Разность пятых степеней – Разность пятой степени | Формулы с примерами

Разность пятой степени | Формулы с примерами

1. 3⁵ — 2⁵ = (3 — 2) • (3⁴ + 3³ • 2 + 3² • 2² + 3 • 2³ + 2⁴) =
(3 — 2) • (81 + 27 • 2 + 9 • 4 + 3 • 8 + 16) =
1 • (81 + 54 + 36 + 24 + 16) =
1 • 211 = 211 ;
a = 3⁵ ;
b = 2⁵ ;

2. 4⁵ — 3⁵ = (4 — 3) • (4⁴ + 4³ • 3 + 4² • 3² + 4 • 3³

+ 3⁴) =
(4 — 3) • (256 + 64 • 3 + 16 • 9 + 4 • 27 + 81) =
1 • (256 + 192 + 144 + 108 + 81) =
1 • 781 = 781 ;
a = 4⁵ ;
b = 3⁵ ;

3. 5⁵ — 2⁵ = (5 — 2) • (5⁴ + 5³ • 2 + 5² • 2² + 5 • 2³ + 2⁴) =
(5 — 2) • (625 + 125 • 2 + 25 • 4 + 5 • 8 + 16) =
3 • (625 + 250 + 100 + 40 + 16) =
3 • 1 031 = 3 093 ;
a =

5⁵ ;
b = 2⁵ ;

formula-xyz.ru

Многочлены | Формулы с примерами

Многочлен это?

Многочлен — это алгебраическая сумма одночленов.

Члены многочлена — это одночлены, составляющие многочлен.

Двучлен — многочлен, состоящий из двух членов.

Пример

Двухчлен: x + 15; 5a2b4 — a.

Трехчлен — многочлен, состоящий из трех членов и т.д.

Пример

Трехчлены: 7,4b2c + b — 6; x + y2 — xk.

! Одночлен является частным случаем многочлена.

Стандартный вид многочлена

1. Приведены подобные.

Пример

2. Все члены записаны в стандартном виде.

Пример

Степень многочлена

Степень многочлена — наибольшая степень одночлена, входящего в многочлен.

Многочлен второй степени.

Пример

Многочлен третьей степени.

Пример

formula-xyz.ru

Формулы разности и суммы степеней

В программу углубленного изучения математики входят две формулы, обобщающие общеизвестные, хрестоматийные

формулы разности квадратов и кубов, а также суммы кубов.

Для любого натурального числа n:

$a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}\times b+ a^{n-3}\times b^2+\ldots+ a^{2}\times b^{n-3}+ a\times b^{n-2}+b^{n-1}$

$a^{2k+1}+b^{2k+1}=(a+b)(a^{2k}-a^{2k-1}\times b+ a^{2k-2}\times b^2-\ldots -a^{2}\times b^{2k-2}- a\times b^{2k-1}+b^{2k}$

Они также входят в программу профильного курса математики. И мы уже видели, насколько полезными являются эти формулы для решения задач на делимость и остатки для натуральных и целых чисел.

Доказательство этих формул несложно, хотя и связано с техническими, достаточно простыми выкладками. Для формулы разности степеней оно получается на основе обязательной для всех формулы суммы геометрической прогрессии: достаточно лишь заметить, что в формуле разности степеней второй множитель в правой части является суммой n членов геометрической прогрессии с первым членом $b_{1}=a^{n-1}$ и знаменателем $q=\frac b a$. Поэтому он равен:

так что $(b-a)S=b^n-a^n$, а это и есть доказываемая формула.

А для доказательства формулы суммы нечетных степеней можно в доказанную формулу подставить -b вместо b и взять n=2к+1.

Применения этих формул к делимости целых и натуральных чисел основываются на их следствиях:

разность степеней двух натуральных или целых чисел с одинаковыми показателями делится на разность оснований;

сумма степеней двух натуральных или целых чисел с одинаковыми нечетными показателями делится на сумму оснований.

Помимо практических приложений, эти формулы полезны и для теории. С их помощью можно доказать в общем виде признаки делимости на 3 и на 9, которые в младших классах были «доказаны» на примерах, т.е., строго говоря, оставлены без доказательства.

В самом деле, натуральное число с с цифрами $a_{0},a_{1},a_{2},\ldots,a_{k-1},a_k$ в виде суммы разрядных слагаемых представляется как

$c=a_0\times10^k+a_1\times10^{k-1}+ a_2\times10^{k-2}+\ldots+ a_{k-1}\times10+a_k$

и, вычитая из с сумму его цифр

$s=a_{0}+a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{k-1}+a_k$ получаем число

$c-s= a_0(10^k-1)+a_1(10^{k-1}-1)+ a_2(10^{k-2}-1)+\ldots+a_{k-1}(10-1)$

а поскольку всякое число вида $10^n-1$ записывается с помощью одних девяток, то c-s делится на 9, так что число и сумма его цифр при делении на 9 дают одинаковые остатки, и в частности, делятся или не делятся на 9 одновременно. То же самое рассуждение годится и для числа 3.

Заметим, что с использованием сравнений доказательство проводится в одну строчку: так как $10\equiv1 (\mod {9})$, то

Материалы по теме:

Поделиться с друзьями:

Загрузка…

matemonline.com

Одночлены | Формулы с примерами

Одночлен это?

Одночленом — называется произведение чисел, переменных и их натуральных степеней.

Пример

Одночлены:

Пример

Не одночлены:

Стандартный вид одночлена

Стандартным видом одночлена называется произведение, составленное из числового множителя и степеней различных переменных.

Числовой множитель называется коэффициентом одночлена, его записывают перед буквенными сомножителями.

! Коэффициент равный 1 не записывается.

! При коэффициенте равному -1, записывается только «-» перед буквенными множителями.

Степень одночлена

Степенью одночлена называется сумма показателей степеней его буквенных множителей (переменных).

Пример

Степень одночлена 6x2y2c равна 2 + 2 + 1 = 5.

Пример

-1,4a2b5c3 — одночлен 10-ой степени, поскольку 2 + 5 + 3 = 10.

! Если одночлен является нулевым числом, то его степень считается равной нулю.

Пример

13; -2,3; 7; ?9 — Одночлены нулевой степени.

! Одночлены, отличающиеся только числовыми коэффициентами, называются подобными.

Пример

2ab и 3ab; 2x2 и -5x2; -9 и 6.

formula-xyz.ru

§5.2. Конечные разности. Обобщенная степень.

Пусть задана функция . Обозначим черезфиксированную величину приращения аргумента (шаг). Тогда выражение

(5.3)

называется первой конечной разностью функции . Аналогично определяются конечные разности высших порядков

Например:

(5.4)

Символ (дельта) можно рассматривать как оператор, ставящий в соответствие функциифункцию.

Легко проверить основные свойства оператора :

1) ;

2) ;

3) , где(целые неотрицательные числа), причем.

Из формулы (5.3) имеем:

.

Отсюда, рассматривая как символический множитель, получим:

. (5.5)

Из формулы (5.4):

; (5.6)

и т.д. Окончательно получим:

. (5.7)

В дальнейшем нам понадобится понятие обобщенной степени.

Определение.

Обобщенной -степенью числаназывается произведениесомножителей, первый из которых равен, а каждый следующий наменьше предыдущего:

, (5.8)

где . Полагают, что. Приобобщенная степень совпадает с обычной:.

Вычислим конечные разности для обобщенной степени, полагая . Для первой конечной разности имеем:

то есть

. (5.9)

Для второй конечной разности:

,

то есть

. (5.10)

Аналогично,

,

и так далее.

Окончательно будем иметь:

, (5.11)

, если . (5.12)

§5.3. Первая интерполяционная формула Ньютона.

Пусть для функции заданы значениядля равноотстоящих значений независимой переменной, где— шаг интерполяции. Требуется подобрать полиномстепени не выше, принимающий в точкахзначения

. (5.13)

Условия (5.13) эквивалентны тому, что

. (5.14)

Будем искать полином в виде

. (5.15)

Используя понятие обобщенной степени, запишем выражение (5.15) в виде:

. (5.16)

Чтобы полином был определен, нужно найти коэффициенты

. Полагаяв выражении (5.16), получим

. (5.17)

Чтобы найти коэффициент , составим первую конечную разность:

.

Полагая , получим:

,

откуда

. (5.18)

Для определения коэффициента составим вторую конечную разность:

.

Положив , получим:

,

откуда

. (5.19)

Продолжая процесс, получим:

, (5.20)

причем .

Подставляя найденные значения коэффициентов в выражение (5.16), получим интерполяционный полином Ньютона:

. (5.21)

Этот полином полностью удовлетворяет требованиям поставленной задачи. Действительно, степень полинома не выше;;

Для практического использования первую интерполяционную формулу Ньютона записывают в несколько преобразованном виде. Для этого введем новую переменную

. (5.22)

Тогда

(5.23)

Подставляя (5.23) в (5.21), получим окончательный вид первой интерполяционной формулы Ньютона:

. (5.24)

Если в формуле (5.24) положить , то получим формулу линейного интерполирования:

. (5.25)

При получим формулу параболического или квадратичного интерполирования:

. (5.26)

Первую интерполяционную формулу Ньютона используют для интерполирования функции в окрестности начальной точки , гдемало по абсолютной величине и представляет собой число шагов, необходимых для достижения точки

, исходя из точки.

Остаточный член первой интерполяционной формулы Ньютона:

, (5.27)

где — некоторое промежуточное значение между узлами интерполированияи рассматриваемой точкой.

Учитывая, что , приближенно можно положить:

.

В этом случае соотношение (5.27) примет вид:

. (5.28)

studfiles.net

Степень с натуральным показателем | Формулы с примерами

Определение степени с натуральным показателем

Определение
где a — действительное число,
n — натурально число.

Читается как: «a в степени n» или
«n-ная степень a»

Калькулятор степени с натуральным показателем

Примеры и свойства

Свойство a в степени 1 равно a.

a¹ = a

Пример 1¹ = 1;     10¹ = 1;      125¹ = 125.

Свойство Нуль в степени n равен нулю.

0ⁿ = 0

Пример 1⁰ = 0;      10⁰ = 0;      432⁰ = 0.

Свойство Если a является положительным числом, то a возведенное в степень
n будет числом положительным.

Если a > 0, то aⁿ > 0

Пример 1²> 0;      12⁴ > 0;      33² > 0.

Свойство Если a является числом отрицательным, и его степень — четное число,
то a в степени n будет число положительное.

Если a и n — четное, то aⁿ > 0

Пример (- 2)⁴ > 0;      (- 33)⁶ > 0;      (- 1,3)⁴⁴ > 0.

Свойство Если a является числом отрицательным, и его степень — нечетное,
то a в степени n будет число отрицательное.

Если a и n — нечетное, то aⁿ

Формулы по алфавиту:

© 2019 Все права защищены
При использовании материалов данного сайта обязательно указывать ссылку на источник

formula-xyz.ru