Как строить график обратной функции – Обратная функция. Видеоурок. Алгебра 10 Класс

Все неприличные комментарии будут удаляться.

Обратная функция. Урок алгебры в 10-м классе (профильный уровень)

Разделы: Математика

Цели урока:

Образовательная:

• формировать знания по новой теме в соответствии с программным материалом;
• изучить свойство обратимости функции и научить находить функцию, обратную данной;

Развивающая:

• развивать навыки самоконтроля, предметную речь;
• овладеть понятием обратная функция и усвоить методы нахождения обратной функции;

Воспитательная:  формировать коммуникативную компетентность.

Оборудование: компьютер, проектор, экран, интерактивная доска SMART Board, раздаточный материал (самостоятельная работа) для работы в группе.

Ход урока.

1. Организационный момент.

Цель – подготовка учащихся к работе на уроке:

-определение отсутствующих,

— настрой учащихся на работу, организация внимания;

— сообщение темы и цели урока.

2. Актуализация опорных знаний учащихся. Фронтальный опрос.

Цель — установить правильность и осознанность изученного теоретического материала, повторение пройденного материала.<Приложение 1>

Для учащихся на интерактивной доске демонстрируется график функции. Учителем формулируется задание – рассмотреть график функции и перечислить изученные свойства функции. Учащиеся перечисляют свойства функции в соответствии со схемой исследования. Учитель справа от графика функции маркером на интерактивной доске записывает названные свойства.

Свойства функции:

1. D(f) = [-4;),E(y) = [0;), 
2. ни четная, ни нечетная, непериодическая, непрерывная, ограничена снизу;
3. y=0, при х=0
4. y>0 при на [-4;0) и на [0;)
5. возрастает на [-2;-1] и на [0;)
   убывает на [-4;-2] и на [-1;0]
6. y_наиб— не существует
   y_наим=0 при х=0
7. x_max= -1 ,y_max = 2
   x_min = -2, y_min = 1
   x_min = 0, y_min = 0
8. Выпукла вниз на [4;-1], выпукла вверх на [1;), невыпуклая на [-1;1].

По окончании исследования учитель сообщает, что сегодня на уроке они познакомятся еще с одним свойством функции – обратимостью. Для осмысленного изучения нового материала учитель предлагает ребятам познакомиться с основными вопросами, на которые учащиеся должны дать ответ по окончании урока. Вопросы записаны на обыкновенной доске и в виде раздаточного материала есть у каждого ученика (раздается до урока)

Вопросы:

1. Какая функция называется обратимой?
2. Любая ли функция обратима?
3. Какая функция называется обратной данной?
4. Как связаны область определения и множество значений функции и обратной ей функции?
5. Если функция задана аналитически, как задать формулой обратную функцию?
6. Если функция задана графически, как построить график обратной ей функции?

3. Объяснение нового материала.

Цель — формировать знания по новой теме в соответствии с программным материалом; изучить свойство обратимости функции и научить находить функцию, обратную данной; развивать предметную речь.

Учитель проводит изложение материала в соответствии с материалом параграфа. На интерактивной доске учитель проводит сравнение графиков двух функций, у которых области определения и множества значений одинаковы, но одна из функций монотонна, а другая нет, тем самым подводит учащихся под понятия обратимой функции.

Затем учитель формулирует определение обратимой функции и проводит доказательство теоремы об обратимой функции, используя график монотонной функции на интерактивной доске.

Определение 1: Функцию y=f(x), x X называют обратимой, если любое свое значение она принимает только в одной точке множества X.

Теорема: Если функция y=f(x) монотонна на множестве X , то она обратима.

Доказательство:

1. Пусть функция y=f(x) возрастает на Х и пусть х₁≠х₂— две точки множества Х.
2. Для определенности пусть х₁< х₂.
   Тогда из того, что х₁ < х₂ следует, что f(х₁) < f(х₂).
3. Таким образом, разным значениям аргумента соответствуют разные значения функции, т.е. функция обратима.

(По ходу доказательства теоремы учитель маркером делает все необходимые пояснения на чертеже)

Перед тем как сформулировать определение обратной функции учитель просит учащихся определить, какая из предложенных функций обратима? На интерактивной доске показаны графики функций и записаны несколько аналитически заданных функций:

 А)

 Б)

Г) y = 2x + 5 

Д) y = -x₂ + 7

Учитель вводит определение обратной функции.

Определение 2: Пусть обратимая функция y=f(x) определена на множестве Х и Е(f)=Y. Поставим в соответствие каждому y из Y то единственное значение х, при котором f(x)=y. Тогда получим функцию, которая определена на Y, а Х – область значений функции

Эту функцию обозначают x=f ^-1(y) и называют обратной по отношению к функции y=f(x).

Учащимся предлагается сделать вывод о связи между областью определения и множеством значений обратных функций.

Для рассмотрения вопроса о способах нахождения функции обратной данной, учитель привлек двух учащихся. Ребята накануне получили задание у учителя самостоятельно разобрать аналитический и графический способы нахождения функции обратной данной. Учитель выступил в роли консультанта при подготовке учащихся к уроку.

Сообщение первого ученика.

Замечание: монотонность функции, является достаточным условием существования обратной функции. Но оно не является необходимым условием.

Учащийся привел примеры различных ситуаций, когда функция не монотонна, но обратима, когда функция не монотонна и не обратима, когда монотонна и обратима

Затем ученик знакомит учащихся со способом нахождения обратной функции, заданной аналитически.

Алгоритм нахождения

1. Убедиться, что функция монотонна.
2. Выразить переменную х через у.
3. Переобозначить переменные. Вместо х=f ^-1(y) пишут y=f ^-1(x)

Затем решает два примера на нахождение функции обратной данной.

Пример 1: Показать, что для функции y=5x-3 существует обратная функция, и найти ее аналитическое выражение.

Решение. Линейная функция y=5x-3 определена на R, возрастает на R и область ее значений есть R. Значит, обратная функция существует на R. Чтобы найти ее аналитическое выражение, решим уравнение y=5x-3 относительно х; получим Это и есть искомая обратная функция. Она определена и возрастает на R.

Пример 2: Показать, что для функции y=x², х≤0 существует обратная функция, и найти ее аналитическое выражение.

Функция непрерывна, монотонна в своей области определения, следовательно, она обратима. Проанализировав области определения и множества значений функции, делается соответствующий вывод об аналитическом выражении для обратной функции.

Ответ:

Второй ученик выступает с сообщением о графическом способе нахождения обратной функции. В ходе своего объяснения ученик использует возможности интерактивной доски .

Чтобы получить график функции y=f ^-1(x), обратной по отношению к функции y=f(x), надо график функции y=f(x)преобразовать симметрично относительно прямой y=x.

Во время объяснения на интерактивной доске выполняется следующее задание:

Построить в одной системе координат график функции и график обратной ей функции. Запишите аналитическое выражение обратной функции.

4. Первичное закрепление нового материала.

Цель – установить правильность и осознанность понимания изученного материала, выявить пробелы первичного осмысления материала, провести их коррекцию.

Учащиеся делятся на пары. Им раздаются листы с заданиями, в которых они и выполняют работу в парах. Время на выполнение работы ограничено (5-7 мин). Одна пара учащихся работает на компьютере, проектор на это время выключается и остальным ребятам не видно, как работают учащиеся на компьютере.

По окончании времени (предполагается, что с работой справилось большинство учащихся) на интерактивной доске (вновь включается проектор) показывается работа учащихся, где и выясняется в ходе проверки правильность выполнения задания в паре. При необходимости учителем проводится коррекционная, разъясняющая работа.

Самостоятельная работа в парах <Приложение 2 >

5. Итог урока. По вопросам, которые были заданы перед началом лекции. Объявление оценок за урок.

Домашнее задание §10. №№ 10.6(а,в) 10.8-10.9(б) 10.12 (б)

Алгебра и начала анализа. 10 класс В 2-х частях для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) /А.Г.Мордкович, Л.О.Денищева, Т.А.Корешкова и др.; под ред. А.Г.Мордковича, М: Мнемозина, 2007 год

31.03.2010

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

График обратной пропорциональности | Алгебра

График обратной пропорциональности — функции 

— гипербола. При k>0 ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях, при k<0 — во II и IV.

Как построить график обратной пропорциональности? Для этого достаточно определить несколько точек гиперболы. Удобно брать те значения x, на которые удобно делить k.

Рассмотрим построение графика обратной пропорциональности на конкретных примерах.

Эта функция — обратная пропорциональность. Её график — гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях. Для построения гиперболы выберем значения x, на которые удобно делить 8: -8; -4; -2; -1; 1; 2; 4; 8. Подставляя их в формулу вместо x, находим соответствующие значения y:

Таким образом, нашли 8 точек с координатами

(-8;-1), (-4; -2), (-2; -4), (-1; -8), (1; 8), (2; 4), (4; 2) и (8; 1).

На практике эти вычисления оформляют в виде таблицы — в верхнюю строчку записывают выбранные значения x, в нижнюю — y, полученные при подстановке соответствующего значения x в формулу функции. Для функции y=8/x таблица выглядит так:

Полученные точки отмечаем на координатной плоскости:

Затем через эти точки проводим две ветви гиперболы:

Важно!

Оси Ox и Oy для гиперболы являются асимптотами. Это означает, что ветви гиперболы на бесконечности приближаются к осям, но никогда их не пересекут.

Для построения гиперболы можно брать только положительные значения x. Вторая ветвь гиперболы симметрична первой относительно точки O.

Эта функция — обратная пропорциональность. Её график — гипербола, ветви которой расположены во II и IV-й координатных четвертях. Для построения гиперболы составим таблицу:

Полученные точки отмечаем на координатной плоскости:

И строим график:

www.algebraclass.ru

Обратная функция

Обратная функция

1. Рассмотрим две функции, и, графики которых изображены, соответственно, на рисунках 1 и 2. Функцияобладает следующим свойством: каждое свое значение функция принимает только приодном значении аргумента. То есть, если , то уравнение имеет единственное решение. В геометрической интерпретации это означает, чтопараллельная оси абсцисс прямая пересекает график функции  ровно в одной точке.

Определение 1. Если функция каждое свое значение принимает только приодном значении аргумента, то эта функция называется обратимой. Иначе можно сказать, что разным значениям аргумента соответствуют разные значения функции .

Функция таким свойством не обладает. Например, отмеченное на рисунке 2 значение функциипринимается при разных значениях аргумента,и, то естьи. Другими словами, уравнениеимеет при данном значениидва корня. Прямая, параллельная оси абсцисс, может пересечь график этой функции  более чем в одной точке.

Свойство функции принимать каждое свое значение только приодном значении аргумента, то есть быть обратимой, позволяет определить новую функцию. А именно функцию, которая ставит в соответствие значению тоединственное значение , при котором. То есть ставит числув соответствие единственный корень уравнения. Назовем эту функцию обратной к функции и обозначим буквой . Таким образом,.

Отметим, что в отличие от функции , для функциизадать таким же способом обратную функцию не удастся, поскольку уравнение может иметь несколько корней. Дадим определение обратной фукции.

Определение 2. Пусть задана обратимая функция . Функция, определенная на множестве, и ставящая в соответствие числучисло), такое, что, называется обратной к функции.

2. Найдем обратную функцию к функции . Область определения функции, отрезок, обозначим буквой, то есть. Множество значений функциисоставляет отрезок, обозначенный буквой, то есть

Функция числу из промежуткаставит в соответствие корень квадратный из этого числа, например,. Функцияявляется обратимой, поскольку разным значениям ее аргумента соответствуют разные значения функции.

Обратная функция определена на промежуткеи произвольному числуставит в соответствие число, которое определяется условием, то есть равенством(рис.4). Выражаем из этого равенства, возведя обе части равенства в квадрат,. Таким образом, функцияпроизвольному числуставит в соответствие число, равное. Значит, для каждогоимеем, то есть.

Независимой переменной, то есть аргументом обратной функции , является переменная, а зависимой — переменная. То есть, в сравнении с функцией, переменные поменялись ролями. Если теперь переменные обозначить традиционным образом, а именно, буквой х — аргумент функции, а зависимую переменную – буквой, то функцияпримет вид. Таким образом, мы нашли, что квадратичная функция, заданная на отрезке, является обратной к функции.. Множество значений обратной функции — отрезок.

График обратной функции мы можем изобразить в той же системе координат, что и график. Для этого отрезок, составляющий область определения функциинужно отложить на оси ординат, поскольку на этой оси располагаются значения аргумента функции. Точки графика функцииимеют координаты, при этом(рис.5).

На рисунке 5 показано, что области определения и множества значений функций «меняются местами»:и.

3. Пример 1. Показать, что линейная функция обратима. Найти обратную к ней функцию.

Функция принимает каждое свое значение только приодном значении аргумента, поскольку линейное уравнениеимеет только один корень (рис.6). Значит, эта функция имеет обратную функцию, которая определена на, так как- множеством значений функции(рис.7). Обратная функцияпроизвольному числуставит в соответствие число, которое определяется условием(рис.7). Выразив из этого равенства, получаем. Значит, для каждогоимеем, то есть .

Обозначив аргумент обратной функции буквой х, а зависимую переменную буквой , то есть, поменяв переменные местами, получим. Итак, обратной функцией к линейной функции будет функция, которая также является линейной.

Замечание. При решении задач можно обозначать произвольное значение аргумента обратной функции буквой , а не, как это для ясности сделано в разобранных примерах.

4. Пусть обратимая функция, заданная формулой. На основании определения обратной функции можно сформулировать порядок действий для нахождения функции, обратной к функции.

5. Теорема. Если функция является возрастающей (или убывающей), то она обратима.

Пусть для определенности функция является возрастающей. Возьмем два различных значения аргумента, меньшее обозначим через, большее — через, то есть. Из этого неравенства в силу определения возрастающей функции следует, что, а значит. Поэтому разным значениям аргумента соответствуют разные значения функции и, следовательно, функцияобратима. Для убывающей функции доказательство аналогично.

Отметим, что любая линейная функция обратима, если , поскольку является либо возрастающей, либо убывающей функцией, в зависимости от знака коэффициента. Обратима также возрастающая функция.

Если функция задана формулой и нам неизвестен ее график, то определить, будет ли функция обратимой можно только путем исследования количества корней уравнения . Если при некотором значении их два или более, то функция не является обратимой.

6. Если известен график обратимой функции, то график обратной функции можно построить путем преобразования графика функции. Следующая теорема определяет вид этого преобразования.

Теорема. График функции и график обратной к ней функции симметричны относительно прямой .

Пусть точка с координатамипринадлежит графику функции, то есть. Тогда, по определению обратной функции. Это означает, что точкас координатамипринадлежит графику обратной функции (рис. 11).

Докажем, что точки исимметричны относительно прямой. Для определенности рассмотрим случай, когда точкалежит в первом координатном угле и. Проведем через точкиипрямые, перпендикулярные осям координат (рис.8). Прямоугольникявляется квадратом, так как имеет равные смежные стороны:. Вершины квадрата, точкии, имеют координатыи, соответственно, и, значит, принадлежат прямой(рис.9). Поскольку диагонали квадрата перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам, то точкиисимметричны относительно диагонали, а, следовательно, и относительно прямой.

Таким образом, мы доказали, что точка плоскости, симметричная точке графика функции относительно прямой, принадлежат графику обратной функции. Аналогично доказывается, что верно и обратное утверждение: точка, симметричная точке графика обратной функцииотносительно прямой, принадлежат графику функции. Значит, графики этих функций симметричны. Теорема доказана.

7. Пример 2. Докажите, что функцияявляется обратимой. Найдите обратную к ней функцию.

Решение. Построим график заданной функции – часть параболы (рис.10), которая удовлетворяет условию.

Заданная функции является возрастающей а, следовательно, и обратимой. Для нахождения обратной к ней функции нужно из уравнения выразить х через у, а затем ввести новые обозначения переменных.

Запишем уравнение в виде . Это квадратное уравнение относительно неизвестного, свободный член уравнения равен. Найдем дискриминант квадратного уравнения,. По формуле корней квадратного уравнения имеемили, после упрощения. Итак при любом допустимом значенииквадратное уравнение имеет два корняи. Учитывая, что область определения заданной функции — промежуток, получаем.

Переобозначив переменные, то есть поменяв их местами, получаем формулу обратной функции .

Замечание. Фактически мы доказали, что если рассматривать функциюна промежутке, то на этом промежутке она является обратимой, поскольку возрастает. При этом, функцияне обратима, если она рассматривается на(рис.10). На промежутке, функция убывает, а значит обратима.

Графики рассмотренной в примере функции и обратной к ней изображены на рисунке 15. Следует отметить тот факт, что они пересекаются в точке, принадлежащей прямой . Это не случайно. Действительно, пусть график обратимой функцииимеет общую с прямойточку. Тогда, точка, симметричная точкеотносительно этой прямой, принадлежит графику обратной функции.Но этой точкой является сама точка. Значит, она принадлежит обоим графикам одновременно, то есть является их точкой пересечения.

Упражнения

1. Укажите, на каких рисунках изображены графики обратимых функций.

Ответ. 4;6

2. Функции имеет два нуля. Почему она не имеет обратной функции?

3. На рисунке изображен график функции . Докажите,

что она не имеет обратной функции. Определите числовой промежуток на оси ординат, такой, что новая функция– обратима. Укажите несколько возможных вариантов.

4. На рисунке изображен график обратимой функции . Найдите значения обратной к ней функции при значениях аргумента равных. Укажите область определения и множество значений обратной функции.

Ответ.

1)

2)

5. Найдите функцию, обратную по отношению к линейной функции

6. Нарисуйте график какой-нибудь обратимой функции , (– обратная к ней), так, чтобы были выполнены следующие условия

7. Функция имеет обратную. Найдите область определения и множество значений обратной функции, если известно, что:

9. Функция задана графиком. Построить график обратной к ней функции

8. Найдите функцию , которая является обратной по отношению к функции

Дополнительные задания

1. Найдите все линейные функции , такие, что функция совпадает с обратной по отношению к ней функцией.

Ответ. .

2. Постройте график функции, обратной данной. Найдите формулу, задающую обратную функцию.

3. Функция обратима. Известно, что уравнениеимеет следующие корни. Решить уравнение, гдефункция, обратная к.

Ответ. .

4. Функция имеет обратную функцию. Решить уравнение, если известно, что уравнениеимеет корни.

Ответ. .

5. Докажите, что если — возрастающая (убывающая) функция, то и обратная к ней функциятак же является возрастающей (убывающей) функцией.

6. Верно ли, что если нечетная функция имеет обратную функцию, то она также будет нечетной?

Ответ. Верно

7. Может ли функция, обратная к данной функции, быть четной функцией?

Ответ. Не может

8. Найдите функцию, обратную функции , и постройте ее график.

studfiles.net

Обратная пропорциональность | Подготовка к ЕГЭ по математике

Категория: Справочные материалыФункции и графики

Обратной пропорциональностью называется функция вида , где .

Число называется коэффициентом обратной пропорциональности.

Графиком функции является гипербола. 

Гипербола  состоит из двух одинаковых частей, кроме того, у неё есть асимптоты  (оси ОХ и ОY)— прямые, к которым она стремится, уходя в бесконечность.

Свойства функции:

Пример 1.

Построим график функции

Построение:

Заполняем таблицу:

Мы вольны брать любые значения , кроме . Но, конечно, мы подбираем те, подсчет значений в которых удобен.

Отмечаем на координатной плоскости точки (-6;-1), (-3;-2) и т.д. Соединяем их плавной линией. Чем больше точек будет взято, тем точнее будет график функции.

И, уж конечно, он не «обрывается» в точках  (-6;-1), (6,1). Ничто не мешает нам взять в качестве значение, например, и получить И так далее.

Пример 2.

Построить график функции

Построение: