Cos x sin x sqrt 2 sin 2 x: Математика а) Решите уравнение |Cosx+Sinx|=√2 Sin2x. б) Найдите решение уравнения, принадлежащие

Mathway | Популярные задачи

1	Найти точное значение	sin(30)
2	Найти точное значение	sin(45)
3	Найти точное значение	sin(30 град. )
4	Найти точное значение	sin(60 град. )
5	Найти точное значение	tan(30 град. )
6	Найти точное значение	arcsin(-1)
7	Найти точное значение	sin(pi/6)
8	Найти точное значение	cos(pi/4)
9	Найти точное значение	sin(45 град. )
10	Найти точное значение	sin(pi/3)
11	Найти точное значение	arctan(-1)
12	Найти точное значение	cos(45 град. )
13	Найти точное значение	cos(30 град. )
14	Найти точное значение	tan(60)
15	Найти точное значение	csc(45 град. )
16	Найти точное значение	tan(60 град. )
17	Найти точное значение	sec(30 град. )
18	Найти точное значение	cos(60 град. )
19	Найти точное значение	cos(150)
20	Найти точное значение	sin(60)
21	Найти точное значение	cos(pi/2)
22	Найти точное значение	tan(45 град. )
23	Найти точное значение	arctan(- квадратный корень 3)
24	Найти точное значение	csc(60 град. )
25	Найти точное значение	sec(45 град. )
26	Найти точное значение	csc(30 град. )
27	Найти точное значение	sin(0)
28	Найти точное значение	sin(120)
29	Найти точное значение	cos(90)
30	Преобразовать из радианов в градусы	pi/3
31	Найти точное значение	tan(30)
32	Преобразовать из градусов в радианы	45
33	Найти точное значение	cos(45)
34	Упростить	sin(theta)^2+cos(theta)^2
35	Преобразовать из радианов в градусы	pi/6
36	Найти точное значение	cot(30 град. )
37	Найти точное значение	arccos(-1)
38	Найти точное значение	arctan(0)
39	Найти точное значение	cot(60 град. )
40	Преобразовать из градусов в радианы	30
41	Преобразовать из радианов в градусы	(2pi)/3
42	Найти точное значение	sin((5pi)/3)
43	Найти точное значение	sin((3pi)/4)
44	Найти точное значение	tan(pi/2)
45	Найти точное значение	sin(300)
46	Найти точное значение	cos(30)
47	Найти точное значение	cos(60)
48	Найти точное значение	cos(0)
49	Найти точное значение	cos(135)
50	Найти точное значение	cos((5pi)/3)
51	Найти точное значение	cos(210)
52	Найти точное значение	sec(60 град. )
53	Найти точное значение	sin(300 град. )
54	Преобразовать из градусов в радианы	135
55	Преобразовать из градусов в радианы	150
56	Преобразовать из радианов в градусы	(5pi)/6
57	Преобразовать из радианов в градусы	(5pi)/3
58	Преобразовать из градусов в радианы	89 град.
59	Преобразовать из градусов в радианы	60
60	Найти точное значение	sin(135 град. )
61	Найти точное значение	sin(150)
62	Найти точное значение	sin(240 град. )
63	Найти точное значение	cot(45 град. )
64	Преобразовать из радианов в градусы	(5pi)/4
65	Найти точное значение	sin(225)
66	Найти точное значение	sin(240)
67	Найти точное значение	cos(150 град. )
68	Найти точное значение	tan(45)
69	Вычислить	sin(30 град. )
70	Найти точное значение	sec(0)
71	Найти точное значение	cos((5pi)/6)
72	Найти точное значение	csc(30)
73	Найти точное значение	arcsin(( квадратный корень 2)/2)
74	Найти точное значение	tan((5pi)/3)
75	Найти точное значение	tan(0)
76	Вычислить	sin(60 град. )
77	Найти точное значение	arctan(-( квадратный корень 3)/3)
78	Преобразовать из радианов в градусы	(3pi)/4
79	Найти точное значение	sin((7pi)/4)
80	Найти точное значение	arcsin(-1/2)
81	Найти точное значение	sin((4pi)/3)
82	Найти точное значение	csc(45)
83	Упростить	arctan( квадратный корень 3)
84	Найти точное значение	sin(135)
85	Найти точное значение	sin(105)
86	Найти точное значение	sin(150 град. )
87	Найти точное значение	sin((2pi)/3)
88	Найти точное значение	tan((2pi)/3)
89	Преобразовать из радианов в градусы	pi/4
90	Найти точное значение	sin(pi/2)
91	Найти точное значение	sec(45)
92	Найти точное значение	cos((5pi)/4)
93	Найти точное значение	cos((7pi)/6)
94	Найти точное значение	arcsin(0)
95	Найти точное значение	sin(120 град. )
96	Найти точное значение	tan((7pi)/6)
97	Найти точное значение	cos(270)
98	Найти точное значение	sin((7pi)/6)
99	Найти точное значение	arcsin(-( квадратный корень 2)/2)
100	Преобразовать из градусов в радианы	88 град.

Пример №80 из задания 13 (профильный уровень) ЕГЭ 11 класс

а) Решите уравнение `cosx+sqrt((2-sqrt(2))/2 *(sinx+1))=0`.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку `[-(11pi)/2; -4pi]`. 2))/4=(-2+sqrt(2)+sqrt(2)+2)/4=(sqrt(2))/2`.

Первый корень:

`sinx=-1`;

`x=-pi/2+2pin, n in Z`;

Второй корень:

`sinx=(sqrt(2))/2`;

`x=pi/4+2pin, n in Z`;

`x=(3pi)/4+2pin, n in Z`.

С учетом ОДЗ остаются следующие корни (см. тригонометрическую окружность ниже):

`x=-pi/2+2pin, n in Z` и `x=(3pi)/4+2pin, n in Z`.

---

б) С помощью числовой окружности отберем корни, принадлежащие промежутку `[-(11pi)/2; -4pi]`.

---

Получились следующие корни: `-(21pi)/4; -(9pi)/2`.

Решение №2 (скан):

$IMAGE3$

---

Ответ: а) `-pi/2+2pin; (3pi)/4+2pin, n in Z`;
б) `-(21pi)/4; -(9pi)/2`.

---

∫ Cos X + Sin X 1 + Sin (2 X) √ Dx ∫ Cos ⁡ X + Sin ⁡ X 1 + Sin ⁡ (2 X) Dx \ Int \ Frac {\ Cos X + \ Sin X} {\ Sqrt {1 + \ Sin (2x)}} Dx?

Обратите внимание, что

1 + sin 2 x — — — — — — — — √ 1 + sin ⁡ 2 x \ sqrt {1+ \ sin {2x}}

= грех ² x + cos ² x + 2 грех x cos x — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — √ = грех ⁡ ² x + cos ⁡ ² x + 2 грех Cos x cos ⁡ x = \ sqrt {\ sin² x + \ cos² x + 2 \ sin x \ cos x}

= (sin x + cos x) ² — — — — — — — — — — — √ = (sin ⁡ x + cos ⁡ x) ² = \ sqrt {(\ sin x + \ cos x) ²}

Видеть, что

х ² — — √ = | х | = {+ x — x x ≥ 0 x

А сейчас,

∫ cos x + sin x 1 + sin (2 x) — — — — — — — — — √ dx ∫ cos ⁡ x + sin ⁡ x 1 + sin ⁡ (2 x) dx \ int \ dfrac {\ cos x + \ sin x} {\ sqrt {1 + \ sin (2x)}} dx

= ∫ cos x + sin x (cos x + sin x) ² — — — — — — — — — — — √ dx = ∫ cos ⁡ x + sin ⁡ x (cos ⁡ x + sin ⁡ x) ² dx = \ int \ dfrac {\ cos x + \ sin x} {\ sqrt {(\ cos x + \ sin x) ²}} dx

Случай 1

cos x + sin x> 0 cos ⁡ x + sin ⁡ x> 0 \ cos x + \ sin x> 0

1 2 √ cos x + 1 2 √ sinx> 0 1 2 cos ⁡ x + 1 2 sinx> 0 \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ cos x + \ frac {1} {\ sqrt {2}} грех х> 0

cos (x — π 4)> 0 cos ⁡ (x — π 4)> 0 \ cos {(x- \ frac {\ pi} {4})}> 0

x ∈ (2 k π — π 4, 2 k π + 3 π 4) x ∈ (2 k π — π 4, 2 k π + 3 π 4) x \ in (2k \ pi — \ frac {\ pi} {4}, 2k \ pi + \ frac {3 \ pi} {4})

∫ cos x + sin x cos x + sin x d x ∫ cos ⁡ x + sin ⁡ x cos ⁡ x + sin ⁡ x d x \ int \ dfrac {\ cos x + \ sin x} {\ cos x + \ sin x} dx

= ∫ 1 d x = x + C = ∫ 1 d x = x + C = \ int 1 dx = x + C

Дело 2

cos x + sin x

x ∈ (2 k π + 3 π 4, 2 k π + 7 π 4) x ∈ (2 k π + 3 π 4, 2 k π + 7 π 4) x \ in (2k \ pi + \ frac {3 \ pi} {4}, 2k \ pi + \ frac {7 \ pi} {4})

∫ cos x + sin x — cos x + — sin xdx ∫ cos ⁡ x + sin ⁡ x — cos ⁡ x + — sin ⁡ xdx \ int \ dfrac {\ cos x + \ sin x} {- \ cos x + — \ грех х} дх

∫ — 1 d x = — x + C ∫ — 1 d x = — x + C \ int -1 dx = -x + C

Дело 3

cos x + sin x = 0 cos ⁡ x + sin ⁡ x = 0 \ cos x + \ sin x = 0

Функция не определена

Следовательно,

∫ cos x + sin x 1 + sin (2 x) — — — — — — — — — √ dx ∫ cos ⁡ x + sin ⁡ x 1 + sin ⁡ (2 x) dx \ int \ dfrac {\ cos x + \ sin x} {\ sqrt {1+ \ sin {(2x)}}} dx

= ⎧ ⎩ ⎨ ⎪ x + x + c — x + c — — — — x ∈ (2 k π — π 4, 2 k π + 3 π 4) x ∈ (2 k π + 3 π 4, 2 k π + 7 π 4) x = (2 k + 1) π 2 + π 4 = {+ x + cx ∈ (2 k π — π 4, 2 k π + 3 π 4) — x + cx ∈ (2 k π + 3 π 4, 2 k π + 7 π 4) — — — — x = (2 k + 1) π 2 + π 4 = \ begin {case} + x + c & x \ in (2k \ pi — \ frac {\ pi} {4}, 2k \ pi + \ frac {3 \ pi} {4}) \\ — x + c & x \ in (2k \ pi + \ frac {3 \ pi} {4}, 2k \ pi + \ frac {7 \ pi} {4}) \\ —- & x = (2k + 1) \ frac {\ pi} {2} + \ frac {\ pi} {4} \ end {case }

Алгебра и начала анализа в 10-м классе «Решение тригонометрических уравнений»

Цель: закрепить навык решения тригонометрических уравнений.

Работа учащихся состоит из нескольких этапов. Чтобы получить оценку “3”, необходимо пройти 4 этапа, чтобы получить оценку “4” — 5 этапов, чтобы получить оценку “5” — 6 этапов. На каждом этапе ученик встретится с указаниями учителя о том, что нужно знать и уметь, или краткими пояснениями к выполнению заданий.

Прочитав указания учителя, ученик выполняет самостоятельные работы данного этапа, проверяет ответы, сверяя с ответами, которые предоставляет учитель. Если допущены ошибки, то ученик их исправляет и решает задания другого варианта, аналогичные тем, где он допустил ошибки. После этого можно переходить к следующему этапу.

1 этап.

Цель: закрепить решение простейших тригонометрических уравнений.

Указания учителя.

Вспомните основные правила решения тригонометрических уравнений.

(учебник А.Н.Колмогорова и др. с. 69 – 73)

 Выполните письменно самостоятельную работу (10 минут)

Решите уравнения:

1 вариант	2 вариант
1) cos x = 1/2	1) sin x = -1/2
2) sin x = -/2	2) cos x = /2
3) tg x = 1	3) ctg x = -1
4) cos (x+) = 0	4) sin (x – /3) = 0
5) 2 cos x = 1	5) 4 sin x = 2
6) 3 tg x = 0	6) 5 tg x = 0
7) sin 4x = 1	7) cos 4x = 0

2 этап.

Цель: закрепить умения решать тригонометрические уравнения методом сведения к квадратному.

Указания учителя.

Метод сведения к квадратному состоит в том, что, пользуясь изученными формулами, надо преобразовать уравнение к такому виду, чтобы какую-то функцию (например, sin x или cos x) или комбинацию функций обозначить через y, получив при этом квадратное уравнение относительно y.

Пример. 4 – cos² x = 4 sin x

Так как cos² x = 1 – sin² x, то

4 – (1 – sin² x) = 4 sin x,

3 + sin² x = 4 sin x,

sin² x — 4 sin x + 3 = 0,

Пусть y = sin x, получим уравнение

y ² — 4 y +3 = 0

у₁=1; у₂=3.

sin x =1 или sin x = 3,

x = /2 + 2 n, n= Z, решений нет.

Ответ: x = /2 + 2 n, n= Z.

Выполните письменно самостоятельную работу (10 минут)

Решите уравнения:

1 вариант	2 вариант
1) tg2 x — 3 tg x + 2 = 0;	1) 2 + cos2 x — 3 cos x = 0;
2) 2 cos2 x + 5 sin x – 4 = 0;	2) 4 — 5 cos x — 2 sin2 x =0;
3) (1 — cos 2x)/2 + 2 sin x = 3;	3) (1 — cos 2x)/2 + 2 sin x = 3.

3 этап.

Цель: закрепить навык решения тригонометрических уравнений методом разложения на множители.

Указания учителя.

Под разложением на множители понимается представление данного выражения в виде произведения нескольких множителей. Если в одной части уравнения стоит несколько множителей, а в другой – 0, то каждый множитель приравнивается к нулю. Таким образом, данный множитель можно представить в виде совокупности более простых уравнений.

Пример. 2 sin³ x — cos 2x — sin x = 0

Сгруппируем первый член с третьим, а cos 2x = cos² x — sin² x.

(2sin³ x — sin x) – (cos² x — sin x) = 0,

Вынесем из выражения, стоящего в первой скобке sin x, а cos² x = 1 — sin x.

sin x (2sin² x – 1) – (1 — 2 sin² x) = 0,

sin x (2sin² x – 1) + (2 sin² x — 1) = 0,

(2 sin² x — 1) • ( sin x + 1) = 0.

2 sin2 x – 1 = 0	или	sin x + 1 = 0
sin2 x = 1/2,		sin x = — 1
sin x = ±1/v2

Ответ: x₁ = ± /4 + n, n = Z, x₂ = — /2 +2k, k = Z.

Выполните письменно самостоятельную работу (10 минут)

Решите уравнения:

1 вариант	2 вариант
1) sin2 x — sin x = 0,	1) ctg2 x — 4 ctg x = 0,
2) 3 cos x + 2 sin 2x = 0,	2) 5 sin 2x — 2 sin x = 0.

4 этап.

Цель: закрепить навык решения однородных уравнений

Указания учителя.

Однородными называются уравнения вида a sin x + b cos x = 0,

a sin² x + b sin x cos x + c cos² x = 0, и т.д., где a, b, c – числа.

Пример 1. 5 sin x — 2 cos x = 0

Поделим обе части уравнения cos x (или на sin x). Предварительно докажем,

что cos x 0 (или sin x 0). (Пусть cos x = 0, тогда 5 sin x — 2 • 0 = 0, т.е. sin x = 0; но этого не может быть, так как sin² x + cos² x = 1).

Значит, можно делить на cos x:

5 sin x /cos x — 2 cos x / cos x = 0 / cos x. Получим уравнение

5 tg x – 2 = 0

tg x = 2/5,

x = arctg 2/5 + n, n = Z.

Ответ: x = arctg 2/5 + n, n = Z.

Аналогично решаются однородные уравнения вида a sin² x + b sin x cos x + c cos² x = 0, их решение начинается с того, что обе части уравнения делятся на cos² x (или на sin² x).

Пример 2. 12 sin² x + 3 sin 2x — 2 cos² x = 2.

Данное уравнение не является однородным, но его можно преобразовать в однородное, заменив 3 sin 2x на 6 sin x cos x и число 2 на 2sin² x + 2cos² x.

Приведя подобные члены, получим уравнение

10sin² x + 6sin x cos x — 4 cos² x = 0.

(Пусть cos x = 0, тогда 10sin² x = 0, чего не может быть, т.к. sin² x + cos² x = 1, значит, cos x 0).

Разделим обе части уравнения на cos² x.

10 tg² x +6 tg x — 4 = 0,

tg x = -1 или tg x = 2/5,

x = — /4 + n, n = Z, x = arctg 2/5 + k, k = Z.

Ответ: x₁ = — /4 + n, n = Z, x₂ = arctg 2/5 + k, k = Z.

Выполните письменно самостоятельную работу (10 минут)

Решите уравнения:

1 вариант	2 вариант
1) sin x — cos x = 0,	1) 5sin x +6cos x = 0,
2) sin2 x — sin 2x = 3 cos2 x,	2) 3sin2 x — 2sin 2x +5cos2 x = 2.

5 этап.

Указания учителя.

Вы прошли 4 этапа, теперь вам самостоятельно придется выбрать метод решения уравнений. Вспомните основные тригонометрические формулы.

(Учебник А.Н.Колмогорова и др. с. 7 — 9)

Выполните письменно самостоятельную работу (20 минут)

Решите уравнения:

6 этап.

Указания учителя.

Молодцы! Вы прошли 5 этапов. Целью вашей дальнейшей работы является применение своих знаний и умений в более сложных ситуациях.

Выполните письменно самостоятельную работу

(Задания даются в одном варианте, т.к. их решают не все учащиеся. Время, отводимое на эту работу, определяется учителем (ситуацией на уроке)).

Решите уравнения:

1. sin 6x + cos 6x = 1 — sin 3x,
2. 29 — 36 sin² (x – 2) — 36 cos (x – 2) = 0,
3. 2sin x cos x + – 2 cos x — v3 sin x = 0,
4. sin 4x = 2 cos² x – 1,
5. sin x (sin x + cos x ) = 1,
6. 1/(1 + cos² x) + 1/(1 + sin² x) =16/11.

Подсказки:  

1. Воспользуйтесь формулой двойного угла для sin 6x, cos 6x.
2. Обозначьте x – 2 = y, решите уравнение, сведя его к квадратному с помощью формулы sin² y = 1 — cos² y.
3. Сгруппируйте первое и третье слагаемое, примените разложение на множители.
4. Воспользуйтесь формулой двойного угла для sin 4x, cos 4x, формулой понижения степени 2cos² x – 1 = cos 2x.
5. Раскройте скобки, примените основное тригонометрическое тождество.
6. Приведите дроби к общему знаменателю, затем используйте основное тригонометрическое тождество sin² x + cos² x = 1, сведите уравнение к квадратному.

Оцените свои работы самостоятельно.

Домашнее задание:

Если вы выполнили задания всех этапов, то дома № 163-165 – любое уравнение (учебник А. Н.Колмогорова и др. с. 333)

Если вы выполнили задания 5 этапов, то дома задания 6 этапа.

Если вы выполнили задания 4 этапов, то дома задания 5 этапа, и т.д.

решить уравнение sin 7x/2 sin x/2 + cos 7x/2 cos x/2 = cos23x

Записи с меткой «решить уравнение sin 7x/2 sin x/2 + cos 7x/2 cos x/2 = cos23x»

Пример 1.

а) Решить уравнение cos4x+cos2x=0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-π; π/3].

Решение.

а) Решаем уравнение cos4x+cos2x=0.

Применим формулу               

Tогда данное уравнение примет вид: 2cos3x⋅cosx=0. Отсюда следует, что либо cos3x=0 либо cosx=0.

• Если cos3x=0, то 3х=π/2+πn, отсюда х=π/6+πn/3, где nϵZ.
• Если cosx=0, то х=π/2+πn, где nϵZ.

Заметим, что решения уравнения cosx=0 входят в решения уравнения cos3x=0, поэтому общим решением данного уравнения будут числа x=π/6+πn/3, где nϵZ.

б) Найдём все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-π; π/3].

Рассмотрим общее решение x=π/6+πn/3, где nϵZ на единичной окружности. Здесь значение πn/3 означает, что нужно брать n раз угол π/3. Отмечаем угол π/6, а затем углы, полученные поворотом угла π/6 на π/3, полученный таким образом угол π/2 опять повернём на π/3, получится угол 5π/6, затем угол 5π/6+ π/3=7π/6, следующий угол

7π/6+ π/3=9π/6=3π/2, и, наконец, 3π/2+ π/3=11π/6. Смотрите рисунок 1.

         

Все отмеченные углы рассмотрим на отрезке [-π; π/3]. Смотрим рисунок 2. Получились числа -5π/6; -π/2; -π/6; π/6.

Ответ: а) π/6+πn/3, где nϵZ; б) -5π/6; -π/2; -π/6; π/6.

Пример 2.

а) Решить уравнение cos4x-sin2x=0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [0; π].

Решение.

а) Применим формулу 1-cos2α=2sin²α; тогда данное уравнение примет вид:

1-2sin²2x-sin2x=0; 2sin²2x+sin2x-1=0. Сделаем замену: sin2x=t.

Получаем равенство: 2t²+t-1=0.

У нас a-b+c=0, поэтому по методу коэффициентов t₁=-1, t₂=1/2.

• При sin2x=-1 получаем 2х=-π/2+2πn, отсюда х=-π/4+πn, где nϵZ.
• При sin2x=1/2 получаем 2х=π/6+2πn и 2х=5π/6+2πn, где nϵZ.

Тогда х=π/12+πn и х=5π/12+πn, где nϵZ.

Рассмотрим решения 2х=-π/2+2πn, 2х=π/6+2πn и 2х=5π/6+2πn на единичной окружности. Возьмём значения 2х при n=0. Углы -π/2, π/6 и 5π/6 отличаются друг от друга на значение 2π/3. Тогда общим решением будут являться числа

2х=π/6+(2π/3)n, отсюда общим решением данного уравнения будут

значения  х=π/12+(π/3)n, где nϵZ.

б) Найдём все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [0; π]. Для этого в общее решение х=π/12+(π/3)n, где nϵZ будем подставлять такие целые значения nϵZ,

чтобы хϵ[0; π].

Возьмём n=0, тогда х=π/12 ϵ[0; π].

При n=1 получим х= π/12+π/3= π/12+4π/12=5π/12 ϵ[0; π].

При n=2 получим х= π/12+2π/3= π/12+8π/12=9π/12=3π/4 ϵ[0; π].

При n=3 получим х= π/12+π, и это значение не входит в заданный отрезок [0; π].

Ответ: а) π/12+(π/3)n, где nϵZ; б) π/12, 5π/12, 3π/4.

Пример 3.

а) Решить уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [π; 3π/2].

Решение.

а) Применим формулу cos(α-β)=cosα∙cosβ+sinα∙sinβ; тогда данное уравнение примет вид:

cos3x=cos²3x; cos²3x-cos3x=0;  cos3x(cos3x-1)=0;

cos3x=0 или cos3x-1=0.

• Если cos3x=0, то 3х=π/2+πn, тогда х= π/6+(π/3)n, где nϵZ.
• Если cos3x-1=0, то cos3x=1, тогда 3х=2πm, тогда х=(2π/3)m, где mϵZ.

Общие решения данного уравнения: х=π/6+(π/3)n, где nϵZ и х=(2π/3)m, где mϵZ.

б) Найдём все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [π; 3π/2].

Мы получили значения 3х=π/2+πn и 3х=2πm. Отметим их на единичной окружности, сделав замену 3х=t. Смотрите рисунок 3.

     

Необходимо выполнение условие хϵ[π; 3π/2]. Отсюда следует, что 3хϵ[3π; 9π/2].

Все отмеченные углы рассмотрим на отрезке [3π; 9π/2]. Смотрим рисунок 4. Получились числа 7π/2; 4π; 9π/2. Так как это значения 3х, то делим каждое из них на 3. Получим: 7π/6; 4π/3; 3π/2.

Ответ: а) π/6+(π/3)n, где nϵZ; (2π/3)m, где mϵZ.

б) 7π/6; 4π/3; 3π/2.

2a} \ right) $ — Обмен стеками по математике

Сеть обмена стеков

Сеть Stack Exchange состоит из 177 сообществ вопросов и ответов, включая Stack Overflow, крупнейшее и пользующееся наибольшим доверием онлайн-сообщество, где разработчики могут учиться, делиться своими знаниями и строить свою карьеру.

Посетить Stack Exchange

2. 0
3. +0
6. Авторизоваться Зарегистрироваться

Mathematics Stack Exchange — это сайт вопросов и ответов для людей, изучающих математику на любом уровне, и профессионалов в смежных областях. Регистрация займет всего минуту.

Зарегистрируйтесь, чтобы присоединиться к этому сообществу

Кто угодно может задать вопрос

Кто угодно может ответить

Лучшие ответы голосуются и поднимаются наверх

Спросил 5 лет, 2 месяца назад

Просмотрено 3к раз

$ \ begingroup $

Можем ли мы найти максимальное значение $$ f (x) = \ cos x \ left (\ sin x + \ sqrt {\ sin ^ 2x + \ sin ^ 2a} \ right) $$ где ‘$ a $’ — заданная константа. 2 a} $$

Создан 02 апр.

юантеронджуантерон

49.2 (x) = 1 $, и тогда можно легко использовать производную, чтобы найти минимумы функции, чтобы получить максимумы $ f (x) $ по неравенству $ AM-GM $.

Создан 01 апр.

Арчис Веланкар

15.6k55 золотых знаков2525 серебряных знаков5353 бронзовых знака

$ \ endgroup $ $ \ begingroup $

первая производная определяется выражением $$ f ‘(x) = — \ sin \ left (x \ right) \ left (\ sin \ left (x \ right) + \ sqrt {\ left ( \ грех \ влево (х \ вправо) \ вправо) ^ {2} + \ влево (\ грех \ влево (а \ вправо) \ right) ^ {2}} \ right) + \ cos \ left (x \ right) \ left (\ cos \ left (x \ right) + {\ frac {\ sin \ left (x \ right) \ cos \ left (x \ right)} {\ sqrt {\ left (\ sin \ left (x \ right) \ right) ^ {2} + \ left (\ sin \ left (a \ right) \ right) ^ {2}}}} \ right) $$ упрощая это, вам нужно решить уравнение для $ x $: $$ — \ left (\ sin \ left (x \ right) + \ sqrt {\ left (\ sin \ left (x \ right) \ right) ^ {2} + \ left (\ sin \ left (a \ right) \ right) ^ {2}} \ right) \ влево (\ грех \ влево (х \ вправо) \ sqrt {\ влево (\ грех \ влево (х \ вправо) \ right) ^ {2} + \ left (\ sin \ left (a \ right) \ right) ^ {2}} — \ left ( \ соз \ влево (х \ вправо) \ вправо) ^ {2} \ вправо) = 0 $$

Создан 01 апр.

$ \ endgroup $ Mathematics Stack Exchange лучше всего работает с включенным JavaScript

Ваша конфиденциальность

Нажимая «Принять все файлы cookie», вы соглашаетесь с тем, что Stack Exchange может хранить файлы cookie на вашем устройстве и раскрывать информацию в соответствии с нашей Политикой в ​​отношении файлов cookie.

Принимать все файлы cookie Настроить параметры

тригонометрия — Как использовать тождества с двойным углом, чтобы найти $ \ sin x $ и $ \ cos x $ из $ \ sin 2x $?

тригонометрия — Как использовать тождества с двойным углом, чтобы найти $ \ sin x $ и $ \ cos x $ из $ \ sin 2x $? — Обмен математическими стеками

Сеть обмена стеков

Сеть Stack Exchange состоит из 177 сообществ вопросов и ответов, включая Stack Overflow, крупнейшее и пользующееся наибольшим доверием онлайн-сообщество, где разработчики могут учиться, делиться своими знаниями и строить свою карьеру.

Посетить Stack Exchange

2. 0
3. +0
6. Авторизоваться Зарегистрироваться

Mathematics Stack Exchange — это сайт вопросов и ответов для людей, изучающих математику на любом уровне, и профессионалов в смежных областях.Регистрация займет всего минуту.

Зарегистрируйтесь, чтобы присоединиться к этому сообществу

Кто угодно может задать вопрос

Кто угодно может ответить

Лучшие ответы голосуются и поднимаются наверх

Спросил 7 лет, 11 месяцев назад

Просмотрено 2k раз

$ \ begingroup $

Если $ \ sin 2x = \ frac {5} {13} $ и $ 0 ^ \ circ 2 (x) = \ dfrac {1} {2} (1 + \ cos (2x)) $ и $ \ cos (2x) = \ dfrac {12} {13} $

.

Создан 21 июн.

Чаз 2.0 Чаз 2.0

10.1k66 золотых знаков4040 серебряных знаков7979 бронзовых знаков

$ \ endgroup $ 3 $ \ begingroup $

Предположим, у нас есть прямоугольный треугольник с углом $ 2x $ и $ \ sin2x = \ frac {5} {13} $. Далее предположим, что гипотенуза треугольника равна 13. Мы можем сделать вывод, что противоположных сторон $ 2x $ должно быть 5.2x = \ frac {1} {26} $$ $$ \ sin x = \ frac {1} {\ sqrt {26}} = \ frac {\ sqrt {26}} {26} $$

$ \ endgroup $

Не тот ответ, который вы ищете? Посмотрите другие вопросы с метками тригонометрия или задайте свой вопрос.

Mathematics Stack Exchange лучше всего работает с включенным JavaScript

Ваша конфиденциальность

Нажимая «Принять все файлы cookie», вы соглашаетесь с тем, что Stack Exchange может хранить файлы cookie на вашем устройстве и раскрывать информацию в соответствии с нашей Политикой в ​​отношении файлов cookie.

Принимать все файлы cookie Настроить параметры

Тригонометрических функций — Вопросы с ответами

Представлен набор вопросов по тригонометрии, связанных с тригонометрическими функциями. Предлагаются решения и ответы.

Вопрос 1 Найдите точное значение sin (x / 2), если sin (x) = 1/4 и x таково, что Pi / 2 Решение вопроса 1: Чтобы найти sin (x / 2), мы используем следующую формулу полуугла sin (x / 2) = + или — КОРЕНЬ [(1 — cos x) / 2] Поскольку Pi Следовательно sin (x / 2) = SQRT [(1 — cos x) / 2] Учитывая, что sin (x) = 1/4, мы используем тригонометрическое тождество sin 2 x + cos 2 x = 1, чтобы найти cos x, отмечая, что x находится в квадранте 2, а cos x отрицателен. cos x = — sqrt (1 — sin 2 x) = — sqrt (1 — 1/16) = — sqrt (15) / 4 Теперь заменим cos x на его значение в формуле для sin (x / 2). sin (x / 2) = SQRT [(1 — sqrt (15) / 4) / 2] Что можно упростить до = (1/4) КОРЕНЬ [8–2 КОРЕНТА (15)] Вопрос 2 x находится в квадранте 3, приблизительное значение sin (2 x), если cos (x) = — 0.2. Округлите ответ до двух десятичных знаков. Решение вопроса 2: sin (2x) может быть вычислен с использованием тригонометрического тождества двойного угла sin (2x) = 2 sin (x) cos (x) задан cos x, нам нужно найти sin x, используя тождество sin 2 x + cos 2 x = 1 и отметив, что x находится в квадранте 3, где sin x отрицателен sin x = — КОРЕНЬ [1 — (- 0,2) 2 ] sin (2x) теперь определяется как sin (2x) = 2 [- КОРЕНЬ [1 — (- 0. 2) 2 ]] (-0,2) = 0,39 Вопрос 3 tan (x) = 4 и x находится в квадранте III. Найдите точное значение cos (x). Решение вопроса 3: Вопрос 4 cos (2x) = 0,6 и 2x находится в квадранте I. Найдите точное значение csc (x). Решение вопроса 4: Вопрос 5 Найдите точное значение cos (15 o ). Решение вопроса 5: Используйте формулу половинного угла cos (x / 2) = + или — SQRT [(1 + cos x) / 2], чтобы написать cos (15 o ) = SQRT [(1 + cos 30 o ) / 2] = КОРЕНЬ [(1 + КОРЕНЬ (3) / 2) / 2] = (1/2) КОРЕНЬ [2 + КОРЕНЬ (3)] Вопрос 6 Найдите точное значение tan (- 22. 5 o ). Решение вопроса 6: Используйте идентификацию для отрицательного, чтобы написать загар (- 22,5 o ) = — загар (22,5 o ) Используйте тождество половинного угла для tan (x / 2) = sin x / (1 + cos x), чтобы найти tan (22,5), отметив, что 45/2 = 22,5 tan (22,5) = sin 45 / (1 + cos 45) = (КОРЕНЬ (2) / 2) / [1 + КОРЕНЬ (2) / 2] = КОРЕНЬ (2) — 1 Вопрос 7 x и y — углы в квадранте 1 и 3 соответственно, а cos (x) = a и sin (y) = b. Найдите cos (x + y) через a и b. Решение вопроса 7: Вопрос 8 x — угол в квадранте 3 и sin (x) = 1 / 3. Найдите sin (3x) и cos (3x). Решение вопроса 8: Вопрос 9 Уменьшите мощность следующего тригонометрического выражения. 4 sin 3 (x) + 4 cos 3 (x) Решение вопроса 9: Используйте формулы уменьшения мощности sin 3 x = (3/4) sinx — (1/4) sin (3x) и cos 3 x = (3/4) cos x + (1/4) cos (3x) написать это 4 sin 3 (x) + 4 cos 3 (x) = 4 [(3/4) sinx — (1/4) sin (3x)] + 4 [(3/4) cos x + (1/4) cos (3x)] = 3 sinx — sin (3x) + 3 cos x + cos 3x Вопрос 10 Разложите на множители следующее тригонометрическое выражение. грех (x) + грех (2x) Решение вопроса 10: Дополнительные ссылки и ссылки математических задач с подробными решениями на этом сайте.

пожаловаться на это объявление

тригонометрических отступов

тригонометрических отступов

sin (тета) = a / c	csc (theta) = 1 / sin (theta) = c / a
cos (theta) = b / c	sec (theta) = 1 / cos (theta) = c / b
tan (theta) = sin (theta) / cos (theta) = a / b	cot (theta) = 1 / tan (theta) = b / a

---

sin (-x) = -sin (x)
csc (-x) = -csc (x)
cos (-x) = cos (x)
sec (-x) = sec (x)
tan (-x) = -tan (x)
кроватка (-x) = -cot (x)

sin 2 (x) + cos 2 (x) = 1	коричневый 2 (x) + 1 = сек 2 (x)	детская кроватка 2 (x) + 1 = csc 2 (x)
sin (x y) = sin x cos y соз х грех y
cos (x y) = cos x cosy sin x sin y

tan (x y) = (tan x tan y) / (1 tan x tan y)

sin (2x) = 2 sin x cos x

cos (2x) = cos ² (x) — sin ² (x) = 2 cos ² (x) — 1 = 1-2 sin ² (x)

tan (2x) = 2 tan (x) / (1 — tan ² (x))

sin ² (x) = 1/2 — 1/2 cos (2x)

cos ² (x) = 1/2 + 1/2 cos (2x)

sin x — sin y = 2 sin ((x — y) / 2) cos ((x + y) / 2)

cos x — cos y = -2 sin ((x-y) / 2) sin ((x + y) / 2)

Таблица триггеров общих углов

угол	0	30	45	60	90
sin 2 (а)	0/4	1/4	2/4	3/4	4/4
cos 2 (а)	4/4	3/4	2/4	1/4	0/4
желто-коричневый 2 (а)	0/4	1/3	2/2	3/1	4/0

---

Дано Треугольник abc с углами A, B, C; a противоположно A, b противоположно B, c напротив C:

a / sin (A) = b / sin (B) = c / sin (C) (Закон синуса)

c 2 = a 2 + b 2 — 2ab cos (C) b 2 = a 2 + c 2 — 2ac cos (B) a 2 = b 2 + c 2 — 2bc cos (A)

(Закон косинусов)

(a — b) / (a ​​+ b) = tan 1/2 (A-B) / tan 1/2 (A + B) (Закон касательных)

Математическая сцена — Производные, урок 5

Математическая сцена — Производные, урок 5 — Цепное правило

2009 Расмус ЭФ и Джанн Сак

Производные инструменты

Урок 5

Цепное правило

---

Пример 1

Дифференцировать f (x) = (x ³ +1) ² .

Только так у нас есть пока это делается путем умножения скобок, а затем дифференцируя. Если мы это сделаем, то получим

f (x) = x ⁶ + 2x ³ +1 и, следовательно, f (x) = 6x ⁵ + 6x ² .

Это не проблема с простой пример, такой как приведенный выше, но что произойдет, если, например, у нас есть е (х) = (х ³ +1) ⁶ ?
В этом случае требуется слишком много усилий, чтобы перемножить скобки перед дифференцируя.

Чтобы различать такие составные функции, мы используем так называемое правило цепочки. Сделаем пример 1 еще раз, чтобы увидеть, как это работает.

f (x) является примером составная функция, как было введено в функциях 2.
Его можно записать как f (u) = u ² , где u = x ³ +1, u равно функция от x, то есть u (x) = x ³ +1.

Правило цепочки гласит, что мы сначала дифференцируйте f (u), рассматривая u как переменную, и получите f (u) = 2u (так же, как (x ² ) = 2x)
Далее дифференцируем u и получаем и (х) = 3х ² . Наконец, мы умножаем два результата вместе и получаем
f (x) = 2u3x ² . Возвращая значение u, получаем f (x) = 2 (x ³ +1) 3x ² = 6x ⁵ + 6x ²

^{Это дает нам правило называется цепным правилом, которое гласит, что}

(е (и (х)) = е (и (х)) и (х)

Мы только указали здесь правило, но его легко доказать для всех непрерывных дифференцируемых функции.

Пример 2

Дифференцируйте композицию функция f (x) = sin ² x.

Обозначение грех ² х это другой способ записи (sin x) ² так что квадрат является внешней функцией, а sin x — внутренней функцией. Начать мы разделим это на две части, но с практикой это не будет нужно.

f (x) = (грех х) ² можно записать как f (u) = u ² где u = sin x.

f (u) = 2u и u = cos x, так что умножая вместе получаем

f (x) = 2ucos x = 2 sin x cos x

Цепное правило гласит, что дифференцируем составную функцию, мы дифференцируем внешнюю функцию и умножить на производную внутренней функции.

Пример 2 +

Продифференцируем f (x) = sin x ² . Это можно записать как f (u) = sin u, где u = х ²

Итак, в этом случае синус — это внешняя функция, а квадрат внутренний функция

ф (х) = cos x ² 2x

Пример 3

Мы можем использовать правила cos x = sin (/ ₂ x) и sin x = cos (/ ₂ x), чтобы найти производную cos x.

cos x = f (x) = sin (/ ₂ x)

Производная синуса, внешняя функция — cos и производная от (/ ₂ x), внутренняя функция равна 1, поэтому мы получаем

ф (х) = cos (/ ₂ x) (1)

= грех х (1)

= грех х

Пример 4

Найдите производную f (x) = sin ² x ² .

Это можно записать как f (x) = (грех x ² ) ² так что у нас есть тройная составная функция. Самая внешняя функция является квадратичной, затем синус и, наконец, еще один квадратичный.

Мы можем написать f = u ² , где u = sinv и v = х ² . Различение каждой функции и умножение дает 2 u cos v 2x, и, возвращая значения u и v, получаем результат:

f (x) = 2 sin x 2 cos x 2 2x

Первая дифференцируем квадрат, оставляя sin x 2 без изменений.Затем мы дифференцируем синусоидальную функцию, чтобы получить cos и оставить x 2 без изменений, наконец, мы дифференцируем х 2 и получите 2х.

Пример 5

a) f (x) = e 2x f (x) = e 2x 2

Дифференцирование экспоненциальной функции не меняет ее. производная 2x равна 2.

Дифференцирование экспоненциальной функции не меняет ее, производная x 2 + 1 равна 2x.

c) f (x) = e sin x f (x) = e sin x cos x

Дифференцирование экспоненциальной функции не меняет ее, производная sin x равна cos x.

Теперь мы хотим найти правило для различения f (x) = ln x.

Мы используем метод под названием неявное дифференцирование , что означает различение обеих сторон уравнение.

Если f (x) = ln x, то e ^{f (x)} = х. Если мы продифференцируем обе части уравнения, мы получим следующее:

e ^{f (x)} = х

e ^{f (x)} f (x) = 1 Использование правила цепочки.

Решая для f (x), получаем

f (x) = 1 / e ^{f (x)}

= 1 / х Помните, что x = e ^{f (x)} .

Теперь мы можем найти производную от других логарифмические функции.

Найдите производную от f (x) = log x.

Сначала мы должны напомнить себе о правила логарифмирования и отношения между бревнами с разными основаниями. Этот Правило, которое нам нужно:

Таким образом мы можем переписать любой логарифм как натуральный логарифм ln x.

Логарифм ln 10 — константа, не влияющая на производная, остальное несложно.

Аналогичные расчеты работают для любой функции журнала, поэтому мы можем резюмировать следующие три правила:

Пример 6

Продифференцируем f (x) = ln (x ² + 1).

Пример 7

Продифференцируем f (x) = xln х х + 5.

f (x) = 1lnx + x1 / x 1 = ln x

Обобщение производных

---

Производная:

к = 0 k = постоянная Икс = 1

(x ⁿ ) = nx ⁿ¹ n может быть любым действительным числом.

(e ^x ) = e ^x

( ^x ) = ^x мм

(грех х) = cos x

(соз х) = грех х

Правила:

(УФ) = УФ + УФ

(е (г (х)) = е (г (х)) г (х)

---

Попрактикуйтесь в этих методах, а затем пройдите тест 5 по производным.{\ prime \ prime} _1} = 0. \]

Подставляя это в дифференциальное уравнение, получаем:

\ [ {0 + A — 6 \ left ({Ax + B} \ right) = 36x, \; \;} \ Rightarrow {A — 6Ax — 6B = 36x. } \]

Последнее уравнение должно быть справедливым для всех значений \ (x, \), поэтому коэффициенты с одинаковыми степенями \ (x \) в правой и левой частях должны быть идентичны:

\ [\ left \ {\ begin {array} {l} — 6А = 36 \\ А — 6В = 0 \ end {array} \ right .. \]

Мы находим из этой системы, что \ (A = -6, \) \ (B = -1.{\ prime \ prime} _1} = — 4A \ cos 2x} — {4B \ sin 2x.} \]

Подставляя это обратно в дифференциальное уравнение, получаем:

\ [ {- 4A \ cos 2x — 4B \ sin 2x} + {16 \ left ({A \ cos 2x + B \ sin 2x + C} \ right)} = {\ cos 2x + 1,} \]

\ [ {- 4A \ cos 2x — 4B \ sin 2x} + {16A \ cos 2x + 16B \ sin 2x + 16C} = {\ cos 2x + 1,} \]

\ [{12A \ cos 2x + 12B \ sin 2x} + {16C} = {\ cos 2x + 1.} \]

Последнее выражение идентично. Поэтому мы можем написать следующую систему уравнений для определения коэффициентов \ (A, B, C: \)

\ [ {\ left \ {\ begin {array} {l} 12А = 1 \\ 12В = 0 \\ 16C = 1 \ end {array} \ right. 2} x} \ end {array} \ right.2} x}}}} = {\ frac {1} {2} \ ln \ left | {\ frac {{1 + \ sin x}} {{1 — \ sin x}}} \ right | + {A_2}.} \]

В результате общее решение неоднородного уравнения представляется в виде:

\ [ {y \ left (x \ right)} = {{C_1} \ left (x \ right) \ cos x + {C_2} \ left (x \ right) \ sin x} = {\ left ({- \ frac {1} {{\ cos x}} + {A_1}} \ right) \ cos x} + {\ left ({\ frac {1} {2} \ ln \ left | {\ frac {{1 + \ sin x}} {{1 — \ sin x}}} \ right | + {A_2}} \ справа) \ sin x} = {{A_1} \ cos x + {A_2} \ sin x — 1} + {\ frac {{\ sin x}} {2} \ ln \ left | {\ frac {{1 + \ sin x}} {{1 — \ sin x}}} \ right |,} \]

, где \ ({A_1}, {A_2} \) — постоянные числа.{\ prime \ prime} — 7y ’+ 12y = 8 \ sin x, \; \;} \ Rightarrow {- A \ cos x — B \ sin x} — {7 \ left ({- A \ sin x + B \ cos x} \ right)} + {12 \ left ({A \ cos x + B \ sin x} \ right)} = {8 \ sin x, \; \;} \ Rightarrow {- \ color {blue} {A \ cos x} — \ color {red} {B \ sin x}} + {\ color {red} {7A \ sin x} — \ color {blue} {7B \ cos x }} + {\ color {синий} {12A \ cos x} + \ color {красный} {12B \ sin x}} = {8 \ sin x,} \; \; \ Rightarrow {\ left ({11A — 7B} \ right) \ cos x} + {\ left ({11B + 7A} \ right) \ sin x} = {8 \ sin x. 2 }} \\
= \ left | {\ sin x — \ cos x} \ right | \\
\]
Теперь есть два случая: \ [\ sin x> \ cos x \] или \ [\ cos x> \ sin x \]
Рассмотрим случай \ [\ sin x> \ cos x \ ] тогда, если мы наблюдаем график \ [\ sin x \] и \ [\ cos x \] одновременно
Мы заметим, что \ [\ sin x> \ cos x \] в области \ [\ left ({\ dfrac {\ pi} {4}, \ dfrac {{5 \ pi}} {4}} \ right) \]
И \ [\ cos x> \ sin x \] находится в области \ [\ left ({0 , \ dfrac {\ pi} {4}} \ right) \ cup \ left ({\ dfrac {{5 \ pi}} {4}, 2 \ pi} \ right) \]
Также для случая \ [ \ sin x> \ cos x \] у нас есть \ [\ cos x = \ sin x — \ cos x \], как указано в вопросе
\ [
\ Rightarrow 2 \ cos x = \ sin x \\
\ Rightarrow \ tan x = 2 \\
\]
Теперь мы знаем, что главное значение \ [\ tan x \] дается как \ [\ tan x + n \ pi, n \ in \ {1,2 ,.{- 1}} 2 \] не принадлежит интервалу \ [\ left ({\ dfrac {\ pi} {4}, \ dfrac {{5 \ pi}} {4}} \ right) \], поэтому он не считается.
Следовательно, у нас есть только одно решение для случая \ [\ sin x> \ cos x \]
Аналогично, для случая \ [\ cos x> \ sin x \] мы имеем \ [\ cos x = \ cos x — \ sin x \]
\ [
\ Rightarrow \ sin x = 0 \\
\ Rightarrow x = n \ pi, n \ in \ {0,1,2, .

No related posts.