Чему равна площадь цилиндра – Площадь поверхности цилиндра – формула полной и боковой площади поверхности

Площадь боковой и полной поверхности цилиндра. Видеоурок. Геометрия 11 Класс

Рис. 1. Цилиндрическая бочка

Мы с вами знаем, что такое цилиндр, попробуем найти площадь его поверхности. Зачем нужно решать такую задачу? Например, нужно понять, сколько материала пойдет на изготовление цилиндрической бочки (См. Рис. 1).

Рис. 2. Пизанская башня

Или сколько кирпичей понадобится, чтобы сложить кирпичную башню (вроде Пизанской, только ровную)? (См. Рис. 2.)

Рис. 3. Бочка, обмотанная тканью	Рис. 4. Разрезанная ткань

Конечно, измерить площадь боковой поверхности цилиндра просто так не получится. Но представим себе все ту же бочку, обмотанную тканью. (См. Рис. 3.) Как найти площадь куска ткани? Ну конечно, разрезав ткань и разложив ее на столе! Получится прямоугольник, его площадь легко найдем. (См. Рис. 4.)

Рис. 5

Сделаем так же с цилиндром. «Разрежем» его боковую поверхность вдоль любой образующей, например . (См. Рис. 5.)

Рис. 6. Развертка боковой поверхности

Теперь «размотаем» боковую поверхность на плоскость. Получаем прямоугольник , где и  – одна и та же точка на цилиндре (аналогично и ). (См. Рис. 6.)

Такой прямоугольник называется разверткой боковой поверхности цилиндра.

Рис. 7. Развертка боковой поверхности

Что мы знаем про этот прямоугольник? Его сторона  равна высоте цилиндра (ведь образующая равна высоте). Другая сторона  равна длине окружности основания, то есть . (См. Рис. 7.)

Значит, площадь прямоугольника равна . Итак, , где  – радиус основания цилиндра,  – высота.

Наряду с площадью боковой поверхности можно найти и площадь полной поверхности. Для этого к площади боковой поверхности надо прибавить площади оснований. Но каждое основание – это круг радиуса , чья площадь по формуле равна .

Окончательно, имеем:

,  где  – радиус основания цилиндра,  – высота.

Рис. 8. Иллюстрация к примеру 1

Пример 1. Площадь боковой поверхности цилиндра равна . Найти площадь осевого сечения цилиндра. (См. Рис. 8.)

Решение. Как мы знаем, , а . Значит .

Рис. 9. Иллюстрация к примеру 2

Ответ: .

Пример 2. Высота цилиндра на 12 см больше его радиуса, а площадь полной поверхности равна . Найти радиус основания и высоту. (См. Рис. 9.)

Решение. По формуле имеем:  

По условию, , имеем:

.

Так как радиус положителен, то

Ответ:.

Итак, сегодня мы познакомились с формулой боковой поверхности цилиндра и формулой площади полной поверхности цилиндра, также решили пару задач на эти формулы.

 

Список литературы

1. Геометрия. Учебник для 10-11 классов. Атанасян Л.С. и др. 18-е изд. – М.: Просвещение, 2009. – 255 с.
2. Геометрия 11 класс, А.В. Погорелов. – М.: Просвещение, 2002.
3. В.Ф. Бутузов, Ю.А. Глазков. Рабочая тетрадь по геометрии 11 класс.

 

Домашнее задание

1. Длина окружности основания цилиндра равна 3. Площадь боковой поверхности равна 6. Найдите высоту и площадь поверхности цилиндра.
2. Площадь боковой поверхности цилиндра равна , а диаметр основания – 9. Найдите высоту цилиндра.
3. Площадь осевого сечения цилиндра равна 4. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал Ru.onlinemschool.com (Источник).
2. Интернет-портал All-biography.ru (Источник).
3. Интернет-портал Oldskola1.narod.ru (Источник).

interneturok.ru

Площадь поверхности цилиндра и его объем

Площадь поверхности цилиндра

Площадь каждого основания цилиндра равна πr², площадь обоих оснований составит 2πr² (рис.).

Площадь боковой поверхности цилиндра равна площади прямоугольника, основание которого равно 2πr, а высота равна высоте цилиндра h, т. е. 2πrh.

Полная поверхность цилиндра составит: 2πr² + 2πrh = 2πr (r + h).

За площадь боковой поверхности цилиндра принимается площадь развертки его боковой поверхности.

Поэтому площадь боковой поверхности прямого кругового цилиндра равна площади соответствующего прямоугольника (рис.) и вычисляется по формуле

S _б.ц.

= 2πRH, (1)

где R — радиус основания, а H — высота цилиндра.

Если к площади боковой поверхности цилиндра прибавить площади двух его оснований, то получим площадь полной поверхности цилиндра

S_полн. =2πRH + 2πR² = 2πR (H + R).

Объем прямого цилиндра

Теорема. Объем прямого цилиндра равен произведению площади его основания на высоту, т. е.

V = QH,

где Q — площадь основания, а Н — высота цилиндра.

Так как площадь основания цилиндра равна Q, то существуют последовательности описанных и вписанных многоугольников с площадями Q_n и Q’_n таких, что

\(\lim_{n \rightarrow \infty}\) Q_n = \(\lim_{n \rightarrow \infty}\) Q’_n = Q.

Построим последовательности призм, основаниями которых являются рассмотренные выше описанные и вписанные многоугольники, а боковые ребра параллельны образующей данного цилиндра и имеют длину H. Эти призмы являются описанными и вписанными для данного цилиндра. Их объемы находятся по формулам

V_n = Q_nH и V’_n = Q’_nH.

Следовательно,

V= \(\lim_{n \rightarrow \infty}\) Q_nH = \(\lim_{n \rightarrow \infty}\) Q’_nH = QH.

Следствие.
Объем прямого кругового цилиндра вычисляется по формуле

V = π R²H

где R — радиус основания, а H — высота цилиндра.

Так как основание кругового цилиндра есть круг радиуса R, то Q = π R², и поэтому

V = QH = π R²H.

razdupli.ru

Цилиндр | LAMPA — онлайн-учебник, который каждый может улучшить

Цилиндром называется тело, которое состоит из двух кругов, совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов. Эти круги называются основаниями цилиндра, а отрезки, соединяющие соответствующие точки оснований, — образующими цилиндра.

Если образующие перпендикулярны основаниям, то цилиндр называется прямым цилиндром.

Мы будем рассматривать только прямые цилиндры. Прямой цилиндр можно получить, если свернуть в трубочку прямоугольный лист бумаги и закрыть кругами отверстия с двух концов.

Высота цилиндра — это отрезок, соединяющий основания и перпендикулярный основаниям цилиндра.

Каждая образующая прямого цилиндра равна высоте.

Если hhh — высота цилиндра, а rrr — радиус основания цилиндра, то объем цилиндра и площадь его поверхности можно легко найти с помощью следующих формул:

• Объем цилиндра: V=πr2hV=\pi r^2hV=πr2h,
• Площадь боковой поверхности цилиндра: Sбок=2πrhS_{бок}=2\pi rhSбок​=2πrh,
• Площадь полной поверхности: S=2πr(r+h)S=2\pi r(r+h)S=2πr(r+h).

Если не удается сразу запомнить эти формулы — не беда. Они легко выводятся из теорем планиметрии:

Основание цилиндра — это круг радиусом rrr. Поэтому его площадь равна πr2\pi r^2πr2. Чтобы получить объем, нужно умножить площадь основания на высоту: V=Sh=πr2hV=Sh=\pi r^2hV=Sh=πr2h.

Если развернуть боковую поверхность цилиндра на плоскость, то получится прямоугольник, одна сторона которого равна высоте (hhh), а другая — длине окружности основания (2πr2\pi r2πr). Площадь боковой поверхности равна произведению сторон этого прямоугольника. Чтобы найти площадь полной поверхности, нужно к площади боковой поверхности добавить две площади основания: S=2πrh+2⋅πr2=2πr(r+h)S=2\pi rh+2\cdot \pi r^2=2\pi r(r+h)S=2πrh+2⋅πr2=2πr(r+h).

Используйте эти формулы для решения следующей задачи:

lampa.io

Как вычислить высоту цилиндра 🚩 все формулы для цилиндра 🚩 Естественные науки

17 марта 2012

Автор КакПросто!

У цилиндра имеется высота, которая перпендикулярна двум его основаниям. Способ определения ее длины зависит от набора исходных данных. Таковыми могут быть, в частности, диаметр, площадь, диагональ сечения.

Инструкция

Для любых фигур существует такой термин, как высота. Высотой обычно называется измеряемая величина какой -либо фигуры в вертикальном положении. У цилиндра высота -это линия, перпендикулярная двум его параллельным основаниям. Также у него есть образующая. Образующая цилиндра -это линия, вращением которой получается цилиндр. Она, в отличие от образующей других фигур, например конуса, совпадает с высотой.

Рассмотрим формулу, с помощью которой можно найти высоту:

V=πR^2*H, где R — радиус основания цилиндра, H — искомая высота.

Если вместо радиуса дан диаметр, данная формула видоизменяется следующим образом:

V=πR^2*H=1/4πD^2*H

Соответственно, высота цилиндра равна:

H=V/πR^2=4V/D^2

Также высоту можно определить, исходя из диаметра и площади цилиндра. Существует площадь боковой и площадь полной поверхности цилиндра. Часть поверхности цилиндра, ограниченная цилиндрической поверхностью, называют боковой поверхностью цилиндра. Площадь полной поверхности цилиндра включает в себя и площадь его оснований.

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по следующей формуле:

S=2πRH

Преобразовав данное выражение, найдите высоту:

H=S/2πR

Если дана площадь полной поверхности цилиндра, вычисляйте высоту несколько иным способом. Площадь полной поверхности цилиндра равна:

S=2πR(H+R)

Вначале преобразуйте данную формулу как показано ниже:

S=2πRH+2πR

Затем найдите высоту:

H=S-2πR/2πR

Через цилиндр можно провести прямоугольное сечение. Ширина этого сечения будет совпадать с диаметрами оснований, а длина — с образующими фигуры, которые равны высоте. Если провести через это сечение диагональ, то можно легко заметить, что образуется прямоугольный треугольник. В данном случае диагональ является гипотенузой треугольника, катет -диаметром, а второй катет- высотой и образующей цилиндра. Тогда высоту можно найти по теореме Пифагора:

b^2 =sqrt (c^2 -a^2)

Источники:

• Как вычислить объем цилиндра?

Цилиндром называется геометрическое тело, образуемое цилиндрической поверхностью, ограниченной двумя параллельными плоскостями. Цилиндр, полученный путем вращения прямоугольника вокруг любой из его сторон, называется прямым. При помощи всего нескольких нехитрых приемов можно довольно точно найти объем цилиндра.

Вам понадобится

• • Линейка или рулетка.
• • Карандаш или маркер.
• • Лист бумаги или картона или другой подходящий предмет с прямыми углами.

Инструкция

Предположим, у вас есть некая емкость для воды цилиндрической формы. Вам надо ее заполнить водой, но для этого вы хотите вычислить объем, который она заполнит.

Из школьного курса геометрии вы знаете, что формула объема цилиндра выглядит так:

V = SH ,

что значит, объем цилиндра равен произведению площади основания S на его высоту H.

Высоту цилиндра H измеряем легко рулеткой или линейкой.

Теперь определим площадь основания. Площадь круга, как нам тоже известно из школьной геометрии, определяется по формуле:

S = πR2,

где π – число, обозначающее в математике соотношение длин окружности и диаметра и равное 3.14159265…,

а R – радиус окружности

Как можно вычислить площадь окружности, имея под рукой только линейку? Очень просто!

Из того же школьного курса геометрии вспомним, что в любую окружность можно вписать прямоугольный треугольник. Причем, гипотенуза этого треугольника будет равна диаметру данной окружности.

Для этого берем лист картона или другой подходящий предмет, имеющий прямые углы и накладываем на наш цилиндр так, чтобы прямой угол α своей вершиной А упирался в край цилиндра.

Стороны прямоугольника, которые пересекаются с окружностью, помечаем карандашом или маркером и соединяем прямой линией. В нашем случае это вершины треугольника В и С. Этот отрезок и есть диаметр нашей окружности. Радиус окружности равен половине ее диаметра. Делим отрезок ВС на две части. Центром окружности является точка О. Отрезки ОВ и ОС равны и являются радиусом основания данного цилиндра. Теперь подставляем полученные значения в формулу:

V = πR2H

Обратите внимание

Если вы будете измерять параметры вашего цилиндра в сантиметрах, то результат получите в кубических сантиметрах (см3). Если замеры проводятся в метрах, то результат будет, соответственно, получен в кубических метрах (м3).

Полезный совет

Если вам нужно будет перевести кубические сантиметры в литры объема, то умножьте полученный результат на 0, 001, это и будет объем цилиндра в литрах. Если ваш результат будет вычислен в кубических метрах, то умножьте его на 1000. К примеру: вы получили в итоге измерений и вычислений объем, равный 0, 5 м3. В литрах это будет 0, 5 х 1000= 500 литров.

Источники:

• Математический словарь

Цилиндром называют геометрическое тело, образованное вращением прямоугольника вокруг одной из сторон. Рассечь цилиндр плоскостью можно в любом направлении. При этом получаются разные геометрические фигуры. Их необходимо построить или хотя бы представить себе для того, чтобы вычислить площадь того или иного сечения.

Вам понадобится

• — цилиндр с заданными параметрами;
• — расположение сечения.

Инструкция

Сечение цилиндра плоскостью, проходящей через его основания, всегда представляет собой прямоугольник. Но в зависимости от расположения, прямоугольники эти будут разными. Найдите площадь осевого сечения, перпендикулярного основаниям цилиндра. Одна из сторон этого прямоугольника равна высоте цилиндра, вторая — диаметру окружности основания. Соответственно, площадь сечения в этом случае будет равна произведению сторон прямоугольника. S=2R*h, где S — площадь сечения, R – радиус окружности основания, заданный условиями задачи, а h — высота цилиндра, также заданная условиями задачи. Если сечение перпендикулярно основаниям, но при этом не проходит через ось вращения, сторона прямоугольника не будет равняться диаметру окружности. Ее нужно вычислить. Для этого в условиях задачи должно быть сказано, на каком расстоянии от оси вращения проходит плоскость сечения. Для удобства вычислений постройте окружность основания цилиндра, проведите радиус и отложите на нем расстояние, на котором от центра окружности находится сечение. От этой точки проведите к радиусу перпендикуляры до их пересечения с окружностью. Соедините точки пересечения с центром. Вам нужно найти размер хорды. Найдите размер половины хорды по теореме Пифагора. Он будет равняться квадратному корню из разности квадратов радиуса окружности и расстояния от центра до линии сечения. a2=R2-b2. Вся хорда будет, соответственно, равна 2а. Вычислите площадь сечения, которая равна произведению сторон прямоугольника, то есть S=2a*h.

Цилиндр можно рассечь и плоскостью, не проходящей через плоскости основания. Если поперечное сечение проходит перпендикулярно оси вращения, то оно будет представлять собой круг. Площадь его в этом случае равна площади оснований, то есть вычисляется по формуле S=πR2.

Полезный совет

Чтобы точнее представить себе сечение, сделайте чертеж и дополнительные построения к нему.

Источники:

• сечение цилиндра площадь

При решении математических и технических задач иногда требуется узнать объем цилиндра. Аналогичная задача часто возникает и в быту, так как многие емкости (бочки, ведра, банки и т.п.) имеют цилиндрическую форму. Конечно, если известны радиус и высота (длина) цилиндра, его объем очень легко вычислить. Однако на практике эти параметры не всегда заданы, да и цилиндры бывают не только прямые круговые.

Вам понадобится

Инструкция

Чтобы узнать объем цилиндра, умножьте его высоту на число «пи» и на квадрат радиуса. В виде формулы это правило выглядит следующим образом:Об = В * π * Р², где Об — объем цилиндра, В – высота цилиндра, Р – радиус основания цилиндра, π – число «пи», примерно равное 3,14.Объем цилиндра будет измеряться в соответствующих радиусу и высоте кубических единицах измерения. Т.е. если, например, радиус и высота цилиндра будут заданы в метрах, его объем получится в кубометрах (м³).Вышеприведенное правило справедливо лишь для «обычного», т.е. прямого кругового цилиндра (цилиндра, основание которого представляет круг, а направляющая перпендикулярна ему). Пример: высота цилиндра составляет 5 см, а радиус основания – 2 см. В этом случае его объем будет равен: 5 * π * 2² ≈ 62,831 см³.Число π имеется на многих калькуляторах и обозначается, как правило, греческой буквой «пи» (π). На виртуальной клавиатуре стандартного калькулятора Windows (в инженерном виде) число обозначено как pi.

Если вместо радиуса цилиндра задан его диаметр, воспользуйтесь следующей формулой:Об = В * π * (Д/2)² или Об = ¼ * В * π * Д², где Д – диаметр основания цилиндра.

Пример: высота и диаметр основания цилиндра равны 10 см. В этом случае, чтобы узнать объем, посчитайте значение следующего выражения: 10 * π * (10/2)² ≈ 785,398 см³.

На практике, обычно гораздо проще измерить периметр (длину окружности) основания цилиндра, чем его диаметр или радиус. Чтобы посчитать объем цилиндра, если известен периметр его основания, воспользуйтесь следующей формулой:Об = ¼ * В * П² / π, где П – периметр основания.При использовании этой формулы для расчета емкости тары (посуды) учтите, что реальная вместимость окажется немного меньше расчетной (на величину объема стенок сосуда).

Согласно определению, основанием цилиндра может быть произвольная линия на плоскости, а его образующая необязательно перпендикулярна основанию. В общем случае узнать объем цилиндра можно по следующим правилам:- объем цилиндра равен произведению длины образующей на площадь сечения цилиндра плоскостью, которая перпендикулярна образующей;
— объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту (расстояние между основаниями).

Видео по теме

Обратите внимание

Высота цилиндра — понятие чисто геометрическое. Она означает лишь расстояние между его основаниями и не зависит от расположения цилиндра в пространстве.

Если в условиях задачи не уточняется, о каком именно цилиндре идет речь (параболический, эллиптический, гиперболический и т.д.), то подразумевается самый простой вариант. У такой пространственной геометрической фигуры в основаниях лежат круги, а боковая поверхность образует с ними прямой угол. Вычисление параметров в этом случае не представляет особой сложности.

Инструкция

Если известен радиус (r) основания цилиндра, то все остальные его размеры не имеют значения при расчетах. Вычислите произведение числа Пи, округленного до нужной степени точности, на возведенный в квадрат радиус — это и будет площадь основания цилиндра (S): S=π*r². Например, если диаметр (это, как вы знаете, удвоенный радиус) цилиндра равен 70см, а результат вычисления требуется получить с точностью до второго знака после запятой (сотых долей сантиметра), то площадь основания составит 3,14*(70/2)² = 3,14*35² = 3,14*1225 ≈ 3848,45см².

Если радиус и диаметр неизвестны, но даны высота (h) и объем (V) цилиндра, то этих параметров тоже будет достаточно для нахождения площади (S) основания фигуры — просто разделите объем на высоту: S=V/h. Например, при объеме равном 950см³ и высоте в 20см цилиндр будет иметь основание площадью в 950/20=47,5см².

Если кроме высоты (h) цилиндра известна площадь его боковой поверхности (p), то для нахождения площади основания (S) возведите площадь боковой поверхности в квадрат и разделите результат на учетверенное произведение числа Пи на возведенную в квадрат высоту: S=p²/(4*π*h²). Например, если площадь боковой поверхности равна 570см², то при высоте цилиндра в 25см и заданной точности расчетов в одну сотую сантиметра он должен иметь площадь основания, равную 570²/(4*3,14*25²) = 324900/(12,56*625) = 324900/7850 ≈ 41,39см².

Если кроме площади боковой поверхности цилиндра (p) известна и площадь всей поверхности (P), то, отняв от второго первое, не забудьте разделить полученный результат пополам, так как общая площадь включает оба основания цилиндра: S=(P-p)/2. Например, если общая площадь пространственной фигуры составляет 980см², а площадь ее боковой поверхности — 750см², то площадь каждого из оснований будет равна (980-750)/2=115см².

Вычислить площадь боковой поверхности цилиндра бывает необходимо в различных ситуациях. Например, вы хотите сшить чехол на подушку-валик и вам необходимо определить расход ткани. Или вы собираетесь покрасить круглую бочку и должны рассчитать количество краски. А может быть перед вами стоит задача оклеить обоями стены в круглом помещении? Во всех этих случаях вы столкнетесь с задачей на определение площади боковой поверхности цилиндра.

Вам понадобится

• Калькулятор, рулетка или сантиметровая лента

Инструкция

Боковая поверхность цилиндра в развернутом виде представляет собой прямоугольник.

Формула для вычисления площади боковой поверхности цилиндра проста:

Sбок = LхH

где Sбок — искомая площадь боковой поверхности цилиндра.

Правая часть равенства представлена произведением двух множителей:
L — длина окружности измеряемого цилиндра, Н — его высота.

В свою очередь длина окружности в основании цилиндра вычисляется по формуле:

L=Пи х D

где Пи — число Пи, величина постоянная и равная 3.1416
D — диаметр окружности в основании цилиндра.

Практический способ определения площади боковой поверхности цилиндра выбирается по обстоятельствам.

Запишите все имеющиеся у вас данные о цилиндре, площадь боковой поверхности которого вам нужно определить.

Если известны высота и диаметр цилиндра, то просто подставьте в формулу эти параметры. Зная высоту и диаметр рекламной тумбы, можно рассчитать размер плаката. При этом совершенно необязательно видеть и измерять цилиндрическую тумбу, на которой будет размещен плакат.

Возьмите сантиметровую ленту или рулетку для определения длины окружности в основании цилиндра, если размеры цилиндра неизвестны.

При отсутствии гибкого измерительного инструмента можно обойтись любой веревкой, бечевкой или тесьмой. Длину окружности основания цилиндра определите с помощью веревки. Полученный отрезок веревки измерьте любым мерительным инструментом, например портновской линейкой.

Определите высоту цилиндра.

При измерении высоты цилиндра важно строго придерживаться вертикали для получения точного результата. Для определения линии вертикали также пригодится веревка, на концах которой привязан любой груз. Например, обычные гайки. Один конец веревки закрепите на основании цилиндра. Веревка под тяжестью груза займет строго вертикальное положение. Вдоль линии вертикали и следует проводить замер высоты цилиндра.

Перемножьте два полученных при измерениях параметра. Результат умножения и есть площадь боковой поверхности цилиндра.

Источники:

• как найти высоту цилиндра из боковой поверхности

Масса любого физического объекта помогает оценить, какое усилие надо приложить, чтобы сдвинуть его с места при отсутствии силы тяжести и силы трения. Но нам чаще приходится иметь дело с массой в другом ее проявлении, обычно называемом «весом». Его определяют как силу, с которой физическое тело давит на поверхность под воздействием земного притяжения. Чтобы их различать эти две ипостаси массы называют «инерционной» и «гравитационной».

Инструкция

Взвесьте цилиндр с помощью весов нужной степени точности и получите значение его массы в условиях воздействия земной гравитации — гравитационную массу. Это самый простой, но не всегда доступный способ, применимый к физическим объектам не только цилиндрической формы. Если возможности взвешивать нет, то рассчитайте объем пространства, который занимает цилиндрический объект, и определите плотность материала, из которого он состоит. Эти две характеристики связаны с массой постоянным соотношением, формула которого позволит рассчитать массу тела. Для определения плотности вещества придется воспользоваться соответствующими таблицами из справочников. В бумажном варианте их можно взять в библиотеке, а в электронном виде — найти в интернете или в магазине на оптических дисках с тематическими подборками материалов. Объем цилиндра можно определить подручными средствами — например, погрузить его в наполненную водой мерную посуду и оценить объем вытесненной воды. Полученное значение, скорее всего, будет обозначено на мерных инструментах в литрах и производных от него единицах. Для перевода в кубические метры и его производные используйте такое соотношение: один литр равен одному кубическому дециметру.

Если определить объем (V) приведенным в предыдущем шаге способом не представляется возможным, то определите физические размеры цилиндра — его диаметр (d) и высоту (h). Рассчитайте значение одной четверти от произведения числа Пи, взятого с нужной степенью точности, на возведенный в квадрат диаметр — так вы найдете значение площади основания цилиндра. Умножьте его на высоту и получите объем цилиндрического объекта: V=¼*π*d*h.

Теперь вам известны плотность вещества (ρ), из которого состоит цилиндр, и его объем (V). Для расчета массы (m) объекта просто перемножьте эти два значения: m=ρ*V.

Источники:

• масса цилиндра формула
• Как вычислить объем цилиндра?

Чаще всего цилиндром называют объемную геометрическую фигуру, имеющую два параллельных основания в форме круга и боковую поверхность, которая соединяет периметры оснований. Если не принимать во внимание частные случаи (бесконечный, открытый, усеченный и др. типы цилиндров), то для определения общей площади поверхности этой фигуры нужно вычислить и суммировать площади обоих оснований и боковой поверхности.

Инструкция

Определите площади двух одинаковых оснований цилиндра. Существуют две связанные между собой формулы, одна из которых выражает этот параметр через радиус, а другая — через диаметр (D). Так как практически измерить диаметр проще, то задействуйте формулу с его участием — возведите это значение в квадрат и найдите одну четверть от произведения полученного результата на число Пи: ¼*π*D². Так как это число является иррациональным, то есть имеющим бесконечное число знаков после десятичной запятой, вам следует округлить его, исходя из нужной точности вычислений. Обычно бывает достаточно трех знаков (3,142), а более точное значение можно уточнить, например, на этой странице — http://math.com/tables/constants/pi.htm.

Выразите через диаметр основания цилиндра площадь боковой поверхности фигуры. Ее развертка будет представлять собой прямоугольник, одна из сторон которого равна периметру основания, а другая — высоте цилиндра (h). Длина окружности основания равна произведению диаметра на число Пи, а для вычисления площади умножьте это значение на высоту: π*D*h.

Суммируйте полученные выражения для оснований и боковой поверхности, чтобы получить формулу нахождения площади поверхности цилиндра: S = ¼*π*D² + ¼*π*D² + π*D*h = ½*π*D² + π*D*h = π*D*(½*D + h). Например, если высота этой фигуры составляет 35см, а диаметр основания равен 15см, то общая площадь ее поверхности с точностью до двух знаков после запятой будет приблизительно равна 3,142*15*(1/2*15 + 35) = 3,142*15*42,5 ≈ 2003,03см².

Если в основании цилиндра лежит не круг, а эллипс, то площадь основания можно рассчитать, найдя произведение его большей ^® и меньшей ^® полуосей на число Пи: R*r*π. Для определения приблизительной (без использования интегралов) длины периметра основания прибавьте к полученному значению возведенную в квадрат разность между длинами большей и меньшей полуосей, разделите результат на сумму этих же длин и увеличьте в четыре раза: 4*( R*r*π + (R-r)²)/(R+r). Так вы получите одну из сторон прямоугольника развертки боковой стороны эллиптического цилиндра, а умножив ее на высоту фигуры (h), получите площадь боковой поверхности: 4*( R*r*π + (R-r)²)/(R+r)*h. Сведите выражения площадей оснований и боковой поверхности в одну формулу: S = R*r*π + R*r*π + 4*( R*r*π + (R-r)²)/(R+r)*h = 2*R*r*π + 4*( R*r*π + (R-r)²)/(R+r)*h.

Видео по теме

Источники:

• площадь цилиндра посчитать в 2018

Под цилиндром понимают геометрическое тело, основаниями которого являются круги, а угол между боковой поверхностью и основанием составляет 90 градусов. Для вычисления объема цилиндра существуют специальные формулы и методы. Использование того или иного способа измерения определяется теми инструментами, которыми вы располагаете.

Вам понадобится

• — измерительные инструменты;
• — калькулятор.

Инструкция

Используйте для вычисления объема цилиндра формулу:V = H х S, где V – объем цилиндра; H – его высота; S – площадь одного из оснований; х – знак умножения.Такую формулу можно применить лишь в том случае, когда площадь основания известна из условий задачи и не требует предварительных вычислений. Например, если высота цилиндра составляет 2 м, а площадь одного из его оснований равняется 3,5 кв.м, то V = 2 х 3,5 = 7 куб.м. Если же площадь основания неизвестна из условий, предварительно произведите расчеты. Для этого возведите в квадрат известный или измеренный радиус круга, лежащего в основании, и умножьте его на число «пи», равное приблизительно 3,14. Для примера, если радиус равен 1,2 м, то площадь основания составит: S = 1,2 х 1,2 х 3,14 = 4,52 кв.м. Теперь умножьте найденную величину на высоту цилиндра, чтобы получить его объем.

При известном диаметре основания цилиндра и его высоте вычислите объем геометрического тела по формуле:V = 3,14 x H x D² / 4, где V – объем цилиндра; 3,14 – число «пи»; H – высота цилиндра; D – диаметр; х – знак умножения; / – знак деления.Так если диаметр круга, лежащего в основании, составляет 0,5 м, высота цилиндра равна 1,2 м, то объем составит: 3,14 х 1,2 х 0,5 х 0,5 / 4 = 0,236 куб.м.

При известной длине окружности основания и высоте найдите объем цилиндра как произведение высоты цилиндра на частное от деления квадрата длины окружности по следующей формуле:V = L² x H / (3,14 x 4), где V – объем цилиндра; 3,14 – число «пи»; H – высота цилиндра; L – длина окружности, лежащей в основании цилиндра.

Если вам требуется измерить объем реального цилиндра, перед проведением вычислений по одной из приведенных выше формул произведите обмер объекта при помощи измерительных инструментов. Для измерения линейных параметров геометрического тела используйте линейку, штангенциркуль, измерительный шнур или рулетку.

Примените принцип копирования, если измерить параметры цилиндра на месте не представляется возможным. Для этого сфотографируйте цилиндр, включая его основание и высоту, поместив рядом линейку или предмет с известными размерами, например, спичечный коробок. Затем проведите измерение размеров по фотографии, переведя данные в соответствующий масштаб.

Источники:

• как определить объем цилиндра

www.kakprosto.ru

Площадь поверхности цилиндра

Примечание. В данном уроке изложены задачи по геометрии о площади поверхности цилиндра. Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет — пишите об этом в форуме. Почти наверняка курс будет дополнен

.

Задача

Какой из цилиндров с обьемом 128π см³ имеет наименьшую полную поверхность?

Решение.
Формула нахождения объема цилиндра
V = πr² h

Поскольку объем цилиндра нам известен, то
πr²  h = 128π
откуда
r²  h = 128
h = 128 /  r² 

Площадь полной поверхности цилиндра равна площади его оснований и площади боковой поверхности. Таким образом, формула площади поверхности цилиндра будет выглядеть следующим образом:  
 S = 2πr²  + 2πrh 
где
πr

2 — площадь основания цилиндра (площадь круга)
2πr — длина окружности основания

Подставим значение высоты цилиндра в полученную формулу
S = 2πr²  + 2πrh 
S =  2πr²  + 2πr  * 128 /  r²   
S =  2πr²  + 256π / r

Если представить полученную формулу как функцию площади заданного в задаче цилиндра, то минимальная площадь цилиндра будет достигнута в точке экстремума данной функции. Для нахождения экстремума дифференцируем полученную функцию.
f(r) =  2πr²  + 256π / r
Формулы дифференцирования можно посмотреть в таблице производных. Получим:
f ‘(r) = 4πr — 256π /  r² 

Поскольку в точке экстремума производная функции равна нулю, приравняем  f ‘(r) к нулю и решим уравнение. 

4πr — 256π /  r²  = 0
получим
 4πr ( 1 — 64/r ) = 0
откуда
 4πr = 0 или  1 — 64/r = 0 

первый найденный корень уравнения  r = 0 отбрасываем, 
1 — 64/r = 0
r = 64

Откуда 
h = 128 /  r² 
h = 128 / 4096
h = 0.03125 или 1/32

Ответ: минимальная площадь цилиндра будет достигнута при h = 1/32 см, r =64 см

Задача

Площадь основания цилиндра равна Q, а площадь осевого сечения М. Чему равна полная поверхность цилиндра?

Площа основи циліндра дорівнює Q, а площа осьового перерізу М. Чому дорівнює повна поверхня циліндра?

Решение. Рiшення.

Найдем площадь осевого сечения цилиндра. S = 2HR По условию задачи 2HR = M откуда 2R = M / H Площадь каждого основания цилиндра S = πR2 По условию задачи πR2=Q Площадь полной поверхности цилиндра равна сумме площадей оснований и площади боковой поверхности. Площадь боковой поверхности цилиндра равна Sб = 2πRH Таким образом, площадь полной поверхности цилиндра Sп = 2Q + 2πRH Учтем, что значение 2R = M/H, получим Sп = 2Q + ( M / H ) πH откуда Sп = 2Q + πМ

Знайдемо площу осьового перетину циліндра.   S = 2HR   По умові завдання   2HR = M   звідки   2R = M / H    Площа кожної основи циліндра   S = πR2   По умові завдання   πR2=Q   Площа повної поверхні циліндра дорівнює сумі площ підстав і площі бічної поверхні.   Площа бічної поверхні цилiндра рівна   Sб = 2πRH   Таким чином, площа повної поверхні циліндра Sп = 2Q + 2πRH  Врахуємо, що значення 2R = M/H, отримаємо Sп = 2Q + ( M / H ) πH з відки Sп = 2Q + πМ

Ответ: S_п = 2Q + πМ

 Диагональ цилиндра | Описание курса | Конус 

   

profmeter.com.ua

❶ Как определить площадь цилиндра 🚩 Цилиндр. Виды, объём цилиндра, площадь поверхности 🚩 Математика

27 декабря 2018

Автор КакПросто!

Цилиндрическая геометрическая форма используется при производстве автомобильных двигателей, других технических и бытовых устройств, и не только. Чтобы определить площадь цилиндра, нужно найти его полную поверхность.

Статьи по теме:

Инструкция

Согласно определению Евклида, цилиндр образуется в пространстве в результате вращения прямоугольника. Другой математик, Кавальери, дал этой фигуре более обобщенное определение в виде вращения образующей прямой. Вращение происходит по некоторой направляющей линии, которая, в простейшем случае, является окружностью. Однако основанием цилиндра может быть любая замкнутая фигура.

Основания всегда параллельны друг другу и равны. Более того, этими свойствами обладают любые два поперечных сечения, а также образующие отрезки. Чтобы определить площадь цилиндра, нужно воспользоваться формулой:S = Sб + 2•So, где Sб – площадь боковой поверхности, Sо – площадь основания.

Если развернуть простейший, круговой цилиндр по оси вращения, то получится прямоугольник со сторонами, равными периметру основания и высоте цилиндра. Согласно формуле площади этой двухмерной фигуры, она равна произведению длины основания на высоту. Следовательно, площадь боковой поверхности цилиндра представляет собой результат умножения периметра основания на высоту:Sб = Ро•h.

Рассмотренный прямоугольник и две окружности основания называются разверткой цилиндра. Этот термин применяется при создании технических чертежей. Периметр круга равен двойному произведению его радиуса на число π, откуда:Sб = 2•π•R•h.

Осталось найти площади оснований цилиндра. Они также связаны с числом π и зависят от радиуса R:So = π•R².

Подставьте величины в основную формулу:S = 2•π•R•h + 2•π•R² = 2•π•R•(h + R).

У обобщенного цилиндра направляющая линия является ломаной, а соответствующую цилиндрическую поверхность можно представить в виде ряда прямоугольников, образованных парами параллельных образующих прямых. Сечениями в этом случае являются многоугольники, а площадь такого цилиндра определяется аналогично площади полной поверхности призмы.

Видео по теме

Совет полезен?

Статьи по теме:

Не получили ответ на свой вопрос?
Спросите нашего эксперта:

www.kakprosto.ru

Цилиндр. Виды, объём цилиндра, площадь поверхности :: SYL.ru

Название науки «геометрия» переводится как «измерение земли». Зародилась стараниями самых первых древних землеустроителей. А было так: во время разливов священного Нила потоки воды иногда смывали границы участков земледельцев, а новые границы могли не совпасть со старыми. Налоги же крестьянами уплачивались в казну фараона пропорционально величине земельного надела. Измерением площадей пашни в новых границах после разлива занимались специальные люди. Именно в результате их деятельности и возникла новая наука, получившая развитие в Древней Греции. Там она и название получила, и приобрела практически современный вид. В дальнейшем термин стал интернациональным названием науки о плоских и объёмных фигурах.

Планиметрия – раздел геометрии, занимающийся изучением плоских фигур. Другим разделом науки является стереометрия, которая рассматривает свойства пространственных (объёмных) фигур. К таким фигурам относится и описываемая в этой статье – цилиндр.

Примеров присутствия предметов цилиндрической формы в повседневной жизни предостаточно. Цилиндрическую (гораздо реже – коническую) форму имеют почти все детали вращения — валы, втулки, шейки, оси и т.д. Цилиндр широко используется и в строительстве: башни, опорные, декоративные колонны. А кроме того посуда, некоторые виды упаковки, трубы всевозможных диаметров. И наконец – знаменитые шляпы, ставшие надолго символом мужской элегантности. Список можно продолжать бесконечно.

Определение цилиндра как геометрической фигуры

Цилиндром (круговым цилиндром) принято называть фигуру, состоящую из двух кругов, которые при желании совмещаются с помощью параллельного переноса. Именно эти круги и являются основаниями цилиндра. А вот линии (прямые отрезки), связывающие соответствующие точки, получили название «образующие».

Важно, что основания цилиндра всегда равны (если это условие не выполняется, то перед нами – усечённый конус, что-либо другое, но только не цилиндр) и находятся в параллельных плоскостях. Отрезки же, соединяющие соответствующие точки на кругах, параллельны и равны.

Совокупность бесконечного множества образующих — не что иное, как боковая поверхность цилиндра – один из элементов данной геометрической фигуры. Другая её важная составляющая – рассмотренные выше круги. Называются они основаниями.

Виды цилиндров

Самый простой и распространённый вид цилиндра – круговой. Его образуют два правильных круга, выступающих в роли оснований. Но вместо них могут быть и другие фигуры.

Основания цилиндров могут образовывать (кроме кругов) эллипсы, другие замкнутые фигуры. Но цилиндр может иметь не обязательно замкнутую форму. Например основанием цилиндра может служить парабола, гипербола, другая открытая функция. Такой цилиндр будет открытым или развернутым.

По углу наклона образующих к основаниям цилиндры могут быть прямыми или наклонными. У прямого цилиндра образующие строго перпендикулярны плоскости основания. Если данный угол отличается от 90°, цилиндр – наклонный.

Что такое поверхность вращения

Прямой круговой цилиндр, без сомнения – самая распространённая поверхность вращения, используемая в технике. Иногда по техническим показаниям применяется коническая, шарообразная, некоторые другие типы поверхностей, но 99% всех вращающихся валов, осей и т.д. выполнены именно в форме цилиндров. Для того чтобы лучше уяснить, что такое поверхность вращения, можно рассмотреть, как же образован сам цилиндр.

Допустим, имеется некая прямая a, расположенная вертикально. ABCD – прямоугольник, одна из сторон которого (отрезок АВ) лежит на прямой a. Если вращать прямоугольник вокруг прямой, как это показано на рисунке, объём, который он займёт, вращаясь, и будет нашим телом вращения – прямым круговым цилиндром с высотой H = AB = DC и радиусом R = AD = BC.

В данном случае, в результате вращения фигуры — прямоугольника — получается цилиндр. Вращая треугольник, можно получить конус, вращая полукруг – шар и т.д.

Площадь поверхности цилиндра

Для того чтобы вычислить площадь поверхности обычного прямого кругового цилиндра, необходимо подсчитать площади оснований и боковой поверхности.

Вначале рассмотрим, как вычисляют площадь боковой поверхности. Это произведение длины окружности на высоту цилиндра. Длина окружности, в свою очередь, равняется удвоенному произведению универсального числа П на радиус окружности.

Площадь круга, как известно, равняется произведению П на квадрат радиуса. Итак, сложив формулы для площади определения боковой поверхности с удвоенным выражением площади основания (их ведь два) и произведя нехитрые алгебраические преобразования, получаем окончательное выражение для определения площади поверхности цилиндра.

Определение объёма фигуры

Объем цилиндра определяется по стандартной схеме: площадь поверхности основания умножается на высоту.

Таким образом, конечная формула выглядит следующим образом: искомое определяется как произведение высоты тела на универсальное число П и на квадрат радиуса основания.

Полученная формула, надо сказать, применима для решения самых неожиданных задач. Точно так же, как объем цилиндра, определяется, например, объём электропроводки. Это бывает необходимо для вычисления массы проводов.

Отличия в формуле только в том, что вместо радиуса одного цилиндра стоит делённый надвое диаметр жилы проводки и в выражении появляется число жил в проводе N. Также вместо высоты используется длина провода. Таким образом рассчитывается объем «цилиндра» не одного, а по числу проводков в оплётке.

Такие расчёты часто требуются на практике. Ведь значительная часть ёмкостей для воды изготовлена в форме трубы. И вычислить объем цилиндра часто бывает нужно даже в домашнем хозяйстве.

Однако, как уже говорилось, форма цилиндра может быть разной. И в некоторых случаях требуется рассчитать, чему равен объем цилиндра наклонного.

Отличие в том, что площадь поверхности основания умножают не на длину образующей, как в случае с прямым цилиндром, а на расстояние между плоскостями – перпендикулярный отрезок, построенный между ними.

Как видно из рисунка, такой отрезок равен произведению длины образующей на синус угла наклона образующей к плоскости.

Как построить развёртку цилиндра

В некоторых случаях требуется выкроить развёртку цилиндра. На приведённом рисунке показаны правила, по которым строится заготовка для изготовления цилиндра с заданными высотой и диаметром.

Следует учитывать, что рисунок приведен без учёта швов.

Отличия скошенного цилиндра

Представим себе некий прямой цилиндр, ограниченный с одной стороны плоскостью, перпендикулярной образующим. А вот плоскость, ограничивающая цилиндр с другой стороны, не перпендикулярна образующим и не параллельна первой плоскости.

На рисунке представлен скошенный цилиндр. Плоскость а под неким углом, отличным от 90° к образующим, пересекает фигуру.

Такая геометрическая форма чаще встречается на практике в виде соединений трубопроводов (колена). Но бывают даже здания, построенные в виде скошенного цилиндра.

Геометрические характеристики скошенного цилиндра

Наклон одной из плоскостей скошенного цилиндра слегка изменяет порядок расчёта как площади поверхности такой фигуры, так и ее объёма.

www.syl.ru