Определение 9. Транспонированием A матрицы называется такое ее преобразование, при котором строки матрицы становятся ее столбцами с теми же самыми номерами.
Матрица транспонированная матрице A обозначается символом :
.
Свойство 1. Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы, т. е. .
Доказательство. ОПределителя матрицы А есть алгебраическая сумма N! произведений вида
(11)
Где в каждое произведение входит по одному элементу из каждой строки и каждого столбца матрицы A, со знаком равным знаку подстановки
.
Так как сомножители произведения (11) также находятся по одному в каждом столбце и каждой строке матрицы , то каждое произведение определителя матрицы A входит в определитель матрицы . Отсюда. так как количество слагаемых в и в одинаково, следует, что и в состоят из одних и тех же слагаемых. Для того, чтобы показать, что знаки произведений равны, составим подстановку для произведения (11) в (учитываем, что строки матрицы
.
Подстановки иИмеют одинаковое число инверсий, четность и знак.
Таким образом и суммы одних и тех же произведений и поэтому . Свойство доказано.
Замечание 1. Из свойства 1 вытекает, что строки и столбцы матрицы Равноправны, т. е., если какое-нибудь свойство доказано для строк, то оно будет справедливо и для столбцов и обратно. Поэтому дальнейшие свойства формулируются и доказываются только для строк. В дальнейшем под строками и столбцами определителя понимаются строки и столбцы соответствующей матрицы.
Свойство 2. Если в матрице поменять местами две строки, то абсолютная величина определителя не меняется, а знак определителя меняется на противоположный.
Доказательство. Пусть даны исходный и преобразованный определитель:
. (12)
Определитель Получается из определителя D перестановкой I-й и J-й строк (точками обозначены все остальные строки, которые в D и Совпадают. Требуется доказать, что D= -.
ОПределитель D есть алгебраическая сумма N! произведений вида
, (13)
Где в каждое произведение входит по одному элементу из каждой строки и каждого столбца определителя D, со знаком равным знаку подстановки
.
Так как сомножители произведения (13) также находятся по одному в каждом столбце и каждой строке определителя , то каждое произведение определителя D входит в определитель . Отсюда, так как количество слагаемых в D и одинаково, следует, что D и состоят из одних и тех же произведений, Для того, чтобы показать, что D= —, достаточно показать, что каждое произведение (13) определителях D и Имеет противоположные знаки. Знак произведения (13) в определителе равен знаку подстановки:
(учитываем, что элемент Лежит в определителе в J-й строке в-м столбце, элемент — в I-й строке и в -м столбце). У подстановок и Совпадают вторые строки, а первая строка подстановки Получена из первой строки подстановки транспозицией элементов I и J . Поэтому в силу теоремы 2 подстановки и Имеют противоположную четность и знак. Отсюда образом произведение (13) входит в определители D и с противоположным знаком. Таким образом определители D и суммы одних и тех же произведений, но с противоположными знаками и D= —. . Свойство доказано.
Свойство 3. Если в определителе есть две одинаковые строки, то определитель равен нулю.
Доказательство. Пусть в определителе D I-я строка равна j-й строке. Переставим I-ю и J-ю строки местами и получим определитель (см.(13)). По свойству 2 D= —. Так как I-я и J-я строки равны, то D= . Из этих равенств находим, что D= 0. Свойство доказано.
Свойство 4. Если в определителе есть нулевая строка, то определитель равен нулю.
Доказательство. Пусть в определителе I-я строка нулевая. По определению определителя он равен алгебраической сумме произведений вида:
.
В каждое произведение входит нулевой элемент I-й строки и поэтому оно равно нулю. Следовательно, и определитель равен нулю. Свойство доказано.
Свойство 5. Если все элементы какой-нибудь строки определителя представлены в виде двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, в первом из которых элементы отмеченной строки равны соответствующим первым слагаемым, во втором — вторым слагаемым.
Пусть все элементы I-й строки представлены в виде ; J=1,2,…,N. Тогда свойство перепишется в виде:
= .
Доказательство. По формуле (8) находим
= .
Свойство доказано.
Замечание 2. Индукцией по m легко доказать, что свойство 5 справедливо для случая, когда каждый элемент i-й строки сумма m слагаемых, .
Свойство 6. Если все элементы какой-нибудь строки определителя имеют общий множитель, то его можно вынести за знак определителя, т. е., если элементы какой-нибудь строки определителя умножить на число k, то и сам определитель умножится на число k.
.
Доказательство. По формуле (8) находим
Свойство доказано.
Свойство 7. Если в определителе есть две пропорциональны строки, то он равен нулю.
Доказательство. Пусть I-я и J-я строки определителя пропорциональны, т. е. . Вынося из J-й общий множитель K за знак определителя, получим определитель с двумя равными строками, который равен нулю. Поэтому и исходный определитель равен нулю. Свойство доказано.
Свойство 8. Если к какой-нибудь строке определителя прибавить другую строку, умноженную на число k, то определитель от этого не изменится.
Доказательство. Пусть к I-й строке определителя прибавили ее J-ю строку, умноженную на число K . Тогда по свойствам 5 и 7 получаем:
Свойство доказано.
Определение 10. Говорят, что I-я строка матрицы A есть линейная комбинация остальных строк определителя, если существуют такие числа , что каждый элемент I-й строки есть сумма попарных произведений этих чисел на соответствующие элементы остальных строк матрицы, т. е.
Свойство 9. Если какая-нибудь строка определителя есть линейная комбинация остальных строк определителя, то определитель равен нулю.
Доказательство. Если I-я строка определителя есть линейная комбинация остальных строк определителя, то по замечанию 2 определитель равен сумме n-1 определителей с пропорциональными строками, и по свойству 7 все такие определители равны нулю. Тогда и исходный определитель равен нулю. Свойство доказано.
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
matica.org.ua
Свойство 1. (Определитель транспонированной матрицы) — КиберПедия
При транспонированииопределитель матрицыне меняется.
Другими словами, определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы.
Это означает, что строки и столбцы определителя равноправны.
▲ Заменив вопределителе (2.8) каждую строку столбцом с тем же номером, получим новый определитель
Сравнивая это равенство с равенством (2.8), заключаем, что определители равны, т.к. равны правые части указанных равенств. ▼
Свойство 2. (Антисимметричность (перестановка двух строк))
При перестановке двух строк (столбцов) определительменяет знак.
▲ В определителе (2.8) переставим, например, второй и третий столбцы.
Тогда
Алгебраическая сумма в скобке равна правой части формулы (2.8),
новый определитель отличается от исходного определителя
только знаком.
Другие случаи рассматриваются аналогично. ▼
Свойство 3
Определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен нулю.
▲ Определитель (2.8) обозначим через символ .
Пусть он содержит два одинаковых столбца.
.
Переставивэти столбцы, получим тот же определитель .
С другой стороны, по свойству 2 определитель изменит знак, т.е.
, откуда . ▼
Свойство 4
Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя состоят из нулей
, то определитель равен нулю.▲ В самом деле, в каждое произведение алгебраической суммы в правой части (2.8) входит один элемент строки (столбца), состоящей из нулей.
Поэтому все слагаемые, из которых состоит определитель, будут равны нулю. ▼
Свойство 5. (Вынесение общего множителя)
Множитель, общий для элементов некоторой строки (столбца), можно выносить за знак определителя.
▲ Пусть в определителе (2.8) элементы второго столбца имеют общий множитель .
Тогда
,
т.к.
.
Аналогично рассматриваются случаи
Следствие. Если квадратная матрица порядка и – вещественное число, то определитель матрицы есть ;
иначе говоря,
.
▲ В этом случае является сомножителем каждой из строк (столбцов) матрицы .
Если вынести из каждой строки (столбца) определителя, то остается . ▼
Свойство 6
Определитель, содержащий две пропорциональные строки (столбца) равен нулю.
▲ Действительно, выделяя общий множительэлементов (коэффициент пропорциональности) одной из этих строк (столбцов) и вынося его за знакопределителя, получаем определительс двумя одинаковыми столбцами, равныйнулю. ▼
Свойство 7
Если все элементы строки ( столбца) определителя представлены в виде суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей,у которых все строки (столбцы),
кроме строки ( столбца), те же, что и у данного определителя,
строка ( столбец) одного определителя состоит из первых слагаемых элементов строки ( столбца) данного определителя,
а строка ( столбец) другого определителя – из вторых слагаемых элементов строки ( столбца).
Доказать самостоятельно.
Свойство 8. (Прибавление кратной строки)
Определитель не изменится, если к элементам одной из его строк (столбцов) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на один и тот же множитель.
▲ Пусть, например, к элементам 3-го столбцаопределителя (2.8) прибавлены соответствующие элементы 2-го столбца, умноженные на множитель .
Тогда
,
поскольку
. ▼
Замечание.
(Добавление строки к строке,умноженной на число.)
Как было показано, добавление строки, умноженной на число, к другой строке не влияет на величину определителя.
Заметим, однако, что добавление строки к другой строке, умноженной на число, не является тем же самым и приводит к иным результатам.
Например, добавляяк первой строке, умноженной на число , вторую строку, получим определитель
.
Это происходит в связи с тем, что получают путем умноженияпервой строки на и добавления к нейвторой строки.
Первый из этих двух шагов, как было показано, изменяет на , а второй не изменяет этой величины.
Отсюда .
Таким образом, в то время как строка, умноженная на число и добавленная к строке, не оказывает влияния наопределитель,
добавление строки к строке, умноженной на число, имеетсвоим последствием то, что определитель оказывается умноженным на этот множитель.
Эти же действия справедливы для столбца.
Применяя вышеуказанные свойстваопределителей, можно упростить задачу вычисленияопределителей.
Преобразования, не изменяющие величинуопределителя, называются элементарными.
cyberpedia.su
Транспонирование матрицы онлайн
Транспонирование матриц
Пусть имеется прямоугольная матрица А размером m x n.
Если поменять строки этой матрицы на столбцы, то получится новая матрица размером n x m, которая называется
транспонированной по отношению к А и обозначается АT.
Операция транспонирования матрицы обозначается буквой T в правом верхнем углу над матрицей. Например:
Транспонированная матрица обладает рядом свойств:
- Если исходная матрица
Aквадратная, то её определитель равен определителю транспонированной матрицыdet A = det АT - Если исходную матрицу
Aтранспонировать дважды, получится сама исходная матрица:(АT)T = A - Транспонированная сумма матриц равна сумме транспонированных матриц
(А + B)T = АT + BT - Транспонированное произведение матриц равно произведению транспонированных матриц, взятых в обратном порядке
(А · B)T = BT · АT - Транспонированное призведение матрицы и числа равно прозведению транспонированной матрицы и числа:
(с · А)T = с · (A)T
Вы также можете
в качестве элементов матрицы вводить целые и дробные числа, а также выражения с переменной x
(например, в ячейку матрицы можно ввести 2x, или sin(x), или даже ((x+2)^2)/lg(x)).
Полный список доступных функций можно найти в справке.
www.yotx.ru
Свойства определителей. Правило знаков » ProcMem.Ru Линейная Алгебра
Теорема. (Правило знаков.)
, (2)
где и суммирование происходит по всем членам определителя.
Доказательство. Для того, чтобы вычислить знак члена определителя нужно упорядочить сомножители так, чтобы индексы строк образовали начальную перестановку . Этого можно добиться транспозицией сомножителей. Допустим, что нам потребовалось для этого t транспозиций и мы получили член определителя в виде и, по определению, его знак равен .
С другой стороны, первоначальные перестановки строк и столбцов претерпели изменения:
, .
Так как этот переход произошел за t транспозиций, то четность перестановки строк не изменится, если t четное число и изменится на противоположное, если t нечетное число. Это можно отобразить формулой:
.
Аналогично и для перестановки столбцов
.
Отсюда следует, что
, ч.т.д.
Теорема доказана.
Теорема. (Определитель транспонированной матрицы.)
Определитель квадратной матрицы не меняется при транспонировании, т.е.
. (3)
Доказательство. Пусть
(4)
– произвольный член определителя матрицы А и
(5)
– его знак.
При транспонировании матрицы элемент переходит на место элемента , т.е. номер строки меняется местом с номером столбца, поэтому произведение (4) после транспонирования остается членом определителя транспонированной матрицы и он в алгебраической сумме для определителя матрицы принимает вид
и его знак, как это следует из формулы (5) остается прежним. Таким образом, при транспонировании матрицы А, каждый член определителя матрицы А переходит в член определителя матрицы , причем с тем же самым знаком, откуда и следует равенство (3).
Теорема доказана.
Замечание. Последняя теорема устанавливает равноправие строк и столбцов определителя, т.е. любое свойство определителя, которое верно для его строк остается верным и для его столбцов и наоборот.
Действительно, если какое-то свойство верно для строк любого определителя, то оно верно и для строк матрицы А и для строк матрицы , которые являются столбцами матрицы А, т.е это свойство верно и для столбцов любого определителя.
Еще записи по теме
procmem.ru
Свойства операции транспонирования матриц:
Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы.
43Свойство линейности определителя. Свойства определителя, выражающие условия равенства его нулю. Операции над строками столбцами), не меняющие определителя.
1. Равноправие строк и столбцов. При транспонировании матрицы ее определитель не меняется.2. Если все элементы какого-либо столбца (строки) определителя равны нулю, то определитель также равен нулю. Это свойство очевидно, так как каждое слагаемое содержит по одному и только одному сомножителю из каждого столбца (строки). 3. Антисимметрия. При перестановке двух любых столбцов (строк) определителя его знак меняется на противоположный, а абсолютная величина остается неизменной.Доказательство свойств 1 и 3 основано на правиле расстановки знаков членов определителя.4. Определитель с двумя одинаковыми столбцами (строками) равен нулю.Действительно, при перестановке, например, двух одинаковых столбцов определитель не изменяется, но вместе с тем он в силу третьего свойства меняет знак на обратный, т. е.
, откуда или .5. Линейность. Если j—й столбец (i-я строка A) определителя det A является линейной комбинацией A λB + μC (A λB + μC) двух произвольных столбцов (строк) В и С , то и сам определитель оказывается линейной комбинацией det A det A(λB + μC) λdet A(B) + μdet A(C) определителей det A(B) и detA(C). Здесь det A(B) (det A(C)) – определитель, полученный из определителя det А заменой в нем j-го столбца A на столбец В (столбец С ).6. Общий множитель всех элементов какого-либо столбца (строки) определителя можно вынести за его знак. Отсюда следует, что если какой-либо столбец (строку) определителя умножить на число λ, то сам определитель умножится на это число.7. Если какой-либо столбец (строка) определителя является линейной комбинацией других его столбцов (строк), то определитель равен нулю.Свойства 6 и 7 вытекают из пятого свойства.8. Определитель не изменится, если к любому его столбцу (строке) прибавить произвольную линейную комбинацию его столбцов (строк).Действительно, в силу линейности определитель равен сумме исходного определителя и определителя с двумя одинаковыми столбцами (строками).9. Определитель суммы двух квадратных матриц одного и того же порядка n A и В , i, j = равен сумме всех различных определителей порядкаn, которые могут получиться, если часть строк (столбцов) брать совпадающими с соответствующими строками (столбцами) матрицы А, а оставшуюся часть – совпадающими с соответствующими строками (столбцами) матрицы В.Доказательство следует из свойства линейности определителя.10. Определитель произведения двух матриц равен произведению их определителей det (AВ) det A×det B.
44Минор, дополнительный минор. Алгебраические дополнения. Теорема о разложении определителя по строке (столбцу)
Минором элемента матрицы n-го порядка называется определитель матрицы (n-1)-го порядка, полученный из матрицы А вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.
При выписывании определителя (n-1)-го порядка, в исходном определителе элементы находящиеся под линиями в расчет не принимаются.
Дополнительный минор квадратнойматрицы порядка() —определитель матрицы, полученной из исходной вычеркиванием строк истолбцов.
Алгебраическим дополнением Аij элемента аij матрицы n-го порядка называется его минор, взятый со знаком, зависящий от номера строки и номера столбца:то есть алгебраическое дополнение совпадает с минором, когда сумма номеров строки и столбца – четное число, и отличается от минора знаком, когда сумма номеров строки и столба – нечетное число.Рассмотрим квадратную матрицуA n-го порядка. Выберем i,j-ый элемент этой матрицы и вычеркнем i-ую строку и j-ый столбец. В результате мы получаем матрицу (n – 1)-го порядка, определитель которой называется минором элемента и обозначается символом Mi j:
. Алгебраическое дополнение Ai,j элемента ai j определяется формулой .
Теорема о разложении определителя по элементам строки. Определитель матрицы A равен сумме произведений элементов строки на их алгебраические дополнения:
Теоремы о разложении определителя имеют важное значение в теоретических исследованиях. Они устанавливают, что проблема вычисления определителя n-го порядка сводится к проблеме вычисления n определителей (n –1)-го порядка.
studfiles.net
матрицы и определители Лекция 2
Свойства определителей
Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы, т.е.
(7) |
Доказательство.Доказательство проводится с помощью метода математической индукции. Приданное свойство очевидно, так какПредположим, что равенство (7) выполняется для матриц-го порядка и докажем, что оно выполняется для матрицn-го порядка.
Разложим определитель по первой колонне (см. лемму 1), а затем применим лемму 2 и предположение индукции:
Последнее равенство – это разложение определителя по первой строке (см. определение 2).
Из доказанного соотношения вытекает, что все свойства, касающиеся строк определителя, остаются справедливыми и для его колонн.
Числовая иллюстрация.Разложим оба следующих определителя по первой строке:
Если поменять местами две строки определителя, то определитель меняет знак на противоположный.
Доказательство.Доказательство проводится по индукции.
Рассмотрим сначала случай . Имеем:
Докажем теперь это свойство для , когда меняются местами первая и вторая строки. Определители будем раскладывать по первой колонне. Имеем:
–
Случаймы использовали здесь, заменивна.
Доказательство общего случая использует ту же самую идею и мы его опускаем.
Числовая иллюстрация.Вычислим определитель:
Поменяв местами первую и третью строки определителя, вычислим его:
3. Если две какие-либо строки определителя совпадают, то этот определитель равен нулю.
Доказательство.Пусть в квадратной матрицеAдве строки совпадают. Поменяем местами эти две строки и полученную матрицу обозначимB. Ясно, чтоA=B, то есть|A|=|B|. С другой стороны, по свойству 2 Таким образом,, то есть|A|=0.
Числовая иллюстрация.
4. Если какая либо одна строка определителя умножена на постоянный множитель , то этот множитель можно вынести за знак определителя, то есть:
Доказательство.Проведем доказательство для случаяi=1. По определению 2 имеем:
=
Для доказательства общего случая нужно поменять местами первую и i-ю строки определителя, воспользоваться доказанным выше и снова поменять местами первую иi-ю строки.
Числовая иллюстрация.
5. Справедливо равенство:
Доказательство.Сначала следует рассмотреть случайi=1, а затем общий случай свести к рассмотренному, руководствуясь рассуждениями, данными в конце доказательства свойства 4.
Числовая иллюстрация.
Так как в полученных определителях есть одинаковые строки, то согласно свойству 3 они равны нулю. Значит и исходный определитель равен нулю.
6. Если какая-то строка определителя представляет собой линейную комбинацию других строк этого определителя, то данный определитель равен нулю.
Доказательство.Применив к данному определителю свойства 5 и 4, придем к линейной комбинации определителей, содержащих одинаковые строки. По свойству 3 такие определители равны нулю, значит и исходный определитель равен нулю.
Числовая иллюстрация.
+
7. Определитель не изменится, если к элементам одной его строки прибавить соответствующие элементы другой его строки, умноженные на константу.
Доказательство.Точно так же, как для свойства 6, доказательство следует из свойств 5, 4 и 3.
Числовая иллюстрация.
Пусть Прибавим к первой строке этого определителя вторую строку, умноженную на 2. Получим:
8. Определитель равен нулю, если все элементы какой-либо его строки равны нулю.
Доказательство.Это свойство очевидно и его доказательство предоставляется читателю.
Числовая иллюстрация.
9. Пусть AиB– две матрицыn-го порядка. Тогда определитель произведения этих матриц равен произведению их определителей, т.е.
Доказательство.Мы докажем это свойство только для случаяn=2. Если, а, то произведениеопределяется следующим образом:
, |
то есть строки матрицы A умножаются скалярно на столбцы матрицыB. Имеем:
=
studfiles.net
Определитель (детерминант) матрицы. Свойства определителя — КиберПедия
Матрицы. Основные понятия. Линейные операции над матрицами и их свойства
Матрицей называется прямоугольная таблица из чисел, содержащая некоторое количество m строк и некоторое количество п столбцов. Числа из которых составляется матрица называются элементами матрицы. Матрица состоящая из одной строки – строчная, из одного столбца – столбцовая матрица, если столб=строк= квадратная матрица, все элементы 0 – нулевая матрица. Диагональная матрица – квадратная матрица у которой отличной от 0 только элементы главной диагонали. Единичная матрица – матрица у кот.каждый элемента главной диагонали = 1. Симметричная М это квадратная М для которой аij=aij, симметрично вокруг главной диагонали. Трапециидная М. Треугольная М – частный случайтрапециидной М (квадратная матрица у которой по одну сторону от главной диагонали элементы равны 0). Единичная Е – все элементы = 1
Для того чтобы умножить М А на число с, нужно все элементы М умножить на число с. Св-ва с=1 сА=А, с=0 сА=0, с(кА)=(ск)А
Складывать можно М одинаковых размеров. Св-ва А+В=В+А; с(А+В)=сА+сВ …
Определитель (детерминант) матрицы. Свойства определителя
Численная характеристика квадратной матрицы называется ее определителем. Св-ва:
1. При замене строк столбцами величина определителя не меняется.
2. Если поменять 2 строки или 2 столбца определитель поменяет знак.
3. Определитель с двумя одинаковыми рядами равен 0
4. Величина определителя увеличивается в К раз если элементы какого либо его ряда увеличены в К раз
5. Величина определителя =0, если элементы какого либо его ряда =0
6. Определитель, у которого элементы двух строк или столбцов пропорциональны = 0
7. Определитель, у которого элементы какого либо ряда представлены суммой двух слагаемых, = сумме двух определителей.
8. Определитель = сумме произведений элементов какого либо ряда на их алгебраическое дополнение.
9. Величина определителя не изменится, если к элементам какого либо ряда + соотв элементы другого ряда умноженных на число К
Миноры и алгебраические дополнения
Минором Мijaij называется определитель, который получается путем вычеркивания строки с номером i и столбца с номером j
Алгебраическим дополнение Aij для элемента aij называетсяего Минор взятый со знаком (-1)i+j(на нечетных местах меняется знак на -)
Теорема замещения
Сумма произведений произвольных n чисел (с1,с2,с3,сn) на алгебраические дополнения какого либо ряда М порядка n, = определителю матрицы, которая получается из данных, заменой элементов указанного ряда на числа c1,c2,c3
Теорема аннулирования
Сумма произведения элементов одного из рядов определителя на алгебраическое дополнения элементов другого, параллельного ему ряда = 0
Некоторые методы вычисления определителей
Приведение определителя к треугольному виду. Состоит в таком его преобразовании, когда все элементы, лежащие по одну сторону главной диагонали, становятся нулями. Полученный определитель равен произведению элементов главной диагонали
По правилу треугольника
По правилу Саррюса
Умножения матриц. Свойства умножения
. Операция умножения двух матриц выполнима только в том случае, если число столбцов в первом сомножителе равно числу строк во втором; в этом случае говорят, что форма матриц согласована. Св-ва АВ ВА, с(АВ)=(сА)В=А(сВ), …
Транспонирование матриц
М полученная из данных путем замены каждой ее строки столбцом того же номера, называю транспонированной. Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы
Матричная запись системы линейных уравнений и ее решение
В матричном виде линейные уравнения записываются как AX=B, где А, коэффициенты при х, х =есть неизвестные, в = их значения. Решаются с помощью обратной матрицы
Уравнение плоскости, проходящей через данную точку
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0
Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки
(Матрица)
Векторное уравнение прямой
R=ts+r0
Параметрическое и каноническое уравнение прямой
Параметрическое
r0(x0,y0,z0)
s(m,n,p)
r(x,y,z)
Каноническое (исключаем параметр t)
= =
Cosα=m/׀s׀
Угол между прямыми
cosφ=
Уравнение прямой в отрезках
+ + =1
Расстояние от точки до прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
D=
y=kx+b
Цилиндрические поверхности
Поверхность образованная движением образующей (L), которая перемещается в пространстве, сохраняя при это направление и каждый раз пересекая направляющую (K) называется цилиндрической поверхностью или цилиндр
Название цилиндра определяется названием образующей: Эллиптическая (по эллипсу, уравнение эллипса), Круговая…
Эллипсоиды
=1
Гиперболоид
= 1
Параболоид
x2+y2=2px
Конические поверхности
Поверхность, образуемая движением линии АВ , перемещающуюся в пространстве так, что она постоянно проходит через вершину и пересекает направляющую
Функция. Основные понятия. Способы ее задания
Функция- соответствие f, которое каждому элементу x сопоставляет только один у
Множество Х называется областью определения
Множество У называется областью значения
Если элементами х и у являются действительные числа то функция называется числовой
Три способа задания функции: графический, аналитический, табличный
Конечный предел функции
Предел равен конкретному числу
Бесконечный предел функции
Предел равен бесконечности
Односторонние пределы
Число В называется пределом функции слева при х→а, если для любой а последовательности аргументов функции х, значение которых остаются меньше а, последовательность значений этой функции сходится к В
Число В называется пределом функции справа при х→а, если для любой а последовательности аргументов функции х, значение которых остаются меньше а, последовательность значений этой функции сходится к В
Теорема сравнения
Если в окрестности одна функция меньше другой и они имеют предел, то f(x)<g(x) → <
Если функция в окрестности ограничена слева и справа функциями имеющими равные пределы, то существует предел у внутренней функции и он равен двум другим
Первый замечательный предел
Предел отношения синуса к его аргументу равен единице, когда аргумент стремиться к нулю
Второй замечательный предел
Второй замечательный предел имеет вид:
или в другой записи
Производная сложной функции
7) сложная функция равна y=f(u), где u=φ(x) → yx`=yu` ux`
Теорема Коши
Если функции f(x) и φ(x) непрерывны на отрезке [a,b] и дифференцируемsна интервале (a,b) ,причем φ`(x)≠0 для x∈(a;b) , то найдется хотя бы одна точка c∈(a;b) такая, что выполняется неравенство:
Матрицы. Основные понятия. Линейные операции над матрицами и их свойства
Матрицей называется прямоугольная таблица из чисел, содержащая некоторое количество m строк и некоторое количество п столбцов. Числа из которых составляется матрица называются элементами матрицы. Матрица состоящая из одной строки – строчная, из одного столбца – столбцовая матрица, если столб=строк= квадратная матрица, все элементы 0 – нулевая матрица. Диагональная матрица – квадратная матрица у которой отличной от 0 только элементы главной диагонали. Единичная матрица – матрица у кот.каждый элемента главной диагонали = 1. Симметричная М это квадратная М для которой аij=aij, симметрично вокруг главной диагонали. Трапециидная М. Треугольная М – частный случайтрапециидной М (квадратная матрица у которой по одну сторону от главной диагонали элементы равны 0). Единичная Е – все элементы = 1
Для того чтобы умножить М А на число с, нужно все элементы М умножить на число с. Св-ва с=1 сА=А, с=0 сА=0, с(кА)=(ск)А
Складывать можно М одинаковых размеров. Св-ва А+В=В+А; с(А+В)=сА+сВ …
Определитель (детерминант) матрицы. Свойства определителя
Численная характеристика квадратной матрицы называется ее определителем. Св-ва:
1. При замене строк столбцами величина определителя не меняется.
2. Если поменять 2 строки или 2 столбца определитель поменяет знак.
3. Определитель с двумя одинаковыми рядами равен 0
4. Величина определителя увеличивается в К раз если элементы какого либо его ряда увеличены в К раз
5. Величина определителя =0, если элементы какого либо его ряда =0
6. Определитель, у которого элементы двух строк или столбцов пропорциональны = 0
7. Определитель, у которого элементы какого либо ряда представлены суммой двух слагаемых, = сумме двух определителей.
8. Определитель = сумме произведений элементов какого либо ряда на их алгебраическое дополнение.
9. Величина определителя не изменится, если к элементам какого либо ряда + соотв элементы другого ряда умноженных на число К
cyberpedia.su