Область значений синуса – Область значений синуса

Свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса

Wiki-учебник Поиск по сайту Реклама от партнёров:

Свойства синуса 1. Область определения: вся числовая ось 2. Область значений: [-1;1] 3. Нечетная функция. 4. Наименьший положительный период: 2*pi 5. Координаты точек пересечения графика функции с осью Ох: (pi*n; 0) 6. Координаты точек пересечения графика функции с осью Оу: (0;0) 7. Промежутки, на которых функция положительна: (2*pi*n; pi+2*pi*n) 8. Промежутки, на которых функция отрицательна: (-pi + 2*pi*n; 2*pi*n) 9. Промежутки возрастания: [-pi/2 +2*pi*n; pi/2 +2*pi*n] 10. Промежутки убывания: [pi/2 +2*pi*n; 3*pi/2 +2*pi*n] 11. Точки минимума: -pi/2 +2*pi*n 12. Минимум функции: -1 13. Точки максимума: pi/2 +2*pi*n 14. Максимум функции: 1 Свойства косинуса 1. Область определения: вся числовая ось 2. Область значений: [-1;1] 3. Четная функция. 4. Наименьший положительный период: 2*pi 5. Координаты точек пересечения графика функции с осью Ох: (pi/2 +pi*n; 0) 6. Координаты точек пересечения графика функции с осью Оу: (0;1)  7. Промежутки, на которых функция положительна: (-pi/2 +2*pi*n; pi/2 +2*pi*n) 8. Промежутки, на которых функция отрицательна: (pi/2 +2*pi*n; 3*pi/2 +2*pi*n) 9. Промежутки возрастания: [-pi + 2*pi*n; 2*pi*n] 10. Промежутки убывания: [2*pi*n; pi+2*pi*n] 11. Точки минимума: pi+2*pi*n 12. Минимум функции: -1 13. Точки максимума: 2*pi*n 14. Максимум функции: 1 Свойства тангенса 1. Область определения: (-pi/2 +pi*n; pi/2 +pi*n) 2. Область значений: вся числовая ось 3. Нечетная функция. 4. Наименьший положительный период: pi 5. Координаты точек пересечения графика функции с осью Ох: (pi*n; 0) 6. Координаты точек пересечения графика функции с осью Оу: (0;0)  7. Промежутки, на которых функция положительна: (pi*n; pi/2 +pi*n) 8. Промежутки, на которых функция отрицательна: (-pi/2 +pi*n; pi*n) 9. Функция возрастает на промежутках (-pi/2 + pi*n; pi/2 + pi*n) 10. Точек максимума и минимума нет. Свойства котангенса 1. Область определения: (pi*n; pi +pi*n) 2. Область значений: вся числовая ось 3. Нечетная функция. 4. Наименьший положительный период: pi 5. Координаты точек пересечения графика функции с осью Ох: (pi/2 + pi*n; 0) 6. Координаты точек пересечения графика функции с осью Оу: нет 7. Промежутки, на которых функция положительна: (pi*n; pi/2 +pi*n)  8. Промежутки, на которых функция отрицательна: (-pi/2 +pi*n; pi*n) 9. Функция убывает на промежутках (pi*n; pi +pi*n) 10. Точек максимума и минимума нет. На рисунке ниже представлены несколько единичных окружностей, в которых указаны знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса в различных координатных четвертях. Нужна помощь в учебе? Предыдущая тема: Определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса и примеры Следующая тема:&nbsp&nbsp&nbspРадианная мера угла: что означает, таблица соответствий с градусами Все неприличные комментарии будут удаляться.

www.nado5.ru

Область значений cosx

Чтобы найти область значений cosx, нужно вспомнить определение косинуса.

Косинус альфа на единичной окружности — это абсцисса точки, полученной при повороте из точки P0 на угол альфа.

 Таким образом, наименьшее значение косинуса равно-1, так как на единичной окружности наименьшее значение х равно -1 (точка с наименьшей абсциссой находится слева, в α=П).

Наибольшее значение косинуса равно 1, поскольку наибольшее значение x на единичной окружности равно 1 (оно достигается справа, в α=0).

Следовательно, область значений косинуса — промежуток [-1;1]. С помощью двойного неравенства область значений косинуса можно записать так:

   

Область значений косинуса не зависит от аргумента (за исключением случаев, когда аргумент представляет собой сложное выражение с дополнительными ограничениями на область определения и область значений):

   

   

   

   

Таким образом, наименьшее значение cos x, cos(15α), cos(5-11x) и т.д. равно -1;

наибольшее значение cos x, cos(4φ), cos(5х+3) и т.д. равно 1.

Область значений функции y=cos x — также промежуток [-1;1].

Так как число в четной степени неотрицательно, область значений квадрата косинуса — промежуток[0;1] или

   

Аналогично находим область значений модуля косинуса — промежуток [0;1] или

   

Далее рассмотрим, как, опираясь на ограничения значений косинуса и синуса, можно оценить значения тригонометрического выражения и найти область значения функции.

www.uznateshe.ru

Синус и косинус — тригонометрические функции y=sin(x), y=cos(x). Свойства, область определения, значения, четность, периоды, нули, промежутки знакопостоянства, возрастание, убывание, минимумы, максимумы, основные значения, знаки, формулы приведения

Адрес этой страницы (вложенность) в справочнике dpva.ru:  главная страница  / / Техническая информация / / Математический справочник / / Тригонометрические функции, формулы и графики. sin, cos, tg, ctg….Значения тригонометрических функций. Формулы приведения тригонометрических функций. Тригонометрические тождества.  / / Синус и косинус — тригонометрические функции y=sin(x), y=cos(x). Свойства, область определения, значения, четность, периоды, нули, промежутки знакопостоянства, возрастание, убывание, минимумы, максимумы, основные значения, знаки, формулы приведения Синус (sin) и косинус (cos) — тригонометрические функции y=sin(x), y=cos(x). Свойства, область определения, область значения, четность, периоды, нули, промежутки знакопостоянства, возрастание, убывание, минимумы, максимумы, основные значения, знаки по четвертям, формулы приведения. Свойства, область определения, область значения, четность, периоды, нули, промежутки знакопостоянства, возрастание, убывание, минимумы, максимумы, основные значения: Свойства, область определения, область значения, четность, периоды, нули, промежутки знакопостоянства, возрастание, убывание, минимумы, максимумы, основные значения: Область определения D(y): Область значений E(x): Наименьший положительный период: Координаты точек пересечения графика функции с осью:

dpva.ru

Свойства тригонометрических функций

Свойства синуса

1. Область определения – множество всех действительных чисел.
2. Область изменения (множество значений) – отрезок .
3. Функция – нечетная, то есть .
4. Функция периодическая, с периодом .
5. Нули функции: при .
6. Промежутки знакопостоянства

      

      

7. Функция непрерывная и имеет производную при любом значении аргумента:

      

8. Функция возрастает при , и убывает при .
9. Функция имеет минимальные значения, равные , при , и максимальные значение равные 1, при .

Подробнее про синус угла читайте по ссылке.

Свойства косинуса

1. Область определения – множество всех действительных чисел.
2. Область изменения (множество значений) – отрезок .
3. Функция – четная, то есть .
4. Функция периодическая, с периодом .
5. Нули функции: при .
6. Промежутки знакопостоянства

      

      

7. Функция непрерывная и имеет производную в любом значении аргумента

      

8. Функция возрастает при , и убывает при .
9. Минимальные значения функции равные принимает при , а максимальные значение равные 1, при .

Подробнее про косинус угла читайте по ссылке.

Свойства тангенса

1. Область определения – множество всех действительных чисел, кроме чисел
2. Область изменения (множество значений) – множество всех действительных чисел.
3. Функция – нечетная, то есть .
4. Функция периодическая, её период равен .
5. Нули функции: при .
6. Промежутки знакопостоянства

      

      

7. Функция непрерывная и дифференцируема при любом значении аргумента из области определения функции:

      

8. Функция возрастает в каждом из промежутков .

Свойства котангенса

1. Область определения – множество всех действительных чисел, кроме чисел
2. Область изменения (множество значений) – множество всех действительных чисел.
3. Функция – нечетная, то есть .
4. Функция периодическая, её период равен .
5. Нули функции: при .
6. Промежутки знакопостоянства

      

      

7. Функция непрерывная и дифференцируема при любом значении аргумента из области определения функции:

      

8. Функция убывает в каждом из промежутков .

Примеры решения задач

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

Тригонометрические функции, их свойства и графики.

Все тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс и котангенс) относятся к основным элементарным функциям. Сейчас мы рассмотрим их графики и перечислим свойства.

Тригонометрическим функциям присуще понятие периодичности (повторяемости значений функции при различных значениях аргумента, отличных друг от друга на величину периода , где Т — период), поэтому, в список свойств тригонометрических функций добавлен пункт «наименьший положительный период». Также для каждой тригонометрической функции мы укажем значения аргумента, при которых соответствующая функция обращается в ноль.

Теперь разберемся со всеми тригонометрическими функциями по-порядку.

Функция синус y = sin(x).

Изобразим график функции синус, его называют «синусоида».

Свойства функции синус y = sinx.

• Областью определения функции синус является все множество действительных чисел, то есть, функция y = sinx определена при .

• Наименьший положительный период функции синуса равен двум пи: .

• Функция обращается в ноль при , где , Z – множество целых чисел.

• Функция синус принимает значения из интервала от минус единицы до единицы включительно, то есть, ее область значений есть .

• Функция синус — нечетная, так как .

• Функция убывает при , возрастает при .

• Функция синус имеет локальные максимумы в точках , локальные минимумы в точках .

• Функция y = sinx вогнутая при , выпуклая при .

• Координаты точек перегиба .

• Асимптот нет.

Функция косинус y = cos(x).

График функции косинус (его называют «косинусоида») имеет вид:

Свойства функции косинус y = cosx.

Функция тангенс y = tg(x).

График функции тангенс (его называют «тангенсоида») имеет вид:

Свойства функции тангенс y = tgx.

Функция котангенс y = ctg(x).

Изобразим график функции котангенс (его называют «котангенсоида»):

Свойства функции котангенс y = ctgx.

studfiles.net

Mathway | Популярные задачи

1	Найти точное значение	sin(30)
2	Найти точное значение	sin(45)
3	Найти точное значение	sin(60)
4	Найти точное значение	sin(30 град. )
5	Найти точное значение	sin(60 град. )
6	Найти точное значение	tan(30 град. )
7	Найти точное значение	arcsin(-1)
8	Найти точное значение	sin(pi/6)
9	Найти точное значение	cos(pi/4)
10	Найти точное значение	sin(45 град. )
11	Найти точное значение	sin(pi/3)
12	Найти точное значение	arctan(-1)
13	Найти точное значение	cos(45 град. )
14	Найти точное значение	cos(30 град. )
15	Найти точное значение	tan(60)
16	Найти точное значение	csc(45 град. )
17	Найти точное значение	tan(60 град. )
18	Найти точное значение	sec(30 град. )
19	Преобразовать из радианов в градусы	(3pi)/4
20	График	y=sin(x)
21	Преобразовать из радианов в градусы	pi/6
22	Найти точное значение	cos(60 град. )
23	Найти точное значение	cos(150)
24	Найти точное значение	tan(45)
25	Найти точное значение	sin(30)
26	Найти точное значение	sin(60)
27	Найти точное значение	cos(pi/2)
28	Найти точное значение	tan(45 град. )
29	График	y=sin(x)
30	Найти точное значение	arctan(- квадратный корень 3)
31	Найти точное значение	csc(60 град. )
32	Найти точное значение	sec(45 град. )
33	Найти точное значение	csc(30 град. )
34	Найти точное значение	sin(0)
35	Найти точное значение	sin(120)
36	Найти точное значение	cos(90)
37	Преобразовать из радианов в градусы	pi/3
38	Найти точное значение	sin(45)
39	Найти точное значение	tan(30)
40	Преобразовать из градусов в радианы	45
41	Найти точное значение	tan(60)
42	Упростить	квадратный корень x^2
43	Найти точное значение	cos(45)
44	Упростить	sin(theta)^2+cos(theta)^2
45	Преобразовать из радианов в градусы	pi/6
46	Найти точное значение	cot(30 град. )
47	Найти точное значение	arccos(-1)
48	Найти точное значение	arctan(0)
49	График	y=cos(x)
50	Найти точное значение	cot(60 град. )
51	Преобразовать из градусов в радианы	30
52	Упростить	( квадратный корень x+ квадратный корень 2)^2
53	Преобразовать из радианов в градусы	(2pi)/3
54	Найти точное значение	sin((5pi)/3)
55	Упростить	1/( кубический корень от x^4)
56	Найти точное значение	sin((3pi)/4)
57	Найти точное значение	tan(pi/2)
58	Найти угол А	tri{}{90}{}{}{}{}	
59	Найти точное значение	sin(300)
60	Найти точное значение	cos(30)
61	Найти точное значение	cos(60)
62	Найти точное значение	cos(0)
63	Найти точное значение	arctan( квадратный корень 3)
64	Найти точное значение	cos(135)
65	Найти точное значение	cos((5pi)/3)
66	Найти точное значение	cos(210)
67	Найти точное значение	sec(60 град. )
68	Найти точное значение	sin(300 град. )
69	Преобразовать из градусов в радианы	135
70	Преобразовать из градусов в радианы	150
71	Преобразовать из радианов в градусы	(5pi)/6
72	Преобразовать из радианов в градусы	(5pi)/3
73	Преобразовать из градусов в радианы	89 град.
74	Преобразовать из градусов в радианы	60
75	Найти точное значение	sin(135 град. )
76	Найти точное значение	sin(150)
77	Найти точное значение	sin(240 град. )
78	Найти точное значение	cot(45 град. )
79	Преобразовать из радианов в градусы	(5pi)/4
80	Упростить	1/( кубический корень от x^8)
81	Найти точное значение	sin(225)
82	Найти точное значение	sin(240)
83	Найти точное значение	cos(150 град. )
84	Найти точное значение	tan(45)
85	Вычислить	sin(30 град. )
86	Найти точное значение	sec(0)
87	Упростить	arcsin(-( квадратный корень 2)/2)
88	Найти точное значение	cos((5pi)/6)
89	Найти точное значение	csc(30)
90	Найти точное значение	arcsin(( квадратный корень 2)/2)
91	Найти точное значение	tan((5pi)/3)
92	Найти точное значение	tan(0)
93	Вычислить	sin(60 град. )
94	Найти точное значение	arctan(-( квадратный корень 3)/3)
95	Преобразовать из радианов в градусы	(3pi)/4
96	Вычислить	arcsin(-1)
97	Найти точное значение	sin((7pi)/4)
98	Найти точное значение	arcsin(-1/2)
99	Найти точное значение	sin((4pi)/3)
100	Найти точное значение	csc(45)

www.mathway.com

Свойства функции синуса

Понятие синуса

Перед изучением функции синуса и её свойств, вспомним понятие самого синуса. Определение синуса можно ввести двумя способами: с помощью прямоугольного треугольника и с помощью тригонометрической окружности.

Определение 1

Синусом острого угла называется отношение длины противолежащего катета к гипотенузе прямоугольного треугольника (рис 1):

\[cos\alpha =\frac{a}{c}\]

Рисунок 1. Прямоугольный треугольник.

Определение 2

Синусом острого угла называется ордината единичной окружности, которая получается из точки $(1,\ 0)$ путем поворота на угол $\alpha $ радиан (рис. 2).

Рисунок 2. Значение синуса с помощью единичной окружности.

Введем таблицу некоторых значений синуса (таблица 1).

Рисунок 3. Значения синуса.

Свойства функции $f(x)=sinx$

Рассмотрим теперь свойства функции $f\left(x\right)=sinx$.

1. Область определения — все числа.
2. Так как по определению 2 значение синуса определяется с помощью единичной окружности, то область значения данной функции отрезок $[-1,\ 1]$.
3. $f\left(-x\right)={sin \left(-x\right)\ }=-sinx=-f(x)$, следовательно, функция$f\left(x\right)=sinx$ нечетна.
4. $f\left(x+2\pi \right)={sin \left(x+2\pi \right)\ }=sinx=f(x)$, следовательно, функция $f\left(x\right)=sinx$ периодическая с минимальным периодом $2\pi $.
5. Пересечение с осями координат: При $x=0$, $f\left(0\right)=sin0=0$. При $y=0$, $x=\pi n,n\in Z$.
6. Функция выше оси $Ox$ при $x\in (2\pi n,\pi +2\pi n),n\in Z$.
7. Функция ниже оси $Ox$ при $x\in (-\pi +2\pi n,2\pi n),n\in Z$.
8. $f’ (x)=(sinx)’=cosx$.\[cosx=0\] \[x=\frac{\pi }{2}+\pi n,\ n\in Z\]

Функция $f\left(x\right)=sinx$ возрастает, при $x\in \left(-\frac{\pi }{2}+2\pi n,\frac{\pi }{2}+2\pi n\right)$.

Функция $f\left(x\right)=sinx$ убывает при $x\in \left(\frac{\pi }{2}+2\pi n,\frac{3\pi }{2}+2\pi n\right)$.

Точки максимума $(\frac{\pi }{2}+2\pi n,1)$.

Точки минимума $(\frac{3\pi }{2}+2\pi n,-1)$.

1. Функция непрерывна на всей области определения.

График функции $y=sinx$

Графиком функции $y=sinx$ является синусоида (рис. 3).

Рисунок 4. Синусоида.

Задачи на построение синусоид

Пример 1

Построить график функции $y=sinx-1$.

График данной функции получается из функции $y=sinx$ путем смещения вдоль оси $Oy$ на 1 единицу вниз:

Рисунок 5.

Пример 2

Построить график функции $y=sin\left(x+\frac{\pi }{2}\right)$.

График данной функции получается из функции $y=sinx$ путем смещения вдоль оси $Ox$ на $\frac{\pi }{2}$ единиц влево.

Рисунок 6.

spravochnick.ru