Производная функции f x – Производная функции. Подробная теория с примерами

Производная функции. Понятие производной. Геометрический смысл производной. Физический смысл производной. Правила дифференцирования. Производная сложной функции. Достаточное условие монотонности функции. Необходимое и достаточное условия экстремума.

Производная функции. Понятие производной, определение производной:
Производной (первой производной)  f ‘ (x) функции f  (x) в точке xo называется предел отношения приращения функции Δ f (x) = f (x0 + Δx) — f (x0) к приращению аргумента Δx при Δx→0, если этот предел существует: Второй производной  f » (x) функции f  (x) в точке xo называется производная от производной f ‘ (x) в точке xo Дифференцирование — это операция нахождения производной f ‘ (x)
Производная функции. Геометрический смысл производной:
Производная функции f  (x) в точке xo равна угловому коэффициенту (тангенсу угла наклона) касательной прямой  к графику функции y = f  (x)  в точке M0(x0,y0), то есть: f ‘ (x0) = k, где k = tg α Уравнение касательной к кривой y = f (x) в точке x0 имеет вид: y = f ‘ (x)(x-x0) + f(x0)
Производная функции. Физический смысл производной:
Если точка движется вдоль оси x и ее координата изменяется по закону x (t), то мгновенная скорость точки: а укорение (мгновенное ускорение):
Производная функции. Правила дифференцирования:

dpva.ru

§ 1. Производная

Пусть значения переменных х и у связаны уравнением

F(x, y) = 0.                                                                                                        (1)

Если функция y = f(x), определенная на некотором интервале (а,в), такая, что уравнение (1) при подстановке в него вместо у выражения f(x) обращается в тождество, то говорят, что уравнение (1) задает функцию 

y = f(x) неявно или что функция y = f(x) есть неявная функция.

Укажем правило нахождения производной неявной функции, не преобразовывая ее в явную, то есть не представляя в виде y = f(x), так как часто это преобразование бывает технически сложным или невозможным.

Для нахождения производной у’_х неявной функции, нужно продифференцировать по х обе части равенства (1), учитывая, что у есть функция от х. Затем из полученного равенства выразить у’_х.

Пример 1. Вычислить у’_х.

У⁵+ху-х² = 0

Продифференцируем обе части по х. Получим 5у⁴у’+у+ху’-2х=0. Выразим у’. y‘(5у⁴+х) = 2х-у, у’ = (2х-у

)/(5у⁴+х).

Пример 2.                                                                                                              

tg(x+y) = xy

Продифференцируем обе части по х. Получим  или . Отсюда или . Окончательно .

Заметим, что производная неявной функции выражается через х и у, то есть получается равенство

y‘ = g(x, y)                                                                                                       (2)

Для вычисления второй производной неявной функции, нужно продифференцировать обе части равенства (2) по х и затем подставить выражение g(x, y) вместо y’.

Аналогично можно вычислить производные любого порядка неявной функции.

Пример. х²+у²—

1=0. Найти у».

Продифференцируем обе части данного равенства по х, получим 2х+2уу’ = 0, откуда у’ = —. Продифференцируем обе части последнего равенства по х, получим  или . Подставим , вместо у’. .

ya-znau.ru

Определение производной функции

Определение. Производной функции у = f(x) в точке х₀ называется предел отношения приращения функции ∆у в точке х₀ к приращению аргумента ∆х, когда последний стремится к нулю.

Таким образом, если у = f(x) — функция от х, то производная f’(x) этой функции при данном значении х определяется равенством

f’(x) = .

Пример. Исходя из определения, найти производную функции у = в точке х = 4.

Решение.

Найдем приращение функции: ∆у = .

Составим отношение приращения функции к приращению аргумента:

= .

Считая х фиксированным числом, найдем предел данного отношения когда ∆х стремится к нулю:

у’ = = = = = = = = = .

Тогда у’(4) = = .

Ответ: у’(4) = .

 

Производные основных элементарных функций

Формулы дифференцирования основных элементарных функций сведены в таблицу:

Производная суммы, произведения и частного

Пусть U и V – две функции, определенные на одном и том же промежутке. Тогда производная суммы этих функций равна сумме их производных, если они существуют, т.е.

(U+ V)’ = U‘ + V‘.

Эта формула справедлива для любого конечного числа слагаемых:

(U₁ + U₂ + U₃ +…+ U_k)’ = U’₁ + U’₂ + U’₃ +…+ U’_k.

Если производные функций U и V существуют, то производная их произведения вычисляется по формуле:

(U·V)’ = U‘·V + U·V‘.

Постоянный множитель можно выносить за знак производной:

(k f(x))’ = k f‘(x).

Если функции U и V имеют в точке х производные и V ≠ 0, то в этой точке существует производная их частного , которая вычисляется по формуле:

.

Частные случаи:

; ; (х ≠ 0).

 

Пример. Пользуясь формулами дифференцирования, найти производную функции у = .

Решение.

 

у‘ = = = = = = .

Ответ: у

‘ = .

 

Производная сложной функции

Пусть у = f(u) и u = φ(x). Тогда у есть сложная функция x: у = f [φ(x)], а переменная u – промежуточный аргумент.

В этом случае нахождение производной у’_х осуществляется в соответствии со следующей теоремой.

Теорема.Если функция u = φ(x) имеет производную u‘_х в точке х, а функция у = f(u) имеет производную у’_и в соответствующей точке и, то сложная функция у = f [φ(x)] в данной точке х имеет производную у’_х, которая находится по следующей формуле:

у’_х = у’_и· u‘_х .

Иными словами: производная сложной функции равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента.

Пример. Найти производную функции у = .

Решение.

Дана сложная функция у = , и = 2х + х².

Применяя теорему, получаем:

у‘ = ( )’ = ·(2х + х²)’ = ·(2 + 2х) = = = .

Ответ: у‘ = .



infopedia.su

ПРОИЗВОДНАЯ | Энциклопедия Кругосвет

Содержание статьи

ПРОИЗВОДНАЯ – производной функции y = f(x), заданной на некотором интервале (a, b) в точке x этого интервала, называется предел, к которому стремится отношение приращения функции f в этой точке к соответствующему приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Производную принято обозначать так:

.

Широко употребляются и другие обозначения:

Предел , где рассматривается только Dx > 0 или только Dx f в точке x. О функции f, заданной на отрезке [a, b] принято говорить, что она имеет на этом отрезке производную, если она имеет производную в любой точке интервала (a, b) и, кроме того, правую производную в точке a и левую в точке b.

Понятие производной возникло как результат многовековых усилий, направленных на решение таких задач, как задача о проведении касательной к кривой, о вычислении скорости неравномерного движения, задачи о вычислении площади криволинейной фигуры. В работах Исаака Ньютона и Готфрида Вильгельма Лейбница эта деятельность получила определенное теоретическое завершение. Ньютон и Лейбниц создали общие методы дифференцирования и интегрирования функций и доказали важную теорему, носящую их имя, устанавливающую тесную связь между операциями дифференцирования и интегрирования. Однако современное изложение этих вопросов существенно отличается от того, как они излагались во времена Ньютона и Лейбница. Современный математический анализ базируется на понятии предела, которое было дано (наряду с другими важнейшими понятиями – непрерывность, интеграл и т.д.) в работах французского математика Огюстена Луи Коши.

Мгновенная скорость.

Пусть точка M движется по прямой. Расстояние s движущейся точки, отсчитываемое от некоторого начального ее положения M0 , зависит от времени t , т.е. s есть функция времени t: s = f(t). Пусть в некоторый момент времени t движущаяся точка M находилась на расстоянии s от начального положения M0, а в некоторый следующий момент t + Dt оказалась в положении M1 – на расстоянии s + Ds от начального положения (см. рис.).

Таким образом, за промежуток времени Dt расстояние s изменилось на величину Ds. В этом случае говорят, что за промежуток времени Dt величина s получила приращение Ds.

Отношение представляет собой среднюю скорость движения точки за время Dt:

.

Средняя скорость не может во всех случаях точно охарактеризовать быстроту перемещения точки M в момент времени t. Если, например, тело в начале промежутка Dt перемещалось очень быстро, а в конце очень медленно, то средняя скорость не сможет отразить указанных особенностей движения точки и дать представление об истинной скорости ее движения в момент t. Чтобы точнее выразить истинную скорость с помощью средней скорости, надо взять меньший промежуток времени Dt. Наиболее полно характеризует скорость движения точки в момент t тот предел, к которому стремится средняя скорость при Dt ® 0. Этот предел называют скоростью движения в данный момент:

.

Таким образом, скоростью движения в данный момент называется предел отношения приращения пути Ds к приращению времени Dt, когда приращение времени стремится к нулю. Так как

,

то.

Геометрическое значение производной. Касательная к графику функции.

Построение касательных – одна из тех задач, которые привели к рождению дифференциального исчисления. Первый опубликованный труд, относящийся к дифференциальному исчислению и принадлежащий перу Лейбница, имел название Новый метод максимумов и минимумов, а также касательных, для которого не служат препятствием ни дробные, ни иррациональные величины, и особый для этого род исчисления.

Пусть кривая есть график функции y = f(x) в прямоугольной системе координат (см. рис.).

При некотором значении x функция имеет значение y = f(x). Этим значениям x и y на кривой соответствует точка M0(x, y). Если аргументу x дать приращение Dx, то новому значению аргумента x + Dx соответствует новое значение функции y+Dy = f(x + Dx). Соответствующей ему точкой кривой будет точка M1(x + Dx, y + Dy). Если провести секущую M0M1 и обозначить через j угол, образованный секущей с положительным направлением оси Ox, из рисунка непосредственно видно, что .

Если теперь Dx стремится к нулю, то точка M1 перемещается вдоль кривой, приближаясь к точке M0, и угол j изменяется с изменением Dx. При Dx ® 0 угол j стремится к некоторому пределу a и прямая, проходящая через точку M0 и составляющая с положительным направлением оси абсцисс угол a, будет искомой касательной. Ее угловой коэффициент:

.

Следовательно, f´(x) = tga

т.е. значение производной f´(x) при данном значении аргумента x равняется тангенсу угла, образованного касательной к графику функции f(x) в соответствующей точке M0(x,y) с положительным направлением оси Ox.

Дифференцируемость функций.

Определение. Если функция y = f(x) имеет производную в точке x = x0, то функция дифференцируема в этой точке.

Непрерывность функции, имеющей производную. Теорема.

Если функция y = f(x) дифференцируема в некоторой точке x = x0, то она в этой точке непрерывна.

Таким образом, в точках разрыва функция не может иметь производной. Обратное заключение неверно, т.е. из того, что в какой-нибудь точке x = x0 функция y = f(x) непрерывна не следует, что она в этой точке дифференцируема. Например, функция y = |x| непрерывна для всех x (–Ґ х x = 0 не имеет производной. В этой точке не существует касательной к графику. Есть правая касательная и левая, но они не совпадают.

Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях. Теорема о корнях производной (теорема Ролля). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка и на концах x = a и x = b обращается в нуль (f(a) = f(b) = 0), то внутри отрезка [a,b] существует, по крайней мере одна, точка x = с, a c b, в которой производная fў(x) обращается в нуль, т.е. fў(c) = 0.

Теорема о конечных приращениях (теорема Лагранжа). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка, то внутри отрезка [a, b] найдется по крайней мере одна точка с, a c b, что

f(b) – f(a) = f ў(c)(b – a).

Теорема об отношении приращений двух функций (теорема Коши). Если f(x) и g(x) – две функции, непрерывные на отрезке [a, b] и дифференцируемые во всех внутренних точках этого отрезка, причем gў(x) нигде внутри этого отрезка не обращается в нуль, то внутри отрезка [a, b] найдется такая точка x = с, a c b, что

.

Производные различных порядков.

Пусть функция y = f(x) дифференцируема на некотором отрезке [a, b]. Значения производной f ў(x), вообще говоря, зависят от x, т.е. производная f ў(x) представляет собой тоже функцию от x. При дифференцировании этой функции получается так называемая вторая производная от функции f(x), которая обозначается f ўў (x).

Производной n-го порядка от функции f(x) называется производная (первого порядка) от производной n-1—го и обозначается символом y(n) = (y(n – 1))ў.

Дифференциалы различных порядков.

Дифференциал функции y = f(x), где x – независимая переменная, есть dy = f ў(x)dx, некоторая функция от x, но от x может зависеть только первый сомножитель f ў(x), второй же сомножитель (dx) является приращением независимой переменной x и от значения этой переменной не зависит. Так как dy есть функция от x, то можно определить дифференциал этой функции. Дифференциал от дифференциала функции называется вторым дифференциалом или дифференциалом второго порядка этой функции и обозначается d2y:

d(dx) = d2y = f ўў(x)(dx)².

Дифференциалом n-го порядка называется первый дифференциал от дифференциала n-1—го порядка:

dⁿy = d(dⁿ–1 y) = f(n)(x)dx(n).

Частная производная.

Если функция зависит не от одного, а от нескольких аргументов x_i (i изменяется от 1 до n, i = 1, 2,… n), f(x1, x2,… x_n), то в дифференциальном исчислении вводится понятие частной производной, которая характеризует скорость изменения функции нескольких переменных, когда изменяется только один аргумент, например, x_i . Частная производная 1-ого порядка по x_i определяется как обычная производная, при этом предполагается, что все аргументы, кроме x_i, сохраняют постоянные значения. Для частных производных вводятся обозначения

f_xn, или

Определенные таким образом частные производные 1-ого порядка (как функции тех же аргументов) могут, в свою очередь, также иметь частные производные, это частные производные второго порядка и т.д. Взятые по разным аргументам такие производные называются смешанными. Непрерывные смешанные производные одного порядка не зависят от порядка дифференцирования и равны между собой.

Анна Чугайнова

www.krugosvet.ru