Исследование функции и построение графика функции 10 класс – Урок 10 класс на тему «Исследование графиков функций»

Конспект урока по алгебре «Применение производной к исследованию функций и построению графика функции», 10 класс

План-конспект урока «Применение производной к исследованию функций и построению графика функции»

Образовательные цели:

-Научить применять производную к исследованию функции

— Научить строить график функции на основе проведённого исследования.

— систематизировать и совершенствовать знания, умения и навыки учащихся при решении задач;

2. Развивающие цели:

— формирование активного, самостоятельного творческого мышления;

— наблюдательности, сообразительности, инициативы;

— умения анализировать, сравнивать и обобщать;

— учить проводить рассуждения, используя математическую речь;

3. Воспитательные цели:

— формирование нравственных качеств личности: аккуратности, дисциплинированности, трудолюбия, ответственности, креативности, требовательности к себе, любознательности.

Оборудование: компьютер, презентация, интерактивная доска, программа

Ход урока:

I этап: Организационный

II этап: Подготовительный

Устная работа

1. Найдите производную функции: (Слайд 1, 2):

а) sin x
б) tg х
в) х2 + 2
г) х4
д)
е) ех+2

2. Найдите промежутки возрастания и убывания функции, точки экстремума (Слайд 3):

III этап: Решение задач

Тема нашего занятия – «Исследование функции и построение графиков с помощью производной».

Цель урока – научиться строить график функции, применяя производную для исследования функции.

-Одним из важнейших этапов построения графика функции является определение экстремумов функции и как вы знаете это удобно делать с помощью производной.

Задание1: исследовать на наличие экстремумов функцию f(x)=и построить эскиз её графика.

1. .

2.

3.

4. при х=0, х=2, х=-2

5. Точки пересечения с осями координат (-3;0), (3;0)

Наносим полученные точки на координатную плоскость. Возникает проблема: какой линией соединить имеющиеся точки графика, чтобы она более точно передавала свойства заданной функции? Предлагаем 4 варианта соединения точек. Какой из них верный? (Слайд 4) Ответить на вопрос, можно вспомнив, что во всех найденных точках экстремумов производная равна нулю. Значит, касательные к графику функции в этих точках должны быть параллельны оси
ОХ
. Это возможно только на рисунке 4. Таким образом, линия представленная на рисунке 4 наиболее точно отражает свойства заданной функции. Вывод: при построении графика при помощи исследования функции с помощью производной нужно использовать не только координаты точек экстремума, но и всю аналитически найденную информацию.

Задание2. Глядя на данную таблицу, постройте схематично график функции (слайд 5).

Задание3. По графику самостоятельно заполнить таблицу (слайд 6)

Задание4. Построить графики функций на компьютере и определить по графику их точки экстремума

( слайд 7)

а) ;

б)

При определении точек экстремума возникла проблема: для функции б) найти точки экстремума с помощью построения графика на компьютере можно точно, а для функции а) – лишь приближённо. а) ;

б)

Разрешить проблему можно, применяя аналитический метод. Найдем точки экстремума предложенных функций, используя производную (учащиеся приводят аналитическое решение проблемы)

а) ;

б)

Вывод: аналитический способ нахождения точек экстремума более совершенный по сравнению с графическим.

IV этап: Итог урока.

Какие выводы мы сделали сегодня на уроке:

  • для уточнения графика, важно использовать все этапы исследования функции

  • аналитический способ нахождения точек экстремума более совершенный по сравнению с графическим

  • при построении графика при помощи исследования функции с помощью производной нужно использовать всю аналитически найденную информацию

Проведём блиц-тест (на компьютере)

VI этап: Домашнее задание.

Исследуйте функции, на основе проведённого исследования постройте графики этой функции в тетради, а на следующем занятии проверьте построение графика с помощью компьютера.

infourok.ru

Методическая разработка по математике (10 класс) на тему: Урок по теме: «Исследование функций и построение графиков с помощью производной».

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Исследование функции и построение графиков с применением производной

Цел       Цель урока: Выявить уровень овладения учащимися комплексом знаний и умений по исследованию функции и ликвидировать пробелы в знаниях в соответствии с…

Административный контроль Алгебра 9 класс Тема: «Исследование функции и построение графика функции»

Пояснительная записка    Данная проверочная работа  предназначена для подготовки выпускников 9-ых классов МБОУ СОШ № 35 г.о. Самара к экзаменационной работе по математике в новой ф…

Открытый урок по теме:»Линейная функция и её график.График функции у=IхI.

Открытый урок по теме:»Линейная функция и её график.График функции у=IхI.»содержит следующие материалы:1)Описание открытого урока.2)Презентацию №1 для 1 этапа урока,созданную учителем,3)Презентацию №2…

Открытый урок по теме:»Линейная функция и её график.График функции у=IхI.

Открытый урок по теме:»Линейная функция и её график.График функции у=IхI.»содержит следующие материалы:1)Описание открытого урока.2)Презентацию №1 для 1 этапа урока,созданную учителем,3)Презентацию №2…

Открытый урок по теме «Исследование функций и построение графиков»

Исследование функций и построение графиков является завершение изучения раздела «Дифференциальное исчисление» и включает в себя комплекс изученных понятий….

Индивидуальные задания по алгебре для 10 класса на тему «Исследование функции и построение графика»

Задания на исследование функций и построение их графиков…

Методическая разработка по теме: Исследование функции и построение графика функции.

Методическая разработка — конспект урока по теме: Исследование функции с помощью производной и построение графика функции.  Урок построен в форме игры., в ходе которой проверяются знания по …

nsportal.ru

Исследование функции, ее график, сопутствующие задачи на примере функции f(x)=3×5-5×3+2. Задача с параметром

Тема: Производная

Урок: Исследование функций; сопутствующие задачи

На этом занятии будет продолжена тема исследование функции с помощью производной. На предыдущем уроке была подробно рассмотрена функция . Выяснили, что эта функция допускает подробное исследование с помощью производной. Была найдена производная, интервалы знакопостоянства, промежутки монотонности функции, точки экстремума.

Найти множество значений функции.

.

В связи с этим – типовая задача.

1. Дано: .  При каких значениях параметра , данное уравнение имеет хотя бы одно решение?

Методика решения подобных задач.

Построить график функции из левой части ( построили на предыдущем уроке). Поскольку множество значений функции любое действительное число. Это означает, что при любом , хотя бы один корень есть.

Ответ: при  уравнение имеет хотя бы одно решение.

Найти , при которых нет решений у данного уравнения.

Ответ : нет таких .

2. Дано: . Найти число корней уравнения, в зависимости от параметра .

Решение.

Мы не можем точно найти корень, даже если . Методика решения состоит в следующем.

1) Построить график функции  (см. рис.1).

Рис. 1. График функции .

2) Рассечь график функции семейством прямых  (см. рис.2).

3) Найти точки пересечения (их число) и выписать ответ.

Рис. 2. График функции  и прямые .

Ответ:

1) при любом , уравнение  имеет одно решение. Можем охарактеризовать, где лежит это решение: .

2) При  — уравнение имеет два решения.

3) При  — уравнение имеет три различных корня.

4) Если , то уравнение имеет два решения.

5) При любом  — уравнение имеет единственное решение. 

1. Найти наибольшее значение параметра , при которых уравнение  имеет два различных решения.

Два различных решения имеем при  и при .

Ответ: таким образом, наибольшее значение параметра  при котором уравнение имеет два различных решения .

2. Найти число значений параметра , при каждом из которых уравнение  имеет ровно два различных решения.

Решение.

Таких параметров – два. При  и при  уравнение имеет два решения .

Ответ: 2.

3. Найти все значения параметра , при которых уравнение  имеет ровно три различных решения.

Решение.

В общей задаче, где мы перебрали все  и для каждого дали ответ, есть ответ на поставленную задачу. Три решения есть, когда  меняется от нуля до четырех.

Ответ: .

4. Найти натуральные значения параметра , при которых уравнение имеет три различных решения.

Эта задача отличается от предыдущей тем, что среди промежутка  выбрать натуральные значения . Итак, при ,  при  и при  — натуральных числах, уравнение имеет три различных корня.

Ответ: , , .

Итак, на уроке была рассмотрена методика построения графика функции пятой степени с помощью производной. Были найдены промежутки монотонности функции, точки максимума и точки минимума функции. Также были рассмотрены сопутствующие задачи. Наиболее сложная из них такова: дано уравнение , найти число решений уравнения с параметром . На уроке сформулирована методика решения такой задачи. Главным в такой задаче – построение графика функции  с помощью производной. Потом этот график нужно рассекать семейством прямых , при разных , и считывать ответ.

 

Список рекомендованной литературы

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.

4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.

5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.

6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.

7. ЗвавичЛ.И., Шляпочник Л.Я., Чинкина Алгебра и начала анализа. 8-11 кл.: Пособие для школ и классов с углубленным изучением математики (дидактические материалы).-М.: Дрофа, 2002.

8. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.

9. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.

10. Глейзер Г.И. История математики в школе. 9-10 классы (пособие для учителей).-М.: Просвещение, 1983

 

Дополнительные веб-ресурсы

1. Интернет-портал Mathematics.ru (Источник). 

2. Портал Естественных Наук (Источник). 

3. Интернет-портал Exponenta.ru (Источник).

 

Сделай дома

№45.11 (б), 45.12 (б) ( Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.)

interneturok.ru

10 класс. Алгебра. Производная. Применение производной к исследованию функции. — Исследование функции и построение графика

Комментарии преподавателя

Построение графика произвольной функции может быть как отдельной задачей, так и вспомогательной — например, при решении уравнений графическим способом, или при решении задач с параметрами.

Алгоритм исследования функции  и построения ее графика таков:

 

1. Находим область определения (D(f)) функции .

2. Если область определения функции симметрична относительно нуля (то есть для любого значения  из D(f) значение  также принадлежит области определения, то проверяем функцию на четность.

Если , то функция четная. (Примером четной функции является функция )

Для нас важно, что график четной функции симметричен относительно оси OY.

Если , то функция нечетная. (Примером нечетной функции является функция )

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Если функция является четной или нечетной, то мы можем построить часть ее графика для ,  а затем соответствующим образом отразить ее.

3. Находим точки пересечения графика с осями координат.

Находим нули функции — это точки пересечения графика функции  с осью абсцисс (OX).

Для этого мы решаем уравнение .

Корни этого уравнения являются абсциссами точек пересечения графика функции с осью ОХ.

Находим точку пересечения графика функции  с осью ординат (OY). Для этого ищем значение функции при .

4. Находим промежутки знакопостоянства функции, то есть промежутки, на которых функция  сохраняет знак. Это нам потребуется для контроля правильности построения графика.

Чтобы найти промежутки знакопостоянства функции , нам нужно решить неравенства  и .

5. Находим асимптоты графика функции.

6. Если функция периодическая, то находим период функции.

7. Исследуем функцию с помощью производной: находим промежутки возрастания и убывания функции, а также точки максимума и минимума.

Для этого мы следуем привычному алгоритму.

а) Находим производную 

б) Приравниваем производную к нулю и находим корни уравнения  — это стационарные точки.

в) Находим промежутки знакопостоянства производной. Промежутки, на которыхпроизводная положительна, являются промежутками возрастания функции.

Промежутки, на которых производная отрицательна, являются промежутками убыванияфункции.

Точки, в которых производная меняет знак с плюса на минус, являются точками максимума.

Точки, в которых производная меняет знак с минуса на плюс, являются точками минимума.

8. И последний номер наше программы — точки перегибы и промежутки выпуклости и вогнутости.

Подробнее о том, как находить точки перегиба и промежутки выпуклости и вогнутости читайте здесь.

Итак, давайте, для примера, исследуем функцию  и построим ее график.

1. Найдем D(y).

Сразу отметим, что при  знаменатель дроби равен нулю, следовательно, прямые  и  являются вертикальными асимптотами графика функции .

2. Исследуем функцию на четность. Область определения функции симметрична относительна нуля (мы выкололи две симметричные точки:  и )

Получили, что , следовательно, функция  — нечетная, и график функции симметричен относительно начала координат.

3. Найдем точки пересечения с осями координат.

а) Точки пересечения с осью ОХ (y=0)

б) Точка пересечения с осью ОY (x=0)

www.kursoteka.ru

Презентация на тему Исследование функции и построение графика (10 класс)

Презентацию на тему Исследование функции и построение графика (10 класс) можно скачать абсолютно бесплатно на нашем сайте. Предмет презентации : Математика. Красочные слайды и илюстрации помогут вам заинтересовать своих одноклассников или аудиторию. Для просмотра содержимого презентации воспользуйтесь плеером, или если вы хотите скачать презентацию — нажмите на соответствующий текст под плеером. Презентация содержит 40 слайдов.

Слайд 1

Исследование функции и построение графика.

Урок алгебры в 10 классе

Слайд 2

ЕГЭ — 2014 Ответ: 3

Слайд 3

Ответ: -0,25

Слайд 4

Ответ: 7

Слайд 5

Ответ: 2

Слайд 6

Слайд 7

Ответ: 9

Слайд 8

Ответ: 0

Слайд 9

Ответ: -2

Слайд 10

Ответ: 5

Слайд 11

Ответ: 4

Слайд 12

Ответ: -3

Слайд 13

Слайд 14

Ответ: -12

Слайд 15

Слайд 16

Исследование функции

Слайд 17

1. Область определения функции

Слайд 18

2. Четность и нечетность функции Условие четности: f(-x)=f(x) Условие нечетности: f(-x)=-f(x)

Слайд 19

Четные и нечетные функции

Слайд 20

3. Асимптоты

Слайд 21

Слайд 22

Асимптоты

Слайд 23

4. Найдем: Стационарные и критические точки. Промежутки монотонности. Экстремумы функции Значения функции в точках экстремума

Слайд 24

5. Точки пересечения с осями координат.

Слайд 25

6. Дополнительные точки.

Слайд 26

7. Построение графика функции

Слайд 27

исследование функции

Область определения Чётность и нечётность функции Асимптоты Производная Стационарные точки Критические точки Промежутки монотонности Экстремумы функции Значения функции в точках экстремумов Точки пересечения с осями координат Дополнительные точки Построение графика функции.

Слайд 28

Закрепление:

В классе: §35, №895(в)

Слайд 29

Домашнее задание: §35, №927

Слайд 30

Слайд 31

Слайд 32

1. Найдите область определения функции

Слайд 33

2. Исследуйте на четность и нечетность

Слайд 34

Слайд 35

Слайд 36

3. Исследуйте на асимптоты

Слайд 37

Слайд 38

Найдите точки пересечения с осями координат

Слайд 39

В классе: §35, №893(Г) Дополнительно: №897(в)

Слайд 40

§35, №893(а), Дополнительно: №897(а)

prezentacii.org

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.