Область определения функции как обозначается – Функция. Область определения и область значений функции

Область определения функции, как обозначается

Что называется областью определения функции

Математической функции свойственно сопоставление значений множества $X$ значениям множества $Y$.

Определение 1

Областью определения функции (ООФ) принято называть совокупность значений, принимаемых ее независимой переменной. Иными словами, область определения представляет собой множество всех возможных значений ее аргумента: функция с областью определения $X$ есть совокупность соответствий значений $x$ множества $X$ числам другого множества, получающихся преобразованием $x$ по некоторому алгоритму, правилу.

Как обозначается область определения

Функции в математике обозначают строчными латинскими буквами, такими, как $f$, $g$, $h$ и т.д. В формуле $y=f(x)$ знак $f$ выражает алгоритм, согласно которому значениям из ее области определения независимой переменной $x$ будет сопоставлено в соответствие значение зависимой переменной $y$.

Например, заданную формулой $y=x^2$ функцию, можно переписать как $f(x)=x^2$. В данном случае правило нахождения переменной $y$ (зависимой) — это возведение в квадрат. Данная функция каждому значению независимой переменной $x = x_n$ из допустимой области определения поставит в соответствие результат выполнения операции $y = x_{n}^2$. Например, числу $8$ будет соответствовать число $64$, поскольку $8^2=64$.

Область определения функции $f$ обозначается как $D(f)$.

Замечание 1

Для тригонометрических и некоторых других часто используемых функций используются собственные способы записи области определения, например $D(cos)$ для означения области определения косинуса и т.д. Синонимичной формой записи является «$D(f)$, где $f$ – функция косинуса«.

Когда множество аргументов функции $f$ заранее известно, его обозначают как $D(f) = X$. Например, область определения арксинуса ($\arcsin$) это замкнутый промежуток чисел от −1 до 1: $D(\arcsin) = [−1, 1]$.

Часто используемые в математических вычислениях функций обладают хорошо изученными областями определения:

  • для линейной функции $y = kx + b$, а также показательной функции $y = a^x$ это будет $R$ — множество действительных чисел: $D(f) = (−∞, +∞)$ или $D(f) = R$;
  • областью определения для логарифмической функции $y = log_{a}x$ является множество положительных действительных чисел, то есть, $D(log_a) = (0, +∞)$, в частности,$D(lg) = (0, +∞)$ для десятичных и $D(ln) = (0, +∞)$ для натуральных логарифмов;
  • несколько сложнее дело обстоит с извлечением корня $x = \sqrt[n]{y}$; областями определения здесь могут быть множества, состав которых зависит от показателя $n$; если это четное число, то область определения функции корня есть множество неотрицательных действительных чисел; при нечетном и большем, чем единица показателе областью определения будет множество всех действительных чисел.

Графические представления некоторых элементарных функций:

  • $у = 3х + 7$ — прямая;
  • $у = \frac{1}{х}$ — гипербола;
  • $у = х^2$ — парабола;
  • $у = \sqrt{х}$ — ветвь параболы.

Пример 1

Найти область определения функции $у = \frac{6х}{(5 + х)}$.

Поскольку в уравнении присутствует дробь, следует исключить ситуации деления на ноль, т.е. выяснить, при каких значениях $x$ может появиться ноль в знаменателе:

$5 + х \neq 0 \\ х \neq -5$

Ответ:

ООФ этой функции есть объединение множеств $(-∞; -5) \cup (-5; ∞)$, т.е. всё множество действительных чисел, кроме 5.

spravochnick.ru

Как обозначается область определения функции

Область определения это:

Область определения Запрос «Отображение» перенаправляется сюда. Cм. также другие значения.

В данной статье приведено общее определение математической функции. В средних школах и на нематематических специальностях высших учебных заведениях изучают более простое понятие числовой функции, являющееся частным случаем математической функции.

Содержание

  • 1 Определения
  • 2 Обозначения
  • 3 Связанные определения
  • 4 Свойства
    • 4.1 Свойства прообразов и образов
  • 5 Классы функций
  • 6 Вариации и обобщения
    • 6.1 Функции нескольких аргументов
  • 7 Примечания
  • 8 См. также
  • 9 Литература

Определения

  • Нестрогое определение: функция — это «закон», по которому каждому значению элемента x из некоторого множества X ставится в соответствие единственный элемент y из множества Y.
  • Строгое определение: функция или отображе́ние — это бинарное отношение, обладающее свойством:
  • Функция называется инъективной, если

Обозначения

  • , или для отображения
    F
    множества X в множество Y;
    • Множество X называется о́бластью определе́ния отображения F (обозначается D(F), или .).
    • Множество Y называется о́бластью значе́ний отображения F.(обозначается E(F), или ).
  • , y = F(x) или или . Используется также обратная польская запись: y = xF, а иногда y = xF.
    • Элементы x называют аргументами функции, а соответствующие элементы yзначениями функции.

Связанные определения

  • Пусть дано отображение , и . Тогда суже́нием функции F на M называется функция , определяемая равенством . Это определение подчёркивает, что фиксация области определения является частью определения функции.
  • F является продолжением функции на множество . Можно рассма

zna4enie.ru

Область определения функции — Википедия. Что такое Область определения функции

Область определения или область задания функции — множество, на котором задаётся функция. В каждой точке этого множества значение функции должно быть определено.

Определение

Если на множествеX{\displaystyle X} задана функция, которая отображает множество X{\displaystyle X} в другое множество, то множество X{\displaystyle X} называется областью определения или областью задания функции.

Более формально, если задана функция f{\displaystyle f}, которая отображает множество X{\displaystyle X} в Y{\displaystyle Y}, то есть: f:X→Y{\displaystyle f\colon X\to Y}, то

  • множество X{\displaystyle X} называется областью определения[1] или областью задания[2] функции f{\displaystyle f} и обозначается D(f){\displaystyle D(f)} или domf{\displaystyle \mathrm {dom} \,f} (от англ.
    domain
    — «область»).

Иногда рассматривают функции, определенные на подмножестве D{\displaystyle D} некоторого множества X{\displaystyle X}. В этом случае множество X{\displaystyle X} иногда называют областью отправления функции f{\displaystyle f}[3].

Примеры

Наиболее наглядные примеры областей определения доставляют числовые функции. Мера и функционал также доставляют важные в приложениях виды областей определения.

Числовые функции

Числовые функции — это функции, относящиеся к следующим двум классам:

  • вещественнозначные функции вещественного переменного — это функции вида f:R→R{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} };
  • а также комплекснозначные функции комплексного переменного вида f:C→C{\displaystyle f\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} },

где R{\displaystyle \mathbb {R} } и C{\displaystyle \mathbb {C} } — множества вещественных и комплексных чисел соответственно.

Тождественное отображение

Область определения функции f(x)=x{\displaystyle f(x)=x} совпадает с областью отправления (R{\displaystyle \mathbb {R} } или C{\displaystyle \mathbb {C} }).

Гармоническая функция

Область определения функции f(x)=1/x{\displaystyle f(x)=1/x} представляет собой комплексную плоскость без нуля:

domf=C∖{0}{\displaystyle \mathrm {dom} \,f=\mathbb {C} \setminus \{0\}},

поскольку формула не задаёт значение функции в нуле каким-нибудь числом, что требуется в формулировке понятия функции. Область отправления представляет собой всю комплексную плоскость.

Дробно-рациональные функции

Область определения функции вида

f(x)=a0+a1x+⋯+amxmb0+b1x+⋯+bnxn{\displaystyle f(x)={\frac {a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{m}x^{m}}{b_{0}+b_{1}x+\dots +b_{n}x^{n}}}}

представляет собой вещественную прямую или комплексную плоскость за исключением конечного числа точек, которые являются решениями уравнения

b0+b1x+⋯+bnxn=0{\displaystyle b_{0}+b_{1}x+\dots +b_{n}x^{n}=0}.

Эти точки называются полюсами функции f{\displaystyle f}.

Так, например, f(x)=2xx2−4{\displaystyle f(x)={\frac {2x}{x^{2}-4}}} определен на всех точках, где знаменатель не обращается в ноль, то есть, где x2−4≠0{\displaystyle x^{2}-4\neq 0}. Таким образом domf{\displaystyle \mathrm {dom} \,f} является множеством всех действительных (или комплексных) чисел кроме 2 и -2.

Мера

Если каждая точка области определения функции — это некоторое множество, например, подмножество заданного множества, то говорят, задана функция множества.

Мера — пример такой функции, где в качестве области определения функции (меры) выступает некоторая совокупность подмножеств заданного множества, являющееся, например, кольцом или полукольцом множеств.

Например, определённый интеграл представляет собой функцию ориентированного промежутка.

Функционал

Пусть F={f∣f:X→R}{\displaystyle \mathbb {F} =\{f\mid f\colon X\to \mathbb {R} \}} — семейство отображений из множества X{\displaystyle X} в множество R{\displaystyle \mathbb {R} }. Тогда можно определить отображение вида F:F→R{\displaystyle F\colon \mathbb {F} \to \mathbb {R} }. Такое отображение называется функционалом.

Если, например, фиксировать некоторую точку x0∈ X{\displaystyle x_{0}\in ~X}, то можно определить функцию F(f)=f(x0){\displaystyle F(f)=f(x_{0})}, которая принимает в «точке» f{\displaystyle f} то же значение, что и сама функция f{\displaystyle f} в точке x0{\displaystyle x_{0}}.

См. также

Примечания

Литература

  • Функция, математический энциклопедический словарь. — Гл. ред. Ю. В. Прохоров. — М.: «Большая российская энциклопедия», 1995.
  • Клейн Ф. Общее понятие функции. В кн.: Элементарная математика с точки зрения высшей. Т.1. М.-Л., 1933
  • И. А. Лавров, Л. Л. Максимова. Часть I. Теория множеств // Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. — 3-е изд.. — М.: Физматлит, 1995. — С. 13 — 21. — 256 с. — ISBN 5-02-014844-X.
  • А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. Глава 1.. Элементы теории множеств // Элементы теории функций и функционального анализа. — 3-е изд.. — М.: Наука, 1972. — С. 14 — 18. — 256 с.
  • Дж. Л. Келли. Глава 0. Предварительные сведения // Общая топология. — 2-е изд.. — М.: Наука, 1981. — С. 19 — 27. — 423 с.
  • В. А. Зорич. Глава I. Некоторые общематематические понятия и обозначения. § 3. Функция // Математический анализ, часть I. — М.: Наука, 1981. — С. 23 — 36. — 544 с.
  • Г. Е. Шилов. Глава 2. Элементы теории множеств. § 2.8. Общее понятие функции. График // Математический анализ (функции одного переменного). — М.: Наука, 1969. — С. 65 — 69. — 528 с.
  • А. Н. Колмогоров. «Что такое функция» // «Квант». — М.: «Наука», 1970. — Вып. 1. — С. 27-36. — ISSN 0130-2221.

wiki.sc

Как найти область определения функции и что это вообще такое???

область определения функции это допустимые значения х. те вопрос можно сформулировать — при каких значениях х выполнимы все действия. записанные в формуле функции. разберем на примерах: у=кх+в линейная функция. действия: умножение К*х и сложение ( вычитания. все действия выполнимы. в общем случае Д (Х) от минус до плюс бесконечности. у=к\х деление на ноль не допускается. тч Д (х) х не равен нулю для у=Vx, где буква V как знак квадратного корня Д (х) х больше или равен нулю. Для у=ах»2+вх+с и у =ах»3 область определения от минус до плюс бесконечности. тк все действия выполнимы.

Область определения функции – это множество всех тех значений переменной х, при каких функция f(x) имеет смысл. ) Если в функции есть корень чётной степени, то подкоренное выражение должно быть больше нуля. 2) Если в функции есть дробь, то её знаменатель не должен быть равен нулю. 3) Если в функции содержится выражение f(x) в степени g(x), то f(x) больше, либо равна нулю, причём f(x) и g(x) одновременно не равны нулю. 4) Если в функции имеются функции с ограниченной областью определения, то область определения исходной функции не шире их области определения. (Например, обратные тригонометрические функции или функции tg(x), ctg(x) и т. д.)

А книжку открыть слабО? Для школы достаточно такого «определения»: это множество тех значений аргумента «х», которые он может принимать. Например: у=1/х. Значение х=1 входит в область определения, а х=0 — не входит, потому что деление на 0 запрещено. Ясно, что ООФ этой фуекции будет «х — любое число, кроме нуля».

А книжку открыть слабО? Для школы достаточно такого «определения»: это множество тех значений аргумента «х», которые он может принимать. Например: у=1/х. Значение х=1 входит в область определения, а х=0 — не входит, потому что деление на 0 запрещено. Ясно, что ООФ этой фуекции будет «х — любое число, кроме нуля».

touch.otvet.mail.ru

Как определить область значений 🚩 как найти область значений функции примеры 🚩 Математика

Автор КакПросто!

Решать функции в повседневной жизни приходится не часто, но когда сталкиваешься с такой необходимостью, быстро сориентироваться бывает сложно. Начните с определения области значений.

Статьи по теме:

Инструкция

Вспомните, что функция — это такая зависимость переменной Y от переменной Х, при которой каждому значению переменной X соответствует единственное значение переменной Y.

Переменная X является независимой переменной или аргументом. Переменная Y — зависимая переменная. Считается также, что переменная Y является функцией от переменной X. Значения функции равны значениям зависимой переменной.

Для наглядности записывайте выражения. Если зависимость переменной Y от переменной X является функцией, то сокращенно это записывают так: y=f(x). (Читают: у равно f от х.) Символом f(x) обозначьте значение функции, соответствующее значению аргумента, равному х. Областью определения функции f(x) называется «множество всех действительных значений независимой переменной х, при которых функция определена (имеет смысл)». Обозначьте: D(f) (англ. Define – определять.)

Пример:
Функция f(x) = 1x+1 определена для всех действительных значений x, удовлетворяющих условию х+1 ≠ 0,т.е. х≠-1. Поэтому D(f) = (-∞;-1)U(-1;∞).

Областью значений функции y=f(x) называется «множество всех действительных значений, которые занимает независимая переменная y». Обозначение: E(f) (англ. Exist – существовать).

Пример:
Y=x2 -2x+10; так как x2 -2x +10 = x2 -2x +1+9+(x-1)2 +9, то наименьшее значение переменной у=9 при х=1,поэтому E(y) =[9;∞)

Все значения независимой переменной отображают собой область определения функции. Все значения, которые принимает зависимая переменная, отражают область значений функции. Область значений функции полностью зависит от ее области определения. В том случае, если область определения не задана, значит, она меняется от минус бесконечности до плюс бесконечности, тем самым, поиск значения функции на концах отрезка сводится к описку предела этой функции от минус и плюс бесконечности. Соответственно, если функция задана формулой и ее область определения не указана, то считается, что область определения функции состоит из всех значений аргумента, при которых формула имеет смысл.

Для нахождения множества значений функций надо знать основные свойства элементарных функций: область определения, область значения, монотонность, непрерывность, дифференцируемость, четность, нечетность, периодичность и т.д.

Совет полезен?

Статьи по теме:

Не получили ответ на свой вопрос?
Спросите нашего эксперта:

www.kakprosto.ru

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.