Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Π° Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Π° прямая – Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉΡˆΠΈΡ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ — линСйная, ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Ρ‹, Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Ρ‹, экспонСнты, ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅, стСпСнныС, логарифмичСская, синус, косинус, тангСнс, котангСнс ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌΡ‹Ρ… Π² школС Бправочная Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π°. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎ 7-9 класс (13-15 Π»Π΅Ρ‚)

Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉΡˆΠΈΡ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ — линСйная, ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Ρ‹, Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Ρ‹, экспонСнты, ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅, стСпСнныС, логарифмичСская, синус, косинус, тангСнс, котангСнс ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌΡ‹Ρ… Π² школС Бправочная Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π°. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎ 7-9 класс (13-15 Π»Π΅Ρ‚)





АдрСс этой страницы (Π²Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ) Π² справочникС dpva.ru:  главная страница  /Β / ВСхничСская информация /Β /Β ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠΉ справочник /Β /Β ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° для самых ΠΌΠ°Π»Π΅Π½ΡŒΠΊΠΈΡ…. Π¨ΠΏΠ°Ρ€Π³Π°Π»ΠΊΠΈ. ДСтский сад, Π¨ΠΊΠΎΠ»Π°. Β /Β /Β Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉΡˆΠΈΡ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ — линСйная, ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Ρ‹, Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Ρ‹, экспонСнты, ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅, стСпСнныС, логарифмичСская, синус, косинус, тангСнс, котангСнс ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌΡ‹Ρ… Π² школС Бправочная Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π°. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎ 7-9 класс (13-15 Π»Π΅Ρ‚)

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉΡˆΠΈΡ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ — линСйная, ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Ρ‹, Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Ρ‹, экспонСнты, ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅,
стСпСнныС, логарифмичСская, синус, косинус, тангСнс, котангСнс ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌΡ‹Ρ… Π² школС Бправочная Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π°.

НазваниС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ НазваниС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° ΠšΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠΉ
ЛинСйная, прямая ΠΏΡ€ΠΎΠΏΠΎΡ€Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ y = kx ΠŸΡ€ΡΠΌΠ°Ρ CΠ°ΠΌΡ‹ΠΉ простой частный случай Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ зависимости — прямая ΠΏΡ€ΠΎΠΏΠΎΡ€Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρƒ = kx, Π³Π΄Π΅ k β‰  0 — коэффициСнт ΠΏΡ€ΠΎΠΏΠΎΡ€Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ. На рисункС ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ для k = 1, Ρ‚.Π΅. фактичСски ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΈΠ»Π»ΡŽΡΡ‚Ρ€ΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ, которая Π·Π°Π΄Π°Ρ‘Ρ‚ равСнство значСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°.
ЛинСйная, прямая ΠΏΡ€ΠΎΠΏΠΎΡ€Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ со сдвигом y = kx + b ΠŸΡ€ΡΠΌΠ°Ρ ΠžΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ случай Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ зависимости: коэффициСнты k ΠΈ b — Π»ΡŽΠ±Ρ‹Π΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа. Π—Π΄Π΅ΡΡŒ
k
= 0.5, b = -1.
ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½Π°Ρ функция y = x2 ΠŸΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Π° ΠŸΡ€ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉΡˆΠΈΠΉ случай ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ зависимости — симмСтричная ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Π° с Π²Π΅Ρ€

dpva.ru

ΠŸΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Π° ΠΈ Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Π° 2019

ΠŸΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Π° ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ² Π“ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Π°

ΠŸΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Π° ΠΈ Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Π° — это Π΄Π²Π° Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Ρ… участка конуса. ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Π΄Π΅Π»ΠΎ с ΠΈΡ… различиями Π² матСматичСском объяснСнии ΠΈΠ»ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Π΄Π΅Π»ΠΎ с различиями Π² ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ простом способС, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ Π½Π΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°ΡŽΡ‚ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ, Π½ΠΎ ΠΈ всС. Π’ этой ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΠ΅ ΠΌΡ‹ попытаСмся ΠΎΠ±ΡŠΡΡΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·Π½ΠΈΡ†Ρƒ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π½ΠΈΠΌΠΈ ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ просто. ΠŸΡ€Π΅ΠΆΠ΄Π΅ всСго, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° сплошная Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π°, которая Π² этом случаС являСтся конусом, разрСзаСтся ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ участок называСтся коничСским сСчСниСм. ΠšΠΎΠ½ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠ΅ участки ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π°ΠΌΠΈ, эллипсами, Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Π°ΠΌΠΈ ΠΈ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Π°ΠΌΠΈ Π² зависимости ΠΎΡ‚ ΡƒΠ³Π»Π° пСрСсСчСния ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ осью конуса ΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ. Как ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Ρ‹, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Ρ‹ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΎΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ΠΎΠΉ ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠΉ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ€ΡƒΠΊΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ Π²Π΅Ρ‚Π²ΠΈ ΠΊΡ€ΠΈΠ²Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ Π΄ΠΎ бСсконСчности; ΠΎΠ½ΠΈ Π½Π΅ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π·Π°ΠΌΠΊΠ½ΡƒΡ‚Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΊΡ€ΠΈΠ²Ρ‹ΠΌΠΈ, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊΡ€ΡƒΠ³ ΠΈΠ»ΠΈ эллипс.

ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Π° ΠŸΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»ΠΎΠΉ являСтся кривая, получСнная, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ разрСзаСтся ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ сторонС конуса. Π’ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Π΅ линия, проходящая Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ ΠΈ пСрпСндикулярная ΠΊ дирСктрисС, называСтся «осью симмСтрии». Когда ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Π° пСрСсСкаСтся Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ Π½Π° «оси симмСтрии», Π΅Π΅ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ Β«Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½ΠΎΠΉΒ». ВсС ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Ρ‹ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΠΎ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ΠΎΠ½ΠΈ Ρ€Π°Π·Ρ€Π΅Π·Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΠΎΠ΄ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ. Π­Ρ‚ΠΎ характСризуСтся эксцСнтриситСтом Β«1.Β». ИмСнно поэтому ΠΎΠ½ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ, Π½ΠΎ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Π΅ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹.

ΠŸΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Π° задаСтся ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ y2 = X Когда мноТСство Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ, ΠΏΡ€ΠΈΡΡƒΡ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… Π² плоскости, Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΡƒΠ΄Π°Π»Π΅Π½ΠΎ ΠΎΡ‚ дирСктрисы, Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ прямой ΠΈ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΡƒΠ΄Π°Π»Π΅Π½ΠΎ ΠΎΡ‚ фокуса, данная Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° фиксирована, Π΅Π΅ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»ΠΎΠΉ.

ΠŸΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Ρ‹ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ практичСских ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ. Они ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ для проСктирования ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΠΉ Ρ€Π°ΠΊΠ΅Ρ‚, ΠΎΡ‚Ρ€Π°ΠΆΠ°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ Ρ„Π°Ρ€ Π°Π²Ρ‚ΠΎΠΌΠΎΠ±ΠΈΠ»Π΅ΠΉ, тСлСскопов, Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΎΠ»ΠΎΠΊΠ°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€ΠΈΠ΅ΠΌΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² ΠΈ спутниковых Π°Π½Ρ‚Π΅Π½Π½.

Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Π°

Π“ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Π° — это кривая, получСнная, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ разрСзаСтся ΠΏΠΎΡ‡Ρ‚ΠΈ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ оси. Π“ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠ΄Π΅Π½Ρ‚ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ осью ΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ имССтся ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ². Β«Π’Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρ‹Β» — это Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π½Π° Π±Π»ΠΈΠΆΠ°ΠΉΡˆΠΈΡ… Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΏΠ»Π΅Ρ‡Π°Ρ…; Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΊΠ°ΠΊ сСгмСнт Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ, ΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡŽΡ‰ΠΈΠΉ ΠΏΠ»Π΅Ρ‡ΠΈ, называСтся «большой осью». Π’ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Π΅ Π΄Π²Π° ΠΏΠ»Π΅Ρ‡Π° ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠΉ, Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΡ‹Π΅ вСтвями, становятся ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ Π΄Ρ€ΡƒΠ³Ρƒ. Π’ Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Π΅ Π΄Π²Π° Ρ€Ρ‹Ρ‡Π°Π³Π° ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΡ€ΠΈΠ²Ρ‹Π΅ Π½Π΅ становятся ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ. Π¦Π΅Π½Ρ‚Ρ€ Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Ρ‹ — это сСрСдина Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠΉ оси.

Π“ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Π° задаСтся ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ XY = 1

Когда Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ расстояний ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ мноТСством Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ, ΠΏΡ€ΠΈΡΡƒΡ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… Π² плоскости Π΄ΠΎ Π΄Π²ΡƒΡ… фиксированных фокусов ΠΈΠ»ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ, являСтся ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ константой, ΠΎΠ½Π° называСтся Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»ΠΎΠΉ.

РСзюмС: Когда мноТСство Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ, ΠΏΡ€ΠΈΡΡƒΡ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… Π² плоскости, Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΡƒΠ΄Π°Π»Π΅Π½ΠΎ ΠΎΡ‚ дирСктрисы, Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ прямой ΠΈ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΡƒΠ΄Π°Π»Π΅Π½ΠΎ ΠΎΡ‚ фокуса, данная Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° фиксирована, Π΅Π΅ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»ΠΎΠΉ. Когда Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ расстояний ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ мноТСством Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ, ΠΏΡ€ΠΈΡΡƒΡ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… Π² плоскости Π΄ΠΎ Π΄Π²ΡƒΡ… фиксированных фокусов ΠΈΠ»ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ, являСтся ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ константой, ΠΎΠ½Π° называСтся Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»ΠΎΠΉ. ВсС ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Ρ‹ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ нСзависимо ΠΎΡ‚ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π°; всС Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Ρ‹ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹ ΠŸΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Π° задаСтся ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ y2 = X; Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Π° задаСтся ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ XY = 1 Π’ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Π΅ Π΄Π²Π° ΠΏΠ»Π΅Ρ‡Π° становятся ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ Π΄Ρ€ΡƒΠ³Ρƒ, Π° Π² Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Π΅ — Π½Π΅Ρ‚.

ru.esdifferent.com

ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠ°Ρ Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Π°. Как ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Ρƒ?

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Π°? Как ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Ρƒ? (Для школьников (7-11 классов)).

ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠ°Ρ Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Π°.

Ѐункция заданная Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΎΠΉ \(y=\frac{k}{x}\), Π³Π΄Π΅ ΠΊ Π½Π΅Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 0. Число k называСтся коэффициСнтом ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΏΠΎΡ€Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ.
ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Ρ‹.
Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ \(y=\frac{k}{x}\) Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»ΠΎΠΉ. Π“Π΄Π΅ Ρ… являСтся нСзависимой ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ, Π° Ρƒ β€” зависимой.

Π§Ρ‚ΠΎ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Ρƒ?
Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ обсудим свойства Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Ρ‹:

1. Π’Π΅Ρ‚Π²ΠΈ Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Ρ‹. Если k>o, Ρ‚ΠΎ Π²Π΅Ρ‚Π²ΠΈ Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Ρ‹ находятся Π² 1 ΠΈ 3 Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈ. Если k<0, Ρ‚ΠΎ Π²Π΅Ρ‚Π²ΠΈ Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Ρ‹ находятся Π²ΠΎ 2 ΠΈ 4 Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈ.
Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Π°, Π³Π΄Π΅ k>0 Π²Π΅Ρ‚Π²ΠΈ Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Ρ‹ находятся Π² 1 ΠΈ 3 Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈ

Β 

Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Π°, Π³Π΄Π΅ k<0 Π²Π΅Ρ‚Π²ΠΈ Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Ρ‹ находятся Π²ΠΎ 2 ΠΈ 4 Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈ

2.Асимптоты Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Ρ‹. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ асимптоты Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Ρ‹ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ,ΠΈΠ½ΠΎΠ³Π΄Π°, ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Ρ‹ ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ. Рассмотрим Π½Π° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅:
ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ β„–1:
$$y=\frac{1}{x}$$
Π—Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Ρ€Π°Π²Π½ΡΡ‚ΡŒΡΡ 0, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π° 0 Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ нСльзя, поэтому Ρ… Π½Π΅ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 0.
$$y\neq\color{red} {\frac{1}{x}}+0$$
\(\frac{1}{x}\) Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ отбрасываСм, для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ асимптоту.
ΠžΡΡ‚Π°Π΅Ρ‚ΡΡ простоС число
yβ‰ 0 это вторая асимптота.
И Ρ‚Π°ΠΊ, асимптоты xβ‰ 0 ΠΈ yβ‰ 0 Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡŽΡ‚ с осями ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ OX ΠΈ OY.
k=1, Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚ Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Π° Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ находится Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅ΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈ. k всСгда находится Π² числитСли.
ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π½Ρ‹ΠΉ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Ρ‹.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ β„–2:
$$y=\frac{1}{x+2}-1$$
Находим ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΡƒΡŽ асимптоту.
Π—Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Ρ€Π°Π²Π½ΡΡ‚ΡŒΡΡ 0, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π° 0 Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ нСльзя, поэтому Ρ…+2 Π½Π΅Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 0.
Ρ…+2β‰ 0
Ρ…β‰ -2 это пСрвая асимптота

Находим Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ асимптоту.

$$y=\color{red} {\frac{1}{x+2}}-1$$

Π”Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ \(\color{red} {\frac{1}{x+2}}\) отбрасываСм
ΠžΡΡ‚Π°Π΅Ρ‚ΡΡ yβ‰  -1 это вторая асимптота.

Π‘Ρ‚Ρ€ΠΎΠΈΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π½Ρ‹ΠΉ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ, ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π΅ΠΌ асимптоты (красным ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ‹ прямыС Ρ…β‰ -2 ΠΈ yβ‰ -1):

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ β„–3:

$$\begin{align*}
&y=\frac{2+x}{1+x} \\\\
&y=\frac{\color{red} {1+1}+x}{1+x} \\\\
&y=\frac{1}{1+x}+\frac{1+x}{1+x}\\\\
&y=\frac{1}{1+x}+1\\\\
&y=\frac{1}{\color{red} {1+x}}+1
\end{align*}$$

Находим ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΡƒΡŽ асимптоту.
Π—Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Ρ€Π°Π²Π½ΡΡ‚ΡŒΡΡ 0, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π° 0 Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ нСльзя, поэтому 1+Ρ… Π½Π΅Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 0.
1+Ρ…β‰ 0
Ρ…β‰ -1 это пСрвая асимптота.

Находим Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ асимптоту.

$$y=\color{red}{\frac{1}{1+x}}+1$$

\(\color{red}{\frac{1}{1+x}}\) Π”Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ ΡƒΠ±ΠΈΡ€Π°Π΅ΠΌ.

ΠžΡΡ‚Π°Π΅Ρ‚ΡΡ yβ‰ 1 это вторая асимптота.

Π‘Ρ‚Ρ€ΠΎΠΈΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π½Ρ‹ΠΉ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ, ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π΅ΠΌ асимптоты (красным ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ‹ прямыС Ρ…β‰ -1 ΠΈ yβ‰ 1):

3. Π£ Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Ρ‹ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ симмСтрии ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚. Рассмотрим Π½Π° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅:

$$y=\frac{1}{x}$$

Π’ΠΎΠ·ΡŒΠΌΠ΅ΠΌ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ А(1;1) с ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°ΠΌΠΈ, которая находится Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ Ρƒ=1/Ρ…. На этом ΠΆΠ΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° B(-1;-1). Π’ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° А симмСтрична Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Π’ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π° Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚.

4. Оси симмСтрии Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Ρ‹. Π£ Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Ρ‹ Π΄Π²Π΅ оси симмСтрии. Рассмотрим ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€:

$$y=\frac{1}{x}$$

ΠŸΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ осью симмСтрии являСтся прямая y=x. ΠŸΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΠΌ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ (0,5;2) ΠΈ (2;0,5) ΠΈ Π΅Ρ‰Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ (-0,5;-2) ΠΈ (-2;-0,5). Π­Ρ‚ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ располоТСны ΠΏΠΎ Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Π΅ стороны Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ прямой, Π½ΠΎ Π½Π° Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Ρ… расстояниях ΠΎΡ‚ Π½Π΅Π΅, ΠΎΠ½ΠΈ симмСтричны ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ этой прямой.

Вторая ось симмСтрии это прямая y=-x.



5. Π“ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Π° нСчСтная функция.

$$f(-x)=\frac{1}{-x}=-\frac{1}{x}=-f(x)$$

6. ΠžΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Ρ‹ ΠΈ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ значСния Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Ρ‹. ΠžΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния смотрим ΠΏΠΎ оси Ρ…. ΠžΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ значСния смотрим ΠΏΠΎ оси Ρƒ. Рассмотрим Π½Π° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅:

$$y=\frac{-1}{x-1}-1$$

Π°) Находим ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΡƒΡŽ асимптоту.
Π—Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Ρ€Π°Π²Π½ΡΡ‚ΡŒΡΡ 0, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π° 0 Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ нСльзя, поэтому x-1 Π½Π΅Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 0.
x-1β‰ 0
Ρ…β‰ 1 это пСрвая асимптота.

Находим Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ асимптоту.

$$y=\color{red} {\frac{-1}{x-1}}-1$$

Π”Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ \(\color{red} {\frac{-1}{x-1}}\) удаляСм.

ΠžΡΡ‚Π°Π΅Ρ‚ΡΡ yβ‰  -1 это вторая асимптота.

Π±) k=-1, Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚ Π²Π΅Ρ‚Π²ΠΈ Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Ρ‹ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ находится Π²ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΈ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΎΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈ.

Π²) Π’ΠΎΠ·ΡŒΠΌΠ΅ΠΌ нСсколько Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ ΠΈ ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ ΠΈΡ… Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅.

Ρ…=0 y=0
x=-1 y=-0,5
x=2 y=-2
x=3 y=-1,5

Π³) ΠžΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния смотрим ΠΏΠΎ оси Ρ…. Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Ρ‹ Π½Π΅ сущСствуСт ΠΏΠΎ асимптотС Ρ…β‰ 1, поэтому ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ находится
Ρ… ∈ (-∞;1)U(1;+∞).

Π΄) ΠžΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ значСния смотрим ΠΏΠΎ оси y. Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Ρ‹ Π½Π΅ сущСствуСт ΠΏΠΎ асимптотС yβ‰  -1, поэтому ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ значСния Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ находится
y ∈ (-∞;-1)U(-1;+∞).

Π΅) функция возрастаСт Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ΅ x ∈ (-∞;1)U(1;+∞).

7. Π£Π±Ρ‹Π²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ возрастаниС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Ρ‹. Если k>0, функция ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰Π°Ρ. Если k<0 функция Π²ΠΎΠ·Ρ€Π°ΡΡ‚Π°ΡŽΡ‰Π°Ρ.

8. Для Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ построСния Π²Π·ΡΡ‚ΡŒ нСсколько Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ ΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Π² ΠΏΡƒΠ½ΠΊΡ‚Π΅ β„–6.

ΠŸΠΎΠ΄ΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ΡΡŒ Π½Π° ΠΊΠ°Π½Π°Π» Π½Π° YOUTUBE ΠΈ смотритС Π²ΠΈΠ΄Π΅ΠΎ, ΠΏΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚Π°Π²Π»ΠΈΠ²Π°ΠΉΡ‚Π΅ΡΡŒ ΠΊ экзамСнам ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ ΠΈ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ с Π½Π°ΠΌΠΈ.
Ρ€Π΅ΠΊΠ»Π°ΠΌΠ°

tutomath.ru

ΠŸΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΊΠ° школьников ΠΊ Π•Π“Π­ ΠΈ ΠžΠ“Π­ Π² ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΎΠΌ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π΅ Β«Π Π΅Π·ΠΎΠ»ΡŒΠ²Π΅Π½Ρ‚Π°Β» (Π‘ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΡ‡Π½ΠΈΠΊ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ — АлгСбра

Π“ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Π° Π½Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ плоскости

Β  Β  Β  ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ 1. Π“ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»ΠΎΠΉ (равностороннСй Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»ΠΎΠΉ) Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

(1)

Π³Π΄Π΅ Β  k Β  – любоС, ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ΅ ΠΎΡ‚ нуля, число.

Β  Β  Β  Ѐункция (1) ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°Π΅Ρ‚ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌΠΈ свойствами:

Β  Β  Β  Рассмотрим Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ, Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΎΠΉ

(2)

Π³Π΄Π΅ Β  a, Β  b, Β  c, Β  d Β  – ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа, Π° число Β  c Β  Π½Π΅ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Π½ΡƒΠ»ΡŽ.

Β  Β  Β  ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ 2. Π”Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎ-Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ, Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΎΠΉ (2), Ссли Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ, стоящая Π² ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΉ части Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ (2), нСсократима.

Β  Β  Β  Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠΌ дробно–линСйной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ являСтся Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Π°.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ² дробно–линСйных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ

Β  Β  Β  На нашСм сайтС ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΎΠ·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΠΈΡ‚ΡŒΡΡ с Ρ€Π°Π·Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ прСподаватСлями ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π° Β«Π Π΅Π·ΠΎΠ»ΡŒΠ²Π΅Π½Ρ‚Π°Β» ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»Π°ΠΌΠΈ для ΠΏΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΊΠΈ ΠΊ Π•Π“Π­ ΠΈ ΠžΠ“Π­ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅.

Β  Β  ΠŸΡ€ΠΈΠ³Π»Π°ΡˆΠ°Π΅ΠΌ школьников (ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ вмСстС с родитСлями) Π½Π° бСсплатноС тСстированиС ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅, ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΡŽΡ‰Π΅Π΅ Π²Ρ‹ΡΡΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Ρ‹ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ ΠΈ Π½Π°Π²Ρ‹ΠΊΠΈ Π² Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ для ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΊΠ° Β«ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠ½Ρ‹ΠΌΠΈΒ».

Π—Π°ΠΏΠΈΡΡŒ ΠΏΠΎ Ρ‚Π΅Π»Π΅Ρ„ΠΎΠ½Ρƒ (495) 509-28-10

Β  Β  Β  Для школьников, ΠΆΠ΅Π»Π°ΡŽΡ‰ΠΈΡ… Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΎ ΠΏΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ ΠΈ ΡΠ΄Π°Ρ‚ΡŒ Π•Π“Π­ ΠΈΠ»ΠΈ ΠžΠ“Π­ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ ΠΈΠ»ΠΈ русскому языку Π½Π° высокий Π±Π°Π»Π», ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½Ρ‹ΠΉ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ Β«Π Π΅Π·ΠΎΠ»ΡŒΠ²Π΅Π½Ρ‚Π°Β» ΠΏΡ€ΠΎΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚

Β  Β  Β  Π£ нас Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ для школьников ΠΎΡ€Π³Π°Π½ΠΈΠ·ΠΎΠ²Π°Π½Ρ‹

ΠœΠžΠ‘ΠšΠ’Π, Π‘Π’ΠΠž, Π£Ρ‡Π΅Π±Π½Ρ‹ΠΉ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ Β«Π Π•Π—ΠžΠ›Π¬Π’Π•ΠΠ’ΠΒ»

www.resolventa.ru

Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Ρ‹, Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹

ΠšΠ°Π½ΠΎΠ½ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Ρ‹

ΠšΠ°Π½ΠΎΠ½ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Ρ‹ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄

Β  Β 

Π³Π΄Π΅ – вСщСствСнная ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΎΡΡŒ, – мнимая ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΎΡΡŒ Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Ρ‹.

Π’Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρ‹ Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Ρ‹ находятся Π½Π° вСщСствСнной оси ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ . Ѐокусы Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Ρ‹ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΈ , Π³Π΄Π΅ .

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡

ΠŸΠ Π˜ΠœΠ•Π  1
Π—Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ Π‘ΠΎΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Ρ‹, Ссли Π΄Π»ΠΈΠ½Π° вСщСствСнной оси Ρ€Π°Π²Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π΅, Π° Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Π΅.
РСшСниС Из условия Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ извСстно, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Π»ΠΈΠ½Π° вСщСствСнной оси Ρ€Π°Π²Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π΅, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ . ΠŸΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² каноничСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Ρ‹

Β  Β 

НайдСм Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π° , подставив Π² ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ :

Β  Β 

ΠŸΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Ρ‹

Β  Β 

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚ Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Ρ‹ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄:
ΠŸΠ Π˜ΠœΠ•Π  2
Π—Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ Π’ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ систСмС ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Π° ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ каноничСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π‘ΠΎΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ это ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, Ссли расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 10, Π° расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ фокусами Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 12.
РСшСниС Π’Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρ‹ Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Ρ‹ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ , Ρ‚.Π΅. расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π½ΠΈΠΌΠΈ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ . Из условия Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ слСдуСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ

Β  Β 

Ѐокусы Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Ρ‹ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΈ , Ρ‚.Π΅. расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π½ΠΈΠΌΠΈ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ . Π’ΠΎΠ³Π΄Π°

Β  Β 

НайдСм Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π° :

Β  Β 

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ искомоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Ρ‹

Β  Β 

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚
Π§ΠΈΡ‚Π°ΠΉΡ‚Π΅ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅:

ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Ρ‹

Бвойства Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Ρ‹

ЭксцСнтриситСт Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Ρ‹

ΠŸΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Π°

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρ‹ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Ρ‹

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Ρ‹

Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Ρ‹

ΠšΡƒΠ±ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠ°Ρ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Π°

ru.solverbook.com

Π“ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Π°

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅. ГипСрбола– гСомСтричСскоС мСсто Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ, для ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ расстояний ΠΎΡ‚ Π΄Π²ΡƒΡ… фиксированных Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ плоскости, Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΡ‹Ρ… фокусами, Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° постоянная, равная большой оси Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Ρ‹.

Π­Ρ‚Π° Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎ ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŽ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ мСньшС расстояния ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ фокусами ΠΈ ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π½Π° ΠΎΡ‚ нуля.

ΠΈ — фокусныС радиусы Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ.

(ΠΏΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ) ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ .

Π“ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Π° состоит ΠΈΠ· Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… частСй, Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΡ‹Ρ… вСтвями.

ΠšΠ°Π½ΠΎΠ½ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠΉ Π²ΠΈΠ΄ уравнСния

, (11)

ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ,

.

Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ – это ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ прямой с ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²Ρ‹ΠΌ коэффициСнтом. ΠŸΡ€ΠΈ.

ΠŸΡ€ΡΠΌΡ‹Π΅ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡΠ°ΡΠΈΠΌΠΏΡ‚ΠΎΡ‚Π°ΠΌΠΈΠ³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Ρ‹.

ΠžΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠΈ ΠΈ— оси Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Ρ‹.

Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΠΈΠ΄Π° Π·Π°Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Ρƒ, ΡΠΎΠΏΡ€ΡΠΆΠ΅Π½Π½ΡƒΡŽ с ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ.

Π“ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Π° с Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌΠΈ полуосями называСтся равностороннСй:

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅.ЭксцСнтриситСтомгипСрболы называСтся ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ расстояния ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ фокусами ΠΊ Ρ€Π°ΡΡΡ‚ΠΎΡΠ½ΠΈΡŽ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈ:

. (12)

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅.Π”Π²Π΅ прямыС, пСрпСндикулярныС ΠΊ Ρ‚ΠΎΠΉ оси Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Ρ‹, которая Π΅Π΅ пСрСсСкаСт, располоТСнныС симмСтрично ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π° Π½Π° расстоянииот Π½Π΅Π³ΠΎ, Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡΠ΄ΠΈΡ€Π΅ΠΊΡ‚Ρ€ΠΈΡΠ°ΠΌΠΈΠ³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Ρ‹.

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ°.Для любой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ эллипса ΠΈ Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Ρ‹ справСдливо ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅

, (13)

Π³Π΄Π΅ – расстояниС ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π΄ΠΎ фокуса, а– расстояниС Π΄ΠΎ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ дирСктрисы.

ΠŸΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Π°

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅.ΠŸΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Π°β€“ это гСомСтричСскоС мСсто Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ, для ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… расстояниС Π΄ΠΎ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ фиксированной Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΠΎΠΉ фокусом, Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Ρ€Π°ΡΡΡ‚ΠΎΡΠ½ΠΈΡŽ Π΄ΠΎ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ прямой, Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΠΎΠΉ дирСктрисой:

. (14)

–фокус, – расстояниС ΠΎΡ‚ фокуса Π΄ΠΎ дирСктрисы – ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Ρ‹,– Ρ„ΠΎΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ радиус Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ.

(15)

– каноничСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Ρ‹, симмСтричной ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ оси О, ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Ρ‚Π²ΠΈ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Ρ‹ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½Ρ‹ Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ. Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅

Π·Π°Π΄Π°Π΅Ρ‚ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Ρƒ, ΡΠΈΠΌΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½ΡƒΡŽ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ оси ΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚, Π²Π΅Ρ‚Π²ΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΈ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½Ρ‹ Π²Π²Π΅Ρ€Ρ….

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ Π½Π° Ρ‚Π΅ΠΌΡƒ Β«ΠšΡ€ΠΈΠ²Ρ‹Π΅ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ порядка».

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1: Найти ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ фокусов ΠΈ эксцСнтриситСт эллипса

РСшСниС: Для Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ эллипсаи поэтому

Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, фокусы ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΈ, эксцСнтриситСт

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 2: Найти полуоси, ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ фокусов ΠΈ эксцСнтриситСт эллипса

РСшСниС: Π Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΠ² Π½Π° 36, ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊ Π²ΠΈΠ΄Ρƒ

ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° слСдуСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ большая ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΎΡΡŒ эллипса , Π° малая ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΎΡΡŒ. ΠŸΡ€ΠΈ этом ось эллипса ΠΈ Π΅Π³ΠΎ фокусы располоТСны Π½Π° оси. НайдСмпо Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅

.

Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ фокусов ΠΈ, Π° Π΅Π³ΠΎ эксцСнтриситСт

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 3: Π‘ΠΎΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ каноничСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ эллипса, зная, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΅Π³ΠΎ большая ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΎΡΡŒ, Π° Π΅Π³ΠΎ эксцСнтриситСт. Найти расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ фокусами эллипса.

РСшСниС: Π’ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΡΡ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΎΠΉ, Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ эксцСнтриситСт Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ полуосСй:

, ΠΈΠ»ΠΈ , ΠΎΡ‚ΠΊΡƒΠ΄Π°.

Π’ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ случаС

Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, каноничСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ эллипса

.

Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ , Ρ‚ΠΎ;ΠΈ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ фокусами

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 4: Асимптоты Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Ρ‹ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ уравнСния, Π° расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ фокусами Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 20. ΠΠ°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Π΅Π΅ каноничСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅.

РСшСниС: Π Π°Π·Ρ€Π΅ΡˆΠΈΠΌ уравнСния асимптот ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΈ, сравнив с ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΎΠΉ асимптот, Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΊ:

ΠšΡ€ΠΎΠΌΠ΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, , Ρ‚.Π΅. . Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ для Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Ρ‹, Ρ‚ΠΎ для нахоТдСнияиполучим систСму ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ

Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ, Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ . Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, каноничСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Ρ‹ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 5: ΠŸΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Π° с Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½ΠΎΠΉ Π² Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒΠΈ симмСтрична ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ оси. ΠΠ°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Π΅Π΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅.

РСшСниС:Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Π° симмСтрична ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ осии ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· точкус ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ абсциссой, Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½Π° ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄, прСдставлСнный Π½Π° рис.

ΠŸΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π² ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Ρ‹, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ, Ρ‚.Π΅..

Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, искомоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅

фокус этой ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Ρ‹ , ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ дирСктрисы

studfiles.net

III. ΠšΠ°Π½ΠΎΠ½ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠ΅ уравнСния окруТности, эллипса, Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Ρ‹ ΠΈ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Ρ‹.

  1. ΠžΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ.

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ . Π’ этом случаС Π² ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°Ρ…ΠΈΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ окруТности

радиуса с Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ΠΎΠΌ Π² Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚. Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ окруТности Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ ΠΆΠ΅ радиуса с Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ΠΎΠΌ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄

.

Π‘ гСомСтричСской Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ зрСния ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ – гСомСтричСскоС мСсто Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Π½Π° плоскости, Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΡƒΠ΄Π°Π»Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΎΡ‚ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ (Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π° окруТности). Если , Ρ‚ΠΎ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ выроТдаСтся Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ. НаконСц, Ссли, Ρ‚ΠΎ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅Π½Π΅ опрСдСляСт ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ-Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠΉ Π½Π° плоскости (мнимая ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ).

2. Эллипс.

Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠΉ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅

.

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ , ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ каноничСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ эллипса

.

Оси ΠΈΠ½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡΠΎΡΡΠΌΠΈ симмСтрии эллипса, Π° Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ —Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈ эллипса. ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ . ΠžΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊΠ½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ΡΡΠ±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΎΠΉ осью эллипса (большой ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΎΡΡŒΡŽ эллипса), Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ ΠΌΠ°Π»ΠΎΠΉ осью эллипса (— ΠΌΠ°Π»ΠΎΠΉ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΎΡΡŒΡŽ эллипса). Эллипс ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π΄Π²Π° фокуса , Π³Π΄Π΅. РасстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ фокусами Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ. Π€ΠΎΡ€ΠΌΠ° эллипса зависит ΠΎΡ‚ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ. ΠŸΡ€ΠΈΡΠ»Π»ΠΈΠΏΡ прСвращаСтся Π² ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ. ΠžΡ‚ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡ‚ окруТности (ΡΠΏΠ»ΡŽΡ‰Π΅Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ) эллипса характСризуСтся ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠΌ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ называСтсяэксцСнтриситСтом эллипса. Для окруТности , для эллипса. ΠŸΡ€ΠΈΡΠ»Π»ΠΈΠΏΡ выроТдаСтся Π² ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ (). Π‘ΠΏΡ€Π°Π²Π΅Π΄Π»ΠΈΠ²ΠΎΡΡ‚ΡŒ этих ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΉ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ· ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ.

Рассмотрим Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ , Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΡƒΡŽ Π½Π° эллипсС. ДлиныисоотвСтствСнно ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠΎΠ²ΠΈΠ½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡΡ„ΠΎΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ радиусами эллипса. Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ . ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ, ΡΠ²ΡΠ·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Ρ„ΠΎΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ радиусы с эксцСнтриситСтом эллипса:.

ΠŸΡ€ΡΠΌΡ‹Π΅ ΠΈΠ½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡΠ΄ΠΈΡ€Π΅ΠΊΡ‚Ρ€ΠΈΡΠ°ΠΌΠΈ эллипса. Рассмотрим ΠΏΡ€Π°Π²ΡƒΡŽ дирСктрису ΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²Ρ‹ΠΉ ΠΆΠ΅ фокус эллипса. Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠ°, лСТащая Π½Π° эллипсС, находится Π½Π° расстоянииот рассматриваСмой дирСктрисы. ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΡ это равСнствои замСчая, Ρ‡Ρ‚ΠΎ, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ(ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΠΎΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ радиуса любой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ эллипса ΠΊ Ρ€Π°ΡΡΡ‚ΠΎΡΠ½ΠΈΡŽ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ ΠΈ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ дирСктрисой Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° постоянная, равная эксцСнтриситСту эллипса). АналогичноС ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ для Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠ³ΠΎ фокуса ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ дирСктрисы.

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ гСомСтричСскоС ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ эллипса. Эллипсом называСтся мноТСство всСх Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ плоскости, сумма расстояний ΠΎΡ‚ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Π΄ΠΎ Π΄Π²ΡƒΡ… Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ этой плоскости, Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΡ‹Ρ… фокусами, Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° постоянная, большая, Ρ‡Π΅ΠΌ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ фокусами (,).

Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ссли , Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡ‹ΠΉ эллипс.

  1. Π“ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Π°.

ВСрнСмся ΠΊ Ρ‚ΠΎΠΌΡƒ ΠΆΠ΅ каноничСскому Π²ΠΈΠ΄Ρƒ ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠΉ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ порядка

,

Π½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Π΅ Π·Π½Π°ΠΊΠΈ. ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ для опрСдСлСнности .

Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅

называСтся каноничСским ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Ρ‹. Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ пСрСсСчСния Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Ρ‹ с ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ осью ΠΈΠ½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈ Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Ρ‹, Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ осью Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Ρ‹ (Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΎΡΡŒΡŽ Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Ρ‹). Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΈ, Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ оси, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°Π·Π²Π°Ρ‚ΡŒΠΌΠ½ΠΈΠΌΡ‹ΠΌΠΈ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈ Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Ρ‹, Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠΉ осью Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Ρ‹ (ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠΉ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΎΡΡŒΡŽ Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Ρ‹). ΠŸΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ со сторонами ΠΈ, Π½Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρ‹ Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Ρ‹, Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹ΠΌ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠΌ Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Ρ‹. ΠŸΡ€ΡΠΌΡ‹Π΅ (частями ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΠΈ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Ρ‹) носят названиСасимптот Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Ρ‹. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Ρ‹ ΡƒΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎ Π½Π°Ρ‡ΠΈΠ½Π°Ρ‚ΡŒ с построСния ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΈ асимптот Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Ρ‹. Если , Ρ‚ΠΎ Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Π° называСтсяравностороннСй, Π΅Π΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄ . Π Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π°ΡŽΡ‚ΠΏΡ€Π°Π²ΡƒΡŽ Π²Π΅Ρ‚Π²ΡŒ Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Ρ‹ (ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρƒ ) ΠΈΠ»Π΅Π²ΡƒΡŽ Π²Π΅Ρ‚Π²ΡŒ Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Ρ‹ (ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρƒ ).

Π“ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Π° ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π΄Π²Π° фокуса , Π³Π΄Π΅. ΠžΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ΡΡΡΠΊΡΡ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ΠΈΡΠΈΡ‚Π΅Ρ‚ΠΎΠΌ Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Ρ‹ ΠΈ Ρ…Π°Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ сТатости Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Ρ‹. Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ . ΠžΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ полуосСй Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Ρ‹ являСтся Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ эксцСнтриситСта. ΠŸΡ€ΠΈΠ³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Π° сТимаСтся Π΄ΠΎ Π΄Π²ΡƒΡ… Π»ΡƒΡ‡Π΅ΠΉ. ΠŸΡ€ΠΈ ростС эксцСнтриситСта Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Π° «расправляСтся» ΠΈ Π΅Π΅ Π²Π΅Ρ‚Π²ΠΈ стрСмятся ΠΊ прямым.

Π€ΠΎΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ радиусы ΠΈ для Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΉ Π²Π΅Ρ‚Π²ΠΈ Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Ρ‹ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ Π²ΠΈΠ΄ ΠΈ, Π° для Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ -ΠΈ.

ΠŸΡ€ΡΠΌΡ‹Π΅ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡΠ΄ΠΈΡ€Π΅ΠΊΡ‚Ρ€ΠΈΡΠ°ΠΌΠΈ Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Ρ‹. ДирСктрисы Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Ρ‹ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ свойство , Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ дирСктрисы эллипса.

Π“ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Ρ‹ ΠΈ, ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Π΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΈ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡ‹Π΅ оси, Π½ΠΎ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅ асимптоты, Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡΡΠΎΠΏΡ€ΡΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Π°ΠΌΠΈ.

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ гСомСтричСскоС ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Ρ‹. Π“ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»ΠΎΠΉ называСтся мноТСство всСх Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ плоскости, ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ разности расстояний ΠΎΡ‚ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Π΄ΠΎ Π΄Π²ΡƒΡ… Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ этой плоскости, Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΡ‹Ρ… фокусами, Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° постоянная, мСньшая, Ρ‡Π΅ΠΌ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ фокусами (,).

  1. ΠŸΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Π°.

ΠšΠ°Π½ΠΎΠ½ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠΌ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Ρ‹ называСтся ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΠΈΠ΄Π°

,

Π³Π΄Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Ρ‹. ΠŸΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Π° Π½Π΅ являСтся Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠΉ. Π’Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π° ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Ρ‹ находится Π² Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚, Π° фокус – Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ .

Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ дирСктрисы ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄ . ΠžΡΡŒΡΠ²Π»ΡΠ΅Ρ‚ΡΡ осью симмСтрии ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Ρ‹. Π€ΠΎΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ радиус любой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π΅Π΅ Ρ€Π°ΡΡΡ‚ΠΎΡΠ½ΠΈΡŽ Π΄ΠΎ дирСктрисы, Ρ‚.Π΅.. Об этом равСнствС Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ гСомСтричСскоС ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Ρ‹. ΠŸΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»ΠΎΠΉ называСтся мноТСство всСх Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ плоскости, каТдая ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΠΎ ΡƒΠ΄Π°Π»Π΅Π½Π° ΠΎΡ‚ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΠΎΠΉ фокусом, ΠΈ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ прямой, Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΠΎΠΉ дирСктрисой.

Π’ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹ Ρ‚Ρ€ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… случая располоТСния ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Ρ‹ Π½Π° плоскости: .

Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅ 1. ΠŸΡ€ΠΈ Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄Π΅ каноничСского уравнСния ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Ρ‹ слСдуСт ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΌ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΎΡ‚ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… осСй. ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ для ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Ρ‹ ΠΈΠ»ΠΈ, Π½ΠΎΠ²Ρ‹Π΅ коэффициСнты ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅:

.

Выбирая ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΈΠ· уравнСния, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ коэффициСнтв Π½ΡƒΠ»ΡŒ (Ссли Π²Π·ΡΡ‚ΡŒ ΡƒΠ³ΠΎΠ», Ρ‚ΠΎ обратится Π² Π½ΡƒΠ»ΡŒ). Π’ ΠΎΠ±ΠΎΠΈΡ… случаях станСт Π½ΡƒΠ»Π΅Π²Ρ‹ΠΌ ΠΈ коэффициСнт. Π”Π°Π»Π΅Π΅ ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ°Ρ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ пСрСнос осСй ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρ‹ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Ρ‹ ΠΈ Π΅Π΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅.

Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅ 2. Если ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΎΡ‚ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… осСй Π΄ΠΎ ΠΈΡ… ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ пСрСноса с Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€ΠΎΠΌ ΡƒΠ³Π»Π° ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΎΡ‚Π°, ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‰Π°ΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ Π² Π½ΡƒΠ»ΡŒ коэффициСнт , Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠΉ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ порядка ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄

.

Π­Ρ‚ΠΎ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ всСгда опрСдСляСт ΠΊΡ€ΠΈΠ²Ρ‹Π΅:

1) ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈ ; 2) эллипс ΠΏΡ€ΠΈ;

3) Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Ρƒ ΠΏΡ€ΠΈ ;

4) ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Ρƒ ΠΏΡ€ΠΈ .

ΠŸΡ€ΠΈ этом Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹ случаи выроТдСния:

  1. окруТности Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡƒΡŽ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ;

  2. эллипса Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ ΠΈΠ»ΠΈ Π² ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡ‹ΠΉ эллипс;

  3. Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Ρ‹ Π² ΠΏΠ°Ρ€Ρƒ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΡ…ΡΡ прямых ;

  4. ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Ρ‹ Π² ΠΏΠ°Ρ€Ρƒ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… прямых .

Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅ 3. ΠšΡ€ΠΈΠ²Ρ‹Π΅ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ порядка ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ «оптичСскиС» свойства:

  1. Π»ΡƒΡ‡ свСта, испущСнный ΠΈΠ· ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ фокуса эллипса ΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ эллипсом, ΠΏΠΎΠΏΠ°Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π² Π΅Π³ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ фокус;

2) Π»ΡƒΡ‡ свСта, испущСнный ΠΈΠ· ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ фокуса Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Ρ‹ ΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»ΠΎΠΉ, ΠΏΠΎΠΉΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎ прямой Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ, проходящСй Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ фокус Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Ρ‹;

3) Π»ΡƒΡ‡ свСта, испущСнный ΠΈΠ· фокуса ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Ρ‹ ΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»ΠΎΠΉ, ΠΏΠΎΠΉΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎ прямой Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ, ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ оси симмСтрии ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Ρ‹.

Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅ 4. Π§Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ ΠΊΡ€ΠΈΠ²Ρ‹Π΅: ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, эллипс, Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Ρƒ ΠΈ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Ρƒ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ коничСскими сСчСниями, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ эти ΠΊΡ€ΠΈΠ²Ρ‹Π΅ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ сСчСниями ΠΊΡ€ΡƒΠ³ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ конуса плоскостями.

Π—ΠΠ”ΠΠ§Π˜

studfiles.net

Π”ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠΉ

Π’Π°Ρˆ адрСс email Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π½. ΠžΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ поля ΠΏΠΎΠΌΠ΅Ρ‡Π΅Π½Ρ‹ *