Неравенства линейные примеры 9 класс – Линейные неравенства. Системы и совокупности неравенств

Решение линейных и квадратных неравенств. Видеоурок. Алгебра 9 Класс

Тема: Рациональные неравенства и их системы

Урок: Решение линейных и квадратных неравенств

 

Линейные неравенства – это неравенства вида  и они решаются двумя способами: эквивалентными преобразованиями либо с помощью графика функции. Рассмотрим второй способ на примерах:

1. Решить неравенство

Построим график функции. Графиком является прямая, она пересекает ось oy в точке 1, ось ox в т. Корень функции разбивает ось ox на два различных промежутка. На первом промежутке функция отрицательна, на втором – положительна.

Этого достаточно, чтобы решить линейное неравенство.

Ответ:

Линейные неравенства эффективно решаются путем выбора интервалов, на которых функция сохраняет знак, т.е. до корня и после корня. Решением линейного неравенства, как правило, является луч.

Рассмотрим квадратное неравенство

Оно решается с помощью свойств квадратичной функции

Рассмотрим на примере.

2. Решить неравенство

Рассмотрим функцию  Построим ее график, для этого вначале найдем корни. По теореме Виета

Схематически изобразим параболу и определим интервалы знакопостоянства и знаки на них. Ветви параболы направлены вверх.

Вне интервала корней функция положительна, внутри интервала корней – отрицательна.

Ответ:

Рассмотрим квадратичную функцию и её свойства в общем виде.

 

1.

Функция имеет вид

 значит, корни квадратного трехчлена различны,

Графиком квадратичной функции является парабола, пересекающая ось ox в точках с абсциссами

 ветви параболы направлены вверх.

Вне интервала корней функция имеет положительный знак, внутри интервала корней – отрицательный.

Что можно сказать о функции, если  Прежде всего, что она разлагается на линейные множители:

Также для нее справедлива теорема Виета:

Найдем координаты вершины параболы.

Для квадратичной функции есть два возможных варианта неравенств:

Множество значений функции – луч от  в положительном направлении.  Точка пересечения с осью oy – т..

2.

Как и в предыдущем случае, многочлен раскладывается на множители.

График функции – парабола, ветви направлены вверх.

Парабола касается оси ox в одной точке, которая и является вершиной параболы.

Рассмотрим возможные варианты неравенств:

Множество значений функции:

График функции пересекается с осью oy в т.

3.

Рассмотрим функцию

 означает, что уравнение не имеет корней, трехчлен нельзя разложить на множители и не выполняется теорема Виета.

Найдем координаты вершины:  

Схематически изобразим график – параболу, ветви направлены вверх.

В этом случае часто допускается стандартная ошибка – нет корней, значит, нет решений. Корней нет у квадратного уравнения, а решением неравенства является любое действительное число.

Множество значений функции

Для более глубокого рассмотрения рекомендуется самостоятельно изучить случаи, когда

1.

2.

3.

Необходимо построить графики и расписать решения стандартных неравенств самостоятельно.

Мы подробно рассмотрели свойства квадратичной функции, которые лежат в основе решения задач.

Рассмотрим примеры.

1.  Найти область определения функции.

Область определения функции задается неравенством  т.к. трехчлен находится под корнем и в знаменателе.

Умножим обе части неравенства на .

Рассмотрим функцию  найдем ее корни.

По теореме Виета

Изобразим график функции. Точки -2 и 1 выколотые, т.к. неравенство строгое.

Поставленному условию удовлетворяет промежуток внутри интервала корней.

Ответ:

Мы увидели на примере, что многие задачи сводятся к решению квадратного уравнения.

2.  При каких значениях p данное уравнение имеет

два различных корня?

один корень?

не имеет корней?

Если p принимает конкретное значение, мы имеем конкретный квадратный трехчлен с конкретным значением дискриминанта,

Найдем дискриминант.

Рассмотрим функцию

Найдем корни по теореме Виета.

Рассмотрим ось p и график функции  Графиком является парабола, ветви направлены вверх.

Функция сохраняет положительный знак вне интервала корней, отрицательный знак – внутри интервала.

Ответ: Уравнение имеет

1. два различных корня, когда

2. один корень, когда

3. не имеет корней, когда

Мы рассмотрели решение линейных и квадратичных неравенств, некоторые свойства квадратичной функции, которые используются при решении квадратных неравенств.

 

Список рекомендованной литературы

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб. Для общеобразоват. Учреждений.- 4-е изд. – М.: Мнемозина, 2002.-192 с.: ил.

2. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

3. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс : учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 7-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008.

4. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 9 класс. 16-е изд. - М., 2011. - 287 с.

5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., стер. — М.: 2010. — 224 с.: ил.

6. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразова

interneturok.ru

Неравенства и системы неравенств. Алгебра, 9 класс: уроки, тесты, задания.

Вход на портал Вход на портал Регистрация Начало Поиск по сайту ТОПы Учебные заведения Предметы Проверочные работы Обновления Подписка Я+ Новости Переменка Отправить отзыв
  • Предметы
  • Алгебра
  • 9 класс
  1. Линейные и квадратные неравенства

  2. Рациональные неравенства

  3. Множества и операции над ними

  4. Системы рациональных неравенств

Отправить отзыв Нашёл ошибку? Сообщи нам! Copyright © 2019 ООО ЯКласс Контакты Пользовательское соглашение

www.yaklass.ru

Линейные и квадратные неравенства. Алгебра, 9 класс: уроки, тесты, задания.

1. Деление неравенства на отрицательное число

Сложность: лёгкое

2
2. Число, которое является или не является решением неравенства с модулем

Сложность: лёгкое

1
3. Линейное неравенство

Сложность: лёгкое

3
4. Дробное неравенство, сводимое к линейному

Сложность: среднее

4
5. Квадратное неравенство, сводимое к линейному (распределительный закон умножения)

Сложность: среднее

3
6. Значения переменной, при которых выражение имеет смысл

Сложность: среднее

4
7. Область определения корня из квадратного трёхчлена

Сложность: среднее

5
8. Область определения корня из дроби

Сложность: среднее

6
9. Значения переменной, при которых дробь имеет смысл (корень в знаменателе)

Сложность: среднее

5
10. Целочисленные значения параметра

Сложность: сложное

6
11. Натуральное значение параметра (целые числа из множества решений)

Сложность: сложное

6
12. Натуральное значение параметра (натуральные числа из множества решений)

Сложность: сложное

6

www.yaklass.ru

Обобщающий урок в 9 классе по теме "Линейные неравенства"

Обобщающий урок алгебры в 9 классе по теме:

«Решение линейных неравенств с одной переменной и их систем»

Выполнила: учитель математики Панченко Ирина Сергеевна

ДОШ № 126

г. Донецк.

Класс: 9

УМК: Учебник для 9 класса общеобразовательных учреждений, В.Р. Кравчук.

Тема: Урок систематизации и обобщения изученного материала по теме «Решение линейных неравенств с одной переменной и их систем». Слайд 1.

Девиз урока «Математика учит преодолевать трудности и исправлять собственные ошибки». Слайд 2.

Цели урока:

Образовательная:

  1. Повторить и обобщить знания учащихся по теме «Неравенства с одной переменной и их системы»

  2. Продолжить формирование умений работать по алгоритму.

Развивающая:

  1. Развивать навыки коллективной работы, взаимопомощи, самоконтроля.

Воспитательная:

2. Воспитывать информационные компетенции, математическую зоркость, математическую речь. Слайд 3,4.

Задачи урока – отработать навык решения линейных неравенств с одной переменной, систем неравенств, формирование вычислительных навыков, выявить степень усвоения учащимися изученного материала.

Оборудование:

  • Медиа-проектор

  • Экран

  • Раздаточный материал

  • Учебник для 9 класса общеобразовательных учреждений, В.Р. Кравчук

Тип урока: Урок систематизации и обобщения изученного материала. Слайд 5.

Структурные элементы урока: 

1. Организационный этап.

2. Этап подготовки учащихся к активному сознательному усвоению знаний. Постановкаа целей и задач урока.

3. Этап обобщения и систематизации изученного материала. Повторение

А) тестирование

Б) устный опрос

С) устная работа

4. Повторение. Работа с классом у доски. Решение неравенств с одной переменной.

5. Повторение. Работа с классом у доски, с выбором правильного варианта ответа. Решение систем неравенств с одной переменной.

6. Тренировочные упражнения.

7. Самостоятельная работа учащихся по вариантам. (Взаимопроверка).

8. Подведение итогов урока. Задания на дом.

Ход урока.

1. Организационный этап.

(Проверка готовности учащихся к уроку. Сообщение темы и целей урока.)

Наш урок я хочу начать со слов персидско-таджикского поэта Рудаки:

«С тех пор как существует мирозданье,

Такого нет, кто б не нуждался в знанье.

Какой мы ни возьмем язык и век,

Всегда стремится к знанью человек »

Слайд 6.

2. Этап подготовки учащихся к активному сознательному усвоению знаний.

Выбери промежуток, удовлетворяющий неравенству (взаимопроверка).

Слайд 7,8.

Найди ошибку в решении неравенств. Объясни почему допущена ошибка. Запиши в тетради правильное решение:

1. 31(2x+1)-12x > 50x

62x+31-12x > 50x

50x-50x > -31

x > 0

ответ: х – любое число.

2. 3(7-4y) > 3y-7

21 -12y > 3y-7

-12y + 3y > -7-21

-9y > - 28

y < 3 1/9

ответ: х ϵ(3 1/9 ;+ ∞)

Слайд 9.

Мы закончили изучение темы «Неравенства с одной переменной и их системы» Этот урок посвящен повторению и обобщению всего материала темы.

3.Этап обобщения и систематизации изученного.

А) Для повторения теории темы, ее понимания и умения применять проведем тестирование с последующей проверкой и беседой по теории темы.

Каждое задание теста предполагает ответ «Да» или «Нет».

«Да» -1 «Нет» - 0.

В результате выполнения теста получится какое-то число.

Вопросы теста:

1) Является ли число 12 решением неравенства 2х>10? (да)

2) Является ли число -6 решением неравенства 4х>12? (нет)

3) Является ли неравенство

5х-15>4х+14 строгим? (да)

4) Существует ли целое число  принадлежащее промежутку

[-2,8;-2,6]? (нет)

5) При любом ли значении переменной а верно неравенство

а² +4 >0? (да)

6) Верно ли, что при умножении или делении обеих частей  неравенства на отрицательное число знак неравенства не меняется? (нет)

Назовите число, которое у вас получилось.

Давайте проверим ответ. 1010101. Слайд 10,11,12.

Б) Устный опрос.

- Является ли решением неравенства 3х - 11>1 число 5?

- Дайте определение решения неравенства с одной переменной.

- Что значит решить неравенство?

- Сформулируйте свойства равносильности, которые используются при решении неравенств. Слайд 13.

В) Устная работа.

№1 «Найди ошибку!»

1. х ≥7 2. y < -2,5

Ответ: (-∞;7) Ответ: (-∞;2,5)

3. m ≥ 12 4. -3x ≤ 3,9

Ответ: (-∞;12) Ответ: [-∞;-1,3]. Слайд 14.

№2 Наибольшее целое решение для каждого из данных неравенств равно:

1)7 Ответ:6

2)2,5 Ответ:2

3)12 Ответ:11

4)-1,3 Ответ:-1. Слайд 15.

 № 3 Неравенству х ≥ 15 соответствует числовой промежуток:

1) (–∞ ; 15)

2) [15; +∞) – правильный ответ.

3) (–∞ ; 15]

4) (15;+∞) Слайд 16.

4. Повторение. Работа с классом у доски. Решение неравенств с одной переменной.

Используя свойства, решите следующие неравенства:

  1. 4 + 12х > 7 + 13х; ответ х ϵ(-∞; -3)

  2. (2 - 3х) + 4(6 + х)> 1; ответ х ϵ(-3 ;∞)

  3. , ответ х ϵ(-∞; -1]

Слайд 17.

Повторение. Решение неравенств с одной переменной.

1) Решите двойное неравенство:

- 4 < х-9 < 5 ответ х ϵ(5 ; 14)

2) При каких значениях х имеет

смысл выражение: Слайд 18.

3) Решите двойное неравенство - 6 < 3х < 9 и укажите наибольшее и наименьшее целое число, которое является его решением. ответ х ϵ(-2 ; 3), наибольшее равно 2, наименьшее равно -1. Слайд 19.

5. Повторение. Работа с классом у доски, с выбором правильного варианта ответа. Решение систем неравенств с одной переменной.

Работаем дальше, ответьте на вопрос:

- Является ли решением системы неравенств число 3?

- Что называется решением системы неравенств?

- Что значит решить систему неравенств? Слайд 20.

Найти множество решений неравенства или системы неравенств, выбрать из полученного множества те решения, которые удовлетворяют дополнительным условиям, поставить в соответствие полученным числам буквы из слова “неравенство”, прочесть слово.

Неравенство:

1) найти наибольшее целое число Ответ: 3, буква “Р”.

2) найти наименьшее и наибольшее целые числа. Ответ: 2 и 10, буквы “Е,В”.

3) найти наименьшее натуральное число. Ответ: 6, буква “Е”.

4) найти наименьшее и наибольшее целые числа. Ответ: 3,8, буквы “Р,С”.

В результате учащиеся должны составить слово “реверс”, а затем учитель должен сообщить значение этого слова. Слайд 21,22,23.

6. Тренировочные упражнения.

Решить данное неравенство различными способами: ответ х ϵ(-1 ; 4).

а) по определению модуля;

б) через двойное неравенство;

Слайд 24

7. Самостоятельная работа учащихся по вариантам. (Взаимопроверка).

      1. Решите неравенство:

4 +12х > 7+13х; 7-4х < 6х-23;

2) Решите системы неравенств:

3) Найдите количество целых чисел, являющихся решениями системы

Взаимопроверка. Слайд 25.

Учащиеся сдают работы, предварительно выписав ответы, которые проверяются по окончанию работы.

Ответы самостоятельной работы.

  1. х ϵ(-∞ ; -3) х ϵ(3;∞)

  2. х ϵ(1 ; 4) х ϵ[-6 ; -4]

  3. 8: -5,-4,-3,-2, -1,0,1,2 5:4,5,6,7,8. Слайд 26.

8. Подведение итогов урока. Задания на дом. Домашнее задание: Сборник алгебра 9 класс, А. Г. Мерзляк, ТО №1 стр. 112. Слайд 27.

infourok.ru

9 класс. Алгебра. Рациональные неравенства и их системы. - Линейные и квадратные неравенства.

Комментарии преподавателя

На этом уроке мы будем повторять неравенства. Мы вспомним, что такое линейное и квадратное неравенство, частное и общее решение, символическая запись. А также вспомним специфику решения неравенств – три правила равносильных преобразований. И решим несколько примеров на линейные неравенства.

Тема: Ра­ци­о­наль­ные нера­вен­ства и их си­сте­мы. Ли­ней­ные и квад­рат­ные нера­вен­ства (по­вто­ре­ние)

Урок: Ос­нов­ные по­ня­тия, ре­ше­ние ли­ней­ных нера­венств

Ра­ци­о­наль­ные нера­вен­ства – ос­нов­ные по­ня­тия и ре­ше­ния квад­рат­ных и ли­ней­ных нера­венств (9 класс)

Ли­ней­ное и квад­рат­ное нера­вен­ство, по­вто­ре­ние, урок 1, ос­нов­ные по­ня­тия ре­ше­ния ли­ней­ных нера­венств

Нера­вен­ство с одной пе­ре­мен­ной имеет вид: f(x) > 0, вме­сто (> 0) может быть (≥ 0), (< 0), (≤ 0).

Для опре­де­лен­но­сти будем за­пи­сы­вать нера­вен­ство в виде f(x) > 0.

x – пе­ре­мен­ная,

f – функ­ция, вы­ра­же­ние, за­ви­ся­щее от х.

В за­ви­си­мо­сти от f раз­ли­ча­ют раз­ные типы нера­венств. Если f – ли­ней­ная функ­ция, то это ли­ней­ное нера­вен­ство. Если f – квад­ра­тич­ная функ­ция, то это квад­рат­ное нера­вен­ство.

Итак, ли­ней­ное нера­вен­ство имеет вид ax+b>0, пред­по­ла­га­ет­ся, что a≠0.

Квад­рат­ное нера­вен­ство имеет вид .

Зна­че­ние x, при ко­то­ром нера­вен­ство об­ра­ща­ет­ся в вер­ное чис­ло­вое нера­вен­ство, яв­ля­ет­ся част­ным ре­ше­ни­ем нера­вен­ства. Ре­шить нера­вен­ство – найти все ре­ше­ния нера­вен­ства. Мно­же­ство всех ре­ше­ний нера­вен­ства на­зы­ва­ет­ся общим ре­ше­ни­ем нера­вен­ства, или про­сто ре­ше­ни­ем нера­вен­ства.

Рас­смот­рим при­мер:

1) Ре­шить нера­вен­ство 2x – 5 > 9.

Это ли­ней­ное нера­вен­ство, най­дем его ре­ше­ние и об­су­дим ос­нов­ные по­ня­тия.

2x – 5 > 9 <=> 2x > 14 (5 пе­ре­нес­ли в левую часть с про­ти­во­по­лож­ным зна­ком), далее раз­де­ли­ли все на 2 и по­лу­чи­ли x > 7. Изоб­ра­зим мно­же­ство ре­ше­ний на оси x.

Это по­ло­жи­тель­но на­прав­лен­ный луч. За­пи­сы­ва­ет­ся мно­же­ство ре­ше­ний либо в виде нера­вен­ства x > 7, либо в виде ин­тер­ва­ла (7; ∞). А что яв­ля­ет­ся част­ным ре­ше­ни­ем этого нера­вен­ства? На­при­мер, x = 10 – это част­ное ре­ше­ние этого нера­вен­ства, x = 12 – это тоже част­ное ре­ше­ние этого нера­вен­ства.

Част­ных ре­ше­ний много, но наша цель – найти все ре­ше&

www.kursoteka.ru

Урок алгебры по теме "Системы линейных неравенств с одним неизвестным". 9 класс - К уроку - Математика, алгебра, геометрия

Автор: Степанов Александр Борисович
Место работы: МКОУ «Покровская СОШ»
Должность: учитель математики
Дополнительные сведения: 404615 Волгоградская обл, Ленинский р-н, с.Покровка, ул.Школьная, 1.

Урок по алгебре в 9 классе (УМК С.М.Никольский и др)

Тема: «Системы линейных неравенств с одним неизвестным».

Тип урока: повторительно-обобщающий урок.
Оборудование: рабочая доска, раздаточный материал.

Цели урока:

1)повторить и обобщить знания обучающихся по теме «Неравенства с одной переменной и их системы»; -продолжить формирование умений работать по алгоритму;

2)развивать навыки коллективной работы, взаимопомощи, самоконтроля;

3)воспитывать информационные компетенции, математическую зоркость, математическую речь.
Используемая литература:
Алгебра: учебник для 9 класса общеобразовательных учереждений / С.М.Никольского, М.К.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин – М.; Просвещение, 2010.
Алгебра: дидактические материалы для 9 класса / М.К.Потапов, А.В.Шевкин – М.; Просвещение, 2008.

Ход урока.

1.Организационный момент.
Повторение материала предыдущих уроков. Раздача материала.

2.Постановка целей урока.

3.Повторение изученного.
Проверка домашнего задания.
–В раздаточном материале отвечаем на вопросы теста:
а) Проверка усвоение теории(правил) п 1.3
1. Число 4 является решением неравенства 2x– 11≥0
а) да б) нет в) нельзя ответить на поставленный вопрос(да, почему?)

2.Являются ли равносильными неравенства3,2 + 0,9x<4x – 4,6 и 0,9x – 4x< - 3,2 – 4,6?
а) да б) нет в) нельзя ответить на поставленный вопрос (да, почему?)

3.Являются ли равносильными неравенства 11x – 3x + 9x>7 +2 – 21 и 17x> - 12 ?
а) да б) нет в) нельзя ответить на поставленный вопрос(да, почему?)

4.Являются ли равносильными неравенства 2 +9x<11 и 10 + 45x>55?
а) да б) нет в) нельзя ответить на поставленный вопрос(нет, почему?)

5.Являются ли равносильными неравенства – 2x>24 и x< - 12?
а) да б) нет в) нельзя ответить на поставленный вопрос(да, почему?)

б) Проверка умений и навыков решения линейных неравенств с одной переменной.
(На доске решается неравенство 5(6x + 1) > 2(10x + 3) – 7 поэтапно, т.е раскрытие скобок, группировка и т.д. Каждый шаг выполняется разными обучающимися).

4.Изучение нового материала.
–Записываем тему урока «Системы линейных неравенств с одним неизвестным».
(Весь класс разбивается на группы, взяв с собой карточку и тетрадь:
Группы – A, B, C, D, в каждой группе в наличии карточки с заданиями)

– Чтобы успешно решать задания по новой теме, нам надо будет вспомнить знания и умения изученные раннее.

РАБОТА ПО КАРТОЧКАМ С СООТВЕТСТВУЮЩИМИ ЗАДАНИЯМИ.
(Ответы проверяются всеми группами)

1) Является ли число 3 решением системы уравнений и почему:

группа A -(да)группа B - (нет)

группа C - (да) группа D - (нет) ?

2) На каком из рисунков дано правильное изображение числового множества, являющегося решением соответствующего неравенства:
группа A – б) группа B – б) группа C – а) группа D – в)

3) Запишите с помощью числового промежутка:
группа A – б) группа B – а) группа C – б) группа D – в)

4) Какому промежутку соответствует данное неравенство:

группа A – б) группа B – в) группа C – в) группа D – б)


–Теперь мы объединим все эти навыки и умения и применим их при решении примеров по новой теме.

ЗАПИСЬ В ТЕТРАДЯХ.

Решите систему неравенств:

Ход решения (проговаривается с учителем):

а) скобки? – нет б) группируем(с неизв. в левую… в правую) в) подобные слагаемые г) решаем каждое нер-во д) изображаем решение каждого неравенства на одной числовой оси е) ищем общие решения(пересечение) ж) записываем ответ(два вида – промежуток, неравенство).Ответ: ( 2; 3 ) или 2 <x< 3

(После этого всем группам предлагается решить неравенство(взят пример из данного пункта)
«сильный» учащийся решает у доски(без объяснения).

Ответ: ( ; ) или <x<

«сильный» учащийся решает у доски(без объяснения).

Ответ: ( 1,25; + ∞) или x>1,25.

ВСЕ ГРУППЫ РЕШАЮТ СИСТЕМУ НЕРАВЕНСТВ:

Ответ: решений нет.

5.Подведение итогов урока.

–Что делали, что нового узнали на уроке?

6.Домашнее задание.

1)П 1.4(разбор примеров).

2)Решить № 49 – 51(а), 55(д – з).
Дополнительно: № 50

pedsovet.su

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *