Как найти в геометрической прогрессии сумму – Геометрическая прогрессия

Содержание

Геометрическая прогрессия, сумма геометрической прогрессии

Определение: Геометрическая прогрессия — числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число, не равное нулю.

Определения: Знаменатель геометрической прогрессии — постоянное для последовательности число , которое умножают на каждый член.

— геометрическая прогрессия,

— геометрическая прогрессия,

геометрическая прогрессия

 

знаменатель геометрической прогрессии

Характеристические свойства геометрической прогрессии

 

 

Свойством: Квадрат любого члена геометрической прогрессии (начиная со второго члена) равен произведению предыдущего и последующего членов и наоборот, если выполняется указанное властивіть, то последовательность будет геометрической прогрессией.

Формулы n-ого члена геометрической прогрессии

 

 

Формулы суммы n первых членов геометрической прогрессии

 

План решению задач на геометрические прогрессии

  1. Все, о чем говорится в речи задачи (члены прогрессе, их суммы и т. д), выражаем через первый член и разность прогрессии.
  2. Составляем уравнение (или систему уравнений) по условию задачи. В случае, когда в задачи происходит переход от геометрической прогрессии к арифметической прогрессии и наоборот, для составления уравнений обычно используют характеристические свойства прогрессий.

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Определение: Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия — это бесконечная геометрическая прогрессия, знаменатель которой по модулю меньше единицы .

 

Пример

Определение: Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии — предел, к которому стремится сумма ее первых членов, при бесконечном росте .

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Формула для вычисления суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример нахождения суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Преобразование периодической десятичной дроби в обычный

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(как сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом и знаменателем )

 

 

 

 

 

 

 

cubens.com

Внеклассный урок — Геометрическая прогрессия

Геометрическая прогрессия

 

Геометрическая прогрессия – это такая последовательность отличных от нуля чисел, которая получается в результате умножения каждого последующего члена на одно и то же число, не равное нулю.

Пример геометрической прогрессии: 2, 6, 18, 54, 162.

Здесь каждый член после первого в 3 раза больше предыдущего. То есть каждый последующий член является результатом умножения предыдущего члена на 3:

2 · 3 = 6

6 · 3 = 18

18 · 3 = 54

54 · 3 = 162.

 

Знаменатель геометрической прогрессии.

Знаменатель геометрической прогрессии – это число, равное отношению второго и любого последующего члена к предыдущему члену прогрессии. Ее обычно обозначают буквой q.

В нашем примере при делении второго члена на первый, третьего на второй и т.д. мы получаем 3. Число 3 и является знаменателем данной геометрической прогрессии.

 

Свойства геометрической прогрессии:

1) Квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению двух соседних членов, стоящих перед ним и после него:

bn2 = bn-1 · bn+1

 

2) Верно и обратное утверждение: если в последовательности чисел квадрат любого ее члена, начиная со второго, равен произведению двух соседних членов, стоящих перед ним и после него, то эта последовательность является геометрической прогрессией:

Пример:
Вернемся к нашей геометрической прогрессии 2, 6, 18, 54, 162. Возьмем четвертый член и возведем его в квадрат:

542 = 2916.

Теперь перемножим члены, стоящие слева и справа от числа 54:

18 · 162 = 2916.

Как видим, квадрат третьего члена равен произведению соседних второго и четвертого членов.

 

Как найти определенный член геометрической прогрессии.

Чтобы найти n-й член геометрической прогрессии, следует применить формулу:

bn = b1· qn – 1

Пример 1: Возьмем некую геометрическую прогрессию, в которой первый член равен 2, а знаменатель геометрической прогрессии равен 1,5. Надо найти 4-й член этой прогрессии.

Дано:
b1 = 2
q = 1,5
n = 4
————
b4 — ?

Решение.
Применяем формулу bn = b1 · qn – 1, вставляя в нее соответствующие значения:

b4 = 2 · 1,54 – 1 = 2 · 1,53 = 2 · 3,375 = 6,75.

Ответ: Четвертый член заданной геометрической прогрессии – число 6,75.

 

Пример 2: Найдем пятый член геометрической прогрессии, если первый и третий члены равны соответственно 12 и 192.

Дано:
b1 = 12
b3 = 192
————
b5 — ?

Решение.

1) Сначала нам надо найти знаменатель геометрической прогрессии, без которой решить задачу невозможно. В качестве первого шага с помощью нашей формулы выводим формулу для b3:

b3 = b1 · q3 – 1 = b1 · q2

Теперь мы можем найти знаменатель геометрической прогрессии:

           b3       192
q2 = —— = —— = 16
          

b1        12

q = √16 = 4 или –4.

2) Осталось найти значение b5.

Если q = 4, то

b5 = b1q5-1 = 12 · 44 = 12 · 256 = 3072.

При q = –4 результат будет тот же. Таким образом, задача имеет одно решение.

Ответ: Пятый член заданной геометрической прогрессии – это число 3072.

 

Как найти сумму первых n членов геометрической прогрессии.

При q ≠ 1 сумму любого количества первых членов геометрической прогрессии можно найти с помощью одной из следующих формул:

                                                                           bnq – b1
                                                                 

Sn = ————
                                                                              q – 1

                                                                            b1 (qn – 1)
                                                                   Sn = —————
                                                                                q – 1

Если q = 1, то все члены прогрессии просто равны первому члену:

                                                                              Sn = nb1

 

Пример: Найдем сумму первых пяти членов геометрической прогрессии (bn), в которой первый член равен 2, а знаменатель геометрической прогрессии 3.

Дано:

b1 = 2

q = 3

n = 5
————
S5

– ?

Решение.

Применяем вторую формулу из двух приведенных выше:

          b1 (q5 – 1)        2 (35 – 1)             2 · (243 – 1)                  484
S5 = ————— = ————— = ———————— = ————— = 242
              q – 1                3 – 1                        2                              2

Ответ: Сумма первых пяти членов заданной геометрической прогрессии равна 242.

 

Сумма бесконечной геометрической прогрессии.

Следует различать понятия «сумма бесконечной геометрической прогрессии» и «сумма n членов геометрической прогрессии». Второе понятие относится к любой геометрической прогрессии, а первое – только к такой, где знаменатель меньше 1 по модулю.

Сумма бесконечной геометрической прогрессии – это предельное число, к которому сходится последовательность прогрессии.

Говоря иначе, какой бы длинной не была геометрическая прогрессия, сумма ее членов не больше какого-то определенного числа и практически равна этому числу. Оно и называется суммой геометрической прогрессии.

Не любая геометрическая прогрессия имеет такую предельную сумму. Она может быть только у такой прогрессии, знаменатель которой – дробное число меньше 1.

 

Пример-пояснение:

Составим геометрическую прогрессию, в которой первый член – число 2, а знаметатель равен 1/2:

2, 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64 и т.д.

Сложим все полученные члены прогрессии:

2 + 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 = 255/64 ≈ 3,98 ≈ 4.

Можно продолжить прогрессию до 10, 100, миллиона членов, но во всех случаях сумма членов прогрессии будет практически равна 4. Число 4 и является суммой данной геометрической прогрессии.

Чтобы найти сумму бесконечной геометрической прогрессии, не надо складывать все ее члены. Для этого существует замечательная и довольно простая формула.

 

Сумма S геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

                                                                                   b1
                                                                       S = ————
                                                                                 1 – q


b1 – первый член геометрической прогрессии; q – знаменатель прогрессии; |q| < 1.

 

Решим наш пример с помощью этой формулы.

В нем b1 = 2, q = 1/2. Итак:

               2                    2
S  =  ————  =  ———— = 4.
          1 – 1/2               1/2


Пример решен.

raal100.narod.ru

Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии + примеры

 

Геометрическая прогрессия — это числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый следующий член равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же не равное нулю число.

Геометрическая прогрессия обозначается b1,b2,b3, …, bn, … .

Отношение любого члена геометрической погрешности к её предыдущему члену равно одному и тому же числу, то есть b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = … = bn/b(n-1) = b(n+1)/bn = … . Это следует непосредственно из определения арифметической прогрессии. Это число называют знаменателем геометрической прогрессии. Обычно знаменатель геометрической прогрессии обозначают буквой q.

Монотонная и постоянная последовательность

Одним из способов задания геометрической прогрессии является задание её первого члена b1 и знаменателя геометрической погрешности q. Например, b1=4, q=-2. Эти два условия задают геометрическую прогрессию 4, -8, 16, -32, … .

Если q>0 (q не равно 1), то прогрессия является монотонной последовательностью. Например, последовательность, 2, 4,8,16,32, … является монотонно возрастающей последовательностью (b1=2, q=2).

Если в геометрической погрешности знаменатель q=1, то все члены геометрической прогрессии будут равны между собой. В таких случаях говорят, что прогрессия является постоянной последовательностью.

Формула n-ого члена геометрической прогрессии

Для того, чтобы числовая последовательность (bn) являлась геометрической прогрессией необходимо, чтобы каждый её член, начиная со второго, являлся средним геометрическим соседних членов. То есть необходимо выполнение следующего уравнения
(b(n+1))^2 = bn * b(n+2),для любого n>0, где n принадлежит множеству натуральных чисел N.

Формула n-ого члена геометрической прогрессии имеет вид:

bn=b1*q^(n-1),

где n принадлежит множеству натуральных чисел N.

Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии

Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии имеет вид:

Sn = (bn*q – b1)/(q-1), где q не равно 1.

Рассмотрим простой пример:

В геометрической прогрессии b1=6, q=3, n=8 найти Sn.

Для нахождения S8 воспользуемся формулой суммы n первых членов геометрической прогрессии.

S8= (6*(3^8 -1))/(3-1) = 19 680.

Нужна помощь в учебе?



Предыдущая тема: Определение геометрической прогрессии: формула n-го члена прогрессии
Следующая тема:&nbsp&nbsp&nbspСумма бесконечной геометрической прогрессии при |q|

Все неприличные комментарии будут удаляться.

www.nado5.ru

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *