Как строить график обратной функции – Обратная функция. Видеоурок. Алгебра 10 Класс

Обратная функция. Видеоурок. Алгебра 10 Класс

Пусть задана функция , множество  и множество . Функция из  в :  Каждому элементу из первого множества  соответствует единственный элемент второго множества . С этой функцией связано две основные задачи:

1 задача – прямая. Вычислить значение функции по заданному значению аргумента.

задано, необходимо вычислить .

2 задача – обратная. Найти те значения аргумента, при которых функция принимает заданное значение . Задаем , далее необходимо решить уравнение , которое может иметь одно решение, второе решение и т. д. …

Пример обратной задачи: требуется найти время  для достижения ракетой заданной высоты, самолетом скорости звука, автомобилем заданной скорости 100 км/ч. Нас будет интересовать такая обратная задача, которая имеет единственное решение.

Пусть  – множество слов. Слово – конечная последовательность букв, смысл здесь не важен.  – множество слов из тех же букв, но записанных в обратном порядке.

Например: .

Итак, задана функция, два множества и соответствие между ними. Обратная задача для этой функции имеет единственное решение. Слову «ток» из множества  соответствует единственное слово «кот» из множества .

Пусть задано множество , состоящее из двух элементов  и множество , состоящее также из двух элементов . Для этих множество возможно четыре функции :

а) 1→3 б)1→4

 2→4 2→3

Нас интересует количество решений в обратной задаче. Рассмотрим первую функцию. Мы видим, что 3 соответствует только один элемент и 4 соответствует только один элемент, аналогично и во второй функции. Таким образом, обратная задача для этих двух функций имеет единственное решение. Запишем еще две функции:

в)1→3 г)1→4

 2→3 2→4

Каждому элементу из первого множества соответствует единственный элемент из второго множества. Обратная задача имеет здесь не единственное решение. 3 соответствует пара элементов 1 и 2, также 4 соответствует пара элементов 1 и 2.

Итак, мы рассмотрели второй пример и выяснили, что обратная задача может иметь единственное решение или нет. Здесь довольно простой случай, так как возможен перебор. Давайте рассмотрим случаи, когда перебор невозможен.

Числовая функция . Область определения функции – множество всеx положительных чисел: . Мы знаем график этой функции. Нарисуем его схематически (рис. 1).

Рис. 1. График функции

Нас интересует обратная задача, то есть сколько решений имеет она при заданном . Перебор здесь невозможен, однако можно просто решить уравнение , если  задан, то . При любом ,  единственный.

. Область определения . Нарисуем схематичный график этой функции (рис. 2).

Рис. 2. График функции , область определения .

Вот ветвь параболы – график данной функции. Нас интересует обратная задача. Сколько решений она имеет. Здесь также можно решить уравнение.

. При любом допустимом ,  – единственное число.

, область определения – все действительные числа, . График этой функции нам известен – парабола (рис. 3).

Рис. 3. График функции , область определения – все действительные числа

Итак, нам необходимо узнать, сколько решений имеет обратная задача. Если , то легко видеть, что 16 достигается и при -4, и при +4. Таким образом, уравнение  имеет не единственное решение.

Следует отметить, что единственное решение обратная задача имеет для монотонных функций. В примере 3 функция монотонно убывает, каждый  достигается при одном значении . В примере 4 функция монотонно возрастает, то есть каждый y достигается только при одном значении x.

Числовую функцию  называют возрастающей или убывающей на множестве  ∈ , если для любых чисел  , таких, что , имеем , то есть большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Чем больше аргумент, тем больше функция, эта функция монотонно возрастает.

Если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, то есть , то такую функцию называют убывающей.

Пусть  – монотонная функция. Тогда уравнение  имеет единственное решение  для любого  из множества значений функции.

Предположим, что функция монотонно возрастает на отрезке  принимает значение из отрезка  (рис. 4). Необходимо доказать, что любое значение  эта монотонная функция принимает при единственном значении аргумента .

Рис. 4. График функции

Доказательство

Докажем методом от противного. Предположим, что существует такое значение  из множества значений функции, что уравнение  имеет не единственное решение. Например, два решения . Если это так, тогда значение в точке =

interneturok.ru

Понятие об обратной функции: график функции и теорема

 

Мы уже сталкивались с задачей, когда по заданной функции f и заданному значению её аргумента необходимо было вычислить значение функции в этой точке. Но иногда приходится сталкиваться с обратной задачей: найти по известной функции f и её некоторому значению y значение аргумента, в котором функция принимает данное значение y.

Функция, которая, принимает каждое свое значение в единственной точке своей области определения, называется обратимой функцией. Например, линейная функция будет являться

обратимой функцией. А квадратичная функция или функция синус не будет являться обратимыми функциями. Так как одно и то же значение функция может принимать при различных аргументах.

Обратная функция

Положим, что f есть некоторая произвольная обратимая функция. Каждому числу из области её значений y0, соответствует лишь одно число из области определения x0, такое что f(x0) = y0.

Если теперь мы каждому значению х0 поставим в соответствие значение y0, то получим уже новую функцию. Например, для линейной функции f(x) = k * x + b функция g(x) = (x — b)/k будет являться обратной.

Если некоторая функция g в каждой точке х области значений обратимой функции f принимает значение у такое, что f(y) = x, то говорят, что функция g – есть обратная функция к f.

Если у нас будет задан график некоторой обратимой функции f, то для того чтобы построить график обратной функции, можно пользоваться следующим утверждением: график функции f и обратной к ней функции g будут симметричны относительно прямой, заданной уравнением y = x.

Если функция g является обратной к функции f, то функция g будет являться обратимой функцией. А функция f будет обратной к функции g. Обычно говорят, что две функции f и g взаимно обратные друг к другу.

На следующем рисунке представлены графики функций f и g взаимно обратных друг к другу.

Выведем следующую теорему: если функция f возрастает (или убывает) на некотором промежутке A, то она обратима. Обратная к а функция g, определенная в области значений функции f, также является возрастающей (или соответственно убывающей) функцией. Данная теорема называется

теоремой об обратной функции.

Нужна помощь в учебе?



Предыдущая тема: Логарифмическая функция: основные свойства и графики
Следующая тема:&nbsp&nbsp&nbspПроизводная и первообразная показательной функции: число е и примеры

Все неприличные комментарии будут удаляться.

www.nado5.ru

Обратная функция. Урок алгебры в 10-м классе (профильный уровень)

Разделы: Математика


Цели урока:

Образовательная:

  • формировать знания по новой теме в соответствии с программным материалом;
  • изучить свойство обратимости функции и научить находить функцию, обратную данной;

Развивающая:

  • развивать навыки самоконтроля, предметную речь;
  • овладеть понятием обратная функция и усвоить методы нахождения обратной функции;

Воспитательная:  формировать коммуникативную компетентность.

Оборудование: компьютер, проектор, экран, интерактивная доска SMART Board, раздаточный материал (самостоятельная работа) для работы в группе.

Ход урока.

1. Организационный момент.

Цельподготовка учащихся к работе на уроке:

-определение отсутствующих,

— настрой учащихся на работу, организация внимания;

— сообщение темы и цели урока.

2. Актуализация опорных знаний учащихся. Фронтальный опрос.

Цель — установить правильность и осознанность изученного теоретического материала, повторение пройденного материала.<Приложение 1>

Для учащихся на интерактивной доске демонстрируется график функции. Учителем формулируется задание – рассмотреть график функции и перечислить изученные свойства функции. Учащиеся перечисляют свойства функции в соответствии со схемой исследования. Учитель справа от графика функции маркером на интерактивной доске записывает названные свойства.

Свойства функции:

  1. D(f) = [-4;),E(y) = [0;), 
  2. ни четная, ни нечетная, непериодическая, непрерывная, ограничена снизу;
  3. y=0, при х=0
  4. y>0 при на [-4;0) и на [0;)
  5. возрастает на [-2;-1] и на [0;)
    убывает на [-4;-2] и на [-1;0]
  6. yнаиб— не существует
    yнаим=0 при х=0
  7. xmax= -1 ,ymax = 2
    xmin = -2, ymin = 1
    xmin = 0, ymin = 0
  8. Выпукла вниз на [4;-1], выпукла вверх на [1;), невыпуклая на [-1;1].

По окончании исследования учитель сообщает, что сегодня на уроке они познакомятся еще с одним свойством функции – обратимостью. Для осмысленного изучения нового материала учитель предлагает ребятам познакомиться с основными вопросами, на которые учащиеся должны дать ответ по окончании урока. Вопросы записаны на обыкновенной доске и в виде раздаточного материала есть у каждого ученика (раздается до урока)

Вопросы:

  1. Какая функция называется обратимой?
  2. Любая ли функция обратима?
  3. Какая функция называется обратной данной?
  4. Как связаны область определения и множество значений функции и обратной ей функции?
  5. Если функция задана аналитически, как задать формулой обратную функцию?
  6. Если функция задана графически, как построить график обратной ей функции?

3. Объяснение нового материала.

Цель — формировать знания по новой теме в соответствии с программным материалом; изучить свойство обратимости функции и научить находить функцию, обратную данной; развивать предметную речь.

Учитель проводит изложение материала в соответствии с материалом параграфа. На интерактивной доске учитель проводит сравнение графиков двух функций, у которых области определения и множества значений одинаковы, но одна из функций монотонна, а другая нет, тем самым подводит учащихся под понятия обратимой функции.

Затем учитель формулирует определение обратимой функции и проводит доказательство теоремы об обратимой функции, используя график монотонной функции на интерактивной доске.

Определение 1: Функцию y=f(x), x X называют обратимой, если любое свое значение она принимает только в одной точке множества X.

Теорема: Если функция y=f(x) монотонна на множестве X , то она обратима.

Доказательство:

  1. Пусть функция y=f(x) возрастает на Х и пусть х1≠х2— две точки множества Х.
  2. Для определенности пусть х1< х2.
    Тогда из того, что х1 < х2 следует, что f(х1) < f(х2).
  3. Таким образом, разным значениям аргумента соответствуют разные значения функции, т.е. функция обратима.

(По ходу доказательства теоремы учитель маркером делает все необходимые пояснения на чертеже)

Перед тем как сформулировать определение обратной функции учитель просит учащихся определить, какая из предложенных функций обратима? На интерактивной доске показаны графики функций и записаны несколько аналитически заданных функций:

 А)

 Б)

Г) y = 2x + 5 

Д) y = -x2 + 7

Учитель вводит определение обратной функции.

Определение 2: Пусть обратимая функция y=f(x) определена на множестве Х и Е(f)=Y. Поставим в соответствие каждому y из Y то единственное значение х, при котором f(x)=y. Тогда получим функцию, которая определена на Y, а Х – область значений функции

Эту функцию обозначают x=f -1(y) и называют обратной по отношению к функции y=f(x).

Учащимся предлагается сделать вывод о связи между областью определения и множеством значений обратных функций.

Для рассмотрения вопроса о способах нахождения функции обратной данной, учитель привлек двух учащихся. Ребята накануне получили задание у учителя самостоятельно разобрать аналитический и графический способы нахождения функции обратной данной. Учитель выступил в роли консультанта при подготовке учащихся к уроку.

Сообщение первого ученика.

Замечание: монотонность функции, является достаточным условием существования обратной функции. Но оно не является необходимым условием.

Учащийся привел примеры различных ситуаций, когда функция не монотонна, но обратима, когда функция не монотонна и не обратима, когда монотонна и обратима

Затем ученик знакомит учащихся со способом нахождения обратной функции, заданной аналитически.

Алгоритм нахождения

  1. Убедиться, что функция монотонна.
  2. Выразить переменную х через у.
  3. Переобозначить переменные. Вместо х=f -1(y) пишут y=f -1(x)

Затем решает два примера на нахождение функции обратной данной.

Пример 1: Показать, что для функции y=5x-3 существует обратная функция, и найти ее аналитическое выражение.

Решение. Линейная функция y=5x-3 определена на R, возрастает на R и область ее значений есть R. Значит, обратная функция существует на R. Чтобы найти ее аналитическое выражение, решим уравнение y=5x-3 относительно х; получим Это и есть искомая обратная функция. Она определена и возрастает на R.

Пример 2: Показать, что для функции y=x2, х≤0 существует обратная функция, и найти ее аналитическое выражение.

Функция непрерывна, монотонна в своей области определения, следовательно, она обратима. Проанализировав области определения и множества значений функции, делается соответствующий вывод об аналитическом выражении для обратной функции.

Ответ:

Второй ученик выступает с сообщением о графическом способе нахождения обратной функции. В ходе своего объяснения ученик использует возможности интерактивной доски .

Чтобы получить график функции y=f -1(x), обратной по отношению к функции y=f(x), надо график функции y=f(x)преобразовать симметрично относительно прямой y=x.

Во время объяснения на интерактивной доске выполняется следующее задание:

Построить в одной системе координат график функции и график обратной ей функции. Запишите аналитическое выражение обратной функции.

4. Первичное закрепление нового материала.

Цель – установить правильность и осознанность понимания изученного материала, выявить пробелы первичного осмысления материала, провести их коррекцию.

Учащиеся делятся на пары. Им раздаются листы с заданиями, в которых они и выполняют работу в парах. Время на выполнение работы ограничено (5-7 мин). Одна пара учащихся работает на компьютере, проектор на это время выключается и остальным ребятам не видно, как работают учащиеся на компьютере.

По окончании времени (предполагается, что с работой справилось большинство учащихся) на интерактивной доске (вновь включается проектор) показывается работа учащихся, где и выясняется в ходе проверки правильность выполнения задания в паре. При необходимости учителем проводится коррекционная, разъясняющая работа.

Самостоятельная работа в парах <Приложение 2 >

5. Итог урока. По вопросам, которые были заданы перед началом лекции. Объявление оценок за урок.

Домашнее задание §10. №№ 10.6(а,в) 10.8-10.9(б) 10.12 (б)

Алгебра и начала анализа. 10 класс В 2-х частях для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) /А.Г.Мордкович, Л.О.Денищева, Т.А.Корешкова и др.; под ред. А.Г.Мордковича, М: Мнемозина, 2007 год

31.03.2010

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

График обратной пропорциональности | Алгебра

График обратной пропорциональности — функции 

   

— гипербола. При k>0 ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях, при k<0 — во II и IV.

Как построить график обратной пропорциональности? Для этого достаточно определить несколько точек гиперболы. Удобно брать те значения x, на которые удобно делить k.

Рассмотрим построение графика обратной пропорциональности на конкретных примерах.

   

Эта функция — обратная пропорциональность. Её график — гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях. Для построения гиперболы выберем значения x, на которые удобно делить 8: -8; -4; -2; -1; 1; 2; 4; 8. Подставляя их в формулу вместо x, находим соответствующие значения y:

   

   

   

Таким образом, нашли 8 точек с координатами

(-8;-1), (-4; -2), (-2; -4), (-1; -8), (1; 8), (2; 4), (4; 2) и (8; 1).

На практике эти вычисления оформляют в виде таблицы — в верхнюю строчку записывают выбранные значения x, в нижнюю — y, полученные при подстановке соответствующего значения x в формулу функции. Для функции y=8/x таблица выглядит так:


Полученные точки отмечаем на координатной плоскости:

 

Затем через эти точки проводим две ветви гиперболы:

Важно!

Оси Ox и Oy для гиперболы являются асимптотами. Это означает, что ветви гиперболы на бесконечности приближаются к осям, но никогда их не пересекут.

Для построения гиперболы можно брать только положительные значения x. Вторая ветвь гиперболы симметрична первой относительно точки O.

   

Эта функция — обратная пропорциональность. Её график — гипербола, ветви которой расположены во II и IV-й координатных четвертях. Для построения гиперболы составим таблицу:

Полученные точки отмечаем на координатной плоскости:

 

И строим график:

 

www.algebraclass.ru

Обратная функция

Обратная функция

  1. Рассмотрим две функции, и, графики которых изображены, соответственно, на рисунках 1 и 2. Функцияобладает следующим свойством: каждое свое значение функция принимает только приодном значении аргумента. То есть, если , то уравнение имеет единственное решение. В геометрической интерпретации это означает, чтопараллельная оси абсцисс прямая пересекает график функции  ровно в одной точке.

Определение 1. Если функция каждое свое значение принимает только приодном значении аргумента, то эта функция называется обратимой. Иначе можно сказать, что разным значениям аргумента соответствуют разные значения функции .

Функция таким свойством не обладает. Например, отмеченное на рисунке 2 значение функциипринимается при разных значениях аргумента,и, то естьи. Другими словами, уравнениеимеет при данном значениидва корня. Прямая, параллельная оси абсцисс, может пересечь график этой функции  более чем в одной точке.

Свойство функции принимать каждое свое значение только приодном значении аргумента, то есть быть обратимой, позволяет определить новую функцию. А именно функцию, которая ставит в соответствие значению тоединственное значение , при котором. То есть ставит числув соответствие единственный корень уравнения. Назовем эту функцию обратной к функции и обозначим буквой . Таким образом,.

Отметим, что в отличие от функции , для функциизадать таким же способом обратную функцию не удастся, поскольку уравнение может иметь несколько корней. Дадим определение обратной фукции.

Определение 2. Пусть задана обратимая функция . Функция, определенная на множестве, и ставящая в соответствие числучисло), такое, что, называется обратной к функции.

  1. Найдем обратную функцию к функции . Область определения функции, отрезок, обозначим буквой, то есть. Множество значений функциисоставляет отрезок, обозначенный буквой, то есть

Функция числу из промежуткаставит в соответствие корень квадратный из этого числа, например,. Функцияявляется обратимой, поскольку разным значениям ее аргумента соответствуют разные значения функции.

Обратная функция определена на промежуткеи произвольному числуставит в соответствие число, которое определяется условием, то есть равенством(рис.4). Выражаем из этого равенства, возведя обе части равенства в квадрат,. Таким образом, функцияпроизвольному числуставит в соответствие число, равное. Значит, для каждогоимеем, то есть.

Независимой переменной, то есть аргументом обратной функции , является переменная, а зависимой — переменная. То есть, в сравнении с функцией, переменные поменялись ролями. Если теперь переменные обозначить традиционным образом, а именно, буквой х — аргумент функции, а зависимую переменную – буквой, то функцияпримет вид. Таким образом, мы нашли, что квадратичная функция, заданная на отрезке, является обратной к функции.. Множество значений обратной функции — отрезок.

График обратной функции мы можем изобразить в той же системе координат, что и график. Для этого отрезок, составляющий область определения функциинужно отложить на оси ординат, поскольку на этой оси располагаются значения аргумента функции. Точки графика функцииимеют координаты, при этом(рис.5).

На рисунке 5 показано, что области определения и множества значений функций «меняются местами»:и.

  1. Пример 1. Показать, что линейная функция обратима. Найти обратную к ней функцию.

Функция принимает каждое свое значение только приодном значении аргумента, поскольку линейное уравнениеимеет только один корень (рис.6). Значит, эта функция имеет обратную функцию, которая определена на, так как- множеством значений функции(рис.7). Обратная функцияпроизвольному числуставит в соответствие число, которое определяется условием(рис.7). Выразив из этого равенства, получаем. Значит, для каждогоимеем, то есть .

Обозначив аргумент обратной функции буквой х, а зависимую переменную буквой , то есть, поменяв переменные местами, получим. Итак, обратной функцией к линейной функции будет функция, которая также является линейной.

Замечание. При решении задач можно обозначать произвольное значение аргумента обратной функции буквой , а не, как это для ясности сделано в разобранных примерах.

  1. Пусть обратимая функция, заданная формулой. На основании определения обратной функции можно сформулировать порядок действий для нахождения функции, обратной к функции.

  1. Теорема. Если функция является возрастающей (или убывающей), то она обратима.

Пусть для определенности функция является возрастающей. Возьмем два различных значения аргумента, меньшее обозначим через, большее — через, то есть. Из этого неравенства в силу определения возрастающей функции следует, что, а значит. Поэтому разным значениям аргумента соответствуют разные значения функции и, следовательно, функцияобратима. Для убывающей функции доказательство аналогично.

Отметим, что любая линейная функция обратима, если , поскольку является либо возрастающей, либо убывающей функцией, в зависимости от знака коэффициента. Обратима также возрастающая функция.

Если функция задана формулой и нам неизвестен ее график, то определить, будет ли функция обратимой можно только путем исследования количества корней уравнения . Если при некотором значении их два или более, то функция не является обратимой.

  1. Если известен график обратимой функции, то график обратной функции можно построить путем преобразования графика функции. Следующая теорема определяет вид этого преобразования.

Теорема. График функции и график обратной к ней функции симметричны относительно прямой .

Пусть точка с координатамипринадлежит графику функции, то есть. Тогда, по определению обратной функции. Это означает, что точкас координатамипринадлежит графику обратной функции (рис. 11).

Докажем, что точки исимметричны относительно прямой. Для определенности рассмотрим случай, когда точкалежит в первом координатном угле и. Проведем через точкиипрямые, перпендикулярные осям координат (рис.8). Прямоугольникявляется квадратом, так как имеет равные смежные стороны:. Вершины квадрата, точкии, имеют координатыи, соответственно, и, значит, принадлежат прямой(рис.9). Поскольку диагонали квадрата перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам, то точкиисимметричны относительно диагонали, а, следовательно, и относительно прямой.

Таким образом, мы доказали, что точка плоскости, симметричная точке графика функции относительно прямой, принадлежат графику обратной функции. Аналогично доказывается, что верно и обратное утверждение: точка, симметричная точке графика обратной функцииотносительно прямой, принадлежат графику функции. Значит, графики этих функций симметричны. Теорема доказана.

  1. Пример 2. Докажите, что функцияявляется обратимой. Найдите обратную к ней функцию.

Решение. Построим график заданной функции – часть параболы (рис.10), которая удовлетворяет условию.

Заданная функции является возрастающей а, следовательно, и обратимой. Для нахождения обратной к ней функции нужно из уравнения выразить х через у, а затем ввести новые обозначения переменных.

Запишем уравнение в виде . Это квадратное уравнение относительно неизвестного, свободный член уравнения равен. Найдем дискриминант квадратного уравнения,. По формуле корней квадратного уравнения имеемили, после упрощения. Итак при любом допустимом значенииквадратное уравнение имеет два корняи. Учитывая, что область определения заданной функции — промежуток, получаем.

Переобозначив переменные, то есть поменяв их местами, получаем формулу обратной функции .

Замечание. Фактически мы доказали, что если рассматривать функциюна промежутке, то на этом промежутке она является обратимой, поскольку возрастает. При этом, функцияне обратима, если она рассматривается на(рис.10). На промежутке, функция убывает, а значит обратима.

Графики рассмотренной в примере функции и обратной к ней изображены на рисунке 15. Следует отметить тот факт, что они пересекаются в точке, принадлежащей прямой . Это не случайно. Действительно, пусть график обратимой функцииимеет общую с прямойточку. Тогда, точка, симметричная точкеотносительно этой прямой, принадлежит графику обратной функции.Но этой точкой является сама точка. Значит, она принадлежит обоим графикам одновременно, то есть является их точкой пересечения.

Упражнения

  1. Укажите, на каких рисунках изображены графики обратимых функций.

Ответ. 4;6

  1. Функции имеет два нуля. Почему она не имеет обратной функции?

  2. На рисунке изображен график функции . Докажите,

что она не имеет обратной функции. Определите числовой промежуток на оси ординат, такой, что новая функция– обратима. Укажите несколько возможных вариантов.

  1. На рисунке изображен график обратимой функции . Найдите значения обратной к ней функции при значениях аргумента равных. Укажите область определения и множество значений обратной функции.

Ответ.

1)

2)

  1. Найдите функцию, обратную по отношению к линейной функции

  1. Нарисуйте график какой-нибудь обратимой функции , (– обратная к ней), так, чтобы были выполнены следующие условия

  1. Функция имеет обратную. Найдите область определения и множество значений обратной функции, если известно, что:

9. Функция задана графиком. Построить график обратной к ней функции

  1. Найдите функцию , которая является обратной по отношению к функции

Дополнительные задания

  1. Найдите все линейные функции , такие, что функция совпадает с обратной по отношению к ней функцией.

Ответ. .

  1. Постройте график функции, обратной данной. Найдите формулу, задающую обратную функцию.

  1. Функция обратима. Известно, что уравнениеимеет следующие корни. Решить уравнение, гдефункция, обратная к.

Ответ. .

  1. Функция имеет обратную функцию. Решить уравнение, если известно, что уравнениеимеет корни.

Ответ. .

  1. Докажите, что если — возрастающая (убывающая) функция, то и обратная к ней функциятак же является возрастающей (убывающей) функцией.

  2. Верно ли, что если нечетная функция имеет обратную функцию, то она также будет нечетной?

Ответ. Верно

  1. Может ли функция, обратная к данной функции, быть четной функцией?

Ответ. Не может

  1. Найдите функцию, обратную функции , и постройте ее график.

studfiles.net

Обратная пропорциональность | Подготовка к ЕГЭ по математике

Категория: Справочные материалыФункции и графики

Елена Репина 2013-05-21 2013-07-10

Обратной пропорциональностью называется функция вида , где .

Число называется коэффициентом обратной пропорциональности.

Графиком функции является гипербола

Гипербола  состоит из двух одинаковых частей, кроме того, у неё есть асимптоты  (оси ОХ и ОY)— прямые, к которым она стремится, уходя в бесконечность.

 

Свойства функции:

Пример 1.

Построим график функции

Построение:

Заполняем таблицу:

Мы вольны брать любые значения , кроме . Но, конечно, мы подбираем те, подсчет значений в которых удобен.

Отмечаем на координатной плоскости точки (-6;-1), (-3;-2) и т.д. Соединяем их плавной линией. Чем больше точек будет взято, тем точнее будет график функции.

И, уж конечно, он не «обрывается» в точках  (-6;-1), (6,1). Ничто не мешает нам взять в качестве значение, например, и получить И так далее.

Пример 2.

Построить график функции

Построение:

Автор: egeMax | Нет комментариев | Метки: графики функций

egemaximum.ru

Понятие обратной функции | Математика, которая мне нравится

Определение. Функция называется обратимой, если для любых двух различных чисел и , принадлежащих , числа и также различны.

Пример 1.

   

Пример 2. .

Пример 3. .

Пример 4. .

Пример 5. .

Пример 6. .

Обратимость всех этих функций — частный случай следующей теоремы

Теорема. Строго монотонная функция обратима.

Функция является обратимой в том и только в том случае, если любая прямая, перпендикулярная оси ординат, имеет с ее графиком не более одной общей точки.

Определение. Пусть функция обратима, — ее область определения, — множество ее значений. Для каждого числа обозначим через такое число из множества , что (такое число существует и притом только одно). Мы получили новую функцию с областью определения и множеством значений . Эта функция называется обратной функции .

Пример 7. .

Выяснить, обратима ли эта функция, и если обратима, то найти обратную.

   

Функция обратима, — обратная функция.

Теорема. Графики взаимно обратных функций в одной и той же координатной плоскости симметричны относительно биссектрисы первой и третьей четверти.

Доказательство. Пусть функция с областью определения и множеством значений имеет обратную функцию . Пусть — графики функций и соответственно. Точка принадлежит точка . Осталось доказать, что точки и симметричны относительно биссектрисы первой и третьей четверти. Эта биссектриса состоит из точек , где — любое вещественное число. Чтобы доказать, что точки и симметричны относительно биссектрисы, достаточно проверить, что биссектриса является серединным перпендикуляром отрезка , то есть что любая точка равноудалена от точек и .

   

Задача. Докажите, что функция необратима. Найдите функцию, обратную на промежутке и постройте ее график.

hijos.ru

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *