Нахождение экстремума функции – ,

Как найти экстремум 🚩 что такое экстремума 🚩 Математика

19 мая 2011

Автор КакПросто!

Экстремумы представляют собой максимальные и минимальные значения функции и относятся к ее важнейшим характеристикам. Экстремумы находятся в критических точках функций. Причем функция в экстремуме минимума и максимума меняет свое направление соответственно знаку. Согласно определению, первая производная от функции в точке экстремума равна нулю или отсутствует. Таким образом, поиск экстремумов функции складывается из двух задач: нахождения производной для заданной функции и определения корней ее уравнения.

Статьи по теме:

Инструкция

Запишите заданную функцию f(x). Определите ее первую производную f’(x). Полученное выражение производной приравняйте к нулю. Решите полученное уравнение. Корни уравнения будут являться критическими точками функции. Определите, какими критическими точками — минимума или максимума — являются полученные корни. Для этого найдите вторую производную f’’(x) от исходной функции. Подставьте в нее по очереди значения критических точек и высчитайте выражение. Если вторая производная от функции в критической точке больше нуля, то это будет точка минимума. Иначе – точка максимума.

Посчитайте значение исходной функции в полученных точках минимума и максимума. Для этого подставьте их значения в выражение функции и вычислите. Полученное число будет определять экстремум функции. Причем, если критическая точка была максимумом, экстремум функции также будет максимумом. Также в минимальной критической точке функция будет достигать свой минимальный экстремум.

Видео по теме

Совет полезен?

Статьи по теме:

Не получили ответ на свой вопрос?
Спросите нашего эксперта:

www.kakprosto.ru

Экстремумы функции

Обратимся  к графику функции у = х³ – 3х². Рассмотрим окрестность точки х = 0, т.е. некоторый интервал, содержащий эту точку. Логично, что существует такая окрестность точки х = 0, что наибольшее значение функция у = х³ – 3х² в этой окрестности принимает в точке х = 0. Например, на интервале (-1; 1) наибольшее значение, равное 0, функция принимает в точке х = 0. Точку х = 0 называют точкой максимума этой функции.

Аналогично, точка х = 2 называется точкой минимума функции х³ – 3х², так как в этой точке значение функции не больше ее значения в иной точке окрестности точки х = 2, например, окрестности (1,5; 2,5).

Таким образом, точкой максимума функции f(х) называется точка х₀, если существует окрестность точки х₀ – такая, что выполняется неравенство f(х) ≤ f(х₀) для всех х из этой окрестности.

Например, точка х₀ = 0 – это точка максимума функции f(х) = 1 – х

2, так как f(0) = 1 и верно неравенство f(х) ≤ 1 при всех значениях х.

Точкой минимума функции f(х) называется точка х₀, если существует такая окрестность точки х₀, что выполняется неравенство f(х) ≥ f(х₀) для всех х из этой окрестности.

Например, точка х₀ = 2 – это точка минимума функции f(х) = 3 + (х – 2)², так как f(2) = 3 и f(х) ≥ 3 при всех х.

Точками экстремума называются точки минимума и точки максимума.

Обратимся к функции f(х), которая определена в некоторой окрестности точки х₀ и имеет в этой точке производную.

Если х₀ – точка экстремума дифференцируемой функции f(х), то f ‘(х₀) = 0. Это утверждение называют теоремой Ферма.

Теорема Ферма имеет наглядный геометрический смысл: в точке экстремума касательная параллельна оси абсцисс и поэтому ее угловой коэффициент
f ‘(х₀) равен нулю.

Например, функция f(х) = 1 – 3х

2 имеет в точке х₀ = 0 максимум, ее производная f ‘(х) = -2х, f ‘(0) = 0.

Функция f(х) = (х – 2)² + 3 имеет минимум в точке х₀ = 2, f ‘(х) = 2(х – 2), f ‘(2) = 0.

Отметим, что если f ‘(х₀) = 0, то этого недостаточно, чтобы утверждать, что х₀ – это обязательно точка экстремума функции f(х).

Например, если f(х) = х³, то f ‘(0) = 0. Однако точкой экстремума точка х = 0 не является, так как на всей числовой оси функция х³ возрастает.

Итак, точки экстремума дифференцируемой функции необходимо искать лишь среди корней уравнения
f ‘(х) = 0, но корень этого уравнения не всегда является точкой экстремума.

Стационарными точками называют точки, в которых производная функции равна нулю.

Таким образом, для того, чтобы точка х₀ была точкой экстремума, необходимо, чтобы она была стационарной точкой.

Рассмотрим достаточные условия того, что стационарная точка является точкой экстремума, т.е. условия, при выполнении которых стационарная точка является точкой минимума или максимума функции.

Если производная левее стационарной точки положительна, а правее – отрицательна, т.е. производная меняет знак «+» на знак «–» при переходе через эту точку, то эта стационарная точка – это точка максимума.

Действительно, в данном случае левее стационарной точки функция возрастает, а правее – убывает, т.е. данная точка – это точка максимума.

Если производная меняет знак «–» на знак «+» при переходе через стационарную точку, то эта стационарная точка является точкой минимума.

Если производная знак не меняет при переходе через стационарную точку, т.е. слева и справа от стационарной точки производная положительна или отрицательна, то эта точка не является точкой экстремума.

Рассмотрим одну из задач. Найти точки экстремума функции f(х) = х⁴ – 4х³.

Решение.

1) Найдем производную: f ‘(х) = 4х³ – 12х² = 4х² (х – 3).

2) Найдем стационарные точки: 4х²(х – 3) = 0, х₁ = 0, х₂ = 3.

3) Методом интервалов устанавливаем, что производная f ‘(х) = 4х²(х – 3) положительна при х > 3, отрицательна при х < 0 и при 0 < х < 3.

4) Так как при переходе через точку х₁ = 0 знак производной не меняется, то эта точка не является точкой экстремума.

5) Производная меняет знак «–» на знак «+» при переходе через точку х₂ = 3. Поэтому х₂ = 3 – точка минимума.

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

blog.tutoronline.ru

Экстремумы функции.

Точка х₀называетсяточкой максимума(минимума) функцииf(х), если в некоторой окрестности точки х₀выполняется неравенствоf(х) ≤f(х₀) (f(х) ≥f(х₀)).

Значение функции в этой точке называется соответственно максимумомилиминимумомфункции. Максимум и минимум функции объединяются общим названиемэкстремумафункции.

Экстремум функции в этом смысле часто называют локальным экстремумом, подчеркивая тот факт, что это понятие связано лишь с достаточно малой окрестностью точки х₀. На одном и том же промежутке функция может иметь несколько локальных максимумов и минимумов, которые не обязательно совпадают сглобальным максимумомилиминимумом(т.е. наибольшим или наименьшим значением функции на всем промежутке).

Необходимое условие экстремума. Для того, чтобы функция имела экстремум в точке, необходимо, чтобы ее производная в этой точке равнялась нулю или не существовала.

Для дифференцируемых функций это условие вытекает из теоремы Ферма. Кроме того, оно предусматривает и случай, когда функция имеет экстремум в точке, в которой она не дифференцируема.

Точки, в которых выполнено необходимое условие экстремума, называются критическими(илистационарнымидля дифференцируемой функции). Эти точки должны входить в область определения функции.

Таким образом, если в какой-либо точке имеется экстремум, то эта точка критическая (необходимость условия). Заметим, что обратное утверждение неверно. Критическая точка вовсе не обязательно является точкой экстремума, т.е. сформулированное условие не является достаточным.

Первое достаточное условие экстремума. Если при переходе через некоторую точку производная дифференцируемой функции меняет свой знак с плюса на минус, то это точка максимума функции, а если с минуса на плюс, — то точка минимума.

Доказательство этого условия вытекает из достаточного условия монотонности (при изменении знака производной происходит переход либо от возрастания функции к убыванию, либо от убывания к возрастанию).

Второе достаточное условие экстремума. Если первая производная дважды дифференцируемой функции в некоторой точке равна нулю, а вторая производная в этой точке положительна, то это точка минимума функции; а если вторая производная отрицательна, то это точка максимума.

Доказательство этого условия также основано на достаточном условии монотонности. В самом деле, если вторая производная положительна, то первая производная является возрастающей функцией. Поскольку в рассматриваемой точке она равна нулю, следовательно, при переходе через нее она меняет знак с минуса на плюс, что возвращает нас к первому достаточному условию локального минимума. Аналогично если вторая производная отрицательна, то первая убывает и меняет знак с плюса на минус, что является достаточным условием локального максимума.

Исследование функции на экстремумв соответствии со сформулированными теоремами включает следующие этапы:

1. Найти первую производную функции f`(x).

2. Проверить выполнение необходимого условия экстремума, т.е. найти критические точки функции f(x), в которых производнаяf`(x) = 0 или не существует.

3. Проверить выполнение достаточного условия экстремума, т.е. либо исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки, либо найти вторую производную f«(x) и определить ее знак в каждой критической точке. Сделать вывод о наличии экстремумов функции.

4. Найти экстремумы (экстремальные значения) функции.

Нахождение глобального максимума и минимума функциина некотором промежутке также имеет большое прикладное значение. Решение этой задачи на отрезке основано на теореме Вейерштрасса, в соответствии с которой непрерывная функция принимает на отрезке свои наибольшее и наименьшее значения. Они могут достигаться как в точках экстремума, так и на концах отрезка. Поэтому решение включает следующие этапы:

1. Найти производную функции f`(x).

2. Найти критические точки функции f(x), в которых производнаяf`(x) = 0 или не существует.

3. Найти значения функции в критических точках и на концах отрезка и выбрать из них наибольшее и наименьшее.

studfiles.net

Экстремумы функции

На этой странице вы сможете посмотреть несколько примеров для нахождения экстремумов функции, в каждом из них есть своя уникальность, поэтому рекомендую посмотреть все.
Здесь часто используется нахождение производной, что бы лучше понимать, как её надо находить, то сначала посмотрите мои таблицу производных.

1. Имеем функцию:
   
   Найдём её производную:
   
   Прировняем производную к нулю и найдём значение переменной.
   
   
   Наносим x=0 на координатную прямую и смотрим, где производная будет отрицательной, а где положительной. То есть до нашей точки (для этого берём любое значение до ноля ну, например, -1 и подставляем его в формулу с производной, видим что выйдем -2, то есть знак минус) и после неё (всё точно также берём любое число по праву сторону от ноля, например, 1 результат будет 2 – значит знак плюс).
   
   Видим, что при прохождении через точку x=0, производная меняет знак с плюса на минус, то значит, что это будет точка минимума.
2. Всё аналогично делаем и в следующем примере.
   
   Наносим точку x=0 на координатную прямую, и вычисляем соответствующие значения.
   
   Видим, что здесь знак производной не меняется, то есть данная точка не будет экстремумом.
3. Приступим к следующему примеру:
   
   Как всегда найдём производную и прировняем её к нулю. Поскольку в нас дробь, то к нолю надо приравнивать, только числитель.
   
   Ещё надо учитывать точки разрыва, при которых знаменатель будет равен нулю.
   
   Наносим все эти данные на координатную прямую и находим знак производной на каждом из промежутков.
   
   Видим, что при прохождении через точки -1 и 1 производная не меняет знака, эти точки не будут экстремумами, а при прохождении через 0 меняет с плюса на минус, поэтому точка x=0 будет максимумом.
4. Ну и рассмотрим ещё один небольшой пример:
   
   Опять находим производную и приравниваем её к нолю:
   
   Полученные значения переменных наносим на координатную прямую и высчитываем знак производной на каждом из промежутков. Ну например, для первого возьмём -2, тогда производная будет равна -0,24, для второго возьмём 0, тогда производная будет 2 и для третьего возьмём 2, тогда производная будет -0,24. И проставим соответствующие знаки.
   
   Видим, что при прохождении через точку -1 производная меняет знак с минуса на плюс, то есть это будет минимум, а при прохождении через 1 – меняет знак и плюса на минус, соответственно это будет максимум.

Материалы по теме:

Поделиться с друзьями:

Загрузка…

matemonline.com

Экстремумы функции (Лекция №9)

Рассмотрим график непрерывной функции y=f(x), изображенной на рисунке.

Значение функции в точке x₁ будет больше значений функции во всех соседних точках как слева, так и справа от x₁. В этом случае говорят, что функция имеет в точке x₁ максимум. В точке x₃ функция, очевидно, также имеет максимум. Если рассмотреть точку x₂, то в ней значение функции меньше всех соседних значений. В этом случае говорят, что функция имеет в точке x₂ минимум. Аналогично для точки x₄.

Функция y=f(x) в точке x₀ имеет максимум, если значение функции в этой точке больше, чем ее значения во всех точках некоторого интервала, содержащего точку x₀, т.е. если существует такая окрестность точки x₀, что для всех x≠x₀, принадлежащих этой окрестности, имеет место неравенство f(x)<f(x₀).

Функция y=f(x) имеет минимум в точке x₀, если существует такая окрестность точки x₀, что для всех x≠x₀, принадлежащих этой окрестности, имеет место неравенство f(x)>f(x₀.

Точки, в которых функция достигает максимума и минимума, называются точками экстремума, а значения функции в этих точках экстремумами функции.

Обратим внимание на то, что функция, определенная на отрезке, может достигать максимума и минимума только в точках, заключенных внутри рассматриваемого отрезка.

Отмети, что если функция имеет в точке максимум, то это не означает, что в этой точке функция имеет наибольшее значение во всей области определения. На рисунке, рассмотренном выше, функция в точке x₁ имеет максимум, хотя есть точки, в которых значения функции больше, чем в точке x₁. В частности, f(x₁) < f(x₄) т.е. минимум функции больше максимума. Из определения максимума следует только, что это самое большое значение функции в точках, достаточно близкихк точке максимума.

Теорема 1. (Необходимое условие существования экстремума.) Если дифференцируемая функция y=f(x) имеет в точке x= x₀ экстремум, то ее производная в этой точке обращается в нуль.

Доказательство. Пусть для определенности в точке x₀ функция имеет максимум. Тогда при достаточно малых приращениях Δx имеем f(x₀+ Δx)<f(x₀), т.е. Но тогда

Переходя в этих неравенствах к пределу при Δx→ 0 и учитывая, что производная f ‘(x₀) существует, а следовательно предел, стоящий слева, не зависит от того как Δx → 0, получаем: при Δx → 0 – 0 f’(x₀) ≥ 0 а при Δx → 0 + 0 f’(x₀) ≤ 0. Так как f ‘(x₀) определяет число, то эти два неравенства совместны только в том случае, когда f ‘(x₀) = 0.

Доказанная теорема утверждает, что точки максимума и минимума могут находиться только среди тех значений аргумента, при которых производная обращается в нуль.

Мы рассмотрели случай, когда функция во всех точках некоторого отрезка имеет производную. Как же обстоит дело в тех случаях, когда производная не существует? Рассмотрим примеры.

Примеры.

1. y=|x|.

   Функция не имеет производной в точке x=0 (в этой точке график функции не имеет определенной касательной), но в этой точке функция имеет минимум, так как y(0)=0, а при всех x≠ 0y > 0.

2.  

   Функция не имеет производной при x=0, так как обращается в бесконечность приx=0. Но в этой точке функция имеет максимум.

3.  

   Функция не имеет производной при x=0, так как при x→0. В этой точке функция не имеет ни максимума, ни минимума. Действительно, f(x)=0 и при x<0f(x)<0, а при x>0f(x)>0.

   Таким образом, из приведенных примеров и сформулированной теоремы видно, что функция может иметь экстремум лишь в двух случаях: 1) в точках, где производная существует и равна нулю; 2) в точке, где производная не существует.

   Однако, если в некоторой точке x₀ мы знаем, что f ‘(x₀)=0, то отсюда нельзя делать вывод, что в точке x₀ функция имеет экстремум.

   Например. .

   Но точка x=0 не является точкой экстремума, поскольку слева от этой точки значения функции расположены ниже оси Ox, а справа выше.

   Значения аргумента из области определения функции, при которых производная функции обращается в нуль или не существует, называются критическими точками.

   Из всего вышесказанного следует, что точки экстремума функции находятся среди критических точек, и, однако, не всякая критическая точка является точкой экстремума. Поэтому, чтобы найти экстремум функции, нужно найти все критические точки функции, а затем каждую из этих точек исследовать отдельно на максимум и минимум. Для этого служит следующая теорема.

   Теорема 2. (Достаточное условие существования экстремума.) Пусть функция непрерывна на некотором интервале, содержащем критическую точку x₀, и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, быть может, самой точки x₀). Если при переходе слева направо через эту точку производная меняет знак с плюса на минус, то в точке x = x₀ функция имеет максимум. Если же при переходе через x₀ слева направо производная меняет знак с минуса на плюс, то функция имеет в этой точке минимум.

   Таким образом, если

   1. f ‘(x)>0 при x<x₀ и f ‘(x)<0 при x> x₀, то x₀ – точка максимума;
   2. при x<x₀ и f ‘(x)>0 при x> x₀, то x₀ – точка минимума.

   Доказательство. Предположим сначала, что при переходе через x₀ производная меняет знак с плюса на минус, т.е. при всех x, близких к точке x₀f ‘(x)>0 для x< x₀, f ‘(x)<0 для x> x₀. Применим теорему Лагранжа к разности f(x) — f(x₀) = f ‘(c)(x- x₀), где c лежит между x и x₀.

   1. Пусть x < x₀. Тогда c< x₀ и f ‘(c)>0. Поэтомуf ‘(c)(x- x₀)<0и, следовательно,

      f(x) — f(x₀)<0,т.е. f(x)< f(x₀).

   2. Пусть x > x₀. Тогда c> x₀ и f ‘(c)<0. Значитf ‘(c)(x- x₀)<0. Поэтому f(x) — f(x₀)<0,т.е.f(x) < f(x₀).

   Таким образом, для всех значений x достаточно близких к x₀f(x) < f(x₀). А это значит, что в точке x₀ функция имеет максимум.

   Аналогично доказывается вторая часть теоремы о минимуме.

   Проиллюстрируем смысл этой теоремы на рисунке. Пусть f ‘(x₁)=0 и для любых x, достаточно близких к x₁, выполняются неравенства

   f ‘(x)<0 при x< x₁, f ‘(x)>0 при x> x₁.

   Тогда слева от точки x₁ функция возрастает, а справа убывает, следовательно, при x = x₁ функция переходит от возрастания к убыванию, то есть имеет максимум.

   Аналогично можно рассматривать точки x₂ и x₃.

   
   Схематически все вышесказанное можно изобразить на картинке:

   Правило исследования функции y=f(x) на экстремум

   1. Найти область определения функции f(x).
   2. Найти первую производную функции f ‘(x).
   3. Определить критические точки, для этого:
      1. найти действительные корни уравнения f ‘(x)=0;
      2. найти все значения x при которых производная f ‘(x) не существует.
   4. Определить знак производной слева и справа от критической точки. Так как знак производной остается постоянным между двумя критическими точками, то достаточно определить знак производной в какой-либо одной точке слева и в одной точке справа от критической точки.
   5. Вычислить значение функции в точках экстремума.

   Примеры. Исследовать функции на минимум и максимум.

   1. . Область определения функции D(y)=R.

      Найдем производную заданной функции

      Определим критические точки . Производная не существует при х₂= 0. Следовательно, критические точки: 0 и 2/5. Нанесем их на числовую ось и определим знак производной на каждом из полученных промежутков.

   2.  

      Критическая точка функции x =3. Точка x= –1 не входит в область определения функции.

   НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ НА ОТРЕЗКЕ

   Наибольшим значением функции на отрезке называется самое большое из всех ее значений на этом отрезке, а наименьшим – самое маленькое из всех ее значений.

   Рассмотрим функцию y=f(x) непрерывную на отрезке [a, b]. Как известно, такая функция достигает своего наибольшего и наименьшего значений, либо на границе отрезка, либо внутри него. Если наибольшее или наименьшее значение функции достигается во внутренней точке отрезка, то это значение является максимумом или минимумом функции, то есть достигается в критических точках.

   Таким образом, получаем следующее правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке[a, b]:

   1. Найти все критические точки функции в интервале (a, b) и вычислить значения функции в этих точках.
   2. Вычислить значения функции на концах отрезка при x = a, x = b.
   3. Из всех полученных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

   Примеры.

   1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [–2; –0,5].

      Найдем критические точки функции.

      Вычислим значения функции в найденной точке и на концах заданного отрезка.

      Итак,

   2. Найти наибольшее и наименьшее значения функцииy=x-2·ln x на [1; e].

   3. Чему равна наименьшая площадь боковой поверхности прямого кругового конуса объема 3π?

      По теореме Пифагора

      .

      Следовательно, .

      .

      Найдем критические точки функции S: S‘ = 0, т.е.

      Покажем, что при найденном значении h функция S_бок достигает минимума.

      .

   4. Найти радиус основания и высоту цилиндра наибольшего объема, который можно вписать в шар радиусом R.

      Пусть r – радиус основания цилиндра, h – высота.

      Нам нужно максимизировать объем цилиндра .

      Используя условие задачи, найдем связь между r и h. По теореме Пифагора из треугольника ABC следует, что . Отсюда .

      , по смыслу задачи 0≤h≤2R.

      .

      Покажем, что при найденном значении h функция V принимает наибольшее значение.

toehelp.ru

как найти критическую точку максимума и минимума

Из данной статьи читатель узнает о том, что такое экстремум функционального значения, а также об особенностях его использования в практической деятельности. Изучение такого концепта крайне важно для понимания основ высшей математики. Эта тема является основополагающей для более глубокого изучения курса.

…

Вконтакте

Facebook

Twitter

Мой мир

Что такое экстремум?

В школьном курсе дается множество определений понятия «экстремум». Данная статья призвана дать самое глубокое и четкое представление о термине для несведущих в вопросе лиц. Итак, под термином понимают, насколько функциональный промежуток приобретает минимальное либо максимальное значение на том или ином множестве.

Экстремум – это и минимальное значение функции, и максимальное одновременно. Различают точку минимума и точку максимума, то есть крайние значения аргумента на графике. Основные науки, в которых используют данный концепт:

Точки экстремума играют важную роль в определении последовательности заданной функции. Система координат на графике в лучшем виде показывает изменение экстремального положения в зависимости от изменения функциональности.

Это интересно! Свойства натуральных логарифмов: график, основание, функции, предел, формулы и область определения

Экстремумы производной функции

Имеет также место такое явление, как «производная». Она необходима для определения точки экстремума. Важно не путать точки минимума либо максимума с наибольшим и наименьшим значением. Это разные понятия, хотя могут показаться похожими.

Производная функция

Значение функции является основным фактором для определения того, как найти точку максимума. Производная не образуется от значений, а исключительно от крайнего ее положения в том или ином его порядке.

Сама же по себе производная определяется на основе данных точек экстремума, а не наибольшего или наименьшего значения. В российских школах недостаточно четко проводят грань между этими двумя концептами, что влияет на понимание данной темы вообще.

Это интересно! Как определить определенные интегралы от нуля, константы и с доказательством

Острый экстремум

Давайте теперь рассмотрим такое понятие как «острый экстремум». На сегодняшний день выделяют острый минимум значения и острый максимум значения. Определение дано в соответствии с российской классификацией критических точек функции. Концепт точки экстремума лежит в основе нахождения критических точек на графике.

Острый экстремум

Важно! Процесс нахождения точек острого экстремума функции называется дифференцированием и используется как в школьном курсе изучения алгебры и начала анализа, так и в ходе освоения высшей математики в университете.

Экстремальное значение функции

Для определения такого понятия прибегают к использованию теоремы Ферма. Она является важнейшей в ходе изучения крайних точек и дает четкое представление об их существовании в том или ином их виде. Для обеспечения экстремальности важно создать определенные условия для убывания либо возрастания на графике.

Для точного ответить на вопрос «как найти точку максимума», необходимо следовать таким положениям:

1. Нахождение точной области определения на графике.
2. Поиск производной функции и точки экстремума.
3. Решать стандартные неравенства на область нахождения аргумента.
4. Уметь доказывать, в каких функциях точка на графике определена и непрерывна.

Экстремальное значение функции

Внимание! Поиск критической точки функции возможен только в случае существования производной не менее второго порядка, что обеспечивается высокой долей наличия точки экстремума.

Необходимое условие экстремума функции

Для того чтобы существовал экстремум, важно, чтобы были как точки минимума, так и точки максимума. В случае если это правило соблюдено лишь частично, то условие существование экстремума нарушается.

Точки минимума и максимума

Каждая функция в любом положении должна быть продифференцирована с целью выявления ее новых значений. Важно понимать, что случай обращения точки в ноль не является основным принципом нахождения дифференцируемой точки.

Острый экстремум, также как и минимум функции – это крайне важный аспект решения математической задачи с использованием экстремальных значений. Для того чтобы лучше понимать данную составляющую, важно обратиться к табличным значениям по заданию функционала.

Полное исследование значения

Построение графика значения

1.      Определение точек возрастания и убывания значений. 2.      Нахождение точек разрыва, экстремума и пересечение с координатными осями. 3.      Процесс определения изменений положения на графике. 4.      Определение показателя и направления выпуклости и выгнутости с учетом наличия асимптот. 5.      Создание сводной таблицы исследования с точки зрения определения ее координат. 6.      Нахождение промежутков возрастания и убывания крайних и острых точек. 7.      Определение выпуклости и вогнутости кривой. 8.      Построение графика с учетом исследования позволяет найти минимум либо максимум.

Основным элементом при необходимости работы с экстремумами является точное построение его графика. Школьные учителя не часто уделяют столь важному аспекту максимум внимания, что является грубейшим нарушением учебного процесса. Построение графика происходит только по итогам исследования функциональных данных, определения острых экстремумов, а также точек на графике. Острые экстремумы производной функции отображаются на графике точных значений, с использованием стандартной процедуры определения асимптот. Точки максимума и минимума функции сопровождаются более сложными построениями графика. Это обусловлено более глубокой необходимостью прорабатывать проблему острого экстремума. Необходимо также находить производную сложной и простой функции, так как это одно из самых главных понятий проблематики экстремума.

Экстремум функционала

Для того чтобы отыскать вышеозначенное значение, необходимо придерживаться следующих правил:

• определить необходимое условие экстремального отношения;
• учитывать достаточное условие крайних точек на графике;
• осуществлять расчет острого экстремума.

Используются также такие понятия, как слабый минимум и сильный минимум. Это необходимо учитывать при определении экстремума и точного его расчета. При этом острый функционал – это поиск и создание всех необходимых условий для работы с графиком функции.

Это интересно! Легкие правила округления чисел после запятой

Экстремумы функции. 10 класс.

 

Исследование функции. Экстремумы функции — bezbotvy

 

Вывод

После прочтения и осознания данной статьи любой новичок в математике имеет возможность понять возможности острых экстремумов в том виде, в каком они используются в образовательном процессе. Вышеперечисленные моменты позволяют разобраться в крайних точках без помощи репетиторов.

uchim.guru

Нахождение экстремумов функции — Мегаобучалка

 

Литература: [3], гл. V, § 3

[5], Ч.1, гл. 6, § 6.3

 

Точка x₀ называется точкой максимума (минимума) функции y = f (x), если существует такая окрестность точки x₀, что для всех x ≠ x₀ из этой окрестности выполняется неравенство f (x) < f (x₀) (f (x) > f (x₀)).

Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума функции, а значения функции в этих точках ─ экстремумами (максимумами и минимумами) функции.

Необходимый признак существования экстремума функции: если непрерывная функция имеет в точке x₀ экстремум, то ее производная в этой точке либо равна нулю, либо не существует.

Внутренние точки области определения функции, в которых производная функции равна нулю или не существует, называются критическими.

Первый достаточный признак существования экстремума: если непрерывная функция y = f (x) дифференцируема в некоторой окрестности точки x₀ при переходе через эту точку (слева направо) производная меняет свой знак плюса на минус, то x₀ является точкой максимума, если знак меняется с минуса на плюс, то точка x₀ ─ точка минимума. Если знак производной не меняется, то x₀ не является точкой экстремума.

Пример 1. Найти точки экстремума функции

.

Решение. Область определения функции: .

Находим производную функции: .

Находим критические точки: не существует при , при . Критические точки и разбивают область определения функции на интервалы (-∞, 0), (0, 1), (1, +∞).

Определяем знаки производной на каждом из интервалов:

 

В критической точке производная меняет знак с «+» на «‑». Значит, функция имеет в точке максимум. В критической точке знак производной меняется с «‑» на «+». Следовательно, является точкой минимума функции.

 

Второй достаточный признак существования экстремума: если в точке x₀ первая производная функции y = f (x) равна нулю, т.е. , а вторая производная функции существует и отлична от нуля, т.е. , то точка x₀ является точкой экстремума. При в точке x₀ функция имеет максимум, а при ─ минимум. В случае, когда данный признак не дает ответа на вопрос о существовании экстремума.

Пример 2. Исследовать на экстремум функцию , пользуясь вторым достаточным признаком существования экстремума.

Решение. Область определения функции: .

Находим первую производную функции: .

при , откуда и .

не существует при .

Таким образом, данная функция имеет только одну критическую точку , поскольку точки и не входят в область определения функции .

Находим вторую производную функции: . Вычисляем ее значение в критической точке: . Значит, в точке функция имеет минимум: .

 

 

megaobuchalka.ru