Бином ньютона википедия – Бином Ньютона — Википедия. Что такое Бином Ньютона

Бином Ньютона — Википедия. Что такое Бином Ньютона

Бино́м Нью́то́на — формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных, имеющая вид

(a+b)n=∑k=0n(nk)an−kbk=(n0)an+(n1)an−1b+⋯+(nk)an−kbk+⋯+(nn)bn{\displaystyle (a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{n-k}b^{k}={n \choose 0}a^{n}+{n \choose 1}a^{n-1}b+\dots +{n \choose k}a^{n-k}b^{k}+\dots +{n \choose n}b^{n}}

где (nk)=n!k!(n−k)!=Cnk{\displaystyle {n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}=C_{n}^{k}} — биномиальные коэффициенты, n{\displaystyle n} — неотрицательное целое число.

В таком виде эта формула была известна ещё индийским и исламским математикам; Ньютон вывел формулу бинома Ньютона для более общего случая, когда показатель степени — произвольное действительное (или даже комплексное) число. В этом случае бином представляет собой бесконечный ряд (см. ниже).

Доказательство

Доказательство

Обобщения

Формула бинома Ньютона является частным случаем разложения функции (1+x)r{\displaystyle (1+x)^{r}} в ряд Тейлора:

(1+x)r=∑k=0∞(rk)xk{\displaystyle (1+x)^{r}=\sum _{k=0}^{\infty }{r \choose k}x^{k}},

где r может быть комплексным числом (в частности, отрицательным или вещественным). Коэффициенты этого разложения находятся по формуле:

(rk)=1k!∏n=0k−1(r−n)=r(r−1)(r−2)⋯(r−(k−1))k!{\displaystyle {r \choose k}={1 \over k!}\prod _{n=0}^{k-1}(r-n)={\frac {r(r-1)(r-2)\cdots (r-(k-1))}{k!}}}

При этом ряд

(1+z)α=1+αz+α(α−1)2z2+…+α(α−1)⋯(α−n+1)n!zn+…{\displaystyle (1+z)^{\alpha }=1+\alpha {}z+{\frac {\alpha (\alpha -1)}{2}}z^{2}+…+{\frac {\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}}z^{n}+…}.

сходится при |z|≤1{\displaystyle |z|\leq 1}.

В частности, при z=1m{\displaystyle z={\frac {1}{m}}} и α=x⋅m{\displaystyle \alpha =x\cdot m} получается тождество

(1+1m)xm=1+x+xm(xm−1)2m2+…+xm(xm−1)⋯(xm−n+1)n!mn+….{\displaystyle \left(1+{\frac {1}{m}}\right)^{xm}=1+x+{\frac {xm(xm-1)}{2\;m^{2}}}+…+{\frac {xm(xm-1)\cdots (xm-n+1)}{n!\;m^{n}}}+\dots .}

Переходя к пределу при m→∞{\displaystyle m\to \infty } и используя второй замечательный предел limm→∞(1+1m)m=e{\displaystyle \lim _{m\to \infty }{\left(1+{\frac {1}{m}}\right)^{m}}=e}, выводим тождество

ex=1+x+x22+⋯+xnn!+…,{\displaystyle e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2}}+\dots +{\frac {x^{n}}{n!}}+\dots ,}

которое именно таким образом было впервые получено Эйлером.

Мультиномиальная теорема

Бином Ньютона может быть обобщен до полинома Ньютона — возведения в степень суммы произвольного числа слагаемых:

(x1+x2+⋯+xm)n=∑kj⩾0k1+k2+⋯+km=n(nk1,k2,…,km)x1k1…xmkm,{\displaystyle (x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m})^{n}=\sum \limits _{k_{j}\geqslant 0 \atop k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n}{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}x_{1}^{k_{1}}\ldots x_{m}^{k_{m}},}

где (nk1,k2,…,km)=n!k1!k2!⋯km!{\displaystyle \textstyle {\binom {n}{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}}={\frac {n!}{k_{1}!k_{2}!\cdots k_{m}!}}} — мультиномиальные коэффициенты. Сумма берётся по всем неотрицательным целым индексам kj{\displaystyle k_{j}}, сумма которых равна n (то есть по всем композициям числа n длины m). При использовании полинома Ньютона считается, что выражения xj0=1{\displaystyle x_{j}^{0}=1}, даже если xj=0{\displaystyle x_{j}=0}.

Мультиномиальная теорема легко доказывается либо индукцией по m, либо из комбинаторных соображений и комбинаторного смысла мультиномиального коэффициента.

При m=2{\displaystyle m=2}, выражая k2=n−k1{\displaystyle k_{2}=n-k_{1}}, получаем бином Ньютона.

Полные полиномы Белла

Пусть Bn(as)=Bn(a1,…,an){\displaystyle B_{n}(a_{s})=B_{n}(a_{1},\dots ,a_{n})} и B0=1{\displaystyle B_{0}=1} ,тогда полные полиномы Белла обладают биномиальным разложением:

Bn(as+bs)=∑i+j=n(ni, j)Bi(as)Bj(bs).{\displaystyle B_{n}({{a_{s}}+{b_{s}}})=\sum _{i+j=n}{n \choose i,\ j}{B_{i}}({a_{s}}){B_{j}}({b_{s}}).}

История

Долгое время считалось, что для натуральных показателей степени эту формулу, как и треугольник, позволяющий находить коэффициенты, изобрёл Блез Паскаль, описавший её в XVII веке. Однако историки науки обнаружили, что формула была известна ещё китайскому математику Яну Хуэю (англ.), жившему в XIII веке, а также исламским математикам ат-Туси (XIII век) и ал-Каши (XV век). В середине XVI века Михаэль Штифель описал биномиальные коэффициенты и также составил их таблицу до степени 18.

Исаак Ньютон около 1677 года обобщил формулу для произвольного показателя степени (дробного, отрицательного и др.). Из биномиального разложения Ньютон, а позднее и Эйлер, выводили всю теорию бесконечных рядов.

В художественной литературе

В художественной литературе «бином Ньютона» появляется в нескольких запоминающихся контекстах, где речь идёт о чём-либо сложном.^[1]

Когда ему исполнился двадцать один год, он написал трактат о биноме Ньютона, завоевавший ему европейскую известность. После этого он получил кафедру математики в одном из наших провинциальных университетов, и, по всей вероятности, его ожидала блестящая карьера.

Оригинальный текст (англ.)

The Final Problem At the age of twenty-one he wrote a treatise upon the binomial theorem, which has had a European vogue. On the strength of it he won the mathematical chair at one of our smaller universities, and had, to all appearances, a most brilliant career before him.

«подумаешь, бином Ньютона! Умрёт он через девять месяцев, в феврале будущего года, от рака печени в клинике Первого МГУ, в четвёртой палате».

См. также

Примечания

Литература

Ссылки

wiki.sc

Бином ньютона — это… Что такое Бином ньютона?

Бином Ньютона — это формула

,

где  — биномиальные коэффициенты, n — неотрицательное целое число.

Доказательство

Докажем это равенство, используя метод математической индукции:

База индукции: n = 1

(a + b)¹ = a + b

Шаг индукции:

Пусть утверждение для n верно:

Тогда надо доказать утверждение для n + 1:

Начнём доказательство:

Извлечём из первой суммы слагаемое при k = 0

Извлечём из второй суммы слагаемое при k = n

Теперь сложим преобразованные суммы:

Что и требовалось доказать

Комментарий:

 — одно из тождеств биномиальных коэффициентов

Для ненатуральных степеней

где r может быть комплексным числом (в частности, отрицательным или вещественным). Коэффициенты находятся по формуле:

При этом ряд

.

сходится при .

В частности, при и получается тождество

Переходя к пределу при и используя второй замечательный предел , выводим тождество

именно таким образом впервые полученное Эйлером.

История

Считается, что эту формулу, как и треугольник, позволяющий находить коэффициенты, изобрёл Блез Паскаль, описавший её в XVII веке. Тем не менее, она была известна ещё китайскому математику Яну Хуэю, жившему в XIII веке. Возможно, её открыл персидский учёный, поэт и философ Омар Хайям.

Исаак Ньютон обобщил формулу для прочих показателей степени.

В художественной литературе

В художественной литературе «бином Ньютона» появляется в нескольких запоминающихся контекстах, где речь идёт о чём-либо сложном.

• В рассказе А. Конан Дойля «Последнее дело Холмса» Холмс говорит о математике профессоре Мориарти:

«Когда ему исполнился двадцать один год, он написал трактат о биноме Ньютона, завоевавший ему европейскую известность. После этого он получил кафедру математики в одном из наших провинциальных университетов, и, по всей вероятности, его ожидала блестящая будущность».

Об этой специфической роли бинома Ньютона в культуре писал известный математик В. А. Успенский [1].

См. также

Wikimedia Foundation. 2010.

dic.academic.ru

Бином Ньютона — Мегаэнциклопедия Кирилла и Мефодия — статья

Бино́м Нью́тона — математическая формула вида \((a + b)^n\), выражающая целую положительную степень суммы двух слагаемых (двучлена, бинома) через степени этих слагаемых. Частными случаями бинома Ньютона при n = 2 и n = 3 являются формулы для квадрата и куба суммы а и b: (а + b)² = а² + 2ab + b², (а + b)³ = а³ + 3a²b + 3ab² + b³. При n = 4 получают формулу (а + b)⁴ = a⁴+ 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴.

Для целого положительного n формула имеет вид (1):

\((a + b)^n = a^n + \binom{n}{1}a^{n-1}b + \binom{n}{2}a^{n-2}b{^2} + \binom{n}{3}a^{n-3}b{^3} + … + \binom{n}{n-1}ab^{n-1} + b{^n} \)

или вид (2):

\((a + b)^n = a^n +{n! \over1!(n-1)!}a^{n-1}b + {n! \over2!(n-2)!}a^{n-2}b^2 + … + b^{n2}\)

Для вычислений удобнее формула (3):

\((a + b)^n = a^n + na^{n-1}b + {n(n-1) \over 1*2}a^{n-2}b^2 + {n(n-1)(n-2)\over 1*2*3}a^{n-3}b3+…+b^n.\)

Бином Ньютона для дробных и отрицательных показателей

Пусть имеем выражение \((a + b)^n\), где n — дробное или отрицательное число. Пусть \(| a | >| b |. \)Представим \((a + b)^n\) в виде \(a^n(1 + x)^n\). Величина \(x = {b \over a}\)абсолютное ее значение меньше единицы. Выражение \((1 + x)^n\) можно вычислить с любой степенью точности по формуле (3).

Обобщенная формула бинома Ньютона

\((a_1+a_2+a_3+ … +a_k)^n = \sum {n! \over n_1! n_2! … n_k!}a{_1^{n_1}}a{_2^{n_2}\dots a{_k^{n_k}}}\)n — целое положительное число.

Числа 1, n, \(n(n-1)\over 1*2\) называются биномиальными коэффициентами. Биномиальные коэффициенты всегда являются целыми положительными числами. Крайние коэффициенты равны единице; коэффициенты членов, равноотстоящих от концов, одинаковы; коэффициенты возрастают от краев к середине; сумма всех коэффициентов равна 2n. Сумма двух соседних коэффициентов в разложении (а + b)ⁿ равна коэффициенту в разложении (а + b)ⁿ⁺¹; например, суммы 1+3, 3+3, 3+1 соседних коэффициентов в формуле для (а + b)³ дают коэффициенты 4, 6, 4 в формуле для (а + b)⁴. Пользуясь этим свойством, можно получить путем сложения биномиальные коэффициенты для любого n. Результаты располагают в виде таблицы — треугольника Паскаля.Формула бинома Ньютона для целых положительных показателей была известна задолго до Исаака Ньютона, но он в 1676 году указал на возможность распространения этого разложения и на случай дробного или отрицательного показателя. Строгое обоснование указанных Ньютоном возможностей дал Н. Абель в 1826 году. В случае дробного или отрицательного n все биномиальные коэффициенты отличны от нуля, а правая часть формулы получает бесконечный ряд членов (биномиальный ряд). Бином Ньютона играет роль во многих областях математики, в частности в алгебре и теории чисел.

1. М.Я. Выгодский. Справочник по элементарной математике. М: Наука, 1979.

megabook.ru

БИНОМ НЬЮТОНА — это… Что такое БИНОМ НЬЮТОНА?



БИНОМ НЬЮТОНА

БИНОМ НЬЮТОНА, математическое правило разложения алгебраического выражения (а+b)ⁿ в ряд степеней численных значений х и у (где n — положительное число). При n-2 разложение выглядит таким образом: (х+у)²=х²+2ху+у².

Научно-технический энциклопедический словарь.

Смотреть что такое «БИНОМ НЬЮТОНА» в других словарях:

• Бином ньютона — Бином Ньютона  это формула , где   биномиальные коэффициенты, n  неотрицательное целое число. Содержание 1 Доказательство …   Википедия

• бином ньютона — БИНОМ, а, м. (или бином ньютона). Ирон. О чем л. кажущемся сложным, запутанным. Возм. распространилось под влиянием романа М. Булгакова «Мастер и Маргарита» …   Словарь русского арго

• Бином Ньютона — Бином Ньютона  формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных, имеющая вид , где   биномиальные коэффициенты,   неотрицательное целое число. В таком виде эта формула была известна… …   Википедия

• Бином Ньютона — алгебраическая формула, открытая Ньютоном, выражающая какую угодно степень двучлена, а именно: (х + а)n = хn + n/1(axn 1) + [n/(n 1)/1.2](а2хn 2) + …[n(n 1)(n 2)…(n m+1)/1.2.3…m](anxn m) + … или, в компактной форме, пользуясь символом n! =… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

• Бином Ньютона — Разг. Шутл. О чём л. сложном, запутанном. Елистратов, 41 …   Большой словарь русских поговорок

• Подумаешь, бином Ньютона! — Из романа (гл. 18 «Неудачливые визитеры») «Мастер и Маргарита» (1940) Михаила Афанасьевича Булгакова (1891 1940). Слова Коровьева Фагота, комментирующего диалог между Воландом и буфетчиком Андреем Фокичем Соковым. Последний пришел жаловаться на… …   Словарь крылатых слов и выражений

• бином — а, м. binôme, лат. binomia m. 1. мат. Алгебраическое выражение, представляющее сумму или разность одночленов; двучлен. БАС 2. Боюсь, еслиб я и осмелился представить здесь самое простое развитие двучленника (бинома) Ньютонова необходимого для сего …   Исторический словарь галлицизмов русского языка

• Ньютона бином — Бином Ньютона  это формула , где   биномиальные коэффициенты, n  неотрицательное целое число. Содержание 1 Доказательство …   Википедия

• БИНОМ — (от лат. bis дважды, и греч. nomos часть, отдел). Двучлен (в алгебре). Бином Ньютона общая формула для возведения двучленного количества в любую степень. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. БИНОМ в… …   Словарь иностранных слов русского языка

• Бином — (лат. bis  дважды, nomen  имя) или двучлен частный случай полинома (многочлена), состоящего из двух слагаемых мономов (одночленов). Например: Для вычисления степеней биномов используется бином Ньютона: А также …   Википедия

Книги

• Девственная селедка. Мимолетности, или Подумаешь, бином Ньютона!, 576 с. В этот сборник включены два романа: Девственная селедка и Мимолетности, или Подумаешь, бином Ньютона! . Теперь Вы можете, не прерываясь, узнать о судьбе героев. Какие странные штуки… Издатель: Омега — Л, Производитель: Омега — Л, Подробнее  Купить за 575 грн (только Украина)
• Алгебра. Часть 2. Тождественные преобразования со степенями и корнями. Функции. Неравенства. Прогрессии. Логарифмы. Исследование уравнений. Мнимые и комплексные числа. Алгебраические уравнения. Неопределенные уравнения. Соединения и бином Ньютона, Киселев А.П., Учебник по алгебре, написанный выдающимся педагогом А. П. Киселевым в далеком 1888 году, выдержал с тех пор множество переизданий и на долгое время стал классическим для преподавания алгебры… Серия: — Издатель: URSS, Подробнее  Купить за 529 руб
• Девственная селедка. Мимолетности, или Подумаешь, бином Ньютона!, Вильмонт Екатерина Николаевна, В этот сборник включены два романа: «Девственная селедка» и»Мимолетности, или Подумаешь, бином Ньютона!». Теперь Вы можете, не прерываясь, узнать о судьбе героев. Какие странные штуки иной… Издатель: Астрель, Подробнее  Купить за 449 руб

Другие книги по запросу «БИНОМ НЬЮТОНА» >>

dic.academic.ru

Бином Ньютона — Википедия

Бино́м Нью́то́на — формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных, имеющая вид

(a+b)n=∑k=0n(nk)an−kbk=(n0)an+(n1)an−1b+⋯+(nk)an−kbk+⋯+(nn)bn{\displaystyle (a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{n-k}b^{k}={n \choose 0}a^{n}+{n \choose 1}a^{n-1}b+\dots +{n \choose k}a^{n-k}b^{k}+\dots +{n \choose n}b^{n}}

где (nk)=n!k!(n−k)!=Cnk{\displaystyle {n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}=C_{n}^{k}} — биномиальные коэффициенты, n{\displaystyle n} — неотрицательное целое число.

В таком виде эта формула была известна ещё индийским и исламским математикам; Ньютон вывел формулу бинома Ньютона для более общего случая, когда показатель степени — произвольное действительное (или даже комплексное) число. В этом случае бином представляет собой бесконечный ряд (см. ниже).

Доказательство

Доказательство

Видео по теме

Обобщения

Формула бинома Ньютона является частным случаем разложения функции (1+x)r{\displaystyle (1+x)^{r}} в ряд Тейлора:

(1+x)r=∑k=0∞(rk)xk{\displaystyle (1+x)^{r}=\sum _{k=0}^{\infty }{r \choose k}x^{k}},

где r может быть комплексным числом (в частности, отрицательным или вещественным). Коэффициенты этого разложения находятся по формуле:

(rk)=1k!∏n=0k−1(r−n)=r(r−1)(r−2)⋯(r−(k−1))k!{\displaystyle {r \choose k}={1 \over k!}\prod _{n=0}^{k-1}(r-n)={\frac {r(r-1)(r-2)\cdots (r-(k-1))}{k!}}}

При этом ряд

(1+z)α=1+αz+α(α−1)2z2+…+α(α−1)⋯(α−n+1)n!zn+…{\displaystyle (1+z)^{\alpha }=1+\alpha {}z+{\frac {\alpha (\alpha -1)}{2}}z^{2}+…+{\frac {\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}}z^{n}+…}.

сходится при |z|≤1{\displaystyle |z|\leq 1}.

В частности, при z=1m{\displaystyle z={\frac {1}{m}}} и α=x⋅m{\displaystyle \alpha =x\cdot m} получается тождество

(1+1m)xm=1+x+xm(xm−1)2m2+…+xm(xm−1)⋯(xm−n+1)n!mn+….{\displaystyle \left(1+{\frac {1}{m}}\right)^{xm}=1+x+{\frac {xm(xm-1)}{2\;m^{2}}}+…+{\frac {xm(xm-1)\cdots (xm-n+1)}{n!\;m^{n}}}+\dots .}

Переходя к пределу при m→∞{\displaystyle m\to \infty } и используя второй замечательный предел limm→∞(1+1m)m=e{\displaystyle \lim _{m\to \infty }{\left(1+{\frac {1}{m}}\right)^{m}}=e}, выводим тождество

ex=1+x+x22+⋯+xnn!+…,{\displaystyle e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2}}+\dots +{\frac {x^{n}}{n!}}+\dots ,}

которое именно таким образом было впервые получено Эйлером.

Мультиномиальная теорема

Бином Ньютона может быть обобщен до полинома Ньютона — возведения в степень суммы произвольного числа слагаемых:

(x1+x2+⋯+xm)n=∑kj⩾0k1+k2+⋯+km=n(nk1,k2,…,km)x1k1…xmkm,{\displaystyle (x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m})^{n}=\sum \limits _{k_{j}\geqslant 0 \atop k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n}{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}x_{1}^{k_{1}}\ldots x_{m}^{k_{m}},}

где (nk1,k2,…,km)=n!k1!k2!⋯km!{\displaystyle \textstyle {\binom {n}{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}}={\frac {n!}{k_{1}!k_{2}!\cdots k_{m}!}}} — мультиномиальные коэффициенты. Сумма берётся по всем неотрицательным целым индексам kj{\displaystyle k_{j}}, сумма которых равна n (то есть по всем композициям числа n длины m). При использовании полинома Ньютона считается, что выражения xj0=1{\displaystyle x_{j}^{0}=1}, даже если xj=0{\displaystyle x_{j}=0}.

Мультиномиальная теорема легко доказывается либо индукцией по m, либо из комбинаторных соображений и комбинаторного смысла мультиномиального коэффициента.

При m=2{\displaystyle m=2}, выражая k2=n−k1{\displaystyle k_{2}=n-k_{1}}, получаем бином Ньютона.

Полные полиномы Белла

Пусть Bn(as)=Bn(a1,…,an){\displaystyle B_{n}(a_{s})=B_{n}(a_{1},\dots ,a_{n})} и B0=1{\displaystyle B_{0}=1} ,тогда полные полиномы Белла обладают биномиальным разложением:

Bn(as+bs)=∑i+j=n(ni, j)Bi(as)Bj(bs).{\displaystyle B_{n}({{a_{s}}+{b_{s}}})=\sum _{i+j=n}{n \choose i,\ j}{B_{i}}({a_{s}}){B_{j}}({b_{s}}).}

История

Долгое время считалось, что для натуральных показателей степени эту формулу, как и треугольник, позволяющий находить коэффициенты, изобрёл Блез Паскаль, описавший её в XVII веке. Однако историки науки обнаружили, что формула была известна ещё китайскому математику Яну Хуэю (англ.), жившему в XIII веке, а также исламским математикам ат-Туси (XIII век) и ал-Каши (XV век). В середине XVI века Михаэль Штифель описал биномиальные коэффициенты и также составил их таблицу до степени 18.

Исаак Ньютон около 1677 года обобщил формулу для произвольного показателя степени (дробного, отрицательного и др.). Из биномиального разложения Ньютон, а позднее и Эйлер, выводили всю теорию бесконечных рядов.

В художественной литературе

В художественной литературе «бином Ньютона» появляется в нескольких запоминающихся контекстах, где речь идёт о чём-либо сложном.^[1]

Когда ему исполнился двадцать один год, он написал трактат о биноме Ньютона, завоевавший ему европейскую известность. После этого он получил кафедру математики в одном из наших провинциальных университетов, и, по всей вероятности, его ожидала блестящая карьера.

Оригинальный текст (англ.)

The Final Problem At the age of twenty-one he wrote a treatise upon the binomial theorem, which has had a European vogue. On the strength of it he won the mathematical chair at one of our smaller universities, and had, to all appearances, a most brilliant career before him.

«подумаешь, бином Ньютона! Умрёт он через девять месяцев, в феврале будущего года, от рака печени в клинике Первого МГУ, в четвёртой палате».

См. также

Примечания

Литература

Ссылки

wiki2.red

бином ньютона — это… Что такое бином ньютона?



бином ньютона

БИНОМ, -а, м. (или бином ньютона). Ирон. О чем-л. кажущемся сложным, запутанным.

Словарь русского арго. — ГРАМОТА.РУ. В. С. Елистратов. 2002.

• бином
• биомицин

Смотреть что такое «бином ньютона» в других словарях:

• Бином ньютона — Бином Ньютона  это формула , где   биномиальные коэффициенты, n  неотрицательное целое число. Содержание 1 Доказательство …   Википедия

• БИНОМ НЬЮТОНА — БИНОМ НЬЮТОНА, математическое правило разложения алгебраического выражения (а+b)n в ряд степеней численных значений х и у (где n положительное число). При n 2 разложение выглядит таким образом: (х+у)2=х2+2ху+у2 …   Научно-технический энциклопедический словарь

• Бином Ньютона — Бином Ньютона  формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных, имеющая вид , где   биномиальные коэффициенты,   неотрицательное целое число. В таком виде эта формула была известна… …   Википедия

• Бином Ньютона — алгебраическая формула, открытая Ньютоном, выражающая какую угодно степень двучлена, а именно: (х + а)n = хn + n/1(axn 1) + [n/(n 1)/1.2](а2хn 2) + …[n(n 1)(n 2)…(n m+1)/1.2.3…m](anxn m) + … или, в компактной форме, пользуясь символом n! =… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

• Бином Ньютона — Разг. Шутл. О чём л. сложном, запутанном. Елистратов, 41 …   Большой словарь русских поговорок

• Подумаешь, бином Ньютона! — Из романа (гл. 18 «Неудачливые визитеры») «Мастер и Маргарита» (1940) Михаила Афанасьевича Булгакова (1891 1940). Слова Коровьева Фагота, комментирующего диалог между Воландом и буфетчиком Андреем Фокичем Соковым. Последний пришел жаловаться на… …   Словарь крылатых слов и выражений

• бином — а, м. binôme, лат. binomia m. 1. мат. Алгебраическое выражение, представляющее сумму или разность одночленов; двучлен. БАС 2. Боюсь, еслиб я и осмелился представить здесь самое простое развитие двучленника (бинома) Ньютонова необходимого для сего …   Исторический словарь галлицизмов русского языка

• Ньютона бином — Бином Ньютона  это формула , где   биномиальные коэффициенты, n  неотрицательное целое число. Содержание 1 Доказательство …   Википедия

• БИНОМ — (от лат. bis дважды, и греч. nomos часть, отдел). Двучлен (в алгебре). Бином Ньютона общая формула для возведения двучленного количества в любую степень. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. БИНОМ в… …   Словарь иностранных слов русского языка

• Бином — (лат. bis  дважды, nomen  имя) или двучлен частный случай полинома (многочлена), состоящего из двух слагаемых мономов (одночленов). Например: Для вычисления степеней биномов используется бином Ньютона: А также …   Википедия

Книги

• Девственная селедка. Мимолетности, или Подумаешь, бином Ньютона!, 576 с. В этот сборник включены два романа: Девственная селедка и Мимолетности, или Подумаешь, бином Ньютона! . Теперь Вы можете, не прерываясь, узнать о судьбе героев. Какие странные штуки… Издатель: Омега — Л, Производитель: Омега — Л, Подробнее  Купить за 575 грн (только Украина)
• Алгебра. Часть 2. Тождественные преобразования со степенями и корнями. Функции. Неравенства. Прогрессии. Логарифмы. Исследование уравнений. Мнимые и комплексные числа. Алгебраические уравнения. Неопределенные уравнения. Соединения и бином Ньютона, Киселев А.П., Учебник по алгебре, написанный выдающимся педагогом А. П. Киселевым в далеком 1888 году, выдержал с тех пор множество переизданий и на долгое время стал классическим для преподавания алгебры… Серия: — Издатель: URSS, Подробнее  Купить за 529 руб
• Девственная селедка. Мимолетности, или Подумаешь, бином Ньютона!, Вильмонт Екатерина Николаевна, В этот сборник включены два романа: «Девственная селедка» и»Мимолетности, или Подумаешь, бином Ньютона!». Теперь Вы можете, не прерываясь, узнать о судьбе героев. Какие странные штуки иной… Издатель: Астрель, Подробнее  Купить за 449 руб

Другие книги по запросу «бином ньютона» >>

russian_argo.academic.ru

Бином Ньютона — это… Что такое Бином Ньютона?

Бино́м Нью́то́на — формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных, имеющая вид

,

где  — биномиальные коэффициенты,  — неотрицательное целое число.

В таком виде эта формула была известна ещё индийским и исламским математикам; Ньютон вывел формулу бинома для более общего случая, когда показатель степени — произвольное рациональное число (возможно, отрицательное). В этом случае бином представляет собой бесконечный ряд (см. ниже).

Доказательство

Докажем это равенство индукцией по

n:

База индукции:

Шаг индукции: Пусть утверждение для верно:

Тогда надо доказать утверждение для :

Начнём доказательство:

Извлечём из первой суммы слагаемое при

Извлечём из второй суммы слагаемое при

Теперь сложим преобразованные суммы:

Что и требовалось доказать

Комментарий:

 — одно из тождеств биномиальных коэффициентов

Обобщения

Формула бинома Ньютона является частным случаем разложения функции в ряд Тейлора:

где r может быть комплексным числом (в частности, отрицательным или вещественным). Коэффициенты этого разложения находятся по формуле:

При этом ряд

.

сходится при .

В частности, при и получается тождество

Переходя к пределу при и используя второй замечательный предел , выводим тождество

которое именно таким образом было впервые получено Эйлером.

Мультиномиальная теорема

Бином Ньютона может быть обобщен до полинома Ньютона — возведения в степень суммы произвольного числа слагаемых:

где — мультиномиальные коэффициенты. Сумма берется по всем неотрицательным целым индексам , сумма которых равна n. При использовании полинома Ньютона, считается, что выражения , даже в случае .

Мультиномиальная теорема легко доказывается либо по индукции по m, либо из комбинаторных соображений и комбинаторного смысла мультиномиального коэффициента.

При , выражая через , получаем бином Ньютона.

Биномиальные многочлены ^{[источник не указан 799 дней]}

Семейство многочленов G называется биномиальным, если оно представляется в виде суммы произведений набора множителей g:

где

≠0.

Биномиальные многочлены обладают биномиальным разложением:

Биномиальная группа ^{[источник не указан 799 дней]}

Группа из одномерных матриц с нулевым элементом заданной на нём операцией ,

где

Единицей группы является , нулём — Обратный элемент

где

История

Долгое время считалось, что для натуральных показателей степени эту формулу, как и треугольник, позволяющий находить коэффициенты, изобрёл Блез Паскаль, описавший её в XVII веке. Однако историки науки обнаружили, что формула была известна ещё китайскому математику Яну Хуэю, жившему в XIII веке, а также исламским математикам ат-Туси (XIII век) и ал-Каши (XV век).

Исаак Ньютон около 1676 года обобщил формулу для произвольного показателя степени (дробного, отрицательного и др.). Из биномиального разложения Ньютон, а позднее и Эйлер, выводили всю теорию бесконечных рядов.

В художественной литературе

В художественной литературе «бином Ньютона» появляется в нескольких запоминающихся контекстах, где речь идёт о чём-либо сложном.

[1]

Когда ему исполнился двадцать один год, он написал трактат о биноме Ньютона, завоевавший ему европейскую известность. После этого он получил кафедру математики в одном из наших провинциальных университетов, и, по всей вероятности, его ожидала блестящая будущность.

Оригинальный текст  (англ.)  

The Final Problem

At the age of twenty-one he wrote a treatise upon the binomial theorem, which has had a European vogue. On the strength of it he won the mathematical chair at one of our smaller universities, and had, to all appearances, a most brilliant career before him.

Примечания

См. также

dik.academic.ru