Комплексные числа высшая математика для чайников – Комплексные числа, примеры с решением

Комплексные числа

Комплексное число это пара двух действительных чисел (x, y).
Мы можем представить комплексные числа, как точки в системе координат.
Пусть z — комплексное число.
z = (x,y)
x — это вещественная часть z, а y — это мнимая часть z.

Комплексные числа образуют C поле комплексных чисел.
Поле действительных чисел является его частью.

Если у нас есть два комплексных числа z₁ = (x₁, y₁) и z₂ = (x₂, y₂) то:

z₁ = z₂ <=> x₁ = x₂
z₁ ± z₂ = (x₁, y₁) ± (x₂, y₂) = (x₁ ± x₂, y₁ ± y₂)
z₁z₂ = (x₁, y₁)(x₂, y₂) = (x₁x₂ — y₁y₂, x₁

y₂ + y₁x₂)

$\frac{z_1}{z_2}=\frac{(x_1, y_1)}{(x_2, y_2)} = \left( \frac{x_1x_2+y_1y_2}{x_2^2+y_2^2}, \frac{x_2y_1-x_1y_2}{x_2^2+y_2^2} \right) $

Другой способ записи z это: z = x + iy,
x — вещественная часть z,
y — мнимая часть, а
i — мнимая единица. i² = -1, i = √-1.

Каждое комплексное число z = x + iy имеет сопряженное число z = x — iy.

• z + z = 2x — действительное число;
• z — z = i2y — мнимое число;
• z.z = x² + y² = |z|² — действительное число

Каждое комплексное число (x, y) имеет соответствующую точку в системе координат. Мы не можем сказать точка A > B, потому что мы не можем сказать так о двух комплексных числах (x₁, y₁) > (x₂, y₂) Это значит что комплексные числа не имеют порядка.

Векторная форма комплексного числа это:

z = |z|(cosθ + isinθ) = |z|e^iθ
или
z = r(cos(θ) + i.sin(θ)) = r.e^i.θ

Здесь |z| — это модуль комплесного числа (совпадает с величиной OM), θ -это аргумент комплесного числа или фаза. Заштрихованный круг наверху означает модуль |z| комплексного числа z, а угол θ — аргумент комплексного числа.

Действия над комплексными числами

Сложение комплексных чисел:

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + i(b + d)

Вычитание комплексных чисел:

(a + bi) — (c + di) = (a — c) + i(b — d)

Умножение комплексных чисел:

(a + bi)(c + di) = (ac — bd) + i(ad + bc)

Деление комплексных чисел:

(a + bi)/(c + di) = ((ac + bd) + i(bc — ad))/(c² + d²)

Формулы Муавра

zⁿ = rⁿ[cos(n.θ) + i.sin(n.θ)]

$\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{r}(cos(\frac{\theta+2k\pi}{n})+i.sin(\frac{\theta+2k\pi}{n}))$
k = 0, 1, 2,…, n-1

Пишите на нашем форуме касательно комплексных чисел.

www.math10.com

Основные темы математики : Комплексные числа

Комплексные или мнимые числа впервые появились в известном сочинении Кардано «Великое искусство, или об алгебраических правилах» 1545 года. По мнению автора, эти числа не были пригодны к употреблению. Однако это утверждение было позднее опровергнуто. В частности, Бомбелли в 1572 году при решении кубического уравнения обосновал пользу мнимых чисел. Он составил основные правила действий с комплексными числами.

И все же долгое время в математическом мире не было единого представления о сущности комплексных чисел.

---

Геометрическое представление комплексного числа

Впервые символ мнимых чисел был предложен выдающимся математиком Эйлером. Предложенная символика выглядела следующим образом: i = sqr -1, где i — imaginarius, что означает фиктивный. В заслугу Эйлера также входит идея об алгебраической замкнутости поля комплексных чисел.

Итак, необходимость в числах нового типа появилась при решении квадратных уравнений для случая D < 0 (где D — дискриминант квадратного уравнения). В настоящее время комплексные числа нашли широкое применение в физике и технике, гидро- и аэродинамике, теории упругости и т.п.

Графическая запись комплексных чисел имеет вид: a + bi, где a и b — действительные числа, а i — мнимая единица, т.e. i² = -1. Число a называется абсциссой, a b — ординатой комплексного числа a + bi. Два комплексных числа a + bi и a — bi называются сопряжёнными комплексными числами.

Существует ряд правил, связанных с комплексными числами:

• Во-первых, действительное число а может быть записано в форме комплексного числа: a+ 0 i или a — 0 i. К примеру, 5 + 0 i и 5 — 0 i означают одно и то же число 5.
• Во-вторых, комплексное число 0+ bi называется чисто мнимым числом. Запись bi означает то же самое, что и 0+ bi.
• В третьих, два комплексных числа a + bi и c + di считаются равными, если a = c и b = d. В ином случае комплексные числа не равны.

К основным действиям над комплексными числами относятся:

• Сложение. Комплексное число ( a + c ) + ( b + d ) i называется суммой комплексных чисел a + bi и c + di. Следовательно, при сложении комплексных чисел отдельно складываются их абсциссы и ординаты.

  Это правило справедливо к действиям с обычными многочленами.

• Вычитание. Комплексное число ( a — c ) + ( b — d ) i называется разностью двух комплексных чисел a + bi (уменьшаемое) и c + di (вычитаемое). Отсюда следует, что при вычитании двух комплексных чисел отдельно вычитаются их абсциссы и ординаты.
• Умножение. Произведением комплексных чисел a + bi и c + di является комплексное число ( ac — bd ) + ( ad + bc ) i. Это определение справедливо при соблюдении двух требований:
  1. числа a + bi и c + di должны перемножаться, как алгебраические двучлены,
  2. число i обладает основным свойством: i² = -1.

  К примеру, (a + bi)(a — bi) = a² + b². Отсюда следует, что произведение двух сопряжённых комплексных чисел равно действительному положительному числу.



---

Модуль, аргумент, вещественная и мнимая части
• Деление. Разделить комплексное число a + bi (делимое) на другое c + di (делитель) — значит отыскать третье число e + f i (частное), умножение которого на делитель c + di даёт в результате делимое a + bi. Деление возможно только в случае, если делитель не равен нулю.

  К примеру, (8 + i) : (2 — 3i) = 1 + 2i.

В геометрическом представлении комплексные числа в отличие от действительных, которые изображаются на числовой прямой точками, отмечаются точками на координатной плоскости. Возьмем для этого прямоугольные (декартовы) координаты с одинаковыми масштабами на осях. В этом случае комплексное число a + bi будет представлено точкой Р с абсциссой а и ординатой b. Такая система координат называется

комплексной плоскостью.

Модулем комплексного числа является длина вектора OP, изображающего комплексное число комплексной плоскости. Модуль комплексного числа a + bi записывается в виде |a + bi| или буквой r и равен: r = |a + ib| = sqr a² + b².

У сопряженных комплексных чисел имеется одинаковый модуль.

Аргументом комплексного числа является угол φ между осью OX и вектором OP, изображающим комплексное число. Отсюда получаем, tan φ = b/a.

Тригонометрическая форма комплексного числа выражается через модуль r и аргумент φ абсциссы a и ординаты b комплексного числа a + bi.

a = r cosφ, b = r sinφ. a + bi = r ( cosφ + i sinφ).

Поделиться ссылкой

sitekid.ru

Комплексные числа

Теорема (правило Лопиталя раскрытия неопределенностей вида
$\frac{0}{0}$ или $\frac{\infty}{\infty}$).

Пусть функции $f(x)$ и $g(x)$ :

а) дифференцируемы в окрестности точки $a,$ за исключением, быть
может, самой точки $a,$ причем $g'(x)\neq 0$ в этой окрестности;

б) функции $f(x)$ и $g(x)$ являются одновременно либо бесконечно
малыми либо бесконечно большими при $x\rightarrow a;$

в) существует конечный $\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{f'(x)}{g'(x)}.$ 

Тогда существует  $\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}$ и
выполняется равенство $\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{f'(x)}{g'(x)}.$   

Если функции $f(x)$ и $g(x)$ дифференцируемы в точке $a,$

$g(a)=f(a)=0,$ $ g'(a)\neq ,0$ то $\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(a)}{g'(a)}.$

 Примеры:

1. $\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{x^5-1}{2x^3-x-1}$

Имеем неопределенность вида $\frac{0}{0}.$ Применяя правило Лопиталя, получим:

$\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{x^5-1}{2x^3-x-1}=\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{5x^4}{6x^2-1}=1.$

2. $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{x-arctg x}{x^3}$

Имеем неопределенность вида $\frac{0}{0}.$ Применяя правило Лопиталя, получим:

$$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{x-arctg x}{x^3}=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{1-\frac{1}{1+x^2}}{3x^2}=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{x^2}{3x^2(1+x^2)=\frac{1}{3}.}$$

3. $\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{\ln x}{\sqrt{x}}$

Имеем неопределенность вида $\frac{\infty}{\infty}.$ Применяя правило Лопиталя, получим:

$$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\frac{\ln x}{\sqrt{x}}=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\frac{1/x}{1/(2\sqrt{x})}=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\frac{2}{\sqrt{x}}=0.$$

4. $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x-x\cos x}{\sin^3 x}.$

Имеем неопределенность вида $\frac{0}{0}.$ Замечая, что $\sin x\sim x$ при $x\rightarrow 0,$ по правилу Лопиталя находим

$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x-x\cos x}{\sin^3 x}=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x-x\cos x}{x^3}=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\cos x-\cos x+x\sin x}{3x^2}=$ $\frac{1}{3}\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=\frac{1}{3}.$

 

5. $\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{x^10-10x+9}{x^5-5x+4}.$

Имеем неопределенность вида $\frac{0}{0}.$ Применяя правило Лопиталя, получим:

$\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{x^10-10x+9}{x^5-5x+4}=\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{10x^9-10}{5x^4-5}.$

Пользуясь еще раз правилом Лопиталя, находим

$\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{10x^9-10}{5x^4-5}=2\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{x^9-1}{x^4-1}=2\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{9x^8}{4x^3}=\frac{9}{2}.$

 

6. $\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\frac{x^{\alpha}}{e^{\beta x}},$ где $\alpha>0,$ $\beta>0.$ 

Пусть $k=[\alpha]+1;$ тогда $\alpha-k<0.$ 

Применяя правило Лопиталя $k$ раз, получаем $\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\frac{x^{\alpha}}{e^{\beta x}}=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\frac{\alpha x^{\alpha-1}}{\beta e^{\beta x}}=…=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\frac{\alpha(\alpha-1)…(\alpha-k+1)x^{\alpha-k}}{\beta^k e^{\beta x}}=0.$

7. $\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\frac{\ln^{\alpha}x}{x^{\beta}},$ где $\alpha>0,$ $\beta>0.$ 

Пусть $\ln x =t;$ тогда $x=e^t$ и $\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\frac{\ln^{\alpha}x}{x^{\beta}}=\lim\limits_{t\rightarrow+\infty}\frac{t^{\alpha}}{e^{\beta t}}=0$ (пример 6).

Имеем неопределенность вида $\frac{0}{0}.$ Применяя правило Лопиталя, получим:

8. $\lim\limits_{x\rightarrow +0}x\ln x$

Преобразуя неопределенность вида $0\cdot\infty$ к виду $\frac{\infty}{\infty}$ и применяя правило Лопиталя имеем

$$\lim\limits_{x\rightarrow +0}x\ln x=\lim\limits_{x\rightarrow +0}\frac{\ln x}{1/x}=\lim\limits_{x\rightarrow +0}\frac{1/x}{-1/x^2}=\lim\limits_{x\rightarrow +0}(-x)=0.$$

9. $\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{1}{x^{50}}e^{-1/x^2}.$

Имеем неопределенность вида $\frac{0}{0}.$ Полагая $1/x^2=t,$ получаем

$$\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{1}{x^{50}}e^{-1/x^2}=\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{t^{25}}{e^t}=0.$$
10.  $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\left(\frac{1}{x^2}-ctg^2 x\right).$ 

Преобразуя неопредленность вида $\infty-\infty$ к виду $\frac{0}{0}$ и используя асимптотическую формулу $\sin x \sim x$ при $x\rightarrow 0,$ получаем

$$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\left(\frac{1}{x^2}-ctg^2 x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin^2 x-x^2\cos^2 x}{x^2\sin^2 x}=$$ $$=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{(\sin x+x\cos x)(\sin x-x\cos x)}{x^2\sin^2 x}=$$ $$=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x+x\cos x}{x}\cdot\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x-x\cos x}{x^3}.$$ 

Так как

$$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x+x\cos x}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}+\lim\limits_{x\rightarrow 0}\cos x=2,$$

а $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x-x\cos x}{x^3}=\frac{1}{3}$  (см. пример 4), то искомый предел равен $2/3.$

mathportal.net

Лекция по математике на тему «Комплексные числа»

Лекция 9

Тема 9. Комплексные числа.

Время: 2 часа

Цель лекции: Познакомить с понятием комплексного числа, алгебраической, тригонометрической и показательной формами комплексных чисел. Теоретически обосновать действия над комплексными числами. Показать возможность решения алгебраических уравнений в комплексной области.

План лекции:

1. Понятие комплексного числа.

2. Формы записи комплексных чисел.

3. Действия над комплексными числами.

4. Операции над комплексными числами, заданными в показательной форме.

5. Основная теорема алгебры.

1. Понятие комплексного числа.

Комплексным числом z называется выражение вида z = x +iy, где х и у – действительные числа, а i – так называемая мнимая единица, i²= –1.

Если х = 0, то число 0+iy = iy называется чисто мнимым; если у = 0, то число x +i0 = х отождествляется с действительным числом х, а это означает, что множество R всех действительных чисел является подмножеством множества С всех комплексных чисел, т.е. RС.

Число х – действительная часть комплексного числа z и обозначается х=Rе z, а у – мнимой частью z, у=Im z.

Два комплексных числа z₁ = x₁ +iy₁ z₂ = x₂ +iy₂ называются равными тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части. Понятия больше и меньше для комплексных чисел не вводятся. Два комплексных числа, отличающиеся лишь знаком мнимой части, называются сопряжёнными.

В

О х х

М

у

у



сякое комплексное число можно изобразить точкой М(х,у) плоскости Оху такой, что х=Rе z, у=Im z. Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью.

Ось абсцисс – действительная ось, ось ординат – мнимая. Комплексное число можно задать в виде радиус вектора =. Длина вектора называется модулем этого числа и обозначается или r.

Величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором , изображающим комплексное число – аргумент этого числа, обозначается Arg z или . Аргумент комплексного числа z=0 не определён. Аргумент комплексного числа z0 – величина многозначная и определяется с точностью до слагаемого (k =0,–1,1,–2,2,…): Arg z= аrg z + , где аrg z – главное значение аргумента, заключённое в промежутке , т.е.  аrg z  (иногда в качестве главного аргумента берут величину из промежутка ).

2. Формы записи комплексных чисел.

Запись числа в виде называют алгебраической формой комплексного числа. Модуль r и аргумент можно рассматривать как полярные координаты вектора = , изображающего комплексное число . Тогда получаем , . Следовательно, комплексное число можно записать в виде или . Такая запись называется тригонометрической формой.

Модуль однозначно определяется по формуле . Например, . Аргумент определяется из формул

, ,

Так как , то , .

Поэтому при переходе от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической достаточно определить лишь главное значение аргумента z, т.е. считать .

Так как  аrg z , то из формулы получаем, что

Используя формулу Эйлера , комплексное число можно записать в показательной (или экспотенциальной) форме , где – модуль комплексного числа, а угол .

В силу формулы Эйлера функция – периодическая с основным периодом 2. Для записи комплексного числа z в показательной форме, достаточно найти главное значение аргумента комплексного числа, т.е. считать .

Пример 1: Записать комплексные числа z₁ = –1+i и z₂ = –1 в тригонометрической и показательной формах.

Решение: Для числа z₁ имеем:

, т.е. .

Поэтому

Для z₂ имеем т.е. .

Поэтому .

3. Действия над комплексными числами.

Суммой двух комплексных чисел z₁ и z₂ у z₁+z₂

называется комплексное число, определяемое z₂

равенством . z₁

O x

С

у

ложение комплексных чисел обладает переместительным (коммутативным) и сочетательным (ассоциативным) свойствами. Из определения следует, что комплексные числа складываются как векторы. Из рисунка видно, что . Это соответствие называют неравенством треугольника.

О х

z₂

z₁

Разностью двух комплексных чисел z₁ и z₂ называется комплексное число z, которое будучи сложенным с z₂, даёт число z₁, т.е. z = z₁ – z₂, если .

.

Из равенства следует, что геометрически комплексные числа вычитаются как векторы. Из рисунка видно, что .

Отметим, что, т.е. модуль разности двух комплексных чисел равен расстоянию d между точками, изображающими эти числа на плоскости.

Поэтому, например, равенство определяет на комплексной плоскости множество точек z, находящихся на расстоянии 1 от точки , т.е. окружность с центром в

и радиусом 1.

Произведением комплексных чисел z₁ = x₁+iy₁ и z₂ = x₂+iy₂ называется комплексное число, определяемое равенством:

Произведение комплексных чисел можно находить путём формального перемножения двучленов x₁ +iy₁ и x₂ +iy₂, учитывая, что i²= –1.

Например, (2–3i)(–5+4i)= –10+8i+15i–12i² = –10+23i+12=2+23i.

Заметим, что – действительное число.

Умножение комплексных чисел обладает переместительным, сочетательным и распределительным свойствами.

Найдём произведение комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме:

Мы показали, что при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Это правило распространяется на любое конечное число множителей. В частности

– формула Муавра.

Пример 2: Найти

Решение: Запишем сначала число в тригонометрической форме:

;

По формуле Муавра имеем

Частным двух комплексных чисел z₁ и z₂≠0 называется комплексное число z, которое, будучи умноженным на z₂, даёт число z₁, т.е. , если .

Если положить , , , то из равенства следует

Решая систему, найдём значения х и у:

.

На практике частное двух комплексных чисел находят путём умножения числителя и знаменателя на число, сопряжённое знаменателю.

Пример 3: Выполнить деление

Решение:

Для тригонометрической формы комплексного числа деление имеет вид: ,

т.е. .

Корнем п-ой степени из комплексного числа z называется комплексное число , удовлетворяющее равенству .

Если положить , а , то по определению корня и формуле Муавра, получаем

.

Отсюда имеем

Т.е. (арифметический корень).

Поэтому корень п-ой степени из комплексного числа имеет п различных значений, которые находятся по формуле:

,

Точки, соответствующие значениям , являются вершинами правильного п-угольника, вписанного в окружность радиуса с центром в начале координат.

Пример 4: Найти все значения .

Решение: Запишем комплексное число в тригонометрической форме.

.

.

Пример 5: Какое множество точек на комплексной плоскости определяется условием ?

Р

y

ешение: Комплексное число изображается вектором, началом которого является точка , а концом ‒ точка z. Угол между этим вектором и осью ОХ есть , и он меняется в пределах от до .

С

-1 О х

‒1+i i

ледовательно, данное неравенство определяет угол между прямыми, выходящими из точки и образующими с осью ОХ углы в и рад.

4. Операции над комплексными числами, заданными в показательной форме

Пусть и , тогда:

1. Произведение ;

2. Частное ;

3. Возведение в n – ю степень ;

4. Извлечение корня n – й степени , .

Формулы Эйлера.

Рассмотрим разложение функции по формуле Маклорена.

Если действительную переменную х заменить комплексной переменной z, то получим ряд по степеням z:

(1)

Аналогично определяются тригонометрические функции и комплексной переменной z:

(2)

(3)

Подставим в (1) вместо z и сгруппируем в правой части все слагаемые, содержащие множитель i и не содержащие этот множитель.

Сравнивая полученный результат с формулами (2) и (3), получаем

и

Таким образом, с помощью понятия комплексного числа устанавливается связь между тригонометрическими и показательной функциями:

Складывая и вычитая эти два выражения, получим

; .

Используя понятие комплексных чисел, вводится понятие гиперболических синуса и косинуса:

; .

Из формулы Эйлера следует, что

; .

Приведенные известные из элементарной математики формулы:

, ;

; ,

справедливы и для комплексных значений аргументов и .

5. Основная теорема алгебры:

Функция вида , где п – натуральное число, – постоянные коэффициенты, называется многочленом п-ой степени с действительными коэффициентами (или целой рациональной функцией).

Корнем многочлена называется такое значение х₀ (вообще говоря комплексное) переменной х, при котором многочлен обращается в нуль.

Теорема: Если х₁ есть корень многочлена , то многочлен делится без остатка на х–х₁, т.е. , где – многочлен степени (п–1).

Теорема: (основная теорема алгебры) Всякий многочлен п-ой степени (n>0) имеет по крайней мере один корень, действительный или комплексный.

Теорема: Всякий многочлен можно представить в виде

,

где – корни многочлена, – коэффициент многочлена при х^п.

Множители называются линейными множителями.

Пример 1: Разложить многочлен на множители.

Решение: Многочлен обращается в нуль при Следовательно .

Пример 2: Представить выражение в виде произведения линейных множителей.

Решение: Легко проверить, что является корнем данного многочлена.

=

Уравнение имеет два комплексных корня и .

Следовательно, .

Если в разложении многочлена какой-либо корень встретился k раз, то он называется корнем кратности k. Тогда разложение многочлена можно записать в виде: , где ‒ кратности соответственно корней .

Теорема: Если многочлен с действительными коэффициентами имеет комплексный корень , то он имеет сопряжённый корень .

Перемножив линейные множители,

,

получили трёхчлен второй степени с действительными коэффициентами

=, где

Таким образом, произведение линейных множителей, соответствующих сопряжённым корням, можно заменить квадратным трёхчленом с действительными коэффициентами. Поэтому справедлива следующая теорема:

Теорема: Всякий многочлен п-ой степени с действительными коэффициентами может быть разложен на множители первой и второй степени с действительными коэффициентами:

где ,

х₁, х₂, … , х_r – корни многочлена, а все квадратные трехчлены не имеют действительных корней.

Пример: этот многочлен имеет корни: х₁= ‒2 и х₂=3, других действительных корней нет. Тогда .

infourok.ru

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре «Резольвента» (Справочник по математике — Алгебра

Алгебраическая форма записи комплексных чисел

      Пусть x и y — произвольные вещественные числа.

      Множеством комплексных чисел называют множество всевозможных пар (x, y) вещественных чисел, на котором определены операции сложения, вычитания и умножения по правилам, описанным чуть ниже.

      Множество комплексных чисел является расширением множества вещественных чисел, поскольку множество вещественных чисел содержится в нём в виде пар (x, 0).

      Комплексные числа, заданные парами (0, y), называют чисто мнимыми числами.

      Для комплексных чисел существует несколько форм записи: алгебраическая форма записи, тригонометрическая форма записи и экспоненциальная (показательная) форма записи.

      Алгебраическая форма — это такая форма записи комплексных чисел, при которой комплексное число   z, заданное парой вещественных чисел   (x, y), записывается в виде

где использован символ   i , называемый мнимой единицей.

      Число x называют вещественной (реальной) частью комплексного числа   z = x + i y   и обозначают   Re z.

      Число y называют мнимой частью комплексного числа   z = x + i y   и обозначают   Im z.

      Комплексные числа, у которых   Im z = 0 , являются вещественными числами.

      Комплексные числа, у которых     Re z = 0 , являются чисто мнимыми числами.

      Тригонометрическая и экспоненциальная формы записи комплексных чисел будут изложены чуть позже.

Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел, записанных в алгебраической форме

      Сложение и вычитание комплексных чисел   z₁ = x₁ + i y₁ и   z₂ = x₂ + i y₂ осуществляется по правилам сложения и вычитания двучленов (многочленов)   x₁ + i y₁   и   x₂ + i y₂ , т.е. в соответствии с формулами

z₁ + z₂ =
= x₁ + i y₁ + x₂ + i y₂ =
= x₁ + x₂ + i (y₁ + y₂) ,

z₁ – z₂ =
= x₁ + i y₁– (x₂ + i y₂) =
= x₁– x₂ + i (y₁– y₂) .

      Умножение комплексных чисел   z₁ = x₁ + i y₁ и   z₂ = x₂ + i y₂ , так же, как и операции сложения и вычитания, осуществляется по правилам умножения двучленов (многочленов), однако при этом учитывается важнейшее равенство, имеющее вид:

      По этой причине

z₁z₂ = (x₁ + i y₁) (x₂ + i y₂) =
= x₁x₂ + i x₁ y₂ +
+ i y₁x₂ + i ²y₁ y₂ =
= x₁x₂ + i x₁y₂ +
+ i y₁x₂ – y₁ y₂ =
= x₁x₂ – y₁ y₂ +
+ i (x₁ y₂ + i x₂ y₁) .

Комплексно сопряженные числа

      Два комплексных числа   z = x + iy   и у которых вещественные части одинаковые, а мнимые части отличаются знаком, называются комплексно сопряжёнными числами.

      Операция перехода от комплексного числа к комплексно сопряженному с ним числу называется операцией комплексного сопряжения, обозначается горизонтальной чертой над комплексным числом и удовлетворяет следующим свойствам:

Модуль комплексного числа

      Модулем комплексного числа   z = x + i y   называют вещественное число, обозначаемое | z | и определенное по формуле

      Для произвольного комплексного числа   z   справедливо равенство:

а для произвольных комплексных чисел    z₁   и   z₂   справедливы неравенства:

      Замечание. Если   z   — вещественное число, то его модуль   | z | равен его абсолютной величине.

Деление комплексных чисел, записанных в алгебраической форме

      Деление комплексного числа   z₁ = x₁ + i y₁   на отличное от нуля комплексное число   z₂ = x₂ + i y₂   осуществляется по формуле

      Используя обозначения модуля комплексного числа и комплексного сопряжения, частное от деления комплексных чисел можно представить в следующем виде:

      Деление на нуль запрещено.

Изображение комплексных чисел радиус-векторами координатной плоскости

      Рассмотрим плоскость с заданной на ней прямоугольной декартовой системой координат   Oxy   и напомним, что радиус-вектором на плоскости называют вектор, начало которого совпадает с началом системы координат.

      Назовем рассматриваемую плоскость комплексной плоскостью, и будем представлять комплексное число   z = x + i y   радиус–вектором с координатами   (x , y).

      Назовем ось абсцисс Ox вещественной осью, а ось ординат Oy – мнимой осью.

      При таком представлении комплексных чисел сумме комплексных чисел соответствует сумма радиус-векторов, а произведению комплексного числа на вещественное число соответствует произведение радиус–вектора на это число.

Аргумент комплексного числа

      Рассмотрим радиус–вектор произвольного, но отличного от нуля, комплексного числа   z.

      Аргументом комплексного числа z называют угол φ между положительным направлением вещественной оси и радиус-вектором    z.

      Аргумент комплексного числа  z  считают положительным, если поворот от положительного направления вещественной оси к  радиус-вектору z  происходит против часовой стрелки, и отрицательным  — в случае поворота по часовой стрелке (см. рис.).

      Считается, что комплексное число нуль аргумента не имеет.

      Поскольку аргумент любого комплексного числа определяется с точностью до слагаемого 2kπ , где  k  — произвольное целое число, то вводится, главное значение аргумента, обозначаемое   arg z   и удовлетворяющее неравенствам:

      Тогда оказывается справедливым равенство:

      Если для комплексного числа   z = x + i y   нам известны его модуль   r = | z | и его аргумент φ, то мы можем найти вещественную и мнимую части по формулам

(3)

      Если же комплексное число   z = x + i y   задано в алгебраической форме, т.е. нам известны числа   x   и   y,   то модуль этого числа, конечно же, определяется по формуле

(4)

а аргумент определяется в соответствии со следующей Таблицей 1.

      Для того, чтобы не загромождать запись, условимся, не оговаривая этого особо, символом  k  обозначать в Таблице 1 произвольное целое число.

      Таблица 1. – Формулы для определения аргумента числа   z = x + i y

Расположение числа   z : Положительная вещественная полуось Знаки x и y : x > 0 ,   y = 0 Главное значение аргумента: 0 Аргумент: φ = 2kπ Примеры:

Расположение числа   z : Первый квадрант Знаки x и y : x > 0 ,   y > 0 Главное значение аргумента: Аргумент: Примеры:

Расположение числа   z : Положительная мнимая полуось Знаки x и y : x = 0 ,   y > 0 Главное значение аргумента: Аргумент: Примеры:

Расположение числа   z : Второй квадрант Знаки x и y : x < 0 ,   y > 0 Главное значение аргумента: Аргумент: Примеры:

Расположение числа   z : Отрицательная вещественная полуось Знаки x и y : x < 0 ,   y = 0 Главное значение аргумента: π Аргумент: φ = π + 2kπ Примеры:

Расположение числа   z : Третий квадрант Знаки x и y : x < 0 ,   y < 0 Главное значение аргумента: Аргумент: Примеры:

Расположение числа   z : Отрицательная мнимая полуось Знаки x и y : x = 0 ,   y < 0 Главное значение аргумента: Аргумент: Примеры:

Расположение числа   z : Четвёртый квадрант Знаки x и y : x < 0 ,   y < 0 Главное значение аргумента: Аргумент: Примеры:

Тригонометрическая форма записи комплексного числа

      Из формулы (3) вытекает, что любое отличное от нуля комплексное число   z = x + i y   может быть записано в виде

z = r (cos φ + i sin φ) ,

(5)

где   r  и φ — модуль и аргумент этого числа, соответственно, причем модуль удовлетворяет неравенству   r > 0 .

      Запись комплексного числа в форме (5) называют тригонометрической формой записи комплексного числа.

Формула Эйлера. Экспоненциальная форма записи комплексного числа

      В курсе «Теория функций комплексного переменного», который студенты изучают в высших учебных заведениях, доказывается важная формула, называемая формулой Эйлера:

cos φ + i sin φ = e iφ .

(6)

      Из формулы Эйлера (6) и тригонометрической формы записи комплексного числа (5) вытекает, что любое отличное от нуля комплексное число   z = x + i y   может быть записано в виде

где   r   и   φ   — модуль и аргумент этого числа, соответственно, причем модуль удовлетворяет неравенству   r > 0 .

      Запись комплексного числа в форме (7) называют экспоненциальной (показательной) формой записи комплексного числа.

      Из формулы (7) вытекают, в частности, следующие равенства:

а из формул (4) и (6) следует, что модуль комплексного числа

cos φ + i sin φ,

или, что то же самое, числа   e ^iφ,   при любом значении   φ   равен 1.

Умножение, деление и возведение в натуральную степень комплексных чисел, записанных в экспоненциальной форме

      Экспоненциальная запись комплексного числа очень удобна для выполнения операций умножения, деления и возведения в натуральную степень комплексных чисел.

      Действительно, умножение и деление двух произвольных комплексных чисел  и  записанных в экспоненциальной форме, осуществляется по формулам

      Таким образом, при перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

      При делении двух комплексных чисел модуль их частного равен частному их модулей, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.

      Возведение комплексного числа   z = r e ^iφ в натуральную степень осуществляется по формуле

      Другими словами, при возведении комплексного числа в степень, являющуюся натуральным числом, модуль числа возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени.

Извлечение корня натуральной степени из комплексного числа

      Пусть — произвольное комплексное число, отличное от нуля.

      Корнем   n — ой степени из числа  z₀ , где  называют такое комплексное число   z = r e ^iφ , которое является решением уравнения

      Для того, чтобы решить уравнение (8), перепишем его в виде

и заметим, что два комплексных числа, записанных в экспоненциальной форме, равны тогда и только тогда, когда их модули равны, а разность аргументов равна   2kπ ,   где   k   — произвольное целое число. По этой причине справедливы равенства

следствием которых являются равенства

(9)

      Из формул (9) вытекает, что уравнение (8) имеет   n   различных корней

(10)

где

причем на комплексной плоскости концы радиус-векторов   z_k   при   k = 0 , … , n – 1   располагаются в вершинах правильного   n — угольника, вписанного в окружность радиуса  с центром в начале координат.

      Замечание. В случае   n = 2   уравнение (8) имеет два различных корня   z₁   и   z₂ , отличающихся знаком:

z₂ = – z₁ .

      Пример 1. Найти все корни уравнения

z³ = – 8i .

      Решение. Поскольку

то по формуле (10) получаем:

      Следовательно,

      Пример 2. Решить уравнение

z² + 2z + 2 = 0 .

      Решение. Поскольку дискриминант этого квадратного уравнения отрицателен, то вещественных корней оно не имеет. Для того, чтобы найти комплексные корни, выделим, как и в вещественном случае, полный квадрат:

      Так как

то решения уравнения имеют вид

z₁ = – 1 + i ,       z₂ = – 1 – i .

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными». Запись по телефону (495) 509-28-10

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

      У нас также для школьников организованы

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

www.resolventa.ru

Комплексные числа — Викиучебник

Материал из Викиучебника — открытых книг для открытого мира

Перейти к навигации Перейти к поиску

Журнал Потенциал

Содержание

• 1 Какие числа бывают
  • 1.1 Задача 1[8] Задача Архимеда
  • 1.2 Задача 2[8]
  • 1.3 Задача 3[9]
• 2 Что такое комплексные числа?
  • 2.1 Знакомство с мнимой единицей i=−1{\displaystyle \,\!i={\sqrt {-1}}}
    • 2.1.1 Задача 4[8]
    • 2.1.2 Задача 5[8]
    • 2.1.3 Задача 6[9]
    • 2.1.4 Задача 7[9]
    • 2.1.5 Задача 8[8]
    • 2.1.6 Задача 9[8]
    • 2.1.7 Задача 10[9]
    • 2.1.8 Задача 11[9]
    • 2.1.9 Задача 12[9]
    • 2.1.10 Задача 13[9]
    • 2.1.11 Задача 14[8]
    • 2.1.12 Задача 15[8]
    • 2.1.13 Задача 16[8]
    • 2.1.14 Задача 17[9]
    • 2.1.15 Задача 18[10]
• 3 Cопряженные числа. Модуль. Деление
  • 3.1 Cопряженные числа
    • 3.1.1 Задача 19[7]
    • 3.1.2 Задача 20[8]
    • 3.1.3 Задача 21[9]
    • 3.1.4 Задача 22[9]
    • 3.1.5 Задача 23[9]
    • 3.1.6 Задача 24[8]
    • 3.1.7 Задача 25[9]
    • 3.1.8 Задача 26[9]
    • 3.1.9 Задача 27[9]
    • 3.1.10 Задача 28[9]
    • 3.1.11 Задача 29[9]
    • 3.1.12 Задача 30[9]
    • 3.1.13 Задача 31[9]
    • 3.1.14 Задача 32[9]
    • 3.1.15 Задача 33[9]
    • 3.1.16 Задача 34[9]
    • 3.1.1

ru.wikibooks.org