Определение числовой функции; область определения, область значений функции
Представляем вашему вниманию видеоурок по теме «Определение числовой функции; область определения, область значения функции». Учащимся предлагается вспомнить, что такое функции, требования которых накладываются на закон соответствия; что такое область определения, что такое область значения функции и каким образом они находятся.
Алгебра 9 класс
Итоговое повторение курса алгебры 9-го класса
Определение числовой функции. Область определения, область значений функции
1.1. Конспект.
Понятие «функция» и непосредственно связанные с ним понятия «область определения» и «область значения» функции – это центральные понятия школьного курса математики. На уроке на конкретных примерах раскрываются смысл и содержание этих понятий.
1. Повторение основных понятий. Принятые обозначения.
Функцией, в частности
Обозначения:
х независимая переменная (аргумент)
у зависимая переменная (функция)
, f закон соответствия
Множество X — область определения функции. Это множество всех допустимых значений переменной х.
МножествоY — область значения функции. Это все значения, которые пробегает переменная у.
2. Пример 1. Функция .
Естественная область определения функции – множество всех тех значений х,при которых функция существует.
Очевидно, область значения функции — все неотрицательные числа.
3. Пример 2. Функции и.
Функция существует при всех значениях переменной х. Поэтому естественная область определения функции — множество действительных чисел.
означает:
1) для любого ;
2) любой у из этого промежутка достигается хотя бы при одном х.
Область определения данной функции задана. Она не является естественной. Заметим, что любое значение переменной у достигается только при одном значении х. Это позволяет ввести функцию, обратную к данной. Это функция арксинус.
4. Пример 3. Функции и .
Этот график не является графиком функции. Это так потому, что существует такой х, которому соответствуют два значения у.
Это график уравнения окружности:
или
|
|
|
5. Пример 4. Функция .
Ее естественная область определения очевидна. Как найти область значения функции? Для наглядности построим график. Дана функция , .
Найдем корни функции:
Найдем координаты вершины:
Итак, у квадратичной функции:
Область определения – это вся числовая ось.
Область значения – это луч. Положительно направленный, если . Отрицательно направленный, если.
6. Область определения функций ; .
Область определения задается системой неравенств: .
Область определения задается неравенством: .
Решим неравенство методом интервалов:
Найдем решение системы:
7. Функция .
Можно ли сократить числитель и знаменатель дроби на ?
Можно, при условии что .
interneturok.ru
Понятие функции. Область определения функции. Способы задания функции
ИНСТИТУТ БИЗНЕСА, ПРАВА И ИНФОРМАЦИОННЫХ
ТЕХНОЛОГИЙ
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
по дисциплине
МАТЕМАТИКА
на тему
Понятие функции. Область определения функции.
Способы задания функции
Выполнил: Мальский Эдуард Александрович,
студент 2 курса
юридического факультета
заочного отделения
группа 25-ЮЗП
Преподаватель:
Оценка:_______________
Подпись преподавателя:_______________
2004 г.
Оглавление
контрольной работы по дисциплине «Математика»
на тему «Понятие функции. Область определения функции.
Способы задания функции»
Введение……………………………………………………………………………3
1. Функция и её свойства……………………………………………………..4
2. Способы задания функции…………………………………………………..5
3. Виды функций и их свойства………………………………………………6
Заключение……………………………………………………………………….11
Список использованной литературы……………………………………………12
Введение.
Функция — одно из основных математических и общенаучных понятий. Оно сыграло и поныне играет большую роль в познании реального мира.
Идея функциональной зависимости восходит к древности. Ее содержание обнаруживается уже в первых математически выраженных соотношениях между величинами, в первых правилах действий над числами. В первых формулах для нахождения площади и объема тех или иных фигур. Так, вавилонские ученые (4-5тыс.лет назад) пусть несознательно, установили, что площадь круга является функцией от его радиуса посредством нахождения грубо приближенной формулы: S=3r 2 . Примерами табличного задания функции могут служить астрономические таблицы вавилонян, древних греков и индийцев, а примерами словесного задания функции — теорема о постоянстве отношения площадей круга и квадрата на его диаметре или античные определения конических сечений, причем сами эти кривые выступали в качестве геометрических образов соответствующей зависимости.
Раздел 1. Функция и её свойства.
Функция- зависимость переменной у от переменной x , если каждому значению х соответствует единственное значение у .
Переменная х- независимая переменная или аргумент.
Переменная у- зависимая переменная
Значение функции- значение у , соответствующее заданному значению х .
Область определения функции- все значения, которые принимает независимая переменная.
Область значений функции (множество значений)- все значения, которые принимает функция.
Функция является четной- если для любого х из области определения функции выполняется равенство f ( x )= f (- x )
Функция является нечетной- если для любого х из области определения функции выполняется равенство f (- x )=- f ( x )
Возрастающая функция- если для любых х1 и х2 , таких, что х1 < х2 , выполняется неравенство f (х 1 )< f (х2 )
Убывающая функция- если для любых х1 и х2 , таких, что х1 < х2 , выполняется неравенство f (х1 )> f (х2 )
Раздел 2. Способы задания функции.
Чтобы задать функцию, нужно указать способ, с помощью которого для каждого значения аргумента можно найти соответствующее значение функции. Наиболее употребительным является способ задания функции с помощью формулы у= f ( x ) , где f ( x )- с переменной х . В таком случае говорят, что функция задана формулой или что функция задана аналитически.
На практике часто используется табличный способ задания функции. При этом способе приводится таблица, указывающая значения функции для имеющихся в таблице значений аргумента. Примерами табличного задания функции являются таблица квадратов, таблица кубов.
Раздел 2. Виды функций и их свойства.
1) Постоянная функция- функция, заданная формулой у= b , где b — некоторое число. Графиком постоянной функции у=b является прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку (0;b) на оси ординат
2) Прямая пропорциональность- функция, зад
mirznanii.com
[Билет 7] Функциональное соответствие (функция), способы задания. Область определения и множество значений функции.
Функциональное соответствие (функция), способы задания.Функция соответствие — соответствие f между элементами множеств X и Y называется функциональным или функцией, если каждому элементу множества X соответствует не более одного элемента множества Y
Табличный способ. Довольно распространенный, заключается в задании таблицы отдельных значений аргумента и соответствующих им значений функции. Такой способ задания функции применяется в том случае, когда область определения функции является дискретным конечным множеством. При табличном способе задания функции можно приближенно вычислить не содержащиеся в таблице значения функции, соответствующие промежуточным значениям аргумента. Для этого используют способ интерполяции.
Преимущества табличного способа задания функции состоят в том, что он дает возможность определить те или другие конкретные значения сразу, без дополнительных измерений или вычислений. Однако, в некоторых случаях таблица определяет функцию не полностью, а лишь для некоторых значений аргумента и не дает наглядного изображения характера изменения функции в зависимости от изменения аргумента.
Графический способ. Графиком функции y = f(x) называется множество всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данному уравнению.
Графический способ задания функции не всегда дает возможность точно определить численные значения аргумента. Однако он имеет большое преимущество перед другими способами — наглядность. В технике и физике часто пользуются графическим способом задания функции, причем график бывает единственно доступным для этого способом.
Чтобы графическое задание функции было вполне корректным с математической точки зрения, необходимо указывать точную геометрическую конструкцию графика, которая, чаще всего, задается уравнением. Это приводит к следующему способу задания функции.
Аналитический способ. Чаще всего закон, устанавливающий связь между аргументом и функцией, задается посредством формул. Такой способ задания функции называется аналитическим.
Этот способ дает возможность по каждому численному значению аргумента x найти соответствующее ему численное значение функции y точно или с некоторой точностью.
Если зависимость между x и y задана формулой, разрешенной относительно y, т.е. имеет вид y = f(x), то говорят, что функция от x задана в явном виде.
Если же значения x и y связаны некоторым уравнением вида F(x,y) = 0, т.е. формула не разрешена относительно y, что говорят, что функция y = f(x) задана неявно.
Функция может быть определена разными формулами на разных участках области своего задания.
Аналитический способ является самым распространенным способом задания функций. Компактность, лаконичность, возможность вычисления значения функции при произвольном значении аргумента из области определения, возможность применения к данной функции аппарата математического анализа — основные преимущества аналитического способа задания функции. К недостаткам можно отнести отсутствие наглядности, которое компенсируется возможностью построения графика и необходимость выполнения иногда очень громоздких вычислений.
Словесный способ. Этот способ состоит в том, что функциональная зависимость выражается словами.
Пример 1: функция E(x) — целая часть числа x. Вообще через E(x) = [x] обозначают наибольшее из целых чисел, которое не превышает x. Иными словами, если x = r + q, где r — целое число (может быть и отрицательным) и q принадлежит интервалу [0; 1), то [x] = r. Функция E(x) = [x] постоянна на промежутке [r; r+1) и на нем [x] = r.
Пример 2: функция y = {x} — дробная часть числа. Точнее y ={x} = x — [x], где [x] — целая часть числа x. Эта функция определена для всех x. Если x — произвольное число, то представив его в виде x = r + q ( r = [x]), где r — целое число и q лежит в интервале [0; 1), получим {x} = r + q — r=q
Основными недостатками словесного способа задания функции являются невозможность вычисления значений функции при произвольном значении аргумента и отсутствие наглядности. Главное преимущество же заключается в возможности задания тех функций, которые не удается выразить аналитически.
Область определения и множество значений функции.
Если даны числовое множество X и правило f, позволяющее поставить в соответствие каждому элементу x из множества X определенное число y, то говорят , что задана функция y = f(x) с областью определения X : y = f(x), D(f) = X.
Областью значений функции y = f(x) называется множество всех значений функции, которые она принимает при переборе всех x из области определения x принадлежит D(f) .
fizmatinf.blogspot.com
Функция. Область определения и область значений функции. К1
Данный модуль состоит из 5 заданий. Задания предназначены для контроля умения учащихся вычислять значения функции по заданным значениям ее аргумента, находить значения аргумента по заданным значениям функции, находить область определения функции и область значений функции, проводить элементарное исследование квадратичной функции. Все задания данного учебного модуля параметризированы. Это позволяет учителю формировать индивидуальные задания для каждого учащегося.
Категория пользователей
Обучаемый, Преподаватель
Дисциплины
Математика
/ Область определения и область значения функции
Уровень образования
Профессионально-техническая подготовка, повышение квалификации
Статус
Завершенный вариант (готовый, окончательный)
Тип ИР сферы образования
информационный модуль
Ключевые слова
функция, график, область определения, область значений
Издатель
ООО «Кирилл и Мефодий»
ООО «Кирилл и Мефодий»
Россия, 127549, Москва, стр.1, ул. Пришвина, 8
Тел. — +7-495- 787-2610, +7-495- 787-2610
Сайт —
http://www.nmg.ru
Правообладатель
ООО «Кирилл и Мефодий»
ООО «Кирилл и Мефодий»
Россия, 127549, Москва, стр.1, ул. Пришвина, 8
Тел. — +7-495- 787-2610, +7-495- 787-2610
Сайт —
http://www.nmg.ru
Внимание! Для воспроизведения модуля необходимо установить на компьютере проигрыватель ресурсов.
Характеристики информационного ресурса
Тип используемых данных:
text/plain, text/html, image/jpeg
Объем цифрового ИР
1 265 427 байт
Проигрыватель
Категория модифицируемости компьютерного ИР
Признак платности
бесплатный
Наличие ограничений по использованию
нет ограничений
Рубрикация
Ступени образования
Основное общее образование
Целевое назначение
Учебное
Тип ресурса
Открытая образовательная модульная мультимедийная система (ОМС)
Классы общеобразовательной школы
9
Уровень образовательного стандарта
Федеральный
Характер обучения
Базовое
fcior.edu.ru
Тема урока: Числовые функции, ооф, озф
Тема урока: Числовые функции, ООФ, ОЗФ.Цели урока:
образовательные:
Ввести определение функции, области определения функции, области значений функции;;
закрепить навыки построения графиков линейной, квадратичной функций, обратной пропорциональности .
развивающие:
развивать логическое мышление, математическую речь, вычислительные навыки
анализировать устанавливать причинно-следственные связи;
сравнивать;
выдвигать гипотезы;
переносить знания в новую ситуацию;
математически и графически оформлять результаты деятельности
— расширение кругозора;
воспитывающие:
воспитание познавательного интереса к предмету, формирование умений осуществлять взаимосотрудничество, взаимоконтроль и взаимопомощь.
Ход урока.
1. Орг. момент
2. Мотивация урока.
Сегодняшний урок я хотела начать с философской загадки Вальтера: Что самое быстрое, но и самое медленное, самое большое, но и самое маленькое, самое продолжительное и краткое, самое дорогое, но и дёшево ценимое нами? (время).
Итак, у нас всего 45 минут и мне очень хотелось, чтобы это время пролетело для вас незаметно.
Чтобы легче всем жилось,
Чтоб решалось, чтоб моглось.
Улыбнись, удача всем,
Чтобы не было проблем.
Улыбнулись, ребята, друг другу, создали хорошее настроение и начали работу.
-Посмотрите на первый слайд и скажите, о чём мы будем говорить сегодня? Какова тема урока?
—— Правильно. Функции, а точнее – числовые функции. Запишите число и тему . А ещё о графиках функций. Как бы вы одним словом обозначили график функции?
—Да, это линия.
Поэт: Я более скажу: и нет
На свете ничего важнее,
Чем линия, — любой предмет
Предметом делается с ней.
Беру перо: вмиг создана
Корова росчерком одним,
Я славлю линию! Она
Живое делает живым.
Учитель: Проведем игру «Трое у доски». С каждого ряда по одному выходят и схематично строят графики функции. Эксперты (двое учащихся) подводят итоги игры.
Задания:
y = 2x — 1
y = -x2
y = (х-3) 2
y = —
y =
y =
y = 5 x2+3
y = 3-4х
Слово экспертам.
А что мы знаем о функциях? Какие виды функций вам известны? Чтобы вам было легче вспоминать, я буду показывать графики функций , а вы называть их. (Слайд 2-4)
—А теперь ответьте, знаете вы, что такое функция?
—Да, несмотря на то, что с функцией мы имели дело, начиная с 7-ого класса, определения этого понятия у нас не было до сегодняшнего дня. Значит, задачей этого урока и будет сформулировать определение функции.
— Большинство математический понятий прошли долгий путь развития. Сложный путь прошло и понятие функции. Оно уходит корнями в ту далекую эпоху, когда люди впервые поняли, что окружающие их явления взаимосвязаны. Они знали, чем больше они наловят рыбы, тем дольше племя будет избавлено от голода, чем дольше горит костер, тем теплее. Идея зависимости величин восходит к древней науки. Сам термин «функция» возник лишь в 1664 году в работах немецкого ученого Лейбница, только его ученик Бернулли в 1718 году дал определение функции, свободное от геометрических образов. Леонард Эйлер определяет функцию так: «Величины, зависящие от других так, что с изменением вторых меняются и первые, называется функцией».
».
Обозначая функцию, мы пользуемся знаком f. Этот символ изобрел в 1733 году французский математик Клеро.
Сегодня мы обобщаем и систематизируем знания, связанные с понятием функции.
—Итак, постараемся сформулировать опред. Функции. Какое главное слово вы бы использовали для этого?
—Зависимость между чем и чем? Между переменной х и переменной у. Чтобы точно сформулировать какая же зависимость называется функцией, выполним следующее упражнение.( Слайд )
Итак, функция (числовая функция) – это (Слайд № )
Учитель. А теперь найдите строгое определение функции в учебнике и запишите его.
— В определении фигурирует множество Х. Это множество, из которого берутся значения аргумента х, оно называется областью определения функции и обозначается D((f) D(y) Слайд №. Если при задании функции множество Х не указано, то считается , что область определения функции D(f) естественна, т. е. она состоит из всех значений переменной х, при которых функция имеет смысл.
—Второй стороной понятия «функция» является множество У. из которого берутся значения функции у. Оно называется областью значений функции и обозначается Е(f) или Е(y)
—И конечно же говоря о функциях, мы не можем оставить в стороне понятие графика функции. Слайд №
Теперь мы все наши новые-старые понятия определили. Давайте послушаем как вы их запомнили.
—Чтобы вы немного отдохнули, проведём игру-зарядку.
Я читаю предложение, если вы считаете, что информация верная, то вы встаете, если нет, то сидите. На этом этапе работают эксперты, которые оценивают правильность выполнения задания.
График функции y = x3 + 1 — кубическая парабола
y = -x2 + 3x — квадратичная функция
y = 3 – x2 — линейная функция
4) График функции y = x2 /4 — парабола
5) График функции у= — гипербола
6) D(f) функции y = все действительные числа
7) y = x2 -3x — монотонная функция.
8) D(f) функции y = все действительные положительные числа
y = -5x + 4 — убывающая функция.
А теперь закройте глаза, сосчитайте про себя до пяти, откройте глаза, посмотрите сначала на переносицу , а потом вдаль. И продолжим работу.
Найти область определения функций. Слайд №
Найти область значений функции . Слайд №
Групповая работа. Построить графики указанных функций.
Поэт: Дана лишь минута любому из нас,
Но если минутой кончается час —
Двенадцатый час, открывающий год,
Который в другое столетье ведет, —
Пусть эта минута, как все, коротка,
Она, пробегая, смыкает века.
Учитель: Воспользуйтесь минутами и докажите, что эта тема вами хорошо понята.
Постройте графики функции и опишите свойства одной из функций. Из предложенных функций в каждом номере выберете только одну (учащиеся выполняют задание на листах, где построены восемь декартовых координат).
y = 3, y = 2x — 3, y = -x – 4
y = x2 – 3, y = x2 + 2, y = (x – 4)2
y = -2x2, y = 2/x/, y = , y = 2
y = 3x2 – 6x, y = x2 – 2x – 3, y = -x2 + 3x + 4
y = , y = —
y = x-2, y = x-3
4 — 2x2, если -1
y = y = x2, если 0
x + 1, если 1
8) по свойствам построить график:
8.1) D(f) =[-6; 5]
8.2) E(f) = [0; 7]
8.3) Функция ни четная, ни нечетная
8.4) Нули функции: х = 0
8.5) Функция убывает при х € [-6; 0], возрастает при х € [0; 5]
8.6) Функция ограничена и снизу и сверху
8.7) Вогнута вниз при х € [-6; 0]
8.8) y наим = 0, при х = 0
y наиб = 7, при х = 5
Учитель: «Прикладное значение понятия функции огромно. В нем, как в «зародыше», уже заложена вся идея овладения явлениями природы и процессами техники с помощью математического аппарата», — писал советский математик А..Я. Хинчин.
На дом даю задание: провести исследовательскую работу по теме «Числовые функции в различных областях и сделать небольшие презентации на эту тему. (5-6 слайдов)
Кроме этого прочитать по учебнику парагр. 9 и выучить определения функции .ООФ, ОЗФ. ГРАФИКА ФУНКЦИИ, ВЫПОЛНИТЬ УПРАЖНЕНИЯ №№
Рефлексия.
5-bal.ru