Область определения функции, как обозначается
Что называется областью определения функции
Математической функции свойственно сопоставление значений множества $X$ значениям множества $Y$.
Определение 1
Областью определения функции (ООФ) принято называть совокупность значений, принимаемых ее независимой переменной. Иными словами, область определения представляет собой множество всех возможных значений ее аргумента: функция с областью определения $X$ есть совокупность соответствий значений $x$ множества $X$ числам другого множества, получающихся преобразованием $x$ по некоторому алгоритму, правилу.
Как обозначается область определения
Функции в математике обозначают строчными латинскими буквами, такими, как $f$, $g$, $h$ и т.д. В формуле $y=f(x)$ знак $f$ выражает алгоритм, согласно которому значениям из ее области определения независимой переменной $x$ будет сопоставлено в соответствие значение зависимой переменной $y$.
Например, заданную формулой $y=x^2$ функцию, можно переписать как $f(x)=x^2$. В данном случае правило нахождения переменной $y$ (зависимой) — это возведение в квадрат. Данная функция каждому значению независимой переменной $x = x_n$ из допустимой области определения поставит в соответствие результат выполнения операции $y = x_{n}^2$. Например, числу $8$ будет соответствовать число $64$, поскольку $8^2=64$.
Область определения функции $f$ обозначается как $D(f)$.
Замечание 1
Для тригонометрических и некоторых других часто используемых функций используются собственные способы записи области определения, например $D(cos)$ для означения области определения косинуса и т.д. Синонимичной формой записи является «$D(f)$, где $f$ – функция косинуса«.
Когда множество аргументов функции $f$ заранее известно, его обозначают как $D(f) = X$. Например, область определения арксинуса ($\arcsin$) это замкнутый промежуток чисел от −1 до 1: $D(\arcsin) = [−1, 1]$.
Часто используемые в математических вычислениях функций обладают хорошо изученными областями определения:
- для линейной функции $y = kx + b$, а также показательной функции $y = a^x$ это будет $R$ — множество действительных чисел: $D(f) = (−∞, +∞)$ или $D(f) = R$;
- областью определения для логарифмической функции $y = log_{a}x$ является множество положительных действительных чисел, то есть, $D(log_a) = (0, +∞)$, в частности,$D(lg) = (0, +∞)$ для десятичных и $D(ln) = (0, +∞)$ для натуральных логарифмов;
- несколько сложнее дело обстоит с извлечением корня $x = \sqrt[n]{y}$; областями определения здесь могут быть множества, состав которых зависит от показателя $n$; если это четное число, то область определения функции корня есть множество неотрицательных действительных чисел; при нечетном и большем, чем единица показателе областью определения будет множество всех действительных чисел.
Графические представления некоторых элементарных функций:
- $у = 3х + 7$ — прямая;
- $у = \frac{1}{х}$ — гипербола;
- $у = х^2$ — парабола;
- $у = \sqrt{х}$ — ветвь параболы.
Пример 1
Найти область определения функции $у = \frac{6х}{(5 + х)}$.
Поскольку в уравнении присутствует дробь, следует исключить ситуации деления на ноль, т.е. выяснить, при каких значениях $x$ может появиться ноль в знаменателе:
$5 + х \neq 0 \\ х \neq -5$
Ответ:
ООФ этой функции есть объединение множеств $(-∞; -5) \cup (-5; ∞)$, т.е. всё множество действительных чисел, кроме 5.
spravochnick.ru
Как обозначается область определения функции
Область определения это:
Область определения Запрос «Отображение» перенаправляется сюда. Cм. также другие значения.В данной статье приведено общее определение математической функции. В средних школах и на нематематических специальностях высших учебных заведениях изучают более простое понятие числовой функции, являющееся частным случаем математической функции.
Содержание
|
Определения
- Нестрогое определение: функция — это «закон», по которому каждому значению элемента x из некоторого множества X ставится в соответствие единственный элемент y из множества Y.
- Строгое определение: функция или отображе́ние — это бинарное отношение, обладающее свойством:
- Функция называется инъективной, если
Обозначения
- , или для отображения F множества X в множество Y;
- Множество X называется о́бластью определе́ния отображения F (обозначается D(F), или .).
- Множество Y называется о́бластью значе́ний отображения F.(обозначается E(F), или ).
- , y = F(x) или или . Используется также обратная польская запись: y = xF, а иногда y = xF.
- Элементы x называют аргументами функции, а соответствующие элементы y — значениями функции.
Связанные определения
- Пусть дано отображение , и . Тогда суже́нием функции F на M называется функция , определяемая равенством . Это определение подчёркивает, что фиксация области определения является частью определения функции.
- F является продолжением функции на множество . Можно рассма
zna4enie.ru
Область определения функции — Википедия. Что такое Область определения функции
Область определения или область задания функции — множество, на котором задаётся функция. В каждой точке этого множества значение функции должно быть определено.
Определение
Если на множествеX{\displaystyle X} задана функция, которая отображает множество X{\displaystyle X} в другое множество, то множество X{\displaystyle X} называется областью определения или областью задания функции.
Более формально, если задана функция f{\displaystyle f}, которая отображает множество X{\displaystyle X} в Y{\displaystyle Y}, то есть: f:X→Y{\displaystyle f\colon X\to Y}, то
- множество X{\displaystyle X} называется областью определения[1] или областью задания[2] функции f{\displaystyle f} и обозначается D(f){\displaystyle D(f)} или domf{\displaystyle \mathrm {dom} \,f} (от англ. domain — «область»).
Иногда рассматривают функции, определенные на подмножестве D{\displaystyle D} некоторого множества X{\displaystyle X}. В этом случае множество X{\displaystyle X} иногда называют областью отправления функции f{\displaystyle f}[3].
Примеры
Наиболее наглядные примеры областей определения доставляют числовые функции. Мера и функционал также доставляют важные в приложениях виды областей определения.
Числовые функции
Числовые функции — это функции, относящиеся к следующим двум классам:
- вещественнозначные функции вещественного переменного — это функции вида f:R→R{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} };
- а также комплекснозначные функции комплексного переменного вида f:C→C{\displaystyle f\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} },
где R{\displaystyle \mathbb {R} } и C{\displaystyle \mathbb {C} } — множества вещественных и комплексных чисел соответственно.
Тождественное отображение
Область определения функции f(x)=x{\displaystyle f(x)=x} совпадает с областью отправления (R{\displaystyle \mathbb {R} } или C{\displaystyle \mathbb {C} }).
Гармоническая функция
Область определения функции f(x)=1/x{\displaystyle f(x)=1/x} представляет собой комплексную плоскость без нуля:
- domf=C∖{0}{\displaystyle \mathrm {dom} \,f=\mathbb {C} \setminus \{0\}},
поскольку формула не задаёт значение функции в нуле каким-нибудь числом, что требуется в формулировке понятия функции. Область отправления представляет собой всю комплексную плоскость.
Дробно-рациональные функции
Область определения функции вида
- f(x)=a0+a1x+⋯+amxmb0+b1x+⋯+bnxn{\displaystyle f(x)={\frac {a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{m}x^{m}}{b_{0}+b_{1}x+\dots +b_{n}x^{n}}}}
представляет собой вещественную прямую или комплексную плоскость за исключением конечного числа точек, которые являются решениями уравнения
- b0+b1x+⋯+bnxn=0{\displaystyle b_{0}+b_{1}x+\dots +b_{n}x^{n}=0}.
Эти точки называются полюсами функции f{\displaystyle f}.
Так, например, f(x)=2xx2−4{\displaystyle f(x)={\frac {2x}{x^{2}-4}}} определен на всех точках, где знаменатель не обращается в ноль, то есть, где x2−4≠0{\displaystyle x^{2}-4\neq 0}. Таким образом domf{\displaystyle \mathrm {dom} \,f} является множеством всех действительных (или комплексных) чисел кроме 2 и -2.
Мера
Если каждая точка области определения функции — это некоторое множество, например, подмножество заданного множества, то говорят, задана функция множества.
Мера — пример такой функции, где в качестве области определения функции (меры) выступает некоторая совокупность подмножеств заданного множества, являющееся, например, кольцом или полукольцом множеств.
Например, определённый интеграл представляет собой функцию ориентированного промежутка.
Функционал
Пусть F={f∣f:X→R}{\displaystyle \mathbb {F} =\{f\mid f\colon X\to \mathbb {R} \}} — семейство отображений из множества X{\displaystyle X} в множество R{\displaystyle \mathbb {R} }. Тогда можно определить отображение вида F:F→R{\displaystyle F\colon \mathbb {F} \to \mathbb {R} }. Такое отображение называется функционалом.
Если, например, фиксировать некоторую точку x0∈ X{\displaystyle x_{0}\in ~X}, то можно определить функцию F(f)=f(x0){\displaystyle F(f)=f(x_{0})}, которая принимает в «точке» f{\displaystyle f} то же значение, что и сама функция f{\displaystyle f} в точке x0{\displaystyle x_{0}}.
См. также
Примечания
Литература
- Функция, математический энциклопедический словарь. — Гл. ред. Ю. В. Прохоров. — М.: «Большая российская энциклопедия», 1995.
- Клейн Ф. Общее понятие функции. В кн.: Элементарная математика с точки зрения высшей. Т.1. М.-Л., 1933
- И. А. Лавров, Л. Л. Максимова. Часть I. Теория множеств // Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. — 3-е изд.. — М.: Физматлит, 1995. — С. 13 — 21. — 256 с. — ISBN 5-02-014844-X.
- А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. Глава 1.. Элементы теории множеств // Элементы теории функций и функционального анализа. — 3-е изд.. — М.: Наука, 1972. — С. 14 — 18. — 256 с.
- Дж. Л. Келли. Глава 0. Предварительные сведения // Общая топология. — 2-е изд.. — М.: Наука, 1981. — С. 19 — 27. — 423 с.
- В. А. Зорич. Глава I. Некоторые общематематические понятия и обозначения. § 3. Функция // Математический анализ, часть I. — М.: Наука, 1981. — С. 23 — 36. — 544 с.
- Г. Е. Шилов. Глава 2. Элементы теории множеств. § 2.8. Общее понятие функции. График // Математический анализ (функции одного переменного). — М.: Наука, 1969. — С. 65 — 69. — 528 с.
- А. Н. Колмогоров. «Что такое функция» // «Квант». — М.: «Наука», 1970. — Вып. 1. — С. 27-36. — ISSN 0130-2221.
wiki.sc
Как найти область определения функции и что это вообще такое???
область определения функции это допустимые значения х. те вопрос можно сформулировать — при каких значениях х выполнимы все действия. записанные в формуле функции. разберем на примерах: у=кх+в линейная функция. действия: умножение К*х и сложение ( вычитания. все действия выполнимы. в общем случае Д (Х) от минус до плюс бесконечности. у=к\х деление на ноль не допускается. тч Д (х) х не равен нулю для у=Vx, где буква V как знак квадратного корня Д (х) х больше или равен нулю. Для у=ах»2+вх+с и у =ах»3 область определения от минус до плюс бесконечности. тк все действия выполнимы.
Область определения функции – это множество всех тех значений переменной х, при каких функция f(x) имеет смысл. ) Если в функции есть корень чётной степени, то подкоренное выражение должно быть больше нуля. 2) Если в функции есть дробь, то её знаменатель не должен быть равен нулю. 3) Если в функции содержится выражение f(x) в степени g(x), то f(x) больше, либо равна нулю, причём f(x) и g(x) одновременно не равны нулю. 4) Если в функции имеются функции с ограниченной областью определения, то область определения исходной функции не шире их области определения. (Например, обратные тригонометрические функции или функции tg(x), ctg(x) и т. д.)
А книжку открыть слабО? Для школы достаточно такого «определения»: это множество тех значений аргумента «х», которые он может принимать. Например: у=1/х. Значение х=1 входит в область определения, а х=0 — не входит, потому что деление на 0 запрещено. Ясно, что ООФ этой фуекции будет «х — любое число, кроме нуля».
А книжку открыть слабО? Для школы достаточно такого «определения»: это множество тех значений аргумента «х», которые он может принимать. Например: у=1/х. Значение х=1 входит в область определения, а х=0 — не входит, потому что деление на 0 запрещено. Ясно, что ООФ этой фуекции будет «х — любое число, кроме нуля».touch.otvet.mail.ru
Как определить область значений 🚩 как найти область значений функции примеры 🚩 Математика
Автор КакПросто!
Решать функции в повседневной жизни приходится не часто, но когда сталкиваешься с такой необходимостью, быстро сориентироваться бывает сложно. Начните с определения области значений.
Статьи по теме:
Инструкция
Вспомните, что функция — это такая зависимость переменной Y от переменной Х, при которой каждому значению переменной X соответствует единственное значение переменной Y.Переменная X является независимой переменной или аргументом. Переменная Y — зависимая переменная. Считается также, что переменная Y является функцией от переменной X. Значения функции равны значениям зависимой переменной.
Для наглядности записывайте выражения. Если зависимость переменной Y от переменной X является функцией, то сокращенно это записывают так: y=f(x). (Читают: у равно f от х.) Символом f(x) обозначьте значение функции, соответствующее значению аргумента, равному х. Областью определения функции f(x) называется «множество всех действительных значений независимой переменной х, при которых функция определена (имеет смысл)». Обозначьте: D(f) (англ. Define – определять.) Пример:Функция f(x) = 1x+1 определена для всех действительных значений x, удовлетворяющих условию х+1 ≠ 0,т.е. х≠-1. Поэтому D(f) = (-∞;-1)U(-1;∞). Областью значений функции y=f(x) называется «множество всех действительных значений, которые занимает независимая переменная y». Обозначение: E(f) (англ. Exist – существовать).
Пример:
Y=x2 -2x+10; так как x2 -2x +10 = x2 -2x +1+9+(x-1)2 +9, то наименьшее значение переменной у=9 при х=1,поэтому E(y) =[9;∞)
Совет полезен?
Статьи по теме:
Не получили ответ на свой вопрос?
Спросите нашего эксперта:
www.kakprosto.ru