Что такое математический справочник – Математический справочник / math4school.ru

Математический справочник / math5school.ru

 

 

В настоящем справочнике дано краткое изложение основных разделов школьных курсов алгебры, начал анализа и геометрии. Цель справочника – оказать помощь в систематизации и обобщении знаний по математике. Здесь вы найдёте материалы всех основных разделов школьного курса математики: математические понятия, определения, аксиомы, теоремы, свойства, различные следствия и т.д.

Доказательств теорем и иных утверждений в большинстве случаев нет – их можно найти в тех учебных пособиях, по которым вы учитесь или учились; те же редкие доказательства, которые приведены, даются потому, что либо их нет в школьных учебных пособиях, либо они служат образцами тех или иных важных рассуждений.

В справочнике весь материал, относящийся к тому или иному понятию, помещен компактно, в одном разделе (в школьных пособиях это не всегда так). Это поможет вам быстро получить всю необходимую информацию об интересующем вас понятии.

В некоторых пунктах справочника дан дополнительный материал, не входящий в программу курса математики средней школы, – этот материал расширит ваши представления о некоторых известных вам понятиях.

 

Справочник поможет вам:

  • найти нужную информацию о том или ином понятии, о той или иной теореме из школьного курса математики;
  • повторить соответствующий материал при подготовке к уроку, к контрольной работе, к экзамену или аттестации;
  • вспомнить, как решаются типовые задачи и примеры школьного курса математики;
  • систематизировать и даже углубить свои знания по отдельным темам школьной математики;
  • подготовиться к тестированию или собеседованию по математике при поступлении в вуз, техникум и другие учебные заведения.

 

Разделы справочника

Обозначения и сокращения

Таблицы чисел

Арифметика

Алгебраические тождества

Степени

Арифметический корень n-й степени

Логарифмы

Графики элементарных функций

Построение графиков функций геометрическими методами

Тригонометрия

Арифметическая и геометрическая прогрессии

Таблицы значений тригонометрических функций

Предел и непрерывность функции

Производная

Первообразная и интегралы

Элементы комбинаторики

Теория вероятностей

Элементы статистики

Треугольники

Четырёхугольники

Многоугольники

Окружность

Площади геометрических фигур

Прямые и плоскости

Многогранники

Тела вращения

Декартова система координат

 

math4school.ru

Справочник по Математике 📝 словарь от А до Я

Математика как учебная дисциплина изучается в средней школе и делится на арифметику, элементарную алгебру, элементарную геометрию, которая в свою очередь разделяется на планиметрию и стереометрию, и теорию элементарных функций и элементов анализа. Чаще всего математика в вузе делится на математический анализ, алгебру, аналитическую геометрию, линейную алгебру и геометрию, математическую логику, теорию вероятностей, математическую статистику, дифференциальный анализ, топологию, функциональный анализ, теорию функций комплексной переменной, методы математической физики, теорию случайных процессов, методы оптимизации, численные методы, теорию чисел. Кроме того, в вузе изучается высшая математика, которая делится на ряд дисциплин, варьирующихся в зависимости от специальности. Целью преподавания высшей математики в вузе является ознакомление студентов с математическим аппаратом, который необходим для решения задач теоретической и практической направленности; развитие математической культуры; навыков самостоятельного изучения учебной математической литературы; логического и алгоритмического мышления; навыков использования методов математического исследования. Высшая математика в вузе включает в себя аналитическую геометрию, линейную алгебру, математический и функциональный анализ, основы дифференциального и интегрального исчисления, численные методы, дискретную математику и мн. др. Справочник содержит материалы об определителях 2-го и 3-го порядка, матрицах и операциях над ними, о системах линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) и методах их решения, элементах векторной алгебры, основные формулы аналитической геометрии на плоскости и в пространстве, информацию о кривых 2-го порядка, элементах комбинаторики, математической статистике, элементах теории корреляции. Справочник содержит основные сведения по всем перечисленным разделам математики средней школы и вуза и может быть использован изучающими высшую математику и отдельные ее разделы на уровне школы и вуза.

spravochnick.ru

Справочник по математике

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

МАТЕМАТИКА

Справочник

7-еизд-е,

перераб. и доп.

Казань 2012

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

МАТЕМАТИКА

Справочник

7-еизд-е,

перераб. и доп.

Казань 2012

УДК 517.1

ББК 22.1

Рецензент:

Кандидат технических наук, доцент КГЭУ С.А.Лившиц

Математика: Справочник / Сост.: Ф.Х. Арсланов, С.А. Григорян, Т.А. Григорян, М.П. Желифонов, З.Х. Закирова, Е.В. Липачева, А.С. Никитин, Н.В. Николаева, А.А. Хамзин, А.В. Чугунов. – 7-еиздание, перераб. и доп. – Казань: Казан. гос. энерг.ун-т,2012. – 202 с.

Настоящее издание создано на основе справочного пособия «Математика» (Казань, 2006). Оно содержит таблицы с теоретическим материалом, типовые задачи и методы их решения по темам: «Линейная и векторная алгебра», «Аналитическая геометрия», «Введение в математический анализ», «Дифференциальное исчисление функций одной переменной», «Векторные функции и комплексные числа», «Неопределенный и определенный интеграл», «Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных», «Обыкновенные дифференциальные уравнения», «Ряды», «Кратные интегралы», «Криволинейные и поверхностные интегралы», «Теория поля». Кроме того, пособие содержит сведения из элементарной математики.

Третье издание исправлено и дополнено. Предназначено для студентов первого и второго курса.

УДК 517.1 ББК 22.1

© Казанский государственный энергетический университет, 2012

3

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие………………………………………..…………………………..….7

Список обозначений и условных и сокращений……………………………….8

1.Линейная алгебра………….………………………………………………….9

1.Определители…………………………………………………………..9

2.Свойства определителей………………………………………………10

3.Матрицы……………………………………………………………….11

4.Системы линейных уравнений……………………………………….14

5.Линейные пространства и линейные операторы……………………17

6.Квадратичные формы и евклидовы пространства………………….19

Варианты самостоятельной работы по теме «Линейная алгебра»…….23

2.Векторная алгебра…………………………………………….………………..27

7.Вектор на оси, плоскости и в пространстве…………………………27

8.Декартова система координат ……………………………………….28

9.Полярная, цилиндрическая и сферическая системы координат……30

10.Линейные операции над векторами………………………………….31

11.Скалярное произведение векторов…………………………………..32

12.Векторное произведение векторов…………………………………..33

13.Смешанное произведение векторов………………………………….34

Варианты самостоятельной работы по теме «Векторная алгебра»……35

3.Аналитическая геометрия……………………………………………….…39

14.Прямая на плоскости………………………………………………….39

15.Взаимное расположение прямых на плоскости……………………..40

16.Кривые второго порядка………………………………………………41

17.Плоскость………………………………………………………………43

18.Взаимное расположение прямых и плоскостей……………………..44

19.Прямая в пространстве………………………………………………..45

20.Поверхности второго порядка………………………………………..46 Варианты самостоятельной работы по теме

«Аналитическая геометрия»………………………………………………48

4.Введение в математический анализ……………………………………….52

21.Основные числовые множества ……………………………………..52

22.Подмножества множества R (интервалы)……………..…………….52

23.Логические символы………………………………………………….53

24.Определение функции, основные понятия………………………….53

25.Преобразование графиков функций ……………..………………….54

26.Основные свойства функции…………………………………………56

27.Основные элементарные функции……………………………………57

28.Поведение функции на бесконечности………………………………60

29.Поведение функции в точке………………………………………….61

30.Теоремы о пределах……………………………………………………62

31.Таблица эквивалентностей……………………………………………63

32.Понятие непрерывности функции. Точки разрыва функции………64

4

33.Свойства непрерывных функций…………………………………….66

Варианты самостоятельной работы по теме «Пределы»……………….67

5.Производная и дифференциал……………………………….…………….71

34.Производная функции………………………………..………..………71

35.Формулы и правила дифференцирования ……………………………72

36.Формулы и методы дифференцирования некоторых функций……73

37.Дифференциал функции…………………………………………..….74 Варианты самостоятельной работы по теме «Производная и дифференциал»………………………………………….75

6.Применение дифференциального исчисления к исследованию функций, построение графиков………………………………………………80

38.Основные теоремы дифференциального исчисления …………..….80

39.Свойства функции на интервале……………………………………..82

40.Характерные точки функции…………………………………………83

41.Асимптоты графика функции y f x …..…………………………84

42.Исследование функции……………………………………………….85

Варианты самостоятельной работы по теме

«Исследование функций»…………………………………………………86

7.Векторные функции и комплексные числа ……………………….……..91

43.Векторная функция скалярного аргумента………………………….91

44.Касательная и нормальная плоскость к кривой……………………..91

45.Параметрические уравнения линии………………………………….92

46.Производная длины дуги кривой, кривизна кривой………………..93

47.Формы комплексного числа………………………………………….94

48.Значения тригонометрических функций…………………………….94

49.Действия над комплексными числами………………………………95

Варианты самостоятельной работы на тему «Комплексные числа»…..96

8.Неопределенный интеграл…………………………………………………98

50.Определение, свойство линейности и методы интегрирования……98

51.Дифференциалы и неопределенные интегралы…………………….99

52.Интегрирование рациональных дробей……………………………101

53.Интегрирование тригонометрических функций…………………..103

54.Интегрирование иррациональных функций……………………….104

Варианты самостоятельной работы по теме

«Неопределенный интеграл»…………………………………………….106

9.Определенный интеграл…………………………………….……………..109

55.Вычисление определенного интеграла……………………………..109

56.Несобственные интегралы…………………………………………..110

57.Геометрические и физические приложения определенного интеграла……………………………………………………………..112

Варианты самостоятельной работы по теме

«Определенный интеграл»………………………………………….…..115

10. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных ……………………………………………………………………118

 

5

 

58.

Дифференцирование функций нескольких переменных………….118

59.

Дифференциалы функций нескольких переменных

119

60.Касательная плоскость и нормаль к поверхности…………………119

61.Производная по направлению, градиент……………………………120

62.Экстремумы дифференцируемой функции двух переменных……121 Варианты самостоятельной работы по теме «Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных»……………………….122

11.Обыкновенные дифференциальные уравнения………………………126

63.Дифференциальные уравнения первого порядка, общие понятия 126

64.Дифференциальные уравнения 1-гопорядка,

методы интегрирования……………………………………………..127

65.Дифференциальные уравнения 1-гопорядка, не разрешенные относительно производной………………………………………….129

66.Дифференциальные уравнения высшего порядка, общие понятия……………………………………………………………….130

67.Дифференциальные уравнения высшего порядка, допускающие понижения порядка………………………………………………….131

68.Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка……..132

69.Линейные однородные уравнения высшего порядка

спостоянными коэффициентами…………………………………..133

70.Линейные неоднородные уравнения высшего порядка

спостоянными коэффициентами…………………………………..134 Варианты самостоятельной работы по теме «Обыкновенные дифференциальные уравнения»…………………………………………135

12. Ряды……………………

…………………………………………………………………….139

71.Числовые ряды………………………………………………………139

72.Признаки сходимости числовых рядов…………………………….140

73.Функциональные ряды………………………………………………142

74.Степенные ряды………………………………………………………143

75.Основные разложения элементарных функций в ряд Тейлора…..144

76.Тригонометрические ряды Фурье…………………………………..145 Варианты самостоятельной работы по теме «Ряды»………………….146

13. Кратные интегралы……………………

…………………………………………….154

77.Двойные интегралы………………………………………………….154

78.Приложения двойных интегралов………………………………….155

79.Тройные интегралы………………………………………………….156

80.Приложения тройных интегралов ………………………………….157

Варианты самостоятельной работы по теме «Кратные интегралы»

158

14. Криволинейные и поверхностные интегралы………………………….

166

81.Криволинейные интегралы………………………………………….166

82.Приложения криволинейных интегралов………………………….168

83.Поверхностные интегралы………………………………………….169

Варианты самостоятельной работы по теме «Криволинейные и поверхностные интегралы»……………………………………………..171

6

15. Теория поля……………………

…………………………………………………………179

84.Скалярные поля………………………………………………………179

85.Векторные поля………………………………………………………180

86.Дифференциальные операции теории поля………………………..182 Варианты самостоятельной работы по теме «Теория поля»………….183

16. Сведения из элементарной математики…………………………………189

Библиографический список……………………………………………………194

Алфавитный указатель…………………………………………………………195

7

ПРЕДИСЛОВИЕ

Основная задача, которая стояла перед авторами настоящего пособия, – дать в небольшом по объему справочнике основные сведения по математике, необходимые в учебной практике студентам Казанского государственного энергетического университета.

Справочная информация отобрана в соответствии с учебной программой по курсу «Высшая математика» и предназначена для студентов технических и экономических специальностей. Основные теоретические сведения, определения и формулы размещены в таблицах и систематизированы по темам, перечисленным в аннотации. В конце каждой темы приведено по три варианта контрольных заданий. Первый вариант снабжен подробными решениями всех задач, а второй и третий варианты – ответами. Это обстоятельство дает студентам возможность проверить себя при подготовке к зачету или экзамену, а преподавателю – использовать справочник при проведении контрольных практических занятий.

В последнем разделе приведены основные сведения из элементарной математики.

Следует иметь в виду, что это не учебник и не конспект учебника, а справочник, основное назначение которого – дать возможность студенту быстро найти нужное понятие, теорему или формулу с целью использования их при решении практических задач. Для облегчения поиска в конце книги приведен алфавитный указатель основных понятий.

8

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ И УСЛОВНЫХ СОКРАЩЕНИЙ

(цифры в скобках обозначают номер таблицы, в которой данное обозначение встречается впервые)

– для любого (23)– существует (23)

N – множество натуральных чисел (21)Z – множество целых чисел (21)

Q – множество рациональных чисел (21)R – множество действительных чисел (21)Ua – окрестность точки (29)

Ua0 – проколотая окрестность (29)D y – область определений (24)E y – область значений (24)

Г f – график функции (24)

y x a – частное значение функции (24)

x – приращение аргумента (32)y – приращение функции (32)

f a 0 – левосторонний предел (29)f a 0 – правосторонний предел (29)x y –х эквивалентноу (30, 31)

kкас – угловой коэффициент наклона касательной (34)dydx – производная (34)

z – частная производная (58)

x

dy – дифференциал (37) gradu – градиент (61)

sh x – гиперболический синус (27) chx – гиперболический косинус (27) thx – гиперболический тангенс (27)

cth x – гиперболический котангенс (27)

б.м.ф. – бесконечно малая функция (28, 29, 31) б.б.ф. – бесконечно большая функция (28, 29) т. max – точка максимума (40)

т. min – точка минимума (40) т.п. – точка перегиба (40)

i – мнимая единица (47)

9

1. Линейная алгебра

Таблица 1

Определители

Понятие

 

 

 

 

 

 

 

 

Определение и вычисление

 

 

 

 

 

 

1. Опреде-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a11

 

a12

 

a

a

a

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

литель 2-го

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

21

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a21

 

a22

 

11 22

12

 

 

 

 

 

 

 

 

порядка

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Опреде-

 

a11

a12

a13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

литель 3-го

1)

a21

a22

a23

a11a22a33a13a21a32a12a23a31a13a22a31

порядка

 

a31

a32

a33

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a11a23a32a12a21a33,

 

2)

a11

a12

 

a13

a

 

a22

 

a23

 

a

a21

a23

 

a

 

a21

a22

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

a

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

21

22

 

23

 

 

11

 

a

 

a

 

12

a

a

 

 

13

 

a

a

 

 

 

a31

a32

 

a33

 

 

 

 

32

33

 

 

31

 

33

 

 

 

 

31

32

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Опреде-

 

 

 

 

 

a11

 

a12

 

a1n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

литель п-го

 

 

 

 

 

a21

 

a22

 

a2n

= ( 1)d a

 

 

 

 

 

 

порядка

 

 

det A =

 

 

 

a

 

 

a

,

 

 

 

 

 

 

 

. . . . . . . . . . . .

 

 

 

 

1s1

2s2

nsn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

an1

 

an2 ann

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где d – количество нарушений в строке (s1,s2, … ,sn)

 

 

 

4. Форму-

1) по строке

 

 

det A ai1Ai1 ai2 Ai2

ainAin,

 

 

 

лы разло-

2) по столбцу det A a1 j A1 j a2 j A2 j anj Anj ,

 

 

 

жения оп-

studfiles.net

Министерство образования РФ — Справочник по математике


Справочник по математике
скачать (182.1 kb.)

Доступные файлы (1):


содержание

Краткий справочник1.doc

Реклама MarketGid:
Министерство образования РФ

Костромской государственный технологический университет

Кафедра высшей математики

Краткий справочник

по математике для специальностей инженерно-технического профиля

Кострома

2002 г


Глава I. Элементы линейной алгебры. 3

§1.1. Определители. 3

§1.2. Матрицы и линейные операции над ними. 3

Глава II. Векторная алгебра. 4

§2.1 Основные понятия. 4

§2.2. Операции над векторами. 4

§ 2.3. Переход к новому базису. 4

^

§ 3.1. Представление комплексных чисел. 4

§ 3.2. Действия над комплексными числами 5

ГЛАВА IV. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ. 5

^

ГЛАВА VI. КОМБИНАТОРИКА. 6

ГЛАВА VII. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ АЛГЕБРА. 6

§ 7.1. Преобразования графиков функций. 6

§ 7.2. Корень уравнения. 7

^

ГЛАВА IX. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ И НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 8

ГЛАВА X. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. 9

§ 10.1. Неопределенный интеграл. 9

§ 10.2. Определенный интеграл. 9

§ 10.3. Двойной интеграл. 10

^

ГЛАВА XII. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. 11

§ 12.1. Числовые ряды. 11

§ 12.2. Функциональные ряды. 12

ГЛАВА XIII. Аналитическая геометрия. 12

§ 13.1. Аналитическая геометрия на плоскости. 12

§ 13.2. Аналитическая геометрия в пространстве. 12

^

§ 14.1. Случайные события. 13

§ 14.2. Случайные величины. 13

ГЛАВА XV. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. 14

^
Определение: Матрицей называется таблица чисел, в которой m строк и n столбцов

, где

– элементы матрицы, – номер строки, – номер столбца

Только для квадратных матриц введено понятие определителя.

Теорема: Определитель матрицы или определитель nго порядка – это число, равное сумме произведений элементов какого-либо столбца (строки) на их алгебраические дополнения. Например для второй строки:

,

где – алгебраическое дополнение к элементу ;

Определение: Минором элемента называется определитель, получаемый из данного после вычеркивания iой строки и jго столбца.

В частных случаях:

или схематический (метод треугольников):


^

, ,

, справедливо:

^
Если , где ; ; – координаты вектора ,

, , – вектора базиса; то модуль или длина вектора определяется по формуле:

Если вектора и коллинеарны, то


^
Пусть , .

Тогда




  1. Скалярное произведение векторов и :

  2. В пространстве последняя формула примет вид: , где , .
^
В некотором базисе даны вектора: , , .

Требуется найти координаты вектора в новом базисе, образованном векторами и , т.е. решить векторное уравнение:

, ,

которое сводится к системе линейных уравнений:

^
1. Алгебраическая форма комплексного числа:

, , – мнимая единица,

– действительная часть комплексного числа, обозначается ,

– коэффициент при мнимой части комплексного числа, обозначается .

Каждому комплексному числу соответствует единственная точка плоскости (обратное справедливо).

2. Тригонометрическая форма комплексного числа:

, где

модуль комплексного числа ,

– аргумент комплексного числа ,

, .

– главное значение аргумента комплексного числа ;

.

Распределение знака по четвертям:

3. Показательная форма комплексного числа:


^

Комплексное число называется сопряженным к комплексному числу

Степени мнимой единицы:

… ,

В частных случаях:


^

Если каждому элементу множества некоторым способом поставлен в соответствие один элемент множества , то говорят, что задано отображение множества в множество . Записывают:

или

и
изображают с помощью диаграмм Венна:

Пример:

^

& – знак конъюнкции, логического умножения;

 – знак дизъюнкции, логического сложения;


  1. , ;

  2. , ;

  3. , ;

  4. , ;

  5. ;

  6. , , , ;

  7. , ;




^

Сочетания: (порядок элементов внутри выборки не важен)

Размещения: (порядок элементов внутри выборки важен)

Перестановки:
^


^
Если уравнение имеет единственный корень при , то уравнение так же имеет корень при .

^

Правила вычисления пределов.

Если и , то

;

;

, при ;

, .

Первый замечательный предел.

.

Следствия: ,

,

,

Второй замечательный предел.

.

Основные неопределенности.

, , , , .

Основные эквивалентные бесконечно малые величины.

, , , , при .

^

Правила дифференцирования.

Если , – дифференцируемые функции,

то







Формулы дифференцирования:

,

,

,

Следствие: ,

Формула Лапиталя.

Дифференциал функции.

Применение дифференциального исчисления в исследовании функции


  1. Если дифференцируемая функция возрастает (убывает) на отрезке , то .

  2. Если дважды дифференцируемая функция выпукла (вогнута) на отрезке , то .

Замечание: 1. Частные производные функции нескольких переменных находятся по тем же правилам и формулам, что и для функции одной переменной, полагая, что все переменные, кроме той, по которой производится дифференцирование, являются константами.

2. Градиент функции определяется по формуле:

^

Таблица интегралов.

Некоторые тригонометрические формулы, применяемые при интегрировании:

, , ,

Разложение дроби на простейшие при интегрировании рациональных дробей:

, т.е. дробь правильная

^

§ 10.3. Двойной интеграл.

^

Уравнение, содержащее кроме неизвестной функции и её производные называется дифференциальным.

Например: – дифференциальное уравнение 1го порядка.

– начальное условие.

Функция является частным решением дифференциального уравнения 1го порядка, если выполняется:

Простейшими дифференциальными уравнениями первого порядка являются уравнения с разделяющимися переменными:

, где

и

Эти уравнения решаются путем деления на и последующего интегрирования уравнения.

– дифференциальное уравнение 2го порядка,

; – начальные условия.

Частным случаем дифференциальных уравнений второго порядка являются линейные

неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами:

Решение уравнений ищется в виде:

, где – общее решение однородного уравнения, соответствующего заданному,

– частное решение исходного уравнения.

строится в зависимости от корней характеристического уравнения:

Если , то

При ,

При ,

^
Выражение вида:

, где

называется числовым рядом. Если , то ряд называется знакопеременным.

Сумма первых членов ряда называется частичной суммой: .

Ряд называется сходящимся, если существует , в противном случае – расходящимся. Ряды чаще всего исследуются на сходимость с помощью признаков сходимости.

Для знакопеременных рядов наиболее применимы следующие:


  1. необходимый признак сходимости ряда:

если , то ряд расходится, при – ответ дать нельзя;

2. признак Даламбера:

3. признаки сравнения;

4. признак Коши: Если сходится, то и ряд сходится; если интеграл расходится, то и ряд расходится. Функция строится по формуле – общего члена ряда:

, , … , , …

Замечание: 1. Ряд вида называется гармоническим. При ряд сходится, при – расходится.

2. Ряд, составленный из членов геометрической прогрессии сходится при , и расходится, если .

^
Ряд Тейлора для функции :

^
Любая линия на плоскости задается уравнением . Для нахождения точек пересечения её с осью Ох надо решить уравнение , аналогично с осью Оу: . Если какое-либо из уравнений решений не имеет, то точек пересечения с соответствующей осью нет.

Для нахождения точек пересечения двух линий и необходимо решить систему из уравнений, т.е.

Универсальным способом задания прямой на плоскости является общее уравнение прямой на плоскости: , где , одновременно не обращаются в ноль. Для описания не вертикальных прямых часто используется уравнение прямой с угловым коэффициентом: , . Если две прямые заданы уравнениями в этой форме, т.е. и , то они параллельны, если , и перпендикулярны при .

Любое алгебраическое уравнение второй степени относительно и описывает на плоскости кривую второго порядка.

К основным из них относятся:


  1. окружность: ,

  2. эллипс: ,

  3. гипербола: , или развернутая, когда асимптотами являются оси координат: ,

  4. парабола: или , .
^
Уравнение прямой, проходящей через точку параллельно вектору :

.

Уравнение плоскости, проходящей через точкуперпендикулярно вектору :

Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки , и , не лежащие на одной прямой:

Уравнения координатных плоскостей:

плоскость XOY ~ ; плоскость XOZ ~ ; плоскость YOZ ~ .

^
Классическое определение вероятности:

Вероятностью события называется отношения числа благоприятных исходов событию к общему числу равновозможных событий, образующих полную группу, т.е.

, при этом очевидно: .

События называются несовместными, если наступление одного из них исключает наступление другого.

События называются независимыми, если вероятность наступления одного из них не влияет на вероятность наступления другого.

Теоремы сложения и умножения вероятностей:

– для независимых событий и .

– для зависимых событий и .

– для несовместных событий и .

– для совместных событий и .
^
Полной характеристикой случайной величины является её функция распределения . Для дискретной случайной величины более удобной формой задания является ряд распределения:

– возможные значения случайной величины ;

– вероятность того, что случайная величина примет значение

В ряде задач бывает достаточно иметь не полную информацию о случайной величине, а только её основные числовые характеристики:

– математическое ожидание; – дисперсия; – среднеквадратическое отклонение.

Формулы для вычисления:

Для непрерывной случайной величины эти характеристики определяются через функцию плотности распределения

;

Для равномерно распределённой случайной величины функция плотности распределения имеет вид:

Для нормально распределённой случайной величины числовые характеристики являются параметрами плотности распределения:

; ,

Для случайной величины распределенной по показательному закону (Пуассона):

; .

Свойства числовых характеристик:

1. , 1. ,

2. 2.

3. 3.

независимы

^

Если над случайной величиной произведено независимых опытов, в результате которых получены значения , то их среднее значение является несмещенной оценкой , т.е. .

Степень связи между двумя случайными величинами по серии из испытаний над каждой оценивают по коэффициенту корреляции:

, где

,


Скачать файл (182.1 kb.)


gendocs.ru

Справочники по математике

Математические формулы. Алгебра. Геометрия. Справочник.

Год издания: 1985

Количество страниц: 128

Размер файла: 0,9 Мб

Формат книги:  pdf
Авторы: Цыпкин А.Г., Цыпкин Г.Г.
Представлены основные формулы алгебры, геометрии (включая дифференциальную геометрию и векторное исчисление), тригонометрии. Широко представлены формулы и основные понятия и теоремы математического анализа. Приведены таблицы основных интегралов. Для широкого круга специалистов и учащейся молодежи.

Сборник формул по математике

Год издания: 2003

Количество страниц: 160

Размер файла: 760 Kб

Формат книги:  pdf
Серия «Карманный справочник»
В справочнике приведены все необходимые формулы школьного курса математики и высшей математики, изучаемой на первых курсах вузов.

Справочник по элементарной математике
для поступающих в вузы.

Год издания:1972
Количество страниц: 529
Формат книги:  djvu
Размер файла: 5.6 Мб
Автор: П.Ф. Фильчаков

Справочник содержит сведения по арифметике, алгебре и элементарным функциям, в том числе тригонометрическим, планиметрии и стереометрии с указаниями о способах решения примеров и задач различных типов и степеней трудности; приведены исторические справки, список литературы и подробный предметный указатель.
Рассчитан на поступающих в высшие и средние учебные заведения; представляет интерес для преподавателей средних школ и учащихся старших классов.

Математика. Справочные материалы.

Год издания: 1990
Количество страниц: 420
Формат книги: djvu
Размер файла: 4.3 Мб
Автор: В.А.Гусев, А.Г.Мордкович
Разделы: Алгебра и начала анализа, геометрия, приложения (основные формулы и соотношения). Рекомендую, полезно. 

Школьный курс математики. Краткий справочник.

Год издания: 1995
Количество страниц: 48
Формат книги: djvu
Размер файла: 608 кб
Автор: А.Г. Мордкович
В сжатой форме в справочнике представлены все основные определения, теоремы, формулы, правила, свойства математических объектов, которые входят в школьный курс математики. Расположение материала удобно для его практического использования. Справочник будет надежным помощником не только в период обучения, но и при повторении пройденного материала, в процессе подготовки к экзаменам. Для учащихся.

matematikalegko.ru

Краткий справочник по математике — Определение понятий — Общая математика — Каталог статей

(Ф. Хаусдорф.)

‘ quotes[1]='»Математика — это язык, на котором написана книга природы.»

(Г. Галилей)

‘ quotes[2]='»Кто с детских лет занимается математикой, тот развивает внимание, тренирует свой мозг, свою волю, воспитывает на­стойчивость и упорство в достижении цели.»

(А. Маркушевич)

‘ quotes[3]='»Рано или поздно всякая правильная математическая идея находит применение в том или ином деле.»

(А.Н. Крылов)

‘ quotes[4]='»Если вы хотите участвовать в большой жизни, то наполняйте свою голову математикой. Она окажет вам потом огромную помощь во всей вашей работе.»

(М.И. Калинин)

‘ quotes[5]='»Разве ты не заметил, что способный к математике изощрен во всех науках в природе?»

(Платон)

‘ quotes[6]='»Математика есть лучшее и даже единственное введение в изу­чение природы.»

(Д.И. Писарев)

‘ quotes[7]='»Вдохновение нужно в геометрии не меньше, чем в поэзии.»

(А.С. Пушкин)

‘ quotes[8]='»Геометрия полна приключений, потому что за каждой задачей скрывается приключение мысли. Решить задачу – это значит пережить приключение.»

(В. Произволов)

‘ quotes[9]='»В математике есть своя красота, как в живописи и поэзии.»

(Н.Е. Жуковский)

‘ quotes[10]='»Химия – правая рука физики, математика – ее глаз.»

(М.В. Ломоносов)

‘ quotes[11]='»Математику уже затем учить надо, что она ум в порядок приводит.»

(М.В. Ломоносов)

‘ quotes[12]='»Математика — это язык, на котором говорят все точные науки.»

(Н.И. Лобачевский)

‘ quotes[13]='»Именно математика дает надежнейшие правила: кто им следует – тому не опасен обман чувств.»

(Л. Эйлер)

‘ quotes[14]='»Числа не управляют миром, но они показывают, как управляется мир.»

(И. Гете)

‘ quotes[15]='»Было бы легче остановить Солнце, легче было сдвинуть Землю, чем уменьшить сумму углов в треугольнике или свести параллели к схождению…»

(В.Ф. Каган)

‘ quotes[16]='»Счет и вычисления — основа порядка в голове.»

(Песталоцци)

‘ quotes[17]='»Величие человека — в его способности мыслить.»

(Б. Паскаль)

‘ quotes[18]='»Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их.»

(Д.Пойа)

‘ quotes[19]='»Предмет математики столь серьезен, что не следует упускать ни одной возможности сделать его более занимательным.»

(Б. Паскаль)

‘ quotes[20]='»В математических вопросах нельзя пренебрегать даже самыми мелкими ошибками.»

(И. Ньютон)

‘ quotes[21]='»Первое условие, которое надлежит выполнять в математике, — это быть точным, второе — быть ясным и, насколько можно, простым.»

(Л. Карно)

‘ quotes[22]='»Много из математики не остается в памяти, но когда поймешь ее, тогда легко при случае вспомнить забытое.»

(М.В. Остроградский)

‘ quotes[23]='»Математика — это цепь понятий: выпадет одно звенышко — и не понятно будет дальнейшее.»

(Н.К. Крупская)

‘ quotes[24]='»Математика уступает свои крепости лишь сильным и смелым.»

(А.П. Конфорович)

‘ quotes[25]='»Доказательство — это рассуждение, которое убеждает.»

(Ю.А. Шиханович)

‘ quotes[26]='»В каждой естественной науке заключено столько истины, сколько в ней есть математики.»

(И. Кант)

‘ var whichquote= Math.floor(Math.random()*(quotes.length)) document.write(quotes[whichquote])

free-math.ru

Справочник по математике [DOC] — Все для студента

Волгоград, ВолгГТУ; Феофанова Л.Н.; кафедра «Прикладная математика», 164 с.Элементарная математика. Арифметика.
Расширение понятия о числе.
Основные множества чисел и некоторые обозначения.
Действительные числа.
Комплексные числа (формы записи комплексных чисел, алгебраические действия над комплексными числами).
Алгебраические выражения и действия над ними.
Многочлены и их корни.
Квадратный трехчлен.
Теорема Безу и схема Горнера.
Алгебраические дроби.
Разложение на простейшие дроби.
Свойства степеней.
Абсолютная величина действительного числа.
Тригонометрия
Основные отношения и формулы.
Некоторые свойства тригонометрических функций.
Формулы приведения (таблица основных формул приведения).
Значения тригонометрических функций.
Геометрия.
Аналитическая геометрия.
Прямая на плоскости. Плоскость.
Различные виды уравнений.
Взаимное расположение прямых и плоскостей (условия параллельности и перпендикулярности).
Прямая в пространстве.
Различные уравнения прямой в пространстве.
Взаимное расположение прямых в пространстве (условия параллельности и перпендикулярности).
Взаимное расположение прямой и плоскости (условия параллельности и перпендикулярности).
Кривые второго порядка
Эллипс.
Гипербола.
Парабола.
Поверхности второго порядка
Центральные поверхности (эллипсоид, конус, гиперболоид однополостный, гиперболоид двуполостный).
Параболоиды (эллиптический, гиперболический).
Цилиндры (эллиптический, параболический, гиперболический).
Основы векторной алгебры.
Скалярные и векторные величины.
Линейные операции над векторами.
Проекции вектора на ось.
Направляющие косинусы вектора. Модуль вектора.
Скалярное произведение.
Векторное произведение.
Смешанное произведение векторов.
Операции над векторами, заданными в координатной форме.
Матрицы. Системы линейных уравнений.
Числовые матрицы. Основные понятия и определения.
Свойства определителей.
Действия над матрицами.
Линейные действия над матрицами. Их свойства. Свойства линейных операций над матрицами. Свойства умножения матриц.
Обратная матрица. Свойства обратной матрицы.
Решение матричных уравнений.
Системы линейных уравнений.
Основные определения.
Правило Крамера.
Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы.
Метод последовательного исключения неизвестных. Метод Жордана-Гаусса. Теоремы Кренекера-Капелли.
Система линейных однородных уравнений.
Собственные числа и собственные векторы матрицы.
Начала математического анализа.
Понятие функции.
Некоторые классы функций.
Четные и нечетные функции.
Периодические функции.
Монотонные функции.
Ограниченные функции.
Основные элементарные функции.
Графики некоторых функций.
Последовательности и их пределы. Основные теоремы о пределах последовательностей.
Понятие предела функции. Основные теоремы о пределах.
Бесконечно малые и бесконечно большие величины.
Виды неопределенности. Способы устранения неопределенности.
Непрерывность функции. Точки разрыва. Классификация точек разрыва.
Асимптоты.
Дифференциальное исчисление одной и двух переменных.
Правила дифференцирования.
Таблица производных.
Геометрический и механический смысл производной функции одной переменной.
Частные производные функции двух переменных.
Исследование функций.
Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши и формула Тейлора.
Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей.
Возрастание и убывание функции. Признаки возрастания и убывания функции.
Экстремумы функции. Признаки экстремума функции.
Наибольшее и наименьшее значения функции.
Дифференциал функции. Применение дифференциала в приближенных вычислениях.
Выпуклость, вогнутость. Точки перегиба. Достаточное условие выпуклости (вогнутости) графика функции.
Интегральное исчисление.
Таблица интегралов от основных функций.
Определенный интеграл. Свойства определенного интеграла.
Несобственные интегралы.
Интегралы с бесконечными пределами.
Интегралы от разрывных функций. Формула Ньютона-Лейбница.
Двойной интеграл.
Двойной интеграл в полярной системе координат.
Тройной интеграл.
Криволинейный интеграл
Криволинейный интеграл первого рода.
Криволинейный интеграл второго рода.
Формула Грина.
Условия независимости криволинейного интеграла второго рода.
Приложения кратных и криволинейных интегралов.
Геометрические приложения
Вычисление площади плоской фигуры.
Вычисление длины дуги.
Вычисление объема тела.
Вычисление работы переменной силы.
Применение к задачам механики (масса, статические моменты, точка С – центр тяжести, моменты инерции относительно осей координат и начала координат).
Понятие интегралов на поверхности.
Поверхностный интеграл первого рода.
Понятие о двусторонней поверхности.
Поверхностный интеграл второго рода.
Элементы теории поля.
Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент.
Векторное поле. Теорема Остроградского-Гаусса. Теорема Стокса. Свойства простейших векторных полей.
Дифференциальные уравнения.
Основные понятия.
Виды и способы решения дифференциальных уравнений.
Дифференциальные уравнения первого порядка.
Дифференциальные уравнения, допускающие понижения порядка.
Однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Числовые и функциональные ряды.
Виды рядов.
Числовые ряды. Признаки сходимости числовых рядов.
Признаки сходимости любого числового ряда.
Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов.
Стандартные числовые ряды с положительными членами.
Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда.
Достаточный признак сходимости знакочередующихся рядов (Теорема Лейбница).
Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов.
Числовые ряды с комплексными членами.
Функциональные и степенные ряды
Область сходимости. Интервал сходимости.
Равномерная и неравномерная сходимость. Признак (Вейерштрасса) равномерной сходимости ряда.
Ряды Тейлора.
Необходимое условие разложения функции в ряд Тейлора.
Достаточное условие разложения функции в ряд Тейлора.
Ряд Макларена.
Стандартные разложения функций в ряд Макларена.
Примеры приближенных вычислений с помощью рядов.
Ряды Фурье.
Достаточное условие разложения функции в ряд Фурье.
Ряд Фурье для функции, заданной на отрезке.
Ряды Фурье для четных и нечетных функций.
Разложение некоторых функций в ряд Фурье.
Основные понятия теории вероятностей. Справочные материалы для решения задач.

www.twirpx.com

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *