Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Эконометрика [PDF]
Учебник. — М.: ЮНИТИ-ДАНА — 3-е издание, перераб. и доп. — 2010. — 328 с. — (Серия «Золотой фонд российских учебников»). ISBN 978-5-238-01720-4В учебнике излагаются основы эконометрики. Большое внимание уделяется классической (парной и множественной) и обобщенной моделям линейной регрессии, классическому и обобщенному методам наименьших квадратов, анализу временных рядов и систем одновременных уравнений, моделям с панельными данными. Обсуждаются различные аспекты многомерной регрессии: мультиколлинеарность, фиктивные переменные, спецификация и линеаризация модели, частная корреляция. Учебный материал сопровождается достаточным числом решенных задач и задач для самостоятельной работы.Для студентов, бакалавров и магистров экономических направлений и специальностей вузов, аспирантов, преподавателей и специалистов по прикладной экономике и финансам, лиц, обучающихся по программам МВА, второго высшего образования и проходящих профессиональную переподготовку или повышение квалификации.
Предисловие
Введение
Основные аспекты эконометрического моделирования.
Введение в эконометрическое моделирование
Основные математические предпосылки эконометрического моделирования
Эконометрическая модель и экспериментальные данные
Линейная регрессионная модель
Система одновременных уравнений
Основные этапы и проблемы эконометрического моделирования
Элементы теории вероятностей и математической статистики
Случайные величины и их числовые характеристики
Функция распределения случайной величины. Непрерывные случайные величины
Некоторые распределения случайных величин
Многомерные случайные величины. Условные законы распределения
Двумерный (n-мерный) нормальный закон распределения
Закон больших чисел и предельные теоремы
Точечные и интервальные оценки параметров
Проверка (тестирование) статистических гипотез
Упражнения
Парный регрессионный анализ
Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости
Линейная парная регрессия
Коэффициент корреляции
Основные положения регрессионного анализа. Оценка параметров парной регрессионной модели. Теорема Гаусса—Маркова
Интервальная оценка функции регрессии и ее параметров
Оценка значимости уравнения регрессии. Коэффициент детерминации
Геометрическая интерпретация регрессии и коэффициента детерминации
Коэффициент ранговой корреляции Спирмена
Упражнения
Множественный регрессионный анализ
Классическая нормальная линейная модель множественной регрессии
Оценка параметров классической регрессионной модели методом наименьших квадратов
Ковариационная матрица и ее выборочная оценка
Доказательство теоремы Гаусса—Маркова. Оценка дисперсии возмущений
Определение доверительных интервалов для коэффициентов и функции регрессии
Упражнения
Некоторые вопросы практического использования регрессионных моделей
Мультиколлинеарность
Отбор наиболее существенных объясняющих переменных в регрессионной модели
Линейные регрессионные модели с переменной структурой. Фиктивные переменные
Критерий Г. Чоу
Нелинейные модели регрессии
Частная корреляция
Упражнения
Временные ряды и прогнозирование
Общие сведения о временных рядах и задачах их анализа
Стационарные временные ряды и их характеристики. Автокорреляционная функция
Аналитическое выравнивание (сглаживание) временного ряда (выделение неслучайной компоненты)
Прогнозирование на основе моделей временных рядов
Понятие об авторегрессионных моделях и моделях скользящей средней
Упражнения
Обобщенная линейная модель. Гетероскедастичность и автокорреляция остатков
Обобщенная линейная модель множественной регрессии
Обобщенный метод наименьших квадратов
Гетероскедастичность пространственной выборки
Тесты на гетероскедастичность
Устранение гетероскедастичности
Автокорреляция остатков временного ряда. Положительная и отрицательная автокорреляция
Авторегрессия первого порядка. Статистика Дарбина—Уотсона
Тесты на наличие автокорреляции
Устранение автокорреляции. Идентификация временного ряда
Авторегрессионная модель первого порядка
Доступный (обобщенный) метод наименьших квадратов
Упражнения
Регрессионные динамические модели
Стохастические регрессоры
Метод инструментальных переменных
Оценивание моделей с распределенными лагами. Обычный метод наименьших квадратов
Оценивание моделей с распределенными лагами. Нелинейный метод наименьших квадратов
Оценивание моделей с лаговыми переменными. Метод максимального правдоподобия
Модель адаптивных ожиданий
Модель потребления Фридмена
Автокорреляция ошибок в моделях со стохастическими регрессорами
GARCH-модели
Нестационарные временные ряды
Упражнения
Системы одновременных уравнений
Общий вид системы одновременных уравнений. Модель спроса и предложения
Косвенный метод наименьших квадратов
Проблемы идентифицируемости
Метод инструментальных переменных
Одновременное оценивание регрессионных уравнений. Внешне не связанные уравнения
Трехшаговый метод наименьших квадратов
Экономически значимые примеры систем одновременных уравнений
Упражнения
Проблемы спецификации модели
Выбор одной из двух классических моделей. Теоретические аспекты
Выбор одной из двух классических моделей. Практические аспекты
Спецификация модели пространственной выборки при наличии гетероскедастичности
Спецификация регрессионной модели временных рядов
Важность экономического анализа
Упражнения
Модели с различными типами выборочных данных
Статистические модели с панельными данными
Межгрупповые оценки с панельными данными
Модели с фиксированным и случайным эффектами
Оценивание модели с фиксированным эффектом
Оценивание модели со случайным эффектом
Проблема выбора модели с панельными данными
Бинарные модели с дискретными зависимыми переменными
Probit- и logit-модели
Дискретные модели с панельными данными
Выборка с ограничениями
Упражнения
Приложения
Элементы линейной алгебры
Матрицы
Определитель и след квадратной матрицы
Обратная матрица
Ранг матрицы и линейная зависимость ее строк (столбцов)
Система линейных уравнений
Векторы
Собственные векторы и собственные значения квадратной матрицы
Симметрические, положительно определенные, ортогональные и идемпотентные матрицы
www.twirpx.com
Эконометрика_Кремер Н.Ш., Путко Б.А_Учебник_2002 -311с
Объясненная часть — обозначим ее }^ —- в любом случае представляет собой функцию от значений факторов — объяс няющих переменных:
7, =/№,…, Х^).
Таким образом, эконометрическая модель имеет вид
7 = /№,…, Jr^) + e.
Наиболее естественным выбором объясненной части случай ной величины 7 является ее среднее значение — условное мате матическое ожидание М^^ ,,2,..,^ (^)’ полученное при данном
наборе значений объясняющих переменных (хь X2,…, Хр). (В дальнейшем математическое ожидание будем обозначать Mx(Y).) В самом деле, по своему смыслу объясненная часть — это ожи даемое значение зависимой переменной при заданных значени ях объясняющих.
Уравнение Mx(Y) =f(x\,,.,, Хр) называется уравнением регрессии
При таком естественном выборе объясненной части эконо метрическая модель имеет вид
где 8 — случайная величина, называемая возмущением или ошиб кой. В курсе математической статистики уравнение (1.2) называ ется уравнением регрессионной модели.
Сразу же отметим, что | эконометрическая | модель н е |
о б я з а т е л ь н о является | регрессионной, т.е. | объясненная |
часть не всегда представляет собой условное математическое ожидание зависимой переменной.
Рассмотрим, например, следующую задачу: определить зави симость затрат 7 на какой-либо товар от дохода X. Допустим, имеются данные опроса ста человек и сто пар чисел (хь >^i),…, (хюо, У\т)’ Анализируя эти данные, мы получаем (отложим пока вопрос — каким образом) зависимость 7^ = 7(^0.
Однако может оказаться, что данные о доходе, полученные в результате опроса, на самом деле являются искаженными, — например, в среднем заниженными, т.е. объясняющие перемен ные измеряются с с и с т е м а т и ч е с к и м и о ш и б к а м и . В этом случае люди, действительно обладающие доходом X, бу дут на самом деле тратить на исследуемый товар в среднем ве личину, меньшую, чем f{X), т.е. в рассмотренном примере объ-
studfiles.net
Эконометрика_Кремер Н.Ш., Путко Б.А_Учебник_2002 -311с
Коэффициент автокорреляции 137
— выборочный 137
— частный 137 выборочный 137, 138
-авторегрессии 182
-детерминации 74, 75, 154, 155
— , геометрическая интерпретация 78
— множественный 103, 104 адаптированный 104 скорректированный 104
-корреляции 57
— выборочный 57
,проверка значимости 73, 74
,свойства 58, 59
— случайных величин 39
,свойства 39
— частный 128, 129
,проверка значимости 129
-неидентифицируемый 232
-ранговой корреляции Спирмена 78— 80
,проверка значимости 79
-регрессии 55
— выборочный 55
,проверка значимости 73, 98
— стандартизованный 90
-частной эластичности 126
-эластичности 90
Кривая распределения 31
— выборочная 52
-регрессии 38, 52
Критерий (тест) Дарбина—Уотсона 170-174
-статистический 46
-Чоу 122, 123 Критическая область 46, 47
— двусторонняя 47
— левосторонняя 47
— односторонняя 47
— правосторонняя 47
—, принцип построения 47
Лаг 136 Лаговая переменная 20, 147, 178
Линеаризация модели 22, 125, 126 Линейная комбинация векторов 270
— строк матрицы 267 Линейное пространство 270 Линейно зависимые векторы 270
— строки матрицы 267
-независимые векторы 270
— строки матрицы 267
Линия рефессии 38, 52
— выборочная 52
— модельная 52
— нормально распределенных слу- «с.йных величин 40
— среднеквадратическая 52 Логарифмически-нормальное распре деление 35
Ложная регрессия 218 Математическое ожидание случайной величины дискретной 26, 27
непрерывной 32 , свойства 27
Марковский случайный процесс 147 Матрица 258
-блочная 274, 275
-блочно-диагональная 275 обратная 275
-вырожденная 264
-диагональная 259
-единичная 259
-значений объясняющих переменных 83
-идемпотентная 274
—, свойства 274
-квадратная 259
-ковариационная 40
-невырожденная (неособенная) 264
-неотрицательно определенная 272, 273
,свойства 273
-нулевая 259
-обратная 264, 265
— , свойства 265, 266 -ортогональная 273, 274
—,свойства 274
-особенная 264
-плана 83
-положительно определенная 272, 273
,свойства 273
-присоединенная 265
-симметрическая (симметричная) 272
—, свойства 273
-столбец 258
— возмущений 83
— значений зависимой переменной 83
— параметров 83
— случайных ошибок 83
-строка 258
-Якоби 276
studfiles.net
Эконометрика_Кремер Н.Ш., Путко Б.А_Учебник_2002 -311с
вто же время вектор оценок b и его ковариационная матрица
У^ в соответствии с формулами (4.8) и (4.16) пропорциональны
обратной матрице {X’Х)~^, а значит, их элементы обратно про порциональны величине определителя liT’Jfl. В результате полу чаются значительные средние квадратические отклонения (стан дартные ошибки) коэффициентов регрессии Ь^, Ь\,…, ЬрИ оценка их значимости по ^кpитepию не имеет смысла, хотя в целом рег рессионная модель может оказаться значимой по f-критерию.
Оценки становятся очень чувствительными к незначитель ному изменению результатов наблюдений и объема выборки. Уравнения регрессии в этом случае, как правило, не имеют ре ального смысла, так как некоторые из его коэффициентов могут иметь неправильные с точки зрения экономической теории зна ки и неоправданно большие значения.
Точных количественных критериев для определения наличия или отсутствия мультиколлинеарности не существует. Тем не менее имеются некоторые э в р и с т и ч е с к и е п о д х о — д ы по ее выявлению.
Один из таких подходов заключается в анализе корреляцион ной матрицы между объясняющими переменными Х\, Х2,…, Хр и
выявлении пар переменных, имеюш;их высокие коэффициенты корреляции (обычно больше 0,8). Если такие переменные суш^е- ствуют, то говорят о мультиколлинеарности между ними.
Полезно также находить множественные коэффициенты де терминации между одной из объясняющих переменных и неко торой группой из них. Наличие высокого множественного ко эффициента детерминации (обычно больше 0,6) свидетельствует о мультиколлинеарности.
Другой подход состоит в исследовании матрицы ХХ. Если определитель матрицы XX либо ее минимальное собственное зна чение X-min близки к нулю (напримср, одного порядка с накапли вающимися ошибками вычислений), то это говорит о наличии мультиколлинеарности. О том же может свидетельствовать и зна чительное отклонение максимального собственного значения А-щах матрицы Jf’Jf от ее минимального собственного значения А-щш.
Для устранения или уменьшения мультиколлинеарности ис пользуется р я д м е т о д о в . Самый простой из них (но далеко не всегда возможный) состоит в том, что из двух объясняющих пере
менных, имеющих высокий коэффициент корреляции (больше 0,8 одну переменную исключают из рассмотрения. При этом, какую п ременную оставить, а какую удалить из анализа, решают в первую
studfiles.net
Эконометрика_Кремер Н.Ш., Путко Б.А_Учебник_2002 -311с
предсказывающейу предикторной, экзогенной переменной, факто ром, регрессором, факторным признаком.
Уравнение (3.1) называется модельным уравнением регрессии (или просто уравнением регрессии), а функция ф(х) — модельной функцией рефессии (или просто функцией регрессии), а ее фафик — модельной линией регрессии (или просто линией регрессии).
Для точного описания уравнения регрессии необходимо знать условный закон распределения зависимой переменной Y при условии, что переменная X примет значение х, т. е. Х=х. В статистической практике такую информацию получить, как пра вило, не удается, так как обычно исследователь располагает лишь выборкой пар значений (х/, у^ ограниченного объема п. В
этом случае речь может идти об оценке {приближенном выраже
нии, аппроксимации) по выборке функции регрессии. | Такой |
оценкой^ является выборочная линия (кривая) регрессии: |
|
у = ф{х,ЬоА,»-.Ьр\ | (3.2) |
где у — условная (групповая) средняя переменной Y при фикси рованном значении переменной Х= х, bo, bi,…, Ьр — параметры
кривой.
Уравнение (3.2) называется выборочным уравнением регрессии.
При правильно определенной аппроксимирующей функции ф(х, bo, b\,…, bp) с увеличением объема выборки (п-^со) она будет сходиться по вероятности к функции регрессии ф(х).
3.2. Линейная парная регрессия
Рассмотрим в качестве примера зависимость между сменной добычей угля на одного рабочего Г(т) и мощностью пласта Дм) по следующим (условным) данным, характеризующим процесс добычи угля в п = 10 шахтах.
|
|
|
|
|
|
|
| Т а б л и ц а | 3.1 | |
/ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | •10 |
•^(• | 8 | 11 | 12 | 9 | 8 | 8 | 9 | 9 | 8 | 12 |
л | 5 | 10 | 10 | 7 | 5 | 6 | 6 | 5 | 6 | 8 |
^ Как мы увидим дальше, наилучшей оценкой является линия среднеквадратической регрессии.
studfiles.net
Кремер_Эконометрика — Стр 15
Р е ш е н и е . Попытка подобрать к данному временному ря ду адекватную модель вида (6.7) с линейным или полиномиаль ным трендом оказывается бесполезной.
В соответствии с условием применим авторегрессионную мо дель (6.12). Получим (аналогично примеру 6.2)
j),= 284,0+ 0,7503>;,_1. | (6.13) |
Найденное уравнение регрессии значимо на 5%-номуровнепо /»-критерию,так как фактически наблюдаемое значение ста тистикиF= 24,32 > /о,05;1;19^ 4,35. Можно показать (например, с помощью критерияДарбина—Уотсона)(см. далее, § 7.7)), что возмущения (ошибки)Zf в данной модели удовлетворяют усло виям классической модели и для проведения прогноза могут быть использованы уже изученные нами методы.
Вычисления, аналогичные примеру 6.3, дают точечный про гноз по уравнению (6.13):
j),=23 = 284,0 + 0,7503 -1213= 1194,1
и интервальный на уровне значимости 0,05 для среднего и ин дивидуального значений —
1046,6 < >^,^2з ^ 1341,6; 879,1 < >;;^2з ^ 1509,1.
Итак, с надежностью 0,95 среднее значение курса акций дан ной компании на момент /=23 будет заключено в пределах от 1046,6 до 1341,6 (ден. ед.), а его индивидуальное значение — от 879,1 до 1509,1 (ден. ед.). •
Наряду с авторегрессионными моделями временных рядов в эконометрике рассматриваются также модели скользящей средней}, в которой моделируемая величина задается линейной функцией от возмущений (ошибок) в предьщущие моменты времени.
Модель скользящей средней q-TOпорядка(или модель^ М
имеет вид:
>^, = 8, + Yi8,_i + У28,_2 + … + Jg&t-q • | (6.14) |
В эконометрике используются также комбинированные мо дели временных рядов AR иМА.
‘ Термин «скользящая средняя» не следует путать с аналогичным термином, ис пользуемым в технике сглаживания временных рядов (§ 6.2).
2 «МА» — от английских слов«moving average» — скользящая средняя.
studfiles.net
Кремер_Эконометрика — Стр 16
дель гетероскедастична, оценка b — несмещенная и состоятель ная. Эти свойства оценкиb легко усматриваются из (7.16), если учесть, что Af(8)=0.
Таким образом, для определения неизвестных {прогнозных) значений зависимой переменной обычный метод наименьших квадратов, вообще говоря, применим и для гетероскедастичной модели.
Так, в нашем примере изучения зависимости размера оплаты Гот разряда JTсотрудников фирмы регрессионная модель Yno X примет вид:
j) = 225,2+ 44,99JC,
которая вполне может быть использована для практических приложений.
Однако результаты, связанные с анализом точности модели, оценкойзначимости и построениеминтервальных оценок ее ко эффициентов, оказываются непригодными.
В самом деле, при построении t- и /»-статистик,которые слу жат инструментом для проверки (тестирования) гипотез, сущест венное значение имеют оценки дисперсий и ковариаций пара метров Р/ (/= 1,…, л), т. е. ковариационная матрицаYjb • Между тем, если модель не является классической, т. е. ковариационная матрица вектора возмущений X е = ^ ‘^^^Еп, то, как показано в
§ 7.1, ковариационная | матрица вектора оценок параметров |
X 6= {Х’ХУ^Х’ОХ^Х’Х)’^ | {12) существекро отличается от полу |
ченной для классической модели ^^=0^(Х5Г)~* (7.3). А значит, использование матрицы ^ ^, (7.2) для оценки точности регресси
онной модели (7.1) может привести к неверным выводам. Напомним также (§ 7.1), что оценка b (7.16), оставаясь не
смещенной и состоятельной, не будет оптимальной в смысле теоремы Гаусса—Маркова,т. е. наиболее эффективной. Это оз начает, что при небольших выборках мы рискуем получить оцен куЬ, существенно отличающуюся от истинного параметра р.
7.4.Тесты на гетероскедастичность
впримере, рассмотренном в § 7.3, наличие гетероскедастичности не вызывает сомнения, — чтобы убедиться в этом, доста-
studfiles.net