Производная синус 2 х – Производная sin 2x

Найти производную y’ = f'(x) = 2^sin(x^2) (2 в степени синус от (х в квадрате))

Решение

$$2^{\sin{\left (x^{2} \right )}}$$

Подробное решение

[LaTeX]

  1. Заменим .

  2. Затем примените цепочку правил. Умножим на :

    1. Заменим .

    2. Производная синуса есть косинус:

  3. Затем примените цепочку правил. Умножим на :

    1. В силу правила, применим: получим

    В результате последовательности правил:

В результате последовательности правил:

  • Теперь упростим:


  • Ответ:

    Первая производная

    [LaTeX]

            / 2\               
         sin\x /    / 2\       
    2*x*2       *cos\x /*log(2)

    $$2 \cdot 2^{\sin{\left (x^{2} \right )}} x \log{\left (2 \right )} \cos{\left (x^{2} \right )}$$

    Вторая производная

    [LaTeX]

          / 2\                                                         
       sin\x / /     2    / 2\      2    2/ 2\             / 2\\       
    2*2       *\- 2*x *sin\x / + 2*x *cos \x /*log(2) + cos\x //*log(2)

    $$2 \cdot 2^{\sin{\left (x^{2} \right )}} \left(- 2 x^{2} \sin{\left (x^{2} \right )} + 2 x^{2} \log{\left (2 \right )} \cos^{2}{\left (x^{2} \right )} + \cos{\left (x^{2} \right )}\right) \log{\left (2 \right )}$$

    Третья производная

    [LaTeX]

            / 2\                                                                                                              
         sin\x / /       / 2\      2    / 2\        2/ 2\             2    3/ 2\    2         2    / 2\           / 2\\       
    4*x*2       *\- 3*sin\x / - 2*x *cos\x / + 3*cos \x /*log(2) + 2*x *cos \x /*log (2) - 6*x *cos\x /*log(2)*sin\x //*log(2)

    $$4 \cdot 2^{\sin{\left (x^{2} \right )}} x \left(- 6 x^{2} \log{\left (2 \right )} \sin{\left (x^{2} \right )} \cos{\left (x^{2} \right )} + 2 x^{2} \log^{2}{\left (2 \right )} \cos^{3}{\left (x^{2} \right )} — 2 x^{2} \cos{\left (x^{2} \right )} — 3 \sin{\left (x^{2} \right )} + 3 \log{\left (2 \right )} \cos^{2}{\left (x^{2} \right )}\right) \log{\left (2 \right )}$$

    www.kontrolnaya-rabota.ru

    Найти производную y’ = f'(x) = (sin((x+h)/2))/(sin(x/2)) ((синус от ((х плюс h) делить на 2)) делить на (синус от (х делить на 2)))

    Решение

       /x + h\
    sin|-----|
       \  2  /
    ----------
         /x\  
      sin|-|  
         \2/  

    $$\frac{\sin{\left (\frac{1}{2} \left(h + x\right) \right )}}{\sin{\left (\frac{x}{2} \right )}}$$

    Подробное решение

    [LaTeX]

    1. Применим правило производной частного:

      и .

      Чтобы найти :

      1. Заменим .

      2. Производная синуса есть косинус:

    2. Затем примените цепочку правил. Умножим на :

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

        1. дифференцируем почленно:

          1. В силу правила, применим: получим

          2. Производная постоянной равна нулю.

          В результате:

        Таким образом, в результате:

      В результате последовательности правил:

    Чтобы найти :

    1. Заменим .

    2. Производная синуса есть косинус:

    3. Затем примените цепочку правил. Умножим на :

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

        1. В силу правила, применим: получим

        Таким образом, в результате:

      В результате последовательности правил:

    Теперь применим правило производной деления:

  • Теперь упростим:


  • Ответ:

    Первая производная

    [LaTeX]

       /x + h\      /x\    /x + h\
    cos|-----|   cos|-|*sin|-----|
       \  2  /      \2/    \  2  /
    ---------- - -----------------
          /x\             2/x\    
     2*sin|-|        2*sin |-|    
          \2/              \2/    

    $$\frac{\cos{\left (\frac{1}{2} \left(h + x\right) \right )}}{2 \sin{\left (\frac{x}{2} \right )}} — \frac{\cos{\left (\frac{x}{2} \right )}}{2 \sin^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )}} \sin{\left (\frac{1}{2} \left(h + x\right) \right )}$$

    Вторая производная

    [LaTeX]

    /                  /x\    /h + x\\       
    |               cos|-|*sin|-----||       
    |     /h + x\      \2/    \  2  /|    /x\
    |- cos|-----| + -----------------|*cos|-|
    |     \  2  /            /x\     |    \2/
    |                     sin|-|     |       
    \                        \2/     /       
    -----------------------------------------
                         2/x\                
                    2*sin |-|                
                          \2/                

    $$\frac{\cos{\left (\frac{x}{2} \right )}}{2 \sin^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )}} \left(- \cos{\left (\frac{1}{2} \left(h + x\right) \right )} + \frac{\cos{\left (\frac{x}{2} \right )}}{\sin{\left (\frac{x}{2} \right )}} \sin{\left (\frac{1}{2} \left(h + x\right) \right )}\right)$$

    Третья производная

    [LaTeX]

         /x\    /h + x\        3/x\    /h + x\        2/x\    /h + x\             
      cos|-|*sin|-----|   3*cos |-|*sin|-----|   3*cos |-|*cos|-----|             
         \2/    \  2  /         \2/    \  2  /         \2/    \  2  /      /h + x\
    - ----------------- - -------------------- + -------------------- + cos|-----|
               /x\                 3/x\                   2/x\             \  2  /
            sin|-|              sin |-|                sin |-|                    
               \2/                  \2/                    \2/                    
    ------------------------------------------------------------------------------
                                            /x\                                   
                                       4*sin|-|                                   
                                            \2/                                   

    $$\frac{1}{4 \sin{\left (\frac{x}{2} \right )}} \left(\cos{\left (\frac{1}{2} \left(h + x\right) \right )} — \frac{\cos{\left (\frac{x}{2} \right )}}{\sin{\left (\frac{x}{2} \right )}} \sin{\left (\frac{1}{2} \left(h + x\right) \right )} + \frac{3 \cos^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )}}{\sin^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )}} \cos{\left (\frac{1}{2} \left(h + x\right) \right )} — \frac{3 \cos^{3}{\left (\frac{x}{2} \right )}}{\sin^{3}{\left (\frac{x}{2} \right )}} \sin{\left (\frac{1}{2} \left(h + x\right) \right )}\right)$$

    www.kontrolnaya-rabota.ru

    2) Производная синуса.

    При определении производной синуса удобно брать приращение аргумента не одностороннее, а двустороннее, с одинаковым интервалом h влево и вправо от исследуемой точки графика. Тогда

    x = 2 · h ; y = sin (x + h) – sin (x – h) =

    =(sin x·cos h + cos x·sin h) – (sin x·cos h – cos x·sin h) = 2·cos x·sin h ;

    y/x = (2 · cos x · sin h) / (2 · h) = cos x · sin h / h ;

    Отношение sin h / h есть первый замечательный предел, равный1при стремлении аргумента к нулю, поэтому окончательно имеем

    dy/dx =cos x .

    Производная синуса равна косинусу того же аргумента.

    3) Производная натурального логарифма:

    y = ln x;введем промежуточное обозначениеt=x/x. Тогда

    y = ln (x+x) – ln x = ln ((x+x)/x) = ln (1+x/x) = ln (1+1/t),

    или y/x = (1/x) · ln (1+1/t) = (t/x) · ln (1+1/t) = (1/x) · ln (1+1/t)t .

    П

    ри имеем и видно, что выражение под знаком логарифма есть второй замечательный предел – числоe– основание натуральных логарифмов. По определению,ln e = 1,и тогда : или, короче,

    или Производная натурального логарифма есть обратная величина аргумента.

    4) Производная обратной величины.

    Вычисляем разность приращенного и исходного значений функции:

    Делим на приращение аргумента и переходим к пределу:

    Производная обратной величины равна минус обратному квадрату аргумента.

    Замечание. Обратная величина есть частный случай степенной функции, так что выведение этой формулы является избыточным. Оно, однако, полезно, показывая достижимость одного и того же результата разными путями.

    4.3. Функции с одноканальной зависимостью от аргумента

    Мы переходим к выводу правил дифференцирования сложных функций, используя правила преобразований структурных схем (см. главу 3) и формулы для дифференцирования трех функций, принятых за основные (см. п. 4.2). На самом деле, большинство из них сложными не являются, но действия с ними выполняются по единообразным правилам для сложных функций из аппарата МСС.

    Функции, рассматриваемые ниже в п. 4.3-4.5, а также и ряд других, относят к элементарным и сводят в справочные таблицы. Вопрос об отнесении их к этой категории есть вопрос практического удобства – что проще: каждый раз выводить формулу заново или иметь длинный перечень табличных формул, требующих запоминания или поиска.

    Вывод формул дифференцирования с помощью МСС

    производится в следующем порядке.

    1. Составляем структурную схему для исходной формулы.

    2. Определяем коэффициенты передачи частных связей (КПЧС) для всех стрелок схемы.

    3. Свертываем схему, определяя ее результирующий коэффициент передачи (РКП) – это и есть искомая производная.

    Использование этой методики выявляет не замечавшиеся раньше особенности процедуры. Так, в традиционной схеме не уделяется должного внимания числу каналов влияния аргумента на функцию. При работе с МССстановится ясно, что функции полезно классифицировать именно по этому признаку.

    studfiles.net

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.