Формулы диагонали параллелограмма
Свойства параллелограмма:
1. Противоположные стороны равны и параллельны
2. Противоположные углы равны
3. Точка пересечения диагоналей, делит их пополам
1. Длина диагонали параллелограмма через стороны, известную диагональ и угол.
a, b — стороны параллелограмма
D — большая диагональ
d — меньшая диагональ
α, β — углы параллелограмма
Формулы диагонали через стороны и углы параллелограмма (по теореме косинусов), (D, d):
Формулы диагонали через стороны и известную диагональ (по формуле- сумма квадратов диагоналей), (D, d
2. Длина диагонали параллелограмма через площадь, известную диагональ и угол.
D — большая диагональ
d — меньшая диагональ
α, β — углы между диагоналями
S — площадь параллелограмма
Формулы диагонали через площадь, известную диагональ и угол между диагоналями, (D, d):
Формулы площади параллелограмма
Формула периметра параллелограмма
Все формулы по геометрии
zdesformula.ru
Как найти длину диагонали параллелограмма
Результатом соединения в четырехугольнике противоположных друг другу вершин является построение его диагоналей. Существует общая формула, связывающая длины этих отрезков с другими измерениями фигуры. По ней, в частности, можно найти длину диагонали параллелограмма.Инструкция
- Постройте параллелограмм, выбрав при необходимости масштаб так, чтобы все известные измерения максимально соответствовали начальным данным. Хорошее понимание условий задачи и построение наглядного графика – залог быстроты решения. Помните, что в этой фигуре стороны попарно параллельны и равны.
- Проведите обе диагонали, соединив противоположные вершины. Эти отрезки обладают несколькими свойствами: они пересекаются в середине своих длин, а любой из них делит фигуру на два симметрично одинаковых треугольника. Длины диагоналей параллелограмма связаны формулой суммы квадратов:d1² + d2² = 2•(а² + b²), где а и b – длина и ширина.
- Очевидно, что знать только длины основных измерений параллелограмма недостаточно для того, чтобы вычислить хотя бы одну диагональ. Рассмотрим задачу, в которой заданы стороны фигуры: а = 5 и b = 9. Также известно, что одна из диагоналей больше другой в 2 раза.
- Составьте два уравнения с двумя неизвестными:d1 = 2•d2d1² + d2² = 2•(а² + b²) = 212.
- Подставьте d1 из первого уравнения во второе:5•d2² = 212 → d2 ≈ 6,5;Найдите длину первой диагонали:d1 = 13.
- Частными случаями параллелограмма являются прямоугольник, квадрат и ромб. Диагонали первых двух фигур представляют собой равные отрезки, следовательно, формулу можно переписать в более простом виде:2•d² = 2•(а² + b²) → d = √(а² + b²), где а и b – длина и ширина прямоугольника;2•d² = 2•2•а² → d = √2•а², где а – сторона квадрата.
- Длины диагоналей ромба – не равные величины, однако равны его стороны. Исходя из этого, формулу тоже можно упростить:d1² + d2² = 4•а².
- Эти три формулы можно вывести также из отдельного рассмотрения треугольников, на которые фигуры делятся диагоналями. Они прямоугольные, значит, можно применить теорему Пифагора. Диагонали – это гипотенузы, катеты – стороны четырехугольников.
completerepair.ru
Диагонали и признаки параллелограмма [wiki.eduVdom.com]
Теорема 1. Свойство диагоналей параллелограмма. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
Рис.2
Следующая теорема выражает признаки параллелограмма.
Теорема 2. Если в выпуклом четырехугольнике:
противоположные стороны равны между собой, или
две противоположные стороны равны и параллельны, или
диагонали точкой пересечения делятся пополам, то такой четырехугольник — параллелограмм.
Доказательство проведем для одного из этих признаков, например для признака 1.
Пусть ABCD — четырехугольник, у которого АВ = CD, ВС = AD (рис.1).
Рис.1
Докажем, что ABCD — параллелограмм, т. е. что АВ || CD, ВС || AD. Проведем диагональ АС и получим два треугольника ABC и ADC. Так как АС — общая сторона, АВ = CD, ВС = AD (по условию), то Δ ABC = Δ ADC. Поэтому ∠ 1 = ∠ 2, ∠ 4 = ∠ 3, а из равенства накрест лежащих углов следует параллельность прямых: ВС || AD, АВ || CD.
Пример 1. Диагональ BD параллелограмма ABCD (рис. 2) равна 8 см. Найти длину медианы к стороне АС в треугольнике ABC.
Рис.2
Решение. Согласно теореме 1 диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Поэтому ВО — медиана треугольника ABC к стороне АС и ВО = 1/2 * BD = 1/2 * 8 = 4 (см).
www.wiki.eduvdom.com
Как найти стороны параллелограмма
Свойства параллелограмма:
1. Противоположные стороны равны и параллельны
2. Противоположные углы равны
3. Точка пересечения диагоналей, делит их пополам
1. Формулы длины сторон через диагонали и угол между ними.
a, b — стороны параллелограмма
D — большая диагональ
d — меньшая диагональ
α, β — углы между диагоналями
Формулы сторон параллелограмма через диагонали и угол между ними (по теореме косинусов), (a, b):
Формулы сторон параллелограмма через диагонали и сторону, (a, b):
Формулы сторон параллелограмма , (a, b):
2. Формулы длины сторон параллелограмма через высоту.
a, b — стороны параллелограмма
Hb — высота на сторону b
Ha — высота на сторону a
α, β — углы параллелограмма
Формулы сторон параллелограмма через высоту, (a, b):
3. Дополнительные, интересные формулы параллелограмма:
a, b — стороны параллелограмма
D — большая диагональ
d — меньшая диагональ
α — острый угол между диагоналями
Формула суммы квадратов диагоналей:
Формула разности квадратов сторон:
Формулы площади параллелограмма
Формула периметра параллелограмма
Все формулы по геометрии
zdesformula.ru