Как решить уравнение модуль в модуле – Как решать уравнения с модулем

Модуль в модуле

Среди примеров на модули часто встречаются уравнения где нужно найти корни модуля в модуле, то есть уравнение вида
||a*x-b|-c|=k*x+m.
Если k=0, то есть правая сторона равна постоянной (m) то проще искать решение уравнения с модулями графически. Ниже приведена методика раскрытия двойных модулей на распространенных для практики примерах. Хорошо разберите алгоритм вычисления уравнений с модулями, чтобы не иметь проблем на контрольных, тестах, и просто, чтобы знать.

Пример 1. Решить уравнение модуль в модуле |3|x|-5|=-2x-2.
Решение: Всегда начинают раскрывать уравнения с внутреннего модуля
|x|=0 <-> x=0.
В точке x=0 уравнения с модулем разделяется на 2.
При x < 0 подмодульная функция отрицательная, поэтому при раскрытии знак меняем на противоположный
|-3x-5|=-2x-2.
При x>0 или равно, раскрывая модуль получим
|3x-5|=-2x-2.
Решим уравнение для отрицательных переменных (x < 0). Оно разлагается на две системы уравнений. Первое уравнение получаем из условия, что функция после знака равенства неотрицательна. Второе — раскрывая модуль в одной системе принимаем, что подмодульная функция положительная, в иной отрицательная — меняем знак правой или левой части (зависит от методики преподавания).

Из первого уравнения получим что решение не должно превышать (-1), т.е.

Это ограничение полностью принадлежит области в которой решаем. Перенесем переменные и постоянные по разные стороны равенства в первой и второй системе

и найдем решение


Оба значения принадлежат промежутку что рассматривается, то есть являются корнями.
Рассмотрим уравнение с модулями при положительных переменных
|3x-5|=-2x-2.
Раскрывая модуль получим две системы уравнений

Из первого уравнения, которое является общим для двух сиcтем, получим знакомое условие

которое в пересечении с множеством, на котором ищем решение дает пустое множество (нет точек пересечения). Итак единственными корнями модуля с модулем являются значения
x=-3; x=-1,4.

 

Пример 2. Решить уравнение с модулем ||x-1|-2|=3x-4.
Решение: Начнем с раскрытия внутреннего модуля
|x-1|=0 <=> x=1.
Подмодульная функция меняет знак в единице. При меньших значениях она отрицательная, при больших — положительная. В соответствии с этим при раскрытии внутреннего модуля получим два уравнения с модулем
x |-(x-1)-2|=3x-4;
x>=1 -> |x-1-2|=3x-4.
Обязательно проверяем правую сторону уравнения с модулем, она должна быть больше нуля.
3x-4>=0 -> x>=4/3.
Это означает, что первое из уравнений нет необхидноcти решать, поcкольку оно выпиcано для x< 1,что не соответствует найденному условию. Раскроем модуль во втором уравнении
|x-3|=3x-4 ->
x-3=3x-4 или x-3=4-3x;
4-3=3x-x или x+3x=4+3;
2x=1 или 4x=7;
x=1/2 или x=7/4.
Получили два значения, первое из которых отвергаем, поскольку не принадлежит нужному интервалу. Окончательно уравнение имеет одно решение x=7/4.

 

Пример 3. Решить уравнение с модулем ||2x-5|-1|=x+3.
Решение: Раскроем внутренний модуль
|2x-5|=0 <=> x=5/2=2,5.
Точка x=2,5 разбивает числовую ось на два интервала. Соответственно, подмодульная функция меняет знак при переходе через 2,5. Выпишем условие на решение с правой стороны уравнения с модулем.
x+3>=0 -> x>=-3.
Итак решением могут быть значения, не меньше (-3). Раскроем модуль для отрицательного значения внутреннего модуля
|-(2x-5)-1|=x+3;
|-2x+4|=x+3.
Этот модуль также при раскрытии даст 2 уравнения
-2x+4=x+3 или 2x-4=x+3;
2x+x=4-3 или 2x-x=3+4;
3x=1; x=1/3 или x=7.
Значение x=7 отвергаем, поскольку мы искали решение на промежутке [-3;2,5]. Теперь раскрываем внутренний модуль для x>2,5. Получим уравнение с одним модулем
|2x-5-1|=x+3;
|2x-6|=x+3.
При раскрытии модуля получим следующие линейные уравнения
-2x+6=x+3 или 2x-6=x+3;
2x+x=6-3 или 2x-x=3+6;
3x=3; x=1 или x=9.
Первое значение x=1 не удовлетворяет условие x>2,5. Так что на этом интервале имеем один корень уравнения с модулем x=9, а всего их два (x=1/3).Подстановкой можно проверять правильность выполненных вычислений
Ответ: x=1/3; x=9.

 

Пример 4. Найти решения двойного модуля ||3x-1|-5|=2x-3.
Решение: Раскроем внутренний модуль уравнения
|3x-1|=0 <=> x=1/3.
Точка x=2,5 делит числовую ось на два интервала, а заданное уравнение на два случая. Записываем условие на решение, исходя из вида уравнения с правой стороны
2x-3>=0 -> x>=3/2=1,5.
Отсюда следует, что нас интересуют значения >=1,5. Таким образом модульное уравнения рассматриваем на двух интервалах
[1,5; 2,5], [2,5; +бесконечность).
Раскроем модуль при отрицательных значениях внутреннего модуля [1,5; 2,5]
|-(3x-1)-5|=2x-3;
|-3x-4|=2x-3.
Полученный модуль при раскрытии делится на 2 уравнения
-3x-4=2x-3 или 3x+4=2x-3;
2x+3x=-4+3 или 3x-2x=-3-4;
5x=-1; x=-1/5 или x=-7.
Оба значения не попадают в промежуток [1,5; 2,5], то есть не являются решениями уравнения с модулями. Далее раскроем модуль для x>2,5. Получим следующее уравнение
|3x-1-5|=2x-3;
|3x-6|=2x-3.
Раскрывая модуль, получим 2 линейные уравнения
3x-6=2x-3 или –(3x-6)=2x-3;
3x-2x=-3+6 или 2x+3x=6+3;
x=3 или 5x=9; x=9/5=1,8.
Второе значение из найденных не соответствует условию x>2,5, его мы отвергаем.
Наконец имеем один корень уравнения с модулями x=3.
Выполняем проверку
||3*3-1|-5|=2*3-3 3=3.
Корень уравнения с модулем вычислено правильно.
Ответ: x=1/3; x=9.

Примеров с модулями где есть один или несколько вложенных модулей в интернете или методичке можно найти немало. Схема их вычислений ничем не отличается от приведенной выше. Для проверки знаний прошу решить следующие задачи.

Равнение на модуль в модуле:

• ||3x-3|-2|=5-2x;
• ||5x-3|-3|=3x-1;
• ||2x-7|-4|=x-2;
• ||5x-4|-8|=x+4;
• ||2x-2|-3|=1;
• ||x-2|-3|=4-x.

Похожие материалы:

yukhym.com

Уравнения с модулем: учет области значений

23 мая 2014

Очень часто в уравнениях под знаком модуля стоят довольно сложные конструкции, которые было бы крайне затруднительно раскрывать, а затем решать «напролом». Для таких случаев существует множество приемов и замечаний, позволяющих значительно ускорить вычисления.

Одним из таких приемов является учет области значений модуля (учителя называют это решение методом следствий). Суть его можно описать одним простым предложением: «Сумма неотрицательных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из этих чисел равно нулю».

Сегодня мы продолжаем изучать конструкции, содержащие знак модуля функции и переходим уже к более сложным конструкциям, когда ихдва, либо само уравнение содержит нестандартную функцию.

Немного теории

Для начала вспомним определение модуля: модулем числа $x$ называется либо само это число (при условии, что оно неотрицательное), либо минус это число, если оно отрицательно:

\[\left| x \right|=\left\{ \begin{align}& x,x\ge 0 \\& -x,x<0 \\\end{align} \right.\]

Данная запись является алгебраическим определением, потому что здесь используется только алгебраическая терминология и никак не привлекается геометрия. И именно это определение позволяет нам заключить следующий факт: модуль числа всегда неотрицателен:

\[\left| x \right|\ge 0\]

Именно поэтому его иногда еще называют абсолютным значением, т.е. расстоянием от 0 до этого числа на числовой прямой. И именно тот факт, что модуль функции всегда является неотрицательным числом, позволяет решить целый класс задач, которые иначе решались бы весьма проблематично.

Решаем реальные задачи

Пример № 1

\[\left| x-{{x}^{3}} \right|+\left| {{x}^{2}}+x-2 \right|=0\]

Чтобы решить такое выражение, давайте для начала вспомним, как решается простейшая конструкция с модулем, т.е уравнение вида $\left| f \right|=g$.

Решаются она довольно просто. Рассматривается два случая: в первом случае $f$ неотрицательно — в этом случае модуль функции снимается без всяких изменений и получается, что $f$ равно $g$. А во втором случае $f$ отрицательно — в этом случае модуль раскрывается со знаком «минус», как мы уже знаем из определения. Запишем совокупность систем:

\[\left| f \right|=g=>\left[ \begin{align}& \left\{ \begin{align}& f\ge 0 \\& f=g \\\end{align} \right. \\& \left\{ \begin{align}& f<0 \\& -f=g \\\end{align} \right. \\\end{align} \right.\]

Но все это работает только при условии, что модуль функции в выражении один, а у нас сегодня сразу два. Что делать в такой ситуации?

Давайте заметим, что при сложении двух модулей возникает выражение, значение которого 0. Но, с другой стороны, мы можем записать следующее:

\[\left| x-{{x}^{3}} \right|\ge 0\]

\[\left| {{x}^{2}}+x-2 \right|\ge 0\]

В этом случае сумма вышеописанных двух элементов также будет давать некое число (назовем его $k$), которое больше или равняется 0. При этом от нас требуется, чтобы оно строго равнялось 0. А это значит, что нас устроит только тот вариант, когда каждый из модулей равен 0, т.е. мы можем записать:

\[\left| x-{{x}^{3}} \right|=0\]

\[\left| {{x}^{2}}+x-2 \right|=0\]

Другими словами, сумма двух чисел, каждое из которых не меньше 0, дает в сумме ноль только в том случае, когда каждое из них равняется 0, т.е. требования должны выполняться одновременно. Поэтому запишем систему:

\[\left\{ \begin{align}& \left| x-{{x}^{3}} \right|=0 \\& \left| {{x}^{2}}+x-2 \right|=0 \\\end{align} \right.\]

Модуль функции равен 0, когда подмодульное выражение равно 0, т.е:

\[\left\{ \begin{align}& x-{{x}^{3}}=0 \\& {{x}^{2}}+x-2=0 \\\end{align} \right.\]

Давайте решим каждое из полученных выражений отдельно. Решаем первое:

\[x\left( {{1}^{2}}-{{x}^{2}} \right)=0\]

\[x\left( 1-x \right)\left( 1+x \right)=0\]

\[{{x}_{1}}=0\]

\[{{x}_{2}}=1\]

\[{{x}_{3}}=-1\]

При трех таких значениях тождество обнуляется.

Теперь разберемся со вторым выражением. Будем решать его при помощи формулы Виета:

\[{{x}^{2}}+x-2=0\]

\[\left( x+2 \right)\left( x-1 \right)=0\]

\[{{x}_{1}}=-2\]

\[x=1\]

А теперь вспоминаем, что мы решаем систему уравнений, т.е. нужно из первого и из второго наборов выбрать корни, которые принадлежат каждому из этих наборов. Очевидно, что такой корень только один — $x=1$.

Итого решением первого выражения является единственный корень $x=1$.

Как видите, такое решение оказалось существенно проще стандартного подхода. Здесь достаточно просто заметить,что сумма двух неотрицательных чисел равняется 0 только тогда, когда каждое из этих чисел имеет значение 0.

Пример № 2

Переходим ко второй конструкции:

\[\left| x-2 \right|=-{{x}^{6}}\]

На первый взгляд, можно сказать, что данная конструкция является простейшим уравнением. И, строго говоря, оно хорошо решается по выше записанной формуле, т.е. переходом от выражения с модулем функции к совокупности двух систем. Однако нас смущает степенная функция — степень слишком большая. Поэтому давайте заметим, что функция $f\left( x \right)={{x}^{6}}$ является не просто четной, но и еще неотрицательной на всей числовой оси. А это значит, что $-{{x}^{6}}$ всегда будет либо отрицательной, либо равняться 0. Однако с другой стороны от знака равенства у нас стоит модуль функции — а он всегда неотрицателен. Это значит что, слева значение больше или равно нулю, а справа — меньше или равно. И от нас требуется узнать, когда эти значения друг другу тождественны. Очевидно, что такими они могут быть только тогда, когда каждое из них равняется 0, потому что в противном случае они будут лежать по разные стороны от разделяющего 0, т.е. $\left| x-2 \right|$ будет постоянно отклоняться вправо, а $-{{x}^{6}}$ — влево. Поэтому наше выражением может быть переписано следующим образом:

\[\left\{ \begin{align}& \left| x-2 \right|=0 \\& -{{x}^{6}}=0 \\\end{align} \right.\]

Давайте решим эти конструкции:

\[\left\{ \begin{align}& x-2=0 \\& {{x}^{6}}=0 \\\end{align} \right.\]

Решаем каждое из этих выражений:

\[\left\{ \begin{align}& x=2 \\& x=0 \\\end{align} \right.\]

Мы получаем, что корень должен быть одновременно равен и 2 и 0. Это невозможно, поэтому решением данного выражения является пустое множество. Пусть вас не смущают подобные ответы при решении задач с модулями. Как и при работе с любыми другими функциями, накладывающими ограничения на область определения или значения в рамках задачи, в процессе решения сложных выражений с модулями функции вполне может оказаться, что этих решений просто не существует.

Ключевые моменты

1. Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю тогда, когда каждое из этих чисел равно нулю. В результате уравнение, которое само по себе далеко не тривиальное, разбивается на систему из двух отдельных уравнений, каждое из которых решается существенно проще.
2. Тот факт, что модуль сам по себе является неотрицательным значением, можно использовать и иначе, например, когда с одной стороны стоит модуль функции (эта сторона неотрицательна), а с другой стороны — функция, которая меньше нуля или равна нулю. В этом случае все уравнение сводится к системе из двух уравнений, каждое из которых легко решается.

Как пример, второе вырадением может быть сведено к равенству первого вида следующим образом:

\[\left| x-2 \right|+{{x}^{6}}=0\]

Мы снова видим сумму двух функций, каждая из которых неотрицательна. Запомните этот прием, он очень эффективен при работе со всевозможными функциями, о которых точно известно, что они принимают лишнее отрицательное значение.

Смотрите также:

1. Нестандартные уравнения с модулем
2. Дробно-рациональные уравнения с модулем
3. Как решать квадратные уравнения
4. Пробный ЕГЭ 2012. Вариант 9 (без логарифмов)
5. Тригонометрические функции
6. Тест по задачам B14: средний уровень, 2 вариант

www.berdov.com

Как решать модули?

Модуль – это абсолютная величина выражения. Чтобы хоть как-то обозначить модуль, принято использовать прямые скобки. То значение, которое заключено в ровных скобках, и является тем значением, которое взято по модулю. Процесс решения любого модуля заключается в раскрытии тех самых прямых скобок, которые математическим языком именуются модульными скобками. Их раскрытие происходит по определенному ряду правил. Также, в порядке решения модулей, находятся и множества значений тех выражений, которые находились в модульных скобках. В большей части всех случаев, модуль раскрывается таким способом, что выражение, которое было подмодульным, получает и положительные, и отрицательные значения, в числе которых также и значение ноль. Если отталкиваться от установленных свойств модуля, то в процессе составляются различные уравнения  или же неравенства от исходного выражения, которые затем необходимо решить. Разберемся же с тем, как решать модули.

Процесс решения

Решение модуля начинается с записи исходного уравнения с модулем. Чтобы ответить на вопрос о том, как решать уравнения с модулем, нужно раскрыть его полностью. Для решения такого уравнения, модуль раскрывается. Все модульные выражения должны быть рассмотрены. Следует определить при каких значениях неизвестных величин, входящих в его состав, модульное выражение в скобках обращается в ноль. Для того чтобы это сделать, достаточно приравнять выражение в модульных скобках к нулю, а затем высчитать решение образовавшегося уравнения. Найденные значения нужно зафиксировать. Таким же способом нужно определить еще и значение всех неизвестных переменных для всех модулей в данном уравнении. Далее необходимо заняться определением и рассмотрением всех случаев существования переменных в выражениях, когда они отличны от значения ноль. Для этого нужно записать некоторую систему из неравенств  соответственно всем модулям в исходном неравенстве. Неравенства должны быть составлены так, чтоб они охватывали все имеющиеся и возможные значения для переменной, которые находят на числовой прямой. Затем нужно начертить для визуализации эту с

elhow.ru

как решать уравнение с модулем |x-5| = 3

Модуль означает, что значение, заключенное в нем, может быть как положительным, так и отрицательным, соответственно решаем два уравнени: +(Х-5)=3 Х=3+5=8 -(Х-5)=3 -Х+5=3 Х=2 Следовательно указываем два решения: Х1=8, Х2=2

У скольки чисел модуль равен трём? Вспомни, что это за числа и приравняй к ним содержимое знака модуля. Получишь уравнения без модуля

Ты должен учесть три варианта x&gt;5,x&lt;5. Тогда х-5=3 и 5-х=2.Из этого получаем что х=8 и х=3

1) Если x&#8805;0, то x — 5 = 3 x = 3 + 5 x = 8 2) Если x&lt;0, то 5 — x = 3 — x = 3 — 5 — x = -2 x = 2 Ответ: 2;8.

лучше начерти координатную прямую поставь по средине 0 и отводи свои мерки по шкале потом посчитай и прибавь

А как решить |a-4|=5?

как решать/1-x/ = -2,7 аааааа

touch.otvet.mail.ru

Как решать уравнения с модулем Как? Так!

Содержимое:

3 части:

Уравнением с модулем (абсолютной величиной) является любое уравнение, в котором переменная или выражение заключено в модульные скобки. Абсолютная величина переменной x

Часть 1 Запись уравнения

1. 1 Уясните математическое определение модуля. Он определяется так: |p|={pif p≥0−pif p<0
   • Например, |9| = 9; |-9| = -(- 9) = 9.
2. 2 Уясните понятие абсолютной величины с геометрической точки зрения. Модуль числа равен расстоянию между началом координат и этим числом. Модуль обозначается модульными кавычками, в которые заключается число, переменная или выражение (|x|
   • Например, |−3|=3 3 В уравнении изолируйте модуль. Абсолютная величина должна находиться на одной стороне уравнения. Любые числа или члены вне модульных скобок нужно перенести на другую сторону уравнения. Обратите внимание, что модуль не может быть равен отрицательному числу, поэтому, если после изолирования модуля он равен отрицательному числу, такое уравнение не имеет решения.
     • Например, дано уравнение |6x−2|+3=7

       Часть 2 Решение уравнения

       1. 1 Запишите уравнение для положительного значения. Уравнения с модулем имеют два решения. Чтобы записать положительное уравнение, избавьтесь от модульных скобок, а затем решите полученное уравнение (как обычно).
          • Например, положительным уравнением для |6x−2|=4 2 Решите положительное уравнение. Для этого вычислите значение переменной при помощи математических операций. Так можно найти первое возможное решение уравнения.
            • Например:
              6x−2=4 3 Запишите уравнение для отрицательного значения. Чтобы записать отрицательное уравнение, избавьтесь от модульных скобок, а на другой стороне уравнения перед числом или выражением поставьте знак «минус».
              • Например, отрицательным уравнением для |6x−2|=4 4 Решите отрицательное уравнение. Для этого вычислите значение переменной при помощи математических операций. Так можно найти второе возможное решение уравнения.
                • Например:
                  6x−2=−4

                  Часть 3 Проверка решения

                  1. 1 Проверьте результат решения положительного уравнения. Для этого полученное значение подставьте в исходное уравнение, то есть подставьте значение x 2 Проверьте результат решения отрицательного уравнения. Если одно из решений правильное, это еще не значит, что и второе решение будет верным. Поэтому подставьте значение x 3 Обратите внимание на действительные решения. Решение уравнения является действительным (верным), если при подстановке в исходное уравнение соблюдается равенство.Имейте в виду, что уравнение может иметь два, одно или ни одного действительного решения.
                     • В нашем примере |4|=4{displaystyle |4|=4} и |−4|=4{displaystyle |-4|=4}, то есть соблюдаются равенства и оба решения являются действительными. Таким образом, уравнение |6x−2|+3=7{displaystyle |6x-2|+3=7} имеет два возможных решения: x=1{displaystyle x=1}, x=−13{displaystyle x={frac {-1}{3}}}.

                  Советы

                  • Помните, что модульные скобки отличаются от других типов скобок по виду и функциональности.

Прислал: Осипова Жанна . 2017-11-11 19:09:06

kak-otvet.imysite.ru

Простейшие уравнения с модулем | Математика

Рассмотрим простейшие уравнения с модулем вида «модуль x равен числу». Их решение опирается на определение модуля. Количество корней такого уравнения зависит от знака числа, стоящего в правой части.

Если модуль икса равен положительному числу, уравнение имеет два корня, которые являются противоположными числами:

   

Простейшие уравнения с модулем вида «модуль x равен нулю» имеют только один корень — нуль:

   

Уравнения вида «модуль x равен отрицательному числу» не имеют корней, поскольку модуль не может быть отрицательным числом:

   

Примеры простейших уравнений с модулем. 

   

 

   

  

   

   

 

   

Светлана МихайловнаУравнения в 6 классе

www.for6cl.uznateshe.ru

как решать уравнения с модулями

Наиболее часто используемый способ решения задач с модулем состоит в том, что модуль раскрывается на основании определения. Для этого находим, при каких значениях переменной выражение, стоящее под модулем, неотрицательно, а при каких — отрицательно. Рассмотрим этот метод на примерах. Пример 1. Решить уравнение |x+3|=2x-3. Решение. Рассмотрим первый случай x+3\ge0, то есть x\ge-3 (выражение под модулем неотрицательно). Уравнение в этом случае принимает вид x+3=2x-3, его решение x=6. Это решение удовлетворяет условию x\ge-3. Таким образом, 6 — корень исходного уравнения. Во втором случае x+3&lt;0, то есть x&lt;-3. В этом случае уравнение преобразуется к виду -x-3=2x-3, его решение x=0. Этот корень не удовлетворяет условию x&lt;-3, таким образом, 0 не является корнем исходного уравнения. Ответ. \{6\}. Пример 2. Решить уравнение |x^2-2x-4|=3x-2. Решение. Сначала найдем корни уравнения x^2-2x-4=0. Это 1\pm\sqrt{5}. Следовательно, условие x^2-2x-4\ge0 выполняется при x\le1-\sqrt{5} и при x\ge1+\sqrt{5}, а условие x^2-2x-4&lt;0 — при 1-\sqrt{5}&lt;1+\sqrt{5}. Рассмотрим два случая: 1) x\in\left(-\infty;1-\sqrt{5}\right]\cup\left[1+\sqrt{5};+\infty\right). Исходное уравнение на этом множестве имеет вид x^2-2x-4=3x-2. Его корни \displaystyle x_{1,2}=\frac{5\pm\sqrt{33}}{2}. Из них только \displaystyle\frac{5+\sqrt{33}}{2} попадает под наш случай. Докажем это: \begin{array}{c} \displaystyle 1-\sqrt{5}&lt;\frac{5-\sqrt{33}}{2}&lt;1+\sqrt{5}\Leftrightarrow\\[2mm] \Leftrightarrow2-2\sqrt{5}&lt;5-\sqrt{33}&lt;2+2\sqrt{5}\Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow-3-2\sqrt{5}&lt;-\sqrt{33}&lt;-3+2\sqrt{5}\Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow3+2\sqrt{5}&gt;\sqrt{33}&gt;3-2\sqrt{5}. \end{array} Так как \sqrt{5}&gt;2, то 3-2\sqrt{5}&lt;0, и, действительно, \sqrt{33}&gt;0&gt;3-2\sqrt{5}. Для доказательства левой части двойного неравенства возведем его в квадрат (это можно сделать, поскольку обе части неравенства неотрицательны): \sqrt{33}&lt;3+2\sqrt{5}\Leftrightarrow33&lt;9+12\sqrt{5}+20. Так как 12\sqrt{5}&gt;4, последнее неравенство также выполняется, и корень \displaystyle\frac{5-\sqrt{33}}{2} — посторонний. Из очевидной цепочки неравенств

Одна из самых сложных тем для учащихся – это решение уравнений, содержащих переменную под знаком модуля. Давайте разберемся для начала с чем же это связано? Почему, например, квадратные уравнения большинство детей щелкает как орешки, а с таким далеко не самым сложным понятием как модуль имеет столько проблем? На мой взгляд, все эти сложности связаны с отсутствием четко сформулированных правил для решения уравнений с модулем. Так, решая квадратное уравнение, как решать уравнение с модулем_1ученик точно знает, что ему нужно сначала применять формулу дискриминанта, а затем формулы корней квадратного уравнения. А что делать, если в уравнении встретился модуль? Постараемся четко описать необходимый план действий на случай, когда уравнение содержит неизвестную под знаком модуля. К каждому случаю приведем несколько примеров. Но для начала вспомним определение модуля. Итак, модулем числа a называется само это число, если a неотрицательно и -a, если число a меньше нуля. Записать это можно так: |a| = a, если a ≥ 0 и |a| = -a, если a &lt; 0 Говоря о геометрическом смысле модуля, следует помнить, что каждому действительному числу соответствует определенная точка на числовой оси – ее ккак решать уравнения с модулемоордината. Так вот, модулем или абсолютной величиной числа называется расстояние от этой точки до начала отсчета числовой оси. Расстояние всегда задается положительным числом. Таким образом, модуль любого отрицательного числа есть число положительное. Кстати, даже на этом этапе многие ученики начинают путаться. В модуле может стоять какое угодно число, а вот результат применения модуля всегда число положительное. Теперь перейдем непосредственно к решению уравнений. 1. Рассмотрим уравнение вида |x| = с, где с – действительное число. Это уравнение можно решить с помощью определения модуля. Все действительные числа разобьем на три группы: те, что больше нуля, те, что меньше нуля, и третья группа – это число 0. Запишем решение в виде схемы: {±c, если с &gt; 0 Если |x| = c, то x = {0, если с = 0 {нет корней, если с &lt; 0 Примеры: 1) |x| = 5, т. к. 5 &gt; 0, то x = ±5; 2) |x| = -5, т. к. -5 &lt; 0, то уравнение не имеет корней; 3) |x| = 0, то x = 0. 2. Уравнение вида |f(x)| = b, где b &gt; 0. Для решения данного уравнения необходимо избавиться от модуля. Делаем это так: f(x) = b или f(x) = -b. Теперь необходимо решить отдельно каждое из полученных уравнений. Если в исходном уравнении b&lt; 0, решений не будет. Примеры: 1) |x + 2| = 4, т. к. 4 &gt; 0, то x + 2 = 4 или x + 2 = -4 x = 2 x = -6 2) |x2 – 5| = 11, т. к. 11 &gt; 0, то x2 – 5 = 11 или x2 – 5 = -11 x2 = 16 x2 = -6 x = ± 4 нет корней 3) |x2 – 5x| = -8, т. к. -8 &lt; 0, то уравнение не имеет корней. 3. Уравнение вида |f(x)| = g(x). По смыслу модуля такое уравнение будет иметь решения, если его правая часть больше или равна нулю, т. е. g(x) ≥ 0. Тогда будем иметь: f(x) = g(x) или f(x) = -g(x). Примеры: 1) |2x – 1| = 5x – 10. Данное уравнение будет иметь корни, если 5x – 10 ≥ 0. Именно с этого и начинают решение таких уравнений. 1. О. Д. З. 5x – 10 ≥ 0 5x ≥ 10 x ≥ 2. 2. Решение: 2x – 1 = 5x – 10 или 2x – 1 = -(5x – 10) 3x = 9 7x = 11 x = 3 x = 11/7 3. Объединяем О. Д. З. и решение, получаем: Корень x = 11/7 не подходит по О. Д. З., он меньше 2, а x = 3 этому условию удовлетворяет. Ответ: x = 3 2) |x – 1| = 1 – x2. 1. О. Д. З. 1 – x2 ≥ 0. Решим методом интервалов данное неравенство: (1 – x)(1 + x) ≥ 0 -1 ≤ x ≤ 1 2. Решение: x – 1 = 1 – x2 или x – 1 = -(1 – x2) x2 + x – 2 = 0 x2 – x = 0 x = -2 или x = 1 x = 0 или x = 1 3. Объединяем решение и О. Д. З.: Подхо

touch.otvet.mail.ru