Остаток числа в степени по модулю
| Полученный результат |
Рассмотрим одну из задач часто встречающейся в арифметике и теории чисел, которую можно выразить несколькими примерами.
Какой остаток будет у следующих чисел
если их попытаться разделить на число 31?
И если первый пример можно решить на калькуляторе, так сказать » в лоб, не думая», то как Вы будете решать третий пример, это для некоторых очень не тривиальная задача.
Что же такое остаток? Остаток в данном случае — это такое число(по абсолютному значению меньше модуля!), отняв которое из исходного числа, полученный результат будет делится нацело на модуль ( в нашем примере модуль это число 31)
То есть, если обозначим остаток буквой Х получим (в первом примере ) что число делится нацело (без остатка) на модуль
Или в другой, записи более привычной
где M — модуль
Как же решать подобные задачи?
Для этого нам надо знать несколько свойств из теории чисел, которые покажем на втором примере
1.
Даже объяснять неохота, выносим -1 за «скобки» ( отдельным множителем) и можем сразу посчитать. Если степень числа (321) четная то результат равен 1, если нечетная то -1.
2.
Если число можно представить в виде двух и более сомножителей то, остаток от этого числа будет равен произведению остатков от сомножителей по этому же модулю.
3.
Прибавив или отняв от любого сомножителя целое количество модуля — остаток не изменится.
4.
Тоже ничего сложного, просто преобразовали степень. Обычное свойство степеней.
5.
Здесь мы возвели -5 в куб и воспользовались 3 правилом, прибавив к нему 4 раза модуль
6.
Воспользовавшись первым правилом, получили что наш ответ 1
То есть можем утверждать что есть целое число.
7. Последнее правило гласит, что формально, всегда существует два остатка и они равноценны. В нашем примере это 1 и -30, так как тоже целое число.
Надеюсь это небольшой пример разбора, дал Вам методику решения подобных задач.
А бот, который создан, поможет Вам легко узнавать правильность решения подобных задач или, если Вы преподаватель, легко и точно генерировать задачи для учеников.
Синтакис для XMPP клиентов
modul число степень модуль
число — отрицательное или положительное, целое число
степень — только положительная целая степень.
модуль — положительное целое число.
каждый элемент может содержать до 19 цифр ( вообще я не знаю на какой длине, могут возникнуть ошибки, но при (до) 19 символах все работает хорошо)
поэтому нет ничего страшного найти остаток вот от такого «монстра»
кто хочет может умножать на калькуляторе 🙂
ответ 3848922529426
Если же Вы вдруг нашли ошибку или у Вас есть пожелания или вопросы, не стесняйтесь обращайтесь Обратная связь с разработчиками бота.
Интересные факты
Утверждается, что если P — число простое то выполняется вот такое равенство
Это условие необходимое(то есть применимо ко всем простым числам) но не достаточное ( то есть есть составные числа для которых эта формула тоже действительна)
Красивое выражение было найдено пока тестировал бота ( для 2014 года) 🙂
На 31 мая 2018 года еще нашлось кое что интересное
Смотрите
Удачных расчетов!
- Пересечение окружности и прямой.Координаты. >>
abakbot.ru
Что такое операции mod и div в Pascal? | CyberLesson
В чем заключается вопрос: Что такое операции mod и div в языке Pascal. Как с нами работать?
Сложность : легкая .
Постараюсь быть краток, сразу стоит сказать что эти операции работают только с целыми числами, т.е. integer и т.д.
Сначала операция div:
Эта операция используется для того чтобы найти целую часть от деления, как это понять? Допустим у нас есть код:
var n : integer; begin n := 12; n := n div 10; end.
n у нас будет равно 1. Почему? Как я и сказал div ищет целую часть от деления, т.е. у нас делится 12 на 10, это будет равно 1.2. Целая часть от деления равна 1. Вот это и делает
Дальше операция mod:
Эта операция уже ищет остаток от деления. Не думайте что это дробная часть, НЕ ПУТАЙТЕ!
Допустим есть код:
var n : integer; begin n := 12; n := n mod 10; end.
Тут остаток от деления равен 2. Другой пример, допустим следующее :
Эти операции в основном используются для того чтобы разбить например трехзначное число на цифры, давайте маленький пример, допустим есть число 123:
var a , b , c : integer; begin end.
Обычно начинают искать с последний цифры, у нас это 3. Чтобы её оторвать надо сделать следующее:
a := 123 mod 10;
Т.е. мы 123 делим на 10, ответ 12.3 , а остаток равен 3. Первая цифра есть. Дальше 2. Тут делается так, сначала убирается последняя цифра, т.е. 3, с помощью div, а потом с помощью mod ищем 2-ую цифру:
b := 123 div 10 mod 10;
Т.е. сначала у нас из-за div будет 12, а потом с помощью mod у нас появится 2. Ну а последнюю цифру можно найти так:
c := 123 div 100;
Вот как то так. Может вы сразу не поймете, но тут надо немного по практиковаться. Удачи! Спасибо за внимание!
cyberlesson.ru
ЧТо делает Div и Mod в Паскале ?
div-остаток отделения после запятой
div — остаток от деления, а mod — целая часть от деленияа что означает incl, excl?
при делении 5 на 2 мод даст 1, а див 2. значит мод это остаток (есть или нет — 0 либо 1), а див целая часть
Заданы два целых неотрицательных числа A и B. Требуется найти такое максимально возможное целое число C, которое можно составить как из цифр числа A, так и из цифр числа B.Целочисленное деление 0 Введение Целые числа делить можно только нацело (что вполне себе логично). Поделим 7 на 3 нацело, что получится? Вспомнив третий класс и деление в столбик, получаем: 7 : 3 = 2 (остаток 1) Мы получили два числа: результат деления и остаток. Очевидно, у нас также должно быть две операции: одна для получения результата и другая для получения остатка. div — операция для выявления результата деления Примеры: x:=7 div 3; // в переменной x сохранится значение 2 x:=15 div 5; // в переменной x сохранится значение 3 x:=2 div 31; // в переменной x сохранится значение 0 mod — операция для выявления остатка от деления Примеры: b:=7 mod 3; // в переменной b сохранится значение 1 b:=15 mod 5; // в переменной b сохранится значение 0 b:=2 mod 31; // в переменной b сохранится значение 2 Операции с отрицательными числами Выявление знака результата довольно неочевидная вещь в Паскале. Внимательно рассмотрите примеры: Операция divОперация mod 23 div 4 = 5 23 div ( — 4) = — 5 ( — 23) div 4 = — 5 ( — 23) div ( — 4) = 5 23 mod 4 = 23 — 4*5 = 23 — 20 = 3 23 mod ( — 4) = 23 — ( — 5)*( — 4) = 23 — 20 = 3 ( — 23) mod 4 = ( — 23) — 4*( — 5) = ( — 23) — ( — 20) = — 3 ( — 23) mod ( — 4) = ( — 23) — ( — 4)*5 = ( — 23) — ( — 20) =-3 Выводы: 1) знак результата деления определяется стандартными правилами математики. 2) знак остатка определяется делимым.
Вот вам лентяи. Простой заработок на любой сылке, особенно для тех кто любит заработок на бесплатных сайтах ПРОЭКТ ПЛАТИТ НАПРЯГАТСЯ НЕ НУЖНО yourlink.in/bya98 Оплата В $$$
Справочник Ушакова. Подготовка к ОГЭ Div — Целая часть отделения Mod — Остаток от деления <img src=»//otvet.imgsmail.ru/download/8856581_1dc4fa3a0eda4a885915e28c567c4a2f_800.jpg» alt=»» data-lsrc=»//otvet.imgsmail.ru/download/8856581_1dc4fa3a0eda4a885915e28c567c4a2f_120x120.jpg» data-big=»1″>
Люди div это (Целочисленное деление (деление без остатка)), а mod (Остаток от деления). Div 5 div 2 = 2 Mod 5 mod 2 = 1
Div-это целая часть при делении. А mod- это остаток от деления. Например: 5 div 3 = 1; -5 div 3 = -1; 5 div -3 = -1; -5 div -3 = 1; 5 mod 3 = 2; -5 mod 3 = -2; 5 mod -3 = 2; -5 mod -3 = -1; ВОТ ЭТО ПРАВИЛЬНО!!!
mod это не остаток от деления а модуляр. Для положительных целых чисел совпадает с остатком. Вот эта статья на хабре прольет чуть больше света <a rel=»nofollow» href=»https://habr.com/post/421071/» target=»_blank»>https://habr.com/post/421071/</a>
Div-это целая часть при делении. А mod- это остаток от деления. Например: 5 div 2 = 5 : 2 = 2,5 ( когда у нас стоит div мы берём число после запятой в нашем случае это 5 ). Значит 5 div 2 = 5 5 mod 2 = 5 : 2 = 2,5 ( когда у нас стоит mod мы берём число до запятой в нашем случае это 2 ). Значит 5 mod 2 = 2
touch.otvet.mail.ru