Полярные координаты интеграл – ? — Таловская средняя школа

Содержание

Замена переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярных координатах / Двойной интеграл / 3dstroyproekt.ru

Теорема о замене переменных в двойном интеграле

Пусть на плоскости $\mathbf { \textit { Ouv } } $ задана область $\mathbf { \textit { G } } $, и пусть отображение $\mathbf { \textit { F } } (\mathbf { \textit { M } } )=\mathbf { \textit { M } } $* преобразует эту область в область $\mathbf { \textit { D } } $ на плоскости $\mathbf { \textit { Oxy } } . $ Будем считать, что отображение $\mathbf { \textit { F } } $ задаётся функциями

$F:\left[ \begin{array} { l } x=x(u,v) \newline y=y(u,v) \newline \end{array} \right].$

Пусть:

$\mathbf { \textit { F } } $ взаимно однозначно отображает $\mathbf { \textit { G } } $ на $\mathbf { \textit { D } } $;
функции $\mathbf { \textit { x } } (\mathbf { \textit { u,v } } )\mathbf { \textit { , y } } (\mathbf { \textit { u,v } } )$ непрерывно дифференцируемы на $\mathbf { \textit { G } } $ { имеют непрерывные частные производные } ;
якобиан $J(u,v)=\frac { \partial (x,y) } { \partial (u,v) } =\left| { \begin{array} { l } \frac { \partial x } { \partial u } \quad \frac { \partial y } { \partial u } \newline \frac { \partial x } { \partial v } \quad \frac { \partial y } { \partial v } \newline \end{array} } \right|$ не обращается в нуль на $\mathbf { \textit { G } } .$
$ { \frac { { \partial \left( { x,y }\right) } } { { \partial \left( { u,v }\right) } } } = { \left| { \begin{array} { * { 20 } { c } } { \frac { { \partial x } } { { \partial u } } } & { \frac { { \partial x } } { { \partial v } } } \\ { \frac { { \partial y } } { { \partial u } } } & { \frac { { \partial y } } { { \partial v } } } \end{array} }\right| } = { \left| { \begin{array} { * { 20 } { c } } { \frac { { \partial \left( { u\cos v }\right) } } { { \partial u } } } & { \frac { { \partial \left( { u\cos v }\right) } } { { \partial v } } } \\ { \frac { { \partial \left( { u\sin v }\right) } } { { \partial u } } } & { \frac { { \partial \left( { u\sin v }\right) } } { { \partial v } } } \end{array} }\right| } = { \left| { \begin{array} { * { 20 } { c } } { \cos v } & { — u\sin v } \\ { \sin v } & { u\cos v } \end{array} }\right| } = { \cos v \cdot u\cos v — \left( { — u\sin v }\right) \cdot \sin v } = { u\, { \cos ^2 } v + u\, { \sin ^2 } v } = \\ = { u\left( { { { \cos } ^2 } v + { { \sin } ^2 } v }\right) = u. } $
Докажем, что в этих предположениях $\iint\limits_D { f(x,y)dxdy=\iint\limits_G { f(x(u,v),y(u,v))\cdot \left| { J(u,v) }\right|\cdot dudv } } $.

Док-во:

Рассмотрим, как связаны между собой площадь параллелограмма $\mathbf { \textit { АВСЕ } } $ со сторонами $\Delta u,\Delta v $в области $\mathbf { \textit { G } } $ и площадь его образа при преобразовании $\mathbf { \textit { F } } \textbf { — } $криволинейного параллелограмма $\mathbf { \textit { A } } _ { 1 } \mathbf { \textit { B } } _ { 1 } \mathbf { \textit { C } } _ { 1 } \mathbf { \textit { E } } _ { 1 } $ в области $\mathbf { \textit { D } } .$ С точностью до бесконечно малых высших порядков по сравнению с $\Delta u,\Delta v$, площадь криволинейного параллелограмма $\mathbf { \textit { A } } _ { 1 } \mathbf { \textit { B } } _ { 1 } \mathbf { \textit { C } } _ { 1 } \mathbf { \textit { E } } _ { 1 } $ равна площади обычного параллелограмма, построенного на векторах $\overline { A_1 B_1 } $ и $\overline { A_1 C_1 } $. Пусть точка $А$ имеет координаты $\mathbf { \textit { u,v } } $, тогда точка $\mathbf { \textit { А } } _ { 1 } $ будет иметь координаты $\mathbf { \textit { x } } (\mathbf { \textit { u,v } } ),\mathbf { \textit { y } } (\mathbf { \textit { u,v } } ))$, т.е. $A(u,v)\to A_1 (x(u,v),y(u,v))$. Для других точек: $B(u+\Delta u,v)\to B_1 (x(u+\Delta u,v),y(u+\Delta u,v))= \quad B_1 (x(u,v)+\frac { \partial x } { \partial u } (u,v)\Delta u+\alpha _1 (\Delta u)\Delta u,y(u,v)+\frac { \partial y } { \partial u } (u,v)\Delta u+\alpha _2 (\Delta u)\Delta u)$ { по формуле приращения дифференцируемой функции } . Аналогично $C(u,v+\Delta v)\to C_1 (x(u,v+\Delta v),y(u,v+\Delta v))=$

$C_1 (x(u,v)+\frac { \partial x } { \partial v } (u,v)\Delta v+\alpha _3 (\Delta v)\Delta v,y(u,v)+\frac { \partial y } { \partial v } (u,v)\Delta v+\alpha _4 (\Delta v)\Delta v),$ где $\alpha _i \to 0\;(i=1,2,3,4)$ при $\Delta u,\Delta v\to 0$.

Пренебрежём членами порядка малости выше первого по сравнению с $\Delta u,\Delta v$. Тогда $ \overline { AB } [\Delta u,0]\to \overline { A_1 B_1 } \left[ { \frac { \partial x } { \partial u } (u,v),\frac { \partial y } { \partial u } (u,v) \left. { \begin{array} { l } \newline \newline \end{array} }\right] ; } \right.\overline { AC } [0,\Delta v]\to \overline { A_1 C_1 } \left[ { \frac { \partial x } { \partial v } (u,v),\frac { \partial y } { \partial v } (u,v)\left. { \begin{array} { l } \newline \newline \end{array} } \right] } \right. $

Пусть теперь $\textbf { i,j,k } $ — базисные орты пространства, в котором лежит плоскость $\mathbf { \textit { Oxy } } $. Как известно, площадь параллелограмма, построенного на векторах $\overline { A_1 B_1 } $ и $\overline { A_1 C_1 } $, равна модулю векторного произведения этих векторов { проекции на орт $\textbf { k } $равны нулю } : $$ S_ { A_1 B_1 C_1 E_1 } =\left| { \left[ { \overline { A_1 B_1 } \ast \overline { A_1 C_1 } }\right] }\right|=\left| { \left| { \begin{array} { l } { \rm { \bf i } } \quad \;\;\;\;\;\; { \rm { \bf j } } \quad \;\;\;\; { \rm { \bf k } } \newline \frac { \partial x } { \partial u } \Delta u\;\;\frac { \partial y } { \partial u } \Delta u\;\;0 \newline \frac { \partial x } { \partial v } \Delta v\;\;\frac { \partial y } { \partial v } \Delta v\;\;0 \newline \end{array} }\right| }\right|=\left| { \rm { \bf k } }\right|\left| { \left| { \begin{array} { l } \frac { \partial x } { \partial u } \Delta u\;\;\frac { \partial y } { \partial u } \Delta u \newline \frac { \partial x } { \partial v } \Delta v\;\;\frac { \partial y } { \partial v } \Delta v \newline \end{array} }\right| }\right|=\left| { \left| { \begin{array} { l } \frac { \partial x } { \partial u } \;\;\frac { \partial y } { \partial u } \newline \frac { \partial x } { \partial v } \;\;\frac { \partial y } { \partial v } \newline \end{array} }\right| }\right|\left| { \Delta u\Delta v }\right|=\left| { J(u,v) }\right|S_ { ABCE } . $$

Мы доказали замечательную вещь. Если вокруг точки $M\in G$ взять маленькую область, то после преобразования $\mathbf { \textit { F } } $ площадь этой области меняется в $\vert \quad \mathbf { \textit { J } } (\mathbf { \textit { M } } ) \quad \vert $ раз.

Перейдём к доказательству основной формулы. Разобьём $\mathbf { \textit { G } } $ прямыми, параллельными осям координат, на области $\mathbf { \textit { G } } _ { 1 } $, $\mathbf { \textit { G } } _ { 2 } , { \ldots } , \mathbf { \textit { G } } _ { n } $. Образы этих линий дадут разбиение $\mathbf { \textit { D } } $ на области $\mathbf { \textit { D } } _ { 1 } $, $\mathbf { \textit { D } } _ { 2 } , { \ldots } , \mathbf { \textit { D } } _ { n } $. Для этого разбиения составим интегральную cумму $\sum\limits_ { i=1 } ^n { f(P_i )S(D_i )= } \sum\limits_ { i=1 } ^n { f(x(u_i ,v_i ),y(u_i ,v_i ))\left| J \right|S(G_i ) } $. Устремим $\mathop { \max } \limits_ { i=1,2,…,n } diam(G_i )\to 0$; тогда и $\mathop { \max } \limits_ { i=1,2,…,n } diam(D_i )\to 0$. И слева, и справа интегральные суммы записаны для непрерывных функций, следовательно,и слева, и справа существуют пределы — двойные интегралы, и они равны: $\iint\limits_D { f(x,y)dxdy=\iint\limits_G { f(u,v)\cdot \left| { J(u,v) }\right|\cdot dudv } } $, что и требовалось доказать.
Двойной интеграл в полярных координатах

Нам придётся применять эту формулу, в основном, для перехода к полярным координатам. Роль переменных $\mathbf { \textit { u } } $ и $\mathbf { \textit { v } } $ будут играть $\mathbf { \textit { r } } $ и $\phi $. Как известно, $x=r\cos \varphi ,y=r\sin \varphi $. Вычислим якобиан: $J=\left| { \left| { \begin{array} { l } \cos \varphi \quad \;\;\;\;\sin \varphi \newline -r\sin \varphi \;\;r\cos \varphi \newline \end{array} }\right| }\right|=\vert r\vert =r$, следовательно, $\iint\limits_ { D(x,y) } { f(x,y)dxdy } =\iint\limits_ { D(r,\phi ) } { f(r\cos \varphi ,r\sin \varphi )rdrd\varphi } $. Двойной интеграл в координатах $\mathbf { \textit { r } } ,\phi $ вычисляется также как и в координатах $\mathbf { \textit { x } } ,\mathbf { \textit { y } } , $переходом к двухкратному, при этом внешний обычно берут по $\varphi $. Если область $\mathbf { \textit { D } } $ описывается как $D:\left[ { \begin{array} { l } \varphi _0 \leqslant \varphi \leqslant \varphi _k \newline r_1 (\varphi )\leqslant r\leqslant r_2 (\varphi ) \newline \end{array} } \right]$, то $\iint\limits_ { D(r,\varphi ) } { f(r\cos \varphi ,r\sin \varphi )rdrd\varphi } =\int\limits_ { \varphi _0 } ^ { \varphi _k } { d\varphi \int\limits_ { r_1 (\varphi ) } ^ { r_2 (\varphi ) } { f(r\cos \varphi ,r\sin \varphi )rdr } } $. Естественно, если $r_1 (\varphi ),r_2 (\varphi )$ — кусочные функции, то внешний интеграл разбивается на несколько слагаемых. Однозначно дать рецепт, когда имеет смысл переходить к полярным координатам, нельзя, это дело опыта. Можно пробовать перейти к $\mathbf { \textit { r } } ,\phi $, если либо $\mathbf { \textit { f } } (\mathbf { \textit { x } } ,\mathbf { \textit { y } } )$, либо кривые, ограничивающие область интегрирования, либо и то, и другое вместе, зависят от комбинации $\mathbf { \textit { x } } ^ { 2 } +\mathbf { \textit { y } } ^ { 2 } =\mathbf { \textit { r } } ^ { 2 } $. Если $f(x,y)=f\left( { \frac { x^2 } { a^2 } +\frac { y^2 } { b^2 } }\right)$ и/или область $\mathbf { \textit { D } } $ ограничивается эллипсом $\frac { x^2 } { a^2 } +\frac { y^2 } { b^2 } =1$, полезны обобщённые полярные координаты $x=ar\cos \varphi ,y=br\sin \varphi $. Каков якобиан этого преобразования?

3dstroyproekt.ru

7.5. Двойной интеграл в полярной системе координат

Для того чтобы двойной интеграл в декартовых координатах преобразовать в двойной интеграл в полярных координатах, нужно в подинтегральной функции заменить,, а элемент площадизаменить его выражением в полярных координатах.

●Правило расстановки пределов интегрирования (рис. 38)

1. Внутренний интеграл всегда за-висит от переменной ρ, считая φ постоянной величиной.

2. Чтобы расставить пределы внут-реннего интеграла, надо провести лучи,

исходящие из полюса. Точки входа и точки выхода лучей в область D, заданную системой неравенств: определяют соответствен-но нижний и верхнийпределы интегрирования.

3. Пределы внешнего интеграла определяются уравнениями лучей

, считая против хода часовой стрелки (в положительном направлении).

4. Если полюс содержится внутри области D, то нижний предел внутреннего интеграла следует положить . Итак,

Замечания.

1. Пределы интегрирования будут постоянными, если область интегрирования представляет собой часть круга.

2. К полярным координатам удобно переходить в том случае, когда область интегрирования ограничена дугами окружностей или линиями, заданными в полярных координатах.

Пример. Вычислить где

Решение. Перейдем к полярным координатам:

По условию задачи следовательно,. Итак,

7.6. Тройной интеграл

По аналогии с двойным интегралом вводится понятие тройного интеграла по ограниченной замкнутой пространственной области V, если в ней определена непрерывная функция , который обозначается так:. Предположим, что областьV является стандартной в направлении оси , т. е. удовлетворяющей следующим условиям:

1) всякая прямая, параллельная оси и имеющая с областьюV общие точки, пересекает границу области только в двух точках;

Рис. 39

) проекцияD области V на плоскость

представляет стандартную область в направлении оси

или оси

Если при этом область V ограничена сверху поверхностью , а снизу – поверхностью, то тройной интеграл в декартовых координатах можно вычислить следующим образом:

Если, например, область D является стандартной в направлении оси и определяется неравенствами;, то

Итак, .

Часто удобно вычисление тройного интеграла провести в цилиндрических или сферических координатах.

Цилиндрические координаты:

, где

При этом: .

Итак, тройной интеграл в цилиндрических координатах записывается следующим образом:

Пример 6.2. Вычислить

Рис. 40

где область V ограничена плоскостями

цилиндроми расположена в первом октанте (рис. 40), т. е.

Решение. Вычислим в цилиндрической системе координат

Сферические координаты:

где

При этом: .

Тройной интеграл в сферических координатах записывается так:

Особенно удобно применение сферических координат в случае, когда область интегрирования V-шap с центром в начале координат или шаровое кольцо.

Пример 6.3. Вычислить

где V – шар, который описывается неравенством (рис. 41).

Рис. 41

ешение. Перейдем к сферическим координатам. При этом подынтегральная функция примет вид . Следовательно

studfiles.net

замена переменной в кратном интеграле. полярные координаты — ПриМат

При вычислении кратных интегралов часто возникает необходимость перейти к более простой области интегрирования для упрощения их вычисления, возможно даже ценой некоторого усложнения подынтегральной функции.

Из курса аналитической геометрии известны следующие соотношения между декартовыми и полярными координатами: $x = r\cos\phi,\quad y = r\sin\phi\quad(*)$.
При этом, $r \geq 0, 0 \leq \phi <2\pi$. Рассмотрим вспомогательную плоскость $RO\Phi$, где $r$ и $\phi$ являются декартовыми координатами, и определим на ней множество точек $G$, такое, что: $G = \{(r, \phi)| r > 0, 0 \leq \phi < 2\pi\}$.

Тогда формулы $(*)$ определяют непрерывно дифференцируемое отображение $F : G \to \widetilde{XOY}$, где $\widetilde{XOY} = XOY \setminus\{(0, 0)\}$.

По определению полярных координат, в декартовой системе координат $XOY$ $r$ задает радиус окружности с центром в начале координат, а $\phi$ определяет луч, исходящий из центра координат, такой что угол между лучом и положительным направлением оси $OX$ равен $\phi$. С геометрической точки зрения очевидно, что они пересекаются в единственной точке.

Таким образом, любую точку $P = (x_0, y_0)$ из $\widetilde{XOY}$ можно однозначно определить пересечением луча, направленного под углом $\phi_0$ и окружности радиусом $r_0$, и тогда точка $P’ = (r_0, \phi_0)$ будет единственным прообразом $P$ в $G$. Очевидно, что любой элемент из $G$ служит прообразом, и что двум различным точкам из $G$ будут соответствовать 2 различные точки из $\widetilde{XOY}$. Таким образом, отображение $F$ между точками плоскостей $G$ и $\widetilde{XOY}$ взаимно однозначное:

Якобиан полученного отображения будет равен:
$J_F = \begin{array}{|cc|} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \phi} \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \phi} \end{array} = \begin{array}{|cc|} \cos{\phi}& -r\sin{\phi} \\ \sin{\phi} & r\cos{\phi} \end{array} = r$

Теперь рассмотрим множество точек $G’$, полученное добавлением к множеству $G$ отрезка $r = 0$, т.е. $G’ = \{(r, \phi)| r \geq 0, 0 \leq \phi < 2\pi\}.$ $G’$ уже является прообразом всей плоскости $XOY$, но на отрезке $r = 0, 0 \leq \phi < 2\pi$ не достигается взаимная однозначность, а $\left|J_F\right| = 0$. Обратим внимание, что его Жорданова мера равна нулю.

Наконец, пусть дана область $\Omega \subset XOY$ и функция $f$, непрерывная на измеримом множестве $\overline{\Omega}$. Ее прообразом при отображении $F$, заданного формулами $(*)$, будет некоторая область $\Omega’ \subset G’$. Если область $\Omega$ не содержит точки O — начала координат, то выполнены все условия теоремы о замене переменной в кратных интегралах, и справедлива формула:
$$\iint\limits_{\Omega} f(x, y)\,dxdy = \iint\limits_{\Omega’} f(r\cos{\phi}, r\sin{\phi})r\,drd\phi$$
Если же точка $O \in \Omega$, то взаимная однозначность и не обращение якобиана в нуль не выполняются на множестве $r = 0$, что не влияет на справедливость данной формулы (следует из замечания к указанной теореме).

Пример №1

Вычислить интеграл:
$\iint\limits_{\Omega}(x^2 + y^2)\,dxdy, \Omega = \{(x, y)| y \geq 0, x^2 + y^2 \leq a^2\}.$
Заметим, что в полярных координатах полукруг будет представлять из себя более простую область интегрирования:

Поэтому, воспользуемся формулой замены переменной и перейдем к полярным координатам:
$\iint\limits_{\Omega}(x^2 + y^2)\,dxdy = \iint\limits_{\Omega’}r^2r\,drd\phi = \int\limits_0\limits^{\pi}\,d\phi\int\limits_0\limits^ar^3\,dr = $ $ \int\limits_0\limits^{\pi}\frac{a^4}{4}\,d\phi = \frac{\phi a^4}{4}|_0^{\pi} = \frac{\pi a^4}{4}$.

[свернуть]

Рассмотрим теперь пространство $\mathbb{R}^3$, в котором задана декартова система координат $OXYZ$. Цилиндрические координаты связанны с декартовыми следующим образом:
$x = r\cos\phi,\quad y = r\sin\phi,\quad z = t\quad(**),$
где $r \geq 0, 0 \leq \phi <2\pi, t \in \mathbb{R}$ (величины $r$ и $\phi$ для любой точки $A = (x, y, z)$ определяются таким же образом, как и в полярных координатах для ее проекции $P’ = (x, y, 0)$ на $XOY$). Теперь, аналогично случаю с полярными координатами, рассмотрим вспомогательное пространство $OR\Phi T$, где $r, \phi, t$ — декартовы координаты, а в нем — множество точек $G = \{(r, \phi, t)| r \geq 0, 0 \leq \phi <2\pi, t \in \mathbb{R}\}$.

Отображение $F : G \to OXYZ$, определяемое формулами $(**)$, является непрерывно дифференцируемым.
$J_F = \begin{array}{|ccc|} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \phi} & \frac{\partial x}{\partial t} \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \phi} & \frac{\partial y}{\partial t} \\ \frac{\partial z}{\partial r} & \frac{\partial z}{\partial \phi} & \frac{\partial z}{\partial t} \end{array} = \begin{array}{|ccc|} \cos{\phi}& -r\sin{\phi} & 0 \,\\ \sin{\phi} & r\cos{\phi} & 0 \,\\ 0 & 0 & 1\,\end{array} = r$

Очевидно, что как и в случае с полярными координатами, отображение $F$ — взаимно однозначное, и его якобиан не равен нулю. Данные условия не выполняются только при $r = 0$, т.е. на множестве $L = \{(r, \phi, t)| r = 0, 0 \leq \phi <2\pi, t \in \mathbb{R}\}$. Пересечение такого множества с любым другим ограниченным множеством есть ограниченное линейное множество, и жорданова мера этого пересечения равна нулю.

Тогда, если дана область $\Omega \subset OXYZ$, и функция $f$ непрерывна на измеримом множестве $\overline{\Omega}$, а $\Omega’ \subset G$ — прообраз данной области при отображении $F$, то выполнены все условия теоремы о замене, и справедлива следующая формула:
$$\iiint\limits_{\Omega} f(x, y, z)\,dxdydz = \iiint\limits_{\Omega’} f(r\cos{\phi}, r\sin{\phi}, t)r\,drd\phi dt$$

Наконец, рассмотрим сферические координаты, связанные с декартовыми следующими соотношениями: $x = r\cos{\phi} \cos{\psi},\quad y = r\sin{\phi} \cos{\psi},\quad z = r\sin{\psi}\quad (***),$
где $r \geq 0, 0 \leq \phi < 2\pi, -\frac{\pi}{2} \leq \psi \leq \frac{\pi}{2}$. Введем вспомогательное пространство $OR\Phi\Psi$, где $r, \phi, \psi$ — декартовы координаты, а в нем рассмотрим множество точек $G = \{(r, \phi, \psi)| r \geq 0, 0 \leq \phi < 2\pi -\frac{\pi}{2} \leq \psi \leq \frac{\pi}{2}\}$.

Отображение $F : G \to OXYZ$, определяемое формулами $(***)$, непрерывно дифференцируемо.
$J_F = \begin{array}{|ccc|} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \phi} & \frac{\partial x}{\partial \psi} \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \phi} & \frac{\partial y}{\partial \psi} \\ \frac{\partial z}{\partial r} & \frac{\partial z}{\partial \phi} & \frac{\partial z}{\partial \psi} \end{array} = \begin{array}{|ccc|} \cos{\phi}\cos{\psi}& -r\sin{\phi}\cos{\psi} & -r\cos{\phi}\sin{\psi} \,\\ \sin{\phi}\cos{\psi} & r\cos{\phi}\cos{\psi} & -r\sin{\phi}\sin{\psi} \,\\ \sin{\psi} & 0 & r\cos{\psi}\,\end{array} = $ $ r^2\cos{\psi}$.

Взаимная однозначность данного отображения устанавливается по тем же рассуждениям, что и в предыдущих двух случаях, и не выполняется только при $r = 0, \psi = -\frac{\pi}{2}, \psi = \frac{\pi}{2}$, когда и якобиан равен нулю. Однако любое подмножество множества, задаваемого такими равенствами, будет представлять собой ограниченную часть плоскости с жордановой мерой нуль в пространстве $OXYZ$, что не помешает совершить замену.

Тогда, при соответствующих условиях, справедлива формула замены переменной ($\Omega \subset OXYZ, \Omega’ \subset G$):
$$\iiint\limits_{\Omega} f(x, y, z)\,dxdydz = $$ $$\iiint\limits_{\Omega’} f(r\cos{\phi}\cos{\psi}, r\sin{\phi}\cos{\psi}, r\sin{\psi})r^2\cos{\psi}\,drd\phi d\psi$$

Пример №2

Вычислить интеграл $\iiint\limits_{\Omega} e^{{(x^2 + y^2 + z^2)}^{\frac{3}{2}}}\,dxdydz$, где граница области $\Omega$ задается уравнением $x^2 + y^2 + z^2 = 1$.

Область интегрирования представляет собой шар радиуса с центром в начале координат. Следовательно, будет удобно воспользоваться переходом к цилиндрической системе координат. В ней новая область интегрирования будет определятся следующими неравенствами: $0 \leq \phi \leq 2\pi,\quad -\frac{\pi}{2} \leq \psi \leq \frac{\pi}{2},\quad 0 \leq r \leq 1$. Воспользуемся формулой замены переменной для сферических координат:
$\iiint\limits_\Omega e^{(x^2 + y^2 + z^2)^{\frac{3}{2}}}\,dxdydz = $ $\iiint\limits_{\Omega’} e^{r^{2^{\frac{3}{2}}}}r^2\cos{\psi} \,drd\phi d\psi = \int\limits_0\limits^{2\pi}\,d\phi\int\limits_0\limits^1e^{r^3}r^2\,dr\int\limits_{-\frac{\pi}{2}}\limits^{\frac{\pi}{2}}\cos{\psi}\,d\psi = $ $\int\limits_0\limits^{2\pi}\,d\phi\int\limits_0\limits^1e^{r^3}r^2\,dr \cdot (\sin{\psi})|_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = 2\int\limits_0\limits^{2\pi}\,d\phi\int\limits_0\limits^1\frac{1}{3}e^{r^3}\,d(r^3) = $ $\frac{2}{3}\int\limits_0\limits^{2\pi}\,d\phi \cdot e^{r^3}|_0^1 = \frac{2}{3}(e — 1)\int\limits_0\limits^{2\pi}\,d\phi = \frac{2}{3}(e — 1) \cdot \phi|_0^{2\pi} = \frac{4\pi}{3}(e — 1)$

[свернуть]

Лимит времени: 0

Информация

Тест: Использование полярных, цилиндрических и сферических координат для вычисления кратных интегралов

Для закрепления материала, рекомендуется пройти тест по данной теме.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается…

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Правильных ответов: 0 из 5

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

С ответом
С отметкой о просмотре

Задание 1 из 5
Сопоставьте каждой системе координат якобиан, соответствующий переходу из декартовой системы координат в данную.
- $J_F = \begin{array}{|cc|} \cos{\phi}& -r\sin{\phi}\, \\ \sin{\phi} & r\cos{\phi}\, \end{array}$
- $J_F = \begin{array}{|ccc|} \cos{\phi}& -r\sin{\phi} & 0\, \\ \sin{\phi} & r\cos{\phi} & 0\, \\ 0 & 0 & 1\,\end{array}$
- $J_F = \begin{array}{|ccc|} \cos{\phi}\cos{\psi}& -r\sin{\phi}\cos{\psi} & -r\cos{\phi}\sin{\psi} \,\\ \sin{\phi}\cos{\psi} & r\cos{\phi}\cos{\psi} & -r\sin{\phi}\sin{\psi} \,\\ \sin{\psi} & 0 & r\cos{\psi}\,\end{array}$
- Полярные координаты
- Цилиндрические координаты
- Сферические координаты
Задание 2 из 5
Пусть $R$ — заданная область интегрирования в декартовых координатах, а $S$ — область интегрирования, получаемая при переходе к полярным координатам. В каких формулах замена переменных при переходе к полярным координатам была выполнена правильно?
Задание 3 из 5
Расположите данные интегралы в порядке возрастания их значений (для вычисления каждого из них воспользуйтесь переходом к цилиндрическим, сферическим или полярным координатам).
- $\iint\limits_U {xy\,dydx}, U: 1 \leq x^2 + y^2 \leq 5$
- $\iiint\limits_U {\left( {{x^4} + 2{x^2}{y^2} + {y^4}} \right)\,dxdydz} , U: 0 \leq z \leq 1, x^2 + y^2 \leq 1$
- $\iiint\limits_U {\sqrt {{x^2} + {y^2} + {z^2}}\,dxdydz}, U: x^2 + y^2 + z^2 \leq 25$
Задание 4 из 5
Переход к каким координатам (полярным, сферическим или цилиндрическим) наиболее упростит вычисление интеграла $\iiint\limits_U {\left( {{x^4} + 2{x^2}{y^2} + {y^4}} \right)\,dxdydz},$ где область $U$ задается следующим образом: $x^2+y^2 \leq 1, 0 \leq z \leq 1?$
Задание 5 из 5
Вычислите c помощью перехода к полярным координатам интеграл $\iint\limits_Uxy^2\,dxdy,$ $U = \{(x, y)| 4 \leq x^2 + y^2 \leq 16, x \geq 0, y \leq 0\}.$ Для обозначения деления используйте символ «/», для обозначения числа $\pi$ — «pi».

Таблица лучших: Переход к полярным, цилиндрическим и сферическим координатам при вычислении кратных интегралов

максимум из 7 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Поделиться ссылкой:

ib.mazurok.com