Множество значение функции – Нахождение множества значений функции [wiki.eduVdom.com]

Множество значений функции Википедия

Область значений (или множество значений) функции — множество, состоящее из всех значений, которые принимает функция^[1][2][3].

Определение[ | ]

Пусть на множестве X{\displaystyle X} задана функция f{\displaystyle f}, которая отображает множество X{\displaystyle X} в Y{\displaystyle Y}, то есть: f:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}. Тогда областью (или множеством) значений функции f{\displaystyle f} называется совокупность всех её значений, которая является подмножеством множества Y{\displaystyle Y} и обозначается f(X){\displaystyle f(X)}:

f(X)={y∈Y|y=f(x),x∈X}{\displaystyle f(X)=\{y\in Y|\,y=f(x),\,x\in X\}}.

Множество значений функции f{\displaystyle f} обозначается также символами E(f){\displaystyle E(f)}, R(f){\displaystyle R(f)} или ranf{\displaystyle \mathrm {ran} \,f} (от англ. range).

ru-wiki.ru

Понятие функции, ее области определения и множества значений.

Способы задания функции

Пусть D – произвольное подмножество действительных чисел ( ).

Определение 5. Если каждому числу поставлено в соответствие по некоторому правилу или закону одно вполне определенное значение y = f(x), то говорят, что на множестве D определена числовая функция f.

В определении речь идет об однозначной функции. Если допускать, что каждому отвечает не одно, а несколько (или даже бесконечное множество) значений y, то функцию называют многозначной. В дальнейшем будем рассматривать однозначные функции.

Множество D называется областью определения функции f и обозначается D(f), а множество – множеством значений функции и обозначается Е(f).

Для записи функции применяются следующие обозначения: y = f(x), , .

Величина х называется независимой переменной или аргументом функции

, а величина у – зависимой переменной или функцией.

Способы задания функции: аналитический, табличный, графический.

Аналитический способ задания функции состоит в том, что с помощью формулы, или нескольких формул, или уравнений устанавливается алгоритм вычисления значений функции f(x) для каждого из значений .

Под областью определения понимают множество x, при которых данная формула имеет смысл.

Табличный способ задания функции осуществляется табличным перечислением n значений аргумента и соответствующих им значений функции .

Графический способ задания функции состоит в представлении функции y = f(x) графиком в некоторой системе координат.

Определение 6. Графиком функции y = f(x) называется множество всех точек плоскости с координатами (х; f(x)), где

х D(f).

Основные свойства функции

Средствами элементарной математики для функции y = f(x) с областью определения D(f) в большинстве случаев можно определить следующие характеристики:

1. Нули и знак функции.

Значения , при которых функция f обращается в нуль, называются нулями функции,т.е. нули функции являются корнями уравнения f(x)=0.

Если f(x)>0 на некотором интервале,то говорят, что функция на этом интервале положительная и график функции расположен выше оси Ox.

Если f(x)<0 на некотором интервале,то говорят, что функция на этом интервале отрицательная и график функции расположен ниже оси Ox.

В нуле функции график имеет общую точку с осью Ox.

2. Четность или нечетность функции

.

Определение 7. Числовая функция f называется четной (нечетной), если .

График четной функции симметричен относительно оси Оу, а график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Функция, не являющаяся ни четной, ни нечетной, называется функцией общего вида.

3. Периодичность функции.

Определение 8. Функция f называется периодической, если существует такое число Т 0, что для выполня­ются условия:

1) ;

2) f(x – Т) = f(x + Т) = f(x).

Число Т называется периодом функции.

Заметим, что если Т является периодом функции f(x), то число nT , где – также период этой функции. Если существует наименьший положительный период функции, то его называют

основным периодом.

4. Интервалы возрастания, убывания функции.

Определение 9. Функция f называется возрастающей (убывающей) на множестве Х D(f), если для любых значений таких, что < , справедливо неравенство f(x₁) < f(x₂) (f(x₁) > f(x₂)).

Возрастающие и убывающие на множестве Х функции называются монотонными функциями на этом множестве.

 

5. Ограниченность функции.

 

Определение 10. Функция y = f(x) называется ограниченной на множестве Х D(f), если существует такое число М > 0, что для выполняется: |f(x)| M.

Из определения следует, что график ограниченной функции располагается между прямыми

y=M и y= –M.

Понятие обратной функции

Пусть задана функция y = f(x) с областью определения D и множеством значений E. Если каждому соответствует единственное значение , то определена функция с областью определения E и множеством значений D. Функция называется обратной к функции y = f(x) и записывается: .

Справедливо: . Поэтому функции f и называются взаимно обратными.

Замечание. Функция y = f(x) имеет обратную тогда и только тогда, когда она взаимно однозначная, т.е. каждому соответствует единственный и наоборот. Отсюда следует, что любая монотонная функция имеет обратную.

Правило нахождения обратной функции для взаимно однозначной функции y = f(x):

1. Из уравнения y = f(x

) выражаем ;

2. Переобозначая , получим функцию , обратную данной.

Графики взаимно обратных функций y = f(x) и симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.

 

Понятие сложной функции

Пусть y = f(u) определена на множестве D, а функция определена на множестве D₁, причем для соответствующее значение . Тогда на множестве D₁ определена функция , которая называется сложной функцией от x или функцией от функции или композицией функций.

Переменную называют промежуточным аргументом сложной функции.

Можно рассматривать сложные функции от любого количества промежуточных аргументов. Например, сложная функция от 2-х промежуточных аргументов выглядит так:

.

Пример. – сложная функция. Ее можно записать в виде следующей цепочки равенств:

---

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:

zdamsam.ru

Множество значений функции Википедия

Область значений (или множество значений) функции — множество, состоящее из всех значений, которые принимает функция^[1][2][3].

Определение

Пусть на множестве X{\displaystyle X} задана функция f{\displaystyle f}, которая отображает множество X{\displaystyle X} в Y{\displaystyle Y}, то есть: f:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}. Тогда областью (или множеством) значений функции f{\displaystyle f} называется совокупность всех её значений, которая является подмножеством множества Y{\displaystyle Y} и обозначается f(X){\displaystyle f(X)}:

f(X)={y∈Y|y=f(x),x∈X}{\displaystyle f(X)=\{y\in Y|\,y=f(x),\,x\in X\}}.

Множество значений функции f{\displaystyle f} обозначается также символами E(f){\displaystyle E(f)}, R(f){\displaystyle R(f)} или ranf{\displaystyle \mathrm {ran} \,f} (от англ. range).

Способы нахождения областей значений некоторых функций

• последовательное нахождение значений сложных аргументов функции;
• метод оценок;
• использование свойств непрерывности и монотонности функции;
• использование производной;
• использование наибольшего и наименьшего значений функции;
• графический метод;
• метод введения параметра;
• метод обратной функции.

Терминология

В некоторых источниках различаются понятия области значений и множества значений функции. При этом областью значений функции называют её кодомен, то есть множество Y{\displaystyle Y} в обозначении функции f:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}^[4], сохраняя термин множество значений для обозначения совокупности всех значений функции f{\displaystyle f}.

Множество значений f(X){\displaystyle f(X)} называется также образом множества X{\displaystyle X} при отображении f{\displaystyle f}.

Иногда множество значений функции называют множеством всех значений или областью изменения функции^[3].

См. также

Примечания

Литература

• Функция. Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров. — М.: «Большая российская энциклопедия», 1995.
• Клейн Ф. Общее понятие функции. В кн.: Элементарная математика с точки зрения высшей. Т.1. М.-Л., 1933
• И. А. Лавров, Л. Л. Максимова. Часть I. Теория множеств // Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. — 3-е изд.. — М.: Физматлит, 1995. — С. 13 — 21. — 256 с. — ISBN 5-02-014844-X.
• А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. Глава 1.. Элементы теории множеств // Элементы теории функций и функционального анализа. — 3-е изд.. — М.: Наука, 1972. — С. 14 — 18. — 256 с.
• Дж. Л. Келли. Глава 0. Предварительные сведения // Общая топология. — 2-е изд.. — М.: Наука, 1981. — С. 19 — 27. — 423 с.
• В. А. Зорич. Глава I. Некоторые общематематические понятия и обозначения. § 3. Функция // Математический анализ, часть I. — М.: Наука, 1981. — С. 23 — 36. — 544 с.
• А. Н. Колмогоров. «Что такое функция» // «Квант». — М.: «Наука», 1970. — Вып. 1. — С. 27-36. — ISSN 0130-2221.

wikiredia.ru

Как найти множество значений функции

КАК НАЙТИ МНОЖЕСТВО ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ
Сильвестров В.В.

д.ф.-м.н., профессор кафедры естественнонаучных дисциплин

Чувашского республиканского института образования
Единый государственный экзамен (ЕГЭ) внес новое веяние в экзаменационные задания по математике. Наряду с задачами традиционного характера, предлагающимися на выпускных экзаменах за курс средней школы и вступительных экзаменах в вузы, задания ЕГЭ неизменно содержат 2-3 задачи на нахождение множества значений функции или сводящиеся к ним задачи. Такие задачи вызывают у учащихся немалые затруднения, и особенно, если требуется оформление решения с обоснованием всех моментов.

В данной статье на конкретных примерах раскрываются методы нахождения множества значений функции. Более подробно с этими методами, теорией и типовыми примерами можно ознакомиться по книге [1].

Приведем свойства непрерывных, монотонных и дифференцируемых функций, наиболее часто используемые при нахождении множества значений функции.

Если функция непрерывна на отрезке и – ее наименьшее и наибольшее значения на этом отрезке, то множество значений функции на есть отрезок

Если непрерывная и возрастающая функция на отрезке , то множество значений функции на этом отрезке есть отрезок . При этом каждое значение функция принимает ровно при одном значении , т.е. уравнение имеет единственный корень на от­резке . Если – непрерывная и убывающая функция на отрезке , то ее множество значений на gif» name=»object17″ align=absmiddle width=50 height=18> есть отрезок .

Если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема (имеет производную) в интервале то наибольшее и наименьшее значения функции на этом отрезке существуют и достигаются либо на концах отрезка, либо в критических точках функции, расположенных на отрезке.

К основным методам и приемам нахождения множества значений функции относятся:

• 
  последовательное нахождение значений сложных аргументов функции;
  
• 
  метод оценок;
  
• 
  использование свойств непрерывности и монотонности функции;
  
• 
  использование производной;
  
• 
  графический метод;
  
• 
  метод введения параметра;
  
• 
  метод обратной функции.
  

Рассмотрим эти методы на конкретных примерах.

Пример 1. Найдите область значений функции

.

Решим пример методом последовательного нахождения значений сложных аргументов функции.

Так как принимает все неотрицательные значения, и только их, то

Обозначим Тогда где Функция определена лишь при поэтому ее множество значений при совпадает с множеством значений функции на промежутке (0; 10], где функция непрерывна и возрастает. При она стремится к , а при принимает значение 1. Следовательно, множество значений на (0; 10] есть луч Тем самым, . Тогда у функции область значений .

Через сложный аргумент z исходная функция выражается формулой где . Эта функция определена при поэтому множество значений функции у при совпадает с ее множеством значений при . На промежутке (0; 2] функция непрерывна и убывает. Так как логарифмирование по основанию 0,1 меняет характер монотонности, то у – непрерывная и возрастающая функция на (0; 2]. При дробь стремится к , значит, функция у стремится к . При она равна Следовательно, множество значений функции у при есть луч . Это и есть

Ответ: .

Пример 2. Найдите область значений функции

Решим пример методом оценок.

Из неравенств

складывая второе и последнее по частям, получим

При и функция принимает значения и Эта функция, как линейная комбинация непрерывных функций и непрерывна на всей числовой оси, поэтому она принимает все значения с (– 7) до 7 включительно, причем только их, так как в силу неравенств другие значения у нее невозможны.

Ответ: .

Наиболее распространенная ошибка при нахождении множества значений функции методом оценок состоит в следующем. На основании полученных оценок, например, неравенств делается ошибочно заключение, что множество значений функции есть отрезок [А; В], в то время, как такое заключение можно сделать лишь тогда, когда функция непрерывна на рассматриваемом промежутке и на нем имеются точки, в которых функция принимает значения А и В (достигает нижней А и верхней В границы оценки). В общем случае оценка лишь означает, что множество значений функции на рассматриваемом промежутке принадлежит отрезку [А; В], и вовсе не означает, что оно совпадает со всем отрезком [А; В]. Например, функция как и функция в примере 2, удовлетворяет неравенствам Однако нет таких значений x, при которых функция принимала бы значения (– 7) и 7, поэтому на основании неравенств можно лишь утверждать о принадлежности множества значений функции отрезку . На самом деле, , что найдем в следующем примере, используя производную.

Пример 3.

Решение. По формуле синуса тройного угла

Обозначим Тогда Так как принимает все значения с (– 1) до 1 включительно, и только их, то область значений функции у совпадает с множеством значений функции на отрезке .

На этом отрезке функция дифференцируема, так как ее производная существует при всех . Из уравнения находим критические точки функции которые принадлежат отрезку . В этих точках и на концах отрезка

Так как то и по свойству дифференцируемой функции наименьшее значение функции на отрезке равно , а наибольшее значение равно . На отрезке функция , как многочлен, непрерывна (это следует также из дифференцируемости функции), поэтому ее множество значений на этом отрезке есть и область значений .

Ответ: .

Пример 4. Найдите множество значений функции на отрезке .

Решим пример, используя свойство непрерывности и монотонности функции.

На отрезке функция а значит, и функция убывают и непрерывны. Кроме того, так как для всех х. Так как имеет другой характер монотонности, чем t, и то функция непрерывна, возрастает и положительна при . Функция непрерывна и возрастает на всей числовой оси, в частности, и на отрезке , где она, кроме того, положительна. Следовательно, функция как произведение двух непрерывных, возрастающих и положительных функций и , также непрерывна и возрастает на отрезке , поэтому искомое множество значений функции есть отрезок

Ответ: .

Задача нахождения области (множества) значений функции тесно связана с вопросом о разрешимости уравнения Действительно, число а является одним из значений функции тогда и только тогда, когда найдется хотя бы одно значение аргумента х такое, что Последнее озна­чает, что уравнение имеет хотя бы один корень х. Следовательно, область значений функции совпадает с множеством значений параметра а, для которых уравнение имеет хотя бы один корень.

Пример 5.

Решение. Найдем множество значений параметра а, для которых уравнение

имеет хотя бы один корень.

При уравнение является линейным с ненулевым коэффициентом при неизвестной x, поэтому имеет решение.

При уравнение является квадратным, поэтому оно разрешимо тогда и только тогда, когда его дискриминант

Так как точка принадлежит заштрихованному отрезку, то искомым множеством значений параметра а, значит, и областью значений будет весь этот отрезок.

Ответ: .

Как продолжение метода введения параметра можно рассматривать метод обратной функции, для нахождения которой надо решать относительно х уравнение считая у параметром. Если это уравнение имеет единственное решение то область значений исходной функции совпадает с областью определения обратной функции

Пример 6.

Решение. Найдем обратную функцию из уравнения

.

Теперь найдем область определения :

Так как то

Ответ:

При нахождении множества значений функции во многих случаях помогает схематический график функции.

Пример 7. Из уравнения нашли всевозможные у через х. Найдите множество всех значений, которые может принимать у.

Решим пример графически.

В системе координат Оху построим график уравнения

Им будет окружность радиуса 2 с центром в точке (0; 1). С другой стороны, этот график представляет собой совокупность графиков всевозможных функций у, определяемых из заданного уравнения, поэтому у может принимать все те значения, которые являются координатами проекций точек графика на ось Оу. Из рисунка видно, что искомое множество есть отрезок .

Ответ: .
Пример 8. Найдите все те значения функции каждое из которых она принимает только при одном значении аргумента х (ровно один раз).

Решение. По свойствам степеней . Обозначим Тогда Так как и – возрастающая функция на числовой оси, то различным значениям х соответствуют различные положительные значения t, поэтому задача равносильна задаче нахождения таких значений а функции каждое из которых она принимает ровно при одном положительном значении аргумента t.

Ответ:

Приведенные примеры не исчерпывают все многообразие задач, связанных с нахождением множества значений функции. Большое число таких задач, с решениями и без них, имеется в книге [1]. Приведем некоторые из них, рекомендуя читателям самостоятельно решить их.

А1. Найдите области (множества) значений функций:

1)  2)  3) 

4)  5)  6)  7) .

А2. Найдите наименьшее значение функции

A3. Найдите наибольшее значение функции

Bl. Найдите области (множества) значений функций:

1)  2) 

3)  4) 

В2. Найдите наименьшее целое значение функции

В3. Найдите наибольшее целое значение функции

В4. Найдите наименьшее значение функции на отрезке

С1. Найдите области (множества) значений функций:

1) ;

2) 

3)

С2. Найдите все целые значения функции

СЗ. Найдите все те значения функции каждое из которых функция принимает только при одном значении х.

С4. Найдите все неотрицательные значения параметра с, при которых уравнение не имеет корней.

Ответы:

А1. 1) [– 5; 5]; 2) [2; 3]; 3)

4) 5) 6) 7)

А2. – 3.

A3. 8.

В1. 1) [1; 3]; 2) [– 2; – 1]; 3) [1/3; 27]; 4)

В2. – 3.

ВЗ. – 5.

В4. 0,4.

С1. 1) [– 5; 2,5]; 2) 3) [– 0,5; 2,5].

С2. 3; 4; 5; 6; 7; 8.

С3.

С4. [0; 16).

ЛИТЕРАТУРА

1. Сильвестров В.В. Множество значений функции. Чебоксары: Изд-во ЧГУ, 2004. 64 с.

ru.convdocs.org

Множество значений функции — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Область значений (или множество значений) функции — множество, состоящее из всех значений, которые принимает функция^[1][2][3].

Определение[ | ]

Пусть на множестве X{\displaystyle X} задана функция f{\displaystyle f}, которая отображает множество X{\displaystyle X} в Y{\displaystyle Y}, то есть: f:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}. Тогда областью (или множеством) значений функции f{\displaystyle f} называется совокупность всех её значений, которая является подмножеством множества Y{\displaystyle Y} и обозначается f(X){\displaystyle f(X)}:

f(X)={y∈Y|y=f(x),x∈X}{\displaystyle f(X)=\{y\in Y|\,y=f(x),\,x\in X\}}.

Множество значений функции f{\displaystyle f} обозначается также символами E(f){\displaystyle E(f)}, R(f){\displaystyle R(f)} или ranf{\displaystyle \mathrm {ran} \,f} (от англ. range).

Способы нахождения областей значений функций[ | ]

• последовательное нахождение значений сложных аргументов функции;
• метод оценок;
• использование свойств непрерывности и монотонности функции;
• использование производной;
• использование наибольшего и наименьшего значений функции;
• графический метод;
• метод введения параметра;
• метод обратной функции.

Терминология[ | ]

В некоторых источниках различаются понятия области значений и множества значений функции. При этом областью значений функции называют её кодомен, то есть множество Y{\displaystyle Y} в обозначении функции f:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}

encyclopaedia.bid

Множество значений функции: нестандартные задачи

1. /romashenko.doc

Множество значений функции: нестандартные задачи

Множество значений функции: нестандартные задачи.

( Ромашенко Людмила Сергеевна – учитель математики МОУ « СОШ № 53»)

Не секрет, что множеству значений функции, причём как его нахождению, так и применению, в отличие от области определения, уделяется крайне мало внимания. Между тем, отвечая на вопрос, где определена функция, каково её поведение, совсем не лишним было бы указать, каковы границы её изменения. Даже в схеме построения графика функции нет пункта – множество значений функции. Чаще всего уже построив график без помощи или с помощью инструментария дифференциального исчисления, мы коснёмся вопроса о множестве значений функции, если коснёмся, конечно.

А между тем единый государственный экзамен преподносит ученику немало сюрпризов, где помимо нахождения самого множества значений функции, его подмножеств, наибольшего или наименьшего значения функции и т. д., требуется применить его к решению уравнений либо неравенств. Понятна и растерянность ученика, и его беспомощность, если подобных заданий он не встречал в своих учебниках, в частности, под редакцией Ш. А. Алимова.

Перелистав страницы ряда учебников и дидактических материалов, я нашла их в достаточном количестве, причём довольно интересных, только у Б. Г. Зива и В. А. Гольдича, не только в вариантах 7 и 8, 5 и 6 ( на « 5» ), но и в вариантах 3 и 4 ( на «4») и даже в вариантах 1 и 2.

Приведу ряд примеров, решая которые учащиеся приобретают навыки работы с заданиями подобного рода.

Пример 1. Какие значения может принимать выражение ?

Учитывая, что выражение 4+sin ? не равно нулю для любого ?, находим наибольшее и наименьшее значение данного выражения соответственно при наименьшем и наибольшем значении знаменателя ( при sin ?= -1 и при sin ?= =1): 3 и . В силу непрерывности функции y = ( пока понятие непрерывности только упоминается), имеем множество значений данного выражения есть ( 9 класс)

Пример 2. Найти множество значений выражения 1 — — 2sin² ?.

Преобразуем выражение следующим образом:

1 — -2sin² ? = 1 — — 2sin² ? +1 – 1= 2(1 — sin² ?) — — 1.

Введём замену =z, где 0? z ? 1, получим, f(z)=2z² –z -1. Наименьшее значение этой квадратичной функции на равно -9/8, а наибольшее равно 0. Следовательно, множество значений данного выражения есть .

Пример 3. Найти множество значений выражения 1 + + 2 cos² ?

Имеем 1 + + 2 cos² ? =1 + + 2 cos² ? -2+2 = 2(cos² ? -1) +

+3. Пусть

=z, где 0? z ? 1. Получим f(z)=-2z² +z +3. На наибольшее значение функции равно 25/8, а наименьшее равно 2. Искомое множество значений есть .

Приведённые мною примеры, в ходе решения которых учащиеся учатся видеть старую знакомую квадратичную функцию, помогают им приобретать навыки отыскания множества значений функции.

Рассмотрим ряд задач из раздела А.

Пример 1.Найти множество значений функции y=.

Данная функция будет иметь наибольшее и наименьшее значение в тех же точках, что и функция g(x): g_наим=_{0, gнаиб.= 4, отсюда наибольшее значение данной функции равно 2, а наименьшее значение функции равно 0. И вновь в силу непрерывности данной функции заключаем, что искомое множество значений есть .}

Пример 2.Найти множество значений функции y=16^-1-3x—x

Функция y=16^t-возрастающая, следовательно, её наибольшее значение будет при наибольшем значении функции t(x)=-1-3x-x². Т. к. наибольшее значение функции t(x) равно , то наибольшее значение данной функции равно 16 в степени , т. е. 32. Наименьшего значения она не имеет, поэтому в силу того, что она принимает только положительные значения и в силу её непрерывности, заключаем, что искомое множество значений есть промежуток .

В разделе В заданий на нахождение множества значений, наибольшего либо наименьшего значения функции значительно больше, но проанализировав их решение, я пришла к выводу, что для их решения не нужны особые приёмы. Достаточно понимать, что значит «функция возрастающая (убывающая)» и уметь выполнять различные тождественные преобразования, положим, приводящие функцию f( sin, cos) к g( sin) и т. д.

Предложу ряд задач и их решения.

Пример 1. Найти множество значений функции log_0,01

Т.к. y=log_0,01t убывающая, то наименьшее её значение будет при наибольшем значении аргумента, а следовательно, при наименьшем значении знаменателя, т. е. при x=0, y_наим.=y(0)= -1. Наибольшего значения данная функция не имеет, т. к. не имеет наибольшего значения и выражение 1+lg(100+x²), следовательно, искомое множество значений есть промежуток .

Пример 2. Найти количество целых чисел из множества значений функции

y=16 log_1/16

Приведём функцию к виду:

y=16 log_1/16 =16 log_1/16 (3+cos(x-)), пользуясь формулами приведения и суммы синусов.

Функция y=16 log_1/16t убывающая, следовательно, наибольшее значение данной функции будет при наименьшем значении выражения 3+ cos(x-), равном 2, отсюда, y_наиб.= 16 log_1/16 2= — 4; наименьшее, соответственно, при наибольшем значении выражения 3+ cos(x-), равном 4, отсюда, y_наим.= 16 log_1/164=-8. Следовательно, в силу непрерывности данной функции множество её значений есть промежуток , искомые целые числа : -8,-7,-6,-5,-4.

Пример3. Из множества значений функции f(x)=4arcsinудалили все целые числа, сколько получилось промежутков?

Преобразуем функцию к виду f(x)=4arcsin (cos(2x-)), пользуясь формулами приведения и суммы синусов. Т.к. функция y=arcsin t определена на , а -?cos(2x-)?, следовательно, х-любое число.

Функция y=arcsin t – возрастающая, следовательно, наибольшее значение искомой функции будет достигнуто при наибольшем значении cos(2x-), равном 1, а наименьшее – при наименьшем значении соs( 2х-), равном – 1. Отсюда, у_наиб.=4arcsin(ּ1)= , у_наим. = 4arcsin(ּ(-ּ1))= — . В силу непрерывности исходной функции множество её значений есть промежуток . Выбросив целые числа из полученного множества значений, т. е. числа -3,-2,-1,0,1,2,3, получим восемь промежутков.

Пример 4. Найти наибольшее целое значение функции у= =

Преобразуем функцию к виду у = , пользуясь основным тригонометрическим тождеством. Отсюда, у_наим.= ּ=; у_{наиб. =}ּ=. Множество значений функции в силу её непрерывности есть промежуток , следовательно, наибольшее целое значение данной функции есть число 8.

Пример 5. Найти наименьшее целое значение функции у=1,5

Преобразуем функцию следующим образом: у=1,5=1,5=1,5. Имея у_наим. при cos x=0, а у_наиб.при cos x=1,получим:

У_наим.=1,5 =, у_наиб.=1.5=10,5. Отсюда, множество значений данной функции есть промежуток , а наименьшее целое число из множества значений равно 6.

Рассмотрим задание из раздела С.

Найти множество значений функции у=sin2x, где х принадлежит промежутку .

Решение.

1. Т. к. х? , то 2х?.

2. Т.к. у=arccos x – функция убывающая, а , то arccos > arccos, отсюда 2 arccos >2 arccos, значит, 2 arccos >. Следовательно, 2х находятся во второй четверти, т. к. ?2х.

3. Во второй четверти у=sin t убывает и непрерывна, следовательно, у = sin 2t принимает все значения от удо у(arccos).

4. а). sin2∙= sin =

б) sin(2arccos)= 2 sin(arccos)∙ cos(arccos)=2∙=

Итак, множество значений данной функции есть промежуток .

Несколько примеров на применение множества значений функции к решению уравнений и неравенств. Обычно при решении подобных уравнений и неравенств не помогают алгебраические преобразования либо решение их громоздко.

Пример 1. Решить уравнение cos x=x²+1

Т. к. cos x?1, а x²+1?1 для любого х, то данное равенство выполняется тогда и только тогда, когда cos x=1 и x²+1=1.

Пример 2. Решить уравнение cos x = x²-2x+2

Т. к. cos x?1, а x²-2x+2=(х-1)²+1?1, то cos x и (х-1)²+1 одновременно должны быть равны 1.

Пример 3. Решить уравнение 8 sin x = x² – 10x+33

Т. к. 8 sin x?8, а x² – 10x+33 = (х-5)²+8?8,то данное уравнение равносильно системе уравнений sin x=1 и (х-5)²=0. Корнем второго уравнения является х=5. Докажем, что sin 5?1:

т. к. sin (=1; то +2=5, отсюда, +4=10, значит, = , чего быть не может, т. к. — число иррациональное, а — число рациональное.

Следовательно, данное уравнение корней не имеет.

Пример 4. х⁴-2х²+2=1-

Пусть f₁(x)=x⁴-2х²+2=(x²-1)²+1? 1, причём f₁(x)=1 при х=±1.

f₂(x)=1- ?1.

Отсюда, равенство f₁(x)= f₂(x) возможно лишь при f₁(x)= f₂(x)=1. Проверкой убеждаемся, что -1 корнем не является.

Пример 5. Решить уравнение cos⁷x + sin⁵ x = 1

Имеем cos⁷x + sin⁵ x = cos²x + sin² x,

сos²x(cos⁵x – 1)= sin² x( 1- sin³ x).

f₁ (x)= сos²x(cos⁵x – 1) ?0, т. к. сos²x?0, а cos⁵x – 1?0 для любого значения х.

f₂ (x) = sin² x( 1- sin³ x) ?0, т. к. sin² х?0, 1- sin³ x?0 для любого значения х.

Отсюда, равенство f₁ (x)=f₂ (x) возможно лишь при f₁ (x)=f₂ (x)=0, т. е. данное уравнение равносильно системе двух уравнений: сos²x(cos⁵x – 1)=0 и

sin² x( 1- sin³ x)=0, которая равносильна совокупности двух систем: первая состоит из уравнений cos x=0 и sin x=1, а вторая – из уравнений cos x=1 и sin x=0.

Пример 6. Решить уравнение cos²( x sinx)= 1+log²₅

_{Пусть f1 (x)= cos²( x sinx) ?1, а f2 (x)=1+log²5? 1, отсюда, данное уравнение равносильно системе двух уравнений: cos²(xsinx) =1 и log²5=0. Решениями второго уравнения являются числа 0 и -1. Первому же уравнению удовлетворяет лишь 0, следовательно, 0 и есть корень исходного уравнения.}

Пример 7. Решить уравнение log( x²+9) — logx = 6x-5-x²

ОУУ: х>0

Пусть f₁ (x) = 6x-5-x². Очевидно, что f₁ (x) ?4, причём f₁ (x)=4 при х=3.

f₂ (x) = log( x²+9) — logx . С помощью производной находим f _{2 min=4 при х=3. Т.к. х=3 является единственной точкой минимума в области определения уравнения, следовательно, f2(х)=4 будет и наименьшим значением функции f2 (x) при х=3, следовательно, f2 (x) ?4 при всех значениях х ?3.}

Равенство f₁ (x)= f₂ (x) будет выполняться лишь при f₁ (x)= f₂ (x)=4, что возможно только при х=3, значит, х=3 является корнем уравнения.

Пример 8. Решить неравенство > x³-9

Разложим подкоренное выражение на множители, получим:

=, тогда> x³-9.

Областью определения функции f₁ (x)= является промежуток , а множеством значений – неотрицательные числа. Множеством же значений функции f₂ (x)= x³-9 на является промежуток , т. е. числа отрицательные. Следовательно, решением данного неравенства и является промежуток .2>

edu.znate.ru