Как делать обратную замену в уравнении – Метод замены переменной. Подробная теория с примерами.

Методика работы с темой «замена переменной в уравнениях»

Слабый ученик — головная боль для репетитора по математике, так как традиционные методы объяснений ему не подходят. Причины этого несоответствия могут быть разными: от проблем, связанных со способностями обеспечивать достаточную скорость мышления и точную привязку мыслительных операций к определенным объектам до пропусков занятий и полного отсутствия практики общения с математическими понятиями и алгоритмами.

Особое умение репетитора выходить из таких, казалось бы, патовых ситуаций, связано с наличием в его арсенале средств различных хитрых типов объяснений текущих тем в обход каким-то навыкам и способностям, знаниям и умениям, приобретенным в результате долгого и упорного труда.

Слабые дети тоже бывают разными, но до определенной их части все-таки можно достучаться, сопоставляя изучаемые математические структуры и модели с реальными аналогами, или с явлениями похожими на них. Тогда и интерес появляется и дольше информация в памяти храниться (благо ассоциативная память включается) и быстрее приходит понимание (благо есть фундамент, на который можно хоть как-то опереться)

Замена переменной в уравнениях — одна из тем, часто попадающая в категорию до конца не понятой слабым учеником. В лучшем случае он просто заучивает алгоритм и при малейшем изменении условий его применения может растеряться. Как репетитор по математике может донести суть приема?

Рассмотрим для примера уравнение:

Сразу скажу, что методически будет правильнее сначала перенести все слагаемые в левую часть, чтобы оставшийся нуль в правой был бы постоянным, видимым и желаемым результатом вычислений при проверке корней.
Самому репетитору по математике (как и сильному ученику) решить уравнение не представляет труда. Делаем замену

Решаем уравнение

Его корни t1=-4 и t2=-1. Возвращаемся к переменной Х и решаем еще два уравнения

В первом из них нет решений, а во втором имеем единственный корень х=1.
Все ходы просты и понятны кому угодно, но только не слабому ученику, так как без соответствующих комментариев и аналогий уже на этапе перехода к уравнению

он, скорее всего, упустит нити рассуждений и потеряет взаимосвязи между числами.
На помощь репетитору по математике приходят как математические пояснения, так и примеры, не связанные напрямую с математикой. И в том и в другом случае до их использования репетитор должен развернуть структуру объекта перед ребенком и показать, как проверяется наугад взятое число на предмет попадания его в ответ. Это делается подстановкой тестируемого числа в левую часть уравнения и поэтапным подсчетом значения выражения

Сначала выполняются действия

(их результат обозначен буквой t) Затем, то, что получилось, подставляют в выражение

для сравнения его результата с нулем. Репетитору по математике желательно заострить внимание ученика на возможности такого «расчленения», а для запоминания порядка подсчета дать несколько простых упражнений. Можно попросить проверить несколько «наугад выбранных чисел», среди которых обязательно должен быть корень уравнения. Я предлагаю составить такую таблицу:

Соответствующие указатели и цветовые выделения помогут репетитору минимальным словесным описанием донести до ученика главное. Видно, что нулевой результат получился на последнем этапе вычислений при вставке числа −1 в выражение из третьей колонки. Понятно откуда эта «минус единица» пришла и какими действиями она получается.

Ставим перед учеником следующую цель: догадаться как число −1 можно было бы обнаружить, если бы мы его не знали и не видели его во втором и третьем столбике. Есть шанс, что ученик не растеряется и скажут репетитору: «надо решить уравнение t^2+5t+4 = 0». Отлично, можно идти дальше и обратить его внимание появлении числа −1 получается при подстановке х=1 в выражение

Значит х=1 - корень уравнения

Тот же ученик скажет репетитору:«надо решить уравнение x^2-2x=0»
Если понимание пришло, репетитору по математике необходимо акцентировать внимание ребенка на главной особенности уравнения, из-за которой такое решение возможно: наличие внутри левой части повторяющегося набора действий (повторяющегося выражения).

Далее... Озвучивание репетитором общего плана и техники решения всех таких уравнений со всеми сопутствующими ей атрибутами (на разобранном примере).

1) Ищем повторяющиеся выражения.
2) Обозначаем их новой буквой t.
3) Записываем шаблон будущего уравнения для нахождения иксов:

Желательно не использовать буквенные обозначения, закрепленные за другими объектами: страшим коэффициентом квадратного уравнения (буква «а»), осью ординат (буква «y») ...
4) Вставляем букву t в первоначальное уравнение вместо выражения

5)Решая уравнение
Находим корни (t1 и t2), гарантирующие получение нуля в последнем столбике таблицы.
6) Подставим найденные числа в выделенный «шаблон» и решим еще два уравнения:

Таким образом найдем иксы, при подстановке которых в выражение из второй колонки таблицы эти получатся «гаранты» t1 и t2.

Фактически репетитор по математике двигается с учеником по указанной таблице справа налево.

Если ученик не самый слабый, то достаточно показать схемку:

Если репетитор чувствует, что с открытой структурой объекта, понимание все равно не приходит и ученик не может осознать (или успевает забывать) что именно показывают числа t1=-4 и t2=-1, то можно предложить сравнить подбор чисел с работой кодового замка на двери, ведущей на какой-нибудь секретный объект. Как будто кодовый замок — это буквенное выражение в левой части уравнения, а нам надо найти верный код (число для вставки вместо Х), чтобы получить нуль в результате всех действий

Тогда дверь откроется.

Это замок двойной, он состоит из двух частей :
1)«Cистема преобразований» (или коротко: «переводилка») числового кода (Х) в числовой пароль t (его «вычисляет» выражение

2)«Система проверки» пароля, которая при получении нуля в результате действий

открывает дверь.

Решить уравнение — значит найти все коды, открывающие дверь. Как это сделать?

Логично сначала узнать все пароли (t1=-4 и t2=-1), при которых дверь открывается. Для этого решим уравнение

Затем для каждого из найденных паролей и попробовать подобрать коды, которые в них будут преобразованы действиями

Эти коды — наш ответ!
При такой методике объяснений репетитору по математике будет легче удержать внимание на структуре алгоритма. Так как слова код и пароль более коротки, понятны и знакомы чем сложные для осмысления строгие математические фразы «значение переменной, при которой значение выражения ...»

Если репетитору по математике опять не удалось добиться понимания, то можно привести более простую аналогию с реальностью (правда менее точную). На секретный объект имеют доступ несколько человек . Требуется пронести на него некоторые предметы. Представим себе, что эти предметы — числа (иксы). Какие из них как можно пронести?

На вопрос «как пронести» репетитору по математике ждать ответа не придется. Любой ученик скажет: «надо найти этих людей-агентов и передать с ними. Правильно! Числа −4 и −1 у нас играют роль агентов (буква t — дверь в которую они входят для получения разрешения пройти на территорию. Выражение x^2-2x похоже на карман, в который должен влезть нужный для проноса предмет (в его роли выступает число 1 из ответа).Невозможность найти корень уравнения

можно сравнить с ситуацией, когда ни один имеющийся у нас предмет не влезает в карман первого агента, а результат решения уравнения

сравнить с возможностью «запихнуть» второму посыльному в карман только одну единственную вещь : x=1 (карман очень маленький).

Можно назвать такой метод — методом аналогий. Его применение позволяет репетитору по математике в дальнейшем использовать красивые опорные слова в качестве подсказок ученику. Забыл с чего начать? Определяй агентов : t1 и t2. Если они уже найдены — определяй что залезет к ним в карман.

Анализ эффективности данной методики
Вопросы учеников к репетитору по теме

Осталось пожелать ученикам и репетиторам успехов в изучении темы.

Колпаков Александр Николаевич, репетитор по математике.

Метки: Замена переменной, Метод аналогий, Репетиторам по математике, Решение уравнений

ankolpakov.ru

Замена переменных

Решение.

\(\triangle\) Имеем:
$$
r^2=x^2+y^2,\Longrightarrow rdr=xdx+ydy,\quad \frac{\partial r}{\partial x}=\frac{x}{r},\quad \frac{\partial r}{\partial y}=\frac{y}{r},\nonumber
$$
$$
d\varphi=\frac{xdy-ydx}{x^2+y^2},\Longrightarrow \frac{\partial \varphi}{\partial x}=-\frac{y}{r^2}=-\frac{\sin\varphi}{r},\quad \frac{\partial \varphi}{\partial y}=\frac{x}{r^2}=\frac{\cos\varphi}{r},\nonumber
$$

Тогда,
$$
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial \varphi}\frac{\partial\varphi}{\partial x}=\frac{x}{r}\frac{\partial u}{\partial r}-\frac{y}{r^2}\frac{\partial u}{\partial \varphi}=\cos\varphi\frac{\partial u}{\partial r}-\frac{\sin\varphi}{r}\frac{\partial u}{\partial \varphi},\nonumber
$$
$$
\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial y}+\frac{\partial u}{\partial \varphi}\frac{\partial\varphi}{\partial y}=\sin\varphi\frac{\partial u}{\partial r}+\frac{\cos\varphi}{r}\frac{\partial u}{\partial r}.\nonumber
$$

Таким образом,
$$
\frac{\partial}{\partial x}=\cos\varphi\frac{\partial}{\partial r}-\frac{\sin\varphi}{r}\frac{\partial}{\partial\varphi},\qquad \frac{\partial}{\partial y}=\sin\varphi\frac{\partial}{\partial r}+\frac{\cos\varphi}{r}\frac{\partial}{\partial\varphi},\nonumber
$$

Для начала найдем \(\displaystyle \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\).
$$
\frac{\partial^2u}{\partial x^2}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)=\underbrace{\frac{\partial}{\partial r}\left(\frac{\partial u}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial\varphi}\frac{\partial\varphi}{\partial x}\right)\frac{\partial r}{\partial x}}_{\boxed{1}}+\underbrace{\frac{\partial}{\partial\varphi}\left(\frac{\partial u}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial\varphi}\frac{\partial\varphi}{\partial x}\right)\frac{\partial\varphi}{\partial x}}_{\boxed{2}}\nonumber
$$

Рассмотрим \(\boxed{1}\)
$$
\boxed{1}=\frac\partial{\partial r}\left(\frac{\partial u}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial\varphi}\frac{\partial\varphi}{\partial x}\right)\frac{\partial r}{\partial x}=\frac\partial{\partial r}\left(\cos\varphi\frac{\partial u}{\partial r}-\frac{\sin\varphi}r\frac{\partial u}{\partial\varphi}\right)\cos\varphi=\\=\left(\cos\varphi\frac{\partial^2u}{\partial r^2}-\frac{\sin\varphi}r\frac{\partial^2u}{\partial r\partial\varphi}+\frac{\sin\varphi}{r^2}\frac{\partial u}{\partial\varphi}\right)\cos\varphi=\\=\cos^2\varphi\frac{\partial^2u}{\partial r^2}-\frac{\sin\varphi\cos\varphi}r\frac{\partial^2u}{\partial r\partial\varphi}+\frac{\sin\varphi\cos\varphi}{r^2}\frac{\partial u}{\partial\varphi}\nonumber
$$

Теперь рассмотрим \(\boxed{2}\):
$$
\boxed{2}=\frac\partial{\partial\varphi}\left(\frac{\partial u}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial\varphi}\frac{\partial\varphi}{\partial x}\right)\frac{\partial\varphi}{\partial x}=\frac\partial{\partial\varphi}\left(\cos\varphi\frac{\partial u}{\partial r}-\frac{\sin\varphi}r\frac{\partial u}{\partial\varphi}\right)\left(-\frac{\sin\varphi}r\right)=\\=\left(-\sin\varphi\frac{\partial u}{\partial r}+\cos\varphi\frac{\partial^2u}{\partial\varphi\partial r}-\frac{\cos\varphi}r\frac{\partial u}{\partial\varphi}-\frac{\sin\varphi}r\frac{\partial^2u}{\partial\varphi^2}\right)\left(-\frac{\sin\varphi}r\right)=\\=\frac{\sin^2\varphi}r\frac{\partial u}{\partial r}-\frac{\cos\varphi\sin\varphi}r\frac{\partial^2u}{\partial\varphi\partial r}+\frac{\cos\varphi\sin\varphi}{r^2}\frac{\partial u}{\partial\varphi}+\frac{\sin^2\varphi}{r^2}\frac{\partial^2u}{\partial\varphi^2}\nonumber
$$

Сложим эти выражения вместе (\(\boxed{1}+\boxed{2}\)):
$$
\boxed{1}+\boxed{2}=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=\cos^2\varphi\frac{\partial^2u}{\partial r^2}-\frac{2\sin\varphi\cos\varphi}r\frac{\partial^2u}{\partial r\partial\varphi}+\frac{\sin^2\varphi}{r^2}\frac{\partial^2u}{\partial\varphi^2}+\frac{\sin^2\varphi}r\frac{\partial u}{\partial r}+\frac{2\cos\varphi\sin\varphi}{r^2}\frac{\partial u}{\partial\varphi}\nonumber
$$

Рассуждая аналогично, найдем \(\displaystyle \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\)
$$
\frac{\partial^2u}{\partial y^2}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)=\frac{\partial}{\partial r}\left(\frac{\partial u}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial y}+\frac{\partial u}{\partial\varphi}\frac{\partial\varphi}{\partial y}\right)\frac{\partial r}{\partial y}+\frac{\partial}{\partial\varphi}\left(\frac{\partial u}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial y}+\frac{\partial u}{\partial\varphi}\frac{\partial\varphi}{\partial y}\right)\frac{\partial\varphi}{\partial y}=\\=\cos^2\varphi\frac{\partial^2u}{\partial r^2}+\frac{2\sin\varphi\cos\varphi}r\frac{\partial^2u}{\partial r\partial\varphi}+\frac{\cos^2\varphi}{r^2}\frac{\partial^2u}{\partial\varphi^2}+\frac{\cos^2\varphi}r\frac{\partial u}{\partial r}-\frac{2\cos\varphi\sin\varphi}{r^2}\frac{\partial u}{\partial\varphi}\nonumber
$$

Таким образом, складывая \(\displaystyle \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\), получаем:
$$
\omega=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=\frac{\partial^2u}{\partial r}+\frac1r\frac{\partial u}{\partial r}+\frac1{r^2}\frac{\partial^2u}{\partial\varphi^2}\nonumber
$$

Пусть \(u=v(r)\) есть решение уравнения Лапласа, зависящее только от \(r\). Тогда функция \(v(r)\) должна быть решением дифференциального уравнения
$$
\frac{\partial^2v}{\partial r}+\frac1r\frac{\partial v}{\partial r}=0\quad\Longleftrightarrow\quad\frac{d}{dr}\left(r\frac{dv}{dr}\right)=0\nonumber
$$
$$
r\frac{dv}{dr}=C,\quad\Longrightarrow\quad v=C_1\ln r+C_2,\label{ref3}
$$
где \(C_1\) и \(C_2\) — произвольные постоянные. \(\blacktriangle\)

univerlib.com

Разработка урока алгебры в 8-м классе по теме "Решение уравнений методом замены переменной"

Разделы: Математика


Класс: 8.

Программа: для общеобразовательных учреждений, п/р А.Г. Мордковича.

Учебник: Алгебра 8, автор А.Г. Мордкович.

Тип урока: ознакомление с новым материалом.

Цели урока: сформировать умение решать уравнения, приводимые к квадратным, путем введения новой переменной, повторить способы решения неполных квадратных уравнений, формулы сокращенного умножения

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, экран, презентация к уроку, индивидуальные доски, маркеры по доске.

Раздаточный материал: карточки с заданием для самостоятельной работы.

Ход урока

1. Оргмомент.

2. Сообщение темы урока и целей урока.

- Мы должны сегодня изучить новый метод решения уравнений. Он широко применяется при решении многих типов уравнений, которые мы будем изучать в старших классах. А сегодня мы рассмотрим, как применить его при решении уравнений, которые можно свести к квадратным. Что это за способ, вы узнаете немного позже, а сейчас проверим домашнее задание.

3. Проверка домашнего задания: (Приложение 1)

Слайд 3

4. Подготовка к изучению нового материала (работа устно).

У каждого учащегося есть индивидуальная маркерная доска, на которой он пишет ответ на задание, появляющееся на экране.

- А сейчас вспомним то, что вы изучали раньше. (Приложение 1)

Слайд 4 Решить уравнение:

х 2 = 16

х 2 - 5х = 0

2 = 50

х 2 + 9 = 0

(х - 8 ) 2 = 0

х 3 - 4х = 0

Слайд 5 Разложить на множители:

  1. а 2 - 36 =
  2. 2 - 12 =
  3. х 2 - 10х + 25 =
  4. х 3 - 49х =

Раскрыть скобки:

  1. 2 + 3х ) 2 =
  2. (7 - х 2 ) 2 =
  3. - (3х - 5у ) 2 =

5. Изучение нового материала.

- Сейчас попробуйте решить это уравнение:

Слайд 6 (х 2 - 3 ) 2 + 5 (х 2 - 3 ) + 6 = 0 (Проблема)

- Как? Если, как мы обычно делали, раскрывать скобки, то получится уравнение четвертой степени (вспомните устные упражнения ), а их мы решать не умеем. Значит, надо искать другие методы. Посмотрите внимательнее на это уравнение. Ничего необычного не замечаете?

Чаще всего, дети догадываются, что в уравнении встречается повторяющееся выражение.

- Мы всегда старались все упростить. И теперь давайте попробуем это сделать: заменим выражение х 2 - 3 какой-нибудь буквой, например, t , Посмотрите, что получили?

t 2 + 5t + 6 = 0

D = b 2 - 4ac = 25 - 24 = 1

vD = 1

- Но мы нашли только t , нам нужно найти х. Что делать дальше ?

Слайд 7

- Вы узнали новый метод решения уравнений, который называется " замена переменной". Это и есть тема нашего урока. Запишите.

Слайд 8

Слайд 9

- Итак, давайте попробуем сформулировать алгоритм решения уравнений методом введения новой переменной.

Слайд 10

- Посмотрите решение еще одного примера.

Слайд 11

Слайд 12

- А сейчас в тетради решим подобные уравнения и поучимся оформлять их решение.

Пример 1 (3х - 4 ) 2 - 5(3х - 4 ) + 6 = 0

Сделаем замену переменной. Пусть 3х - 4 = t, получим

t 2 - 5t + 6 = 0

D = b 2 - 4ac = 25 - 24 = 1

vD = 1

Вернемся к замене.

1) 3х - 4 = 3

3х = 7

2) 3х - 4 = 2

3х = 6

х= 2

Ответ: ; 2.

Пример 2 2(х 2 + 3 ) 2 - 7 (х 2 + 3) 2 = - 3

Сделаем замену переменной. Пусть х 2 + 3 = t, получим

2t2 - 7t = - 3

2t 2 - 7t + 3 = 0

D = b 2 - 4ac = 49 - 24 = 25

vD = 5

Вернемся к замене:

1) х 2 + 3 = 3

х 2 = 0

х = 0

2) х 2 + 3 =

х 2 =

нет корней

Ответ: 0

6. Закрепление изученного материала.

- Сейчас решите из учебника № 26.22 б ; 26.23 а.в ; дополнительно 26.25.

7. Подведение итогов и задание на дом.

- Что нового вы узнали на уроке?

- Каков алгоритм решения уравнений методом замены переменной?

- Ваше домашнее задание на экране.

Слайд 13

- На следующем уроке вы узнаете, что такое биквадратные уравнения и научитесь их решать. А сейчас проверим. как вы научились решать уравнения методом замены переменной. У каждого есть карточка с заданием. Если у вас останется время, дополнительное задание на экране. Желаю успеха!

8. Самостоятельная работа. (Приложение 2)

Вариант 1 Вариант 2
Решить уравнения:

1) (х - 5 ) 2 - 2 (х - 5 ) = 8

2) (х 2 - 8 ) 2 + 3 (х 2 - 8 ) 2 - 4 = 0

Решить уравнения:

1) (2х + 3 ) 2 - 4 (2х + 3 ) = 5

2) (х 2 + х ) 2 - 11 (х 2 + х ) = 12

Вариант 3 Вариант 4
Решить уравнения:

1) (х2 - 2х ) 2 + (х 2 - 2х ) = 12

2) (х 2 + 2 ) 2 - 5 (х 2 + 2 ) - 6 = 0

Решить уравнения:

1) (х 2 - х ) 2 - 8 (х 2 - х ) + 12 = 0

2) (х 2 - 1 ) 2 + 2 (х 2 - 1 ) = 15

Слайд 14

Дополнительно.

  1. 2 + 4х )( х2 + 4х - 17 ) + 60 = 0
  2. 2 - 5х )( х2 - 5х + 10 ) = - 24

Слайд 15 - Урок закончен.

21.06.2011

Поделиться страницей:

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Метод замены неизвестного при решении алгебраических уравнений

3. Типизация приёмов введения новых неизвестных при решении алгебраических уравнений

В третьей части курсовой работы осуществим типизацию приёмов введения новых неизвестных при решении алгебраических уравнений.

Введение новых переменных может быть как явным, так и неявным. Классифицируем наши уравнения по способам неявной реализации метода замены переменной:

Использование основного свойства дроби .

Использование основного свойства дроби применяется в уравнениях следующего вида:

где

постоянные, .

В таких уравнениях сначала проверяют, является ли

корнем уравнения, и производят замену .

Выделение квадрата.

Выделение квадрата двучлена чаще всего встречается при решении уравнений, которые можно привести к такому виду, чтобы одна часть уравнения представляла собой сумму квадратов двучлена.

Переход к системе уравнений .

Этот приём целесообразен при решении уравнений вида


где коэффициенты

и равны, противоположны по знаку или отличаются на постоянный множитель.

Раскрытие скобок парами .

Такой методдаёт хороший эффект в уравнениях вида

Где

или или

Раскрытие скобок парами и деление обеих частей уравнения .

Раскрытие скобок парами и деление обеих частей уравненияцелесообразно применять в случаях, когда перед нами уравнение вида

где

, или или .

Сведение к однородному уравнению.

Преобразовав один из множителей и выделив из него выражение, равное второму множителю и подставляя полученное выражение в исходное уравнение, удаётся прийти к однородному уравнению второй степени, т.е. к уравнению вида

где

- постоянные, отличные от нуля, а , - многочлены.

Тригонометрическая подстановка.

Тригонометрическая подстановка используется в тех случаях, когда область определения исходного уравнения совпадает с областью значения тригонометрической функции или включается в эту область.

4. Комплект типовых задач, сводящихся к применению метода замены при решении уравнений

Исходя из четвёртой задачи курсовой работы, составим комплект типовых задач, сводящихся к применению метода замены при решении уравнений.

Пример 1 .

Решение. ОДЗ уравнения есть все действительные

. Сделаем замену неизвестной , где . Тогда исходное уравнение запишется в виде (1) , то уравнение (1)

Из решения этих уравнений промежутку

принадлежат только . Поэтому

Ответ:

Пример 2 .

Решение. Если сделать замену

уравнение упрощается, но остаётся иррациональным. Существенного продвижения можно достичь, если ввести новую переменную: или посторонний корень

Ответ:

Пример 3 .

Решение. Видим, что к данному уравнению можно применить ранее указанный нами приём – «раскрытие скобок парами». Суммы чисел, стоящих в первой и четвёртой, во второй и третьей скобках, равны, т.е. 1+5=2+4. Перемножив эти пары скобок, приходим к уравнению:

Введём замену:

, получим Решив квадратное уравнение находим, что или

Возвращаемся к исходной переменной и решаем совокупность уравнений:

В первом уравнении совокупности

корней нет.

Перепишем второе уравнение:

Ответ:

Пример 4 .

Решение. Заметим, что произведение чисел, стоящих в первой и четвёртой, во второй и третьей скобках, равны, т.е.

Перемножим указанные пары скобок, запишем уравнение

Так как

не есть решение данного уравнения, то, разделив обе части на , получим равносильное исходному уравнение

Делая замену переменных

получаем квадратное уравнение

Обратная замена:

Решения первого уравнения этой совокупности есть

, .

Второе уравнение этой совокупности решений не имеет.

Ответ:

Пример 5 .

Решение. Обозначим

через . Данное уравнение перепишем в виде . Поскольку не есть решение этого уравнения, то это уравнение равносильно уравнению

mirznanii.com

Интегрирование методом замены переменной

Метод замены переменной

С помощью замены переменной можно вычислить простые интегралы и, в некоторых случаях, упростить вычисление более сложных.

Метод замены переменной заключается в том, что мы от исходной переменной интегрирования, пусть это будет x, переходим к другой переменной, которую обозначим как t. При этом мы считаем, что переменные x и t связаны некоторым соотношением x = x(t), или t = t(x). Например,   x = ln t,   x = sin t,   t = 2x + 1, и т.п. Нашей задачей является подобрать такую зависимость между x и t, чтобы исходный интеграл либо свелся к табличному, либо стал более простым.

Основная формула замены переменной

Рассмотрим выражение, которое стоит под знаком интеграла. Оно состоит из произведения подынтегральной функции, которую мы обозначим как f(x) и дифференциала dx:   . Пусть мы переходим к новой переменной t, выбрав некоторое соотношение x = x(t). Тогда мы должны выразить функцию f(x) и дифференциал dx через переменную t.

Чтобы выразить подынтегральную функцию f(x) через переменную t, нужно просто подставить вместо переменной x выбранное соотношение x = x(t).

Преобразование дифференциала выполняется так:
.
То есть дифференциал dx равен произведению производной x по t на дифференциал dt.

Тогда
.

На практике, чаще всего встречается случай, в котором мы выполняем замену, выбирая новую переменную как функцию от старой: t = t(x). Если мы догадались, что подынтегральную функцию можно представить в виде
,
где t′(x) – это производная t по x, то
.

Итак, основную формулу замены переменной можно представить в двух видах.
(1)   ,
где x – это функция от t.
(2)   ,
где t – это функция от x.

Важное замечание

В таблицах интегралов переменная интегрирования, чаще всего, обозначается как x. Однако стоит учесть, что переменная интегрирования может обозначаться любой буквой. И более того, в качестве переменной интегрирования может быть какое либо выражение.

В качестве примера рассмотрим табличный интеграл
.

Здесь x можно заменить любой другой переменной или функцией от переменной. Вот примеры возможных вариантов:
;
;
.

В последнем примере нужно учитывать, что при переходе к переменной интегрирования x, дифференциал преобразуется следующим образом:
.
Тогда
.

В этом примере заключена суть интегрирования подстановкой. То есть мы должны догадаться, что
.
После чего интеграл сводится к табличному.
.

Можно вычислить этот интеграл с помощью замены переменной, применяя формулу (2). Положим t = x2 + x. Тогда
;
;

.

Примеры интегрирования заменой переменной

1)   Вычислим интеграл
.
Замечаем, что   (sin x)′ = cos x. Тогда

.
Здесь мы применили подстановку t = sin x.

2)   Вычислим интеграл
.
Замечаем, что   . Тогда

.
Здесь мы выполнили интегрирование заменой переменной t = arctg x.

3)   Проинтегрируем
.
Замечаем, что . Тогда

. Здесь, при интегрировании, произведена замена переменной t = x2 + 1.

Линейные подстановки

Пожалуй, самыми распространенными являются линейные подстановки. Это замена переменной вида
t = ax + b,
где a и b – постоянные. При такой замене дифференциалы связаны соотношением
.

Примеры интегрирования линейными подстановками

A)   Вычислить интеграл
.
Решение.
.

B)   Найти интеграл
.
Решение.
Воспользуемся свойствами показательной функции.
.
ln 2 – это постоянная. Вычисляем интеграл.

.

C)   Вычислить интеграл
.
Решение.
Приведем квадратный многочлен в знаменателе дроби к сумме квадратов.
.
Вычисляем интеграл.

.

D)   Найти интеграл
.
Решение.
Преобразуем многочлен под корнем.

.
Интегрируем, применяя метод замены переменной   .

.
Ранее мы получили формулу
.
Отсюда
.
Подставив это выражение, получим окончательный ответ.

E)   Вычислить интеграл
.
Решение.
Применим формулу произведения синуса и косинуса.
;
.
Интегрируем и делаем подстановки.


.

Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано:

1cov-edu.ru

Метод замены неизвестного при решении алгебраических уравнений

Сделаем обратную замену:

Ответ:

Пример 6.

Прежде, чем решить заданное уравнение, продемонстрирую алгоритм решения возвратного уравнения:

– разделить левую и правую части уравнения на

. При этом не происходит потери решения, т. к. не является корнем исходного уравнения при

– группировкой привести полученное уравнение к виду

– ввести новую переменную

, тогда выполнено т.е. в новых переменных рассматриваемое уравнение является квадратным

– решить его относительно

, возвратиться к исходной переменной.

Решение. Исходя из алгоритма решения таких уравнений, разделим левую и правую части уравнения на

, получим равносильное ему уравнение .

Сгруппировав слагаемые, перепишем уравнение в виде

или в виде

Положив

получим уравнение

Следовательно, исходное уравнение равносильно совокупности уравнений

Ответ:

Пример 7.

Решение. Обозначим

Таким образом, для

и имеем симметричную систему:

Обозначим

тогда

Таким образом,

Ответ:

Пример 8.

Решение. Можно в этом уравнении освободиться от знаменателя, проделать все необходимые преобразования и убедиться, что получившееся уравнение четвёртой степени является возвратным. Но лучше это сделать быстрее. Поделим числитель и знаменатель дроби, расположенной в левой части, на

. Получим

Положим

, тогда

Обратная замена:

или корней нет.

Ответ:

Пример 9.

Решение. Так как

не является корнем данного уравнения, то, разделив обе его части на , получим уравнение

Сделав замену неизвестной

последнее уравнение перепишем в виде

Вернёмся к исходной переменной:

Ответ:

Пример 10.

Решение. Поскольку в левой части стоит сумма двух квадратов, естественно попытаться дополнить её до квадрата суммы или разности. Во втором случае получим

Введём замену:

получим

Вернёмся к «старой» переменной:

Ответ:

Пример 11.

Решение. Обозначим

тогда получим

Обратная замена:

Ответ:

Пример 12.

Решение. Так как

не является решением уравнения, то, разделив числитель и знаменатель каждой дроби в левой части на , перепишем его в виде

Сделав замену переменных

перепишем уравнение в виде

Решения этого уравнения есть

Обратная замена:

Ответ:

.

mirznanii.com

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *