Область определения показательной и логарифмической функции — Студопедия.Нет
Область определения показательной функции
В случае, когда функция задана формулой , областью определения функции является вся числовая прямая, то есть ]- ∞; + ∞[.
Область определения логарифмической функции
Логарифмическая функция определена при условии, если её аргумент положителен, то есть, областью её определения является множество ]0; + ∞[.
Найти область определения функции самостоятельно, а затем посмотреть решение
Пример 6. Найти область определения функции .
Посмотреть правильное решение и ответ.
Пример 7. Найти область определения функции .
Посмотреть правильное решение и ответ.
Область определения тригонометрических функций
Область определения функции y = sin(x) — множество R действительных чисел.
Область определения функции
Область определения функции y = tg(x) — множество R действительных чисел, кроме чисел .
Область определения функции y = ctg(x) — множество R действительных чисел, кроме чисел .
Пример 8. Найти область определения функции .
Решение. Внешняя функция — десятичный логарифм и на область её определения распространяются условия области определения логарифмической функции вообще. То есть, её аргумент должен быть положительным. Аргумент здесь — синус «икса». Поворачивая воображаемый циркуль по окружности, видим, что условие sin x > 0 нарушается при «иксе» равным нулю, «пи», два, умноженном на «пи» и вообще равным произведению числа «пи» и любого чётного или нечётного целого числа.
Таким образом, область определения данной функции задаётся выражением
,
где k — целое число.
Область определения обратных тригонометрических функций
Область определения функции y = arcsin(x) — множество [-1; 1].
Область определения функции y = arccos(x) — так же множество [-1; 1].
Область определения функции y = arctg(x) — множество R действительных чисел.
Область определения функции y = arcctg(x) — так же множество R действительных чисел.
Пример 9. Найти область определения функции .
Решение. Решим неравенство:
Таким образом, получаем область определения данной функции — отрезок [- 4; 4].
Пример 10. Найти область определения функции .
Решение. Решим два неравенства:
Решение первого неравенства:
Решение второго неравенства:
Таким образом, получаем область определения данной функции — отрезок [0; 1].
Область определения дроби
Если функция задана дробным выражением, в котором переменная находится в знаменателе дроби, то областью определения функции является множество R действительных чисел, кроме таких x, при которых знаменатель дроби обращается в нуль.
Пример 11. Найти область определения функции .
Решение. Решая равенство нулю знаменателя дроби, находим область определения данной функции — множество ]- ∞; — 2[ ∪ ]- 2 ;+ ∞[.
Пример 12. Найти область определения функции .
Решение. Решим уравнение:
Таким образом, получаем область определения данной функции — ]- ∞; — 1[ ∪ ]- 1 ; 1[ ∪ ]1 ;+ ∞[.
Пример 13. Найти область определения функции .
Решение. Область определения первого слагаемого — данной функции — множество R действительных чисел, второго слагаемого — все действительные числа, кроме -2 и 2 (получили, решая равенство нулю знаменателя, как в предыдущем примере). В этом случае область определения функции должна удовлетворять условиями определения обоих слагаемых. Следовательно, область определения данной функции — все x, кроме -2 и 2.
Пример 14. Найти область определения функции .
Решение. Решим уравнение:
Уравнение не имеет действительных корней. Но функция определена только на действительных числах. Таким образом, получаем область определения данной функции — вся числовая прямая или, что то же самое — множество R действительных чисел или, что то же самое — ]- ∞; + ∞[.
То есть, какое бы число мы не подставляли вместо «икса», знаменатель никогда не будет равен нулю.
Пример 15. Найти область определения функции .
Решение. Решим уравнение:
Таким образом, получаем область определения данной функции — ]- ∞; — 1[ ∪ ]- 1 ; 0[ ∪ ]0 ; 1[ ∪ ]1 ;+ ∞[.
Пример 16. Найти область определения функции .
Решение. Кроме того, что знаменатель не может быть равным нулю, ещё и выражение под корнем не может быть отрицательным. Сначала решим уравнение:
График квадратичной функции под корнем представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх. Как следует из решения квадратного уравнения, парабола пересекает ось Ox в точках 1 и 2. Между этими точками линия параболы находится ниже оси Ox, следовательно значения квадратичной функции между этими точками отрицательное. Таким образом, исходная функция не определена на отрезке [1; 2].
Понятие экстремума функции
studopedia.net
Функции и свойства натуральных логарифмов: область определения, график
Логарифмом числа b по основанию а называется показатель степени, в который нужно возвести число а чтобы получить число b.
Если , то .
Логарифм — крайне важная математическая величина, поскольку логарифмическое исчисление позволяет не только решать показательные уравнения, но и оперировать с показателями, дифференцировать показательные и логарифмические функции, интегрировать их и приводить к более приемлемому виду, подлежащему расчету.
…
Вконтакте
Мой мир
Свойства логарифмов
Все свойства логарифмов связаны напрямую со свойствами показательных функций. Например, тот факт, что означает, что:
.
Следует заметить, что при решении конкретных задач, свойства логарифмов могут оказаться более важными и полезными, чем правила работы со степенями.
Приведем некоторые тождества:
;
;
.
Приведем основные алгебраические выражения:
;
;
;
.
Внимание! может существовать только при x>0, x≠1, y>0.Постараемся разобраться с вопросом, что такое натуральные логарифмы. Отдельный интерес в математике представляют два вида — первый имеет в основании число «10», и носит название «десятичный логарифм». Второй называется натуральным. Основание натурального логарифма — число «е». Именно о нем мы и будем детально говорить в этой статье.
Обозначения:
- lg x — десятичный;
- ln x — натуральный.
Используя тождество можно увидеть, что ln e = 1, как и то, что lg 10=1.
График натурального логарифма
Построим график натурального логарифма стандартным классическим способом по точкам. При желании, проверить правильно ли мы строим функцию, можно при помощи исследования функции. Однако, есть смысл научится строить его «вручную», чтобы знать, как правильно посчитать логарифм.
Функция: y = ln x. Запишем таблицу точек, через которые пройдет график:
| х | у |
| 1 | 0 |
| е | 1 |
| е2≈7,34 | 2 |
| 0,5 | |
| e-1≈0.36 | -1 |
Поясним, почему мы выбрали именно такие значения аргумента х. Всё дело в тождестве: . Для натурального логарифма это тождество будет выглядеть таким образом:
.
Для удобства мы можем взять пять опорных точек:
;
;
;
;
.
Как посчитать логарифмы от этих пяти значений? Очень просто, ведь:
;
;
;
;
;
.
Таким образом, подсчет натуральных логарифмов — довольно несложное занятие, более того, он упрощает подсчеты операций со степенями, превращая их в обычное умножение.
Построив по точкам график, получаем приблизительный график:
Область определения натурального логарифма (т.е. все допустимые значения аргумента Х) — все числа больше нуля.
Внимание! В область определения натурального логарифма входят только положительные числа! В область определения не входит х=0. Это невозможно исходя из условий существования логарифма .Область значений (т.е. все допустимые значения функции y = ln x) — все числа в интервале .
Предел натурального log
Изучая график, возникает вопрос — как ведет себя функция при y<0.
Очевидно, что график функции стремится пересечь ось у, но не сможет этого сделать, поскольку натуральный логарифм при х<0 не существует.
Внимание! При стремлении к нулю аргументу, функция y = ln x стремится к (минус бесконечности).Предел натурального log можно записать таким образом:
Это интересно! Азы геометрии: правильная пирамида — это
Формула замены основания логарифма
Иметь дело с натуральным логарифмом намного проще, чем с логарифмом, имеющим произвольное основание. Именно поэтому попробуем научиться приводить любой логарифм к натуральному, либо выражать его по произвольному основанию через натуральные логарифмы.
Начнем с логарифмического тождества:
.
Тогда любое число, либо переменную у можно представить в виде:
,
где х — любое число (положительное согласно свойствам логарифма).
Данное выражение можно прологарифмировать с обеих сторон. Произведем это при помощи произвольного основания z:
.
Воспользуемся свойством (только вместо «с» у нас выражение):
Отсюда получаем универсальную формулу:
.
В частности, если z=e, то тогда:
.
Нам удалось представить логарифм по произвольному основанию через отношение двух натуральных логарифмов.
Это интересно! Уравнение по трем точкам: как найти вершину параболы, формула
Решаем задачи
Для того чтобы лучше ориентироваться в натуральных логарифмах, рассмотрим примеры нескольких задач.
Задача 1. Необходимо решить уравнение ln x = 3.
Решение: Используя определение логарифма: если , то , получаем:
.
Задача 2. Решите уравнение (5 + 3 * ln (x — 3)) = 3.
Решение: Используя определение логарифма: если , то , получаем:
.
Тогда:
.
.
Еще раз применим определение логарифма:
.
Таким образом:
.
Можно приближенно вычислить ответ, а можно оставить его и в таком виде.
Задача 3. Решите уравнение .
Решение: Произведем подстановку: t = ln x. Тогда уравнение примет следующий вид:
.
Перед нами квадратное уравнение. Найдем его дискриминант:
.
Первый корень уравнения:
.
Второй корень уравнения:
.
Вспоминая о том, что мы производили подстановку t = ln x, получаем:
.
Используя определение логарифма: если , то , получаем оба корня:
.
Вспомним, что область определения: . Оба корня больше нуля, так что оба решения верны и подходят.
Внимание! Когда в логарифмических уравнениях у вас получается два корня или больше, не забывайте про область определения. Аргумент, стоящий под логарифмом никогда не может быть меньше нуля. Если одно из решений делает выражение под логарифмом меньше либо равным нулю — такой корень вам не подходит, исключите его.
Интересные сведения
Логарифмы (особенно натуральные и десятичные) широко применимы почти во всех сферах деятельности.
Например, в теории простых чисел, количество простых чисел в интервале от 0 до n будет равно приблизительно: , при этом s-ое простое число приблизительно будет равно .
В математическом анализе, как мы уже убедились ранее, натуральные логарифмы встречаются сплошь и рядом, при этом они объединяют тригонометрические и логарифмические функции при помощи интегралов, например интеграл от тангенса:
.
В статистике и теории вероятности логарифмические величины встречаются очень часто. Это неудивительно, ведь число е — зачастую отражает темп роста экспоненциальных величин.
В информатике, программировании и теории вычислительных машин, логарифмы встречаются довольно часто, например для того чтобы сохранить в памяти натуральное число N понадобится битов.
В теориях фракталов и размерностях логарифмы используются постоянно, поскольку размерности фракталов определяются только с их помощью.
В механике и физике нет такого раздела, где не использовались логарифмы. Барометрическое распределение, все принципы статистической термодинамики, уравнение Циолковского и прочее — процессы, которые математически можно описать только при помощи логарифмирования.
В химии логарифмирование используют в уравнениях Нернста, описаниях окислительно-восстановительных процессов.
Поразительно, но даже в музыке, с целью узнать количество частей октавы, используют логарифмы.
Натуральный логарифм Функция y=ln x ее свойства
Доказательство основного свойства натурального логарифма
uchim.guru
Логарифмическая функция, формула и примеры
Определение и формулы логарифмической функции
ОПРЕДЕЛЕНИЕ Логарифмической функцией называется функция .Замечание. Показательная и логарифмическая функции являются взаимно обратными. Их графики симметричны относительно прямой — биссектрисы первой и третьей координатных четвертей.
Свойства логарифмической функции
1) Область определения: .
2) Множество значений: .
3) Четность/нечетность: функция общего вида.
4) Период: функция непериодическая.
5) Точки пересечения графика функции с координатными осями:
- с осью абсцисс: точка ;
- с осью ординат точек пересечения нет.
6) Промежутки знакопостоянства:
- : для и для ;
- для и для .
7) Монотонность:
- : функция убывает для любого ;
- : функция возрастает для любого .
8) Точек минимума/максимума нет.
9) График
Примеры решения задач
ПРИМЕР 1| Задание | Среди приведенных функций а)-в) указать убывающие:
а) ; б) ; в) |
| Решение | Согласно свойствам логарифмической функции, такая функция является убывающей, если ее основание удовлетворяет условию , и возрастает для :
а) для данной функции основание , то есть первая функция является строго возрастающей; б) , то есть функция убывает; в) , следовательно, и эта функция является убывающей. |
| Ответ | б), в). |
ru.solverbook.com
Примеры область определения логарифмической функции примеры решения
Конспект урока по математике 2 класс. Тема «Периметр многоугольника». Конспект урока по математики 2 класс по УМК «Начальная школа 21 века». Попова Любовь Александровна. 06.01.2017.Как найти область определения функции?
Будем исходить из того, что Вы знаете, что такое область определения функции и что Вам известны области определения основных элементарных функций (постоянной, корня, степенной функции и т. п.). Если нет, то рекомендуем вернуться к информации указанной статьи, так как ниже мы будем постоянно опираться на нее, объясняя, как найти область определения функции.
Навигация по странице.
Что значит найти область определения функции?
Известно, что когда задается какая-либо функция, то сразу указывается ее область определения. Другими словами, нельзя говорить о функции без ее области определения. Тогда возникает логичный вопрос, откуда взяться задаче с формулировкой найти область определения функции, если область определения должна быть указана вместе с самой функцией? А дело здесь вот в чем.
Функции очень часто задают, просто записывая формулу вида y=f(x) , при этом область определения функции явно не указывают. В этом случае подразумевают, что областью определения функции является множество всех таких значений аргумента, при котором выражение f(x) смысл (то есть, ОДЗ переменной x выражения f(x) ). Так вот встает задача нахождение этого множества значений аргумента, которая по сути и составляет задачу поиска области определения функции.
Что указывает на возможное ограничение области определения?
В школе обычно изучаются функции действительной переменной. При этом область определения отдельно взятой функции это, либо все множество действительных чисел R, либо некоторое его подмножество, например, промежуток (0, +∞) или множество [−3, 1)∪[5, 7) . По виду формулы, задающей функцию, можно определить, что область определения функции отлична от множества R. Давайте рассмотрим, что указывает на возможное наличие ограничений области определения:
Правила нахождения области определения
Первые задачи на нахождение области определения функции начинают проскакивать на уроках алгебры в 8-9 классе. Они довольно простые и решаются, исходя из очевидных соображений.
В качестве примера приведем рассуждения, позволяющие найти область определения функции y=2·x+1 . Мы можем вычислить значение выражения 2·x+1 для любого значения переменной x, поэтому, область определения функции y=2·x+1 – это множество всех действительных чисел.
Но дальше начинают встречаться функции все более и более сложных видов, особенно в сборниках задач по подготовке к ЕГЭ и ОГЭ, и возникает потребность в строгих правилах, позволяющих находить области определения всевозможных функций. Но тут всплывает неприятный сюрприз: в учебниках алгебры эти правила отдельно не выделены и их приходится выискивать из контекста. Восполним этот пробел.
Для удобства изучения дальнейшего материала расположите перед собой таблицу областей определения функций.
Область определения суммы, разности и произведения функций
Для начала научимся находить Область определения суммы функций. Понятно, что такая функция имеет смысл для всех таких значений переменной, при которой имеют смысл все функции, составляющие сумму. Поэтому не вызывает сомнений справедливость следующего утверждения:
Давайте условимся и дальше использовать записи, подобные последней, под которыми будем понимать пересечение числовых множеств, записанных внутри фигурной скобки, либо одновременное выполнение каких-либо условий. Это удобно и достаточно естественно перекликается со смыслом систем.
Дана функция y=x 7 +x+5+tgx, и надо найти ее область определения.
Функция f представлена суммой четырех функций: f1 — степенной функции с показателем 7 , f2 — степенной функции с показателем 1 , f3 — постоянной функции и f4 — функции тангенс.
Переходим к нахождению Области определения произведения функций. Для этого случая имеет место аналогичное правило:
Оно и понятно, в указанной области определены все функции произведения, а значит и сама функция f.
Найти область определения функции y=3·arctgx·lnx.
Структуру правой части формулы, задающей функцию, можно рассматривать так f1(x)·f2(x)·f3(x) , где f1 – это постоянная функция, f2 – это функция арктангенс, а f3 – логарифмическая функция с основанием e.
Областью определения функции y=3·arctgx·lnx является множество всех действительных положительных чисел.
В частности, области определения функций y=f(x) и y=−f(x) совпадают, и это позволяет утверждать, что Область определения разности функций можно найти так же, как и область определения суммы функций.
Найдите область определения функции y=log3x−3·2 x.
D(f1)=(0, +∞) . Найдем область определения функции f2 . Она совпадает с областью определения показательной функции с основанием 2 , то есть, D(f2)=(−∞, +∞) .
Теперь мы можем найти область определения функции y=log3x−3·2 x :
Область определения сложной функции
Рассмотрим для начала Сложную функцию f, которой соответствует формула y=f1(f2(x)) . Как же найти область определения сложной функции f? Изучив соответствующий пункт в учебнике [2, c. 118] , становится ясно, что D(f) — это множество всех x из области определения функции f2 , для которых f2(x) входит в область определения функции f1 .
Давайте рассмотрим решения нескольких примеров. В процессе мы не будем подробно описывать решение систем неравенств, так как это выходит за рамки этой статьи.
Найти область определения функции y=lnx 2 .
Исходную функцию
poiskvstavropole.ru
Логарифмической функцией называется функция
Свойства логарифмической функции
1. Область определения:
2. Множество значений:
3. Четность и нечетность: функция не обладает свойством четности.
4. Периодичность функции: непериодическая.
5. Нули: функция обращается в нуль при X = 1.
6. Промежутки знакопостоянства: Если то функция положительна для отрицательна для если то функция положительна для отрицательна для
7. Наибольшее и наименьшее значения: наибольшего и наименьшего значений функция не имеет.
8. Промежутки возрастания и убывания: если функция убывает для если возрастает для
9. Асимптоты: прямая X = 0 (ось Oy) – вертикальная асимптота.
10. График функции для изображен на рис. 6.9, а для на рис. 6.10.
Рис. 6.9 Рис. 6.10
Из свойств функции следует: тогда и только тогда, когда
или
Функция если является обратной для функции при
Функция если является обратной для функции при
Пример 1. Определить знак числа:
1) 2) 3) 4)
Решение. 1) Поскольку основание логарифма больше 1 (А = 7) и значение, стоящее под знаком логарифма, больше 1 (B = 35), то из свойств логарифмической функции
2) Для основания логарифма имеем и для выражения, стоящего под знаком логарифма, выполняется Поэтому
3) Так как основание логарифма 5 и 5 > 1, а выражение, стоящее под знаком логарифма, равно и то
4) Для основания логарифма выполняется а под знаком логарифма число 19 (19 > 1). Поэтому
Пример 2. Сравнить числа:
1) и 2) и
3) и 3.
Решение. 1) Используем тот факт, что логарифмические функции с основанием 11 и 13 монотонно возрастают. Поэтому
Тогда
2) Рассмотрим числа и Так как
и
то
следовательно,
3) Известно, что или
Если A ³ 0, B ³ 0.
В нашем случае тогда
Т. е.
Пример 3. Установить, между какими последовательными целыми числами находится число
Решение. Поскольку логарифмическая функция с основанием 7 монотонно возрастает, то
Пример 4. Найти функцию, обратную функции Построить графики обеих функций в одной системе координат.
Решение. Найдем функцию, обратную данной:
Построим графики функций:
А) строим график функции график функции переносим параллельно на две единицы вправо по оси Ox и на две единицы вниз по оси Oy;
Б) график обратной функции симметричен графику данной функции относительно прямой (рис. 6.11).
Рис. 6.11
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
matica.org.ua