Онлайн доказать неравенство: Решение линейных неравенств онлайн · Как пользоваться Контрольная Работа РУ

Содержание

Воспользуйтесь калькулятором неравенства Маркова — MathCracker.com

Решатели Статистика

Инструкции: Используйте калькулятор неравенства Маркова, чтобы оценить верхнюю границу вероятности события $\Pr(X \ge a)$ в соответствии с неравенством Маркова. Пожалуйста, укажите необходимые данные в форме ниже:

Среднее по совокупности ($\mu$)

Нижняя граница события $(a)$:

Неравенство Маркова утверждает, что для значения $a > 0$, у нас есть для любой случайной величины $X$, которая не принимает отрицательных значений, всегда соблюдается следующая верхняя граница:

\[\Pr(X \ge a) \le \displaystyle \frac{E(X)}{a} \]

Неравенство Маркова очень важно для оценки вероятностей, учитывая его общность в том смысле, что оно применяется к любой неотрицательной случайной величине $X$.

Действительно, неравенство Маркова имеет решающее значение для доказательства широко используемого неравенства, а именно: Неравенство Чебышева , и это основа еще более резкого неравенства — неравенства Хёффдинга.

Интуиция о неравенстве Маркова

Какая интуиция стоит за неравенством Маркова? Ну, во-первых, есть очевидный фактор: вероятность на правом хвосте имеет верхнюю границу, которая уменьшается все больше и больше по мере того, как мы получаем более дальний правый хвост, что на самом деле довольно очевидно.

Обратите внимание на характер неравенства: $\frac{E(X)}{a}$ — это не точное значение вероятности хвоста, а только верхняя граница.

Насколько близко это ограничение? Что ж, теперь мы знаем, что это зависит от фактического распределения, но все же существуют более резкие неравенства, такие как неравенство Хёффдинга.

Но все же в математике есть очень четкое правило: чем более общие (менее конкретные) предположения, тем слабее теорема. Итак, довольно удивительно, что неравенство Маркова существует, учитывая очень общий характер его предположений.

Например, эмпирическое правило неравенство гораздо более жесткое, но оно делает гораздо более сильное предположение: лежащее в основе распределение является нормальным. Неравенство Маркова работает для любого распределения (неотрицательной переменной)

Базовый пакет статистики Калькулятор неравенства Маркова Вероятность неравенства Калькулятор статистики Статистический решатель

Приемы доказательства неравенств, содержащих переменные

1.

Приемы доказательства неравенств, содержащих переменныеМатематика
Приемы доказательства
неравенств, содержащих
переменные

2. Если вы хотите участвовать в большой жизни, то наполняйте свою голову математикой, пока есть к тому возможность. Она окажет вам

потом огромную
помощь во всей вашей работе.
(М.И. Калинин)

3. Представление левой части неравенства в виде суммы неотрицательных слагаемых (правая часть равна 0) с использованием тождеств.

1. Представление левой части неравенства в виде
суммы неотрицательных слагаемых (правая
часть равна 0) с использованием тождеств.
Пример 1. Доказать что для любого хϵR
Доказательство. 1 способ.
для хϵR
2 способ.
для хϵR
для хϵR
т. к.
для квадратичной функции
что означает её положительность при любом действительном х.
Пример 2. Доказать, что для любых x и y
Доказательство.
для любых действительных х и у
Пример 3. Доказать, что
Доказательство.

Пример 4. Доказать, что для любых a и b
Доказательство.

5. 2. Метод от противного

Вот хороший пример применения данного
метода.
Доказать, что
для a, b ϵ R.
Доказательство.
Предположим, что
.
Но
,что явно
доказывает, что наше предположение
неверно.
Ч.Т.Д.
Пример 5. Доказать, что для любых
чисел А,В,С справедливо неравенство
Доказательство. Очевидно, что данное
неравенство достаточно установить для
неотрицательных А, В и С, так как будем
иметь следующее отношения:
, что
является обоснованием исходного
неравенства.
Пусть теперь нашлись такие неотрицательные числа А,
В и С, для которых выполняется неравенство
, что невозможно ни при каких
действительных А,В и С. Сделанное выше
предположение опровергнуто, что доказывает
исследуемое исходное неравенство.

8. Использование свойств квадратного трехчлена

Метод основан на свойстве неотрицательности
квадратного трехчлена
, если
и
.

для хϵR
Пример 6. Доказать, что
Доказательство.
Пусть
, a=2, 2>0
=>
для хϵR
Пример 7. Доказать, что для любых действительных
х и у имеет место быть неравенство
Доказательство. Рассмотрим левую часть неравенство
как квадратный трехчлен относительно х:
, а>0, D<0
D=
=> P(x)>0 для хϵR и
верно при любых действительных
значениях х и у.
Пример 8. Доказать, что
для любых действительных значениях х и у.
Доказательство. Пусть
,
для хϵR
Это означает, что
для любых
действительных у и неравенство
выполняется при любых
действительных х и у.

11. Метод введения новых переменных или метод подстановки

Пример 9. Доказать, что для любых
неотрицательных чисел х, у, z
Доказательство. Воспользуемся верным
неравенством для
,
,
.
Получаем исследуемое неравенство

12. Использование свойств функций.

Пример 10. Докажем неравенство
для любых а и b.

Доказательство. Рассмотрим 2 случая:
1) Если а=b,то
верно для аϵR
причем равенство достигается только при а=b=0.
2)Если
,
на R =>
(
)* (
)>0, что доказывает неравенство
Пример 11. Докажем, что для любых
Доказательство.
на R.
Если
, то знаки чисел
и
совпадают, что означает положительность
исследуемой разности =>

14. Применение метода математической индукции

Данный метод применяется для доказательства
неравенств относительно натуральных чисел.
Пример 12. Доказать, что для любого nϵN
1) Проверим истинность утверждения при
— (верно)
2) Предположим верность утверждения при
(k>1)
3) Докажем истинность утверждения при n=k+1.
*3
Сравним
и
:
,
Имеем:
Вывод: утверждение верно для любого nϵN.

16. Использование замечательных неравенств

• Теорема о средних (неравенство Коши)
• Неравенство Коши – Буняковского
• Неравенство Бернулли
Рассмотрим каждое из перечисленных
неравенств в отдельности.

17. Применение теоремы о средних (неравенства Коши)

Среднее арифметическое нескольких
неотрицательных чисел больше или
равно их среднего геометрического
, где
Знак равенства достигается тогда и только
тогда, когда
Рассмотрим частные случаи этой теоремы:
1. Пусть n=2,
,
, тогда
2. Пусть n=2, a>0, тогда
3. Пусть n=3,
,
,
, тогда
Пример 13. Доказать, что для всех
неотрицательных a,b,c выполняется
неравенство
Доказательство.

19. Неравенство Коши — Буняковского

Неравенство Коши — Буняковского утверждает,
что для любых
;
справедливо соотношение
Доказанное неравенство имеет геометрическую
интерпретацию. Для n=2,3 оно выражает известный
факт, что скалярное произведение двух векторов на
плоскости и в пространстве не превосходит
произведение их длин. Для n=2 неравенство имеет
вид:
. Для n=3 получим
Пример 14. Доказать, что для любых a,b,c ϵ R
справедливо неравенство
Доказательство.

Запишем исследуемое неравенство в
следующем виде:
Это заведомо истинное неравенство, так как является
частным случаем неравенства Коши – Буняковского.
Пример 15. Доказать, что для любых a,b,c ϵ R
справедливо неравенство
Доказательство. Достаточно записать данное
неравенство в виде
и сослаться
на неравенство Коши – Буняковского.

21. Неравенство Бернулли

Неравенство Бернулли утверждает, что если х>-1,
то для всех натуральных значений n
выполняется неравенство
Неравенство может применяться для выражений
вида
Кроме того, очень большая группа неравенств
может быть легко доказана с помощью
теоремы Бернулли.
Пример 16. Доказать, что для любых n ϵ N
Доказательство.
Положив х=0,5 и
применив теорему Бернулли для выражения
, получим требуемое неравенство.
Пример 17. Доказать, что для любых n ϵ N
Доказательство.
по теореме Бернулли,
что и требовалось.

23. Давида Гильберта спросили об одном из его бывших учеников.

«А, такой-то? — вспомнил Гильберт. — Он стал поэтом. Для математикиДавида Гильберта спросили об
одном из его бывших учеников.
«А, такой-то? — вспомнил
Гильберт. — Он стал поэтом. Для
математики у него было
слишком мало воображения.

Доказательство неравенств

В этом разделе мы рассмотрим, как можно использовать производные для доказательства математических неравенств. Общий подход заключается в изучении свойств функций в неравенстве с помощью производных. Наиболее важными здесь являются свойства монотонности и ограниченности функций. Кроме того, для решения неравенств часто используется теорема Лагранжа о среднем значении. Типичные примеры по этой теме перечислены ниже.

92}\] верно.

Пример 5

Докажите, что для $x \gt 0$ верно неравенство \[\ln x \le x — 1\].

Пример 6

Покажите, что для $x \gt 1$ верно неравенство \[\sqrt x + {\frac{1}{{\sqrt x }}} \gt 2\].

Пример 1.

Докажите неравенство \[\sqrt {1 + x} \le 1 + \frac{x}{2}\] для $x \gt 1$.

Раствор.

Рассмотрим функцию $f\left( x \right) = \sqrt {1 + x} — {\frac{x}{2}} — 1$ и найдем ее производную: 92} = 1,\;\;\; \Стрелка вправо x = \pm 1.\]

Только одна точка $x = 1$ удовлетворяет условию $x \gt 0.$ Так как производная меняет знак с минуса на плюс при переходе через эту точку (слева направо), то точка $x = 1$ является минимумом.

Значение функции в этой точке равно $f\left( 1 \right) = 1 + {\frac{1}{1}} = 2$. Следовательно,

\[f\left( x \right) \ge 2,\;\;\; \Rightarrow x + \frac{1}{x} \ge 2,\;\;\; \Rightarrow \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2.\] 92} = 1,\;\;\; \Стрелка вправо x = \pm 1.\]

Из трех критических точек $x = —1$, $x = 0$, $x = 1,$ только последняя точка $x = 1$ удовлетворяет условию $x \gt 0.$ Производная отрицательна слева от этой точки и положительна справа. Следовательно, функция имеет минимум в этой точке, равный

\[f\влево( 1 \вправо) = 1 — 2\ln 1 — 1 = 0. 2}.\] 9\prime = \frac{1}{x} — 1.\]

Производная положительна при $0 \lt x \lt 1$ и отрицательна при $x \gt 1.$. Следовательно, функция $f(x)$ имеет максимум в точке $x = 1$ равно

\[f\влево( 1 \вправо) = \ln 1 — 1 + 1 = 0.\]

Таким образом, для $x \gt 0$ справедливо следующее неравенство:

\[f\left( x \right) \le 0,\;\;\; \стрелка вправо \ln x — x + 1 \le 0,\;\;\; \стрелка вправо \ln x \le x — 1.\]

Пример 6. 9{3/2}}}} = \frac{{x — 1}}{{2x\sqrt x }}.\]

Как видно, производная положительна при $x \gt 1.$ Следовательно, функция возрастает при $x \gt 1.$

Поскольку $f\left( 1 \right) = \sqrt 1 — {\frac{1}{{\sqrt 1 }}} — 2 = 0$, функция $f(x)$ положительна для всех $x \gt 1.$ Таким образом, при $x \gt 1,$ выполняется следующее неравенство:

\[f\left( x \right) \gt 0,\;\;\; \Стрелка вправо \sqrt x + \frac{1}{{\sqrt x }} — 2 \gt 0,\;\;\; \Стрелка вправо \sqrt x + \frac{1}{{\sqrt x }} \gt 2. \]

Дополнительные проблемы см. на стр. 2.

проверка письма — Доказательство неравенства путем манипулирования обеими сторонами

спросил

2 года 9 месяцев назад

Изменено 2 года, 9 месяцев назад

Просмотрено 119 раз

$\begingroup$

Допустимо ли при доказательстве неравенства манипулировать обеими частями выражения одновременно (вычитая и добавляя члены с каждой стороны) и затем приходя к утверждению, которое должно быть истинным. Например, если я манипулирую обеими сторонами и получаю $|a| \geq 0$ тогда я могу завершить доказательство? Или я должен манипулировать каждой стороной независимо?

неравенство
корректура

$\endgroup$