Формула а минус б в кубе – CGI script error

Формулы сокращённого умножения. Разность кубов и сумма кубов

При изучении формул сокращенного умножения мы уже изучили:

 – квадрат суммы и разности;

 – разность квадратов.

Выведем формулу разности кубов.

.

Наша задача – доказать, что при раскрытии скобок в правой части и приведении подобных слагаемых мы придем в результате к левой части.

Выполняем умножение многочленов:

.

Что и требовалось доказать.

Выражение  называется неполным квадратом суммы, так как отсутствует двойка перед произведением выражений.

Определение

Разность кубов двух выражений есть произведение разности этих выражений на неполный квадрат их суммы.

Выведем формулу суммы кубов.

.

Выполняем умножение многочленов:

.

Что и требовалось доказать.

Выражение  называется неполным квадратом разности, так как отсутствует двойка перед произведением выражений.

Определение

Сумма кубов двух выражений есть произведение суммы этих выражений на неполный квадрат их разности.

Пример 1 – упростить выражение:

.

Пусть  и , имеем:

.

Это изучаемая формула – разности кубов:

.

Пример 2 – упростить выражение:

.

Пусть  и , имеем:

.

Это изучаемая формула – суммы кубов:

.

Пример 3 – разложить на множители:

.

Несложно заметить формулу разности кубов:

.

Применяем изучаемую формулу:

.

Пример 4 – разложить на множители:

.

Несложно заметить формулу разности кубов:

.

Применяем изучаемую формулу: 

.

Пример 5 – решить уравнение:

.

Пусть  и , имеем:

.

Это изучаемая формула – разности кубов:

.

Пример 6 – решить уравнение:

.

Пусть  и , имеем:

.

Это изучаемая формула – суммы кубов:

z3 = -13

z = -1

Пример 7 – вычислить при :

.

Пусть  и , имеем:

.

Это изучаемая формула – разности кубов:

.

Подставим значение переменной:

.

Пример 8: докажите, что .

Доказательство.

Применим формулу разности кубов и разложим заданное выражение на множители:

.

Вторую скобку оставим без изменений, выполним вычисления в первой скобке:

.

Получили произведение чисел, содержащее множитель 25, очевидно, что данное выражение кратно 25.

Вывод: на данном уроке мы рассмотрели формулы разности и суммы кубов и их применение для различных типов задач.

 

Список литературы

  1. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7. 6 издание. – М.: Просвещение, 2010.
  2. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ. 
  3. Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7 – М.: Просвещение, 2006.

 

Домашнее задание

  1. Задание 1 – упростить выражения:
    а) ; б) .
  2. Задание 2 – разложить на множители:
    a) ; б) .
  3. Задание 3 – № 882, 883 – Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Школьный помощник (Источник).
  2. Инженерный справочник (Источник).
  3. Интернет-портал Grandars.ru (Источник).

interneturok.ru

Формулы сокращенного умножения | Cubens

Основные законы алгебры

Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе и плюс квадрат второго числа.

Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого числа на второе и плюс квадрат второго числа.

Разность квадратов двух чисел равна произведению суммы этих чисел на их разность.

Куб суммы двух чисел равен кубовые первого числа плюс утроенный квадрат произведение первого числа на второе, плюс утроен произведение первого числа на квадрат второго плюс куб второго числа.

Куб разности равна кубовые первого числа минус утроен произведение квадрата первого числа на второе, плюс утроен произведение первого числа на квадрат второго и минус куб второго числа.

Сумма кубов двух чисел равна произведению суммы этих чисел на неполный квадрат разности этих чисел.

Разность кубов двух чисел равна произведению разности этих чисел на неполный квадрат суммы этих чисел.

Квадрат суммы нескольких выражений равен сумме квадратов всех слагаемых плюс все удвоенные произведения каждого выражения на каждый следующий.

Правила раскрытия скобок

  1. Умножение одночлена на многочлен
  2. Умножение многочлена на многочлен
  3. Вынесение общего многочлена за скобки
  4. Метод группировки
  5. Выделение квадрата двучлена из квадратного трехчлена

Разложение алгебраических выражений на множители.

Квадратный трехчлен

Разность двух чисел n-ой степени

Разность двух чисел четвертой степени

Разность двух чисел пятого степеня

Для нечетных натуральных n

Бином Ньютона

где коэффициенты этого разложения можно взять из треугольника Паскаля.

cubens.com

Сумма и разность кубов | umath.ru

Сумма кубов

   

Выражение отличается от правой части формулы квадрата разности только коэффициентом при Поэтому это выражение называют неполным квадратом разности.

Читают: сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности.

Формулу суммы кубов можно получить из формулы куба суммы:

   

Выразим отсюда :

   

   

Разность кубов

Заменив в формуле суммы кубов на получим формулу разности кубов:

   

Выражение называют неполным квадратом суммы.

Читают: разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполных квадрат их суммы

.

Пример 1. Разложить на множители многочлен

Решение. Заметим, что а Поэтому по формуле разности кубов получаем

   

umath.ru

Ответы@Mail.Ru: формула сокращенного умножения

Формулы для квадратов (a + b )2 = a 2 + 2ab + b 2– квадрат суммы (a – b )2 = a 2 – 2ab + b 2– квадрат разностиa 2 – b 2 = (a – b )(a + b )– разность квадратов (a + b + c )2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc Формулы для кубов (a + b )3 = a 3 + 3a 2b + 3a b 2 + b 3– куб суммы (a – b )3 = a 3 – 3a 2b + 3a b 2 – b 3– куб разностиa 3 + b 3 = (a + b )(a 2 – ab + b 2)– сумма кубовa 3 – b 3 = (a – b )(a 2 + ab + b 2)– разность кубов Формулы для четвёртой степени (a + b )4 = a 4 + 4a 3b + 6a 2b 2 + 4a b 3 + b 4(a – b )4 = a 4 – 4a 3b + 6a 2b 2 – 4a b 3 + b 4a 4 – b 4 = (a – b )(a + b )(a 2 + b 2) Формулы для n -той степени (a + b )n = an + na n – 1b + n (n – 1)a n – 2b 2 + ..+ n !an – kbk + ..+ bn 2k !(n – k )!(a – b )n = an – na n – 1b + n (n – 1)a n – 2b 2 + ..+ (-1)k n !an – kbk + ..+ (-1)nbn 2k !(n – k )!

Семь формул сокращенного умноженияНесмотря на то, что формулы сокращенного умножения изучаются, как правило, в 7 классе, пригодятся они как минимум до конца обучения в университете, а то и вовсе до конца жизни. Поэтому очень важно знать все 7 формул сокращенного умножения и правильно применять их. Ниже приведены все формулы, каждая из которых снабжена способом чтения, который наверняка порадует твоего учителя. 1. Квадрат суммы (a+b)2=a2+2ab+b2 – квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения. 2. Квадрат разности (a−b)2=a2−2ab+b2 – квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения. 3. Разность квадратовa2−b2=(a−b)(a+b) – разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений и их суммы. 4. Куб суммы (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 – куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения. 5. Куб разности (a−b)3=a3−3a2b+3ab2−b3 – куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения. 6. Сумма кубов: а3+b3=(a+b)(a2−ab+b2) – сумма кубов двух выражений равна произведению суммы первого и второго выражения на неполный квадрат разности этих выражений. 7. Разность кубов: а3−b3=(a−b)(a2+ab+b2) – разность кубов двух выражений равна произведению разности первого и второго выражения на неполный квадрат суммы этих выражений.

Квадрат суммы двух величин равен квадрату первой плюс удвоенное произведение первой на вторую плюс квадрат второй. (a+b)2=a2+2ab+b2 Квадрат разности двух величин равен квадрату первой минус удвоенное произведение первой на вторую плюс квадрат второй. (a-b)2=a2-2ab+b2 Произведение суммы двух величин на их разность равно разности их квадратов. (a+b)(a-b)=a2-b2 Куб суммы двух величин равен кубу первой плюс утроенное произведение квадрата первой на вторую плюс утроенное произведение первой на квадрат второй плюс куб второй. (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 Куб разности двух величин равен кубу первой минус утроенное произведение квадрата первой на вторую плюс утроенное произведение первой на квадрат второй минус куб второй. (a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3 Произведение суммы двух величин на неполный квадрат разности равно сумме их кубов. ( a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3 Произведение разности двух величин на неполный квадрат суммы равно разности их кубов. (a-b)(a2+ab+b2)=a3- b3

touch.otvet.mail.ru

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *