Производная дифференциал интеграл – Производная дифференциал и интеграл

Производная дифференциал и интеграл

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по высшей математике
Содержание:

1. Пределы последовательностей и функций. 2

2. Производная и дифференциал. 3

3 Геометрические изложения и дифференцированные исчисления (построение графиков) 4

4. Неопределенный интеграл. 7

5. Определенный интеграл. 9

6. Функции нескольких переменных, дифференцированных исчислений. 11

Литература. 12

Числовой последовательностью

называется числовая функция, определенная на множестве натуральных чисел. Задать числовую последовательность означает задать закон, по которому можно определить значение любого члена последовательности, зная его порядковый номер п ; для этого достаточно знать выражение общего или п -го члена последовательности в виде функции его номера: .

В основе всех положений математического анализа лежит понятие предела числовой последовательности. Число А называется пределом числовой последовательности

, если для любого сколь угодно малого положительного числа e существует такой номер , зависящий от выбранного e, начиная с которого все члены последовательности отличаются от А по модулю меньше, чем на e, т. е. при .

Если последовательность

имеет предел А , то она называется сходящейся (к числу А ) и этот факт записывают следующим образом: .

Пусть функция

определена в некоторой окрестности точки . Выберем в некоторой окрестности этой точки какую-нибудь последовательность сходящуюся к точке : . Значения функции в выбранных точках образуют последовательность , и можно ставить вопрос о существовании предела этой последовательности.

Число А называется пределом функции

в точке , если для любой сходящейся к последовательности значений аргумента, отличных от , соответствующая последовательность значений функции сходится к числу А , т. е. .

Возможно иное определение предела функции в точке: число

А называется пределом функции при

, если для всякого положительного числа e можно указать другое положительное число d (зависящее от выбора e) такое, что абсолютная величина разности будет меньше e, когда абсолютная величина разности будет меньше , но больше нуля , если при .

Таким образом, первое определение предела функции основано на понятии предела числовой последовательности, и его называют определением на «языке последовательностей ». Второе определение носит название «на языке

».

Кроме понятия предела функции в точке, существует также понятие предела функции при стремлении аргумента к бесконечности: число А называется пределом функции при

, если для любого числа существует такое число d, что при всех справедливо неравенство : .

Теоремы о пределах функций являются базой для общих правил нахождения пределов функций. Можно показать, что арифметические операции над функциями, имеющими предел в точке

, приводят к функциям, также имеющим предел в этой точке.

Примеры

Найти предел функции

Решение: Имеем неопределенность вида

. Для ее раскрытия разложим числитель и знаменатель на множители и сократим на общий множитель , который при не равен нулю. В результате неопределенность будет раскрыта.

Пусть функция

определена в некоторой окрестности точки .

Производной функции

в точке называется предел отношения , когда (если этот предел существует). Производная функции в точке обозначается .

Например, выражение

следует понимать как производную функции в точке .

Определение производной можно записать в виде формулы

. (4.1)

Предел (4.1) может не существовать. В этом случае говорят, что функция

не имеет производной в точке . Если предел (4.1) равен , то говорят, что функция имеет в точке бесконечную производную.

В различных задачах (в том числе и экономических) производная функции

интерпретируется как скорость изменения величины

y относительно x . Геометрический смысл производной состоит в том, что – это тангенс угла наклона касательной к графику в точке .

Нахождение производной функции называется дифференцированием этой функции. Если функция в точке х имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке.

Укажем правила дифференцирования, которые сводят вычисление производных одних функций к вычислению производных других (более простых) функций.

Если функции

дифференцируемы в точке , то сумма, разность, произведение и частное этих функций также дифференцируемы в точке , и справедливы следующие формулы

mirznanii.com

Неопределенный интеграл.

Основной задачей дифференциального исчисления является нахождение производной или дифференциала от данной функции.

В интегральном исчислении основной задачей является обратная задача – отыскание функции по заданной ее производнойили дифференциалу, т.е. для данной функциинадо найти такую функцию, что:

или

Функция называетсяпервообразной для функциина отрезке [a,b], если во всех точках этого отрезка выполняются равенства

или

Например, для функции первообразной будет функция

т.к.

Легко видеть, что если первообразная для функции, то функциятоже является первообразной для функции, так как

Если функция является первообразной для функции, то выражение называется

неопределенным интеграломот функциии обозначается символом

Функция называется подынтегральной функцией,– подынтегральным выражением, С – произвольная постоянная.

Нахождение первообразной для данной функции называется интегрированием.

Свойства неопределенного интеграла.

1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции

2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению

3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная.

Справедливость свойств 1 – 3 вытекает непосредственно из определения неопределенного интеграла.

4.Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух или нескольких функций равен алгебраической сумме их интегралов

Для доказательства достаточно найти производные от левой и правой частей этого равенства

5. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла

Для доказательства найдем производные от левой и правой частей равенства

6. Если функция является первообразной для функции

, то функция

является первообразной для функции, то есть, если, то

Для доказательства найдем производные от левой и правой частей равенства

Таблица интегралов.

Таблица интегралов получается непосредственно из определения неопределенного интеграла и таблицы производных. Для установления справедливости указанных в таблице формул достаточно найти производные от правых частей равенств и получить подынтегральные функции.

2. 

3. 

7. 

Заметим, что функций, стоящих в правых частях последних формул нет в таблице производных. Однако, эти интегралы часто встречаются в практических задачах, поэтому они помещены в таблицу. Справедливость их нетрудно проверить непосредственным дифференцированием функций, стоящих в правых частях равенств.

Например, формула 12 доказывается так:

Аналогично проверяются остальные формулы.

Непосредственное интегрирование.

Пользуясь таблицей интегралов, свойствами неопределенного интеграла и различными алгебраическими или трансцендентными преобразованиями подынтегральных функций можно вычислить многие интегралы.

Например:

Интегрирование методом подстановки.

Пусть требуется найти интеграл непосредственное интегрирование, которого не дало окончательного результата.

Заменим переменную в подынтегральном выражении, положив , гденепрерывная вместе со своей производной функция. Получим

.

Вычислим полученный интеграл по переменной , а затем после интегрирования по переменнойперейдем к прежней переменной, вновь воспользовавшись формулой

Например:

1.

Сделаем замену переменной, положив , тогда интеграл примет вид

2.

Положим , отсюда выразими найдем

Тогда

3.

Полагаем , тогда

4.

Положим тогда

Заметим, что подобрать нужную подстановку удается не всегда быстро, необходимы определенные навыки и практический опыт.

studfiles.net

Современные математики не знают, что такое дифференциал и производная.

Я уже показал, что Современные математики не знают, что такое интеграл. Почему не знают? Потому, что они читают учебники тех, о ком Леонард Эйлер писал как о людях, так и не понявших смысла дифференциала. Вот слова Эйлера:

В выше указанной статье я давал выдержку из работы Эйлера: «Интегральное исчисление». Сейчас я еще раз дам отрывок из этой выдержки:

Бедолага Эйлер в обоих своих работах о дифференциальном исчислении и об интегральном исчислении постоянно твердит о том, что дифференциалы не могут быть отличными от нуля, иначе их отношение не даст производную!

Но люди с особым специфическим состоянием мозга не могут понять как может существовать мир без пустых множеств и бесконечностей. Этот мир видится им не таким красочным, как рисуется в их воображаемых моделях.

Я давал в статье Необратимая деградация разума или почему дебилы победили Леонарда Эйлера формулу для получения призводной одной из степенных функций с нулем к которому стремится приращение аргумента. Ноль в этом случае означает отсутствие разницы между двумя значениями.

В статье Секта совреманных «математиков» я показал другую формулу, без нулей, которая подробно показывает как два значения аргумента становятся одним произвольным значением.

Но люди со специфическим состоянием мозга не приемлют отсутствие некоей малой величины, которую они обозначают различными буковками и которая позволяет им утверждать о некоем бесконечном числе слагаемых при интегрировании и некоей степени малости при дифференцировании.

Возьмите любой современный учебник матанализа. Там вы увидите вот это выражение: dx = Δx. Что оно означает? То, что дифференциал никогда не может быть равен нулю! Эйлер же утверждал о том, что дифференциал ни при каких обстоятельствах не может быть отличным от нуля!

Кто же прав? Леонард Эйлер или толпа современных «математиков»? Можно привести пример из современных учебников, где стремление к нулю разницы между двумя значениями аргумента на графике функции рассматривается как превращение секущей в касательную к линии графика функции. Пока на графике две точки, то значение производной найти невозможно. Как только обе точки сливаются в одну, то тут же сразу появляется производная со своим определенным значением.

Я не понимаю как можно глядеть в книгу и видеть фигу? Ведь пока приращение между двумя значениями аргумента не стало равным нулю, ни о какой производной речи не шло. Как только появилось значение производной, то это означает. что два значения аргумента стали одним и тем же.

Почему мозг людей, считающих себя высшими интеллектуалами — математиками на столько примитивен, что не понимает, что равенство нулю приращения между двумя значениями означает, что это просто одно и то же значение? Прибавьте к любому значению ноль и вы получите то же самое значение, которое почему-то считается другим(?) значением!

Дифференциал — есть отсутствие приращения, поэтому он не может быть отличен от нуля. Производная — есть отношение двух дифференциалов. Длина окружности — производная площади круга по радиусу. Интеграл длины окружности по дифференциалу радиуса — есть площадь круга. Дифференциал радиуса — есть не расстояние между двумя соседними или любыми другими точками, а та часть линии, которая превращает точку в элемент самой линии. Он не имеет линейного размера. Потому, что его размерность на единицу меньше. Точно так же, как размерность линии на единицу меньше размерности площади круга.

Еще раз. Математика изучает не абсолютные величины, а их соотношения. Число — это отношение исчисляемого количества к количеству, содержащемуся в единице измерения, либо порядкоый номер. Бесконечность не является счетной величиной, потому, что оно определено как отношение к нулю. А ноль не может быть единицей измерения.

Бессмысленно посещать дурку для того, чтобы убеждать пациентов в том, что они зря отрезают себе языки, суют пальцы в розетки или бьются головами о стенки. Я уже понял, что как только некая критическая масса населения получает некий вывих мозга, то процесс уже необратим…

Наверное, именно для такой ситуации природой придумана война. Чтобы нивелировать это фатальное для цивилизации соотношение…

mishin05.livejournal.com

Производная дифференциал и интеграл — часть 4

Интегралы, содержащиеся в этой таблице, называются табличными .

Пример. Найти неопределенный интеграл. Результат интегрирования проверить дифференцированием

Решение: Для нахождения неопределенных интегралов можно воспользоваться как методом замены переменной, так и методом внесения под знак дифференциала. Покажем оба метода.

1. Воспользуемся методом замены переменной. Введем новую переменную t по формуле

. Тогда или . Тогда

После замены переменной воспользовались свойством неопределенного интеграла: постоянный множитель

можно выносить за знак неопределенного интеграла, и так как , то пришли к табличному интегралу , где и .

2. Решим этот пример методом внесения под знак дифференциала. Замечая, что

и то, что подынтегральное выражение можно представить в виде ,

внесем под знак дифференциала

. Для этого выпишем дифференциал этой функции . Тогда

После внесения под знак дифференциала функции

пришли к табличному интегралу , где и .

3. Результат интегрирования проверим дифференцированием. Для этого найдем производную

Таким образом, производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, следовательно, интеграл от данной функции найден, верно.

Определение определенного интеграла. Пусть функция

задана на отрезке [а , b ]. Разобьем отрезок [а , b ] на п произвольных частей точками .

Точки, разделяющие отрезок [а , b ] на частичные отрезки

длиной , называются точками разбиения . Внутри каждого частичного отрезка выберем произвольную точку . Образуем сумму произведений ,

называемую интегральной суммой для функции

на отрезке [а , b ]. Геометрический смысл величины s показан на рис. 2.. Это сумма площадей прямоугольников с основаниями и высотами .

При этом числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами , выражение

– подынтегральным выражением , – подынтегральной функцией .

Определенный интеграл численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной вертикальными прямыми

при , осью Ох и графиком неотрицательной и непрерывной функции . В этом состоит его геометрический смысл.

Если предположить, что

– производительность труда в момент t , то будет численно равен объему произведенной продукции за промежуток , т. е. определенному интегралу можно придать экономический смысл.

Определенный интеграл обладает рядом свойств, аналогичных свойствам неопределенного интеграла:

1) постоянный множитель можно выносить за знак интеграла;

2) интеграл от алгебраической суммы функций равен такой же сумме интегралов от этих функций (свойство линейности).

Кроме того, определенному интегралу присущи свойства, не имеющие аналогов в теории неопределенных интегралов:

3) интеграл от постоянной величины равен этой постоянной, умноженной на длину отрезка интегрирования

;

4) при перемене местами пределов интегрирования интеграл изменяет лишь знак

;

5) интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю

;

6) для любых чисел а , b и c имеет место равенство

.

Пример. Вычислить определенный интеграл с точностью до двух знаков после запятой

Решение:

Воспользуемся методом замены переменной. Введем новую переменную t по формуле

. Тогда или . Осуществим пересчет пределов интегрирования, используя вид замены. Подставим нижний предел интегрирования старой переменной в выражение и найдем нижний предел интегрирования новой переменной . Аналогично, подставляя верхний предел интегрирования старой переменной , найдем верхний предел интегрирования новой переменной . Тогда

mirznanii.com

Производная дифференциал и интеграл — часть 5

До сих пор рассматривались функции

одной переменной х . В случае зависимости параметров какого-то процесса или явления от многих факторов вводится понятие функции нескольких переменных .

Пусть каждому набору значений n переменных величин

из множества M , называемых независимыми переменными , по какому-либо закону ставится в соответствие некоторое число z , называемое зависимой переменной . Тогда говорят, что задана функция нескольких переменных .

Приведем примеры функций нескольких переменных.

1. Функция вида

, где – постоянные числа, называется линейной или гиперплоскостью -мерном пространстве .

2. Функция вида

, где – постоянные числа, называется квадратичной формой от переменных .

При рассмотрении функций в n -мерном пространстве широко используется геометрический язык, хотя буквальное понимание геометрических терминов возможно только при п = 2 и п = 3.

Далее для наглядности будем рассматривать функции двух переменных (

), хотя практически все понятия и теоремы, сформулированные для , переносятся на случай . Основные понятия математического анализа, введенные для функции одной переменной, переносятся на случай двух переменных. Так, число А называется пределом функции в точке , если для любого числа можно найти число такое, что для всех точек из d-окрестности точки М выполняется неравенство . Для обозначения предела функции в точке используется символика .

Окрестностью точки

называется круг, содержащий точку М .

В случае функции двух переменных аргумент может стремиться к предельной точке по различным направлениям на плоскости, поэтому следует говорить о пределах функции в точке вдоль определенных линий .

Функция

называется непрерывной в точке , если предел функции в этой точке существует и равен значению функции в этой точке, т. е. . Геометрический смысл непрерывности функции при очевиден: график функции представляет собой в точке непрерывности сплошную поверхность в некоторой окрестности этой точки.

Пример. Найти экстремум функции двух переменных z = x² + y² , x Î [-20, 20], y Î [-10, 10].

Решение .

Необходимое условие экстремума

= 2х = 0, = 2у = 0, откуда координаты стационарной точки (х_ст , у_ст ) = (0, 0).

Вторые производные А =

= 2; В = = 0; С = = 2. Так как AC — B² = 4 > 0, то в точке (0, 0) — локальный минимум.

Значение функции в точке минимума z (0, 0) = 0.

1. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. — М.: Джангар, 2000. — 864 с.
2. Гордон В.А., Шмаркова Л.И. Краткий курс математики / Учебное пособие. – Орёл: ОрёлГТУ, 2000. – 96 с.
3. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу: М.: Наука, 1972.

mirznanii.com

Производная, дифференциал и интеграл (Контрольная работа)

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по высшей математике

Содержание:

1. Пределы последовательностей и функций 2

2. Производная и дифференциал 3

3 Геометрические изложения и дифференцированные исчисления (построение графиков) 4

4. Неопределенный интеграл 7

5. Определенный интеграл 9

6. Функции нескольких переменных, дифференцированных исчислений 11

Литература 12

1. Пределы последовательностей и функций

Числовой последовательностью называется числовая функция, определенная на множестве натуральных чисел. Задать числовую последовательность означает задать закон, по которому можно определить значение любого члена последовательности, зная его порядковый номер п; для этого достаточно знать выражение общего или п-го члена последовательности в виде функции его номера: .

В основе всех положений математического анализа лежит понятие предела числовой последовательности. Число А называется пределом числовой последовательности , если для любого сколь угодно малого положительного числа  существует такой номер , зависящий от выбранного , начиная с которого все члены последовательности отличаются от А по модулю меньше, чем на , т. е.

при .

Если последовательность имеет предел А, то она называется сходящейся (к числу А) и этот факт записывают следующим образом:

.

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Выберем в некоторой окрестности этой точки какую-нибудь последовательность сходящуюся к точке : . Значения функции в выбранных точках образуют последовательность , и можно ставить вопрос о существовании предела этой последовательности.

Число А называется пределом функции в точке , если для любой сходящейся к последовательности значений аргумента, отличных от , соответствующая последовательность значений функции сходится к числу А, т. е.

.

Возможно иное определение предела функции в точке: число А называется пределом функции при , если для всякого положительного числа  можно указать другое положительное число  (зависящее от выбора ) такое, что абсолютная величина разности будет меньше , когда абсолютная величина разности будет меньше , но больше нуля

, если при .

Таким образом, первое определение предела функции основано на понятии предела числовой последовательности, и его называют определением на «языке последовательностей». Второе определение носит название «на языке ».

Кроме понятия предела функции в точке, существует также понятие предела функции при стремлении аргумента к бесконечности: число А называется пределом функции при , если для любого числа существует такое число , что при всех справедливо неравенство : .

Теоремы о пределах функций являются базой для общих правил нахождения пределов функций. Можно показать, что арифметические операции над функциями, имеющими предел в точке , приводят к функциям, также имеющим предел в этой точке.

Примеры

Найти предел функции

Решение: Имеем неопределенность вида . Для ее раскрытия разложим числитель и знаменатель на множители и сократим на общий множитель , который при не равен нулю. В результате неопределенность будет раскрыта.

2. Производная и дифференциал

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки .

Производной функции в точке называется предел отношения , когда (если этот предел существует). Производная функции в точке обозначается

.

Например, выражение следует понимать как производную функции в точке .

Определение производной можно записать в виде формулы

. (4.1)

Предел (4.1) может не существовать. В этом случае говорят, что функция не имеет производной в точке . Если предел (4.1) равен , то говорят, что функция имеет в точке бесконечную производную.

В различных задачах (в том числе и экономических) производная функции интерпретируется как скорость изменения величины y относительно x. Геометрический смысл производной состоит в том, что – это тангенс угла наклона касательной к графику в точке .

Нахождение производной функции называется дифференцированием этой функции. Если функция в точке х имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке.

Укажем правила дифференцирования, которые сводят вычисление производных одних функций к вычислению производных других (более простых) функций.

Если функции дифференцируемы в точке , то сумма, разность, произведение и частное этих функций также дифференцируемы в точке , и справедливы следующие формулы

.

Если функция имеет обратную функцию и в точке производная , то обратная функция дифференцируема в точке и или .

Если функция дифференцируема в точке и , то сложная функция также дифференцируема в и верна следующая формула

или .

Пример.

Найти производную функции

Решение:

topref.ru

No related posts.