вычислить тройной интеграл онлайн
Вы искали вычислить тройной интеграл онлайн? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и калькулятор тройных интегралов, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «вычислить тройной интеграл онлайн».
Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как вычислить тройной интеграл онлайн,калькулятор тройных интегралов,онлайн решение тройного интеграла,онлайн решение тройных интегралов,решение тройных интегралов онлайн,тройной интеграл калькулятор онлайн,тройной интеграл онлайн калькулятор,тройные интегралы онлайн. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и вычислить тройной интеграл онлайн. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь или введите в окно ввода ниже свой запрос (например, онлайн решение тройного интеграла).
Где можно решить любую задачу по математике, а так же вычислить тройной интеграл онлайн Онлайн?
Решить задачу вычислить тройной интеграл онлайн вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на этой странице.
www.pocketteacher.ru
Тройной интеграл, формулы и примеры
Понятие тройного интеграла вводиться аналогично понятию двойного интеграла.
Пусть функция определена в ограниченной замкнутой области , которая принадлежит трехмерному пространству с определенной декартовой системой координат . Разобьем заданную область на частей , которые не имеют общих внутренних точек и объемы которых равны соответственно . В каждой такой элементарной области возьмем произвольную точку и составим сумму , называемую интегральной суммой для функции
Пусть – наибольшее из расстояний между точка элементарной области . Если существует предел , который не зависит ни от способа разбиения области на элементарные области , ни от выбора в них точек , то этот предел называется тройным интегралом по области и обозначается
Пусть – замкнутая пространственная область, которая ограничена снизу и сверху поверхностями и соответственно (), а з боку – цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси (рис. 1).
Переменные и изменяются в плоской области , которая является проекцией пространственной области на координатную плоскость .
В прямоугольной декартовой системе координат элемент объему вычисляется по формуле . Для указанной области тройной интеграл равен:
Внутренний интеграл вычисляется по переменной , а переменные и в этом случае считаются постоянными. Результатом интегрирования есть функция переменных и – . Итак, вычисление тройного интеграла сводится к вычислению двойного интеграла .
Примеры решения задач
| Понравился сайт? Расскажи друзьям! | |||
ru.solverbook.com
WolframAlpha по-русски: Тройной интеграл в Wolfram|Alpha
Чтобы найти тройной интеграл в Wolfram|Alpha, используйте следующий синтаксис (вместо integrate допускается сокращенный вариант int):
Обратите внимание, что здесь, как и для двойных интегралов, для Wolfram|Alpha крайне важен порядок записи дифференциалов dx, dy и dz в подынтегральном выражнении, который определяет последовательность повторного интегрирования.
В общем случае, результат, который выводит Wolfram|Alpha, зависит от того, в какой последовательности выполняется повторное интегрирование (в каком порядке записаны dx, dy и dz ). Сравните, к примеру, предыдущий пример со следующим:
Чтобы вычислить определенный тройной интеграл, нужно правильно указать пределы интегрирования.
Если все пределы интегрирования постоянные, то порядок записи dx, dy и dz не имеет значения. Например,То же самое, когда речь идет про вычисление тройных интегралов с бесконечными пределами:
Однако же, если в тройном интеграле заданы переменные пределы интегрирования, то порядок записи dx, dy и dz опять становится важным. Нельзя забывать, что dx, dy и dz при вычислении тройного интеграла в
Wolfram|Alpha нужно записывать обязательно в обратном порядке к той последовательности, в которой должно выполняться повторное интегрирование при вычислении тройного интеграла. А именно так, как показано в этом примере:
Как видим, здесь порядок вычисления тройного интеграла следующий: сначала «берется» внутренний интеграл по dz (пределы интегрирования в котором зависят от x и y), затем — по dy (пределы интегрирования для переменной y зависят от x), и, наконец, «берется» внешний интеграл по dx. Именно поэтому в конце подынтегрального выражения стоит выражение dzdydx (последовательность важна!).
www.wolframalpha-ru.com
Решение интегралов онлайн
Решение интегралов онлайн. Пошаговое вычисление интегралов на Math34.biz. Как найти интеграл онлайн знает каждый студент младших курсов. На базе школьной программы этот раздел математики также изучается, но не подробно, а лишь азы такой сложной и важной темы. В большинстве случаев студенты приступают к изучению интегралов с обширной теории, которой предшествуют тоже важные темы, такие как производная и предельные переходы — они же пределы. Решение интегралов постепенно начинается с самых элементарных примеров от простых функций, и завершается применением множества подходов и правил, предложенных еще в прошлом веке и даже намного раньше. Интегральное исчисление носит ознакомительный характер в лицеях и школах, то есть в средних учебных заведениях. Наш сайт Math34.biz всегда поможет вам и решение интегралов онлайн станет для вас обыденным, а самое главное понятным занятием. На базе данного ресурса вы с легкостью сможете достичь совершенства в этом математическом разделе. Постигая шаг за шагом изучаемые правила, например, такие как интегрирование по частям или применение метода Чебышева, вы с легкость решите на максимальное количество баллов любой тест. Многие задаются вопросом — как же все-таки нам вычислить интеграл, применяя известную всем таблицу интегралов, но так, чтобы решение было правильным, корректным и с максимально возможным точным ответом? Как научиться этому и возможно ли это сделать обычному первокурснику в кратчайшие сроки? На этот вопрос ответим утвердительно — можно! При этом вы не только сможете решить любой пример, но и достигнете уровня высококлассного инженера. Секрет прост как никогда — необходимо приложить максимальное усилие, уделить необходимое количество времени на самоподготовку. К сожалению еще никто не придумал иного способа! Но не все так облачно, как кажется на первый взгляд. Если вы обратитесь к нашему сервису Math34.biz с данным вопросом, то мы облегчим вам жизнь, потому что наш сайт может вычислять интегралы онлайн подробно, при этом с очень высокой скоростью и безупречно точным ответом. Наряду с тем как вы будете познавать азы данной математической темы, сервис может найти интеграл практически от любой подынтегральной функции, если этот интеграл возможно разрешить в элементарных функциях. В противном случае для не берущихся в элементарных функциях интегралов на практике не требуется найти ответ в аналитическом или, другими словами, в явном виде. Все вычисления интегралов сводятся к определению первообразной функции от заданной подынтегральной функции. Для этого вычисляют сначала неопределенный интеграл по всем законам математики онлайн, потом при необходимости подставляют верхний и нижний значения интеграла. Если не требуется определить или вычислить числовое значение неопределённого интеграла, то к полученной первообразной функции прибавляют константу, тем самым определяя семейство первообразных функций. Особое место в науке и вообще в любой инженерной области, в том числе механике сплошных сред, интегрирование описывает целые механические системы, их движения и многое другое. Во многих случаях составленный интеграл определяет закон движения материальной точки. Это очень важный инструмент в изучении прикладных наук. Отталкиваясь от этого, нельзя не сказать о масштабных вычислениях для определения законов существования и поведения механических систем. Калькулятор решения интегралов онлайн на сайте Math34.biz — это мощный инструмент для профессиональных инженеров. Обычно решение интегралов сводится к применению табличных функций из известных всем учебников или энциклопедий. Механический смысл интеграла заключается во многих прикладных задачах, это и определение объема тел, и вычисление массы тела. Тройные и двойные интегралы участвуют как раз в этих расчетах. Мы настаиваем на том, чтобы решение интегралов онлайн производилось только под наблюдением опытных преподавателей и через многочисленные проверки. Как раз для этого существуют отличные калькуляторы, одним из которых является Math34.biz. За считанные секунды наш сервис поможет каждому желающему вычислить интеграл от любой заданной функции по переменной
math24.biz
Тройной интеграл, вычисление тройного интеграла
Объем тела. Представим область $V$ как некоторое тело. Если везде в области $V$ положить $f\left(x,y,z\right)\equiv 1$, то тройной интеграл дает объем тела, а именно: $V=\iiint \limits _{V}dx\cdot dy\cdot dz $. Для цилиндрических и сферических кординат этот объем можно вычислить по формулами $V=\iiint \limits _{V}\rho \cdot d\rho \cdot d\phi \cdot dz $ и $V=\iiint \limits _{V}\rho ^{2} \cdot \sin \theta \cdot d\rho \cdot d\phi \cdot d\theta $ соответственно.
Масса тела. Масса неоднородного тело распределена в замкнутой области $V$ с объемной плотностью $\rho \left(x,y,z\right)\ge 0$. При этом тройной интеграл дает массу $M\; =\; \iiint \limits _{V}\rho \left(x,y,z\right)\cdot dx\cdot dy\cdot dz $ этого тела.
Координаты центра массы тела. Масса неоднородного тела распределена в замкнутой области $V$ с объемной плотностью $\rho \left(x,y,z\right)$. Координаты $x_{c} $, $y_{c} $, $z_{c} $ центра массы тела можно вычислить по следующим формулам:
\[x_{c} \; =\; \frac{\iiint \limits _{V}x\cdot \rho \left(x,y,z\right)\cdot \; dx\cdot \; dy\cdot \; dz }{M} ,\] \[y_{c} \; =\; \frac{\iiint \limits _{V}y\cdot \rho \left(x,y,z\right)\cdot \; dx\cdot \; dy\cdot \; dz }{M} ,\] \[z_{c} \; =\; \frac{\iiint \limits _{V}z\cdot \rho \left(x,y,z\right)\cdot \; dx\cdot \; dy\cdot \; dz }{M} .\]Величины в числителях приведенных формул называются статическими моментами относительно плоскостей $yOz$, $xOz$ и $xOy$ соответственно.
В частном случае, когда тело однородное, то есть его плотность постоянна, формулы для координат центра массы упрощаются:
\[x_{c} \; =\; \frac{\iiint \limits _{V}x\cdot dx\cdot dy\cdot dz }{V} , y_{c} \; =\; \frac{\iiint \limits _{V}y\cdot dx\cdot dy\cdot dz }{V} , z_{c} \; =\; \frac{\iiint \limits _{V}z\cdot dx\cdot dy\cdot dz }{V} . \]Моменты инерции тела. Масса неоднородного тело распределена в замкнутой области $V$ с объемной плотностью $\rho \left(x,y,z\right)$. Формулы для моментов инерции тела $I_{x} $, $I_{y} $, $I_{z} $ относительно осей координат и момента инерции $I_{O} $ относительно начала координат имеют вид:
\[I_{x} \; =\; \iiint \limits _{V}\left(y^{2} +z^{2} \right)\; \cdot \rho \left(x,y,z\right)\cdot dx\cdot dy\cdot dz ,\] \[I_{y} \; =\; \iiint \limits _{V}\left(x^{2} +z^{2} \right)\; \cdot \rho \left(x,y,z\right)\cdot dx\cdot dy\cdot dz ,\] \[I_{z} \; =\; \iiint \limits _{V}\left(x^{2} +y^{2} \right)\; \cdot \rho \left(x,y,z\right)\cdot dx\cdot dy\cdot dz ,\] \[I_{O} \; =\; \iiint \limits _{V}\left(x^{2} +y^{2} +z^{2} \right)\; \cdot \rho \left(x,y,z\right)\cdot dx\cdot dy\cdot dz .\]Вычисление тройного интеграла
С целью вычисления тройного интеграла осуществляют его приведение к повторному. Вследствие этого результат удается получить путем последовательного вычисления трех обычных определенных интегралов.
Предположим, что область $V$ является правильной в направлении оси $Oz$. Это значит, что любая прямая, проведенная через внутреннюю точку области параллельно оси $Oz$, пересекает поверхность $S$, ограничивающую область $V$, в двух точках. Кроме того, вся область $V$ должна проецироваться на плоскость $xOy$ в правильную область $D$.
Пусть правильная область $V$ снизу и сверху ограничена поверхностями $z=z_{1} \left(x,y\right)$ и $z=z_{2} \left(x,y\right)$. По бокам область $V$ ограничена цилиндрической поверхностью $P$, образующая которой параллельная оси $Oz$. Область $V$ проецируется на плоскость $xOy$ в область $D$. Граница $L$ области $D$ является направляющой цилиндрической поверхности $P$.
Предположим также, что область $D$ является правильной в направлении оси $Oy$. Пусть она ограничена непрерывными кривыми $y=\vartheta _{1} \left(x\right)$ и $y=\vartheta _{2} \left(x\right)$, а также прямыми линиями $x=a$ и $x=b$, причем $\vartheta _{1} \left(x\right)
Тогда справедливая следующая формула:
Можно построить тройной интеграл и с другим порядком интегрирования, если это позволяют свойства области $V$.
Замена переменных в тройном интеграле осуществляется следующим образом.
Пусть при вычислении тройного интеграла оказалось целесообразным перейти к новым переменным $u$, $v$ и $w$ с помощью формул $x=\vartheta \left(u,v,w\right)$, $y=\psi \left(u,v,w\right)$ и $z=\chi \left(u,v,w\right)$. Пусть этими функциями устанавливается взаимно однозначное соответствие между точками заданной области $V$ в прямоугольных координатах $x$, $y$, $z$ и точками некоторой области $V^{*} $ в криволинейных кооодинатах $u$, $v$, $w$. В этих условиях формула общей замены переменных в тройном интеграле приобретает вид:
\[\iiint \limits _{V}f\left(x,y,z\right)\cdot dx\cdot dy\cdot dz =\] \[=\iiint \limits _{V^{*} }f\left(\vartheta \left(u,v,w\right),\psi \left(u,v,w\right),\chi \left(u,v,w\right)\right)\cdot \left|J\left(u,v,w\right)\right|\cdot du\cdot dv\cdot dw .\]В этой формуле $J\left(u,v,w\right)=\left|\begin{array}{ccc} {{\partial \vartheta \mathord{\left/ {\vphantom {\partial \vartheta \partial u}} \right. } \partial u} } & {{\partial \vartheta \mathord{\left/ {\vphantom {\partial \vartheta \partial v}} \right. } \partial v} } & {{\partial \vartheta \mathord{\left/ {\vphantom {\partial \vartheta \partial w}} \right. } \partial w} } \\ {{\partial \psi \mathord{\left/ {\vphantom {\partial \psi \partial u}} \right. } \partial u} } & {{\partial \psi \mathord{\left/ {\vphantom {\partial \psi \partial v}} \right. } \partial v} } & {{\partial \psi \mathord{\left/ {\vphantom {\partial \psi \partial w}} \right. } \partial w} } \\ {{\partial \chi \mathord{\left/ {\vphantom {\partial \chi \partial u}} \right. } \partial u} } & {{\partial \chi \mathord{\left/ {\vphantom {\partial \chi \partial v}} \right. } \partial v} } & {{\partial \chi \mathord{\left/ {\vphantom {\partial \chi \partial w}} \right.} \partial w} } \end{array}\right|$ — якобиан третьего порядка.
Переходы от прямоугольных координат к цилиндрическим и сферическим в тройном интеграле являются частными случаями общей замены переменных.
В случае цилиндрических координат имеем $x=\rho \cdot \cos \phi $, $y=\rho \cdot \sin \phi $, $z=z$. Согласуем обозначения: $u=\rho $, $v=\phi $ , $w=z$.
Итак, $x=\vartheta \left(\rho ,\phi ,z\right)=\rho \cdot \cos \phi $, $y=\psi \left(\rho ,\phi ,z\right)=\rho \cdot \sin \phi $, $z=\chi \left(\rho ,\phi ,z\right)=z$.
Якобиан преобразования прямоугольных координат $x$, $y$, $z$ в цилиндрические координаты $\rho $, $\phi $, $z$ приобретает следующий вид:
\[J\left(\rho ,\phi ,z\right)=\left|\begin{array}{ccc} {\cos \phi } & {-\rho \cdot \sin \phi } & {0} \\ {\sin \phi } & {\rho \cdot \cos \phi } & {0} \\ {0} & {0} & {1} \end{array}\right|=\] \[=\left|\begin{array}{cc} {\cos \phi } & {-\rho \cdot \sin \phi } \\ {\sin \phi } & {\rho \cdot \cos \phi } \end{array}\right|=\rho \cdot \cos ^{2} \phi +\rho \cdot \sin ^{2} \phi =\rho .\]В случае сферических координат имеем $x=\rho \cdot \sin \theta \cdot \cos \phi $, $y=\rho \cdot \sin \theta \cdot \sin \phi $, $z=\rho \cdot \cos \theta $. Согласуем обозначения: $u=\rho $, $v=\phi $ , $w=\theta $.
Итак, $x=\vartheta \left(\rho ,\phi ,\theta \right)=\rho \cdot \sin \theta \cdot \cos \phi $, $y=\psi \left(\rho ,\phi ,\theta \right)=\rho \cdot \sin \theta \cdot \sin \phi $, $z=\chi \left(\rho ,\phi ,z\right)=\rho \cdot \cos \theta $.
Якобиан преобразования прямоугольных координат $x$, $y$, $z$ в сферические координаты $\rho $, $\phi $, $\theta $ приобретает следующий вид:
\[J\left(\rho ,\phi ,\theta \right)=\left|\begin{array}{ccc} {\sin \theta \cdot \cos \phi } & {-\rho \cdot \sin \theta \cdot \sin \phi } & {\rho \cdot \cos \theta \cdot \cos \phi } \\ {\sin \theta \cdot \sin \phi } & {\rho \cdot \sin \theta \cdot \cos \phi } & {\rho \cdot \cos \theta \cdot \sin \phi } \\ {\cos \theta } & {0} & {-\rho \cdot \sin \theta } \end{array}\right|=\] \[=\cos \theta \cdot \left|\begin{array}{cc} {-\rho \cdot \sin \theta \cdot \sin \phi } & {\rho \cdot \cos \theta \cdot \cos \phi } \\ {\rho \cdot \sin \theta \cdot \cos \phi } & {\rho \cdot \cos \theta \cdot \sin \phi } \end{array}\right|-\] \[-\rho \cdot \sin \theta \cdot \left|\begin{array}{cc} {\sin \theta \cdot \cos \phi } & {-\rho \cdot \sin \theta \cdot \sin \phi } \\ {\sin \theta \cdot \sin \phi } & {\rho \cdot \sin \theta \cdot \cos \phi } \end{array}\right|=-\rho ^{2} \cdot \sin \theta .\]spravochnick.ru