Mathway | Популярные задачи
| 1 | Найти точное значение | sin(30) | |
| 2 | Найти точное значение | sin(45) | |
| 3 | Найти точное значение | sin(60) | |
| 4 | Найти точное значение | sin(30 град. ) | |
| 5 | Найти точное значение | sin(60 град. ) | |
| 6 | Найти точное значение | tan(30 град. ) | |
| 7 | Найти точное значение | arcsin(-1) | |
| 8 | Найти точное значение | sin(pi/6) | |
| 9 | Найти точное значение | cos(pi/4) | |
| 10 | Найти точное значение | sin(45 град. ) | |
| 11 | Найти точное значение | sin(pi/3) | |
| 12 | Найти точное значение | arctan(-1) | |
| 13 | Найти точное значение | cos(45 град. ) | |
| 14 | Найти точное значение | cos(30 град. ) | |
| 15 | Найти точное значение | tan(60) | |
| 16 | Найти точное значение | csc(45 град. ) | |
| 17 | Найти точное значение | tan(60 град. ) | |
| 18 | Найти точное значение | sec(30 град. ) | |
| 19 | Преобразовать из радианов в градусы | (3pi)/4 | |
| 20 | График | y=sin(x) | |
| 21 | Преобразовать из радианов в градусы | pi/6 | |
| 22 | Найти точное значение | cos(60 град. ) | |
| 23 | Найти точное значение | cos(150) | |
| 24 | Найти точное значение | tan(45) | |
| 25 | Найти точное значение | sin(30) | |
| 26 | Найти точное значение | sin(60) | |
| 27 | Найти точное значение | cos(pi/2) | |
| 28 | Найти точное значение | tan(45 град. ) | |
| 29 | График | y=sin(x) | |
| 30 | Найти точное значение | arctan(- квадратный корень 3) | |
| 31 | Найти точное значение | csc(60 град. ) | |
| 32 | Найти точное значение | sec(45 град. ) | |
| 33 | Найти точное значение | csc(30 град. ) | |
| 34 | Найти точное значение | sin(0) | |
| 35 | Найти точное значение | sin(120) | |
| 36 | Найти точное значение | cos(90) | |
| 37 | Преобразовать из радианов в градусы | pi/3 | |
| 38 | Найти точное значение | sin(45) | |
| 39 | Найти точное значение | tan(30) | |
| 40 | Преобразовать из градусов в радианы | 45 | |
| 41 | Найти точное значение | tan(60) | |
| 42 | Упростить | квадратный корень x^2 | |
| 43 | Найти точное значение | cos(45) | |
| 44 | Упростить | sin(theta)^2+cos(theta)^2 | |
| 45 | Преобразовать из радианов в градусы | pi/6 | |
| 46 | Найти точное значение | cot(30 град. ) | |
| 47 | Найти точное значение | arccos(-1) | |
| 48 | Найти точное значение | arctan(0) | |
| 49 | График | y=cos(x) | |
| 50 | Найти точное значение | cot(60 град. ) | |
| 51 | Преобразовать из градусов в радианы | 30 | |
| 52 | Упростить | ( квадратный корень x+ квадратный корень 2)^2 | |
| 53 | Преобразовать из радианов в градусы | (2pi)/3 | |
| 54 | Найти точное значение | sin((5pi)/3) | |
| 55 | Упростить | 1/( кубический корень от x^4) | |
| 56 | Найти точное значение | sin((3pi)/4) | |
| 57 | Найти точное значение | tan(pi/2) | |
| 58 | Найти угол А | tri{}{90}{}{}{}{} | |
| 59 | Найти точное значение | sin(300) | |
| 60 | Найти точное значение | cos(30) | |
| 61 | Найти точное значение | cos(60) | |
| 62 | Найти точное значение | cos(0) | |
| 63 | Найти точное значение | arctan( квадратный корень 3) | |
| 64 | Найти точное значение | cos(135) | |
| 65 | Найти точное значение | cos((5pi)/3) | |
| 66 | Найти точное значение | cos(210) | |
| 67 | Найти точное значение | sec(60 град. ) | |
| 68 | Найти точное значение | sin(300 град. ) | |
| 69 | Преобразовать из градусов в радианы | 135 | |
| 70 | Преобразовать из градусов в радианы | 150 | |
| 71 | Преобразовать из радианов в градусы | (5pi)/6 | |
| 72 | Преобразовать из радианов в градусы | (5pi)/3 | |
| 73 | Преобразовать из градусов в радианы | 89 град. | |
| 74 | Преобразовать из градусов в радианы | 60 | |
| 75 | Найти точное значение | sin(135 град. ) | |
| 76 | Найти точное значение | sin(150) | |
| 77 | Найти точное значение | sin(240 град. ) | |
| 78 | Найти точное значение | cot(45 град. ) | |
| 79 | Преобразовать из радианов в градусы | (5pi)/4 | |
| 80 | Упростить | 1/( кубический корень от x^8) | |
| 81 | Найти точное значение | sin(225) | |
| 82 | Найти точное значение | sin(240) | |
| 83 | Найти точное значение | cos(150 град. ) | |
| 84 | Найти точное значение | tan(45) | |
| 85 | Вычислить | sin(30 град. ) | |
| 86 | Найти точное значение | sec(0) | |
| 87 | Упростить | arcsin(-( квадратный корень 2)/2) | |
| 88 | Найти точное значение | cos((5pi)/6) | |
| 89 | Найти точное значение | csc(30) | |
| 90 | Найти точное значение | arcsin(( квадратный корень 2)/2) | |
| 91 | Найти точное значение | tan((5pi)/3) | |
| 92 | Найти точное значение | tan(0) | |
| 93 | Вычислить | sin(60 град. ) | |
| 94 | Найти точное значение | arctan(-( квадратный корень 3)/3) | |
| 95 | Преобразовать из радианов в градусы | (3pi)/4 | |
| 96 | Вычислить | arcsin(-1) | |
| 97 | Найти точное значение | sin((7pi)/4) | |
| 98 | Найти точное значение | arcsin(-1/2) | |
| 99 | Найти точное значение | sin((4pi)/3) | |
| 100 | Найти точное значение | csc(45) |
www.mathway.com
cos (pi / 6)
Существует множество способов, как найти значение функции cos (pi / 6). Рассмотрим некоторые из них.
- Этот способ очень часто используют при решении тригонометрических заданий в школе. Вычисляются значения тригонометрических функций при помощи таблицы значений функций синуса, косинуса, тангенса и котангенса от основных аргументов.
Будем использовать удобный вид таблицы. Удобна она тем, что в ней значения углов представлены как в градусах, так в радианах.
Например, угол pi/6 представлен в радианах. Найдем соответствующий ему столбец таблицы. В строках таблицы найдем функцию cos. Итак, при пересечении эти значения дают результат — корень из 3 / 2.
Математическая запись результата:
- Способ требует некоторых знаний, но тоже очень простой. Вычисляются значения тригонометрических функций с помощью тригонометрического круга (или окружности).
На осях координат лежат значения косинуса (ось абсцисс) и синуса (ось ординат), а значения углов — на самой окружности.
В данном случае значение угла функции косинус равен pi / 6. Найдем эту точку на окружности. Затем проведем перпендикулярную прямую на ось Ох, где лежат значения косинусов. Прямая пройдет через точку корень из 3 / 2. Следовательно, косинус от pi / 6 равен корень из 3 / 2.
- Быстрым и удобным способом является использование графика функции косинус — косинусоиды.
Несколько затруднительно применять его при таких неудобных значениях, как Пи / 6, но если запомнить очередность значений функций (от минимального к максимальному), то график — это самый быстрый способ узнать значение функции, не прибегая к техническим средствам или специальным таблицам.
ru.solverbook.com
Mathway | Популярные задачи
| 1 | Найти точное значение | sin(30) | |
| 2 | Найти точное значение | cos((5pi)/12) | |
| 3 | Найти точное значение | arctan(-1) | |
| 4 | Найти точное значение | sin(75) | |
| 5 | Найти точное значение | arcsin(-1) | |
| 6 | Найти точное значение | sin(60 град. ) | |
| 7 | Найти точное значение | sin(pi/3) | |
| 8 | Найти точное значение | arctan(- квадратный корень 3) | |
| 9 | Найти точное значение | cos(pi/3) | |
| 10 | Найти точное значение | sin(0) | |
| 11 | Найти точное значение | cos(pi/12) | |
| 12 | Найти точное значение | sin(30 град. ) | |
| 13 | Найти точное значение | cos(60 град. ) | |
| 14 | cos(30 град. ) | ||
| 15 | Найти точное значение | sin((2pi)/3) | |
| 16 | Найти точное значение | arcsin(1) | |
| 17 | Найти точное значение | sin(pi/2) | |
| 18 | График | f(x)=x^2 | |
| 19 | Найти точное значение | sin(45 град. ) | |
| 20 | Найти точное значение | sin(15) | |
| 21 | Упростить | квадратный корень x^2 | |
| 22 | Найти точное значение | arccos(-1) | |
| 23 | Найти точное значение | tan(60 град. ) | |
| 24 | Найти точное значение | cos(45 град. ) | |
| 25 | Вычислить | логарифм по основанию 2 от 8 | |
| 26 | Упростить | квадратный корень x^3 | |
| 27 | Найти точное значение | arcsin(-1/2) | |
| 28 | Найти точное значение | cos(45) | |
| 29 | Найти точное значение | tan(30 град. ) | |
| 30 | Найти точное значение | tan(30) | |
| 31 | Найти точное значение | arcsin(1) | |
| 32 | Найти точное значение | arctan( квадратный корень 3) | |
| 33 | Найти точное значение | sin(45) | |
| 34 | Найти точное значение | cos(0) | |
| 35 | Найти точное значение | tan(45 град. ) | |
| 36 | Найти точное значение | arctan(0) | |
| 37 | Преобразовать из радианов в градусы | pi/3 | |
| 38 | График | y=x^2 | |
| 39 | Вычислить | натуральный логарифм 1 | |
| 40 | Вычислить | логарифм по основанию 3 от 81 | |
| 41 | Найти точное значение | cos(15) | |
| 42 | Вычислить | логарифм по основанию 5 от 125 | |
| 43 | Упростить | кубический корень из квадратного корня 64x^6 | |
| 44 | Вычислить | логарифм по основанию 3 от 81 | |
| 45 | Вычислить | логарифм по основанию 2 от 8 | |
| 46 | Найти точное значение | arcsin(-( квадратный корень 2)/2) | |
| 47 | Найти точное значение | cos(75) | |
| 48 | Найти точное значение | sin((3pi)/4) | |
| 49 | Упростить | (1/( квадратный корень x+h)-1/( квадратный корень x))/h | |
| 50 | Упростить | кубический корень x^3 | |
| 51 | Найти точное значение | sin((5pi)/12) | |
| 52 | Найти точное значение | arcsin(-1/2) | |
| 53 | Найти точное значение | sin(30) | |
| 54 | Найти точное значение | sin(105) | |
| 55 | Найти точное значение | tan((3pi)/4) | |
| 56 | Упростить | квадратный корень s квадратный корень s^7 | |
| 57 | Упростить | корень четвертой степени x^4y^2z^2 | |
| 58 | Найти точное значение | sin(60) | |
| 59 | Найти точное значение | arccos(-( квадратный корень 2)/2) | |
| 60 | Найти точное значение | tan(0) | |
| 61 | Найти точное значение | sin((3pi)/2) | |
| 62 | Вычислить | логарифм по основанию 4 от 64 | |
| 63 | Упростить | корень шестой степени 64a^6b^7 | |
| 64 | Вычислить | квадратный корень 2 | |
| 65 | Найти точное значение | arccos(1) | |
| 66 | Найти точное значение | arcsin(( квадратный корень 3)/2) | |
| 67 | График | f(x)=2^x | |
| 68 | Найти точное значение | sin((3pi)/4) | |
| 69 | Преобразовать из радианов в градусы | (3pi)/4 | |
| 70 | Вычислить | логарифм по основанию 5 от 25 | |
| 71 | Найти точное значение | tan(pi/2) | |
| 72 | Найти точное значение | cos((7pi)/12) | |
| 73 | Упростить | 1/( кубический корень от x^4) | |
| 74 | Найти точное значение | sin((5pi)/6) | |
| 75 | Преобразовать из градусов в радианы | 150 | |
| 76 | Найти точное значение | tan(pi/2) | |
| 77 | Множитель | x^3-8 | |
| 78 | Упростить | корень пятой степени 1/(x^3) | |
| 79 | Упростить | корень пятой степени 1/(x^3) | |
| 80 | Найти точное значение | sin(135) | |
| 81 | Преобразовать из градусов в радианы | 30 | |
| 82 | Преобразовать из градусов в радианы | 60 | |
| 83 | Найти точное значение | sin(120) | |
| 84 | Найти точное значение | tan((2pi)/3) | |
| 85 | Вычислить | -2^2 | |
| 86 | Найти точное значение | tan(15) | |
| 87 | Найти точное значение | tan((7pi)/6) | |
| 88 | Найти точное значение | arcsin(( квадратный корень 3)/2) | |
| 89 | Найти точное значение | sin(pi/2) | |
| 90 | Преобразовать из радианов в градусы | (5pi)/6 | |
| 91 | Упростить | кубический корень 8x^7y^9z^3 | |
| 92 | Упростить | arccos(( квадратный корень 3)/2) | |
| 93 | Упростить | i^2 | |
| 94 | Вычислить | кубический корень 24 кубический корень 18 | |
| 95 | Упростить | квадратный корень 4x^2 | |
| 96 | Найти точное значение | sin((3pi)/4) | |
| 97 | Найти точное значение | tan((7pi)/6) | |
| 98 | Найти точное значение | tan((3pi)/4) | |
| 99 | Найти точное значение | arccos(-1/2) | |
| 100 | Упростить | корень четвертой степени x^4 |
www.mathway.com
Mathway | Популярные задачи
| 1 | Найти точное значение | sin(30) | |
| 2 | Найти точное значение | cos((5pi)/12) | |
| 3 | Найти точное значение | arctan(-1) | |
| 4 | Найти точное значение | sin(75) | |
| 5 | Найти точное значение | arcsin(-1) | |
| 6 | Найти точное значение | sin(60 град. ) | |
| 7 | Найти точное значение | sin(pi/3) | |
| 8 | Найти точное значение | arctan(- квадратный корень 3) | |
| 9 | Найти точное значение | cos(pi/3) | |
| 10 | Найти точное значение | sin(0) | |
| 11 | Найти точное значение | cos(pi/12) | |
| 12 | Найти точное значение | sin(30 град. ) | |
| 13 | Найти точное значение | cos(60 град. ) | |
| 14 | Найти точное значение | cos(30 град. ) | |
| 15 | Найти точное значение | sin((2pi)/3) | |
| 16 | Найти точное значение | arcsin(1) | |
| 17 | Найти точное значение | sin(pi/2) | |
| 18 | График | f(x)=x^2 | |
| 19 | Найти точное значение | sin(45 град. ) | |
| 20 | Найти точное значение | sin(15) | |
| 21 | Упростить | квадратный корень x^2 | |
| 22 | Найти точное значение | arccos(-1) | |
| 23 | Найти точное значение | tan(60 град. ) | |
| 24 | Найти точное значение | cos(45 град. ) | |
| 25 | Вычислить | логарифм по основанию 2 от 8 | |
| 26 | Упростить | квадратный корень x^3 | |
| 27 | Найти точное значение | arcsin(-1/2) | |
| 28 | Найти точное значение | cos(45) | |
| 29 | Найти точное значение | tan(30 град. ) | |
| 30 | Найти точное значение | tan(30) | |
| 31 | Найти точное значение | arcsin(1) | |
| 32 | Найти точное значение | arctan( квадратный корень 3) | |
| 33 | Найти точное значение | sin(45) | |
| 34 | Найти точное значение | cos(0) | |
| 35 | Найти точное значение | tan(45 град. ) | |
| 36 | Найти точное значение | arctan(0) | |
| 37 | Преобразовать из радианов в градусы | pi/3 | |
| 38 | График | y=x^2 | |
| 39 | Вычислить | натуральный логарифм 1 | |
| 40 | Вычислить | логарифм по основанию 3 от 81 | |
| 41 | Найти точное значение | cos(15) | |
| 42 | Вычислить | логарифм по основанию 5 от 125 | |
| 43 | Упростить | кубический корень из квадратного корня 64x^6 | |
| 44 | Вычислить | логарифм по основанию 3 от 81 | |
| 45 | Вычислить | логарифм по основанию 2 от 8 | |
| 46 | Найти точное значение | arcsin(-( квадратный корень 2)/2) | |
| 47 | Найти точное значение | cos(75) | |
| 48 | Найти точное значение | sin((3pi)/4) | |
| 49 | Упростить | (1/( квадратный корень x+h)-1/( квадратный корень x))/h | |
| 50 | Упростить | кубический корень x^3 | |
| 51 | Найти точное значение | sin((5pi)/12) | |
| 52 | Найти точное значение | arcsin(-1/2) | |
| 53 | Найти точное значение | sin(30) | |
| 54 | Найти точное значение | sin(105) | |
| 55 | Найти точное значение | tan((3pi)/4) | |
| 56 | Упростить | квадратный корень s квадратный корень s^7 | |
| 57 | Упростить | корень четвертой степени x^4y^2z^2 | |
| 58 | Найти точное значение | sin(60) | |
| 59 | Найти точное значение | arccos(-( квадратный корень 2)/2) | |
| 60 | Найти точное значение | tan(0) | |
| 61 | Найти точное значение | sin((3pi)/2) | |
| 62 | Вычислить | логарифм по основанию 4 от 64 | |
| 63 | Упростить | корень шестой степени 64a^6b^7 | |
| 64 | Вычислить | квадратный корень 2 | |
| 65 | Найти точное значение | arccos(1) | |
| 66 | Найти точное значение | arcsin(( квадратный корень 3)/2) | |
| 67 | График | f(x)=2^x | |
| 68 | Найти точное значение | sin((3pi)/4) | |
| 69 | Преобразовать из радианов в градусы | (3pi)/4 | |
| 70 | Вычислить | логарифм по основанию 5 от 25 | |
| 71 | Найти точное значение | tan(pi/2) | |
| 72 | Найти точное значение | cos((7pi)/12) | |
| 73 | Упростить | 1/( кубический корень от x^4) | |
| 74 | Найти точное значение | sin((5pi)/6) | |
| 75 | Преобразовать из градусов в радианы | 150 | |
| 76 | Найти точное значение | tan(pi/2) | |
| 77 | Множитель | x^3-8 | |
| 78 | Упростить | корень пятой степени 1/(x^3) | |
| 79 | Упростить | корень пятой степени 1/(x^3) | |
| 80 | Найти точное значение | sin(135) | |
| 81 | Преобразовать из градусов в радианы | 30 | |
| 82 | Преобразовать из градусов в радианы | 60 | |
| 83 | Найти точное значение | sin(120) | |
| 84 | Найти точное значение | tan((2pi)/3) | |
| 85 | Вычислить | -2^2 | |
| 86 | Найти точное значение | tan(15) | |
| 87 | Найти точное значение | tan((7pi)/6) | |
| 88 | Найти точное значение | arcsin(( квадратный корень 3)/2) | |
| 89 | Найти точное значение | sin(pi/2) | |
| 90 | Преобразовать из радианов в градусы | (5pi)/6 | |
| 91 | Упростить | кубический корень 8x^7y^9z^3 | |
| 92 | Упростить | arccos(( квадратный корень 3)/2) | |
| 93 | Упростить | i^2 | |
| 94 | Вычислить | кубический корень 24 кубический корень 18 | |
| 95 | Упростить | квадратный корень 4x^2 | |
| 96 | Найти точное значение | sin((3pi)/4) | |
| 97 | Найти точное значение | tan((7pi)/6) | |
| 98 | Найти точное значение | tan((3pi)/4) | |
| 99 | Найти точное значение | arccos(-1/2) | |
| 100 | Упростить | корень четвертой степени x^4 |
www.mathway.com
Как обозначать числа с пи на числовой окружности?
Надеюсь, вы уже прочитали про числовую окружность и знаете, почему она называется числовой, где на ней начало координат и в какой стороне положительное направление. Если нет, то бегом читать! Если вы, конечно, собираетесь находить точки на числовой окружности.
Обозначаем числа \(2π\), \(π\), \(\frac{π}{2}\), \(-\frac{π}{2}\), \(\frac{3π}{2}\)
Как вы знаете из прошлой статьи, радиус числовой окружности равен \(1\). Значит, длина окружности равняется \(2π\) (вычислили по формуле \(l=2πR\)). С учетом этого отметим \(2π\) на числовой окружности. Чтобы отметить это число нужно пройти от \(0\) по числовой окружности расстояние равно \(2π\) в положительном направлении, а так как длина окружности \(2π\), то получается, что мы сделаем полный оборот. То есть, числу \(2π\) и \(0\) соответствует одна и та же точка. Не переживайте, несколько значений для одной точки — это нормально для числовой окружности.
Теперь обозначим на числовой окружности число \(π\). \(π\) – это половина от \(2π\). Таким образом, чтобы отметить это число и соответствующую ему точку, нужно пройти от \(0\) в положительном направлении половину окружности.
Отметим точку \(\frac{π}{2}\). \(\frac{π}{2}\) – это половина от \(π\), следовательно чтобы отметить это число, нужно от \(0\) пройти в положительном направлении расстояние равное половине \(π\), то есть четверть окружности.
Обозначим на окружности точки \(-\)\(\frac{π}{2}\). Двигаемся на такое же расстояние, как в прошлый раз, но в отрицательном направлении.
Нанесем \(-π\). Для этого пройдем расстояние равное половине окружности в отрицательном направлении.
Теперь рассмотрим пример посложнее. Отметим на окружности число \(\frac{3π}{2}\). Для этого дробь \(\frac{3}{2}\) переведем в смешанный вид \(\frac{3}{2}\)\(=1\)\(\frac{1}{2}\), т.е. \(\frac{3π}{2}\)\(=π+\)\(\frac{π}{2}\). Значит, нужно от \(0\) в положительную сторону пройти расстояние в пол окружности и еще в четверть.
Задание 1. Отметьте на числовой окружности точки \(-2π\),\(-\)\(\frac{3π}{2}\).
Обозначаем числа \(\frac{π}{4}\), \(\frac{π}{3}\), \(\frac{π}{6}\)
Выше мы нашли значения в точках пересечения числовой окружности с осями \(x\) и \(y\). Теперь определим положение промежуточных точек. Для начала нанесем точки \(\frac{π}{4}\), \(\frac{π}{3}\) и \(\frac{π}{6}\).
\(\frac{π}{4}\) – это половина от \(\frac{π}{2}\) (то есть, \(\frac{π}{4}\) \(=\)\(\frac{π}{2}\)\(:2)\) , поэтому расстояние \(\frac{π}{4}\) – это половина четверти окружности.
\(\frac{π}{4}\) – это треть от \(π\) (иначе говоря,\(\frac{π}{3}\)\(=π:3\)), поэтому расстояние \(\frac{π}{3}\) – это треть от полукруга.
\(\frac{π}{6}\) – это половина \(\frac{π}{3}\) (ведь \(\frac{π}{6}\)\(=\)\(\frac{π}{3}\)\(:2\)) поэтому расстояние \(\frac{π}{6}\) – это половина от расстояния \(\frac{π}{3}\).
Вот так они расположены друг относительно друга:
Замечание: Расположение точек со значением \(0\), \(\frac{π}{2}\),\(π\), \(\frac{3π}{2}\), \(\frac{π}{4}\), \(\frac{π}{3}\), \(\frac{π}{6}\) лучше просто запомнить. Без них числовая окружность, как компьютер без монитора, вроде бы и полезная штука, а использовать крайне неудобно.
Разные расстояние на окружности наглядно:
Обозначаем числа \(\frac{7π}{6}\), \(-\frac{4π}{3}\), \(\frac{7π}{4}\)
Обозначим на окружности точку \(\frac{7π}{6}\), для этого выполним следующие преобразования: \(\frac{7π}{6}\)\(=\)\(\frac{6π + π}{6}\)\(=\)\(\frac{6π}{6}\)\(+\)\(\frac{π}{6}\)\(=π+\)\(\frac{π}{6}\). Отсюда видно, что от нуля в положительную сторону надо пройти расстояние \(π\), а потом еще \(\frac{π}{6}\).
Отметим на окружности точку \(-\)\(\frac{4π}{3}\). Преобразовываем: \(-\)\(\frac{4π}{3}\)\(=-\)\(\frac{3π}{3}\)\(-\)\(\frac{π}{3}\)\(=-π-\)\(\frac{π}{3}\). Значит надо от \(0\) пройти в отрицательную сторону расстояние \(π\) и еще \(\frac{π}{3}\).
Нанесем точку \(\frac{7π}{4}\), для этого преобразуем \(\frac{7π}{4}\)\(=\)\(\frac{8π-π}{4}\)\(=\)\(\frac{8π}{4}\)\(-\)\(\frac{π}{4}\)\(=2π-\)\(\frac{π}{4}\). Значит, чтобы поставить точку со значением \(\frac{7π}{4}\), надо от точки со значением \(2π\) пройти в отрицательную сторону расстояние \(\frac{π}{4}\).
Задание 2. Отметьте на числовой окружности точки \(-\)\(\frac{π}{6}\),\(-\)\(\frac{π}{4}\),\(-\)\(\frac{π}{3}\),\(\frac{5π}{4}\),\(-\)\(\frac{7π}{6}\),\(\frac{11π}{6}\), \(\frac{2π}{3}\),\(-\)\(\frac{3π}{4}\).
Обозначаем числа \(10π\), \(-3π\), \(\frac{7π}{2}\) ,\(\frac{16π}{3}\), \(-\frac{21π}{2}\), \(-\frac{29π}{6}\)
Запишем \(10π\) в виде \(5 \cdot 2π\). Вспоминаем, что \(2π\) – это расстояние равное длине окружности, поэтому чтобы отметить точку \(10π\), нужно от нуля пройти расстояние равное \(5\) окружностям. Нетрудно догадаться, что мы окажемся снова в точке \(0\), просто сделаем пять оборотов.
Из этого примера можно сделать вывод:
Числам с разницей в \(2πn\), где \(n∈Z\) (то есть \(n\) — любое целое число) соответствует одна и та же точка.
То есть, чтобы поставить число со значением больше \(2π\) (или меньше \(-2π\)), надо выделить из него целое четное количество \(π\) (\(2π\), \(8π\), \(-10π\)…) и отбросить. Тем самым мы уберем из числа, не влияющие на положение точки «пустые обороты».
Еще один вывод:
Точке, которой соответствует \(0\), также соответствуют все четные количества \(π\) (\(±2π\),\(±4π\),\(±6π\)…).
Теперь нанесем на окружность \(-3π\). \(-3π=-π-2π\), значит \(-3π\) и \(–π\) находятся в одном месте на окружности (так как отличаются на «пустой оборот» в \(-2π\)).
Кстати, там же будут находиться все нечетные \(π\).
Точке, которой соответствует \(π\), также соответствуют все нечетные количества \(π\) (\(±π\),\(±3π\),\(±5π\)…).
Сейчас обозначим число \(\frac{7π}{2}\). Как обычно, преобразовываем: \(\frac{7π}{2}\)\(=\)\(\frac{6π}{2}\)\(+\)\(\frac{π}{2}\)\(=3π+\)\(\frac{π}{2}\)\(=2π+π+\)\(\frac{π}{2}\). Два пи – отбрасываем, и получается что, для обозначения числа \(\frac{7π}{2}\) нужно от нуля в положительную сторону пройти расстояние равное \(π+\)\(\frac{π}{2}\) (т.е. половину окружности и еще четверть).
Отметим \(\frac{16π}{3}\). Вновь преобразования: \(\frac{16π}{3}\)\(=\)\(\frac{15π + π}{3}\)\(=\)\(\frac{15π}{3}\)\(+\)\(\frac{π}{3}\)\(=5π+\)\(\frac{π}{3}\)\(=4π+π+\)\(\frac{π}{3}\). Ясно, что от нуля надо пройти расстояние равное \(π+\)\(\frac{π}{3}\) – и мы найдем место точки \(\frac{16π}{3}\).
Нанесем на окружность число \(-\)\(\frac{21π}{2}\).
\(-\)\(\frac{21π}{2}\)\(= -\)\(\frac{20π}{2}\)\(-\)\(\frac{π}{2}\)\(=-10π-\)\(\frac{π}{2}\). Значит, место \(-\)\(\frac{21π}{2}\) совпадает с местом числа \(-\)\(\frac{π}{2}\).
Обозначим \(-\)\(\frac{29π}{6}\).
\(-\)\(\frac{29π}{6}\)\(=-\)\(\frac{30π}{6}\)\(+\)\(\frac{π}{6}\)\(=-5π+\)\(\frac{π}{6}\)\(=-4π-π+\)\(\frac{π}{6}\). Для обозначение \(-\)\(\frac{29π}{6}\), на числовой окружности надо от точки со значением \(–π\) пройти в положительную сторону \(\frac{π}{6}\).
Задание 3. Отметьте на числовой окружности точки \(-8π\),\(-7π\), \(\frac{11π}{4}\),\(-\)\(\frac{7π}{3}\),\(\frac{17π}{6}\),\(-\)\(\frac{20π}{3}\),\(-\)\(\frac{11π}{2}\).
Скачать статьюcos-cos.ru
Точки на числовой окружности
При изучении тригонометрии в школе каждый ученик сталкивается с весьма интересным понятием «числовая окружность». От умения школьного учителя объяснить, что это такое, и для чего она нужна, зависит, насколько хорошо ученик пойдём тригонометрию впоследствии. К сожалению, далеко не каждый учитель может доступно объяснить этот материал. В результате многие ученики путаются даже с тем, как отмечать точки на числовой окружности
. Если вы дочитаете эту статью до конца, то научитесь делать это без проблем.Итак, приступим. Нарисуем окружность, радиус которой равен 1. Самую «правую» точку этой окружности обозначим буквой O:
Поздравляю, вы только что нарисовали единичную окружность. Поскольку радиус этой окружности равен 1, то её длина равна .
Каждому действительному числу можно поставить в соответствие длину траектории вдоль числовой окружности от точки O. За положительное направление принимается направление движения против часовой стрелки. За отрицательное – по часовой стрелке:
Расположение точек на числовой окружности
Как мы уже отмечали, длина числовой окружности (единичной окружности) равна . Где тогда будет располагаться на этой окружности число ? Очевидно, от точки
Обратите внимание, что в ту же точку можно было бы попасть, пройдя полуокружность в отрицательном направлении. Тогда бы мы отложили на единичной окружности число . То есть числам и соответствует одна и та же точка.
Причём этой же точке соответствуют также числа , , , и, вообще, бесконечное множество чисел, которые можно записать в виде , где , то есть принадлежит множеству целых чисел. Всё это потому, что из точки B можно совершить «кругосветное» путешествие в любую сторону (добавить или вычесть длину окружности
yourtutor.info