайте еще раз рассмотрим колесо обозрения, представленное в начале этого раздела. Предположим, всадник делает снимок, остановившись в двадцати футах над уровнем земли. Затем всадник вращается на три четверти круга. Какова новая высота всадника? Чтобы ответить на такие вопросы, как этот, нам нужно оценить функции синуса или косинуса при углах, превышающих 90 градусов, или под отрицательным углом. Опорные углы позволяют вычислять тригонометрические функции для углов вне первого квадранта. Их также можно использовать для нахождения [латексных]\,\левых (х, у\правых)\,[/латексных] координат для этих углов. Мы будем использовать опорный угол угла поворота в сочетании с квадрантом, в котором лежит конечная сторона угла.

Использование опорных углов для вычисления тригонометрических функций

Мы можем найти косинус и синус любого угла в любом квадранте, если знаем косинус или синус его опорного угла. Абсолютные значения косинуса и синуса угла такие же, как у опорного угла. Знак зависит от квадранта исходного угла. Косинус будет положительным или отрицательным в зависимости от знака значений x в этом квадранте. Синус будет положительным или отрицательным в зависимости от знака числа 9.0021 y -значения в этом квадранте.

Использование опорных углов для нахождения косинуса и синуса

Углы имеют косинусы и синусы с тем же абсолютным значением, что и их опорные углы. Знак (положительный или отрицательный) можно определить по квадранту угла.

Как сделать

По заданному углу в стандартном положении найдите опорный угол, а также косинус и синус исходного угла.

  1. Измерьте угол между конечной стороной заданного угла и горизонтальной осью. Это опорный угол.
  2. Определите значения косинуса и синуса опорного угла.
  3. Присвойте косинусу тот же знак, что и значениям x в квадранте исходного угла.
  4. Присвойте синусу тот же знак, что и y -значения в квадранте исходного угла.

Пример 4. Использование опорных углов для нахождения синуса и косинуса

  1. Используя опорный угол, найдите точное значение [латекс]\,\mathrm{cos}\left(150°\right)\,[/latex] и [латекс]\,\text{sin}\left(150°\right).[/latex]
  2. Используя базовый угол, найдите [латекс]\,\mathrm{cos}\,\frac{5\pi }{4}\,[/latex] и [латекс]\,\mathrm{sin}\,\frac {5\pi }{4}.[/латекс]
  1. [латекс]150°\,[/латекс] находится во втором квадранте. Угол, который он образует с осью x , равен [латекс]\,180°-150°=30°,[/латекс], поэтому опорный угол равен [латекс]\,30°. [/латекс]

    Это говорит нам о том, что [латекс]\,150°\,[/латекс] имеет те же значения синуса и косинуса, что и [латекс]\,30°,[/латекс], за исключением знака.

    [латекс]$$\begin{array}{ccc}\mathrm{cos}\left(30°\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}& \phantom{\rule{1em}{ 0ex}}\text{and}\phantom{\rule{1em}{0ex}}& \mathrm{sin}\left(30°\right)=\frac{1}{2}\end{array}$$ [/латекс]

    Поскольку [латекс]\,150°\,[/латекс] находится во втором квадранте, координата x точки на окружности отрицательна, поэтому значение косинуса отрицательно. Координата y положительна, поэтому значение синуса положительно.

    [латекс]$$\begin{array}{ccc}\mathrm{cos}\left(150°\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}& \phantom{\rule{1em} {0ex}}\text{and}\phantom{\rule{1em}{0ex}}& \mathrm{sin}\left(150°\right)=\frac{1}{2}\end{array}$ $[/латекс]

  2. [латекс]\frac{5\pi }{4}\,[/латекс] находится в третьем квадранте. Его опорный угол равен [латекс]\,\frac{5\pi }{4}-\pi =\frac{\pi }{4}.\,[/latex] Косинус и синус [латекса]\,\ frac{\pi }{4}\,[/latex] оба [латекс]\,\frac{\sqrt{2}}{2}. \,[/latex] В третьем квадранте оба [латекс]\ ,x\,[/latex] и [latex]\,y\,[/latex] отрицательны, поэтому:

    [латекс] $ $ \ begin {array} {ccc} \ mathrm {cos} \ phantom {\ rule {0.03em} {0ex}} \ frac {5 \ pi} {4} = — \ frac {\ sqrt { 2}}{2}& \phantom{\rule{1em}{0ex}}\text{and}\phantom{\rule{1em}{0ex}}& \mathrm{sin}\phantom{\rule{0.03em }{0ex}}\frac{5\pi }{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}$$[/latex]

Попробуйте

  1. Используйте опорный угол [латекс]\,315°\,[/латекс], чтобы найти [латекс]\,\mathrm{cos}\left(315°\право)\,[/латекс ] и [латекс]\,\mathrm{sin}\left(315°\right).[/latex]
  2. Используйте опорный угол [латекс]\,-\frac{\pi }{6}\,[/latex], чтобы найти [латекс]\,\mathrm{cos}\left(-\frac{\pi }{ 6}\right)\,[/latex] и [латекс]\,\mathrm{sin}\left(-\frac{\pi }{6}\right).[/latex]
Показать ответ
  1. [латекс]\text{cos}\left(315°\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}, \text{sin}\left(315°\right)=\ frac{–\sqrt{2}}{2}[/latex]
  2. [латекс] \ text {cos} \ left (- \ frac {\ pi } {6} \ right) = \ frac {\ sqrt {3}} {2}, \ mathrm {sin} \ left (- \ frac {\pi} {6}\right)=-\frac{1}{2}[/latex]

 

Использование опорных углов для нахождения координат

Теперь, когда мы научились находить значения косинуса и синуса для специальных углов в первом квадранте, мы можем использовать симметрию и опорные углы для заполнения значений косинуса и синуса для остальных специальных углов. углы на единичной окружности. Они показаны на (рис.). Уделите время изучению [латексных]\,\левых(х,у\правых)\,[/латексных] координат всех основных углов в первом квадранте.

Рисунок 19. Особые углы и координаты соответствующих точек на единичной окружности

Помимо изучения значений специальных углов, мы можем использовать эталонные углы для нахождения [латекс]\,\влево(х,у\вправо)\ ,[/latex] координаты любой точки на единичной окружности, используя то, что мы знаем об опорных углах, а также тождества

[latex]$$\begin{array}{c}x=\text{cos }t\hfill \\ y=\text{sin }t\hfill \end{array}$$[/latex]

Сначала мы находим опорный угол, соответствующий заданному углу. Затем мы берем значения синуса и косинуса опорного угла и присваиваем им знаки, соответствующие y – и x – значения квадранта.

Как сделать

Зная угол точки на окружности и радиус окружности, найдите [латекс]\,\влево(х,у\вправо)\,[/латекс] координаты точки.

  1. Найдите опорный угол, измерив наименьший угол относительно оси x .
  2. Найдите косинус и синус опорного угла.
  3. Определите соответствующие знаки для [латекс]\,х\,[/латекс] и [латекс]\,у\,[/латекс] в заданном квадранте.

Пример 5. Использование единичной окружности для поиска координат

Найдите координаты точки на единичной окружности под углом [латекс]\,\frac{7\pi }{6}.[/latex]

Мы знаем, что угол [латекс]\,\frac{7\pi }{6}\,[/латекс] лежит в третьем квадранте.

Сначала найдем опорный угол, измерив угол относительно оси x . Чтобы найти исходный угол угла, крайняя сторона которого находится в квадранте III, мы находим разность угла и [латекс]\,\пи .[/латекс]

[латекс]\frac{7\pi }{6}-\pi =\frac{\pi }{6}[/latex]

Далее найдем косинус и синус опорного угла.

[латекс]$$\begin{array}{cc}\mathrm{cos}\left(\frac{\pi }{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\hfill & \phantom{\rule{1em}{0ex}}\mathrm{sin}\left(\frac{\pi }{6}\right)=\frac{1}{2}\hfill \end{array}$ $[/latex]

Мы должны определить соответствующие знаки для x и y в данном квадранте. Поскольку исходный угол находится в третьем квадранте, где и [латекс]\,х\,[/латекс] и [латекс]\,у\,[/латекс] отрицательны, то и косинус, и синус отрицательны.

[латекс]$$\begin{array}{ccc}\hfill\mathrm{cos}\left(\frac{7\pi }{6}\right)& =& -\frac{\sqrt{3} {2}\hfill \\ \hfill \mathrm{sin}\left(\frac{7\pi }{6}\right)& =& -\frac{1}{2}\hfill \end{array} $$[/latex]

Теперь мы можем вычислить координаты [latex]\,\left(x,y\right)\,[/latex], используя тождества [latex]\,x=\mathrm{cos}\ ,\theta \,[/latex] и [latex]\,y=\mathrm{sin}\,\theta .[/latex]

Координаты точки: [latex]\,\left(-\frac {\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2}\right)\,[/latex] на единичной окружности.

Попробуйте

Найдите координаты точки на единичной окружности под углом [латекс]\,\frac{5\pi }{3}.[/latex]

Показать ответ

[латекс]\left( \frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)[/latex]

 

Доступ к этим онлайн-ресурсам для получения дополнительных инструкций и практики с функциями синуса и косинуса.

  • Тригонометрические функции с использованием единичной окружности
  • Синус и косинус от блока
  • Синус и косинус единичной окружности и числа Пи, деленные на шесть 9{2}t=1[/латекс]

    Ключевые понятия

    • Нахождение значений функции для синуса и косинуса начинается с рисования единичной окружности с центром в начале координат и радиусом 1 единица.
    • Используя единичную окружность, синус угла [латекс]\,t\,[/латекс] равен y -значению конечной точки на единичной окружности дуги длины [латекс]\,t\, [/latex], тогда как косинус угла [latex]\,t\,[/latex] равен x -значению конечной точки. См. (Пример 1).
    • Значения синуса и косинуса наиболее непосредственно определяются, когда соответствующая точка на единичной окружности попадает на ось. См. (Пример 2).
    • Синус и косинус угла имеют то же абсолютное значение, что и синус и косинус исходного угла.
    • Знаки синуса и косинуса определяются из значений x – и y в квадранте исходного угла.
    • Опорный угол угла представляет собой размерный угол, [латекс]\,t,[/латекс], образованный конечной стороной угла [латекс]\,t\,[/латекс] и горизонтальной осью. См. (Пример 3).
    • Опорные углы можно использовать для нахождения синуса и косинуса исходного угла. См. (Пример 4).
    • Справочные углы также можно использовать для определения координат точки на окружности. См. (Пример 5).

    Глоссарий

    Функция косинуса
    x — значение точки на единичной окружности, соответствующей заданному углу
    Пифагорейская идентичность
    следствие теоремы Пифагора, утверждающее, что квадрат косинуса данного угла плюс квадрат синуса этого угла равен 1
    Функция синуса
    y -значение точки на единичной окружности, соответствующей заданному углу

    Тригонометрия (дополнительно): Тригонометрические значения: Форма единичного круга


        что вы узнаете. ..

    Названия тригонометрических функций

    »  Angle θ» role=»presentation»>θθ задает класс подобных прямоугольных треугольников.

        →  Любой репрезентативный треугольник отражает свойства всех треугольников в классе.

     »  Репрезентативный треугольник выбран в единичной окружности . »  sin e: корень слова, означающий аккорд.
        »  tan gent: означает касание кривой
        »  sec ant: означает разрезание

      »  co mplementary: значение завершается до прямого угла.
        »  co-s ine
        »  co-t angent
        »  co-sec ant

    Переопределение тригонометрических значений

     »  Точка на единичной окружности под заданным углом θ» role=»presentation»>θθ
          Представитель класса подобных прямоугольных треугольников

     »  Проекция на ось Y = y» role=»presentation»>yy
        →  Противоположная сторона треугольника обобщается на координату Y

     »  Проекция на ось x = x» role=»presentation»>xx
        →  смежная сторона в треугольнике обобщается до координаты x

     »  sinθ=y» role=»presentation»>sinθ=ysinθ=y
          Y-координата точки на единичной окружности

     »  cosθ=x» role=»presentation»>cosθ=xcosθ=x
          x-координата точки на единичной окружности

     »  и соответственно tan» role=»presentation»>tantan, sec» role=»presentation»>secsec, csc» role=»presentation»>csccsc, cot» role=»presentation»>cotcot.

    Резюме

    В начале тригонометрии были объяснены определения тригонометрических соотношений для прямоугольных треугольников.

     •  синус,

     •  косинус,

     •  тангенс (тангенс),

     •  секанс,

     •  сосеканс и

     •  cot (котангенс)

    Давайте посмотрим на уточненное определение того же самого.

    единичный круг

    Окружность с радиусом 1″ role=»presentation»>11 единиц называется единичным кругом.

    Было объяснено, что тригонометрические соотношения определяются для множества подобных прямоугольных треугольников. Рассмотрим прямоугольный треугольник, заключенный в единичный круг, как показано на рисунке. Любой прямоугольный треугольник с одним углом θ» role=»presentation»>θθ представлен △OPQ» role=»presentation»>△OPQ△OPQ.

    Гипотенуза в данном треугольнике равна OQ¯» role=»presentation»>¯¯¯¯¯¯OQOQ¯.

    OP¯» role=»presentation»>¯¯¯¯¯¯OPOP¯ — соседняя сторона, а PQ¯» role=»presentation»>¯¯¯¯¯¯PQPQ¯ — сторона, противоположная ∠&#x3B8 ;» role=»presentation»>∠θ∠θ

    chord

    Хорда окружности равна (QQ′)¯» role=»presentation»>¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯( QQ’)(QQ’)¯.

    Обратите внимание, что в данной единице измерения OQ&#xAF=1″ role=»presentation»>¯¯¯¯¯¯OQ=1OQ¯=1.

    sinθ» role=»presentation»>sinθsinθ на данном рисунке равно PQ¯÷OQ¯» role=»presentation»>¯¯¯¯¯¯PQ÷¯¯¯¯¯¯OQPQ¯÷OQ¯=PQ¯» role=»presentation»>=¯¯¯¯¯¯PQ=PQ¯

    Корень слова «грех», «роль» = «представление»> «грех» относится к хорде круга.

    Для заданного угла θ» role=»presentation»>θθ линия PQ¯» role=»presentation»>¯¯¯¯¯¯PQPQ¯ составляет половину хорды, как показано на рисунке. Таким образом, отношение называется sin» role=»presentation»>sinsin, относящимся к длине хорды под данным углом.

    переопределить синус

    Учитывая, что точка Q» role=»presentation»>QQ есть (x,y)» role=»presentation»>(x,y)(x,y),

    sinθ= y» role=»presentation»>sinθ=ysinθ=y

    До сих пор sin,cos,…» role=»presentation»>sin,cos,…sin,cos,… назывались тригонометрическими отношения. Учитывая единичный круг и точку (x,y)» role=»presentation»>(x,y)(x,y) под углом θ» role=»presentation»>θθ на единичной окружности, sin,cos. ..» role=»presentation»>sin,cos…sin,cos… называются тригонометрическими величинами.

    sinθ» role=»presentation»>sinθsinθ — проекция на ось Y линии единичной длины под углом θ» роль=»презентация»>θθ.

    дополнительный

    Дополнительный угол угла θ» role=»presentation»>θθ равен 90-θ» роль = «презентация»> 90-θ90-θ.

    Дополнительным углом для ∠POQ=θ» role=»presentation»>∠POQ=θ∠POQ=θ является ∠QOR» role=»presentation»>∠QOR∠QOR.

    Для заданного угла θ» role=»presentation»>θθ sin» role=»presentation»>sinsin дополнительного угла равен cos» role=»presentation»>coscos или косинусу.

    косинус это краткая форма «дополнительного синуса».

    переопределить косинус

    Учитывая, что точка Q» role=»presentation»>QQ равна (x,y)» role=»presentation»>(x,y)(x,y),

    cosθ= x» role=»презентация»>cosθ=xcosθ=x

    cosθ» role=»presentation»>cosθcosθ — проекция на ось x линии единичной длины под углом θ» role=»presentation»>θθ.

    линия касается окружности

    Рассмотрим два треугольника OPQ» role=»presentation»>OPQOPQ и OTS» role=»presentation»>OTSOTS. Отмечено, что TS¯» role=»presentation»>¯¯¯¯¯TSTS¯ является касательной к окружности.

    Треугольники △OPQ» role=»presentation»>△OPQ△OPQ и △OTS» role=»presentation»>△OTS△OTS являются подобными прямоугольными треугольниками. И OT¯=OQ¯=1″ role=»presentation»>¯¯¯¯¯¯OT=¯¯¯¯¯¯OQ=1OT¯=OQ¯=1, так как это единичный круг.

    отношения сторон подобных треугольников равны
    ST¯÷OT¯=PQ¯÷OP¯» role=»presentation»>¯¯¯¯¯ ST÷¯¯¯¯¯¯¯OT=¯¯¯¯¯¯PQ÷¯¯¯¯¯¯OPST¯÷OT¯=PQ¯÷OP¯

    заменив OT¯=1″ role=»presentation «>¯¯¯¯¯¯¯OT=1OT¯=1, PQ&#xAF=sinθ» role=»presentation»>¯¯¯¯¯¯PQ=sinθPQ¯=sinθ и OP¯=cos& #x3B8;» role=»presentation»>¯¯¯¯¯¯OP=cosθOP¯=cosθ
    ST¯=sinθcosθ» role=»presentation»>¯¯¯¯¯ST=sinθcosθST¯= sinθcosθ
    ST&#xAF=tanθ» role=»presentation»>¯¯¯¯¯ST=tanθST¯=tanθ

    Для заданного угла θ» role=»presentation»>θθ, tanθ» role=»presentation»>tanθtanθ — это длина отрезка касательной, как показано на рисунке.

    tan» role=»presentation»>tantan — это краткая форма касательной.

    Тантан угла эквивалентен QS′¯» role=»presentation»>¯¯¯¯¯¯¯QS’QS’¯, как показано на рисунке.

    Обратите внимание на следующее:
    △OPQ» role=»presentation»>△OPQ△OPQ и △OQS′» role=»presentation»>△OQS’△OQS’ являются подобными треугольниками, поэтому
    QS′¯OQ¯=PQ¯OP¯» role=»presentation»>¯¯¯¯ ¯¯¯QS’¯¯¯¯¯¯OQ=¯¯¯¯¯¯PQ¯¯¯¯¯¯OPQS’¯OQ¯=PQ¯OP¯
    , поэтому tanθ=PQ¯OP&# хАФ;» role=»presentation»>tanθ=¯¯¯¯¯¯PQ¯¯¯¯¯¯OPtanθ=PQ¯OP¯

    линия, пересекающая окружность

    Рассмотрим линию S′S¯» role=» представление»>¯¯¯¯¯¯¯S’SS′S¯. Это секущая к кругу.

    Рассмотрим круг с секущей частью OS» role=»presentation»>OSOS

    △OPQ» role=»presentation»>△OPQ△OPQ и △OQS» role=»presentation»> △OQS△OQS — подобные прямоугольные треугольники.

    OS¯÷OQ¯=OQ¯÷OP¯» role=»presentation»>¯¯¯¯¯¯OS÷¯¯¯¯¯¯OQ= ¯¯¯¯¯¯OQ÷¯¯¯¯¯¯OPOS¯÷OQ¯=OQ¯÷OP¯

    Замените OQ&#xAF=1″ role=»presentation»>¯¯¯¯¯¯OQ=1OQ¯=1 и OP¯=cosθ» role=»presentation»>¯¯¯¯¯¯OP=cosθOP¯=cosθ

    сегмент линии
    OS¯» role=»presentation»>¯¯¯¯¯¯OSOS¯
    =1cosθ» role=»presentation»>=1cosθ=1cosθ
    =secθ» role=»presentation»>=secθ=secθ

    Тригонометрическое значение, соответствующее OS¯» role=»presentation»>¯¯¯¯¯¯OSOS¯ is secθ» role=»presentation»>secθsecθ.

    secθ=1cosθ=1x» role=»presentation»>secθ=1cosθ=1xsecθ=1cosθ=1x

    косеканс

    Секанс дополнительного угла тета равен OT¯» role=»presentation»>¯¯¯¯¯¯OTOT¯, как показано на рисунке. Отмечается, что △TQO» role=»presentation»>△TQO△TQO и △OPQ» role=»presentation»>△OPQ△OPQ являются подобными прямоугольными треугольниками.

    Соотношение соответствующих сторон равно OT¯OQ¯=OQ¯PQ¯» role=»presentation»>¯¯¯¯¯¯¯OT¯¯¯¯¯¯OQ=¯¯¯ ¯¯¯OQ¯¯¯¯¯¯PQOT¯OQ¯=OQ¯PQ¯

    замените OQ&#xAF=1″ role=»presentation»>¯¯¯¯¯¯¯OQ=1OQ¯=1 и PQ¯=sinθ» role=»presentation»>¯¯¯¯¯¯PQ=sinθPQ¯=sinθ

    Отрезок OT¯» role=»presentation»>¯¯¯¯¯¯OTOT¯

    =1sinθ» role=»презентация»>=1sinθ=1sinθ

    =cosecθ или cscθ» role=»presentation»>=cosecθ или cscθ=cosecθ или cscθ

    Тригонометрическое значение, соответствующее OT¯» role=»presentation»>¯¯¯¯¯¯OTOT¯ is cosecθ» role=»presentation»>cosecθcosecθ.

    cosecθ=1sinθ=1y» role=»presentation»>cosecθ=1sinθ=1ycosecθ=1sinθ=1y

    котангенс

    Тангенс дополнительного угла тета равен QT¯» role=»presentation»>¯¯¯¯¯¯QTQT¯, как показано на рисунке.

    Следует отметить, что △TQO» role=»presentation»>△TQO△TQO и △OPQ» role=»presentation»>△OPQ△OPQ являются подобными прямоугольными треугольниками.

    отношения соответствующих сторон равны ¯¯¯OP¯¯¯¯¯¯PQQT¯OQ¯=OP¯PQ¯

    заменить OQ&#xAF=1″ role=»presentation»>¯¯¯¯¯¯¯OQ=1OQ¯=1, PQ¯=sinθ» role=»presentation»>¯¯¯¯¯¯PQ=sinθPQ¯=sinθ и OP¯=cosθ» role=»presentation»>¯¯¯¯¯¯OP=cosθOP¯=cosθ.

    QT¯» role=»presentation»>¯¯¯¯¯¯QTQT¯

    =cosθsinθ» role=»presentation»>=cosθsinθ=cosθsinθ

    =cotθ» role=»presentation»>=cotθ=cotθ

    Тригонометрическое значение, соответствующее QT¯» role=»presentation»>¯¯¯¯¯¯QTQT¯, равно cotθ» роль = «презентация»> cotθcotθ.

    cotθ=1tanθ=cosθsinθ=xy» role=»presentation»>cotθ=1tanθ=cosθsinθ=xycotθ=1tanθ=cosθsinθ=xy

    тригонометрические значения

    тригонометрические значения значения для заданного угла θ» role=»presentation»>θθ определяется как длина по отношению к

     •  хорда или синус : sinθ» role=»presentation»>sinθsinθ

     •  тангенс : tanθ» role=»presentation»>tanθtanθ

     •  секанс : secθ» role=»presentation»>secθsecθ

    все вышеперечисленное для дополнительного угла

     •  косинус : cosθ» role=»presentation»>cosθcosθ

     •  котангенс : cotθ» role=»presentation»>cotθcotθ

     •  co-secant : cscθ» role=»presentation»>cscθcscθ или cosecθ» role=»presentation»>cosecθcosecθ

    summary

    Тригонометрические значения: Для отрезка единичной длины под углом θ» role=»presentation»>θθ

    Точка на единичной окружности для заданного угла θ» role=»presentation»>θθ равна P(x,y)» role=»presentation»>P(x,y)P(x,y).

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *