Сложение числа и матрицы: Действия с матрицами

Ранг матрицы

Для ранга матрицы \(A\) используют обозначение \(\text{rang}A\).

Если квадратная матрица порядка n невырождена, то её ранг равен её порядку n : ненулевым является единственный минор максимального порядка n, совпадающий с определителем матрицы.
В частности, ранг единичной матрицы \(E\) порядка n равен n.

Если квадратная матрица вырождена, то её ранг меньше её порядка : единственный минор максимального порядка, равного порядку матрицы, является нулевым, и в этом случае ненулевые миноры имеют меньший порядок.
Ранг нулевой матрицы полагают равным нулю.

Ранг диагональной матрицы равен количеству её ненулевых диагональных элементов.

Непосредственно из определения ранга матрицы следует, что ранг имеет следующее свойство, полностью его характеризующее. T = \text{rang} A \)

Теорема. Ранг матрицы не меняется при элементарных преобразованиях её строк и столбцов.

Теорема о базисном миноре

Среди миноров матрицы могут быть как равные нулю, так и отличные от нуля.

Определение.
Минор \(M\) матрицы \(M\) называют базисным, если выполнены два условия:
1) он не равен нулю
2) его порядок равен рангу матрицы А

Матрица \(A\) может иметь несколько базисных миноров. Строки и столбцы матрицы \(A\), в которых расположен выбранный базисный минор, называют базисными.

Теорема о базисном миноре. Базисные строки (столбцы) матрицы \(A\), соответствующие любому её базисному минору \(M\), линейно независимы. Любые строки (столбцы) матрицы \(A\), не входящие в \(M\), являются линейными комбинациями базисных строк (столбцов).

Следствие. Для того чтобы квадратная матрица была невырожденной, необходимо и достаточно, чтобы её строки (столбцы) были линейно независимы.

Теорема. Линейно независимые строки (столбцы) матрицы, количество которых равно рангу матрицы, являются базисными строками (столбцами).

Теорема. Для любой матрицы её ранг равен максимальному количеству её линейно независимых строк (столбцов).

Следствие. Для любой матрицы максимальное число линейно независимых строк равно максимальному числу линейно независимых столбцов.

Вычисление ранга матрицы

Метод окаймляющих миноров

Минор \(M’\) матрицы \(A\) называют окаймляющим для минора \(M\), если он получается из последнего добавлением одной новой строки и одного нового столбца матрицы \(A\).
Ясно, что порядок окаймляющего минора \(M’\) на единицу больше, чем порядок минора \(M\).

Метод окаймляющих миноров позволяет найти один из базисных миноров матрицы и состоит в следующем.
Выбирается ненулевой минор первого порядка (ненулевой элемент матрицы). К очередному ненулевому минору последовательно добавляются такие строка и столбец, чтобы новый окаймляющий минор оказался ненулевым. Если этого сделать нельзя, то последний ненулевой минор является базисным (что утверждает следующая ниже теорема). Этот процесс рано или поздно закончится из-за ограниченных размеров матрицы.

Теорема. Если для некоторого минора матрицы все окаймляющие его миноры равны нулю, то он является базисным.

Метод элементарных преобразований

При элементарных преобразованиях строк (столбцов) матрицы её ранг не меняется. С помощью этих преобразований можно так упростить матрицу, чтобы ранг новой матрицы легко вычислялся.

Например с помощью элементарных преобразований строк любую матрицу можно привести к ступенчатому виду. Ранг же ступенчатой матрицы равен количеству ненулевых строк. Базисным в ней является минор, расположенный на пересечении ненулевых строк со столбцами, соответствующими первым слева ненулевым элементам в каждой из строк. Действительно, этот минор ненулевой, так как соответствующая матрица является верхней треугольной, а любое его окаймление содержит нулевую строку. Поэтому приведение матрицы к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований строк позволяет вычислить ранг матрицы.

Приведенные два метода существенно отличаются друг от друга.
При нахождении ранга конкретной матрицы методом окаймляющих миноров может потребоваться большое количество вычислений. Это связано с тем, что метод требует вычисления определителей, порядок которых может возрасти до минимального из размеров матрицы. Однако в результате будет найден не только ранг матрицы, но и один из её базисных миноров.

При нахождении ранга матрицы методом элементарных преобразований требуется гораздо меньше вычислений. Причем разница в объемах вычислений возрастает с ростом размеров матрицы и усложнением её вида. Но этот метод позволяет найти базисный минор лишь для матрицы ступенчатого вида, полученной в результате элементарных преобразований. Чтобы найти базисный минор исходной матрицы, нужны дополнительные вычисления с учетом уже известного ранга матрицы.

Линейная алгебра на Python. [Урок 3]. Действия над матрицами

Тема третьего урока: действия над матрицами. В рамках нее будут рассмотрены следующие вопросы: умножение матрицы на число, сложение и умножение матриц.

При умножении матрицы на число, все элементы матрицы умножаются на это число:

➣ Численный пример

➤ Пример на Python

>>> A = np.matrix('1 2 3; 4 5 6')
>>> C = 3 * A
>>> print(C)
[[ 3  6 9]
[12 15 18]]

Рассмотрим свойства операции умножения матрицы на число.

Свойство 1. Произведение единицы и любой заданной матрицы равно заданной матрице:

➣ Численный пример

➤ Пример на Python

>>> A = np. matrix('1 2; 3 4')
>>> L = 1 * A
>>> R = A
>>> print(L)
[[1 2]
[3 4]]

>>> print(R)
[[1 2]
[3 4]]

Свойство 2. Произведение нуля и любой матрицы равно нулевой матрице, размерность которой равна исходной матрицы:

➣ Численный пример

➤ Пример на Python

>>> A = np.matrix('1 2; 3 4')
>>> Z = np.matrix('0 0; 0 0')
>>> L = 0 * A
>>> R = Z

>>> print(L)
[[0 0]
[0 0]]

>>> print(R)
[[0 0]
[0 0]]

Свойство 3. Произведение матрицы на сумму чисел равно сумме произведений матрицы на каждое из этих чисел:

➣ Численный пример

➤ Пример на Python

>>> A = np.matrix('1 2; 3 4')
>>> p = 2
>>> q = 3

>>> L = (p + q) * A
>>> R = p * A + q * A

>>> print(L)
[[ 5 10]
[15 20]]

>>> print(R)
[[ 5 10]
[15 20]]

Свойство 4. Произведение матрицы на произведение двух чисел равно произведению второго числа и заданной матрицы, умноженному на первое число:

➣ Численный пример

➤Пример на Python

>>> A = np.matrix('1 2; 3 4')
>>> p = 2
>>> q = 3

>>> L = (p * q) * A
>>> R = p * (q * A)

>>> print(L)
[[ 6 12]
[18 24]]

>>> print(R)
[[ 6 12]
[18 24]]

Свойство 5. Произведение суммы матриц на число равно сумме произведений этих матриц на заданное число:

➣ Численный пример

➤ Пример на Python

>>> A = np.matrix('1 2; 3 4')
>>> B = np.matrix('5 6; 7 8')
>>> k = 3

>>> L = k * (A + B)
>>> R = k * A + k * B

>>> print(L)
[[18 24]
[30 36]]

>>> print(R)
[[18 24]
[30 36]]

Складывать можно только матрицы одинаковой размерности — то есть матрицы, у которых совпадает количество столбцов и строк.

➣ Численный пример

➤ Пример на Python

>>> A = np.matrix('1 6 3; 8 2 7')
>>> B = np.matrix('8 1 5; 6 9 12')
>>> C = A + B

>>> print(C)
[[ 9  7 8]
[14 11 19]]

Рассмотрим свойства сложения матриц.

Свойство 1. Коммутативность сложения. От перестановки матриц их сумма не изменяется:

➣ Численный пример

➤ Пример на Python

>>> A = np.matrix('1 2; 3 4')
>>> B = np.matrix('5 6; 7 8')

>>> L = A + B
>>> R = B + A

>>> print(L)
[[ 6  8]
[10 12]]

>>> print(R)
[[ 6  8]
[10 12]]

Свойство 2. Ассоциативность сложения. Результат сложения трех и более матриц не зависит от порядка, в котором эта операция будет выполняться:

➣ Численный пример

➤ Пример на Python

>>> A = np. matrix('1 2; 3 4')
>>> B = np.matrix('5 6; 7 8')
>>> C = np.matrix('1 7; 9 3')

>>> L = A + (B + C)
>>> R = (A + B) + C
>>> print(L)

[[ 7 15]
[19 15]]

>>> print(R)
[[ 7 15]
[19 15]]

Свойство 3. Для любой матрицы существует противоположная ей , такая, что их сумма является нулевой матрицей :

➣ Численный пример

➤ Пример на Python

>>> A = np.matrix('1 2; 3 4')
>>> Z = np.matrix('0 0; 0 0')

>>> L = A + (-1)*A

>>> print(L)
[[0 0]
[0 0]]

>>> print(Z)
[[0 0]
[0 0]]

Умножение матриц это уже более сложная операция, по сравнению с рассмотренными выше. Умножать можно только матрицы, отвечающие следующему требованию: количество столбцов первой матрицы должно быть равно числу строк второй матрицы.

Для простоты запоминания этого правила можно использовать диаграмму умножения, представленную на рисунке 1.

Рисунок 1 — Диаграмма матричного умножения

Рассмотрим умножение матриц на примере.

➣ Численный пример

Каждый элемент c_ij новой матрицы является суммой произведений элементов i-ой строки первой матрицы и j-го столбца второй матрицы. Математически это записывается так:

➤Пример на Python

Решим задачу умножения матриц на языке Python. Для этого будем использовать функцию dot() из библиотеки Numpy:

>>> A = np.matrix('1 2 3; 4 5 6')
>>> B = np.matrix('7 8; 9 1; 2 3')

>>> C = A.dot(B)

>>> print(C)
[[31 19]
[85 55]]

Ниже представлены свойства произведения матриц. Примеры свойств будут показаны для квадратной матрицы.

Свойство 1. Ассоциативность умножения. Результат умножения матриц не зависит от порядка, в котором будет выполняться эта операция:

➣ Численный пример

➤ Пример на Python

>>> A = np.matrix('1 2; 3 4')
>>> B = np.matrix('5 6; 7 8')
>>> C = np.matrix('2 4; 7 8')

>>> L = A.dot(B.dot(C))
>>> R = (A.dot(B)).dot(C)

>>> print(L)
[[192 252]
[436 572]]

>>> print(R)
[[192 252]
[436 572]]

Свойство 2. Дистрибутивность умножения. Произведение матрицы на сумму матриц равно сумме произведений матриц:

➣ Численный пример

➤ Пример на Python

>>> A = np.matrix('1 2; 3 4')
>>> B = np.matrix('5 6; 7 8')
>>> C = np.matrix('2 4; 7 8')

>>> L = A. dot(B + C)
>>> R = A.dot(B) + A.dot(C)

>>> print(L)
[[35 42]
[77 94]]
>>> print(R)
[[35 42]
[77 94]]

Свойство 3. Умножение матриц в общем виде не коммутативно. Это означает, что для матриц не выполняется правило независимости произведения от перестановки множителей:

➣ Численный пример

➤ Пример на Python

>>> A = np.matrix('1 2; 3 4')
>>> B = np.matrix('5 6; 7 8')

>>> L = A.dot(B)
>>> R = B.dot(A)

>>> print(L)
[[19 22]
[43 50]]

>>> print(R)
[[23 34]
[31 46]]

Свойство 4. Произведение заданной матрицы на единичную равно исходной матрице:

➣ Численный пример

➤ Пример на Python

>>> A = np. matrix('1 2; 3 4')
>>> E = np.matrix('1 0; 0 1')

>>> L = E.dot(A)
>>> R = A.dot(E)

>>> print(L)
[[1 2]
[3 4]]

>>> print(R)
[[1 2]
[3 4]]

>>> print(A)
[[1 2]
[3 4]]

Свойство 5. Произведение заданной матрицы на нулевую матрицу равно нулевой матрице:

➣ Численный пример

➤ Пример на Python

>>> A = np.matrix('1 2; 3 4')
>>> Z = np.matrix('0 0; 0 0')

>>> L = Z.dot(A)
>>> R = A.dot(Z)

>>> print(L)
[[0 0]
[0 0]]

>>> print(R)
[[0 0]
[0 0]]

>>> print(Z)
[[0 0]
[0 0]]

Вводные уроки по “Линейной алгебре на Python” вы можете найти соответствующей странице нашего сайта. Все уроки по этой теме собраны в книге “Линейная алгебра на Python”.

Если вам интересна тема анализа данных, то мы рекомендуем ознакомиться с библиотекой Pandas.  Для начала вы можете познакомиться с вводными уроками. Все уроки по библиотеке Pandas собраны в книге “Pandas. Работа с данными”.

Матрица сложение матриц — Энциклопедия по машиностроению XXL

Матрица [/(], называемая глобальной матрицей жесткости или просто матрицей жесткости системы, получается сложением локальных матриц жесткости [Л ] по следующему правилу сначала к нулевой матрице размерности NxN добавляется матрица, в левом верхнем углу которой стоит локальная матрица жесткости 1-го элемента, к получившейся матрице добавляется матрица размера /V х /V, ненулевые элементы которой расположены на пересечении 2-го и 3-го столбцов и 2-й и 3-й строк и равны соответствующим элементам локальной матрицы жесткости для 2-го элемента и т. д. на -м шаге добавляется матрица, ненулевые элементы которой расположены на пересечении к и к- строк и к н k- — столбцов и равны соответствующим элементам локальной матрицы жесткости k-ro элемента.  [c.134]

Непосредственным перемножением и сложением матриц (71.29) нетрудно убедиться, что они удовлетворяют соотношениям (71.28), понимая, что в их правой части стоит единичная матрица. Например, для имеем  [c.387]

Сложение и вычитание матриц. Две матрицы можно сложить (вычесть). Для этого необходимо, чтобы порядки матриц были одинаковы, и тогда сложить (вычесть) соответствующие элементы матриц.  [c.179]

В алгебре матриц определяются следующие действия над матрицами а) сложение матриц б) умножение матрицы на число в) умножение матриц. Указанные действия позволяют вычислить соответственно сумму матриц, произведение матрицы на число, произведение матриц и, как следствие, разность матриц.  [c.41]

Логическое сложение матриц реализуется путем попарного логического сложения одноименных элементов исходных матриц  [c.123]

Рассмотрим, как влияет учет дисперсий на результаты расчета. Формально учет дисперсий выражается в сложении матрицы [а] [а] с диагональной матрицей [ )], имеющей положительные члены. Это способствует улучшению обусловленности матрицы [а] [а], что особенно важно в случаях, когда последняя плохо  [c.58]

Сложение матриц. Суммой матриц  [c.95]

DN — присвоение значений единицы диагональным элементам двумерного массива А+В — сложение матриц А и В  [c.163]

Необходимость применения динамического метода существенно усложняет решение неконсервативных задач устойчивости. Здесь требуется весьма эффективный метод определения частот собственных колебаний. Среди других методов в этом отношении вьщеляется МГЭ. Он позволяет получать точный спектр частот (устраняет недостаток МКЭ), а в трансцендентном частотном уравнении отсутствуют точки разрыва 2-го рода (устраняет недостаток метода перемещений). Дополнительными положительными факторами являются простая логика формирования динамической матрицы устойчивости, отсутствие операций умножения, обращения и сложения матриц, хорошая устойчивость численных операций при вычислении определителя и т.п.  [c.196]

Сложение матриц. Суммой матриц А а В называется матрица С, элементы которой с,у определяются по формуле  [c.91]

Как и в случае матриц, сложению поворотов в случае их активного представления отвечает произведение кватернионов составляющих поворотов в обратном порядке. При этом все кватернионы заданы в исходном базисе к (/ = 1, 2, 3).  [c.46]

Сложение. Матрицы Л и В могут быть сложены, если они имеют одинаковое число строк и столбцов.  [c.634]

В табл. 7.1 приведена скорость выполнения операции умножения матрицы на вектор. В первой колонке представлены выражения для числа тактовых циклов, необходимых для завершения одной операции умножения. Умножение матрицы тХп на вектор /гХ1 требует 2тп операций сложения и умножения. Если предположить, что биты данных проходят в системе с частотой 10 МГц (величина 0,1 мкс/бит является достаточно обоснованной для существующих электронных устройств), то можно вычислить скорость выполнения операций. Представлены два случая. Первый из них соответствует п = т = 32, при /=16 (I эквивалентно точности вычислений), а второй случай относится к п = т=128, / = 32. В табл. 7.2 представлены аналогичные данные для умножителей, выполняющих умножение матрицы на матрицу с точностью I цифр. В третьем столбце показаны результаты для /=16, п = т = к = 32, а четвертый столбец соответствует / = 32, п = т = к= 28. Во всех случаях результаты даны для операций с фиксированной запятой, выполняемых в одну секунду. Ни один цифровой процессор (оптический или элект-  [c.207]

Предположения, которые можно сделать о симметрии, в точности совпадают с предположениями, делавшимися в предыдущих разделах. Сложение матриц S непосредственно дает нижеследующие результаты, представленные здесь наряду с качественной интерпретацией. Объем этой книги не допускает подробного обсуждения этого вопроса. Все эффекты можно вывести из общей формулы распространения, данной в разд. 4.41.  [c.73]

Матрица теплопроводности элемента получается сложением матриц (8.15) и (8.17)  [c.138]

Матрица [Л] получается сложением матриц [С] и [/С]  [c.208]

Пример 3.1. В результате сложения матриц [а]= 3 8 1 И[ВЬ 2 4-1  [c. 155]

Сложение матриц обладает свойством коммутативности (от перестановки матриц их сумма не меняется) и подчиняется сочетательному закону  [c.155]

Другой способ нахождения обратной матрицы заключается в последовательном вычислении обратной матрицы путем подбора при помощи единичной матрицы. Записав рядом с заданной матрицей единичную матрицу, производим сложение строк, предварительно подобрав множители так, чтобы на месте заданной матрицы получить единичную. В этом случае на месте единичной матрицы будет искомая обратная матрица.  [c.158]

Тем не менее сложение матриц удовлетворяет всем свойствам сложения чисел. Например, из А- -В = А- С следует, что В = С.  [c.273]

При сложении двух матриц одинакового размера получается матрица того же размера, каждый элемент которой равеи сумме соответствующих элементов слагаемых матриц.  [c.104]

Над матрицами можно выполнять действия транспонирования, сложения, умножения. Матрица А, транспонированная по отношению к матрице А, образуется из матрицы А заменой каждой ее строки на столбец того же номера. Например, при транспонировании матрицы  [c.50]

Множество J n всех л-мерных векторов называют линейным алгебраическим пространством, если в нем определены операции сложения и умножения на скаляр точно так же, как для матриц. Число я называется размерностью пространства Rn- Рассмотрим помимо вектора а другой п-мерный вектор  [c.19]

При вычислении матрицы плотности мы будем предполагать, что рассеянные волны имеют беспорядочные фазы и при сложении в среднем дают нуль. Если и г и г лежат слева от слоя, то  [c.718]

Таком образом, для выполнения алгоритма (55) требуются два прямых и одно обратное преобразование Ф/рье, а также прямое умножение матрицы на матрицу. Если в качестве дижретного преобразования Фурье использовать алгоритм БПФ, число опера дай сложения составит 2N og2 , а число операций умножения -.  [c.63]

Матрица жесткости (13) конструкции образуется сложением матриц жесткости балок и нанелей = Од + Оп- Для панелей  [c.483]

Кватернионное сложение поворотов. Как и в случае матриц, сложению поворотов отвечает произведение кватернионов, при этом активная и пассивная точки зрения на преобразования имеют существенные отличия.  [c.46]

[c. 77]

Рассмотрение данного примера было вызвано необходимостью обеспечить высокую скорость при выполнении операции внутреннего произведения в линейной алгебре (например, для умножения матрицы на вектор или матрицы на матрицу), в противном случае эти операции становятся бессысленными. Операции внутреннего произведения включают умножение двух чисел и сложение результата с третьим числом. Например, 2-разрядный умножитель-сумматор умножает два 2-раз-рядных числа М ц Ы, прибавляет результат к 5-разрядному входному числу X и выводит результаты в виде 5-разрядного числа У. В синхронизированном режиме работы выходной сигнал У мог бы подаваться по цепи обратной связи на вход X для того, чтобы достичь эффекта многократного накопления результата (если имеется возможность накопления до трех произведений и при этом не возникает переполнение).  [c.155]

Быстродействие оптических матричных умножителей было уже описано в табл. 7.1 и 7.2. При вычислении отношения Псалтиса числа в табл. 7.1 и 7.2 имеют коэффициент запаса 2, поскольку были учтены операции умножения и сложения. Для умножителей матриц на векторы соотношение Псалтиса показано в табл. 7.3. Умножители матрицы на матрицы показаны в табл. 7.4. Вычисления проведены для тех же случаев, что и в табл. 7.1 и 7.2. Второй столбец табл. 7.3 предполагает значение / = 16, п=т = 32, в то время как для третьего столбца /=32, п = т= 28. В табл. 7.4 второй столбец соответствует значениям /=16, n = m = = 32, а третий столбец относится к / = 32, п=т = k=l28.  [c.210]

Добавление матрицы

Как и в обычной алгебре, матричная алгебра имеет такие операции, как сложение и вычитание.

Как складывать и вычитать матрицы

Две матрицы можно складывать или вычитать только в том случае, если они имеют одинаковые измерение; то есть в них должно быть одинаковое количество строк и столбцов.

Сложение или вычитание осуществляется путем сложения или вычитания. соответствующие элементы. Например, рассмотрим матрицу A и матрица B .

Обе матрицы имеют одинаковое количество строк и столбцов (2 строки и 3 столбца), поэтому их можно складывать и вычитать. Таким образом,

А,

И, наконец, обратите внимание, что порядок добавления матриц не важный; таким образом, A + B = В + А .

Проверьте свое понимание

Проблема 1

Рассмотрим представленные ниже матрицы — A , B , C и D

Какие из следующих утверждений верны?

I. A + B = C
II. B + C = D
III. B — C = D

(A) только я Только
(B) II Только
(C) III
(D) I и II
(E) I и III

Решение

Правильный ответ — (C), как показано ниже.

Обратите внимание, что матрицы A и B нельзя добавить, потому что B имеет больше столбцов, чем A . Матрицы можно складывать или вычитать только в том случае, если они имеют одинаковые количество строк и такое же количество столбцов.

Матрицы сложения и вычитания — ChiliMath

В этом уроке я подготовил семь (7) рабочих примеров, чтобы проиллюстрировать базовый подход к тому, как легко складывать или вычитать матрицы.

Если вы знаете, как складывать и вычитать действительные числа, эта тема должна быть действительно легкой. Единственное, что требуется для «легального» выполнения операций сложения или вычитания в «мире» матриц, — это убедиться, что данные матрицы должны иметь одинаковый размер или размерность.

Что означает, что данная матрица имеет одинаковый размер или размерность?

Предположим, нам даны матрицы A и B. Они имеют одинаковый размер или размер, потому что у них одинаковое количество строк и столбцов.

Мы можем описать размер или размерность матрицы, используя следующий стандартный формат:

количество строк x количество столбцов

Позвольте мне показать вам несколько примеров…

Последняя матрица размером 5 x 5 также считается «квадратной матрицей», потому что количество строк и количество столбцов равны. Важно знать, что для того, чтобы любая заданная матрица имела обратную, она должна быть квадратной матрицей. Я не говорю, что все квадратные матрицы имеют обратные, но первое требование к матрице, чтобы иметь обратную матрицу, — это то, что сначала она должна быть квадратной матрицей.

Ознакомьтесь с моим отдельным руководством о том, как найти обратную матрицу 2 × 2.

Я должен подчеркнуть, что для того, чтобы сложить или вычесть две заданные матрицы, они должны иметь одинаковый размер или размер. В противном случае мы заключаем, что сумма (сложение) или разность (вычитание) двух матриц, имеющих разные размеры или размеры, не определена!

Теперь давайте посмотрим на общее правило того, как складывать и вычитать матрицы, размеры или размеры которых совпадают.

Правила сложения и вычитания матриц одинакового размера или размерности

Предположим, что матрицы A и B имеют две строки и два столбца (2 × 2) с некоторыми произвольными элементами или записями…

«Формулы» для сложения и вычитания матриц показаны ниже…

• Добавить матрицы , добавив их соответствующие записи

• Вычесть матрицы путем вычитания их соответствующих записей

Давайте поработаем над некоторыми проблемами.

Примеры сложения и вычитания матриц

Пример 1 : Выполните указанную операцию для A + C.

Обратите внимание, что матрицы A и C имеют одинаковый «размер» или «размерность», потому что их количество строк и столбцов одинаково. Оба могут быть описаны как матрица 3 x 3 . Это говорит мне о том, что найти их сумму — это нормально.

Добавлю соответствующие записи и упрощу.

Вот как это просто!

Пример 2 : Выполните указанную операцию для B + F.

Обратите внимание, что матрица B имеет размерность 2 × 3 , а матрица F имеет размерность 2 × 2 .

Поскольку количество строк и столбцов не совпадает, сумма матриц B и F не существует или не определена. . Я остановлюсь здесь. Это наш ответ, хотите верьте, хотите нет.

Пример 3 : Выполните указанную операцию для E-B.

Последние два примера показали вам, как складывать матрицы. На этот раз мы поговорим о вычитании матриц.Помните, что процесс сложения и вычитания матриц очень похож. Если вы забыли, просмотрите приведенную выше «формулу».

В этом примере нам нужно найти разницу между матрицей E и матрицей B.

Однако кажется, что это невозможно, поскольку они имеют различных размеров или размеров. Матрица E имеет размер 3 × 2, а матрица B — 2 × 3.

Поскольку я не могу выполнить вычитание по входам из-за того, что записи двух матриц не имеют прямого соответствия, я должен заявить, что НЕ возможно, найти их различие.Следовательно, наш ответ — undefined .

Это не вопрос с подвохом. Учителя иногда «добавляют» это в смесь, чтобы проверить, понимаете ли вы концепцию, согласно которой можно складывать или вычитать только матрицы с одинаковыми размерами или размерами. Не расстраивайтесь, я сам попал в эту «ловушку». Надеюсь, теперь, когда вы знаете, вы будете осторожны в следующий раз, когда столкнетесь с такой проблемой.

Пример 4 : Выполните указанную операцию для F-D.

При быстром просмотре я вижу, что можно найти разницу между матрицами F и D, потому что обе имеют одинаковое количество строк и столбцов.Большой!

Для начала я вычту соответствующие записи F и D. Мое единственное предостережение — будьте очень осторожны при вычитании действительных чисел. Обычно здесь возникают общие ошибки. Помните, что два соседних отрицательных знака оказываются положительными.

Неплохо, правда?

Пример 5 : Выполните указанную операцию для C-A.

Две заданные матрицы C и A имеют одинаковые размеры или размеры (обе матрицы 3 × 3). Это позволяет нам выполнять операцию вычитания.

Вычитая по входу, я получил…

Пример 6 : Выполните указанную операцию для (A + C) + (C-A).

Это отличный пример «многоступенчатой» задачи, которая включает в себя сложение и вычитание матриц. Цель состоит в том, чтобы выполнить указанную операцию над каждой круглой скобкой, а затем добавить их вместе.

Чтобы пропустить некоторые шаги, просмотрите, как мы решили для (A + C) в примере 1 и C-A в примере 5.

Пока у нас есть эти частичные ответы…

Итак, последний шаг — сложить их вместе, чтобы получить требуемый ответ.

Как видите, сложение и вычитание матриц очень просто. Я надеюсь, что вы приобрели некоторую уверенность и узнали, как с этим справиться.

Пример 7 : Выполните указанную операцию для (A + C) + (C-A).

Это та же проблема, что и в примере 6. Но я хочу решить ее немного иначе, чтобы продемонстрировать тот факт, что есть другие способы решения определенной проблемы. Хотя метод, примененный в примере 6, вполне приемлем, этот «альтернативный» подход имеет гораздо больше смысла, поскольку он очень прост.

Поехали…

Если вы рассматриваете выражение (A + C) + (C-A) как , объединяющее похожие или похожие термины, проблема типа , то имеет смысл быстро упростить исходную задачу, даже не занимаясь сложением и вычитанием матриц.

Обратите внимание, что я могу объединить C-термины как 2C.

Теперь, члены A должны сокращаться, потому что они имеют противоположные знаки.

Наша исходная задача сводится к 2C, что составляет вдвое или вдвое больше матрицы C .

Это означает, что я собираюсь умножить каждый элемент матрицы C на 2. На самом деле это тема моего другого урока по алгебре, посвященного скалярному умножению матрицы.

С

, то 2C решается с помощью…

Окончательный ответ, полученный с помощью этого метода, точно такой же, как в примере 6. Легко, правда?

Возможно, вас заинтересует:

Скалярное умножение

Умножение матриц

Матрицы сложения и вычитания

А матрица могут быть добавлены (или вычтены из) другой матрицы только в том случае, если две матрицы имеют одинаковые Габаритные размеры .

Чтобы добавить две матрицы, просто добавьте соответствующие записи и поместите эту сумму в соответствующую позицию в матрице, которая получится.

Пример 1:

Добавьте матрицы.

[ 1 5 — 4 3 ] + [ 2 — 1 4 — 1 ]

Сначала обратите внимание, что оба слагаемых 2 × 2 матрицы, чтобы мы могли их добавить.

[ 1 5 — 4 3 ] + [ 2 — 1 4 — 1 ] знак равно [ 1 + 2 5 + ( — 1 ) — 4 + 4 3 + ( — 1 ) ]

знак равно [ 3 4 0 2 ]

Вычитание с помощью матриц так же просто.

Пример 2:

Вычесть.

[ 4 5 6 2 3 4 ] — [ 2 4 6 1 2 3 ]

Вычтите соответствующие записи.

[ 4 5 6 2 3 4 ] — [ 2 4 6 1 2 3 ] знак равно [ 4 — 2 5 — 4 6 — 6 2 — 1 3 — 2 4 — 3 ]

знак равно [ 2 1 0 1 1 1 ]

Как складывать и вычитать матрицы

Сложение и вычитание матриц

На этом этапе нашего курса линейной алгебры мы много работали с матрицами, мы выполняли операции со строками для решения систем линейных уравнений, представляя линейную систему в виде матрицы и используя их в наших интересах посредством сокращения строк и эшелонированных форм. Мы также научились понимать не только обозначения матриц, но и их элементы, их размеры, и теперь пора подумать о них в целом и узнать, какие операции могут быть выполнены с ними (обратите внимание: «с ними», НЕ «в их»).

На этом уроке мы познакомимся с первыми двумя из четырех основных операций, которые можно выполнить с парой (или более) матриц: сложение, вычитание, скалярное умножение и умножение. Мы знаем эти базовые операции из арифметики, поэтому нам просто нужно узнать, как они работают со всей структурой матриц и с результатами, которые они производят.Обратите внимание, что мы не упомянули деление матриц, потому что деления между матрицами не существует (или, по крайней мере, процесс еще не определен), единственное деление, которое мы можем сделать, — это разделить элементы в матрице на скаляр, но разделить матрицу на другую матрицу невозможно.

Сложение и вычитание матриц

Мы начинаем с работы с двумя основными операциями, известными нам с тех пор, как мы впервые познакомились с математикой в ​​начальной школе: сложение и вычитание (или что-то «плюс» и «минус»). Чтобы проработать эти операции в этом уроке, давайте определим набор из двух матриц для сложения и вычитания. Итак, определяем матрицы A и B следующим образом:

Теперь с ними мы настроены для работы через операции сложения и вычитания матриц. К операции будут применяться несколько правил, но мы поговорим о них в следующем разделе, а пока давайте быстро пройдемся по процессу, а затем мы сможем вернуться и проверить, насколько операции были возможны.Начнем с добавления A и B:

Мы закодировали каждый элемент в матрицах цветом, чтобы вы могли видеть, что было сделано для каждого элемента. Обратите внимание на то, как сложение двух матриц действует в случае отдельных элементов, требуя, чтобы у вас были точно такие же элементы в матрицах, участвующих в операции, и чтобы они распределялись одинаковым образом.

Мы вернемся к этой теме в следующем разделе, но пока вы должны помнить, что при добавлении матриц вы будете добавлять элементы первой матрицы к соответствующей (той, которая находится в «том же месте», той же строке и столбце число) во второй матрице.

Теперь давайте посмотрим на матричное вычитание:

Глядя на приведенное выше вычитание, мы можем легко заключить, что процесс очень похож на процесс сложения, поскольку вычитание вычисляется по отдельности для каждого из элементов матриц, таким образом давая результат для каждого соответствующего пространства элементов и в результате получается матрица с таким же количеством элементов в той же организации.

Проще говоря, сложение и вычитание матриц работают одинаково, единственная разница между ними — это арифметический знак, который вы используете для работы: знак плюс для сложения и знак минус для вычитания.

Крайне важно, чтобы вы поняли этот вывод, поскольку это может помочь вам не запутаться при работе с различной литературой по данной теме. Дело в том, что некоторые математики, книги или учебные материалы в целом могут относиться к операциям сложения и вычитания как к «сложению» в целом. Эта конкретная ссылка исходит из того факта, что вычитание эквивалентно сложению чисел, в которых хотя бы одно из них отрицательно. Если у вас есть какие-либо вопросы по этому поводу, помните, что вычитание в арифметике также называется «разницей», и все потому, что когда вы складываете числа с разными знаками, результатом становится разница между ними.Мы рассмотрели эту тему в нашем уроке по вычитанию целых чисел, который, хотя и не является частью этого курса линейной алгебры, вы можете проверить в любое время на веб-сайте StudyPug. Вы также можете проверить следующую статью о сложении и вычитании целых чисел, которая содержит дополнительные упражнения и некоторые графические изображения.

Вкратце: Как складывать матрицы? Мы добавляем каждый соответствующий элемент в задействованные матрицы, чтобы создать новую матрицу, в которой такие элементы будут занимать то же место, что и их предшественники.Как вычесть матрицы? Точно так же, как мы вычисляем сложение, за исключением того, что мы используем знак минус для работы вместо знака плюс.

Правила сложения и вычитания матриц

Матричное сложение и вычитание — это две операции, которые, хотя и просты для решения (как показано выше), у вас все же есть несколько правил, которым нужно следовать, чтобы работать.

Например, когда мы добавляли матрицу A к матрице B выше, сначала обратите внимание, что A и B — очень похожие матрицы, они имеют одинаковое количество строк и столбцов каждая и операция сложения применяется к каждому «соответствующему члену» в них.Это приводит к основному правилу сложения и вычитания матриц, которое соответствует размерам матриц, с которыми работают друг с другом.

Также обратите внимание, что вычитание матриц происходит в очень похожем режиме, на самом деле единственное изменение состоит в том, что вместо знака сложения между матрицами и соответствующими элементами в каждом матричном пространстве у вас есть знак вычитания.

С учетом всего этого правила сложения и вычитания матриц следующие:

1. Вы можете складывать или вычитать только матрицы с одинаковыми размерами.
   1. Если задуматься, это происходит из-за того, что добавление матриц с разными размерами создает проблему, потому что не все элементы в каждой матрице будут иметь соответствующий элемент для работы, что делает операцию невозможной.
2. Сложение матриц является коммутативным, но вычитание — нет, если сначала вы не примените знак минуса к матрице справа, таким образом сначала преобразуя операцию в сложение.
   1. Свойство коммутативности означает, что при добавлении двух матриц вы можете изменить порядок их добавления, и это не повлияет на результат.
   2. Это не так просто при вычитании. В уравнении 3 у нас есть пример вычитания матриц, обратите внимание, что если вы просто измените порядок матриц, не перемещая знак минус, результат не будет таким же, тогда как вычитание матриц может быть коммутативным? Вы должны применить отрицательный знак к матрице, которая вычитается первой! Проверьте процесс шаг за шагом ниже: Уравнение 4: Условие, чтобы сделать вычитание матрицы коммутативным = сначала преобразовать его в сложение! Обратите внимание, как для того, чтобы иметь возможность изменять порядок матриц, не влияя на результат, мы должны преобразовать вычитание в сложение, что просто означает, что вы должны сначала применить отрицательный знак ко второй матрице, тем самым делая все отрицательные числа его элементов (которые произведут операцию вычитания, не беспокоясь о порядке элементов).Это единственный способ изменить порядок матриц при вычитании, поэтому помните об этом процессе при работе с еще более сложными проблемами: например, в случаях, когда у вас может быть более двух матриц и вы связываетесь в группах. Подробнее об ассоциации в следующем пункте.
3. Матричное сложение и вычитание ассоциативны.
   1. Свойство ассоциативности используется в задачах, включающих более двух матриц, которые складываются или вычитаются друг из друга.Это свойство позволяет вам сначала работать с операцией между двумя матрицами, а затем использовать матрицу, полученную в результате такой операции, для выполнения второй текущей операции. Повторяйте такой процесс, пока не выполните все необходимые операции, затрагивающие все матрицы в задаче.
4. При сложении или вычитании матриц результирующая матрица будет иметь те же размеры, что и матрица, которая ее произвела.
   1. Это имеет смысл, поскольку каждый элемент в первой матрице будет работать с соответствующим элементом второй матрицы, таким образом производя результат для каждого пространства элементов.Затем такие результаты станут элементами новой матрицы.

Примеры сложения и вычитания

Далее мы покажем примеры сложения и вычитания матриц. В первом примере упражнения мы сосредоточимся на демонстрации условий, в которых такие операции возможны. Затем мы решаем несколько примеров матричных задач с пошаговым объяснением операций. В конце этого раздела мы решим матричные уравнения, которые включают либо сложение, либо вычитание матриц.

Пример 1

Можем ли мы сложить или вычесть следующие матрицы?

• Случай 1: Уравнение 5: Можете ли вы сложить эти две матрицы вместе? (Дело 1) Обратите внимание, что размеры матриц, участвующих в сложении, не совпадают. Первая матрица имеет три строки и два столбца, таким образом, это матрица 3×2, а вторая содержит две строки и три столбца, что делает ее размер равным 2×3. Наличие таких различий означает, что, хотя они имеют одинаковое количество элементов, их позиции не соответствуют друг другу, и поэтому по правилам сложения матриц сложение невозможно.
• Случай 2: Уравнение 6: Можете ли вы сложить эти две матрицы вместе? (случай 2) Учитывая, что в этом случае мы будем добавлять матрицы 2×2 (явно; обе матрицы имеют одинаковую размерность 2×2), тогда да, добавление этих двух матриц возможно путем добавления каждого из элементов в первой матрице с соответствующим ему элементом из вторая матрица. Результирующая матрица также будет иметь размеры 2×2.
• Случай 3: Уравнение 7: Можете ли вы сложить эти две матрицы вместе? (случай 3) Как вы, возможно, уже подумали, добавить 2 матрицы, подобные приведенным выше, невозможно.Размеры этих матриц не совпадают (одна представляет собой матрицу 3×3, а другая — 2×2), поэтому это добавление невозможно.

Пример 2

Складываем следующие две матрицы:

При добавлении двух матриц каждый элемент добавляется к соответствующему элементу в другой матрице. Процесс прост и показан ниже:

Выполните те же действия в следующих двух упражнениях.

Пример 3

Складываем следующие две матрицы:

Итак, мы добавляем каждый элемент в матрицах к соответствующему элементу в другой матрице. Обратите внимание, что, как упоминалось ранее, матрицы должны иметь одинаковые размеры, чтобы возникло поэлементное соответствие:

Пример 4

Складываем следующие две матрицы:

При добавлении более двух матриц вы можете связать две, выполнив сначала их сложение, а затем добавив полученную матрицу к оставшейся матрице.Это то, что мы называем ассоциативным свойством сложения матриц, это и другие свойства сложения матриц будут объяснены в последующих уроках, а пока проверьте процесс решения этой проблемы ниже:

Итак, как вы можете видеть, первым шагом было добавление матриц один и два, что привело к новой матрице, которая позже добавляется к третьей. Если добавление матриц содержит больше трех матриц, один и тот же процесс связывания можно повторять столько раз, сколько необходимо, чтобы упростить задачу, пока у вас не получится простая операция с двумя матрицами.

Пример 5

Вычтите следующие матрицы:

Еще раз обратите внимание, что матрицы, участвующие в вычитании, должны иметь одинаковые размеры, чтобы соблюдалось поэлементное соответствие.

Пример 6

Вычтите следующие матрицы:

Неважно, насколько велики матрицы, если они имеют одинаковые размеры, вы можете выполнить вычитание.

Пример 7

Вычтите следующие матрицы:

Обратите внимание, что для вычитания матриц с более чем двумя матрицами мы можем снова использовать свойство ассоциативности. Помните, что вычитание матриц не коммутативно (вы не можете изменить порядок матриц в операции и получить тот же результат).

Пример 8

Решите следующее уравнение, содержащее добавление постоянной матрицы к переменной.

Мы начинаем с вычитания матрицы в левой части к обеим частям уравнения, чтобы мы могли легко найти A, выполнив вычитание матрицы:

Пример 9

Решите следующие матричные уравнения

В этом случае самый простой способ найти X — это передать его в правую часть, добавив его к обеим частям уравнения, чтобы оно стало положительным.Мы также вычитаем матрицу, найденную в правой части уравнения, с обеих сторон, и, таким образом, получаем вычитание матрицы, определяющее X.

Решая вычитание матриц, находим X.

Пример 10

Найдите значения элементов a, b, c, d, e и f, решив следующее матричное уравнение наиболее эффективным способом.

В этой задаче мы можем преобразовать элемент за элементом случай, уравнение, которое позволит нам получить значение каждого из элементов в первой матрице.

Другими словами, вы знаете, что элемент из первой строки и первого столбца (вверху слева) в первой матрице будет добавлен к элементу в первой строке и первом столбце второй матрицы, чтобы получить элемент в этом пространстве. в получившейся матрице справа. Другими словами, мы можем легко записать следующие уравнения для каждого пространства элементов:

И из этого мы можем решить значение каждой переменной:

После того, как мы научимся складывать и вычитать матрицы, пришло время изучить другие операции: скалярное умножение матриц и умножение двух или более матриц будут объяснены в следующих двух уроках.

Мы завершаем наш урок на сегодня несколькими полезными ссылками: первая содержит краткий список основных правил сложения матриц и дополнительную лекцию по матричным операциям.

6.2 — Операции с матрицами

Равенство

Две матрицы равны тогда и только тогда, когда

• Порядок матриц одинаковый
• Соответствующие элементы матриц одинаковые

Дополнение

• Порядок матриц должен быть таким же
• Сложите соответствующие элементы вместе
• Матричное сложение коммутативно
• Матрица сложения ассоциативна

Вычитание

• Порядок матриц должен быть одинаковым
• Вычесть соответствующие элементы
• Матричное вычитание не коммутативно (как и вычитание действительных чисел)
• Матричное вычитание не ассоциативно (как и вычитание действительных чисел)

Скалярное умножение

Скаляр — это число, а не матрица.

• Матрица может быть любого порядка
• Умножить все элементы в матрице на скаляр
• Скалярное умножение коммутативно
• Скалярное умножение ассоциативно

Нулевая матрица

• Матрица любого заказа
• Состоит из всех нулей
• Обозначается заглавной буквы O
• Аддитивный идентификатор для матриц
• Любая матрица плюс нулевая матрица является исходной матрицей

Умножение матриц

A _{m × n} × B _{n × p} = C _{m × p}

• Количество столбцов в первой матрице должно быть равно количество строк во второй матрице.То есть внутренние размеры должны быть одинаковыми.
• Порядок произведения — это количество строк в первой матрице на количество столбцов в вторая матрица. То есть габариты изделия — это габариты внешние.
• Поскольку количество столбцов в первой матрице равно количеству строк во второй матрицу, вы можете объединить записи.
• Каждый элемент в строке i из первой матрицы объединяется в пару с элементом в столбце j из вторая матрица.
• Элемент в строке i , столбце j продукта формируется путем умножения этих парных элементов. и суммируя их.
• Каждый элемент в продукте представляет собой сумму произведений элементов из строка i первой матрицы и столбец j второй матрицы.
• Будет n продуктов, которые суммируются для каждого элемента в продукте.

См. Полный пример умножения матриц.

Умножение матриц некоммутативное

• Умножение действительных чисел.
• Внутренние размеры могут не совпадать при изменении порядка матриц.

Не просто перемножайте соответствующие элементы вместе

• Поскольку порядок (размеры) матриц не обязательно должны быть одинаковыми, может не быть соответствующие элементы умножаются вместе.
• Умножьте строки первого столбца на столбцы второго и сложите.

Нет матричного деления

• Не существует определенного процесса деления матрицы на другую матрицу.
• Матрица может быть разделена скаляром.

Идентификационная матрица

• Квадратная матрица
• На главной диагонали
• нули везде
• Обозначается I. Если указан нижний индекс, это порядок единичной матрицы.
• I — мультипликативное тождество для матриц
• Любая матрица, умноженная на единичную матрицу, является исходной матрицей.
• Умножение на единичную матрицу коммутативно, хотя порядок единицы может изменение

Идентификационная матрица размера 2

Идентификационная матрица размера 3

Свойства матриц

Свойства вещественных чисел, не являющиеся свойствами матриц

Коммутативность умножения

• Вы не можете изменить порядок задачи умножения и ожидать получить то же самое продукт.AB ≠ BA
• Вы должны быть осторожны при разложении общих множителей, чтобы убедиться, что они одно и тоже боковая сторона. AX + BX = (A + B) X и XA + XB = X (A + B), но AX + XB не учитывается.

Свойство нулевого продукта

• Тот факт, что произведение двух матриц является нулевой матрицей, не означает, что одна из им была нулевая матрица.

Мультипликативное свойство равенства

• Если A = B, то AC = BC. Это свойство все еще верно, но обратное не обязательно верно.То, что AC = BC, не означает, что A = B.
• Поскольку умножение матриц не коммутативно, вы должны умножение до или после умножения с обеих сторон уравнения. То есть, если A = B, тогда AC = BC или CA = CB, но AC ≠ CB.

Нет матричного деления

• Надо умножить на обратную матрицу

Оценка функции с помощью матрицы

Рассмотрим функцию f (x) = x ² — 4x + 3 и матрицу A

Первоначальная попытка оценить f (A) будет заключаться в замене каждого x с A, чтобы получить f (A) = A ² — 4A + 3.Есть одно небольшое проблема, однако. Константа 3 равна не матрица, и вы не можете добавить матрицы и скаляры вместе. Итак, умножаем константа матрицей идентичности.

f (A) = A ² — 4A + 3I.

Оцените каждый член функции, а затем сложите их.

Факторинговые выражения

Показаны некоторые примеры факторинга.Упрощайте и решайте как обычно, но помните эта матрица умножение не коммутативно и нет матричного деления.

2X + 3X = 5X

AX + BX = (A + B) X

ХА + ХВ = Х (А + В)

AX + 5X = (A + 5I) X

AX + XB не учитывает

Решение уравнений

Систему линейных уравнений можно записать как AX = B, где A — коэффициент матрица, X — вектор-столбец, содержащий переменные, а B — правая боковая сторона. В следующем разделе мы узнаем, как решить это уравнение.

Если существует более одной системы линейных уравнений с одним и тем же коэффициентом матрица, то вы можете расширить матрицу B, чтобы она содержала более одного столбца. Ставить каждую правую часть в свой столбец.

Умножение матриц

Умножение матриц включает суммирование произведения. Это уместно там, где вы нужно умножайте вещи вместе, а затем Добавлять. Например, умножение количества единиц на стоимость единицы будет дать общую Стоимость.

Единицы по продукту найдены путем выполнения модульного анализа на матрицы.Этикетки для продукта — это этикетки строк первого матрица и метки столбцов вторая матрица.

Матрицы сложения и вычитания

Сложение и вычитание матриц и умножение матрицы на константу

При умножении матрицы на скаляр (константа или число), а также при сложении и вычитании матриц операции выполняются построчно.Давайте рассмотрим каждую операцию отдельно, чтобы увидеть, как это работает.

Содержание

1. Добавление матриц
2. Матрицы вычитания
3. Умножение матрицы на константу (скалярное умножение)
4. Сочетание сложения, вычитания и скалярного умножения

реклама

Добавление матриц

Чтобы добавить две матрицы, добавьте соответствующие записи, как показано ниже. Обратите внимание, что вам нужно, чтобы матрицы были одинакового размера, чтобы это имело смысл.

Если матрицы разного размера, сложение не определено.

Матрицы вычитания

Вычитание матриц работает точно так же. Вы можете вычесть запись за записью.

Как и в случае сложения, это не было бы определено, если бы матрицы были разных размеров. В этой ситуации ваш ответ будет просто «не определен».

Умножение матрицы на константу (скалярное умножение)

Умножение матрицы на константу или число (иногда называемое скаляром) всегда определяется независимо от размера матрицы.Вам просто нужно убедиться, что каждая запись в матрице умножена на число.

Объединение операций

В некоторых вопросах вас могут попросить объединить сложение, вычитание и умножение на константу. Здесь мы рассмотрим несколько примеров, чтобы убедиться, что вы знаете, как это сделать.

Пример

Найдите \ (- 2A + B \) для:

\ (A = \ left [\ begin {array} {cc} -4 & 1 \\ 2 & -2 \\ \ end {array} \ right] \) и \ (B = \ left [\ begin {array} {cc} 9 & -4 \\ 0 & 8 \\ \ end {array} \ right] \)

Не забудьте умножить каждую запись на константу и работать с записью при сложении.

\ (\ begin {align} -2A + B & = 2 \ left [\ begin {array} {cc} -4 & 1 \\ 2 & -2 \\ \ end {array} \ right] + \ left [\ begin {array} {cc} 9 & -4 \\ 0 & 8 \\ \ end {array} \ right] \\ & = \ left [\ begin {array} {cc} -2 \ times -4 & -2 \ times 1 \\ -2 \ times 2 & -2 \ times -2 \\ \ end {array} \ right] + \ left [\ begin {array} {cc} 9 & -4 \\ 0 & 8 \\ \ end {array} \ right] \\ & = \ left [\ begin {array} {cc} 8 & -2 \\ -4 & 4 \\ \ end {array} \ right] + \ left [\ begin { массив} {cc} 9 & -4 \\ 0 & 8 \\ \ end {array} \ right] \\ & = \ left [\ begin {array} {cc} 8 + 9 & -2 + (-4) \\ -4 + 0 & 4 + 8 \\ \ end {array} \ right] \\ & = \ boxed {\ left [\ begin {array} {cc} 17 & -6 \\ -4 & 12 \\ \ end {array} \ right]} \ end {align} \)

Это также работает, когда у вас более двух матриц, как показано в следующем примере.

Пример

Найдите \ (A — 3B + 2C \) для:

\ (A = \ left [\ begin {array} {cc} 1 & 1 \\ 0 & 0 \\ \ end {array} \ right] \), \ (B = \ left [\ begin {array} {cc} 2 & 1 \\ 1 & 4 \\ \ end {array} \ right] \) и \ (C = \ left [\ begin {array} { cc} 5 & 2 \\ 3 & 0 \\ \ end {array} \ right] \)

\ (\ begin {align} A — 3B + 2C & = \ left [\ begin {array} {cc} 1 & 1 \\ 0 & 0 \\ \ end {array} \ right] — 3 \ left [\ begin {массив} {cc} 2 & 1 \\ 1 & 4 \\ \ end {array} \ right] + 2 \ left [\ begin {array} {cc} 5 & 2 \\ 3 & 0 \\ \ end { массив} \ right] \\ & = \ left [\ begin {array} {cc} 1 & 1 \\ 0 & 0 \\ \ end {array} \ right] — \ left [\ begin {array} {cc} 3 \ times2 и 3 \ times1 \\ 3 \ times1 & 3 \ times4 \\ \ end {array} \ right] + \ left [\ begin {array} {cc} 2 \ times5 & 2 \ times2 \\ 2 \ times3 & 2 \ times0 \\ \ end {массив} \ right] \\ & = \ left [\ begin {array} {cc} 1 & 1 \\ 0 & 0 \\ \ end {array} \ right] — \ left [\ begin {array} {cc} 6 & 3 \\ 3 & 12 \\ \ end {array} \ right] + \ left [\ begin {array} {cc} 10 & 4 \\ 6 & 0 \\ \ конец {массив} \ right] \\ & = \ left [\ begin {array} {cc} 1 — 6 + 10 & 1 — 3 + 4 \\ 0 — 3 + 6 & 0 — 12 + 0 \\ \ end {массив} \ right] \\ & = \ boxed {\ left [\ begin {array} {cc} 5 & 2 \\ 3 & — 12 \\ \ end {array} \ right]} \ end {align} \ )

Сводка

Запомните следующее для операций с матрицами:

• Для сложения или вычитания переходите ввод за вводом.

  No related posts.