Определение площади фигуры – Формулы площади. Площадь треугольника, квадрата, прямоугольника, ромба, параллелограмма, трапеции, круга, эллипса.

Содержание

Площадь фигуры — Википедия. Что такое Площадь фигуры

Фигура Формула Комментарий
Правильный треугольник 34⋅a2{\displaystyle {\tfrac {\sqrt {3}}{4}}{\cdot }a^{2}} a{\displaystyle a} — длина стороны треугольника.
Треугольник p⋅(p−a)⋅(p−b)⋅(p−c){\displaystyle {\sqrt {p{\cdot }(p-a){\cdot }(p-b){\cdot }(p-c)}}} Формула Герона. p{\displaystyle p} — полупериметр, a{\displaystyle a}, b{\displaystyle b} и c{\displaystyle c} — длины сторон треугольника.
Треугольник 12⋅a⋅b⋅sin⁡γ{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\cdot }a{\cdot }b{\cdot }\sin \gamma } a{\displaystyle a} и b{\displaystyle b} — две стороны треугольника, а γ{\displaystyle \gamma } — угол между ними.
Треугольник 12⋅b⋅h{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\cdot }b{\cdot }h} b{\displaystyle b} и h{\displaystyle h} — сторона треугольника и высота, проведённая к этой стороне.
Квадрат a2{\displaystyle a^{2}} a{\displaystyle a} — длина стороны квадрата.
Прямоугольник a⋅b{\displaystyle a{\cdot }b} a{\displaystyle a} и b{\displaystyle b} — длины сторон прямоугольника.
Ромб a2⋅sin⁡α,12bc{\displaystyle a^{2}{\cdot }\sin \alpha ,{\tfrac {1}{2}}bc} a{\displaystyle a} — сторона ромба, α{\displaystyle \alpha } — внутренний угол, b,c{\displaystyle b,c} — диагонали.
Параллелограмм b⋅h{\displaystyle b{\cdot }h} b{\displaystyle b} — длина одной из сторон параллелограмма, а h{\displaystyle h} — высота, проведённая к этой стороне.
Трапеция 12⋅(a+b)⋅h{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\cdot }(a+b){\cdot }h} a{\displaystyle a} и b{\displaystyle b} — длины параллельных сторон, а h{\displaystyle h} — расстояние между ними (высота).
Четырёхугольник 12⋅m⋅n⋅sin⁡ϕ{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\cdot }m{\cdot }n{\cdot }\sin \phi } n{\displaystyle n} и m{\displaystyle m} — длины диагоналей, и ϕ{\displaystyle \phi } — угол между ними.
Правильный шестиугольник 3⋅32⋅a2{\displaystyle {\tfrac {3{\cdot }{\sqrt {3}}}{2}}{\cdot }a^{2}} a{\displaystyle a} — длина стороны шестиугольника.
Правильный восьмиугольник 2⋅(1+2)⋅a2{\displaystyle 2{\cdot }(1+{\sqrt {2}}){\cdot }a^{2}} a{\displaystyle a} — длина стороны восьмиугольника.
Правильный многоугольник n⋅a24⋅tan⁡(π/n){\displaystyle {\frac {n{\cdot }a^{2}}{4{\cdot }\tan(\pi /n)}}} a{\displaystyle a} — длина стороны многоугольника, а n{\displaystyle n} — количество сторон многоугольника.
12⋅a⋅p{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\cdot }a{\cdot }p} a{\displaystyle a} — апофема (или радиус вписанной в многоугольник окружности), а p{\displaystyle p} — периметр многоугольника.
Произвольный многоугольник 12|∑i=0n−1det(xixi+1yiyi+1)|{\displaystyle {1 \over 2}\left|\sum _{i=0}^{n-1}\det {\begin{pmatrix}x_{i}&x_{i+1}\\y_{i}&y_{i+1}\end{pmatrix}}\right|} Формула площади Гаусса. (xi,yi){\displaystyle (x_{i},y_{i})} — координаты вершин n{\displaystyle n}-угольника, (xn,yn)=(x0,y0){\displaystyle (x_{n},y_{n})=(x_{0},y_{0})}
Круг π⋅r2{\displaystyle \pi {\cdot }r^{2}} или π⋅d24{\displaystyle {\frac {\pi {\cdot }d^{2}}{4}}} r{\displaystyle r} — радиус окружности, а d{\displaystyle d} — её диаметр.
Сектор круга 12⋅r2⋅θ{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\cdot }r^{2}{\cdot }\theta } r{\displaystyle r} и θ{\displaystyle \theta } — соответственно радиус и угол сектора (в радианах).
Эллипс π⋅a⋅b{\displaystyle \pi {\cdot }a{\cdot }b} a{\displaystyle a} и b{\displaystyle b} — большая и малая полуоси эллипса.

wiki.sc

Определение площади

Площадь это:

Площадь У этого термина существуют и другие значения, см. Площадь (значения). Размерность Единицы измерения СИ СГС Примечания
Площадь

м²

см²

скаляр

Площадь — численная характеристика двумерной (плоской или искривлённой) геометрической фигуры[1], неформально говоря, показывающая размер этой фигуры. Исторически вычисление площади называлось квадратурой. Фигура, имеющая площадь, называется

квадрируемой. Конкретное значение площади для простых фигур однозначно вытекает из предъявляемых к этому понятию практически важных требований (см. ниже). Фигуры с одинаковой площадью называются равновеликими.

Общий метод вычисления площади геометрических фигур предоставило интегральное исчисление. Обобщением понятия площади стала теория меры множества, пригодная для более широкого класса геометрических объектов.

Для приближенного вычисления площади на практике используют палетку или специальный измерительный прибор — планиметр.

Содержание

  • 1 Свойства
  • 2 Общий метод определения площади
    • 2.1 Площадь плоской фигуры
      • 2.1.1 Декартовы координаты
      • 2.1.2 Полярные координаты
    • 2.2 Площадь поверхности
  • 3 Единицы измерения площади
    • 3.1 Метрические единицы
    • 3.2 Русские устаревшие
    • 3.3 Античные
  • 4 Формулы вычисления площадей простейших фигур
    • 4.1 Планиметрические фигуры
    • 4.2 Формулы для вычисления площади круга, его частей, описанных и вписанных в круг фигур
    • 4.3 Формулы для вычисления площади поверхности тел в пространстве
  • 5 См. также
  • 6 Литература
  • 7 Ссылки
  • 8 Примечания

Свойства

  • Площадь единичного квадрата равна 1.
  • Площадь аддитивна.
  • Площадь неотрицательна.
  • Площади конгруэнтных фигур равны.

Для фигур на плоскости, не состоящих из целого количества единичных квадратов, а также для искривлённых трёхмерных поверхностей, площадь определяется с помощью предельного перехода; при этом требуется, чтобы как фигура, так и её граница были кусочно-гладкими[2].

Общий метод определения площади

Площадь плоской фигуры
Декартовы координаты
Определённый интеграл как площадь фигуры Площадь между графиками двух функций равна разности интегралов от этих функций в одинаковых пределах интегрирования

Площадь, заключённая между графиком непрерывной функции на интервале и горизонтальной осью, может быть вычислена как определённый интеграл от этой функции:

Площадь, заключённая между графиками двух непрерывных функций на интервале находится как разность определённых интегралов от этих функций:

Полярные координаты

В полярных координатах: площадь, ограниченная графиком функции и лучами .

Площадь поверхности
Основная статья: Площадь поверхности

Площадь искривлённой поверхности

A, заданной вектор-функцией , даётся двойным интегралом:

То же в координатах:

Здесь .

Единицы измерения площади

Метрические единицы
  • Квадратный километр, 1 км² = 1 000 000 м²
  • Гектар, 1 га = 10 000 м²
  • Ар (сотка), 1 а = 100 м²
  • Квадратный метр, производная единица системы СИ 1 м² = 1 са (сантиар)
  • Квадратный дециметр, 100 дм² = 1 м²;
  • Квадратный сантиметр, 10 000 см² = 1 м²;
  • Квадратный миллиметр, 1 000 000 мм² = 1 м².
Русские устаревшие
  • Квадратная верста = 1,13806 км²
  • Десятина = 10925,4 м²
  • Копна = 0,1 десятины — сенные покосы меряли копнами
  • Квадратная сажень = 4,55224 м²

Мерами земли при налоговых расчетах были выть, соха, обжа, размеры которых зависели от качества земли и социального положения владельца. Существовали и различные местные меры земли:

коробья, веревка, жеребья и др.

Античные

Формулы вычисления площадей простейших фигур

Планиметрические фигуры
Фигура Формула Переменные
Квадрат  — длина стороны квадрата.
Правильный треугольник  — длина стороны треугольника.
Правильный шестиугольник  — длина стороны шестиугольника.
Правильный восьмиугольник  — длина стороны восьмиугольника.
Правильный многоугольник  — периметр, а  — количество сторон.
Прямоугольный треугольник и  — катеты треугольника.
Произвольный треугольник
 — сторона треугольника,  — высота, проведенная к этой ст

zna4enie.ru

Определение площади сложной фигуры с помощью теории вероятностей / Habr

Зачем определять площадь сложной фигуры?

Да мало ли зачем. Например, возникла необходимость определить площадь территории на карте. Конечно, можно посмотреть в справочнике или поискать в интернете, но иногда и территории бывают нестандартными — допустим, вы озаботились проблемами лесов в пойме Амазонки и хотите ежемесячно измерять площадь зелёных пятен на фотографиях со спутника. Если вы ботаник (в хорошем смысле слова), то вам может понадобиться измерить площадь листовой поверхности разных сортов одного растения. Или, к примеру, более прозаичная задача — нужно зашпатлевать кусок стены, а банки шпатлёвки хватает только на 1 кв. м. — нужно выяснить, покупать одну банку или раскошелиться на две.
В чём сложность нахождения площади?

Конечно, если фигура представляет собой прямоугольник, круг или, что хуже, эллипс, то проблема решается с помощью Google и калькулятора. Но где бы найти формулу, да попроще, для нахождения площади, скажем, такого рисунка?
Теория вероятностей, Ваш выход!

Сразу оговорюсь, что теория вероятностей по своей сути не подразумевает точного решения задач. Так будет и в этом случае — если вам нужна космическая точность, то предлагаю копать в сторону методов имитационного моделирования. Если же погрешность в пределах 2-5% вас вполне устраивает, то будет достаточно того же калькулятора, базовых навыков программирования и умения считать до ста.
Суть метода

Суть метода проста до банальности. Допустим, мы пасмурным деньком выложили капустный листочек (см. ремарку про биолога выше) на прямоугольный поддон, а поддон выставили под накрапывающий дождик. А потом засекли определённое время (к примеру, пять минут) и посчитали, сколько капелек упало на поддон, а сколько непосредственно на лист. Если принять во внимание, что дождь обычно капает равномерно, то получается простая пропорция — лист во столько раз меньше поддона, во сколько раз на него упало меньше капель дождя, чем на весь поддон.
Возвращаемся к нашей фигуре

Итак, как же определить площадь той розовой пятерни? Да очень просто — заключить фигуру в прямоугольные границы и проставить случайным образом много точек. Чем больше, тем лучше (в соответствии с законом больших чисел). А потом подсчитать количество точек, попавших на фигуру.

Я намеренно не обсуждаю вопросы реализации такого алгоритма, потому что вариантов масса. Можно просто закрыть глаза и наугад тыкать шариковой ручкой, а можно действовать более научно — с помощью языков программирования. Например, код на PHP занял у меня не больше 15 строчек, а в результате получилось вот что:

Точки общим числом 300, разумеется, проставлены с помощью генератора случайных чисел. Для удобства подсчета точек я разбил изображение на 36 секторов — теперь нужно подсчитать количество точек, попавших на изображение, в каждом секторе, а результаты сложить. Сведём данные в таблицу (ячейка таблицы соответствует сектору на картинке):

0 4 8 4 0 0
0 7 5 6 0 4
3 6 13 7 8 5
1 10
10
13 7 2
0 2 3 7 10 2
0 0 2 5 3 0

Теперь у нас есть все данные для того, чтобы вычислить площадь розовой пятерни:
площадь описанного прямоугольника — 20 см х 20 см = 400 кв. см;
количество точек в прямоугольнике — 300;
количество точек внутри фигуры (сумма значений из таблицы) — 157;
площадь фигуры — 209,33 кв. см.
И насколько это точно?

Действительно, осталось определиться с точностью данного метода. Конечно, всё зависит от количества точек, и здесь нужно соблюдать золотую середину — десяти для нашего примера было бы явно недостаточно, а от тысячи слишком рябило бы в глазах. Поэтому попробуем определить погрешность для трёхсот точек и описанного квадрата со стороной 20 см. Для этого возьмём фигуру, площадь которой нам известна заранее. Например, такую:

Проставляем точки:

Результаты заносим в таблицу:

0 6 11 8 5 0
9 15 8 5 13 2
11 8 5 14 13 5
10 11 8 8 4 4
2 14 9 10 4 1
0 3 5 6 0 0

Рассчитываем площадь фигуры:
площадь описанного прямоугольника — 20 см х 20 см = 400 кв. см;

количество точек в прямоугольнике — 300;
количество точек внутри фигуры (сумма значений из таблицы) — 237;
площадь фигуры — 316 кв. см.

Нетрудно посчитать, что реальная площадь круга с радиусом 10 см составляет 314,16 кв. см. Таким образом, погрешность метода составила 0,59%, чего в большинстве случаев достаточно для прикладного использования.

habr.com

Все площади геометрических фигур, формулы

Дата публикации

 

Существует бесконечное количество плоских фигур самой разной формы, как правильных, так и неправильных. Общее свойство всех фигур – любая из них обладает площадью. Площади фигур – это размеры части плоскости, занимаемой этими фигурами, выраженные в определенных единицах. Величина эта всегда бывает выражена положительным числом. Единицей измерения служит площадь квадрата, чья сторона равняется единице длины (например, одному метру или одному сантиметру). Приблизительное значение площади любой фигуры можно вычислить, умножив количество единичных квадратов, на которые она разбита, на площадь одного квадрата.

Другие определения данного понятия выглядят следующим образом:

1. Площади простых фигур – скалярные положительные величины, удовлетворяющие условиям:

– у равных фигур – равные величины площадей;

– если фигура делится на части (простые фигуры), то ее площадь – сумма площадей данных фигур;

– квадрат, имеющий стороной единицу измерения, служит единицей площади.

2. Площади фигур сложной формы (многоугольников) – положительные величины, имеющие свойства:

– у равных многоугольников – одинаковые величины площадей;

– в случае, если многоугольник составляют несколько других многоугольников, его площадь равняется сумме площадей последних. Это правило справедливо для неперекрывающихся многоугольников.

В качестве аксиомы принято утверждение, что площади фигур (многоугольников) – положительные величины.

Определение площади круга дается отдельно как величины, к которой стремится площадь правильного многоугольника, вписанного в окружность данного круга – при том, что число его сторон стремится к бесконечности.

Площади фигур неправильной формы (произвольных фигур) не имеют определения, определяются лишь способы их вычисления.

Вычисление площадей уже в древности было важной практической задачей при определении размеров земельных участков. Правила вычисления площадей за несколько сотен лет до нашей эры были сформулированы греческими учеными и изложены в «Началах» Евклида как теоремы. Интересно, что правила определения площадей простых фигур в них – те же, что и в настоящее время. Площади геометрических фигур, имеющих криволинейный контур, рассчитывались с применением предельного перехода.

Читайте также: отель в Мадриде 2 звезды

Вычисление площадей простых фигур (треугольника, прямоугольника, квадрата), знакомых всем со школьной скамьи, достаточно просто. Необязательно даже запоминать содержащие буквенные обозначения формулы площадей фигур. Достаточно помнить несколько простых правил:

1. Чтобы рассчитать площадь квадрата, нужно длину его стороны умножить саму на себя (или возвести во вторую степень).

2. Площадь прямоугольника вычисляется умножением его длины на ширину. При этом необходимо, чтобы длина и ширина были выражены в одних и тех же единицах измерения.

3. Площадь сложной фигуры вычисляем, разделив ее на несколько простых и сложив полученные площади.

4. Диагональ прямоугольника делит его на два треугольника, чьи площади равны и равняются половине его площади.

5. Площадь треугольника вычисляется как половина произведения его высоты и основания.

6. Площадь круга равняется произведению квадрата радиуса на всем известное число «π».

7. Площадь параллелограмма вычисляем как произведение смежных сторон и синуса лежащего между ними угла.

8. Площадь ромба – ½  результата умножения диагоналей на синус внутреннего угла.

9. Площадь трапеции находим умножением ее высоты на длину средней линии, которая равняется среднему арифметическому оснований. Другой вариант определения площади трапеции – перемножить ее диагонали и синус лежащего между ними угла.

Детям в начальной школе для наглядности часто даются задания: найти площадь нарисованной на бумаге фигуры с помощью палетки или листа прозрачной бумаги, разграфленной на клеточки. Такой лист бумаги накладывается на измеряемую фигуру, считается число полных клеточек (единиц площади), поместившихся в ее контуре, затем число неполных, которое делится пополам.



Опубликовано в Образование и наука

Добавить комментарий

www.vigivanie.com

Площадь фигуры — Википедия

Площадь плоской фигуры — аддитивная числовая характеристика фигуры, целиком принадлежащей одной плоскости. В простейшем случае, когда фигуру можно разбить на конечное множество единичных квадратов, площадь равна числу квадратов.

Об определении[править]

Формальное введение понятия площадь и объём можно найти в статье мера Жордана, здесь мы приводим лишь намётки определения с комментариями.

Площадь — это вещественнозначная функция, определённая на определённом классе фигур евклидовой плоскости и удовлетворяющая четырём условиям:

  1. Положительность — площадь неотрицательна;
  2. Нормировка — квадрат со стороной единица имеет площадь 1;
  3. Конгруэнтность — конгруэнтные фигуры имеют равную площадь;
  4. Аддитивность — площадь объединения двух фигур без общих внутренних точек равна сумме площадей.

Определённый класс должен быть замкнут относительно пересечения и объединения, а также относительно движений плоскости и включать в себя все многоугольники. Из этих аксиом следует монотонность площади, то есть

  • Если одна фигура принадлежит другой фигуре, то площадь первой не превосходит площади второй:

Чаще всего за «определённый класс» берут множество квадрируемых фигур. Фигура называется квадрируемой, если для любого существует пара многоугольников и , такие что и , где обозначает площадь .

Связанные определения[править]

  • Две фигуры называются равновеликими, если они имеют равную площадь.

Существует математически строгий, но неоднозначный способ определить площадь для всех ограниченных подмножеств плоскости. То есть на множестве всех ограниченных подмножеств плоскости существуют различные функции площади, удовлетворяющие вышеприведённым аксиомам, а множество квадрируемых фигур является максимальным множеством фигур, на которых площадь определяется однозначно.

То же самое можно сделать для длины на прямой, но нельзя для объёма в евклидовом пространстве и также нельзя для площади на единичной сфере в евклидовом пространстве, (смотри соответственно парадокс удвоения шара и парадокс Хаусдорфа).

Площади некоторых фигур[править]

Формулы для нахождения площадей различных фигур[править]

Фигура Формула Комментарий
Правильный треугольник  — длина стороны треугольника.
Треугольник Формула Герона.  — полупериметр, , и  — длины сторон треугольника.
Треугольник и  — две стороны треугольника, а  — угол между ними.
Треугольник и  — сторона треугольника и высота, проведённая к этой стороне.
Квадрат  — длина стороны квадрата.
Прямоугольник и  — длины сторон прямоугольника.
Ромб  — сторона ромба,  — внутренний угол,  — диагонали.
Параллелограмм  — длина одной из сторон параллелограмма, а  — высота, проведённая к этой стороне.
Трапеция и  — длины параллельных сторон, а  — расстояние между ними (высота).
Правильный шестиугольник  — длина стороны шестиугольника.
Правильный восьмиугольник  — длина стороны восьмиугольника.
Правильный многоугольник  — длина стороны многоугольника, а  — количество сторон многоугольника.
 — апофема (или радиус вписанной в многоугольник окружности), а  — периметр многоугольника.
Круг или  — радиус окружности, а  — её диаметр.
Сектор круга и  — соответственно радиус и угол сектора (в радианах).
Эллипс и  — большая и малая полуоси эллипса.
Поверхность Цилиндра и  — радиус и высота цилиндра соответственно.
Боковая поверхность цилиндра и  — радиус и высота цилиндра соответственно.
Поверхность конуса и  — радиус и длина образующей соответственно.
Боковая поверхность конуса и  — радиус и длина образующей соответственно.
Поверхность сферы и  — радиус и диаметр соответственно.
Поверхность эллипсоида См. статью.
  • Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, проведенную к этой стороне:
  • Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон:
  • Площадь произвольного четырехугольника ABCD равна половине произведения диагоналей и синуса угла между ними:
    ,
где  — угол между диагоналями.
  • Площадь ромба ABCD равна половине произведения диагоналей:
  • Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, проведенную к этой стороне:
  • Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:
  • В.Болтянский, О понятиях площади и объёма. Квант, № 5, 1977
  • Б. П. Гейдман, Площади многоугольников, Библиотека «Математическое просвещение», выпуск 16, (2002).
  • В. А. Рохлин, Площадь и объём, Энциклопедия элементарной математики, Книга 5, Геометрия, под редакцией П. С. Александрова, А. И. Маркушевича и А. Я. Хинчина.

www.wiki-wiki.ru

Площадь фигуры Википедия

Площадь плоской фигуры — аддитивная числовая характеристика фигуры, целиком принадлежащей одной плоскости. В простейшем случае, когда фигуру можно разбить на конечное множество единичных квадратов, площадь равна числу квадратов.

Об определении[ | ]

Формальное введение понятия площадь и объём можно найти в статье мера Жордана, здесь мы приводим лишь намётки определения с комментариями.

Площадь — это вещественнозначная функция, определённая на определённом классе фигур евклидовой плоскости и удовлетворяющая четырём условиям:

  1. Положительность — площадь неотрицательна;
  2. Нормировка — квадрат со стороной единица имеет площадь 1;
  3. Конгруэнтность — конгруэнтные фигуры имеют равную площадь;
  4. Аддитивность — площадь объединения двух фигур без общих внутренних точек равна сумме площадей.

При этом определённый класс должен быть замкнут относительно пересечения и объединения, а также относительно движений плоскости и включать в себя все многоугольники. Из этих аксиом следует монотонность площади, то есть

  • Если одна фигура принадлежит другой фигуре, то площадь первой не превосходит площади второй:

Чаще всего за «определённый класс» берут множество квадрируемых фигур. Фигура F{\displaystyle F} называется квадрируемой, если для любого ε>0{\displaystyle \varepsilon >0} существует пара многоугольников P{\displaystyle P} и Q{\displaystyle Q}, такие что P⊂F⊂Q{\displaystyle P\subset F\subset Q} и S(Q)−S(P)<ε{\displaystyle S(Q)-S(P)<\varepsilon }, где S(P){\displaystyle S(P)} обозначает площадь P{\displaystyle P}.

Примеры квадрируемых фигур

ru-wiki.ru

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *