Как вычислить скалярное произведение векторов – Как найти скалярное произведение векторов, примеры решений

matworld.ru

Скалярное произведение (a,b)

Скалярным произведением двух векторов (a, b)


называют число равное сумме попарных произведений координат векторов с каждой оси, т.е.

Из формулы видно что вычисление скалярного произведения — это самое простое занятие, которое может выполнить любой школьник.

Например, если есть два вектора в пространстве с координатами

то их скалярное произведение равно 6

В математике есть еще одно определение скалярного произведения.

Согласно второму определению скалярное произведение двух векторов равно числу, которое получают умножением длин векторов (их модулей) на косинус угла между ними

Данное определение используют не столько для нахождения скалярного произведения, как для исчисления значение косинуса угла и уже из таблиц — самого угла между векторами. Из определения получают удобную формулу для вычисления угла между векторами

или в координатной форме

Приведем примеры вычисления скалярного произведения для трехмерных векторов.

———————————————

Примеры.

Задано векторы и . Вычислить их скалярное произведение, если

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

Решение. Выполним вычисления согласно формул

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

————————————

Из примеров Вы убедились, что нахождение скалярного произведения попарным перемножением координат векторов, а затем их суммированием не является сложным. В следующих статьях будут рассмотрены другие стороны скалярного произведения и его применение к векторному анализу.

Посмотреть материалы:

yukhym.com

Свойства скалярного произведения векторов

Замечание. Если хотя бы один из двух векторов нулевой, то их скалярное произведение равно нулю.

Свойства скалярного произведения векторов

1. Скалярное произведение вектора самого на себя называется скалярным квадратом:

Скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля:

2. .

3. .

4. .

5. Длина вектора равна

6. Величина угла (а точнее косинус этого угла) между ненулевыми векторами и равна частному скалярного произведения этих векторов и произведения их длин:

7. Два ненулевых вектора и ортогональны (перпендикулярны) тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю:

8. Угол между двумя ненулевыми векторами и является острым тогда и только тогда, когда их скалярное произведение положительно; и является тупым – когда скалярное произведение отрицательно.

9. Длина проекции вектора на ось, образованную вектором , равна скалярному произведению этих векторов, деленному на модуль вектора :

10. Если векторы и заданы своими координатами, то их скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат:

Примеры решения задач

Скалярное произведение двух векторов и его свойства

Определение. Скалярным произведением двух векторов иназывается число, равное произведению модулей векторовина косинус угла между ними.

Скалярное произведение векторов иобозначают

Итак, по определению

,

где — угол между векторамита.

Если хотя бы один из векторов нулевой, то угол не определен и скалярное произведение по определению считают равным нулю.

Поскольку по формуле

то формулу скалярного произведения можно записать еще и таким образом:

или

.

Скалярное произведение имеет следующие свойства:

1.Скалярное произведение коммутативно, то есть для любых векторов . (2.14)

2. , т.е. для произвольного вектора его скалярный квадрат равняется квадрату модуля этого вектора. Отсюда. (2.15)

3. Скалярное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда сомножители ортогональны или хотя бы один из них равен нулю.

4. Скалярное произведение ассоциативно относительно скалярного множителя, то есть. (2.16)

5. Скалярное произведение дистрибутивный относительно сложения, то есть для произвольных трех векторов

.

6. Векторы ортонормального базиса удовлетворяют соотношениям:

,

.

Рассмотрим теперь два вектора и, которые заданы координатами в прямоугольной системе координат:;,

Т.е.,.

Тогда, пользуясь перечисленными свойствами скалярного произведения, получим,

, скалярное произведение двух векторов в ортонормальном базисе равно сумме произведений их соответствующих координат.

, модуль вектора равен корню квадратному из суммы квадратов его координат.

Косинус угла между двумя векторами .

Для ортонормального базиса получим:

и условие ортогональности двух векторов приобретает вид: .

Если ,,

при ,

при.

Векторное произведение двух векторов, его свойства

Определение 2.21. Векторным произведением вектора на векторназывается вектор

2) вектор перпендикулярен к плоскости, в которой лежат векторыи, т.е.и;

3) вектор направлен таким образом, чтобы кратчайший поворот от векторак векторуосуществлялся против часовой стрелки, если смотреть на него из конца вектора.

Векторное произведение векторов иобозначается символомили.

Из определения вытекает, что .Свойства:

1) — антикоммутативность;

2) — ассоциативность относительно скалярного множителя;

3) — дистрибутивность относительно сложения;

4) означает коллинеарность векторови.

Для векторного произведения основных ортов справедлива такая таблица (табл.2.1).

Таблица 2.1

С использованием этой таблицы можно доказать, что если векторы изаданные своими координатами в прямоугольной системе координатт.е.

; ,

то

.

Если иколлинеарны, тои из (2.31) получим, что, — условие коллинеарности векторов.

Векторное произведение может использоваться для вычисления площади параллелограмма, а значит, треугольника и любого плоского многоугольника, а также для вычисления момента силы. В случае, когда тело неподвижно закреплено в т., а в т.этого тела приложена сила, тогда момент силы, а величина момента равна.

Пример Сила приложена к точке. Определить момент этой силы относительно начала координат.

studfiles.net

Скалярное произведение векторов — GrandKid

Скалярное произведение векторов.  Давайте еще немного займемся свойствами векторов. Легко понять, что длина шага в пространстве одинакова во всех координатных схемах. Следовательно, если какому-то шагу r соответствуют составляющие х, у, z в одной системе координат и составляющие х’, у’, z’ в другой системе, то расстояние r = |r| одно и то же в обеих системах. Сначала мы, конечно, должны вывести два расстояния

а затем проверить, что эти обе величины равны. Чтобы не возиться с квадратным корнем, будем сравнивать квадраты расстояний. Мы должны, таким образом, показать, что

Подставив в это уравнение определяемые соотношением (11.5) значения х’, у’, z’, мы увидим, что это действительно так. Значит, кроме уже изученных нами векторных уравнений, существуют еще какие-то соотношения, верные в любой системе координат.

Незаметно мы получили новый тип величин. Мы можем построить функцию х, у и z, называемую скалярной функцией,— величину, которая не имеет направления, и одинакова в обеих системах координат. Из вектора можно построить скаляр. Хорошо бы найти общее правило для этого построения. Собственно говоря, мы уже нашли это правило: надо возвести в квадрат каждую из составляющих вектора и сложить их. Определим теперь новую величину, которую обозначим а·а. Это не вектор, а скаляр; это число, одинаковое во всех координатных системах и определяемое как сумма квадратов трех составляющих вектора:

Вы спросите: «В какой системе координат?» Но раз это число не зависит от системы координат, то ответ одинаков в любой системе координат. Мы имеем дело с новым видом величины, с инвариантом, или скаляром, полученным «возведением вектора в квадрат». Если теперь определить, исходя из векторов а и b, величину

то можно убедиться, что эта величина совпадает в штрихованной и нештрихованной системах координат. Чтобы доказать это, заметим, что это верно для величин а·а, b·b и с·с, где с = а + b. Сумма квадратов (а_х + b_x)² + (а_у + b_у)² + (а_z + b_z)² — инвариант:

Раскроем скобки в обеих сторонах этого уравнения. Перекрестные произведения дадут нам выражения типа (11.19), а суммы квадратов составляющих а и b — выражения (11.18). Инвариантность слагаемых типа (11.18) приводит к инвариантности перекрестных произведений типа (11.19).

Величина а·b называется скалярным произведением двух векторов а и b и имеет много интересных и полезных свойств. Например, легко доказать, что

а • (b + с) = а • b + а • с. (11.21)

Есть еще очень простой геометрический способ вычисления а·b, при котором не надо определять составляющих а и b; просто а·b есть произведение длин векторов а и b на косинус угла между ними. Почему? Предположим, что мы выбрали такую систему координат, в которой вектор а направлен вдоль оси х; в этом случае вектор а имеет единственную ненулевую составляющую а_х, которая равна длине вектора а. Таким образом, уравнение (11.19) сводится в этом случае к а·b = а_хb_х, что равно произведению длины вектора а на составляющую вектора b по направлению а, которая в свою очередь равна b cos θ, т. е. a·b = abcosθ.

Таким образом, в этой частной системе координат мы доказали, что а·b равно произведению длин векторов а и b на косинус угла между ними θ. Но если это верно в одной системе координат, то это верно и во всех системах, потому что а·b не зависит от выбора системы координат.

Что хорошего может дать нам эта новая величина? Нужно ли физику скалярное произведение? Да, оно необходимо ему постоянно. Например, в гл. 4 мы назвали кинетической энергией величину 1/2mv², но если частица движется в пространстве, то нужно возвести в квадрат отдельно составляющие скорости х, у и z, так что формулу для кинетической энергии можно записать в виде

Энергия не имеет направления. Импульс же направление имеет, это — вектор, и он равен произведению массы на вектор скорости.

Другим примером скалярного произведения может служить работа, произведенная силой при перемещении какого-нибудь предмета с одного места на другое. Мы еще не дали определения работы, она равна изменению энергии, прибавке в весе, после того как сила F поработает вдоль пути s: Работа = F·s. (11.23)

Иногда целесообразно говорить о составляющей вдоль определенного направления (например, вдоль вертикали, потому что это направление силы тяжести). Для этого удобно ввести единичный вектор вдоль интересующего нас направления. Под единичным вектором мы будем понимать вектор, скалярное произведение которого на себя равно единице. Пусть это будет вектор i; тогда i • i = 1. Скалярное произведение i·а равно a cosθ, т. е. оно равно составляющей вектора а вдоль направления i. Это наилучший способ получить составляющую вектора. Поступая так, мы можем найти все составляющие вектора и получить забавную формулу.

Предположим, что нам задана какая-то система координат х, у и z. Введем три вектора: i — единичный вектор вдоль оси х, j — единичный вектор вдоль оси у и к — единичный вектор вдоль оси z. Ясно, что i · i = 1. Чему же равно произведение i·j? Если угол между векторами прямой, то их скалярное произведение равно нулю. Таким образом,

Используя эти свойства векторов i, j, k, можно записать любой вектор а в виде

Таким образом, можно от составляющих вектора легко перейти к самому вектору.

Мы изучили далеко не все свойства векторов. Однако, прежде чем углубиться в этот вопрос, научимся сперва применять обсужденные сейчас идеи в физике. И тогда, когда мы хорошо овладеем основным материалом, будет легче продвинуться дальше, не впадая в ошибки. Позднее мы увидим, что удобно определить еще одно произведение двух векторов, которое называется векторным произведением и записывается в виде а X b. Однако обсуждение этого вопроса лучше отложить до следующей главы.

grandkid.ru

Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется число, равное произведению их длин, умноженному на косинус угла между векторами; скалярное произведение двух векторов, хотя бы один из которых нулевой, считается равным нулю. Скалярное произведение векторов и обозначается так: * или . Таким образом, для ненулевых векторов и
и для любого вектора справедливы равенства * = 0 и * = 0.

Из этих формул, в частности, следует, что * = ||². Скалярное произведение * называется скалярным квадратом вектора и обозначается символом ². Таким образом,

• скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины: ² = ||².

Скалярное произведение векторов и можно вычислить, зная координаты {x₁; y₁} и {x₂; y₂} этих векторов. В самом деле, если данные векторы не нулевые, то, используя формулу (5) п. 89, получаем:

Эта формула, очевидно, верна и в том случае, когда один из векторов и нулевой. Итак,

• скалярное произведение векторов {x₁; y₁} и {x₂; y₂} выражается формулой

* = x₁x₂ + y₁y₂.     (2)

Сопоставляя это равенство с условием перпендикулярности ненулевых векторов (формула (7), п. 89), приходим к выводу

• скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны.

Из формулы (1) следует, что

• скалярное произведение ненулевых векторов и положительно (отрицательно) тогда и только тогда, когда < 90º ( > 90º).

На рисунке 64

Докажем, что скалярное произведение векторов обладает следующими свойствами.
Доказательство. Справедливость утверждения 1 следует из формулы ² = ||², а утверждение 2 — из определения скалярного произведения.

Докажем утверждения 2 и 4. Для этого введем прямоугольную систему координат и обозначим координаты векторов , и так: {x₁; y₁}, {x₂; y₂}, {x₃; y₃}. Используя формулу (2), выражающую скалярное произведение векторов через их координаты, получаем:

Утверждение 3 доказано.

Вектор k имеет координаты {kx₁; ky₁}, поэтому

Утверждение 4 доказано.

Отметим, что утверждение 3 обобщается на любое число слагаемых. Например,

mthm.ru