Уравнение плоскости, проходящей через прямую перпендикулярно заданной плоскости онлайн
С помощю этого онлайн калькулятора можно построить уравнение плоскости, проходящей через прямую L1 параллельно другой прямой L2 (прямые L1 и L2 не параллельны). Дается подробное решение с пояснениями. Для построения уравнения плоскости задайте вид уравнения прямых (канонический или параметрический) введите коэффициенты уравнений прямых в ячейки и нажимайте на кнопку «Решить».
Очистить все ячейки?
Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.
Уравнение плоскости проходящей через прямую перпендикулярно заданной плоскости − теория, примеры и решения
Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxyz и пусть в этой системе координат задана прямая
и плоскость α1:
Пусть плоскость α1 не перпендинулярно прямой L.
Задача заключается в построении уравнения плоскости α, проходящей через прямую L перпендикулярно плоскости α1 (Рис.1).
Решение. Уравнение прямой L проходит через точку M0(x0, y0, z0) и имеет направляющий вектор q={m, p, l}. Уравнение плоскости α1 и имеет нормальный вектор n1={A1, B1, C1}.
Запишем уравнение искомой плоскости α:
Искомая плоскость α проходит через прямую L, следовательно она проходит через точку M0(x0, y0, z0). Тогда справедливо следующее равенство:
и поскольку прямая L принадлежит этой плоскости, то нормальный вектор n={A, B, C} и направляющий вектор q={m, p, l} ортогональны:Для того, чтобы плоскость α была перпендикулярна плоскости α1, нормальные векторы этих плоскостей должны быть ортогональными, т.е. скалярное произведение этих векторов должно быть равным нулю:
Таким образом мы должны решить систему трех уравнений с четыремя неизвестными (4)−(6). Представим систему линейных уравнений (4)−(6) в матричном виде:
Решив однородную систему линейных уравнений (7) найдем частное решение. (Как решить систему линейных уравнений посмотрите на странице метод Гаусса онлайн). Подставляя полученные коэффициенты A, B, C и D в уравнение (3), получим уравнение плоскости, проходящей через прямую L перпендикулярно плоскости α1.
Пример 1.Найти уравнение плоскости α, проходящей через прямую
перпендикулярно плоскости α1 :
Решение. Прямая L проходит через точку M0(x0, y0, z0)=M0(−4, 1, 2) и имеет направляющий вектор
Плоскость α1 имеет нормальный вектор n1={A1, B1, C1}={1, 2, 5}.
Уравнение искомой плоскости α можно записать следующей формулой:
где n={A, B, C} нормальный вектор плоскости.
Поскольку плоскость α проходит через прямую L , то она проходит также через точку M0(x0, y0, z0)=M0(−4, 1, 2), тогда уравнение плоскости должна удовлетворять условию:
а условие принадлежности прямой L к искомой плоскости α представляется следующим равенством:
Так как плоскость α должна быть перпендикулярна плоскости α1, то должна выполнятся условие:
Подставим значения x0, y0, z0, m, p, l, A1, B1, C1, в (10),(11) и (12):
Представим эти уравнения в матричном виде:
Решим систему линейных уравнений (16) отностительно A, B, C, D:
Таким образом искомая плоскость имеет нормальный вектор n={A, B, C}={9/43,−17/43,5/43}. Тогда подставляя в уравнение плоскости
значения A, B, C, D, получим:
Уравнение плоскости можно представить более упрощенном виде, умножив на число 43:
Ответ: Уравнение плоскости, проходящей через прямую (1) перпендикулярно плоскости (2) имеет вид (19).
Пример 2. Найти уравнение плоскости α, проходящей через прямую L:
перпендикулярно плоскости
Решение. Прямая L проходит через точку M0(x0, y0, z0)=M0(−3, 1, 5) и имеет направляющий вектор
Плоскость α1 имеет нормальный вектор n1={A1, B1, C1}={−1, 1, 2}.
Уравнение искомой плоскости α можно записать следующей формулой:
где n={A, B, C} нормальный вектор плоскости.
Так как плоскость α проходит через прямую L , то она проходит также через точку M0(x0, y0, z0)=M0(−3, 1, 5), тогда уравнение плоскости должна удовлетворять условию:
а условие принадлежности прямой L к искомой плоскости α представляется следующим равенством:
Так как плоскость α должна быть перпендикулярна плоскости α1, то должна выполнятся условие:
Подставим значения x0, y0, z0, m, p, l, A1, B1, C1, в (22),(23) и (24):
Представим эти уравнения в матричном виде:
Решим систему линейных уравнений (28) отностительно A, B, C, D:
Таким образом искомая плоскость имеет нормальный вектор n={A, B, C}={3/2,−1/2,1}. Тогда подставляя в уравнение плоскости
значения A, B, C, D, получим:
Уравнение плоскости можно представить более упрощенном виде, умножив на число 43:
Ответ: Уравнение плоскости, проходящей через прямую (1) перпендикулярно плоскости (2) имеет вид (31).
Уравнение плоскости, проходящей через точку и прямую онлайн
С помощю этого онлайн калькулятора можно построить уравнение плоскости, проходящей через данную точку и через данную прямую (точка не лежит на этой прямой). Дается подробное решение с пояснениями. Для построения уравнения плоскости задайте вид уравнения прямой (канонический или параметрический) введите координаты точки и коэффициенты уравнения прямой в ячейки и нажимайте на кнопку «Решить».
Очистить все ячейки?
Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.
Уравнение плоскости, проходящей через точку и прямую − теория, примеры и решения
Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxyz и пусть в этой системе координат задана прямая L:
и точка M0(x0, y0, z0), которая не находится на этой прямой.
Задача заключается в построении уравнения плоскости α, проходящей через точку M0 и и через прямую L(Рис.1).
Решение. Уравнение плоскости, проходящей через точку M0 и имеющий нормальный вектор n={A, B, C} имеет следующий вид:
Направляющий вектор прямой L имеет вид q={m, p, l}. Поскольку плоскость проходит через прямую L, то она проходит также через точку M1(x1, y1, z1). Тогда уравнение плоскости, проходящей через точку M1(x1, y1, z1) имеет вид:
Для того, чтобы плоскость проходила через прямую L, нормальный вектор плоскости
Вычитая уравнение (3) из уравнения (2), получим:
Решая совместно уравнения (4) и (5) отностительно коэффициентов A, B, C получим такие значения A, B, C, при которых уравнение (2) проходит через точку M0 и через прямую (1). Для решения систему уравнений (4), (5), запишем их в матричном виде:
Как решить систему линейных уравнений посмотрите на странице метод Гаусса онлайн.
Получив частное решение уравнения (6) и подставив полученные значения A, B, C в (2), получим решение задачи.
Пример 1.Найти уравнение плоскости α, проходящей через точку M0(x0, y0, z0)=M0(1, 2, 5) и через заданную прямую L:
Решение. Уравнение плоскости α, проходящей через точку M0(x0, y0, z0)=M0(1, 2, 5) и имеющий нормальный вектор n={A, B, C} представляется формулой (2).
Уравнение плоскости α, проходящей через точку M1(x1, y1, z1)=M1(2, 1, −3) и имеющий нормальный вектор n={A, B, C} представляется формулой (3).
Вычитая уравнение (3) из уравнения (2), получим:
Направляющий вектор прямой L имеет следующий вид:
Для того, чтобы плоскость проходила через прямую L, нормальный вектор плоскости n={A, B, C} должен быть ортогональным направляющему вектору q прямой L, т.е. скалярное произведение этих векторов должен быть равным нулю:
Подставим значения m, p, l,
Решим систему линейных уравнений (10) и (11) отностительно A, B, C. Для этого представим эти уравнения в матричном виде:
Решив однородную систему линейных уравнений (12) используя метод Гаусса, найдем следующее частное решение:
Подставляя значения коэффициентов A, B, C в уравнение плоскости (2), получим:
Упростим уравнение (13):
Ответ: Уравнение плоскости, проходящей через точку M0(1, 2, 5) и через прямую (7) имеет вид (14).
Пример 2. Найти уравнение плоскости α, проходящую через точку M0(4, 3, −6) и через прямую L, заданной параметрическим уравнением:
Решение. Приведем параметрическое уравнение (15) к каноническому виду:
Уравнение плоскости α, проходящей через точку M0(x0, y0, z0) и имеющий нормальный вектор n={A, B, C} представляется формулой:
Поскольку плоскость проходит через прямую L, то она проходит также через точку M1(x1, y1, z1)=(0, 2, 4). Тогда уравнение плоскости, проходящей через точку M1(x1, y1, z1) имеет вид:
Вычитая уравнение (18) из уравнения (17), получим:
Направляющий вектор прямой L имеет следующий вид:
Для того, чтобы плоскость проходила через прямую L, нормальный вектор плоскости n должен быть ортогональным направляющему вектору прямой L :
Подставим значения m, p, l, x0, y0, z0, x1, y1, z1 в (19) и (20):
Решим систему линейных уравнений (21) и (22) отностительно A, B, C. Для этого представим эти уравнения в матричном виде:
Решив однородную систему линейных уравнений (23) используя метод Гаусса, найдем следующее частное решение:
Подставляя значения коэффициентов A, B, C в уравнение плоскости (17), получим:
Упростим уравнение (24):
Уравнение плоскости можно представить более упрощенном виде, умножив на число 23.
Ответ: Уравнение плоскости, проходящей через точку M0(4, 3, −6) и через прямую (16) имеет вид (26).
matworld.ru
Уравнение плоскости, проходящей через данную прямую параллельно другой прямой онлайн
С помощю этого онлайн калькулятора можно построить уравнение плоскости, проходящей через прямую L1 параллельно другой прямой L2 (прямые L1 и L2 не параллельны). Дается подробное решение с пояснениями. Для построения уравнения плоскости задайте вид уравнения прямых (канонический или параметрический) введите коэффициенты уравнений прямых в ячейки и нажимайте на кнопку «Решить».
Очистить все ячейки?
Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.
Уравнение плоскости, проходящей через данную прямую параллельно другой прямой − теория, примеры и решения
Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxyz и пусть в этой системе координат заданы прямые L1 и L2, которые не параллельны:
Задача заключается в построении уравнения плоскости α, проходящей через прямую L1 параллельно прямой L2(Рис.1).
Решение. Уравнение прямой L1 проходит через точку M1(x1, y1, z1) и имеет направляющий вектор q1={m1, p1, l1}. Уравнение прямой L2 проходит через точку M2(x2, y2, z2) и имеет направляющий вектор q2={m2, p2, l2}.
Прамая L1 должна лежать на искомой плоскости α, следовательно точка M1 должна нежать на плоскости α.
Уравнение плоскости можно записать формулой
и поскольку M1(x1, y1, z1) принадлежит этой плоскости, то справедливо следующее равенство:
Для того, чтобы плоскость α проходила через прямую L1, нормальный вектор плоскости n={A, B, C} должен быть ортогональным направляющему вектору q1 прямой L1, т.е. скалярное произведение этих векторов должен быть равным нулю:
Для того, чтобы плоскость α была параллельна прямой L2, нормальный вектор плоскости n={A, B, C} должен быть ортогональным направляющему вектору q2 прямой L2, т.е. скалярное произведение этих векторов должен быть равным нулю:
Таким образом мы должны решить систему трех уравнений с четыремя неизвестными (4)−(6). Представим систему линейных уравнений (4)−(6) в матричном виде:
Решив однородную систему линейных уравнений (7) найдем частное решение. (как решить систему линейных уравнений посмотрите на странице метод Гаусса онлайн). Подставляя полученные коэффициенты A, B, C и D в уравнение (3), получим уравнение плоскости, проходящей через прямую L1 параллельно прямой L2.
Пример 1.Найти уравнение плоскости α, проходящей через прямую L1:
паралленьно другой прямой L2 :
Решение. Прямая L1 проходит через точку M1(x1, y1, z1)=M1(1, 1, 5) и имеет направляющий вектор
Прямая L2 проходит через точку M2(x2, y2, z2)=M2(1, 1, −2) и имеет направляющий вектор
Поскольку плоскость проходит через прямую L1 , то она проходит также через точку M1(x1, y1, z1)=M1(1, 1, 5) и нормальный вектор плоскости n={A, B, C} перпендикулярна направляющему вектору q1={m1, p1, l1}={1, 1, −3} прямой L1. Тогда уравнение плоскости должна удовлетворять условию:
а условие параллельности прямой L1 и искомой плоскости α представляется следующим равенством:
Так как плоскость α должна быть параллельной прямой L2, то должна выполнятся условие:
Таким образом мы должны решить систему трех уравнений с четыремя неизвестными (10)−(12). Подставим значения m1, p1, l1, m2, p2, l2, x1, y1, z1 в (10),(11) и (12):
Представим эти уравнения в матричном виде:
Решим систему линейных уравнений (16) отностительно A, B, C, D:
Так как искомая плоскость проходит через точку M1 и имеет нормальный вектор n={A, B, C}={−13/24,1/6,−1/8} то она может быть представлена формулой:
Подставляя значения A,B,C,D в (17), получим:
Уравнение плоскости можно представить более упрощенном виде, умножив на число −24:
Ответ: Уравнение плоскости, проходящей через прямую (1) параллельно прямой (2) имеет вид (19).
——————Пример 2. Найти уравнение плоскости α, проходящей через прямую L1:
и паралленьной другой прямой L2
Решение. Прямая L1 проходит через точку M1(x1, y1, z1)=M1( −2, 0, 1) и имеет направляющий вектор
Прямая L2 проходит через точку M2(x2, y2, z2)=M2(1, 1,−2) и имеет направляющий вектор
Поскольку плоскость проходит через прямую L1 , то она проходит также через точку M1(x1, y1, z1)=M1(−2, 0, 1) и нормальный вектор плоскости n={A, B, C} перпендикулярна направляющему вектору q1={m1, p1, l1}={5, −8, 3} прямой L1. Тогда уравнение плоскости должна удовлетворять условию:
а условие параллельности прямой L1 и искомой плоскости α представляется следующим равенством:
Так как плоскость α должна быть параллельной прямой L2, то должна выполнятся условие:
Таким образом мы должны решить систему трех уравнений с четыремя неизвестными (22)−(24). Подставим значения m1, p1, l1, m2, p2, l2, x1, y1, z1 в (22),(23) и (24):
Представим эти уравнения в матричном виде:
Решим систему линейных уравнений (28) отностительно A, B, C, D:
Так как искомая плоскость проходит через точку M1 и имеет нормальный вектор n={A, B, C}={11/35,2/35,−13/35} то она может быть представлена формулой:
Подставляя значения A,B,C,D в (30), получим:
Уравнение плоскости можно представить более упрощенном виде, умножив на число 35:
Ответ: Уравнение плоскости, проходящей через прямую (1) параллельно прямой (2) имеет вид (32).
matworld.ru
Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и параллельной заданной плоскости онлайн
С помощю этого онлайн калькулятора можно найти уравнение плоскости, проходящей через заданную точку и параллельной данной плоскости. Дается подробное решение с пояснениями. Для нахождения уравнения плоскости, введите координаты точки и коэффициенты уравнения плоскости в ячейки и нажимайте на кнопку «Решить».
Очистить все ячейки?
Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.
Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и параллельной заданной плоскости − теория, примеры и решения
Пусть задана точка M0(x0, y0, z0) и уравнение плоскости
Наша задача найти уравнение плоскости, проходящей через точку M0 и параллельной плоскости (1)(Рис.1).
Все параллельные плоскости имеют коллинеарные нормальные векторы. Поэтому для построения параллельной к (1) плоскости, проходящей через точку M0(x0, y0, z0) нужно взять в качестве нормального вектора искомой плоскости, нормальный вектор n=(A, B, C) плоскости (1). Далее нужно найти такое значение D, при котором точка M0(x0, y0, z0) удовлетворяла уравнению плоскости (1):
Решим (2) относительно D:
Подставляя значение D из (3) в (1), получим:
Уравнение (4) можно представить также в следующем виде:
Уравнение (5) является уравнением плоскости, проходящей через точку M0(x0, y0, z0) и параллельной плоскости (1).
Пример 1.
Найти уравнение плоскости, проходящей через точку M0(1, −6, 2) и параллельной плоскости :
Решение.
Запишем коэффициенты нормального вектора плоскости (6):
Подставляя координаты точки M0 и координаты нормального вектора в (3), получим:
Подставляя значения A, B, C, D в уравнение плоскости (1), получим:
Уравнение плоскости можно представить в более упрощенном виде, умножив на 4:
Ответ.
Уравнение плоскости, проходящей через точку M0(1, −6, 2) и параллельной плоскости (6) имеет следующий вид:
matworld.ru
Уравнение плоскости.
Определение. Плоскость — есть поверхность, полностью содержащая, каждую прямую, соединяющую любые её точки.Общее уравнение плоскости
Любую плоскость можно задать уравнением плоскости первой степени вида
где A, B и C не могут быть одновременно равны нулю.
Уравнение плоскости в отрезках
Если плоскость пересекает оси OX, OY и OZ в точках с координатами (
a
, 0, 0), (0,b
, 0) и (0, 0,с
), то она может быть найдена, используя формулу уравнения плоскости в отрезкахx |
+ | y |
+ | z |
= 1 |
a |
b |
c |
Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки, не лежащие на одной прямой
Чтобы составить уравнение плоскости, зная координаты точки плоскости M(
x
0,y
0,z
0) и вектора нормали плоскостиn
={
A; B; C}
можно использовать следующую формулу.A
(x — x
0) +B
(y — y
0) +C
(z — z
0) = 0Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки, не лежащие на одной прямой
Если заданы координаты трех точек A(
x
1,y
1,z
1), B(x
2,y
2,z
2) и C(x
3,y
3,z
3), лежащих на плоскости, то уравнение плоскости можно найти по следующей формулеx — x 1 | y — y 1 | z — z 1 |
= 0 |
x 2 —x 1 | y 2 —y 1 | z 2 —z 1 |
|
x 3 —x 1 | y 3 —y 1 | z 3 —z 1 |
o-math.com
Уравнение плоскости.
Определение. Плоскость — есть поверхность, полностью содержащая, каждую прямую, соединяющую любые её точки.
Общее уравнение плоскости
Любую плоскость можно задать уравнением плоскости первой степени вида
A x + B y + C z + D = 0
где A, B и C не могут быть одновременно равны нулю.
Уравнение плоскости в отрезках
Если плоскость пересекает оси OX, OY и OZ в точках с координатами (a, 0, 0), (0, b, 0) и (0, 0, с), то она может быть найдена, используя формулу уравнения плоскости в отрезках
| x | + | y | + | z | = 1 |
| a | b | c |
Уравнение плоскости, проходящей через точку, перпендикулярно вектору нормали
Чтобы составить уравнение плоскости, зная координаты точки плоскости M(x0, y0, z0) и вектора нормали плоскости n = {A; B; C} можно использовать следующую формулу.
A(x — x0) + B(y — y0) + C(z — z0) = 0
Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки, не лежащие на одной прямой
Если заданы координаты трех точек A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2) и C(x3, y3, z3), лежащих на плоскости, то уравнение плоскости можно найти по следующей формуле
| x — x1 | y — y1 | z — z1 | = 0 |
| x2 — x1 | y2 — y1 | z2 — z1 | |
| x3 — x1 | y3 — y1 | z3 — z1 |
Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!
0oq.ru